1 ja 2 ovat upeita ratkaisurajoja. Ensimmäinen merkittävä raja: teoria ja esimerkit

On olemassa useita upeita rajoja, mutta tunnetuimmat ovat ensimmäinen ja toinen ihana raja. Merkittävää näissä rajoissa on, että niitä käytetään laajalti ja niitä voidaan käyttää muiden lukuisten ongelmien löytämiseen. Tätä teemme tämän oppitunnin käytännön osassa. Ongelmien ratkaisemiseksi laskemalla ensimmäiseen tai toiseen merkittävään rajaan ei ole tarpeen paljastaa niihin sisältyviä epävarmuustekijöitä, koska suuret matemaatikot ovat jo pitkään päättäneet näiden rajojen arvot.

Ensimmäinen merkittävä raja jota kutsutaan äärettömän pienen kaaren sinin suhteen rajaksi samaan kaareen, ilmaistuna radiaanimittana:

Jatketaan ongelmien ratkaisemista ensimmäisellä merkittävällä rajalla. Huomaa: jos trigonometrinen funktio on rajamerkin alla, tämä on lähes varma merkki siitä, että tämä lauseke voidaan vähentää ensimmäiseen merkittävään rajaan.

Esimerkki 1 Löydä raja.

Ratkaisu. Korvaus sen sijaan x nolla johtaa epävarmuuteen:

Nimittäjä on sini, joten lauseke voidaan vähentää ensimmäiseen merkittävään rajaan. Aloitetaan muunnos:

Nimittäjässä - kolmen x:n sini, ja osoittajassa on vain yksi x, mikä tarkoittaa, että sinun on saatava kolme x:ää osoittajaan. Minkä vuoksi? Esitellä 3 x = a ja saada ilmaisu.

Ja tulemme ensimmäisen merkittävän rajan muunnelmaan:

koska sillä ei ole väliä mikä kirjain (muuttuja) tässä kaavassa on x:n sijaan.

Kerromme x kolmella ja jaamme heti:

Mainitun ensimmäisen merkittävän rajan mukaisesti korvaamme murtolausekkeen:

Nyt voimme vihdoin ratkaista tämän rajan:

Esimerkki 2 Löydä raja.

Ratkaisu. Suora korvaaminen johtaa jälleen "nolla jakaa nollalla" -epävarmuuteen:

Ensimmäisen merkittävän rajan saamiseksi on välttämätöntä, että osoittajan sinimerkin alla oleva x ja nimittäjässä oleva x ovat samalla kertoimella. Olkoon tämä kerroin yhtä suuri kuin 2. Kuvittele tätä varten nykyinen kerroin kohdassa x, kuten alla, suorittamalla toimia murtoluvuilla, saamme:

Esimerkki 3 Löydä raja.

Ratkaisu. Korvattaessa saamme jälleen epävarmuuden "nolla jaettuna nollalla":

Luultavasti ymmärrät jo, että alkuperäisestä lausekkeesta saat ensimmäisen ihanan rajan kerrottuna ensimmäisellä upealla rajalla. Tätä varten jaamme osoittajassa olevan x:n ja nimittäjän sinin neliöt samoihin tekijöihin, ja saadaksemme samat kertoimet x:lle ja sinille jaamme osoittajan x:n kolmella ja kerrotaan välittömästi kolmella. Saamme:

Esimerkki 4 Löydä raja.

Ratkaisu. Jälleen saadaan epävarmuus "nolla jaettuna nollalla":

Voimme saada kahden ensimmäisen merkittävän rajan suhteen. Jaamme sekä osoittajan että nimittäjän x:llä. Sitten, jotta kertoimet sinissä ja x:ssä ovat samat, kerrotaan ylempi x 2:lla ja jaetaan välittömästi kahdella ja kerrotaan alempi x 3:lla ja jaetaan välittömästi 3:lla.

Esimerkki 5 Löydä raja.

Ratkaisu. Ja taas "nolla jaettuna nollalla" epävarmuus:

Muistamme trigonometriasta, että tangentti on sinin ja kosinin suhde ja nollan kosini on yhtä kuin yksi. Teemme muunnoksia ja saamme:

Esimerkki 6 Löydä raja.

Ratkaisu. Rajamerkin alla oleva trigonometrinen funktio ehdottaa jälleen ajatusta ensimmäisen merkittävän rajan soveltamisesta. Esitämme sen sinin ja kosinin suhteena.

Yllä olevasta artikkelista saat selville, mikä on raja ja millä sitä syödään - tämä on ERITTÄIN tärkeää. Miksi? Et ehkä ymmärrä mitä determinantit ovat ja ratkaise ne onnistuneesti, et ehkä ymmärrä ollenkaan mitä johdannainen on ja löydä ne "viiden" joukosta. Mutta jos et ymmärrä, mikä raja on, käytännön tehtävien ratkaiseminen on vaikeaa. Ei myöskään ole tarpeetonta tutustua päätösten suunnittelunäytteisiin ja suunnittelusuosituksiini. Kaikki tiedot esitetään yksinkertaisella ja helposti saatavilla olevalla tavalla.

Ja tätä oppituntia varten tarvitsemme seuraavat metodologiset materiaalit: Merkittävät rajat ja Trigonometriset kaavat. Ne löytyvät sivulta. Oppaat on parasta tulostaa - se on paljon kätevämpää, lisäksi niitä on usein käytettävä offline-tilassa.

Mitä ihmeellistä on upeissa rajoissa? Näiden rajojen huomionarvoisuus piilee siinä, että kuuluisien matemaatikoiden suurimmat mielet ovat todistaneet ne, ja kiitollisten jälkeläisten ei tarvitse kärsiä kauheista rajoista trigonometristen funktioiden, logaritmien ja asteiden kasalla. Eli rajoja etsittäessä käytetään valmiita, teoreettisesti todistettuja tuloksia.

On olemassa useita merkittäviä rajoja, mutta käytännössä osa-aikaisilla opiskelijoilla on 95 prosentissa tapauksista kaksi merkittävää rajaa: Ensimmäinen upea raja, Toinen ihana raja. On huomattava, että nämä ovat historiallisesti vakiintuneita nimiä, ja kun he esimerkiksi puhuvat "ensimmäisestä ihanasta rajasta", he tarkoittavat tällä hyvin erityistä asiaa, ei mitään katosta otettua satunnaista rajaa.

Ensimmäinen upea raja

Harkitse seuraavaa rajaa: (Käytän alkuperäisen kirjaimen "hän" sijaan kreikkalaista kirjainta "alfa", tämä on kätevämpää materiaalin esittämisen kannalta).

Rajojen löytämissääntömme mukaan (katso artikkeli Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä) yritämme korvata funktioon nollan: osoittajassa saamme nollan (nollan sini on nolla), nimittäjässä tietysti myös nolla. Edessämme on siis muodon epämääräisyys, jota ei onneksi tarvitse paljastaa. Matemaattisen analyysin aikana osoitetaan, että:

Tätä matemaattista tosiasiaa kutsutaan Ensimmäinen upea raja. En anna analyyttistä todistetta rajasta, mutta pohdimme sen geometrista merkitystä oppitunnilla äärettömän pienet funktiot.

Usein käytännön tehtävissä toiminnot voidaan järjestää eri tavalla, tämä ei muuta mitään:

– sama ensimmäinen ihana raja.

Mutta et voi itse järjestää osoittajaa ja nimittäjää uudelleen! Jos raja on annettu muodossa , niin se on ratkaistava samassa muodossa ilman mitään uudelleenjärjestelyä.

Käytännössä ei vain muuttuja voi toimia parametrina, vaan myös perusfunktio, kompleksifunktio. On vain tärkeää, että se pyrkii nollaan.

Esimerkkejä:
, , ,

Täällä , , , , ja kaikki surina - ensimmäinen upea raja on voimassa.

Ja tässä on seuraava merkintä - harhaoppi:

Miksi? Koska polynomilla ei ole tapana nolla, se pyrkii viiteen.

Kysymys on muuten täytöstä, mutta mikä on raja ? Vastaus löytyy oppitunnin lopusta.

Käytännössä kaikki ei ole niin sujuvaa, tuskin koskaan opiskelijalle tarjotaan ilmaisen rajan ratkaisemista ja helpon hyvityksen saamista. Hmm... kirjoitan näitä rivejä, ja mieleen tuli erittäin tärkeä ajatus - loppujen lopuksi näyttää olevan parempi muistaa "vapaat" matemaattiset määritelmät ja kaavat ulkoa, tästä voi olla korvaamaton apu kokeessa, kun asia ratkaistaan "kahden" ja "kolmen" välillä, ja opettaja päättää kysyä opiskelijalta yksinkertaisen kysymyksen tai tarjota ratkaisun yksinkertaisimpaan esimerkkiin ("ehkä hän (a) tietää vielä mitä?!").

Siirrytään käytännön esimerkkeihin:

Esimerkki 1

Löydä raja

Jos havaitsemme rajassa sinin, tämän pitäisi välittömästi saada meidät ajattelemaan mahdollisuutta soveltaa ensimmäistä merkittävää rajaa.

Ensin yritämme korvata 0:lla rajamerkin alla olevaa lauseketta (teemme tämän henkisesti tai luonnoksessa):

Meillä on siis muodon määrittelemättömyys, sen muista ilmoittaa päätöksenteossa. Rajamerkin alla oleva lauseke näyttää ensimmäiseltä upealta rajalta, mutta tämä ei ole aivan sitä, se on sinin alla, mutta nimittäjässä.

Tällaisissa tapauksissa meidän on järjestettävä ensimmäinen ihana raja itse, käyttämällä keinotekoista laitetta. Päättely voi olla seuraava: "sinin alla, joka meillä on, mikä tarkoittaa, että meidän on päästävä myös nimittäjään".
Ja tämä tehdään hyvin yksinkertaisesti:

Eli nimittäjä kerrotaan keinotekoisesti tässä tapauksessa 7:llä ja jaetaan samalla seitsemällä. Nyt levy on saanut tutun muodon.
Kun tehtävä on piirretty käsin, on suositeltavaa merkitä ensimmäinen ihana raja yksinkertaisella kynällä:

Mitä tapahtui? Itse asiassa ympyröity lauseke on muuttunut yksiköksi ja kadonnut tuotteeseen:

Nyt on vain päästävä eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Joka on unohtanut monikerroksisten murtolukujen yksinkertaistamisen, päivitä lähdekirjan materiaali Kuumat koulumatematiikan kaavat .

Valmis. Lopullinen vastaus:

Jos et halua käyttää kynämerkkejä, ratkaisu voidaan muotoilla seuraavasti:

“

Käytämme ensimmäistä merkittävää rajaa

“

Esimerkki 2

Löydä raja

Jälleen näemme rajassa murto-osan ja sinin. Yritämme korvata nollan osoittajassa ja nimittäjässä:

Meillä on todellakin epävarmuutta, ja siksi meidän on yritettävä järjestää ensimmäinen merkittävä raja. Oppitunnilla Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä harkitsimme sääntöä, että kun meillä on epävarmuus , meidän on jaettava osoittaja ja nimittäjä tekijöiksi. Tässä - sama asia, esittelemme tutkinnot tuotteena (kertoimet):

Kuten edellisessä esimerkissä, hahmottelemme lyijykynällä upeat rajat (tässä niitä on kaksi) ja osoitamme, että ne pyrkivät yhteen:

Itse asiassa vastaus on valmis:

Seuraavissa esimerkeissä en tee taidetta Paintissa, ajattelen kuinka tehdä ratkaisu oikein muistikirjaan - ymmärrät jo.

Esimerkki 3

Löydä raja

Korvaamme nollan lausekkeessa rajamerkin alla:

On saatu epävarmuus, joka pitää paljastaa. Jos rajassa on tangentti, se muunnetaan melkein aina siniksi ja kosiniksi tunnetun trigonometrisen kaavan mukaan (muuten, he tekevät suunnilleen saman kotangentin kanssa, katso metodologinen materiaali Kuumat trigonometriset kaavat Sivulla Matemaattiset kaavat, taulukot ja vertailumateriaalit).

Tässä tapauksessa:

Nollan kosini on yhtä suuri kuin yksi, ja siitä on helppo päästä eroon (älä unohda merkitä, että se pyrkii yhteen):

Jos siis rajassa kosini on KERTOJA, niin karkeasti sanottuna se on muutettava yksiköksi, joka katoaa tuloon.

Täällä kaikki osoittautui yksinkertaisemmiksi, ilman kertomuksia ja jakoja. Ensimmäinen merkittävä raja muuttuu myös yhtenäisyydeksi ja katoaa tuotteeseen:

Tuloksena ääretön saadaan, se tapahtuu.

Esimerkki 4

Löydä raja

Yritämme korvata nollan osoittajassa ja nimittäjässä:

Saatu epävarmuus (nollan kosini, kuten muistamme, on yhtä suuri kuin yksi)

Käytämme trigonometristä kaavaa. Pistä muistiin! Jostain syystä tätä kaavaa käyttävät rajoitukset ovat hyvin yleisiä.

Otamme pois vakiokertoimet rajakuvakkeen yli:

Järjestetään ensimmäinen merkittävä raja:

Tässä meillä on vain yksi ihana raja, joka muuttuu yhdeksi ja katoaa tuotteeseen:

Päästään eroon kolmikerroksisesta:

Raja on itse asiassa ratkaistu, osoitamme, että jäljellä oleva sini pyrkii nollaan:

Esimerkki 5

Löydä raja

Tämä esimerkki on monimutkaisempi, yritä selvittää se itse:

Jotkut rajat voidaan pienentää ensimmäiseen merkittävään rajaan vaihtamalla muuttujaa, voit lukea tästä hieman myöhemmin artikkelista Rajaa ratkaisumenetelmät.

Toinen ihana raja

Matemaattisen analyysin teoriassa on todistettu, että:

Tätä tosiasiaa kutsutaan toinen merkittävä raja.

Viite: on irrationaalinen luku.

Ei vain muuttuja voi toimia parametrina, vaan myös monimutkainen funktio. On vain tärkeää, että se pyrkii äärettömyyteen.

Esimerkki 6

Löydä raja

Kun rajamerkin alla oleva lauseke on vallassa - tämä on ensimmäinen merkki siitä, että sinun on yritettävä soveltaa toista ihanaa rajaa.

Mutta ensin, kuten aina, yritämme korvata lauseeseen äärettömän suuren luvun, minkä periaatteen mukaan tämä tehdään, sitä analysoitiin oppitunnilla Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä.

Se on helppo nähdä milloin asteen kanta ja eksponentti - , eli muodossa on epävarmuus:

Tämä epävarmuus paljastuu juuri toisen merkittävän rajan avulla. Mutta kuten usein tapahtuu, toinen ihana raja ei ole hopeavadilla, ja se on järjestettävä keinotekoisesti. Voit perustella seuraavasti: tässä esimerkissä parametri tarkoittaa, että meidän on myös järjestettävä indikaattorissa. Tätä varten nostamme kantaa potenssiin, ja jotta lauseke ei muutu, nostamme sen potenssiin:

Kun tehtävä on laadittu käsin, merkitsemme lyijykynällä:

Melkein kaikki on valmista, kauheasta tutkinnosta on tullut kaunis kirje:

Samanaikaisesti itse raja-kuvake siirretään indikaattoriin:

Esimerkki 7

Löydä raja

Huomio! Tämän tyyppinen raja on hyvin yleinen, joten tutustu tähän esimerkkiin erittäin huolellisesti.

Yritämme korvata äärettömän suuren luvun lausekkeessa rajamerkin alla:

Tuloksena on epävarmuus. Mutta toinen merkittävä raja koskee muodon epävarmuutta. Mitä tehdä? Sinun on muunnettava tutkinnon perusta. Väittelemme näin: nimittäjässä meillä on , mikä tarkoittaa, että meidän on järjestettävä myös osoittajaan.

Nyt rauhallisin mielin siirrymme harkintaan upeita rajoja.
näyttää .

Muuttujan x sijasta voi esiintyä erilaisia toimintoja, pääasia, että niillä on taipumus olla 0.

Meidän on laskettava raja

Kuten näette, tämä raja on hyvin samanlainen kuin ensimmäinen merkittävä, mutta tämä ei ole täysin totta. Yleensä, jos huomaat synnin rajassa, sinun tulee heti miettiä, onko mahdollista käyttää ensimmäistä merkittävää rajaa.

Sääntömme nro 1 mukaan korvaamme x:n nollalla:

Saamme epävarmuuden.

Yritetään nyt järjestää itsenäisesti ensimmäinen merkittävä raja. Tätä varten teemme yksinkertaisen yhdistelmän:

Joten järjestämme osoittajan ja nimittäjän niin, että 7x erottuu. Tuttu merkittävä raja on jo ilmestynyt. On suositeltavaa korostaa sitä päätettäessä:

Korvaamme ensimmäisen merkittävän esimerkin ratkaisun ja saamme:

Yksinkertaista murtoluku:

Vastaus: 7/3.

Kuten näet, kaikki on hyvin yksinkertaista.

On muoto , jossa e = 2,718281828… on irrationaalinen luku.

Muuttujan x sijasta voi esiintyä erilaisia toimintoja, pääasia, että ne pyrkivät .

Meidän on laskettava raja

Tässä nähdään rajamerkin alla asteen läsnäolo, mikä tarkoittaa, että toista merkittävää rajaa voidaan soveltaa.

Kuten aina, käytämme sääntöä numero 1 - korvike x:n sijaan:

Voidaan nähdä, että x:n asteen kanta on , ja eksponentti on 4x > ts. saamme muodon epävarmuuden:

Käyttäkäämme toista ihmeellistä rajaa paljastamaan epävarmuutemme, mutta ensin meidän on järjestettävä se. Kuten näet, on välttämätöntä saavuttaa läsnäolo indikaattorissa, jonka pohjaa nostetaan 3x potenssiin ja samalla 1/3x tehoon, jotta lauseke ei muutu:

Älä unohda korostaa upeaa rajaamme:

Nämä ovat todella upeita rajoja!
Jos sinulla on kysyttävää aiheesta ensimmäinen ja toinen upea raja kysy heiltä kommenteissa.
Vastaamme kaikille mahdollisimman pian.

Voit myös työskennellä opettajan kanssa tästä aiheesta.
Meillä on ilo tarjota sinulle palveluita pätevän tutorin valitsemisesta kaupungistasi. Yhteistyökumppanimme valitsevat sinulle välittömästi hyvän opettajan sinulle edullisin ehdoin.

Ei tarpeeksi tietoa? - Sinä pystyt !

Voit kirjoittaa matemaattisia laskelmia muistilehtiin. On paljon miellyttävämpää kirjoittaa yksittäisiin muistikirjoihin, joissa on logo (http://www.blocnot.ru).

Ensimmäistä merkittävää rajaa kutsutaan seuraavaksi tasa-arvoksi:

\begin(yhtälö)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Koska arvolla $\alpha\to(0)$ meillä on $\sin\alpha\to(0)$, sanomme, että ensimmäinen merkittävä raja paljastaa muodon $\frac(0)(0)$ määrittämättömyyden. Yleisesti ottaen kaavassa (1) muuttujan $\alpha$ sijaan, sinimerkin alla ja nimittäjässä, mikä tahansa lauseke voi sijaita, kunhan kaksi ehtoa täyttyy:

Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet pyrkivät samanaikaisesti nollaan, ts. on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$.
Lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat.

Usein käytetään myös seurauksia ensimmäisestä merkittävästä rajasta:

\begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Tällä sivulla on ratkaistu yksitoista esimerkkiä. Esimerkki nro 1 on omistettu kaavojen (2)-(4) todistukselle. Esimerkit #2, #3, #4 ja #5 sisältävät ratkaisuja yksityiskohtaisine kommentteineen. Esimerkit 6-10 sisältävät ratkaisuja, joissa on vähän tai ei ollenkaan kommentteja, kuten edellisissä esimerkeissä annettiin yksityiskohtaiset selitykset. Ratkaisussa käytetään joitain trigonometrisiä kaavoja, jotka löytyvät.

Huomaan, että trigonometristen funktioiden läsnäolo yhdistettynä $\frac (0) (0)$ epävarmuuteen ei tarkoita, että ensimmäistä merkittävää rajaa on sovellettava. Joskus yksinkertaiset trigonometriset muunnokset riittävät - katso esimerkiksi.

Esimerkki #1

Todista, että $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Koska $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, niin:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Koska $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ja $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , sitten:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Tehdään korvaus $\alpha=\sin(y)$. Koska $\sin(0)=0$, niin ehdosta $\alpha\to(0)$ meillä on $y\to(0)$. Lisäksi on nollan ympäristö, jossa $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, joten:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

c) Tehdään korvaus $\alpha=\tg(y)$. Koska $\tg(0)=0$, ehdot $\alpha\to(0)$ ja $y\to(0)$ ovat vastaavat. Lisäksi on nollan ympäristö, jossa $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, joten pisteen a) tulosten perusteella meillä on:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

Yhtälöitä a), b), c) käytetään usein yhdessä ensimmäisen merkittävän rajan kanssa.

Esimerkki #2

Laske raja $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Koska $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ja $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ts. ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät samanaikaisesti nollaan, niin tässä on kyse muotoa $\frac(0)(0)$ olevasta epävarmuudesta, ts. suoritettu. Lisäksi voidaan nähdä, että lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat (eli ja täyttyvät):

Joten molemmat sivun alussa luetellut ehdot täyttyvät. Tästä seuraa, että kaava on sovellettavissa, ts. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Vastaus: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esimerkki #3

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))x=0$, kyseessä on muodon $\frac() epävarmuus 0 )(0)$, eli suoritettu. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet eivät kuitenkaan täsmää. Tässä on tarpeen säätää nimittäjässä oleva lauseke haluttuun muotoon. Tarvitsemme lausekkeen $9x$ olevan nimittäjässä - silloin siitä tulee totta. Pohjimmiltaan meiltä puuttuu 9$-tekijä nimittäjästä, jonka syöttäminen ei ole niin vaikeaa, kerro vain nimittäjässä oleva lauseke 9$:lla. Tietenkin, jotta voit kompensoida kertolaskua $9$:lla, sinun on jaettava välittömästi 9$:lla ja jaettava:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Nyt lausekkeet nimittäjässä ja sinimerkin alla ovat samat. Molemmat rajan $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ehdot täyttyvät. Tästä syystä $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ja tämä tarkoittaa, että:

9 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esimerkki #4

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tässä on kyse muodossa $\frac(0)(0)$. Ensimmäisen merkittävän rajan muoto on kuitenkin rikki. Osoittaja, joka sisältää $\sin(5x)$, vaatii $5x$ nimittäjän. Tässä tilanteessa helpoin tapa on jakaa osoittaja $5x$:lla ja kertoa heti $5x$:lla. Lisäksi suoritamme samanlaisen toimenpiteen nimittäjällä kertomalla ja jakamalla $\tg(8x)$ $8x$:lla:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Pienentämällä $x$ ja ottamalla vakio $\frac(5)(8)$ pois rajamerkistä, saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Huomaa, että $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ täyttää täysin ensimmäisen merkittävän rajan vaatimukset. Löytääksesi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ käytetään seuraavaa kaavaa:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esimerkki #5

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (muista, että $\cos(0)=1$) ja $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, niin kyseessä on muodon $\frac(0)(0)$ määrittelemättömyys. Ensimmäisen ihanan rajan soveltamiseksi sinun tulee kuitenkin päästä eroon osoittajassa olevasta kosinista siirtymällä sineihin (kaavan soveltamiseksi) tai tangenteihin (kaavan soveltamiseksi). Voit tehdä tämän seuraavalla muunnolla:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Palataan rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) $$

Murtoluku $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ on jo lähellä muotoa, joka vaaditaan ensimmäiselle merkittävälle rajalle. Työstetään vähän murto-osan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kanssa ja sovitetaan se ensimmäiseen upeaan rajaan (huomaa, että osoittajan ja sinin alla olevien lausekkeiden on vastattava):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Palataan harkittuun rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esimerkki #6

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ja $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, niin käsittelemme epävarmuutta $\frac(0)(0)$. Avataan se ensimmäisen merkittävän rajan avulla. Tätä varten siirrytään kosinuksista sineihin. Koska $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, niin:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Kun ohitetaan annettu raja sineille, meillä on:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\oikea)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esimerkki #7

Laske raja $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ annettu $\alpha\neq\ beta $.

Yksityiskohtaiset selitykset annettiin aiemmin, mutta tässä on vain huomautettava, että $\frac(0)(0)$ on jälleen määrittelemätön. Siirrytään kosineista sineihin kaavan avulla

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Yllä olevaa kaavaa käyttämällä saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\oikea)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\oikea))(x)\oikea)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\oikea))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esimerkki #8

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin(0)=\tg(0)=0$) ja $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, niin tässä on kyse muodon $\frac(0)(0)$ määrittämättömyydestä. Puretaan se näin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\oikea))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\oikea))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\oikea)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\oikea) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esimerkki #9

Etsi raja $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Koska $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ja $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, silloin on määrittämättömyys muodossa $\frac(0)(0)$. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää muuttaa muuttuja siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että muuttuja $\alpha \to 0$ kaavoissa). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=x-3$. Kuitenkin jatkomuunnosten helpottamiseksi (tämä etu näkyy alla olevan ratkaisun aikana) kannattaa tehdä seuraava korvaus: $t=\frac(x-3)(2)$. Huomautan, että molemmat korvaukset ovat sovellettavissa tässä tapauksessa, vain toinen vaihto antaa sinun työskennellä vähemmän murtolukujen kanssa. Alkaen $x\to(3)$, sitten $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\oikea) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esimerkki #10

Etsi raja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Jälleen olemme tekemisissä $\frac(0)(0)$ epävarmuuden kanssa. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää muuttaa muuttuja siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että muuttuja on kaavoissa $\alpha\to(0)$). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=\frac(\pi)(2)-x$. Alkaen $x\to\frac(\pi)(2)$, sitten $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\oikea))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esimerkki #11

Etsi rajat $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Tässä tapauksessa meidän ei tarvitse käyttää ensimmäistä ihanaa rajaa. Huomaa: sekä ensimmäisessä että toisessa rajassa on vain trigonometrisiä funktioita ja numeroita. Usein tällaisissa esimerkeissä on mahdollista yksinkertaistaa rajamerkin alla olevaa lauseketta. Lisäksi mainitun yksinkertaistamisen ja joidenkin tekijöiden vähentämisen jälkeen epävarmuus katoaa. Annoin tämän esimerkin vain yhdellä tarkoituksella: osoittaa, että trigonometristen funktioiden läsnäolo rajamerkin alla ei välttämättä tarkoita ensimmäisen merkittävän rajan soveltamista.

Koska $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (muista, että $\cos\frac(\pi)(2)=0$), silloin on kyse epävarmuudesta muodossa $\frac(0)(0)$. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ollenkaan, että meidän pitäisi käyttää ensimmäistä merkittävää rajaa. Epävarmuuden paljastamiseksi riittää, kun huomioidaan, että $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Vastaava ratkaisu on Demidovichin ratkaisukirjassa (nro 475). Toisen rajan osalta, kuten tämän osan edellisissä esimerkeissä, meillä on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$. Miksi se syntyy? Se syntyy, koska $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ja $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Käytämme näitä arvoja muuttamaan lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä. Toimintamme tarkoitus: kirjoita summa osoittajaan ja nimittäjään tulona. Muuten, usein on kätevää muuttaa muuttuja samanlaisen muodon sisällä niin, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (katso esimerkiksi tällä sivulla olevat esimerkit nro 9 tai nro 10). Tässä esimerkissä ei kuitenkaan ole mitään järkeä vaihtaa muuttujaa, vaikka haluttaessa muuttujan $t=x-\frac(2\pi)(3)$ korvaaminen on helppo toteuttaa.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\oikea )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\oikea))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Kuten näet, meidän ei tarvinnut soveltaa ensimmäistä upeaa rajaa. Tietenkin tämä voidaan tehdä haluttaessa (katso huomautus alla), mutta se ei ole välttämätöntä.

Mikä olisi ratkaisu käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa? näytä piilota

Käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa saamme:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ oikea))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Todiste:

Todistetaan ensin lause jonon tapaukselle

Newtonin binomikaavan mukaan:

Olettaen, että saamme

Tästä yhtälöstä (1) seuraa, että kun n kasvaa, positiivisten termien määrä oikealla puolella kasvaa. Lisäksi kun n kasvaa, määrä pienenee, joten suuret lisääntyä. Siksi sekvenssi kasvaa, kun taas (2)* Osoitetaan, että se on rajoitettu. Korvataan jokainen tasa-arvon oikealla puolella oleva sulku yhdellä, oikea puoli kasvaa, saadaan epäyhtälö

Vahvistamme tuloksena olevaa epäyhtälöä, korvaamme murtolukujen nimittäjissä olevat 3,4,5, ... luvulla 2: Etsimme summan suluista geometrisen progression jäsenten summan kaavalla: Siksi (3)*

Siten sarja on rajoitettu ylhäältä, kun taas epäyhtälöt (2) ja (3) pätevät: Siksi sekvenssi perustuu Weierstrassin lauseeseen (jonon konvergenssin kriteeri) kasvaa monotonisesti ja on rajoitettu, mikä tarkoittaa, että sillä on raja, joka on merkitty kirjaimella e. Nuo.

Tietäen, että toinen merkittävä raja on totta x:n luonnollisille arvoille, todistamme toisen merkittävän rajan todelliselle x:lle, eli todistamme, että . Harkitse kahta tapausta:

1. Olkoon jokainen x-arvo kahden positiivisen kokonaisluvun välissä: , missä on x:n kokonaislukuosa. => =>

Jos , niin Siksi rajan mukaan Meillä on

Rajojen olemassaolon perusteella (välifunktion rajalla).

2. Anna . Tehdään sitten substituutio − x = t

Näistä kahdesta tapauksesta seuraa, että oikealle x:lle.

Seuraukset:

9 .) Infinitesimaalien vertailu. Lause infinitesimaalien korvaamisesta ekvivalenteilla rajassa ja lause infinitesimaalien pääosasta.

Olkoon funktiot a( x) ja b( x) – b.m. klo x ® x 0 .

MÄÄRITELMÄT.

1) a( x) nimeltään äärettömästi korkeampi kertaluokka kuin b (x) jos

Kirjoita ylös: a( x) = o(b( x)) .

2) a( x) ja b( x)nimeltään samaa luokkaa olevat infinitesimaalit, jos

missä Cнℝ ja C¹ 0 .

Kirjoita ylös: a( x) = O(b( x)) .

3) a( x) ja b( x) nimeltään vastaava , jos

Kirjoita ylös: a( x) ~ b( x).

4) a( x) kutsutaan infinitesimaaliksi järjestyksessä k suhteessa
erittäin äärettömän pieni b( x), jos äärettömän pieni a( x)ja(b( x)) k on sama järjestys, ts. jos

missä Cнℝ ja C¹ 0 .

LAUSE 6 (infinitesimaalien korvaamisesta vastaavilla).

Päästää a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. klo x ® x 0 . Jos a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

sitten

Todiste: Olkoon a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), sitten

LAUSE 7 (noin suurin osa äärettömän pieni).

Päästää a( x)ja b( x)– b.m. klo x ® x 0 , ja b( x)– b.m. korkeampi järjestys kuin a( x).

= , a koska b( x) – korkeampi järjestys kuin a( x), sitten ts. alkaen on selvää, että a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Toiminnan jatkuvuus pisteessä (epsilon-delta-rajojen kielellä, geometrinen) Yksipuolinen jatkuvuus. Jatkuvuus välissä, segmentissä. Jatkuvien funktioiden ominaisuudet.

1. Perusmääritelmät

Päästää f(x) on määritelty jossain pisteen ympäristössä x 0 .

MÄÄRITELMÄ 1. toiminto f(x) nimeltään jatkuva jossakin kohdassa x 0 jos tasa-arvo on totta

Huomautukset.

1) §3:n lauseen 5 mukaan yhtäläisyys (1) voidaan kirjoittaa muodossa

Kunto (2) - funktion jatkuvuuden määrittely pisteessä yksipuolisten rajojen kielellä.

2) Tasa-arvo (1) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

He sanovat: "Jos funktio on jatkuva jossakin pisteessä x 0 , niin rajan etumerkki ja funktio voidaan vaihtaa keskenään.

MÄÄRITELMÄ 2 (kielellä e-d).

toiminto f(x) nimeltään jatkuva jossakin kohdassa x 0 jos"e>0 $d>0 sellaisia, mitä

jos xОU( x 0 , d) (eli | x – x 0 | < d),

sitten f(x)ОU( f(x 0), e) (eli | f(x) – f(x 0) | < e).

Päästää x, x 0 Î D(f) (x 0 - kiinteä, x- mielivaltainen)

Merkitse: D x= x-x 0 – argumentin lisäys

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – funktion lisäys pisteessä x 0

MÄÄRITELMÄ 3 (geometrinen).

toiminto f(x) päällä nimeltään jatkuva jossakin kohdassa x 0 jos tässä vaiheessa argumentin ääretön lisäys vastaa funktion äärettömän pientä lisäystä, eli

Anna toiminnon f(x) on määritelty aikavälillä [ x 0 ; x 0 + d) (välillä ( x 0 - d; x 0 ]).

MÄÄRITELMÄ. toiminto f(x) nimeltään jatkuva jossakin kohdassa x 0 oikealla (vasemmalle ), jos tasa-arvo on totta

Se on selvää f(x) on jatkuva pisteessä x 0 Û f(x) on jatkuva pisteessä x 0 oikealle ja vasemmalle.

MÄÄRITELMÄ. toiminto f(x) nimeltään jatkuva per intervalli e ( a; b) jos se on jatkuva tämän aikavälin jokaisessa pisteessä.

toiminto f(x) kutsutaan jatkuvaksi segmentillä [a; b] jos se on jatkuvaa välissä (a; b) ja sillä on yksipuolinen jatkuvuus rajapisteissä(eli jatkuva pisteessä a oikein, piste b- vasemmalla).

11) Katkopisteet, niiden luokittelu

MÄÄRITELMÄ. Jos funktio f(x) on määritelty jossain pisteen x ympäristössä 0 , mutta ei ole jatkuva siinä vaiheessa f(x) kutsutaan epäjatkuvaksi pisteessä x 0 , mutta pointti x 0 kutsutaan murtumispisteeksi toiminnot f(x) .

Huomautukset.

1) f(x) voidaan määrittää pisteen epätäydelliseen ympäristöön x 0 .

Harkitse sitten vastaavaa funktion yksipuolista jatkuvuutta.

2) z:n määritelmästä piste x 0 on funktion taitepiste f(x) kahdessa tapauksessa:

a) U( x 0 , d)н D(f), mutta varten f(x) tasa-arvo ei täyty

b) U * ( x 0 , d)н D(f) .

Alkeisfunktioille vain tapaus b) on mahdollinen.

Päästää x 0 - funktion taitepiste f(x) .

MÄÄRITELMÄ. piste x 0 nimeltään murtumiskohta minä ystävällinen jos funktio f(x)on rajalliset rajat tässä kohdassa vasemmalla ja oikealla.

Jos lisäksi nämä rajat ovat yhtä suuret, niin piste x 0 nimeltään taukopiste , muuten - hyppypiste .

MÄÄRITELMÄ. piste x 0 nimeltään murtumiskohta II ystävällinen jos ainakin yksi funktion f yksipuolisista rajoista(x)tässä vaiheessa on yhtä suuri kuin¥ tai ei ole olemassa.

12) Janolla jatkuvien funktioiden ominaisuudet (Weierstrassin (ilman todistetta) ja Cauchyn lauseet

Weierstrassin lause

Olkoon sitten funktio f(x) jatkuva janalla

1)f(x) on rajoitettu

2) f (x) saa välin pienimmän ja suurimman arvonsa

Määritelmä: Funktion arvoa m=f kutsutaan pienimmäksi, jos m≤f(x) millä tahansa x ∈ D(f) -arvolla.

Funktion arvoa m=f kutsutaan suurimmaksi, jos m≥f(x) millä tahansa x ∈ D(f) -arvolla.

Funktio voi ottaa pienimmän \ suurimman arvon useissa janan pisteissä.

f(x3)=f(x4)=max

Cauchyn lause.

Olkoon funktio f(x) jatkuva välillä ja x f(a) ja f(b) välissä oleva luku, niin on vähintään yksi piste x 0 € siten, että f(x 0)= g