Murdratsionaalsete trigonomeetriliste võrrandite lahendus. Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all peetakse silmas andmeid, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka siis, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Tund ja ettekanne teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arctangenti ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid - võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: Т(kx+m)=a, T- mis tahes trigonomeetriline funktsioon.

Lahenda võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Läheme tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendus:

A) Seekord läheme kohe otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendi kõik juured.

Lahendus:

Lahendame oma võrrandi üldkujul: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Kui k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis .
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabavad nad uuesti.
Kui k=2, x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et me ei taba ka suure k puhul.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mida tähistatakse: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-1 ja t=1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saime lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on järgmine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagame selle cos(x)-ga: Koosinusega on võimatu jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii poleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei võrdu korraga nulliga, saime vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahenda võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtke välja ühine tegur: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kui x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, pidage alati kinni nendest reeglitest!

1. Vaadake, millega võrdub koefitsient a, kui a \u003d 0, siis on meie võrrand kujul cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mille lahendi näide on eelmisel libisema

2. Kui a≠0, siis tuleb mõlemad võrrandi osad jagada ruudukoosinusega, saame:

Muudame muutujat t=tg(x), saame võrrandi:

Lahendage näide #:3

Jagage võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahendage näide #:4

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahendage näide #:5

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahenda võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Pole saladus, et peaaegu iga probleemi lahendamise protsessi edu või ebaõnnestumine sõltub peamiselt antud võrrandi tüübi määramise õigsusest, samuti selle lahendamise kõigi etappide jada reprodutseerimise õigsusest. Trigonomeetriliste võrrandite puhul pole aga sugugi keeruline kindlaks teha, et võrrand on trigonomeetriline. Kuid toimingute jada kindlaksmääramisel, mis peaks meid õige vastuseni viima, võib meil tekkida teatud raskusi. Mõelgem kohe algusest peale välja, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid õigesti lahendada.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks peate proovima täita järgmisi punkte:

• Toome kõik meie võrrandis sisalduvad funktsioonid "samade nurkade alla";
• Antud võrrand on vaja viia "identsete funktsioonide" juurde;
• Me lagundame antud võrrandi vasaku poole teguriteks või muudeks vajalikeks komponentideks.

meetodid

Meetod 1. Sellised võrrandid on vaja lahendada kahes etapis. Esiteks teisendame võrrandi, et saada selle kõige lihtsam (lihtsustatud) kuju. Võrrand: Cosx = a, Sinx = a jms nimetatakse lihtsaimateks trigonomeetrilisteks võrranditeks. Teine samm on saadud lihtsa võrrandi lahendamine. Tuleb märkida, et kõige lihtsamat võrrandit saab lahendada algebralise meetodiga, mis on meile hästi tuntud kooli algebra kursusest. Seda nimetatakse ka asendus- ja muutujaasendusmeetodiks. Reduktsioonivalemite abil tuleb esmalt teisendada, seejärel teha asendus ja seejärel leida juured.

Järgmiseks peate meie võrrandi lammutama võimalikeks teguriteks, selleks peate nihutama kõik terminid vasakule ja seejärel saate lagundada teguriteks. Nüüd peate selle võrrandi viima homogeenseks, milles kõik liikmed on võrdsed ning koosinusel ja siinusel on sama nurk.

Enne trigonomeetriliste võrrandite lahendamist peate selle tingimused üle kandma vasakule poole, võttes need paremalt küljelt, ja seejärel võtame sulgudes välja kõik ühisnimetajad. Võrdsustame oma sulud ja tegurid nulliga. Meie võrdsustatud sulud on vähendatud astmega homogeenne võrrand, mis jagatakse sin(cos)-ga kõrgeima astmeni. Nüüd lahendame algebralise võrrandi, mis saadi tan suhtes.

2. meetod. Teine meetod trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks on üleminek poolnurgale. Näiteks lahendame võrrandi: 3sinx-5cosx=7.

Peame minema poolnurka, meie puhul on see: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) Ja pärast seda taandame kõik terminid üheks osaks (mugavuse huvides on parem valida õige) ja jätkame võrrandi lahendamisega.

Vajadusel saate sisestada abinurga. Seda tehakse siis, kui peate asendama täisarvu sin (a) või cos (a) ja märk "a" toimib lihtsalt abinurgana.

toode summaks

Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid summakorrutise abil? Selliste võrrandite lahendamiseks saab kasutada ka meetodit, mida nimetatakse korrutis-summaks teisendamiseks. Sel juhul on vaja kasutada võrrandile vastavaid valemeid.

Näiteks on meil võrrand: 2sinx * sin3x= cos4x

Peame selle probleemi lahendama, teisendades vasaku külje summaks, nimelt:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Kui ülaltoodud meetodid ei sobi ja te ikka ei tea, kuidas lahendada lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, võite kasutada teist meetodit - universaalset asendamist. Selle abil saate avaldist teisendada ja asendada. Näiteks: Cos(x/2)=u. Nüüd saame võrrandi lahendada antud parameetriga u. Ja pärast soovitud tulemuse saamist ärge unustage seda väärtust vastupidiseks tõlkida.

Paljudel "kogenud" õpilastel soovitatakse võrrandite lahendamiseks pöörduda Internetis inimeste poole. Kuidas trigonomeetrilist võrrandit Internetis lahendada, küsite. Internetis probleemi lahendamiseks võite pöörduda vastavate teemade foorumitesse, kus teid aidatakse nõuga või probleemi lahendamisel. Aga kõige parem on proovida ise hakkama saada.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskused ja oskused on väga olulised ja kasulikud. Nende arendamine nõuab teilt palju pingutusi. Selliste võrrandite lahendamisega on seotud palju probleeme füüsikas, stereomeetrias jne. Ja selliste probleemide lahendamise protsess eeldab oskuste ja teadmiste olemasolu, mida saab trigonomeetria elemente uurides omandada.

Õppige trigonomeetrilisi valemeid

Võrrandi lahendamisel võib tekkida vajadus kasutada mis tahes trigonomeetria valemit. Muidugi võite hakata seda oma õpikutest ja petulehtedest otsima. Ja kui need valemid teile pähe panna, ei säästa te mitte ainult oma närve, vaid teete ka oma ülesande palju lihtsamaks, raiskamata aega vajaliku teabe otsimisele. Seega on teil võimalus mõelda läbi kõige ratsionaalsem viis probleemi lahendamiseks.

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.

Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse !!!

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tg x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja me käsitleme nende valemeid edasi.

Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame igaühe jaoks juurvalemid.

1. Võrrand "sin x=a".

„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.

Koos `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Võrrand „cos x=a”.

`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole reaalarvude hulgas lahendeid.

Koos `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes.

3. Võrrand „tg x=a”.

Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Võrrand „ctg x=a”.

Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid

Siinuse puhul:
Koosinuse jaoks:
Tangensi ja kotangensi jaoks:
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid

Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:

• kasutades selle teisendamiseks kõige lihtsamaks;
• lahendage saadud lihtne võrrand, kasutades ülaltoodud juurte ja tabelite valemeid.

Vaatleme näidete abil peamisi lahendusviise.

algebraline meetod.

Selle meetodi puhul toimub muutuja asendamine ja selle asendamine võrdsusega.

Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",

leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoriseerimine.

Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.

Lahendus. Liigutage kõik võrdsuse tingimused vasakule: "sin x+cos x-1=0". Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Taandamine homogeenseks võrrandiks

Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi viima ühele kahest vormist:

`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).

Seejärel jagage mõlemad osad esimesel juhul ühikuga "cos x \ne 0" ja teise puhul "cos^2 x \ne 0". `tg x` jaoks saame võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb lahendada tuntud meetoditega.

Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagades selle vasaku ja parema osa `cos^2 x \ne 0`ga, saame:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

"tg^2 x+tg x - 2=0". Tutvustame asendust `tg x=t`, mille tulemusena `t^2 + t - 2=0`. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.

Minge poolnurka

Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Lahendus. Topeltnurga valemeid rakendades on tulemus: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.

Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Abinurga sissejuhatus

Trigonomeetrilises võrrandis `a sin x + b cos x =c`, kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagame mõlemad osad `sqrt (a^2+b^2)-ga:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt on nende ruutude summa 1 ja moodul maksimaalselt 1. Tähistame need järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , siis:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vaatame lähemalt järgmist näidet:

Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.

Lahendus. Jagades võrrandi mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)`ga, saame:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.

Tähistage "3/5 = cos \varphi" , "4/5 = sin \varphi". Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:

`sin(x+\varphi)=2/5',

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid

Need on murdudega võrdsused, mille lugejates ja nimetajates on trigonomeetrilised funktsioonid.

Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Lahendus. Korrutage ja jagage võrrandi parem pool arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Arvestades, et nimetaja ei saa olla null, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Võrdsusta murru lugeja nulliga: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Seejärel „sin x=0” või „1-sin x=0”.

1. „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
2. „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.

Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.

Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppetöö algab 10. klassist, eksamil on alati ülesanded, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need tulevad teile kindlasti kasuks!

Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata järeldada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.