Kui tuletis on positiivne. Funktsioonide graafikud, funktsioonide tuletised

Sirge y=3x+2 puutub funktsiooni y=-12x^2+bx-10 graafikuga. Leidke b, arvestades, et puutujapunkti abstsiss on väiksem kui null.

Lahendus

Olgu x_0 funktsiooni y=-12x^2+bx-10 graafikul oleva punkti abstsiss, mida selle graafiku puutuja läbib.

Tuletise väärtus punktis x_0 on võrdne puutuja kaldega, st y"(x_0)=-24x_0+b=3. Teisest küljest kuulub puutujapunkt samaaegselt mõlemale puutepunkti graafikule. funktsioon ja puutuja ehk -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saame võrrandisüsteemi \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(juhtumid)

Selle süsteemi lahendamisel saame x_0^2=1, mis tähendab kas x_0=-1 või x_0=1. Abstsisstingimuse järgi on puutujapunktid väiksemad kui null, seega x_0=-1, siis b=3+24x_0=-21.

Vastus

Seisund

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik (mis on kolmest sirgest lõigust koosnev katkendjoon). Arvutage joonise abil F(9)-F(5), kus F(x) on funktsiooni f(x) üks antituletistest.

Lahendus

Newtoni-Leibnizi valemi järgi on erinevus F(9)-F(5), kus F(x) on üks funktsiooni f(x) antiderivaatidest, võrdne kõverjoonelise trapetsi piiratud pindalaga. funktsiooni y=f(x) graafiku järgi sirged y=0 , x=9 ja x=5. Graafikult teeme kindlaks, et näidatud kõver trapets on trapets, mille alused on 4 ja 3 ning kõrgus 3.

Selle pindala on võrdne \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on graafik y=f"(x) - funktsiooni f(x) tuletis, mis on defineeritud intervallil (-4; 10). Leidke kahaneva funktsiooni f(x) intervallid. Teie vastuses märkige neist suurimate pikkus.

Lahendus

Teatavasti väheneb funktsioon f(x) nendel intervallidel, mille igas punktis tuletis f"(x) on väiksem kui null. Arvestades, et on vaja leida neist suurima pikkus, on kolm sellist intervalli. loomulikult eristub joonisest: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Neist suurima (5; 9) pikkus on 4.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on graafik y=f"(x) - funktsiooni f(x) tuletis, mis on defineeritud intervallil (-8; 7). Leia funktsiooni f(x) kuuluvate maksimumpunktide arv. intervall [-6; -2].

Lahendus

Graafik näitab, et funktsiooni f(x) tuletis f"(x) muudab märgi plussist miinusesse (sellistes punktides on maksimum) täpselt ühes punktis (vahemikus -5 kuni -4) intervallist [ -6; -2 ] Seetõttu on intervallil [-6; -2] täpselt üks maksimumpunkt.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on kujutatud intervallil (-2; 8) defineeritud funktsiooni y=f(x) graafik. Määrake punktide arv, kus funktsiooni f(x) tuletis on 0.

Lahendus

Tuletise võrdsus punktis nulliga tähendab, et selles punktis joonestatud funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne Ox-teljega. Seetõttu leiame punktid, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne Ox-teljega. Sellel diagrammil on sellised punktid äärmuspunktid (maksimaalsed või miinimumpunktid). Nagu näete, on 5 äärmuspunkti.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Sirge y=-3x+4 on paralleelne funktsiooni y=-x^2+5x-7 graafiku puutujaga. Leidke puutujapunkti abstsiss.

Lahendus

Funktsiooni y=-x^2+5x-7 graafiku sirge nurkkoefitsient suvalises punktis x_0 võrdub y"(x_0). Aga y"=-2x+5, mis tähendab y" (x_0)=-2x_0+5. Tingimuses määratud sirge y=-3x+4 koefitsient on nurk võrdne -3. Paralleeljoontel on samad kaldetegurid. Seetõttu leiame väärtuse x_0, et =- 2x_0 +5=-3.

Saame: x_0 = 4.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja abstsissile on märgitud punktid -6, -1, 1, 4. Millises neist punktidest on tuletis väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.

(Joon.1)

Joonis 1. Tuletisgraafik

Tuletisgraafiku omadused

1. Suurenevate ajavahemike järel on tuletis positiivne. Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on positiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil suureneb.
2. Vähenevate intervallidega on tuletis negatiivne (miinusmärgiga). Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on negatiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.
3. Punkti x tuletis võrdub funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega samas punktis.
4. Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktides on tuletis võrdne nulliga. Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne OX-teljega.

Näide 1

Määrake tuletise graafiku (joonis 2) abil, millises punktis lõigul [-3; 5] funktsioon on maksimaalne.

Joonis 2. Tuletisgraafik

Lahendus: Sellel lõigul on tuletis negatiivne, mis tähendab, et funktsioon väheneb vasakult paremale ja suurim väärtus on vasakul pool punktis -3.

Näide 2

Määrake tuletise graafiku (joonis 3) abil maksimaalsete punktide arv lõigul [-11; 3].

Joonis 3. Tuletisgraafik

Lahendus: Maksimaalsed punktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub positiivsest negatiivseks. Sellel intervallil muudab funktsioon märki plussist miinusesse kaks korda - punktis -10 ja punktis -1. See tähendab, et maksimumpunktide arv on kaks.

Näide 3

Määrake tuletise graafiku (joonis 3) abil minimaalsete punktide arv segmendis [-11; -1].

Lahendus: Miinimumpunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub negatiivsest positiivseks. Sellel lõigul on selline punkt ainult -7. See tähendab, et antud lõigul on miinimumpunktide arv üks.

Näide 4

Määrake tuletise graafiku (joonis 3) abil ekstreemumipunktide arv.

Lahendus: äärmuslikud punktid on nii miinimum- kui ka maksimumpunktid. Leiame punktide arvu, kus tuletis märki muudab.

Järgmiseks on tunnis soovitav kaaluda võtmeülesannet: kasutades tuletise etteantud graafikut, peavad õpilased (loomulikult õpetaja abiga) välja mõtlema mitmesuguseid funktsiooni enda omadustega seotud küsimusi. Loomulikult arutatakse neid küsimusi läbi, vajadusel parandatakse, tehakse kokkuvõte, salvestatakse vihikusse, misjärel algab nende ülesannete lahendamise etapp. Siin on vaja tagada, et õpilased mitte ainult ei anna õiget vastust, vaid suudavad seda argumenteerida (tõestada), kasutades selleks sobivaid definitsioone, omadusi ja reegleid.
Toome näite sellisest ülesandest: tahvlil (näiteks projektori abil) esitatakse õpilastele tuletise graafik, selle põhjal koostati 10 ülesannet (mitte päris õiged või dubleerivad küsimused lükati tagasi).
Funktsioon y = f(x) on defineeritud ja pidev intervallil [–6; 6].
Kasutades tuletise y = f"(x) graafikut, määrake:

1) suureneva funktsiooni y = f(x) intervallide arv;
2) kahaneva funktsiooni y = f(x) intervalli pikkus;
3) funktsiooni y = f(x) äärmuspunktide arv;
4) funktsiooni y = f(x) maksimumpunkt;
5) funktsiooni y = f(x) kriitiline (statsionaarne) punkt, mis ei ole äärmuspunkt;
6) graafiku punkti abstsiss, milles funktsioon y = f(x) omandab lõigul suurima väärtuse;
7) graafiku punkti abstsiss, milles funktsioon y = f(x) omandab lõigul [–2] väikseima väärtuse; 2];
8) funktsiooni y = f(x) graafiku punktide arv, mille puutuja on Oy teljega risti;
9) funktsiooni y = f(x) graafikul olevate punktide arv, mille juures puutuja moodustab Ox-telje positiivse suunaga 60° nurga;
10) funktsiooni y = f(x) graafikupunkti abstsiss, mille juures puutuja tõus saab väikseima väärtuse.
Vastus: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Funktsiooni omaduste uurimise oskuste tugevdamiseks saavad õpilased koju kaasa võtta sama graafiku lugemisega seotud ülesande, kuid ühel juhul on selleks funktsiooni graafik, teisel juhul selle tuletise graafik.

Artikkel ilmus süsteemiadministraatorite ja programmeerijate foorumi toel. "CyberForum.ru" lehelt leiate foorumeid sellistel teemadel nagu programmeerimine, arvutid, tarkvaraarutelu, veebiprogrammeerimine, teadus, elektroonika ja kodumasinad, karjäär ja äri, vaba aeg, inimesed ja ühiskond, kultuur ja kunst, kodu ja majandus, autod , mootorrattad ja palju muud. Foorumis saate tasuta abi. Lisateavet leiate veebisaidilt, mis asub aadressil: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Funktsioon y = f(x) on defineeritud ja pidev intervallil [–6; 5]. Pildil on näha:
a) funktsiooni y = f(x) graafik;
b) tuletise y = f"(x) graafik.
Määrake ajakavast:
1) funktsiooni y = f(x) miinimumpunktid;
2) kahaneva funktsiooni y = f(x) intervallide arv;
3) funktsiooni y = f(x) graafikupunkti abstsiss, mille juures ta omandab lõigul suurima väärtuse;
4) funktsiooni y = f(x) graafikul olevate punktide arv, mille puutuja on paralleelne Ox-teljega (või langeb sellega kokku).
Vastused:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Kontrolli teostamiseks saab korraldada tööd paaris: iga õpilane koostab eelnevalt oma partnerile kaardile tuletisgraafiku ja allpool pakub funktsiooni omaduste määramiseks 4-5 küsimust. Õppetundide ajal vahetatakse kaarte, täidetakse pakutud ülesandeid, misjärel kõik kontrollivad ja hindavad oma partneri tööd.

Lõputöö 11. klassi õpilaste ühtse riigieksami vormis sisaldab tingimata ülesandeid piiride arvutamise, funktsiooni kahanevate ja suurendavate tuletiste intervallide, ekstreemumipunktide otsimise ja graafikute koostamise kohta. Selle teema hea tundmine võimaldab teil õigesti vastata mitmele eksamiküsimusele ja mitte kogeda raskusi edasisel erialasel koolitusel.

Diferentsiaalarvutuse alused on tänapäeva koolimatemaatika üks põhiteemasid. Ta uurib tuletise kasutamist muutujate sõltuvuste uurimiseks – just tuletise kaudu saab analüüsida funktsiooni suurenemist ja vähenemist ilma joonist kasutamata.

Lõpetajate põhjalik ettevalmistamine ühtse riigieksami sooritamiseks Shkolkovo haridusportaalis aitab teil sügavalt mõista eristamise põhimõtteid - mõista teooriat üksikasjalikult, uurida tüüpiliste probleemide lahendamise näiteid ja proovida kätt iseseisvas töös. Aitame Sul teadmistes lüngad täita – teeme selgeks oma arusaamad teema leksikaalsetest mõistetest ja suuruste sõltuvustest. Õpilased oskavad üle vaadata, kuidas leida monotoonsuse intervalle, mis tähendab, et funktsiooni tuletis tõuseb või väheneb teatud lõigul, kui leitud intervallide hulka kuuluvad ja ei kuulu piiripunktid.

Enne temaatiliste probleemide otsese lahendamise alustamist soovitame teil kõigepealt minna jaotisse "Teoreetiline taust" ja korrata mõistete, reeglite ja tabelivalemite määratlusi. Siit saate lugeda, kuidas tuletisgraafikul leida ja üles kirjutada iga suureneva ja kahaneva funktsiooni intervall.

Kogu pakutav teave on esitatud mõistmiseks kõige juurdepääsetavamal kujul, praktiliselt nullist. Saidil on materjale tajumiseks ja assimilatsiooniks mitmel erineval kujul – lugemine, video vaatamine ja vahetu koolitus kogenud õpetajate juhendamisel. Professionaalsed õpetajad räägivad teile üksikasjalikult, kuidas analüütiliste ja graafiliste meetodite abil leida funktsiooni suurenemise ja kahanemise tuletisi intervalle. Veebiseminaridel saate esitada kõiki teid huvitavaid küsimusi nii teooria kui ka konkreetsete probleemide lahendamise kohta.

Olles meelde jätnud teema põhipunktid, vaadake sarnaselt eksamivalikute ülesannetega näiteid funktsiooni tuletise suurendamisest. Õpitu kinnistamiseks vaadake “Kataloogi” – siit leiad praktilisi harjutusi iseseisvaks tööks. Jao ülesanded on valitud erineva raskusastmega, arvestades oskuste arengut. Näiteks on igaühega neist kaasas lahendusalgoritmid ja õiged vastused.

Valides jaotise "Ehitaja", saavad õpilased harjutada funktsiooni tuletise suurendamise ja vähendamise uurimist ühtse riigieksami tegelikel versioonidel, mida pidevalt ajakohastatakse, et võtta arvesse uusimaid muudatusi ja uuendusi.