Joontega piiratud joonise maht online-kalkulaator. Õppetund "Pöördekehade ruumalade arvutamine kindla integraali abil

Tunni tüüp: kombineeritud.

Tunni eesmärk:õppida arvutama pöördekehade ruumalasid integraalide abil.

Ülesanded:

• kinnistada oskust valida mitmete geomeetriliste kujundite hulgast kõverjoonelisi trapetse ja arendada kõverjooneliste trapetside pindalade arvutamise oskust;
• tutvuda ruumilise kujundi mõistega;
• õppida arvutama pöördekehade ruumalasid;
• soodustada loogilise mõtlemise, pädeva matemaatilise kõne arengut, jooniste konstrueerimise täpsust;
• kasvatada huvi aine vastu, opereerida matemaatiliste mõistete ja kujunditega, kasvatada tahet, iseseisvust, visadust lõpptulemuse saavutamisel.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

Rühma tervitus. Õpilastele tunni eesmärkidest teavitamine.

Peegeldus. Rahulik meloodia.

Tahaksin tänast õppetundi alustada tähendamissõnaga. “Oli üks tark mees, kes teadis kõike. Üks inimene tahtis tõestada, et tark ei tea kõike. Liblikat kätes hoides küsis ta: "Ütle mulle, salvei, milline liblikas on minu käes: surnud või elus?" Ja ta ise mõtleb: "Kui elav ütleb, siis ma tapan ta, kui surnu ütleb, lasen ta välja." Mõeldes tark vastas: "Kõik teie kätes". (Esitlus.Libisema)

- Seetõttu töötagem täna viljakalt, omandagem uus teadmistepagas ning rakendame omandatud oskusi ja vilumusi edasises elus ja praktilises tegevuses. "Kõik teie kätes".

II. Varem õpitud materjali kordamine.

Vaatame üle eelnevalt uuritud materjali põhipunktid. Selleks täidame ülesande "Eemalda üleliigne sõna."(Libisema.)

(Õpilane läheb I.D.-sse kustutuskummi abil ja eemaldab lisasõna.)

- Õigesti "Diferentsiaal". Proovige nimetada ülejäänud sõnad ühe ühise sõnaga. (Integraalarvutus.)

- Meenutagem integraalarvutusega seotud põhietappe ja mõisteid.

"Matemaatiline kamp".

Harjutus. Taasta pääsmed. (Õpilane tuleb välja ja kirjutab pastapliiatsiga vajalikud sõnad.)

- Integraalide rakendamise aruannet kuuleme hiljem.

Töö vihikutes.

– Newtoni-Leibnizi valemi töötasid välja inglise füüsik Isaac Newton (1643–1727) ja saksa filosoof Gottfried Leibniz (1646–1716). Ja see pole üllatav, sest matemaatika on keel, mida loodus ise räägib.

– Mõelge, kuidas seda valemit kasutatakse praktiliste ülesannete lahendamisel.

Näide 1: Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Lahendus: Koostame koordinaattasandile funktsioonide graafikud . Valige leitava kujundi ala.

III. Uue materjali õppimine.

- Pöörake tähelepanu ekraanile. Mis on esimesel pildil näidatud? (Libisema) (Joonisel on lame kujund.)

Mis on teisel pildil näidatud? Kas see kuju on tasane? (Libisema) (Joonis näitab kolmemõõtmelist joonist.)

- Kosmoses, maa peal ja igapäevaelus kohtame mitte ainult lamedate, vaid ka kolmemõõtmeliste kujunditega, kuid kuidas arvutada selliste kehade ruumala? Näiteks planeedi, komeedi, meteoriidi vms maht.

– Mõelge mahule ja majade ehitamisele ning vee ühest anumast teise valamisele. Oleksid pidanud tekkima reeglid ja meetodid mahtude arvutamiseks, teine ​​asi on see, kui täpsed ja põhjendatud need olid.

Tudengisõnum. (Tyurina Vera.)

1612. aasta oli Austria linna Linzi, kus elas tollane kuulus astronoom Johannes Kepler, elanikele eriti viinamarjade osas väga viljakas. Inimesed valmistasid veinivaate ja tahtsid teada, kuidas nende mahtu praktiliselt määrata. (Slaid 2)

- Seega tähistasid Kepleri vaadeldavad tööd terve uurimistöö voo algust, mis kulmineerus 17. sajandi viimasel veerandil. disain I. Newtoni ja G.V. Leibnizi diferentsiaal- ja integraalarvutus. Sellest ajast alates on suurusmuutujate matemaatika võtnud matemaatiliste teadmiste süsteemis juhtiva koha.

- Nii et täna tegeleme selliste praktiliste tegevustega, seetõttu

Meie tunni teema: "Pöördekehade mahtude arvutamine kindla integraali abil." (Libisema)

- Saate teada revolutsiooni keha määratluse, täites järgmise ülesande.

"Labürint".

Labürint (kreeka sõna) tähendab läbipääsu vangikongi. Labürint on keeruline radade, käikude, ruumide võrgustik, mis omavahel suhtlevad.

Kuid määratlus "jooks kokku", vihjeid oli noolte kujul.

Harjutus. Leidke segasest olukorrast väljapääs ja kirjutage definitsioon üles.

Libisema. “Juhendkaart” Mahtude arvutamine.

Kindla integraali abil saate arvutada keha, eriti pöördekeha ruumala.

Pöördekeha on keha, mis saadakse kõverjoonelise trapetsi pööramisel ümber oma aluse (joon. 1, 2).

Pöördekeha ruumala arvutatakse ühe valemiga:

1. ümber x-telje.

2. , kui kõverjoonelise trapetsi pöörlemine ümber y-telje.

Iga õpilane saab juhendamiskaardi. Õpetaja toob välja peamised punktid.

Õpetaja selgitab tahvlil olevate näidete lahendust.

Mõelge katkendile A. S. Puškini kuulsast muinasjutust "Lugu tsaar Saltanist, tema kuulsusrikkast ja võimsast pojast vürst Gvidon Saltanovitšist ja kaunist printsess Lebedist" (4. slaid):

…..
Ja tõi purjus käskjala
Samal päeval on tellimus järgmine:
"Tsaar annab oma bojaaridele käsu,
Ei raiska aega,
Ja kuninganna ja järglased
Salaja vete kuristikku visatud.
Midagi pole teha: bojaarid,
Olles leinanud suverääni
Ja noor kuninganna
Tema magamistuppa tuli rahvas.
Kuulutas kuningliku testamendi -
Tal ja ta pojal on kuri saatus,
Lugege dekreeti ette
Ja kuninganna samal ajal
Nad panid mind koos pojaga tünni,
Palvetas, veeretas
Ja nad lasid mind okianisse -
Nii käskis tsaar Saltan.

Kui suur peaks olema tünni maht, et kuninganna ja tema poeg sinna ära mahuksid?

– Kaaluge järgmisi ülesandeid

1. Leidke joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi y-telje ümber pööramisel saadud keha ruumala: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Vastus: 1163 cm 3 .

Leidke keha ruumala, mis on saadud paraboolse trapetsi pööramisel ümber abstsissi y = , x = 4, y = 0.

IV. Uue materjali kinnitamine

Näide 2. Arvutage kroonlehe ümber x-telje pöörlemisel tekkinud keha maht y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Joonistame funktsiooni graafikud. y=x2, y2=x. Ajakava y 2 = x teisendada vormile y= .

Meil on V \u003d V 1 - V 2 Arvutame iga funktsiooni helitugevuse

- Vaatame nüüd Moskva raadiojaama torni Shabolovkal, mis on ehitatud imelise vene inseneri, auakadeemiku V. G. Shukhovi projekti järgi. See koosneb osadest - revolutsiooni hüperboloididest. Pealegi on igaüks neist valmistatud sirgjoonelistest metallvarrastest, mis ühendavad külgnevaid ringe (joonis 8, 9).

- Mõelge probleemile.

Leidke hüperbooli kaare pööramisel saadud keha ruumala ümber oma kujuteldava telje, nagu on näidatud joonisel fig. 8, kus

kuubik ühikut

Grupiülesanded. Õpilased loosivad ülesannetega, joonistatakse whatmani paberile, üks rühma esindajatest kaitseb tööd.

1. rühm.

Löö! Löö! Veel üks löök!
Pall lendab väravasse - PALL!
Ja see on arbuusipall
Roheline, ümar, maitsev.
Vaata parem – milline pall!
See koosneb ringidest.
Lõika arbuus ringideks
Ja maitse neid.

Leia keha ruumala, mis on saadud funktsiooni OX-telje ümber pööramisel, mis on piiratud funktsiooniga

Viga! Järjehoidja pole määratletud.

- Ütle mulle, palun, kus me selle kujuga kohtume?

Maja. ülesanne rühmale 1. SILINDER (libisema) .

"Silinder - mis see on?" küsisin isalt.
Isa naeris: Siiber on müts.
Õige ettekujutuse saamiseks
Ütleme, et silinder on plekkpurk.
Auruti toru on silinder,
Toru ka meie katusel,

Kõik torud on sarnased silindriga.
Ja ma tõin sellise näite -
Minu armastatud kaleidoskoop
Sa ei saa temalt silmi ära võtta.
Samuti näeb see välja nagu silinder.

- Harjutus. Kodutöö funktsiooni joonistamiseks ja helitugevuse arvutamiseks.

2. rühm. KOONUS (libisema).

Ema ütles: Ja nüüd
Koonusest jääb minu lugu.
Stargazer kõrge mütsiga
Loeb tähti aastaringselt.
KOONUS - tähevaatleja müts.
Seda ta on. Sai aru? See on kõik.
Ema oli laua taga
Ta valas õli pudelitesse.
- Kus on lehter? Lehter puudub.
Vaata. Ära seisa kõrval.
- Ema, ma ei liigu paigast ära,
Räägi mulle koonusest lähemalt.
- Lehter on kastekannu koonuse kujul.
Tule, otsi mind kiiresti üles.
Ma ei leidnud lehtrit
Aga ema tegi koti,
Mähi papp ümber sõrme
Ja osavalt kirjaklambriga kinnitatud.
Õli kallab, ema on rahul
Koonus tuli täpselt välja.

Harjutus. Arvutage ümber x-telje pööramisel saadud keha ruumala

Maja. ülesanne 2. rühmale. PÜRAMID(libisema).

Ma nägin pilti. Sellel pildil
Liivakõrbes on PÜRAMID.
Kõik püramiidis on erakordne,
Selles on mingi salapära ja salapära.
Spasskaja torn Punasel väljakul
Nii lapsed kui ka täiskasvanud on hästi tuntud.
Vaadake torni - välimuselt tavaline,
Mis tal peal on? Püramiid!

Harjutus. Kodutöö joonistage funktsioon ja arvutage püramiidi ruumala

- Arvutasime erinevate kehade ruumalad kehade ruumalade põhivalemi alusel integraali abil.

See on veel üks kinnitus, et kindel integraal on matemaatika õppimise alus.

"Nüüd puhkame natuke."

Leia paar.

Mängib matemaatiline doominomeloodia.

"Teed, mida ta ise otsis, ei unustata kunagi ..."

Uurimistöö. Integraali rakendamine majanduses ja tehnoloogias.

Testid tugevatele õppijatele ja matemaatika jalgpall.

Matemaatika simulaator.

2. Nimetatakse antud funktsiooni kõigi antiderivaatide hulk

A) määramatu integraal

B) funktsioon,

B) eristamine.

7. Leidke joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi abstsisstelje ümber pööramisel saadud keha ruumala:

D/Z. Arvutage pöördekehade mahud.

Peegeldus.

Peegelduse aktsepteerimine vormis cinquain(viis rida).

1. rida - teema nimi (üks nimisõna).

2. rida - teema lühikirjeldus, kaks omadussõna.

3. rida – selle teema raames toimuva tegevuse kirjeldus kolme sõnaga.

4. rida - neljasõnaline fraas, näitab suhtumist teemasse (terve lause).

5. rida on sünonüüm, mis kordab teema olemust.

1. Helitugevus.
2. Kindel integraal, integreeritav funktsioon.
3. Ehitame, pöörame, arvutame.
4. Keha, mis saadakse kõverjoonelise trapetsi pööramisel (ümber selle aluse).
5. Revolutsiooni keha (3D geomeetriline keha).

Järeldus (libisema).

• Kindel integraal on omamoodi vundament matemaatika õppimiseks, mis annab asendamatu panuse praktilise sisuga probleemide lahendamisel.
• Teema "Integraal" demonstreerib ilmekalt matemaatika ja füüsika, bioloogia, majanduse ja tehnoloogia seost.
• Kaasaegse teaduse areng on mõeldamatu ilma integraali kasutamiseta. Sellega seoses on vaja seda õppima asuda keskerihariduse raames!

Hindamine. (Komentaariga.)

Suur Omar Khayyam on matemaatik, luuletaja ja filosoof. Ta kutsub olema oma saatuse peremees. Kuula katkendit tema teosest:

Ütlete, et see elu on vaid hetk.
Hinda seda, ammuta sellest inspiratsiooni.
Nii nagu kulutad, nii see möödub.
Ärge unustage: ta on teie looming.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala
kasutades kindlat integraali?

Üldiselt on integraalarvutuses palju huvitavaid rakendusi, kindla integraali abil saate arvutada joonise pindala, pöörleva keha ruumala, kaare pikkuse, pöörlemispind ja palju muud. Nii et see saab olema lõbus, palun olge optimistlik!

Kujutage ette mingit lamedat kujundit koordinaattasandil. Esindatud? ... Huvitav, kes mida esitas ... =))) Oleme selle ala juba leidnud. Kuid lisaks saab seda joonist pöörata ja pöörata kahel viisil:

- ümber x-telje;
- ümber y-telje.

Käesolevas artiklis käsitletakse mõlemat juhtumit. Eriti huvitav on teine ​​pööramisviis, see tekitab kõige suuremaid raskusi, kuid tegelikult on lahendus peaaegu sama, mis tavalisemal ümber x-telje pööramisel. Boonusena pöördun tagasi figuuri pindala leidmise probleem, ja öelda, kuidas leida ala teisel viisil – piki telge. Isegi mitte niivõrd boonus, kuivõrd materjal sobib hästi teemasse.

Alustame kõige populaarsema pöörlemisviisiga.

lame kuju ümber telje

Arvutage keha ruumala, mis on saadud joontega piiratud kujundi pööramisel ümber telje.

Lahendus: Nagu piirkonna probleemi puhul, lahendus algab lameda kujundi joonistamisega. See tähendab, et tasapinnal on vaja ehitada joonis, mis on piiratud joontega ,, unustamata seejuures, et võrrand määrab telje . Kuidas joonistust ratsionaalsemalt ja kiiremini teha, leiab lehekülgedelt Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused ja . See on Hiina meeldetuletus ja ma ei peatu siinkohal.

Siinne joonis on üsna lihtne:

Soovitud lame figuur on varjutatud sinisega ja just see pöörleb ümber telje.Pöörlemise tulemusena saadakse selline kergelt munakujuline lendav taldrik, mis on telje suhtes sümmeetriline. Tegelikult on kehal matemaatiline nimi, kuid see on liiga laisk, et teatmeteoses midagi täpsustada, nii et liigume edasi.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala?

Pöördekeha ruumala saab arvutada valemiga:

Valemis peab enne integraali olema arv. Juhtus nii – kõik, mis elus keerleb, on selle konstandiga seotud.

Kuidas seada lõimimise "a" ja "olla" piire, on minu meelest lihtne aimata valminud joonise järgi.

Funktsioon... mis see funktsioon on? Vaatame joonist. Lamedat kujundit piirab ülalt paraboolgraafik. See on funktsioon, mis on valemis ette nähtud.

Praktilistes ülesannetes võib lame kuju mõnikord asuda telje all. See ei muuda midagi – integrand valemis on ruudus: , seega integraal on alati mittenegatiivne, mis on üsna loogiline.

Arvutage pöördekeha maht järgmise valemi abil:

Nagu ma juba märkisin, osutub integraal peaaegu alati lihtsaks, peamine on olla ettevaatlik.

Vastus:

Vastuses on vaja märkida mõõde - kuupühikud. See tähendab, et meie pöörlemiskehas on umbes 3,35 "kuubikut". Miks just kuupmeetrine ühikut? Sest kõige universaalsem koostis. Võib olla kuupsentimeetriid, võib olla kuupmeetreid, võib olla kuupkilomeetreid jne, nii palju rohelisi mehikesi teie kujutlusvõime lendava taldriku sisse mahub.

Leia keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber joonise telje, mis on piiratud joontega , ,

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Vaatleme kahte keerulisemat probleemi, millega ka praktikas sageli kokku puututakse.

Arvutage keha ruumala, mis saadakse, pöörates ümber joonise abstsisstelje, mis on piiratud joontega , ja

Lahendus: joonistage joonisele lame kujund, mis on piiratud joontega , , , , unustamata seejuures, et võrrand määrab telje:

Soovitud kujund on varjutatud sinisega. Ümber telje pöörlemisel saadakse selline sürrealistlik nelja nurgaga sõõrik.

Pöördekeha ruumala arvutatakse järgmiselt kehamahu erinevus.

Kõigepealt vaatame joonist, mis on punasega ümbritsetud. Kui see pöörleb ümber telje, saadakse kärbitud koonus. Tähistame selle kärbikoonuse mahtu kui .

Mõelge figuurile, mis on roheliselt ümbritsetud. Kui pöörate seda kujundit ümber telje, saate ka kärbitud koonuse, ainult veidi väiksema. Tähistame selle helitugevust .

Ja ilmselgelt on mahtude erinevus täpselt meie "sõõriku" mahuga.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame standardvalemit:

1) Punase ringiga joonistatud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

2) Rohelise ringiga joonistatud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

3) Soovitud pöörete keha maht:

Vastus:

On uudishimulik, et sel juhul saab lahendust kontrollida kärbikoonuse ruumala arvutamise kooli valemi abil.

Otsus ise tehakse sageli lühemaks, umbes nii:

Nüüd teeme pausi ja räägime geomeetrilistest illusioonidest.

Tihti on inimestel köidetega seotud illusioone, mida Perelman (teine) raamatus märkas Huvitav geomeetria. Vaadake lahendatud ülesande lamedat joonist - selle pindala tundub olevat väike ja pöördekeha maht on veidi üle 50 kuupühiku, mis tundub liiga suur. Muide, keskmine inimene joob kogu oma elu jooksul vedelikku, mille maht on 18 ruutmeetrit, mis, vastupidi, tundub olevat liiga väike.

Pärast lüürilist kõrvalepõiget on lihtsalt sobiv lahendada loominguline ülesanne:

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber telje tasapinnalise kujundi, mis on piiratud joontega , , kus .

See on tee-seda-ise näide. Pange tähele, et kõik asjad juhtuvad bändis ehk teisisõnu on tegelikult ette antud valmis integratsioonilimiidid. Joonistage õigesti trigonomeetriliste funktsioonide graafikud, tuletan teile meelde selle õppetunni materjali graafikute geomeetrilised teisendused: kui argument jagub kahega: , siis venitatakse graafikud piki telge kaks korda. Soovitav on leida vähemalt 3-4 punkti trigonomeetriliste tabelite järgi joonise täpsemaks lõpuleviimiseks. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Muide, ülesannet saab lahendada ratsionaalselt ja mitte väga ratsionaalselt.

Pöörlemisel tekkiva keha ruumala arvutamine
lame kuju ümber telje

Teine lõik on veelgi huvitavam kui esimene. Ka y-telje ümber pöörleva keha ruumala arvutamise ülesanne on testides üsna sage külaline. Möödaminnes võetakse arvesse figuuri pindala leidmise probleem teine ​​viis - integreerimine piki telge, see võimaldab teil mitte ainult parandada oma oskusi, vaid ka õpetada, kuidas leida kõige kasumlikum lahendus. Sellel on ka praktiline tähendus! Nagu mu matemaatika õpetamismeetodite õpetaja naeratades meenutas, tänasid paljud lõpetajad teda sõnadega: "Teie aine aitas meid palju, nüüd oleme tõhusad juhid ja juhime oma personali optimaalselt." Seda võimalust kasutades avaldan talle ka suurt tänu, seda enam, et kasutan omandatud teadmisi sihtotstarbeliselt =).

Soovitan seda lugeda kõigil, isegi täielikel mannekeenidel. Pealegi on teise lõigu assimileeritud materjal hindamatu abi topeltintegraalide arvutamisel.

Arvestades tasapinnalist joonist, mis on piiratud joontega , , .

1) Leidke nende joontega piiratud lameda kujundi pindala.
2) Leidke keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

Tähelepanu! Isegi kui soovite lugeda ainult teist lõiku, lugege kindlasti esimene!

Lahendus: Ülesanne koosneb kahest osast. Alustame ruudust.

1) Teostame joonise:

On lihtne näha, et funktsioon määratleb parabooli ülemise haru ja funktsioon määrab parabooli alumise haru. Meie ees on triviaalne parabool, mis "lebab külili".

Soovitud kujund, mille pindala tuleb leida, on varjutatud sinisega.

Kuidas leida figuuri pindala? Seda võib leida "tavalisel" viisil, mida tunnis käsitleti. Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala. Veelgi enam, joonise pindala leitakse pindalade summana:
- segmendil ;
- segmendil.

Sellepärast:

Mis sel juhul tavapärasel lahendusel viga on? Esiteks on kaks integraali. Teiseks, juured integraalide all ja juured integraalides ei ole kingitus, pealegi võib integratsiooni piiride asendamisel segadusse sattuda. Tegelikult pole integraalid muidugi surmavad, kuid praktikas on kõik palju kurvem, valisin ülesande jaoks lihtsalt “paremad” funktsioonid.

On olemas ratsionaalsem lahendus: see seisneb üleminekus pöördfunktsioonidele ja integreerimises piki telge.

Kuidas minna üle pöördfunktsioonidele? Jämedalt öeldes peate väljendama "x" kuni "y". Esiteks tegeleme parabooliga:

Sellest piisab, aga vaatame, et sama funktsiooni saaks tuletada ka alumisest harust:

Sirge joonega on kõik lihtsam:

Nüüd vaadake telge: palun kallutage oma pead perioodiliselt 90 kraadi paremale, kui selgitate (see pole nali!). Vajalik joonis asub segmendil, mida tähistab punane punktiirjoon. Veelgi enam, segmendil asub sirgjoon parabooli kohal, mis tähendab, et joonise pindala tuleks leida teile juba tuttava valemi abil: . Mis on valemis muutunud? Ainult kiri ja ei midagi enamat.

! Märge: Integratsioonipiirangud piki telge tuleks määrata rangelt alt üles!

Piirkonna leidmine:

Seetõttu segmendis:

Pöörake tähelepanu sellele, kuidas ma lõimimise läbi viisin, see on kõige ratsionaalsem viis ja ülesande järgmises lõigus selgub, miks.

Lugejatele, kes kahtlevad integreerimise õigsuses, leian tuletised:

Saadakse algne integrand, mis tähendab, et integreerimine toimub õigesti.

Vastus:

2) Arvutage selle kujundi ümber telje pöörlemisel tekkiva keha ruumala.

Joonistan joonise veidi teistsuguse kujundusega:

Niisiis, sinisega varjutatud kujund pöörleb ümber telje. Tulemuseks on "hõljuv liblikas", mis pöörleb ümber oma telje.

Pöördekeha ruumala leidmiseks integreerime piki telge. Kõigepealt peame liikuma pöördfunktsioonide juurde. Seda on juba tehtud ja üksikasjalikult kirjeldatud eelmises lõigus.

Nüüd kallutame pea uuesti paremale ja uurime oma figuuri. Ilmselt tuleks mahtude vahena leida pöördekeha ruumala.

Pöörame punase ringiga figuuri ümber telje, mille tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistame seda mahtu tähisega.

Pöörame rohelise ringiga figuuri ümber telje ja tähistame seda saadud pöördekeha ruumala kaudu.

Meie liblika maht võrdub mahtude erinevusega.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame valemit:

Kuidas see erineb eelmise lõigu valemist? Ainult kirjades.

Ja siin on integratsiooni eelis, millest ma mõni aeg tagasi rääkisin, seda on palju lihtsam leida kui integrandi esialgselt 4. astmele tõsta.

Vastus:

Pange tähele, et kui sama lamedat kujundit pöörata ümber telje, tekib täiesti erinev pöördekeha, loomulikult erineva helitugevusega.

Arvestades tasapinnalist joonist, mis on piiratud joonte ja teljega.

1) Minge pöördfunktsioonide juurde ja leidke nende joontega piiratud lameda kujundi pindala, integreerides muutujaga .
2) Arvutage keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

See on tee-seda-ise näide. Soovijad leiavad ka figuuri pindala "tavapärasel" viisil, täites sellega punkti 1 testi). Aga kui, kordan, keerate lamedat kujundit ümber telje, siis saate hoopis teistsuguse erineva helitugevusega pöörlemiskeha, muide, õige vastuse (ka neile, kellele meeldib lahendada).

Ülesande kahe pakutud punkti terviklahendus õppetunni lõpus.

Oh, ja ärge unustage pöörata pead paremale, et mõista pöörlemiskehi ja integratsiooni piires!

Tahtsin, see oli juba, artiklit lõpetada, kuid täna tõid nad huvitava näite just y-telje ümber pöörleva keha mahu leidmiseks. Värske:

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber joonise telje, mida piiravad kõverad ja .

Lahendus: Teeme joonise:

Teel tutvume veel mõnede funktsioonide graafikutega. Selline huvitav paarisfunktsiooni graafik ....

I. Revolutsiooni kehade mahud. Eeluurida XII peatükki, p°p° 197, 198, vastavalt G. M. Fikhtengol'tsi õpikule* Analüüsige üksikasjalikult p° 198 toodud näiteid.

508. Arvutage ellipsi pöörlemisel ümber x-telje tekkiva keha ruumala.

Sellel viisil,

530. Leidke sinusoidi kaare y \u003d sin x pöörlemisel ümber telje Ox tekkinud pinna pindala punktist X \u003d 0 punkti X \u003d It.

531. Arvutage koonuse pindala kõrgusega h ja raadiusega r.

532. Arvuta pindala, mille moodustab

astroidi pöörlemine x3 -) - y* - a3 ümber x-telje.

533. Arvutage pinna pindala, mis moodustub kõvera 18 y-x(6-x)r kontuuri ümberpööramisel x-telje ümber.

534. Leidke ringjoone X2 - j - (y-3)2 = 4 ümber x-telje pöörlemisel tekkiva toruse pind.

535. Arvutage ringi pöörlemisel tekkiva pinna pindala X = kulu, y = asint ümber Ox-telje.

536. Arvutage pinna pindala, mis moodustub kõvera x = 9t2, y = St - 9t3 silmuse pöörlemisel ümber telje Ox.

537. Leidke kõvera kaare pöörlemisel tekkiva pinna pindala x = e * sint, y = el maksumus ümber telje Ox

t = 0 kuni t = -.

538. Näidake, et pind, mis tekib tsükloidi x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) kaare pöörlemisel ümber telje Oy, on võrdne 16 u2 o2.

539. Leia pind, mis saadakse kardioidi pööramisel ümber polaartelje.

540. Leidke lemniskaadi pöörlemisel tekkiva pinna pindala ümber polaartelje.

IV peatüki lisaülesanded

Tasapinnaliste kujundite alad

541. Leidke kõveraga piiratud piirkonna kogu pindala Ja telg Oh.

542. Leidke kõveraga piiratud piirkonna pindala

Ja telg Oh.

543. Leidke piirkonna pindala osa, mis asub esimeses kvadrandis ja on piiratud kõveraga

l koordinaatteljed.

544. Leidke sees oleva ala pindala

silmused:

545. Leidke kõvera ühe ahelaga piiratud ala:

546. Leidke tsükli sees oleva ala pindala:

547. Leidke kõveraga piiratud piirkonna pindala

Ja telg Oh.

548. Leidke kõveraga piiratud piirkonna pindala

Ja telg Oh.

549. Leidke Oxr-teljega piiratud piirkonna pindala

sirge ja kõver

Olgu T pöörete keha, mis moodustub pöördel ümber abstsisstelje kõverjoonelise trapetsi, mis asub ülemisel pooltasandil ja on piiratud abstsisstelje, sirgjoonte x=a ja x=b ning pideva funktsiooni y graafikuga =f(x) .

Tõestame, et see pöörde keha on kuubitatav ja selle ruumala väljendatakse valemiga

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Esiteks tõestame, et see pöörete keha on korrapärane, kui võtta \Pi-ks tasapind Oyz, mis on risti pöördeteljega. Pange tähele, et tasapinnast Oyz kaugusel x asuv lõik on ring raadiusega f(x) ja selle pindala S(x) on \pi f^2(x) (joonis 46). Seetõttu on funktsioon S(x) pidev tänu f(x) järjepidevusele. Järgmiseks, kui S(x_1)\leqslant S(x_2), siis see tähendab, et . Kuid lõikude projektsioonid tasapinnale Oyz on ringid raadiusega f(x_1) ja f(x_2), mille keskpunkt on O , ja alates f(x_1)\leqslant f(x_2) sellest järeldub, et ring raadiusega f(x_1) sisaldub raadiusega f(x_2) .

Seega on pöörlemiskeha korrapärane. Seetõttu on see kuubitav ja selle maht arvutatakse valemiga

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kui kõverjoonelist trapetsi piiraksid nii alt kui ka ülalt kõverad y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , siis

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Valemit (3) saab kasutada ka pöördekeha ruumala arvutamiseks juhul, kui pöörleva kujundi piir on antud parameetriliste võrranditega. Sel juhul tuleb kasutada muutuja muutust kindla integraalimärgi all.

Mõnel juhul osutub mugavaks pöördekehade lagundamine mitte sirgeteks ümmargusteks silindriteks, vaid teist tüüpi kujunditeks.

Näiteks leiame kõverjoonelise trapetsi ümber y-telje pööramisel saadud keha ruumala. Kõigepealt leiame ruumala, mis saadakse y# kõrgusega ristküliku pööramisel, mille põhjas asub segment . See maht on võrdne kahe sirge ümmarguse silindri ruumalade vahega

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Kuid nüüd on selge, et soovitud helitugevust hinnatakse ülalt ja alt järgmiselt:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Sellest tuleneb see kergesti y-telje ümber pöörleva keha ruumala valem:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Näide 4 Leidke kuuli ruumala raadiusega R.

Lahendus.Üldisust kaotamata käsitleme raadiusega R ringi, mille keskpunkt on lähtepunktis. See ring, mis pöörleb ümber Härg-telje, moodustab palli. Ringvõrrand on x^2+y^2=R^2, seega y^2=R^2-x^2 . Arvestades ringi sümmeetriat y-telje ümber, leiame kõigepealt poole soovitud mahust

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Seetõttu on kogu sfääri maht \frac(4)(3)\pi R^3.

Näide 5 Arvutage koonuse ruumala, mille kõrgus on h ja aluse raadius on r.

Lahendus. Valime koordinaatsüsteemi nii, et Ox-telg langeb kokku kõrgusega h (joonis 47), ja lähtepunktiks võtame koonuse tipu. Siis saab sirge OA võrrandi kirjutada kujul y=\frac(r)(h)\,x .

Kasutades valemit (3), saame:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Näide 6 Leidke astroidi abstsisstelje ümber pööramisel saadud keha ruumala \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(joonis 48).

Lahendus. Ehitame astroidi. Vaatleme poolt astroidi ülemisest osast, mis asub sümmeetriliselt y-telje ümber. Kasutades valemit (3) ja muutes muutujat kindla integraalimärgi all, leiame uue muutuja t integreerimispiirid.

Kui x=a\cos^3t=0 , siis t=\frac(\pi)(2) , ja kui x=a\cos^3t=a , siis t=0 . Arvestades, et y^2=a^2\sin^6t ja dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, saame:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Astroidi pöörlemisel moodustunud kogu keha maht on \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Näide 7 Leia keha ruumala, mis saadakse abstsisstelje ja tsükloidi esimese kaarega piiratud kõverjoonelise trapetsi ordinaattelje ümber pööramisel \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(juhtumid).

Lahendus. Kasutame valemit (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, ja asendada integraalimärgi all olev muutuja, võttes arvesse, et tsükloidi esimene kaar tekib muutuja t muutumisel 0-st 2\pi . Sellel viisil,

\begin(joondatud)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(joondatud)

Integraalide kasutamine revolutsiooni tahkete ainete mahtude leidmiseks

Matemaatika praktiline kasulikkus tuleneb sellest, et ilma

spetsiifilised matemaatilised teadmised raskendavad seadme põhimõtete ja kaasaegse tehnoloogia kasutamise mõistmist. Iga inimene peab oma elus tegema üsna keerukaid arvutusi, kasutama üldkasutatavaid seadmeid, leidma teatmeteostest vajalikud valemid ja koostama lihtsaid algoritme probleemide lahendamiseks. Kaasaegses ühiskonnas seostatakse üha enam kõrget haridustaset nõudvaid erialasid matemaatika vahetu rakendamisega. Seega muutub matemaatika koolilapse jaoks erialaselt oluliseks õppeaineks. Algoritmilise mõtlemise kujundamisel on juhtiv roll matemaatikal, see kasvatab oskust tegutseda etteantud algoritmi järgi ja kavandada uusi algoritme.

Õppides integraali kasutamise teemat pöördekehade mahtude arvutamiseks, soovitan valikklassi õpilastel kaaluda teemat: "Pöördekehade mahud integraalide abil". Siin on mõned juhised selle teema käsitlemiseks:

1. Lameda kujundi pindala.

Algebra käigust teame, et praktilised probleemid viisid kindla integraali kontseptsiooni..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Et leida pöördekeha ruumala, mis moodustub kõverjoonelise trapetsi pöörlemisel ümber Ox-telje, mis on piiratud katkendjoonega y=f(x), Ox-telje, sirgjoontega x=a ja x=b, arvutame valemi järgi

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Silindri maht.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Koonus saadakse täisnurkse kolmnurga ABC(C=90) pööramisel ümber härja telje, millel jalg AC asub.

Segment AB asub real y=kx+c, kus https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Olgu a=0, b=H (H on koonuse kõrgus), siis Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Tüvikoonuse ruumala.

Tüvikoonuse saab saada ristkülikukujulise trapetsi ABCD (CDOx) pööramisel ümber Ox-telje.

Lõik AB asub sirgel y=kx+c, kus , c=r.

Kuna sirge läbib punkti A (0; r).

Seega näeb sirgjoon välja selline: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Olgu a=0, b=H (H on kärbikoonuse kõrgus), seejärel https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Palli helitugevus.

Palli saab, kui keerata ümber x-telje keskpunktiga (0;0) ringi. X-telje kohal asuv poolring on antud võrrandiga

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.