Gaussi meetod on universaalne valem. Gaussi meetodi vastupidine

Olgu antud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mis tuleb lahendada (leia sellised tundmatute xi väärtused, mis muudavad süsteemi iga võrrandi võrduseks).

Teame, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem võib:

1) Sul pole lahendusi (olgu mitteliigeste).
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Leidke üks lahendus.

Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja teadmisi vaid aritmeetiliste tehtetest, mis teeb selle kättesaadavaks ka algklassiõpilastele.

Laiendatud maatriksiteisendused ( see on süsteemi maatriks - maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, millele lisandub vabade terminite veerg) Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid Gaussi meetodil:

1) Koos troki maatriksid Saab ümber paigutama mõnes kohas.

2) kui maatriksis esinevad (või on olemas) proportsionaalsed (erijuhtumina – identsed) read, siis tuleks kustutada maatriksist kõik need read peale ühe.

3) kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada.

4) maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes arvule peale nulli.

5) maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist.

Gaussi meetodis ei muuda elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust.

Gaussi meetod koosneb kahest etapist:

1. "Otsene liikumine" - elementaarsete teisenduste abil viige lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi laiendatud maatriks "kolmnurksele" sammukujule: põhidiagonaali all asuvad laiendatud maatriksi elemendid on võrdsed nulliga (ülevalt alla liikumine). Näiteks sellele tüübile:

Selleks tehke järgmised sammud.

1) Vaatleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esimest võrrandit ja koefitsient x 1 jaoks on võrdne K-ga. Teine, kolmas jne. teisendame võrrandid järgmiselt: jagame iga võrrandi (tundmatute koefitsiendid, sealhulgas vabad liikmed) igas võrrandis tundmatu x 1 koefitsiendiga ja korrutame K-ga. Pärast seda lahutame esimese teisest võrrandist ( tundmatute ja vabade terminite koefitsiendid). Teise võrrandi x 1 korral saame koefitsiendi 0. Kolmandast teisendatud võrrandist lahutame esimese võrrandi, kuni kõigi võrrandite, välja arvatud esimese, tundmatu x 1 korral, on koefitsient 0.

2) Liigume edasi järgmise võrrandi juurde. Olgu see teine ​​võrrand ja koefitsient x 2 jaoks, mis on võrdne M-ga. Jätkame kõigi “madalamate” võrranditega, nagu eespool kirjeldatud. Seega on tundmatu x 2 "all" kõigis võrrandites nullid.

3) Liigu järgmise võrrandi juurde ja nii edasi, kuni jääb alles viimane tundmatu ja teisendatud vaba liige.

1. Gaussi meetodi "tagurpidi liikumine" seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse leidmises ("alt-üles" liikumine). Viimasest "madalamast" võrrandist saame ühe esimese lahendi - tundmatu x n. Selleks lahendame elementaarvõrrandi A * x n = B. Ülaltoodud näites x 3 = 4. Asendame leitud väärtuse “ülemise” järgmise võrrandiga ja lahendame selle järgmise tundmatu suhtes. Näiteks x 2 – 4 = 1, s.o. x 2 = 5. Ja nii edasi, kuni leiame kõik tundmatud.

Näide.

Lahendame lineaarsete võrrandite süsteemi Gaussi meetodi abil, nagu mõned autorid soovitavad:

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Teeme ära:
1 samm . Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, saavad teha lisatoimingu: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).

2. samm . Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

3. samm . Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea ​​märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

4. samm . Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna 2-ga.

5. samm . Kolmas rida jagati 3-ga.

Märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame alla midagi sellist nagu (0 0 11 |23) ja vastavalt 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, siis võime suure tõenäosusega väita, et algõpetuse ajal tehti viga. teisendusi.

Teeme vastupidi: näidete kujundamisel ei kirjutata sageli süsteemi ennast ümber, vaid võrrandid on "otse antud maatriksist võetud". Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Selles näites oli tulemuseks kingitus:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, seega x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Vastus:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lahendame sama süsteemi pakutud algoritmi kasutades. Saame

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jagage teine ​​võrrand 5-ga ja kolmas 3-ga.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Korrutades teise ja kolmanda võrrandi 4-ga, saame:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast võrrandist, saame:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jagage kolmas võrrand 0,64-ga:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Korrutage kolmas võrrand 0,4-ga

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Lahutades teise kolmandast võrrandist, saame "astmelise" laiendatud maatriksi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Seega, kuna arvutuste käigus kogunes viga, saame x 3 = 0,96 ehk ligikaudu 1.

x 2 = 3 ja x 1 = –1.

Selliselt lahendades ei lähe te arvutustes kunagi segadusse ja hoolimata arvutusvigadest saate tulemuse.

See lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamise meetod on kergesti programmeeritav ega võta arvesse tundmatute koefitsientide eripära, sest praktikas (majanduslikes ja tehnilistes arvutustes) tuleb tegeleda mittetäisarvuliste koefitsientidega.

Soovin teile edu! Kohtumiseni klassis! Juhendaja Dmitri Aystrahhanov.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Olgu antud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mis tuleb lahendada (leia sellised tundmatute xi väärtused, mis muudavad süsteemi iga võrrandi võrduseks).

Teame, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem võib:

1) Sul pole lahendusi (olgu mitteliigeste).
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Leidke üks lahendus.

Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja teadmisi vaid aritmeetiliste tehtetest, mis teeb selle kättesaadavaks ka algklassiõpilastele.

Laiendatud maatriksiteisendused ( see on süsteemi maatriks - maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, millele lisandub vabade terminite veerg) Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid Gaussi meetodil:

1) Koos troki maatriksid Saab ümber paigutama mõnes kohas.

2) kui maatriksis esinevad (või on olemas) proportsionaalsed (erijuhtumina – identsed) read, siis tuleks kustutada maatriksist kõik need read peale ühe.

3) kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada.

4) maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes arvule peale nulli.

5) maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist.

Gaussi meetodis ei muuda elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust.

Gaussi meetod koosneb kahest etapist:

1. "Otsene liikumine" - elementaarsete teisenduste abil viige lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi laiendatud maatriks "kolmnurksele" sammukujule: põhidiagonaali all asuvad laiendatud maatriksi elemendid on võrdsed nulliga (ülevalt alla liikumine). Näiteks sellele tüübile:

Selleks tehke järgmised sammud.

1) Vaatleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esimest võrrandit ja koefitsient x 1 jaoks on võrdne K-ga. Teine, kolmas jne. teisendame võrrandid järgmiselt: jagame iga võrrandi (tundmatute koefitsiendid, sealhulgas vabad liikmed) igas võrrandis tundmatu x 1 koefitsiendiga ja korrutame K-ga. Pärast seda lahutame esimese teisest võrrandist ( tundmatute ja vabade terminite koefitsiendid). Teise võrrandi x 1 korral saame koefitsiendi 0. Kolmandast teisendatud võrrandist lahutame esimese võrrandi, kuni kõigi võrrandite, välja arvatud esimese, tundmatu x 1 korral, on koefitsient 0.

2) Liigume edasi järgmise võrrandi juurde. Olgu see teine ​​võrrand ja koefitsient x 2 jaoks, mis on võrdne M-ga. Jätkame kõigi “madalamate” võrranditega, nagu eespool kirjeldatud. Seega on tundmatu x 2 "all" kõigis võrrandites nullid.

3) Liigu järgmise võrrandi juurde ja nii edasi, kuni jääb alles viimane tundmatu ja teisendatud vaba liige.

1. Gaussi meetodi "tagurpidi liikumine" seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse leidmises ("alt-üles" liikumine). Viimasest "madalamast" võrrandist saame ühe esimese lahendi - tundmatu x n. Selleks lahendame elementaarvõrrandi A * x n = B. Ülaltoodud näites x 3 = 4. Asendame leitud väärtuse “ülemise” järgmise võrrandiga ja lahendame selle järgmise tundmatu suhtes. Näiteks x 2 – 4 = 1, s.o. x 2 = 5. Ja nii edasi, kuni leiame kõik tundmatud.

Näide.

Lahendame lineaarsete võrrandite süsteemi Gaussi meetodi abil, nagu mõned autorid soovitavad:

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Teeme ära:
1 samm . Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, saavad teha lisatoimingu: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).

2. samm . Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

3. samm . Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea ​​märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

4. samm . Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna 2-ga.

5. samm . Kolmas rida jagati 3-ga.

Märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame alla midagi sellist nagu (0 0 11 |23) ja vastavalt 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, siis võime suure tõenäosusega väita, et algõpetuse ajal tehti viga. teisendusi.

Teeme vastupidi: näidete kujundamisel ei kirjutata sageli süsteemi ennast ümber, vaid võrrandid on "otse antud maatriksist võetud". Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Selles näites oli tulemuseks kingitus:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, seega x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Vastus:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lahendame sama süsteemi pakutud algoritmi kasutades. Saame

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jagage teine ​​võrrand 5-ga ja kolmas 3-ga.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Korrutades teise ja kolmanda võrrandi 4-ga, saame:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast võrrandist, saame:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jagage kolmas võrrand 0,64-ga:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Korrutage kolmas võrrand 0,4-ga

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Lahutades teise kolmandast võrrandist, saame "astmelise" laiendatud maatriksi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Seega, kuna arvutuste käigus kogunes viga, saame x 3 = 0,96 ehk ligikaudu 1.

x 2 = 3 ja x 1 = –1.

Selliselt lahendades ei lähe te arvutustes kunagi segadusse ja hoolimata arvutusvigadest saate tulemuse.

See lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamise meetod on kergesti programmeeritav ega võta arvesse tundmatute koefitsientide eripära, sest praktikas (majanduslikes ja tehnilistes arvutustes) tuleb tegeleda mittetäisarvuliste koefitsientidega.

Soovin teile edu! Kohtumiseni klassis! Juhendaja.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Gaussi meetodi definitsioon ja kirjeldus

Gaussi teisendusmeetod (tuntud ka kui meetod tundmatute muutujate järjestikuseks eemaldamiseks võrrandist või maatriksist) lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on klassikaline meetod algebraliste võrrandite süsteemide (SLAE) lahendamiseks. Seda klassikalist meetodit kasutatakse ka selliste probleemide lahendamiseks nagu pöördmaatriksite saamine ja maatriksi järgu määramine.

Gaussi meetodi abil teisendamine seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemis väikeste (elementaarsete) järjestikuste muudatuste tegemises, mille tulemuseks on muutujate eemaldamine sellest ülalt alla koos uue kolmnurkse võrrandisüsteemi moodustamisega, mis on samaväärne algse süsteemiga. üks.

Definitsioon 1

Seda lahenduse osa nimetatakse Gaussi pärilikuks lahenduseks, kuna kogu protsess viiakse läbi ülalt alla.

Pärast algse võrrandisüsteemi taandamist kolmnurkseks, leitakse kõik süsteemi muutujad alt üles (st esimesed leitud muutujad asuvad täpselt süsteemi või maatriksi viimastel ridadel). Seda lahenduse osa tuntakse ka Gaussi lahenduse pöördväärtusena. Tema algoritm on järgmine: esiteks arvutatakse võrrandisüsteemi või maatriksi põhjale kõige lähemal olevad muutujad, seejärel asendatakse saadud väärtused kõrgemaks ja nii leitakse teine ​​muutuja jne.

Gaussi meetodi algoritmi kirjeldus

Gaussi meetodi abil võrrandisüsteemi üldise lahendamise toimingute jada seisneb SLAE-l põhineva maatriksi vaheldumisi edasi- ja tagasilöögi rakendamises. Olgu algsel võrrandisüsteemil järgmine kuju:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

SLAE-de lahendamiseks Gaussi meetodil on vaja kirjutada algne võrrandisüsteem maatriksi kujul:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Maatriksit $A$ nimetatakse põhimaatriksiks ja see esindab järjekorras kirjutatud muutujate koefitsiente ning $b$ nimetatakse selle vabade liikmete veeruks. Maatriksit $A$, mis on kirjutatud läbi vabade terminite veeruga riba, nimetatakse laiendatud maatriksiks:

$A = \begin(massiivi)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(massiiv)$

Nüüd on vaja võrrandisüsteemi (või maatriksi, kuna see on mugavam) elementaarteisendusi kasutades viia see järgmisele kujule:

$\begin(juhtumid) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \lõpp(juhtumid)$ (1)

Teisendatud võrrandisüsteemi (1) kordajatest saadud maatriksit nimetatakse astmemaatriksiks, astmemaatriksid näevad tavaliselt välja sellised:

$A = \begin(massiivi)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(massiiv)$

Neid maatrikseid iseloomustavad järgmised omadused:

1. Kõik selle nulljooned tulevad nullist erinevate ridade järel
2. Kui mõni maatriksi rida numbriga $k$ on nullist erinev, siis on sama maatriksi eelmises reas vähem nulle kui sellel numbriga $k$.

Pärast astmemaatriksi saamist on vaja saadud muutujad asendada ülejäänud võrranditega (alates lõpust) ja saada muutujate ülejäänud väärtused.

Põhireeglid ja lubatud teisendused Gaussi meetodi kasutamisel

Selle meetodi abil maatriksi või võrrandisüsteemi lihtsustamisel peate kasutama ainult elementaarteisendusi.

Selliseid teisendusi peetakse tehteteks, mida saab rakendada maatriksile või võrrandisüsteemile ilma selle tähendust muutmata:

• mitme rea ümberpaigutamine,
• maatriksi ühest reast teise rea liitmine või lahutamine,
• stringi korrutamine või jagamine konstandiga, mis ei ole võrdne nulliga,
• ainult nullidest koosnev rida, mis on saadud süsteemi arvutamise ja lihtsustamise käigus, tuleb kustutada,
• Samuti peate eemaldama mittevajalikud proportsionaalsed read, valides süsteemi jaoks ainsa koefitsientidega, mis on edasiste arvutuste jaoks sobivamad ja mugavamad.

Kõik elementaarteisendused on pöörduvad.

Lineaarvõrrandite lahendamisel lihtsate Gaussi teisenduste meetodil ilmnevate kolme põhijuhtumi analüüs

Süsteemide lahendamiseks Gaussi meetodi kasutamisel ilmneb kolm juhtumit:

1. Kui süsteem on ebajärjekindel, see tähendab, et sellel pole lahendusi
2. Võrrandisüsteemil on lahendus ja kordumatu ning nullist erinevate ridade ja veergude arv maatriksis on üksteisega võrdne.
3. Süsteemil on teatud arv või hulk võimalikke lahendusi ja ridade arv selles on väiksem kui veergude arv.

Ebaühtlase süsteemiga lahenduse tulemus

Selle variandi puhul on maatriksvõrrandi lahendamisel Gaussi meetodil tüüpiline saada mingi sirge võrdsuse täitmise võimatusega. Seega, kui esineb vähemalt üks vale võrdsus, ei ole saadud ja algsüsteemidel lahendusi, olenemata nendes sisalduvatest muudest võrranditest. Ebajärjekindla maatriksi näide:

$\begin(massiiv)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiivi)$

Viimasel real tekkis võimatu võrdsus: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Võrrandisüsteem, millel on ainult üks lahendus

Nendel süsteemidel on pärast astmemaatriksiks taandamist ja nullidega ridade eemaldamist põhimaatriksis sama arv ridu ja veerge. Siin on sellise süsteemi lihtsaim näide:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Kirjutame selle maatriksi kujul:

$\begin(massiivi)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(massiivi)$

Teise rea esimese lahtri nulli viimiseks korrutame ülemise rea $-2 $-ga ja lahutame selle maatriksi alumisest reast ning jätame ülemise rea algsel kujul, mille tulemusena saame järgmise :

$\begin(massiivi)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(massiivi)$

Selle näite saab kirjutada süsteemina:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Madalam võrrand annab $x$ jaoks järgmise väärtuse: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Asendage see väärtus ülemise võrrandiga: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, saame $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Süsteem paljude võimalike lahendustega

Seda süsteemi iseloomustab väiksem oluliste ridade arv kui selles olevate veergude arv (arvestatakse põhimaatriksi ridu).

Muutujad on sellises süsteemis jagatud kahte tüüpi: põhi- ja tasuta. Sellise süsteemi teisendamisel tuleb selles sisalduvad põhimuutujad jätta vasakpoolsesse alasse kuni märgini “=” ning ülejäänud muutujad nihutada võrdsuse paremale poole.

Sellisel süsteemil on ainult teatud üldlahendus.

Analüüsime järgmist võrrandisüsteemi:

$\begin(juhtumid) 2a_1 + 3a_2 + x_4 = 1 \\ 5a_3 - 4a_4 = 1 \end(juhtumid)$

Kirjutame selle maatriksi kujul:

$\begin(massiivi)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(massiivi)$

Meie ülesanne on leida süsteemile üldine lahendus. Selle maatriksi alusmuutujad on $y_1$ ja $y_3$ ($y_1$ puhul – kuna see on esimene, ja $y_3$ puhul – asub see nullide järel).

Alusmuutujateks valime täpselt need, mis on reas esimesed ja ei võrdu nulliga.

Ülejäänud muutujaid nimetatakse vabadeks, nende kaudu peame väljendama põhimuutujaid.

Nn pöördkäiku kasutades analüüsime süsteemi alt üles, selleks väljendame esmalt süsteemi alumisel realt $y_3$:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5a_3 = 4a_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nüüd asendame väljendatud $y_3$ süsteemi $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ülemise võrrandiga: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

Väljendame $y_1$ vabade muutujatena $y_2$ ja $y_4$:

2a_1 + 3a_2 – \frac(4)(5)y_4 – \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3a_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3a_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1a_4 + 0,6 $

Lahendus on valmis.

Näide 1

Lahendage slough Gaussi meetodil. Näited. Näide 3x3 maatriksiga antud lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

$\begin(juhtumid) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(juhtumid)$

Kirjutame oma süsteemi laiendatud maatriksi kujul:

$\begin(massiivi)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiivi)$

Nüüd peate mugavuse ja praktilisuse huvides muutma maatriksi nii, et $1 $ oleks kõige välimise veeru ülemises nurgas.

Selleks peate 1. reale lisama rea ​​keskelt, korrutatuna $-1 $-ga, ja kirjutama keskmine rida ise nii, nagu see on, selgub:

$\begin(massiiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiivi)$

$\begin(massiivi)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(massiivi) $

Korrutage ülemine ja viimane rida $-1 $-ga ning vahetage ka viimane ja keskmine rida:

$\begin(massiivi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(massiivi)$

$\begin(massiivi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(massiivi)$

Ja jagage viimane rida 3 dollariga:

$\begin(massiivi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(massiivi)$

Saame järgmise võrrandisüsteemi, mis on samaväärne algse võrrandiga:

$\begin(juhtumid) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(juhtumid)$

Ülemisest võrrandist väljendame $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.

Näide 2

Näide 4 x 4 maatriksi abil defineeritud süsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

$\begin(massiivi)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(massiivi)$.

Alguses vahetame sellele järgnevad ülemised read, et saada ülemisse vasakusse nurka $1:

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(massiivi)$.

Nüüd korrutage ülemine rida $-2 $-ga ja lisage 2. ja 3. Neljandale lisame 1. rea, korrutatuna $-3 $:

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(massiiv)$

Nüüd lisame reale number 3 rea 2 korrutatuna $4$-ga ja reale 4 lisame rea 2 korrutatuna $-1$-ga.

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(massiivi)$

Korrutame rea 2 $-1 $-ga, jagame rea 4 $3 $-ga ja asendame rea 3.

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ja 10 \\ \end(massiivi)$

Nüüd lisame viimasele reale eelviimase, korrutatuna $-5$-ga.

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(massiiv)$

Lahendame saadud võrrandisüsteemi:

$\begin(juhtumid) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3a + 2g + m = 11\lõpp(juhtumid)$

1. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem

1.1 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi mõiste

Võrrandisüsteem on tingimus, mis koosneb mitme võrrandi samaaegsest täitmisest mitme muutuja suhtes. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (edaspidi SLAE), mis sisaldab m võrrandit ja n tundmatut, nimetatakse süsteemiks järgmisel kujul:

kus numbreid a ij nimetatakse süsteemikoefitsientideks, arve b i nimetatakse vabadeks terminiteks, a ij Ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) esindavad mõnda teadaolevat arvu ja x 1 ,…, x n- teadmata. Koefitsientide määramisel a ij esimene indeks i tähistab võrrandi arvu ja teine ​​j on tundmatu arv, mille juures see koefitsient asub. Tuleb leida arvud x n. Sellist süsteemi on mugav kirjutada kompaktse maatriksi kujul: AX=B. Siin on A süsteemikoefitsientide maatriks, mida nimetatakse põhimaatriksiks;

Maatriksite A*X korrutis on defineeritud, kuna maatriksis A on sama palju veerge kui maatriksis X ridu (n tükki).

Süsteemi laiendatud maatriks on süsteemi maatriks A, mida täiendab vabade terminite veerg

1.2 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine

Võrrandisüsteemi lahenduseks on järjestatud arvude (muutujate väärtuste) kogum, kui muutujate asemel neid asendada, muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrduseks.

Süsteemi lahenduseks on tundmatute x1=c1, x2=c2,…, xn=cn n väärtust, mille asendamisel saavad kõik süsteemi võrrandid tõelisteks võrdusteks. Veerumaatriksina saab kirjutada süsteemi mis tahes lahenduse

Võrrandisüsteemi nimetatakse järjekindlaks, kui sellel on vähemalt üks lahend, ja ebajärjekindlaks, kui sellel pole ühtegi lahendit.

Järjepidevat süsteemi nimetatakse määravaks, kui sellel on üks lahendus, ja määramatuks, kui sellel on rohkem kui üks lahendus. Viimasel juhul nimetatakse iga selle lahendust süsteemi konkreetseks lahenduseks. Kõikide konkreetsete lahenduste hulka nimetatakse üldlahenduseks.

Süsteemi lahendamine tähendab selle ühilduvuse või vastuolulisuse väljaselgitamist. Kui süsteem on järjepidev, leidke selle üldine lahendus.

Kahte süsteemi nimetatakse samaväärseks (ekvivalentseks), kui neil on sama üldlahendus. Teisisõnu, süsteemid on samaväärsed, kui nende iga lahendus on teise lahendus ja vastupidi.

Teisendust, mille rakendamine muudab süsteemi uueks, algse samaväärseks süsteemiks, nimetatakse ekvivalentseks või samaväärseks teisenduseks. Samaväärsete teisenduste näidete hulka kuuluvad järgmised teisendused: süsteemi kahe võrrandi vahetamine, kahe tundmatu vahetamine koos kõigi võrrandite koefitsientidega, süsteemi mis tahes võrrandi mõlema poole korrutamine nullist erineva arvuga.

Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga:

Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna x1=x2=x3=…=xn=0 on süsteemi lahendus. Seda lahendust nimetatakse nulliks või triviaalseks.

2. Gaussi eliminatsiooni meetod

2.1 Gaussi eliminatsioonimeetodi olemus

Klassikaline meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks on tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod - Gaussi meetod(seda nimetatakse ka Gaussi eliminatsioonimeetodiks). See on meetod muutujate järjestikuseks elimineerimiseks, kui elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem samaväärseks astmelise (või kolmnurkse) süsteemiga, millest kõik muud muutujad leitakse järjestikku, alustades viimasest (poolt arv) muutujad.

Lahendusprotsess Gaussi meetodil koosneb kahest etapist: edasi- ja tagasiliikumised.

1. Otsene löök.

Esimeses etapis viiakse läbi nn otseliikumine, kui ridade elementaarsete teisenduste abil viiakse süsteem astmelise või kolmnurkse kujuni või tehakse kindlaks, et süsteem ei ühildu. Nimelt vali maatriksi esimese veeru elementide hulgast nullist erinev üks, liiguta see ridade ümberpaigutamise teel ülemisse asendisse ja lahuta saadud esimene rida pärast ümberpaigutamist ülejäänud ridadest, korrutades selle väärtusega. võrdne kõigi nende ridade esimese elemendi ja esimese rea esimese elemendi suhtega, nullides seega selle all oleva veeru.

Pärast näidatud teisenduste lõpetamist kriipsutatakse esimene rida ja esimene veerg mõtteliselt läbi ja jätkatakse, kuni jääb alles nullsuurusega maatriks. Kui mõnel iteratsioonil pole esimese veeru elementide hulgas nullist erinevat elementi, minge järgmise veeru juurde ja tehke sarnane toiming.

Esimesel etapil (otsene löök) taandatakse süsteem astmeliseks (eriti kolmnurkseks).

Alloleval süsteemil on astmeline vorm:

Koefitsiente aii nimetatakse süsteemi peamisteks (juht)elementideks.

Teisendame süsteemi, elimineerides tundmatu x1 kõigis võrrandites, välja arvatud esimeses (kasutades süsteemi elementaarteisendusi). Selleks korrutage esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga

Seda protsessi jätkates saame samaväärse süsteemi:

Seega hävitatakse esimeses etapis kõik esimese juhtelemendi a 11 all olevad koefitsiendid

Kui süsteemi astmelisele vormile redutseerimise käigus tekivad nullvõrrandid, s.o. võrdusi kujul 0=0, jäetakse need kõrvale. Kui ilmub vormi võrrand

Siin lõpeb Gaussi meetodi otsene edasiminek.

2. Pöördkäik.

Teises etapis viiakse läbi nn pöördliikumine, mille põhiolemus on väljendada kõik saadud põhimuutujad mittepõhilistena ja ehitada fundamentaalne lahenduste süsteem või kui kõik muutujad on põhimuutujad. , siis väljendage numbriliselt lineaarvõrrandisüsteemi ainus lahendus.

See protseduur algab viimase võrrandiga, millest vastav põhimuutuja väljendatakse (selles on ainult üks) ja asendatakse eelmiste võrranditega jne, minnes “astmeid” ülespoole.

Iga rida vastab täpselt ühele põhimuutujale, nii et igal sammul, välja arvatud viimane (ülemine), kordab olukord täpselt viimase rea juhtu.

Märkus: praktikas on mugavam töötada mitte süsteemiga, vaid selle laiendatud maatriksiga, tehes selle ridadel kõik elementaarsed teisendused. On mugav, kui koefitsient a11 on võrdne 1-ga (korrastage võrrandid ümber või jagage võrrandi mõlemad pooled a11-ga).

2.2 Näited SLAE-de lahendamisest Gaussi meetodil

Selles jaotises näitame kolme erineva näite abil, kuidas Gaussi meetod saab SLAE-sid lahendada.

Näide 1. Lahendage 3. järku SLAE.

Lähtestame koefitsiendid kell

Käesolevas artiklis käsitletakse meetodit lineaarvõrrandisüsteemide (SLAE) lahendamise meetodina. Meetod on analüütiline, see tähendab, et see võimaldab teil kirjutada lahendusalgoritmi üldisel kujul ja seejärel asendada väärtusi konkreetsetest näidetest. Erinevalt maatriksmeetodist või Crameri valemitest saab Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel töötada ka nendega, millel on lõpmatu arv lahendeid. Või pole neil seda üldse.

Mida tähendab lahendada Gaussi meetodil?

Esiteks peame kirjutama oma võrrandisüsteemi väljale See näeb välja selline. Võtke süsteem:

Koefitsiendid on kirjutatud tabeli kujul ja vabad terminid kirjutatakse paremal asuvasse eraldi veergu. Vaba terminitega veerg on mugavuse huvides eraldatud. Seda veergu sisaldavat maatriksit nimetatakse laiendatud.

Järgmisena tuleb koefitsientidega põhimaatriks taandada ülemisele kolmnurksele kujule. See on Gaussi meetodi abil süsteemi lahendamise põhipunkt. Lihtsamalt öeldes peaks maatriks pärast teatud manipuleerimisi välja nägema nii, et selle vasakpoolses alumises osas on ainult nullid:

Seejärel, kui kirjutate uue maatriksi uuesti võrrandisüsteemina, märkate, et viimane rida sisaldab juba ühe juure väärtust, mis seejärel asendatakse ülaltoodud võrrandiga, leitakse teine ​​juur jne.

See on lahenduse kirjeldus Gaussi meetodil kõige üldisemalt. Mis juhtub, kui süsteemil pole äkki lahendust? Või on neid lõpmatult palju? Nendele ja paljudele teistele küsimustele vastamiseks on vaja eraldi käsitleda kõiki Gaussi meetodi lahendamisel kasutatud elemente.

Maatriksid, nende omadused

Maatriksis pole varjatud tähendust. See on lihtsalt mugav viis andmete salvestamiseks järgnevateks toiminguteks. Isegi koolilapsed ei pea neid kartma.

Maatriks on alati ristkülikukujuline, kuna see on mugavam. Isegi Gaussi meetodi puhul, kus kõik taandub kolmnurkse maatriksi konstrueerimisele, ilmub kirjesse ristkülik, ainult nullidega kohas, kus numbreid pole. Nulle ei pruugita kirjutada, kuid need on vihjatud.

Maatriksil on suurus. Selle "laius" on ridade arv (m), "pikkus" on veergude arv (n). Siis märgitakse maatriksi A suurus (nende tähistamiseks kasutatakse tavaliselt suuri ladina tähti) kui A m×n. Kui m = n, on see maatriks ruut ja m = n on selle järjekord. Vastavalt sellele võib maatriksi A mis tahes elementi tähistada selle rea- ja veerunumbritega: a xy ; x - rea number, muudatused, y - veeru number, muudatused.

B ei ole otsuse põhipunkt. Põhimõtteliselt saab kõiki tehteid teha otse võrrandite endi abil, kuid märkimine on palju tülikam ja sellega on palju lihtsam segadusse sattuda.

Determinant

Maatriksil on ka determinant. See on väga oluline omadus. Nüüd pole vaja selle tähendust välja selgitada, saate lihtsalt näidata, kuidas see arvutatakse, ja seejärel öelda, millised maatriksi omadused see määrab. Lihtsaim viis determinandi leidmiseks on diagonaalide kaudu. Maatriksisse tõmmatakse kujuteldavad diagonaalid; korrutatakse igal neist asuvad elemendid ja seejärel lisatakse saadud korrutised: diagonaalid kaldega paremale - plussmärgiga, kaldega vasakule - miinusmärgiga.

Äärmiselt oluline on märkida, et determinanti saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks. Ristkülikukujulise maatriksi puhul saab teha järgmist: valida ridade ja veergude hulgast väikseim (olgu see k) ning seejärel märkida maatriksisse juhuslikult k veergu ja k rida. Valitud veergude ja ridade ristumiskohas olevad elemendid moodustavad uue ruutmaatriksi. Kui sellise maatriksi determinandiks on nullist erinev arv, nimetatakse seda algse ristkülikukujulise maatriksi alusminooriks.

Enne kui hakkate Gaussi meetodil võrrandisüsteemi lahendama, ei tee determinandi arvutamine haiget. Kui see osutub nulliks, siis võime kohe öelda, et maatriksil on kas lõpmatu arv lahendeid või pole neid üldse. Sellisel kurval juhul peate minema kaugemale ja uurima maatriksi auastet.

Süsteemi klassifikatsioon

On olemas selline asi nagu maatriksi auaste. See on selle nullist erineva determinandi maksimaalne järjekord (kui meenub alus-minoori kohta, võib öelda, et maatriksi auaste on põhimolli järjekord).

Auastme olukorra põhjal võib SLAE jagada järgmisteks osadeks:

• Ühine. UÜhissüsteemides ühtib põhimaatriksi (koosneb ainult koefitsientidest) auaste laiendatud maatriksi (vabade terminite veeruga) auastmega. Sellistel süsteemidel on lahendus, kuid mitte tingimata üks, seetõttu jagunevad ühendussüsteemid lisaks:
• - teatud- ühe lahenduse olemasolu. Teatud süsteemides on maatriksi auaste ja tundmatute arv (või veergude arv, mis on sama asi) võrdsed;
• - määramata - lõpmatu hulga lahendustega. Maatriksite järjestus sellistes süsteemides on väiksem kui tundmatute arv.
• Sobimatu. U Sellistes süsteemides ei lange põhi- ja laiendatud maatriksi auastmed kokku. Ühildumatutel süsteemidel pole lahendust.

Gaussi meetod on hea, kuna võimaldab lahenduse käigus saada kas ühemõttelise tõestuse süsteemi ebakõla kohta (ilma suurte maatriksite determinante arvutamata) või üldkujul lahenduse lõpmatu arvu lahendustega süsteemile.

Elementaarsed teisendused

Enne otse süsteemi lahendamise juurde asumist saate muuta selle vähem tülikaks ja arvutuste jaoks mugavamaks. See saavutatakse elementaarsete teisenduste abil – nii, et nende rakendamine ei muuda lõplikku vastust kuidagi. Tuleb märkida, et mõned antud elementaarteisendused kehtivad ainult maatriksite jaoks, mille allikaks oli SLAE. Siin on nende teisenduste loend:

1. Liinide ümberkorraldamine. Ilmselgelt, kui muudate võrrandite järjekorda süsteemikirjes, ei mõjuta see lahendust kuidagi. Järelikult saab selle süsteemi maatriksi ridu ka vahetada, unustamata muidugi vabade terminite veergu.
2. Stringi kõigi elementide korrutamine teatud koefitsiendiga. Väga abivalmis! Seda saab kasutada maatriksi suurte arvude vähendamiseks või nullide eemaldamiseks. Paljud otsused, nagu tavaliselt, ei muutu, kuid edasised toimingud muutuvad mugavamaks. Peaasi, et koefitsient ei oleks võrdne nulliga.
3. Proportsionaalsete teguritega ridade eemaldamine. See tuleneb osaliselt eelmisest lõigust. Kui maatriksi kahel või enamal real on proportsionaalsed koefitsiendid, siis ühe rida korrutamisel/jagamisel proportsionaalsuse koefitsiendiga saadakse kaks (või jällegi rohkem) absoluutselt identset rida ja üleliigsed saab eemaldada, jättes alles ainult üks.
4. Nullrea eemaldamine. Kui teisenduse käigus saadakse kuskil rida, milles kõik elemendid, sealhulgas vaba liige, on nullid, siis võib sellist rida nimetada nulliks ja maatriksist välja visata.
5. Lisades ühe rea elementidele teise rea elemendid (vastavates veergudes), korrutatuna teatud koefitsiendiga. Kõige ilmsem ja kõige olulisem transformatsioon üldse. Sellel tasub põhjalikumalt peatuda.

Koefitsiendiga korrutatud stringi lisamine

Arusaadavuse hõlbustamiseks tasub see protsess samm-sammult lahti võtta. Maatriksist võetakse kaks rida:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Oletame, et peate liitma esimese teisega, korrutatuna koefitsiendiga "-2".

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Seejärel asendatakse maatriksi teine ​​rida uuega ja esimene jääb muutumatuks.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Tuleb märkida, et korrutuskoefitsienti saab valida nii, et kahe rea liitmise tulemusena on üks uue rea elementidest võrdne nulliga. Järelikult on võimalik saada võrrand süsteemis, kus on üks tundmatu vähem. Ja kui saate kaks sellist võrrandit, saab toimingu uuesti teha ja saada võrrandi, mis sisaldab kaks tundmatut vähem. Ja kui iga kord, kui muudate ühe koefitsiendi kõigist ridadest, mis jäävad alla algse, nulli, saate sarnaselt treppidega laskuda maatriksi põhja ja saada võrrandi ühe tundmatuga. Seda nimetatakse süsteemi lahendamiseks Gaussi meetodil.

Üldiselt

Las olla süsteem. Sellel on m võrrandit ja n tundmatut juurt. Saate selle kirjutada järgmiselt:

Põhimaatriks koostatakse süsteemi koefitsientidest. Laiendatud maatriksile lisatakse vabade terminite veerg ja mugavuse huvides eraldatakse need joonega.

• maatriksi esimene rida korrutatakse koefitsiendiga k = (-a 21 /a 11);
• liidetakse maatriksi esimene muudetud rida ja teine ​​rida;
• teise rea asemel sisestatakse maatriksisse eelmise lõigu liitmise tulemus;
• nüüd on uue teise rea esimene koefitsient a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nüüd tehakse sama teisenduste seeria, kaasatud on ainult esimene ja kolmas rida. Vastavalt sellele asendatakse algoritmi igas etapis element a 21 elemendiga 31. Seejärel korratakse kõike 41, ... m1 jaoks. Tulemuseks on maatriks, kus ridade esimene element on null. Nüüd peate unustama rea ​​number üks ja täitma sama algoritmi, alustades teisest reast:

• koefitsient k = (-a 32 /a 22);
• teine ​​muudetud rida lisatakse praegusele reale;
• liitmise tulemus asendatakse kolmandale, neljandale ja nii edasi reale, kusjuures esimene ja teine ​​jäävad muutumatuks;
• maatriksi ridades on kaks esimest elementi juba võrdsed nulliga.

Algoritmi tuleb korrata seni, kuni ilmub koefitsient k = (-a m,m-1 /a mm). See tähendab, et viimati käivitati algoritm ainult madalama võrrandi jaoks. Nüüd näeb maatriks välja nagu kolmnurk või sellel on astmeline kuju. Alumisel real on võrdus a mn × x n = b m. Koefitsient ja vabaliige on teada ning nende kaudu väljendub juur: x n = b m /a mn. Saadud juur asendatakse ülemisele reale, et leida x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Ja nii edasi analoogia põhjal: igal järgmisel real on uus juur ja süsteemi "ülaossa" jõudes võite leida palju lahendusi. See jääb ainukeseks.

Kui lahendusi pole

Kui ühes maatriksireas on kõik elemendid peale vaba liikme võrdsed nulliga, siis sellele reale vastav võrrand näeb välja 0 = b. Sellel pole lahendust. Ja kuna selline võrrand on süsteemi sees, siis on kogu süsteemi lahenduste hulk tühi, see tähendab, et see on degenereerunud.

Kui lahendusi on lõpmatult palju

Võib juhtuda, et antud kolmnurkmaatriksis pole ühtegi võrrandi ühe koefitsiendielemendi ja ühe vaba liikmega ridu. On ainult read, mis ümberkirjutamisel näeksid välja nagu kahe või enama muutujaga võrrand. See tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Sellisel juhul saab vastuse anda üldlahenduse vormis. Kuidas seda teha?

Kõik maatriksi muutujad on jagatud põhilisteks ja vabadeks. Põhilised on need, mis seisavad astmemaatriksi ridade "serval". Ülejäänud on tasuta. Üldlahenduses kirjutatakse põhimuutujad läbi vabade.

Mugavuse huvides kirjutatakse maatriks kõigepealt tagasi võrrandisüsteemiks. Siis viimases neist, kus täpselt on järel ainult üks põhimuutuja, jääb see ühele poole ja kõik muu kandub teisele. Seda tehakse iga ühe põhimuutuja võrrandi puhul. Seejärel asendatakse ülejäänud võrrandites võimaluse korral põhimuutuja asemel selle jaoks saadud avaldis. Kui tulemuseks on jällegi ainult ühte põhimuutujat sisaldav avaldis, siis väljendatakse seda sealt uuesti ja nii edasi, kuni iga põhimuutuja kirjutatakse vabade muutujatega avaldisena. See on SLAE üldine lahendus.

Võite leida ka süsteemi põhilahenduse - andke vabadele muutujatele mis tahes väärtused ja seejärel arvutage selle konkreetse juhtumi jaoks põhimuutujate väärtused. On võimalik anda lõpmatu arv konkreetseid lahendusi.

Lahendus konkreetsete näidetega

Siin on võrrandisüsteem.

Mugavuse huvides on parem selle maatriks kohe luua

Teatavasti jääb Gaussi meetodil lahendades esimesele reale vastav võrrand teisenduste lõpus muutumatuks. Seetõttu on tulusam, kui maatriksi ülemine vasakpoolne element on väikseim - siis muutuvad ülejäänud ridade esimesed elemendid pärast toiminguid nulliks. See tähendab, et koostatud maatriksis on kasulik panna esimene rida teine.

teine ​​rida: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

kolmas rida: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Nüüd, et mitte segadusse sattuda, tuleb üles kirjutada maatriks teisenduste vahetulemustega.

Ilmselgelt saab sellist maatriksit teatud toimingute abil tajumiseks mugavamaks muuta. Näiteks saate eemaldada kõik "miinused" teiselt realt, korrutades iga elemendi "-1"-ga.

Samuti väärib märkimist, et kolmandal real on kõik elemendid kolmekordsed. Seejärel saate stringi selle numbri võrra lühendada, korrutades iga elemendi "-1/3"-ga (miinus - samal ajal negatiivsete väärtuste eemaldamiseks).

Näeb palju kenam välja. Nüüd peame jätma esimese rea rahule ja töötama teise ja kolmandaga. Ülesanne on lisada kolmas rida kolmandale reale, korrutatuna sellise koefitsiendiga, et element a 32 oleks võrdne nulliga.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (kui mõne teisenduse käigus ei osutu vastus täisarvuks, on soovitatav jätta arvutuste täpsus alles see "nagu on" tavaliste murdude kujul ja alles siis, kui vastused on saadud, otsustage, kas ümardada ja teisendada teisele salvestusvormile)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Maatriks kirjutatakse uuesti uute väärtustega.

Nagu näete, on saadud maatriksil juba astmeline vorm. Seetõttu pole süsteemi täiendavaid teisendusi Gaussi meetodil vaja. Siin saate eemaldada kolmandalt realt üldise koefitsiendi "-1/7".

Nüüd on kõik ilus. Jääb üle kirjutada maatriks uuesti võrrandisüsteemi kujul ja arvutada juured

x + 2a + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

Algoritmi, mille abil juured nüüd leitakse, nimetatakse Gaussi meetodis vastupidiseks liikumiseks. Võrrand (3) sisaldab z väärtust:

y = (24–11 × (61/9))/7 = –65/9

Ja esimene võrrand võimaldab meil leida x:

x = (12 - 4z - 2 a) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Meil on õigus nimetada sellist süsteemi ühenduskohaks ja isegi kindlaks, st ainulaadse lahendusega. Vastus on kirjutatud järgmisel kujul:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Näide ebakindlast süsteemist

Analüüsitud on varianti, kuidas teatud süsteemi lahendada Gaussi meetodil, nüüd tuleb arvestada juhul, kui süsteem on ebakindel ehk sellele võib leida lõpmatult palju lahendusi.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Süsteemi välimus on juba murettekitav, sest tundmatute arv on n = 5 ja süsteemi maatriksi auaste on juba täpselt väiksem kui see arv, kuna ridade arv on m = 4, see tähendab, determinandiruudu suurim järjekord on 4. See tähendab, et lahendeid on lõpmatult palju ja tuleb otsida selle üldilmet. Lineaarvõrrandite Gaussi meetod võimaldab seda teha.

Esiteks, nagu tavaliselt, koostatakse laiendatud maatriks.

Teine rida: koefitsient k = (-a 21 /a 11) = -3. Kolmandal real on esimene element enne teisendusi, nii et te ei pea midagi puudutama, peate jätma selle nii, nagu see on. Neljas rida: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Korrutades esimese rea elemendid kordamööda iga koefitsiendiga ja liites need vajalikele ridadele, saame järgmise kujuga maatriksi:

Nagu näete, koosnevad teine, kolmas ja neljas rida üksteisega proportsionaalsetest elementidest. Teine ja neljas on üldiselt identsed, nii et ühe neist saab kohe eemaldada ja ülejäänud saab korrutada koefitsiendiga "-1" ja saada rea ​​number 3. Ja jälle, kahest identsest reast jätke üks.

Tulemuseks on selline maatriks. Kuigi süsteem pole veel üles kirjutatud, on siin vaja kindlaks määrata põhimuutujad - need, mis seisavad koefitsientide a 11 = 1 ja a 22 = 1 juures ning vabad - kõik ülejäänud.

Teises võrrandis on ainult üks põhimuutuja - x 2. See tähendab, et sealt saab seda väljendada, kirjutades selle läbi muutujate x 3 , x 4 , x 5 , mis on vabad.

Asendame saadud avaldise esimese võrrandiga.

Tulemuseks on võrrand, milles ainus põhimuutuja on x 1 . Teeme sellega sama, mis x 2-ga.

Kõik põhimuutujad, mida on kaks, on väljendatud kolme vabana, nüüd saame vastuse kirjutada üldkujul.

Samuti saate määrata ühe süsteemi konkreetsetest lahendustest. Sellistel juhtudel valitakse vabade muutujate väärtusteks tavaliselt nullid. Siis on vastus järgmine:

16, 23, 0, 0, 0.

Näide mittekoostöötavast süsteemist

Ühildumatute võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodi abil on kiireim. See lõpeb kohe, kui ühes etapis saadakse võrrand, millel pole lahendust. See tähendab, et juurte arvutamise etapp, mis on üsna pikk ja tüütu, jääb ära. Arvesse võetakse järgmist süsteemi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Nagu tavaliselt, koostatakse maatriks:

Ja see taandatakse astmelisele kujule:

k 1 = -2k 2 = -4

Pärast esimest teisendust sisaldab kolmas rida vormi võrrandit

ilma lahenduseta. Järelikult on süsteem ebajärjekindel ja vastuseks on tühi komplekt.

Meetodi eelised ja puudused

Kui valite, millise meetodi SLAE-de lahendamiseks paberil pliiatsiga lahendada, tundub selles artiklis käsitletud meetod kõige atraktiivsem. Elementaarteisendustes on palju keerulisem segadusse sattuda kui siis, kui peate käsitsi otsima determinanti või mõnda keerulist pöördmaatriksit. Kui aga kasutate seda tüüpi andmetega töötamiseks programme, näiteks tabeleid, siis selgub, et sellised programmid sisaldavad juba algoritme maatriksite põhiparameetrite - determinant, minoorsed, pöördväärtused jne - arvutamiseks. Ja kui olete kindel, et masin arvutab need väärtused ise välja ega tee vigu, on soovitatavam kasutada maatriksmeetodit või Crameri valemeid, kuna nende rakendamine algab ja lõpeb determinantide ja pöördmaatriksite arvutamisega. .

Rakendus

Kuna Gaussi lahendus on algoritm ja maatriks on tegelikult kahemõõtmeline massiiv, saab seda kasutada programmeerimisel. Kuid kuna artikkel positsioneerib end juhendina "mannekeenidele", siis tuleb öelda, et lihtsaim koht meetodi paigutamiseks on arvutustabelid, näiteks Excel. Jällegi käsitleb Excel iga maatriksi kujul tabelisse sisestatud SLAE-d kahemõõtmelise massiivina. Ja nendega tehte jaoks on palju toredaid käske: liitmine (lisada saab ainult ühesuurused maatriksid!), arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine (ka teatud piirangutega), pöörd- ja transponeeritud maatriksite leidmine ja mis kõige tähtsam. , determinandi arvutamine. Kui see aeganõudev ülesanne asendada ühe käsuga, on võimalik palju kiiremini määrata maatriksi auaste ja seega tuvastada selle ühilduvus või mitteühilduvus.