Mikä on maton odotus. Odotuskaava

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma

Matemaattinen odotus, määritelmä, diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien matemaattinen odotus, valikoiva, ehdollinen odotus, laskenta, ominaisuudet, tehtävät, odotuksen estimointi, varianssi, jakaumafunktio, kaavat, laskentaesimerkit

Laajenna sisältöä

Tiivistä sisältö

Matemaattinen odotus on määritelmä

Yksi matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian tärkeimmistä käsitteistä, joka kuvaa satunnaismuuttujan arvojen tai todennäköisyyksien jakautumista. Yleensä ilmaistaan ​​satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten parametrien painotettuna keskiarvona. Sitä käytetään laajasti teknisessä analyysissä, numerosarjojen tutkimuksessa, jatkuvien ja pitkäaikaisten prosessien tutkimuksessa. Se on tärkeä riskien arvioinnissa, hintaindikaattoreiden ennustamisessa rahoitusmarkkinoilla kaupankäynnissä, ja sitä käytetään pelitaktiikkojen strategioiden ja menetelmien kehittämisessä rahapeliteoriassa.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo, satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma otetaan huomioon todennäköisyysteoriassa.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvon mitta todennäköisyysteoriassa. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus x merkitty M(x).

Matemaattinen odotus on

Matemaattinen odotus on todennäköisyysteoriassa kaikkien mahdollisten arvojen painotettu keskiarvo, jotka tämä satunnaismuuttuja voi saada.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa näiden arvojen todennäköisyyksillä.

Matemaattinen odotus on keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan tarkastella suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa.

Matemaattinen odotus on uhkapeliteoriassa voittojen määrä, jonka pelaaja voi ansaita tai menettää keskimäärin kullakin vedolla. Pelurikielessä tätä kutsutaan joskus "pelaajien eduksi" (jos se on positiivinen pelaajalle) tai "talon etupuolelle" (jos se on negatiivinen pelaajalle).

Matemaattinen odotus on Voittoprosentti voittoa kohti kerrottuna keskimääräisellä voitolla miinus tappion todennäköisyys kerrottuna keskimääräisellä tappiolla.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus matemaattisessa teoriassa

Yksi satunnaismuuttujan tärkeistä numeerisista ominaisuuksista on matemaattinen odotus. Otetaan käyttöön satunnaismuuttujien järjestelmän käsite. Tarkastellaan satunnaismuuttujien joukkoa, jotka ovat saman satunnaiskokeen tuloksia. Jos on yksi järjestelmän mahdollisista arvoista, niin tapahtuma vastaa tiettyä todennäköisyyttä, joka täyttää Kolmogorovin aksioomit. Satunnaismuuttujien mahdollisille arvoille määriteltyä funktiota kutsutaan yhteisjakaumalaiksi. Tämän toiminnon avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman todennäköisyydet. Erityisesti satunnaismuuttujien ja, jotka ottavat arvot joukosta ja, yhteislaki, annetaan todennäköisyyksillä.

Termin "odotus" otti käyttöön Pierre Simon Marquis de Laplace (1795), ja se sai alkunsa käsitteestä "odotettu voittoarvo", joka esiintyi ensimmäisen kerran 1600-luvulla uhkapeliteoriassa Blaise Pascalin ja Christian Huygensin teoksissa. . Ensimmäisen täydellisen teoreettisen ymmärryksen ja arvioinnin tästä käsitteestä antoi kuitenkin Pafnuty Lvovich Chebyshev (1800-luvun puoliväli).

Satunnaislukumuuttujien jakauman laki (jakaumafunktio ja jakauman sarja tai todennäköisyystiheys) kuvaa täysin satunnaismuuttujan käyttäytymistä. Mutta useissa ongelmissa riittää, että tiedetään joitain tutkittavan suuren numeerisia ominaisuuksia (esimerkiksi sen keskiarvo ja mahdollinen poikkeama siitä), jotta voidaan vastata esitettyyn kysymykseen. Satunnaismuuttujien tärkeimmät numeeriset ominaisuudet ovat matemaattinen odotusarvo, varianssi, moodi ja mediaani.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on sen mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien tulojen summa. Joskus matemaattista odotusta kutsutaan painotetuksi keskiarvoksi, koska se on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo suuressa määrässä kokeita. Matemaattisen odotuksen määritelmästä seuraa, että sen arvo ei ole pienempi kuin satunnaismuuttujan pienin mahdollinen arvo eikä suurempi kuin suurin. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-satunnainen (vakio) muuttuja.

Matemaattisella odotuksella on yksinkertainen fysikaalinen merkitys: jos yksikkömassa asetetaan suoralle viivalle, sijoitetaan massaa joihinkin pisteisiin (diskreetti jakauman saamiseksi) tai "siivotaan" se tietyllä tiheydellä (absoluuttisesti jatkuvaa jakaumaa varten), silloin matemaattista odotusta vastaava piste on koordinaatti "painopisteen" suora.

Satunnaismuuttujan keskiarvo on tietty luku, joka on ikään kuin sen "edustaja" ja korvaa sen karkeissa likimääräisissä laskelmissa. Kun sanomme: "lampun keskimääräinen toiminta-aika on 100 tuntia" tai "keskimääräinen törmäyspiste siirtyy kohteeseen nähden 2 m oikealle", osoitamme tällä satunnaismuuttujan tietyn numeerisen ominaisuuden, joka kuvaa sen sijainti numeerisella akselilla, ts. sijainnin kuvaus.

Aseman ominaisuuksista todennäköisyysteoriassa tärkein rooli on satunnaismuuttujan matemaattinen odotus, jota joskus kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan keskiarvoksi.

Harkitse satunnaismuuttujaa X, jolla on mahdollisia arvoja x1, x2, …, xn todennäköisyyksien kanssa p1, p2, …, pn. Meidän on karakterisoitava jollakin numerolla satunnaismuuttujan arvojen sijainti x-akselilla ottaen huomioon, että näillä arvoilla on erilaiset todennäköisyydet. Tätä tarkoitusta varten on luonnollista käyttää arvojen ns. "painotettua keskiarvoa". xi, ja jokainen arvo xi keskiarvon laskemisen aikana tulee ottaa huomioon "painolla", joka on verrannollinen tämän arvon todennäköisyyteen. Näin ollen laskemme satunnaismuuttujan keskiarvon X, jota me merkitsemme M|X|:

Tätä painotettua keskiarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan matemaattiseksi odotukseksi. Näin ollen otimme huomioon yhden tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä - matemaattisen odotuksen käsitteen. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen ja näiden arvojen todennäköisyyksien summa.

Anna sen tuottaa N riippumattomia kokeita, joista jokaisessa arvo X saa tietyn arvon. Oletetaan arvo x1 ilmestyi m1 kertaa, arvo x2 ilmestyi m2 kertaa, yleinen merkitys xi ilmestyi mi kertaa. Lasketaan X:n havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo, joka toisin kuin matemaattinen odotus M|X| me merkitsemme M*|X|:

Kokeiden määrän lisääntyessä N taajuuksia pi lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) vastaavia todennäköisyyksiä. Siksi satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo M|X| kokeiden määrän kasvaessa se lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) matemaattista odotustaan. Aritmeettisen keskiarvon ja edellä muotoillun matemaattisen odotuksen välinen yhteys muodostaa yhden suurten lukujen lain muodoista.

Tiedämme jo, että kaikki suurten lukujen lain muodot ilmaisevat sen tosiasian, että tietyt keskiarvot ovat stabiileja useissa kokeissa. Tässä puhutaan samanarvoisten havaintojen sarjan aritmeettisen keskiarvon stabiilisuudesta. Pienellä määrällä kokeita niiden tulosten aritmeettinen keskiarvo on satunnainen; kun kokeiden lukumäärää kasvaa riittävästi, siitä tulee "lähes ei satunnaista" ja stabiloituessaan lähestyy vakioarvoa - matemaattista odotusta.

Useiden kokeiden keskiarvojen stabiilisuusominaisuus on helppo todentaa kokeellisesti. Esimerkiksi punnitsemalla mikä tahansa kappale laboratoriossa tarkoilla vaaoilla, punnituksen tuloksena saamme joka kerta uuden arvon; havaintovirheen vähentämiseksi punnitsemme kehon useita kertoja ja käytämme saatujen arvojen aritmeettista keskiarvoa. On helppo nähdä, että kokeiden (punnitusten) määrän lisääntyessä aritmeettinen keskiarvo reagoi tähän lisäykseen yhä harvemmin ja riittävän suurella koemäärällä se käytännössä lakkaa muuttumasta.

On huomattava, että satunnaismuuttujan sijainnin tärkein ominaisuus - matemaattinen odotus - ei ole olemassa kaikille satunnaismuuttujille. On mahdollista muodostaa esimerkkejä sellaisista satunnaismuuttujista, joille ei ole matemaattista odotusta, koska vastaava summa tai integraali hajoaa. Käytännössä tällaiset tapaukset eivät kuitenkaan ole merkittäviä. Yleensä käsittelemillämme satunnaismuuttujilla on rajoitettu valikoima mahdollisia arvoja, ja niillä on tietysti odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sijainnin tärkeimpien ominaisuuksien - matemaattisen odotuksen - lisäksi käytännössä käytetään joskus muitakin sijaintiominaisuuksia, erityisesti satunnaismuuttujan moodia ja mediaania.

Satunnaismuuttujan moodi on sen todennäköisin arvo. Termi "todennäköisin arvo" koskee tarkasti ottaen vain epäjatkuvia määriä; jatkuvalle suurelle moodi on arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin. Kuvat esittävät epäjatkuvien ja jatkuvien satunnaismuuttujien moodia, vastaavasti.

Jos jakautumispolygonilla (jakaumakäyrällä) on useampi kuin yksi maksimi, jakauman sanotaan olevan "polymodaalinen".

Joskus on jakaumia, joiden keskellä ei ole maksimi, vaan minimi. Tällaisia ​​jakaumia kutsutaan "antimodaaliseksi".

Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan moodi ja matemaattinen odotus eivät täsmää. Tietyssä tapauksessa, kun jakauma on symmetrinen ja modaalinen (eli sillä on moodi) ja on olemassa matemaattinen odotus, niin se osuu yhteen jakauman moodin ja symmetriakeskuksen kanssa.

Usein käytetään myös toista sijainnin ominaisuutta - niin sanottua satunnaismuuttujan mediaania. Tätä ominaisuutta käytetään yleensä vain jatkuville satunnaismuuttujille, vaikka se voidaan määritellä muodollisesti myös epäjatkuvalle muuttujalle. Geometrisesti mediaani on sen pisteen abskissa, jossa jakautumiskäyrän rajaama alue jaetaan kahtia.

Symmetrisen modaalijakauman tapauksessa mediaani osuu yhteen keskiarvon ja moodin kanssa.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo - satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman numeerinen ominaisuus. Yleisimmällä tavalla satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X(w) määritellään Lebesguen integraaliksi suhteessa todennäköisyysmittaukseen R alkuperäisessä todennäköisyysavaruudessa:

Matemaattinen odotus voidaan laskea myös Lebesguen integraalina X todennäköisyysjakauman mukaan px määriä X:

Luonnollisella tavalla voidaan määritellä satunnaismuuttujan käsite, jolla on ääretön matemaattinen odotus. Tyypillinen esimerkki on paluuajat joissain satunnaisissa kävelyissä.

Matemaattisen odotuksen avulla määritetään useita jakauman numeerisia ja toiminnallisia ominaisuuksia (satunnaismuuttujan vastaavien funktioiden matemaattisena odotuksena), esimerkiksi generoiva funktio, ominaisfunktio, minkä tahansa kertaiset momentit, erityisesti varianssi , kovarianssi.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan arvojen sijainnin ominaisuus (sen jakauman keskiarvo). Tässä ominaisuudessa matemaattinen odotus toimii eräänä "tyypillisenä" jakaumaparametrina ja sen rooli on samanlainen kuin staattisen momentin - massajakauman painopisteen koordinaatin - rooli mekaniikassa. Muista sijainnin ominaisuuksista, joiden avulla jakaumaa kuvataan yleisellä tasolla - mediaanit, moodit, matemaattinen odotus eroaa suuremmalla arvolla, joka sillä ja vastaavalla sirontaominaisuudella - dispersiolla - on todennäköisyysteorian rajalauseissa. . Suurimmalla täydellisyydellä matemaattisen odotuksen merkityksen paljastavat suurten lukujen laki (Tšebyshevin epäyhtälö) ja vahvistettu suurten lukujen laki.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Olkoon joku satunnaismuuttuja, joka voi ottaa yhden useista numeerisista arvoista (esimerkiksi pistemäärä nopaheitossa voi olla 1, 2, 3, 4, 5 tai 6). Usein käytännössä tällaiselle arvolle herää kysymys: minkä arvon se ottaa "keskimäärin" suurella määrällä testejä? Mikä on keskimääräinen tuottomme (tai tappiomme) kustakin riskialtaasta toiminnasta?

Oletetaan, että siellä on jonkinlainen lotto. Haluamme ymmärtää, onko siihen osallistuminen (tai jopa toistuvasti, säännöllisesti) kannattavaa vai ei. Oletetaan, että joka neljäs lippu voittaa, palkinto on 300 ruplaa ja minkä tahansa lipun hinta on 100 ruplaa. Näin tapahtuu, kun osallistujia on äärettömästi. Kolmessa neljäsosassa tapauksista häviämme, joka kolmas tappio maksaa 300 ruplaa. Joka neljännessä tapauksessa voitamme 200 ruplaa. (palkinto miinus kustannukset), eli neljästä osallistumisesta menetämme keskimäärin 100 ruplaa, yhdestä - keskimäärin 25 ruplaa. Kaiken kaikkiaan rauniomme keskihinta on 25 ruplaa lippua kohden.

Heitämme noppaa. Jos se ei ole huijausta (ilman painopisteen siirtämistä jne.), kuinka monta pistettä meillä on keskimäärin kerrallaan? Koska jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen, otamme typerän aritmeettisen keskiarvon ja saamme 3,5. Koska tämä on KESKIARVO, ei tarvitse olla närkästynyt siitä, että mikään tietty heitto ei anna 3,5 pistettä - no, tällä kuutiolla ei ole kasvoja sellaisella numerolla!

Tehdään nyt yhteenveto esimerkeistämme:

Katsotaanpa yllä olevaa kuvaa. Vasemmalla on taulukko satunnaismuuttujan jakautumisesta. X:n arvo voi ottaa yhden n:stä mahdollisesta arvosta (ilmoitettu ylimmällä rivillä). Muita arvoja ei voi olla. Kunkin mahdollisen arvon alle on merkitty sen todennäköisyys. Oikealla on kaava, jossa M(X):tä kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi. Tämän arvon merkitys on, että suurella määrällä kokeita (suuri otos) keskiarvo vastaa tätä hyvin matemaattista odotusta.

Palataan samaan pelikuutioon. Matemaattinen odotus heiton pisteiden määrästä on 3,5 (laske itsesi kaavalla, jos et usko). Oletetaan, että heitit sen pari kertaa. 4 ja 6 putosivat ulos. Keskimäärin siitä tuli 5, eli kaukana 3,5. He heittivät sen uudelleen, 3 putosi, eli keskimäärin (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Jotenkin kaukana matemaattisesta odotuksesta. Tee nyt hullu kokeilu - pyöritä kuutiota 1000 kertaa! Ja jos keskiarvo ei ole täsmälleen 3,5, se on lähellä sitä.

Lasketaan matemaattinen odotus yllä kuvatulle lotolle. Taulukko näyttää tältä:

Silloin matemaattinen odotus on, kuten yllä olemme todenneet.:

Toinen asia on, että se on myös "sormilla", ilman kaavaa, olisi vaikeaa, jos vaihtoehtoja olisi enemmän. Oletetaan, että 75 % hävisi lipuista, 20 % voittolipuista ja 5 % voittolipuista.

Nyt joitain matemaattisen odotuksen ominaisuuksia.

Se on helppo todistaa:

Odotusmerkistä voidaan ottaa pois vakiokerroin, eli:

Tämä on matemaattisen odotuksen lineaarisuusominaisuuden erikoistapaus.

Toinen seuraus matemaattisen odotuksen lineaarisuudesta:

eli satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten summa.

Olkoon X, Y riippumattomia satunnaismuuttujia, sitten:

Tämä on myös helppo todistaa) XY itse on satunnaismuuttuja, vaikka alkuarvot voisivat kestää n ja m arvot vastaavasti XY voi ottaa nm-arvoja. Kunkin arvon todennäköisyys lasketaan sen perusteella, että riippumattomien tapahtumien todennäköisyydet kerrotaan. Tuloksena saamme tämän:

Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla on sellainen ominaisuus kuin jakautumistiheys (todennäköisyystiheys). Itse asiassa se kuvaa tilannetta, että satunnaismuuttuja ottaa joitain arvoja reaalilukujoukosta useammin, jotkut - harvemmin. Harkitse esimerkiksi tätä kaaviota:

Tässä X- itse asiassa satunnaismuuttuja, f(x)- jakautumistiheys. Tämän kaavion perusteella kokeiden aikana arvo X on usein lähellä nollaa oleva luku. mahdollisuudet ylittää 3 tai olla vähemmän -3 melko puhtaasti teoreettista.

Oletetaan esimerkiksi yhtenäinen jakautuminen:

Tämä on täysin yhdenmukainen intuitiivisen ymmärryksen kanssa. Oletetaan, että jos saamme paljon satunnaisia ​​reaalilukuja, joilla on tasainen jakautuminen, jokainen segmentti |0; 1| , niin aritmeettisen keskiarvon tulee olla noin 0,5.

Diskreeteille satunnaismuuttujille soveltuvat matemaattisen odotuksen ominaisuudet - lineaarisuus jne. - pätevät myös tässä.

Matemaattisen odotuksen suhde muihin tilastoindikaattoreihin

Tilastollisessa analyysissä on matemaattisten odotusten ohella olemassa toisistaan ​​riippuvaisten indikaattoreiden järjestelmä, joka kuvastaa ilmiöiden homogeenisuutta ja prosessien vakautta. Usein vaihteluindikaattoreilla ei ole itsenäistä merkitystä, ja niitä käytetään tietojen lisäanalyysiin. Poikkeuksena on tietojen homogeenisuutta kuvaava variaatiokerroin, joka on arvokas tilastollinen ominaisuus.

Tilastotieteen prosessien vaihtelevuuden tai stabiilisuuden astetta voidaan mitata useilla indikaattoreilla.

Tärkein satunnaismuuttujan vaihtelua kuvaava indikaattori on Dispersio, joka liittyy läheisimmin ja suorimmin matemaattiseen odotukseen. Tätä parametria käytetään aktiivisesti muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä (hypoteesitestaus, syy-seuraus-suhteiden analyysi jne.). Kuten keskimääräinen lineaarinen poikkeama, varianssi heijastaa myös sitä, missä määrin data hajoaa keskiarvon ympärillä.

On hyödyllistä kääntää viittojen kieli sanojen kieleksi. Osoittautuu, että varianssi on poikkeamien keskimääräinen neliö. Toisin sanoen keskiarvo lasketaan ensin, sitten kunkin alkuperäisen ja keskiarvon välinen ero otetaan, neliötetään, lasketaan yhteen ja jaetaan sitten tämän populaation arvojen lukumäärällä. Yksilöllisen arvon ja keskiarvon välinen ero heijastaa poikkeaman mittaa. Se on neliöity sen varmistamiseksi, että kaikista poikkeamista tulee yksinomaan positiivisia lukuja ja jotta vältetään positiivisten ja negatiivisten poikkeamien keskinäinen kumoaminen, kun ne summataan. Sitten, kun otetaan huomioon poikkeamien neliö, laskemme yksinkertaisesti aritmeettisen keskiarvon. Keskimääräiset - neliö - poikkeamat. Poikkeamat neliöidään ja keskiarvo otetaan huomioon. Vastaus maagiseen sanaan "dispersio" on vain kolme sanaa.

Puhtaassa muodossaan, kuten esimerkiksi aritmeettisena keskiarvona tai indeksinä, dispersiota ei kuitenkaan käytetä. Se on pikemminkin apu- ja väliindikaattori, jota käytetään muuntyyppisiin tilastollisiin analyyseihin. Hänellä ei ole edes normaalia mittayksikköä. Kaavan perusteella tämä on alkuperäisen tietoyksikön neliö.

Mittaataan satunnaismuuttuja N kertaa, esimerkiksi mittaamme tuulen nopeuden kymmenen kertaa ja haluamme löytää keskiarvon. Miten keskiarvo liittyy jakaumafunktioon?

Tai heitämme noppaa useita kertoja. Nopan jokaisen heiton aikana putoavien pisteiden määrä on satunnaismuuttuja, ja se voi olla mikä tahansa luonnollinen arvo väliltä 1-6. N se pyrkii hyvin tiettyyn numeroon - matemaattiseen odotukseen Mx. Tässä tapauksessa Mx = 3,5.

Miten tämä arvo syntyi? Päästää sisään N koettelemuksia n1 kun 1 piste pudotetaan, n2 kertaa - 2 pistettä ja niin edelleen. Sitten tulosten lukumäärä, joissa yksi piste putosi:

Samoin tuloksista, kun 2, 3, 4, 5 ja 6 pistettä putosi.

Oletetaan nyt, että tiedämme satunnaismuuttujan x jakautumislain, eli tiedämme, että satunnaismuuttuja x voi saada arvot x1, x2, ..., xk todennäköisyyksillä p1, p2, ... , pk.

Satunnaismuuttujan x matemaattinen odotus Mx on:

Matemaattinen odotus ei aina ole järkevä arvio jostain satunnaismuuttujasta. Keskipalkan arvioinnissa on siis järkevämpää käyttää mediaanin käsitettä eli sellaista arvoa, että mediaanipalkkaa vähemmän ja enemmän saavien määrä on sama.

Todennäköisyys p1, että satunnaismuuttuja x on pienempi kuin x1/2 ja todennäköisyys p2, että satunnaismuuttuja x on suurempi kuin x1/2, ovat samat ja yhtä suuri kuin 1/2. Mediaania ei ole määritetty yksiselitteisesti kaikille jakaumille.

Vakio tai standardipoikkeama tilastoissa kutsutaan havaintotiedon tai -joukkojen poikkeaman astetta KESKIARVO-arvosta. Merkitään kirjaimilla s tai s. Pieni keskihajonta osoittaa, että tiedot on ryhmitelty keskiarvon ympärille, ja suuri keskihajonna osoittaa, että lähtötieto on kaukana siitä. Keskihajonta on yhtä suuri kuin varianssiksi kutsutun suuren neliöjuuri. Se on keskiarvosta poikkeavien lähtötietojen neliöityjen erojen summan keskiarvo. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri:

Esimerkki. Testiolosuhteissa ammuttaessa maaliin laske satunnaismuuttujan varianssi ja keskihajonta:

Variaatio- attribuutin arvon vaihtelu, vaihtelu perusjoukon yksiköissä. Tutkittavassa populaatiossa esiintyviä piirteen erillisiä numeerisia arvoja kutsutaan arvojen muunnelmiksi. Keskiarvon riittämättömyys populaation täydelliseen karakterisointiin edellyttää, että keskiarvoja on täydennettävä indikaattoreilla, joiden avulla voidaan arvioida näiden keskiarvojen tyypillisyyttä mittaamalla tutkittavan ominaisuuden vaihtelua (vaihtelua). Variaatiokerroin lasketaan kaavalla:

Alueen vaihtelu(R) on ominaisuuden maksimi- ja minimiarvojen ero tutkitussa populaatiossa. Tämä indikaattori antaa yleisimmän käsityksen tutkittavan ominaisuuden vaihtelusta, koska se näyttää eron vain vaihtoehtojen ääriarvojen välillä. Riippuvuus attribuutin ääriarvoista antaa vaihteluvälille epävakaan, satunnaisen luonteen.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama on analysoidun populaation kaikkien arvojen absoluuttisten (moduulipoikkeamien) aritmeettinen keskiarvo niiden keskiarvosta:

Matemaattinen odotus uhkapeliteoriassa

Matemaattinen odotus on keskimääräinen rahasumma, jonka peluri voi voittaa tai hävitä tietyllä vedolla. Tämä on erittäin tärkeä käsite pelaajalle, koska se on olennainen useimpien pelitilanteiden arvioinnissa. Matemaattinen odotus on myös paras työkalu peruskorttiasettelujen ja pelitilanteiden analysointiin.

Oletetaan, että pelaat kolikkoa ystäväsi kanssa ja teet yhtä suuren $1 panoksen joka kerta riippumatta siitä, mitä tapahtuu. Tails - voitat, päät - häviät. Todennäköisyys sille, että se nousee, on yksi yhteen ja panostat $1 - $1. Näin ollen matemaattinen odotuksesi on nolla, koska Matemaattisesti ottaen et voi tietää johdatko vai häviätkö kahden heiton jälkeen vai 200 jälkeen.

Tuntivoitto on nolla. Tuntikohtainen voitto on rahasumma, jonka odotat voittavan tunnissa. Voit heittää kolikon 500 kertaa tunnin sisällä, mutta et voita tai häviä, koska todennäköisyytesi eivät ole positiivisia eivätkä negatiivisia. Jos katsot vakavan pelaajan näkökulmasta, tällainen vedonlyöntijärjestelmä ei ole huono. Mutta se on vain ajanhukkaa.

Mutta oletetaan, että joku haluaa lyödä vetoa 2 dollaria vastaan ​​1 dollaria samassa pelissä. Sitten sinulla on välittömästi positiivinen 50 sentin odotus jokaisesta vedosta. Miksi 50 senttiä? Keskimäärin voitat yhden vedon ja häviät toisen. Panosta ensimmäinen dollari ja hävitä 1 dollari, panosta toinen ja voita 2 dollaria. Olet panostanut 1 dollarin kahdesti ja olet 1 dollarilla edellä. Joten jokainen yhden dollarin veto antoi sinulle 50 senttiä.

Jos kolikko putoaa 500 kertaa yhdessä tunnissa, tuntivoittosi on jo 250 dollaria, koska. keskimäärin menetit 1 250 dollaria ja voitit 2 250 kertaa. 500 dollaria miinus 250 dollaria vastaa 250 dollaria, mikä on kokonaisvoitto. Huomaa, että odotusarvo, joka on summa, jonka voitat keskimäärin yhdellä vedolla, on 50 senttiä. Voitit 250 dollaria panostamalla dollarin 500 kertaa, mikä vastaa 50 senttiä panoksestasi.

Matemaattisilla odotuksilla ei ole mitään tekemistä lyhyen aikavälin tulosten kanssa. Vastustajasi, joka päätti panostaa 2 dollaria sinua vastaan, saattoi voittaa sinut ensimmäisellä kymmenellä heitolla peräkkäin, mutta sinä 2-1-vedonlyöntiedulla ansaitset 50 senttiä jokaisesta 1 dollarin vedosta millä tahansa olosuhteissa. Sillä ei ole väliä, voitatko vai häviät yhden vedon vai useita vetoja, mutta vain sillä ehdolla, että sinulla on tarpeeksi käteistä kustannusten helposti korvaamiseen. Jos jatkat vedonlyöntiä samalla tavalla, voittosi kasvavat pitkän ajan kuluessa yksittäisten heittojen odotettujen arvojen summaan.

Joka kerta kun teet parhaan vedon (veto, joka voi olla kannattava pitkällä aikavälillä), kun todennäköisyys on sinun puolellasi, voitat varmasti jotain, häviätpä sen tietyssä kädessä tai et. Kääntäen, jos teit huonomman vedon (pitkällä aikavälillä kannattamaton veto), kun todennäköisyys ei ole sinun eduksesi, menetät jotain, voititpa tai häviät käden.

Panostat parhaalla tuloksella, jos odotuksesi ovat positiiviset, ja se on positiivinen, jos kertoimet ovat sinun puolellasi. Vedonlyönti huonoimmalla tuloksella sinulla on negatiivinen odotus, mikä tapahtuu, kun kertoimet ovat sinua vastaan. Vakavat pelaajat lyövät vetoa vain parhaalla tuloksella, pahimmalla – he luovuttavat. Mitä kertoimet eduksesi tarkoittaa? Voit lopulta voittaa enemmän kuin todelliset kertoimet tuovat. Todellinen todennäköisyys osua tailoihin on 1:1, mutta saat 2:1 vedonlyöntisuhteen ansiosta. Tässä tapauksessa todennäköisyys on sinun puolellasi. Saat ehdottomasti parhaan tuloksen positiivisella odotuksella, joka on 50 senttiä vetoa kohden.

Tässä on monimutkaisempi esimerkki matemaattisista odotuksista. Ystävä kirjoittaa muistiin luvut yhdestä viiteen ja panostaa 5 dollaria 1 dollaria vastaan, että et valitse numeroa. Hyväksytkö tällaisen vedon? Mitä tässä odotetaan?

Keskimäärin olet väärässä neljä kertaa. Tämän perusteella todennäköisyys sille, että arvaat luvun, on 4:1. Todennäköisyys on, että menetät dollarin yhdellä yrityksellä. Voitat kuitenkin 5-1 ja voit hävitä 4-1. Näin ollen kertoimet ovat sinun puolellasi, voit ottaa vedon ja toivoa parasta lopputulosta. Jos teet tämän vedon viisi kertaa, menetät keskimäärin neljä kertaa 1 dollarin ja voitat kerran 5 dollaria. Tämän perusteella ansaitset kaikista viidestä yrityksestä 1 dollarin positiivisella matemaattisella odotuksella 20 senttiä vetoa kohden.

Pelaaja, joka aikoo voittaa enemmän kuin lyö vetoa, kuten yllä olevassa esimerkissä, nappaa kertoimet. Sitä vastoin hän pilaa mahdollisuudet, kun hän odottaa voittavansa vähemmän kuin lyö vetoa. Vedonlyöjällä voi olla joko positiivisia tai negatiivisia odotuksia riippuen siitä, saako hän kiinni vai pilaako kertoimet.

Jos panostat 50 dollaria voittaaksesi 10 dollaria 4-1 voittomahdollisuudella, saat negatiivisen 2 dollarin odotuksen, koska voitat keskimäärin neljä kertaa 10 dollaria ja menetät 50 dollaria kerran, mikä osoittaa, että tappio per veto on 10 dollaria. Mutta jos panostat 30 dollarilla voittaaksesi 10 dollaria samalla todennäköisyydellä voittaa 4:1, sinulla on tässä tapauksessa positiivinen odotus 2 dollaria, koska voitat jälleen neljä kertaa 10 dollaria ja menetät 30 dollaria kerran saadaksesi 10 dollarin voiton. Nämä esimerkit osoittavat, että ensimmäinen veto on huono ja toinen hyvä.

Matemaattinen odotus on jokaisen pelitilanteen keskipiste. Kun vedonvälittäjä rohkaisee jalkapallofaneja lyömään vetoa 11 dollarilla voittaakseen 10 dollaria, heillä on positiivinen odotus 50 sentistä jokaista 10 dollaria kohti. Jos kasino maksaa jopa rahaa Craps pass -linjalta, talon positiivinen odotus on noin 1,40 dollaria jokaista 100 dollaria kohden; tämä peli on rakennettu siten, että jokainen, joka lyö vetoa tällä linjalla, häviää keskimäärin 50,7% ja voittaa 49,3% ajasta. Epäilemättä juuri tämä näennäisen vähäinen positiivinen odotus tuo valtavia voittoja kasinon omistajille ympäri maailmaa. Kuten Vegas Worldin kasinon omistaja Bob Stupak huomautti: "Tuhannesprosentin negatiivinen todennäköisyys riittävän pitkällä matkalla ajaa konkurssiin maailman rikkaimman miehen."

Matemaattiset odotukset pokeria pelatessa

Pokeripeli on havainnollistavin ja havainnollistavin esimerkki matemaattisten odotusten teorian ja ominaisuuksien käytöstä.

Odotettu arvo pokerissa on keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan harkita suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa. Onnistunut pokeri tarkoittaa sitä, että liikkeet hyväksytään aina positiivisin matemaattisin odotuksin.

Matemaattisen odotuksen matemaattinen merkitys pokeria pelatessa on se, että kohtaamme usein satunnaismuuttujia tehdessämme päätöstä (emme tiedä mitkä kortit ovat vastustajan kädessä, mitkä kortit tulevat seuraavilla panostuskierroksilla). Jokaista ratkaisua on tarkasteltava suurten lukujen teorian näkökulmasta, joka sanoo, että riittävän suurella otoksella satunnaismuuttujan keskiarvo suuntautuu matemaattiseen odotukseensa.

Matemaattisten odotusten laskemiseen käytettävistä yksityisistä kaavoista pokerissa soveltuvat parhaiten seuraavat:

Pokeria pelatessa matemaattiset odotukset voidaan laskea sekä panoksille että maksuille. Ensimmäisessä tapauksessa tulee huomioida fold equity, toisessa potin omat kertoimet. Tietyn liikkeen matemaattista odotusta arvioitaessa tulee muistaa, että foldilla on aina nolla matemaattinen odotus. Siten korttien hylkääminen on aina kannattavampi päätös kuin mikään negatiivinen liike.

Odotus kertoo, mitä voit odottaa (voittoa tai tappiota) jokaista riskiäsi kohden. Kasinot tienaavat rahaa, koska kaikkien niillä harjoitettavien pelien matemaattiset odotukset ovat kasinon hyväksi. Riittävän pitkällä pelisarjalla voidaan odottaa, että asiakas menettää rahansa, koska "todennäköisyys" on kasinon hyväksi. Ammattimaiset kasinopelaajat kuitenkin rajoittavat pelinsä lyhyisiin aikoihin, mikä lisää kertoimia heidän edukseen. Sama pätee sijoittamiseen. Jos odotuksesi ovat positiiviset, voit ansaita enemmän rahaa tekemällä useita kauppoja lyhyessä ajassa. Odotus on voittoprosenttisi voittoa kohti kertaa keskimääräinen voitto miinus tappion todennäköisyys kerrottuna keskimääräinen tappiosi.

Pokeria voidaan tarkastella myös matemaattisten odotusten kannalta. Voit olettaa, että tietty liike on kannattava, mutta joissain tapauksissa se ei välttämättä ole paras, koska toinen liike on kannattavampi. Oletetaan, että osuit täyskäsi viiden kortin vetopokerissa. Vastustajasi lyö vetoa. Tiedät, että jos olet ennakkoon, hän soittaa. Korottaminen näyttää siis parhaalta takilta. Mutta jos korotat, kaksi jäljellä olevaa pelaajaa luovuttaa varmasti. Mutta jos maksat vedon, olet täysin varma, että kaksi muuta pelaajaa sinun jälkeen tekevät samoin. Kun korotat panosta, saat yhden yksikön ja yksinkertaisesti maksamalla saat kaksi. Joten soittaminen antaa sinulle korkeamman positiivisen odotusarvon ja on paras taktiikka.

Matemaattinen odotus voi myös antaa käsityksen siitä, mitkä pokeritaktiikat ovat vähemmän kannattavia ja mitkä kannattavampia. Jos esimerkiksi pelaat tiettyä kättä ja luulet, että keskimääräinen tappiosi on 75 senttiä sisältäen antet, sinun tulee pelata tämä käsi, koska tämä on parempi kuin kippaus, kun ante on $1.

Toinen tärkeä syy odotetun arvon ymmärtämiseen on se, että se antaa sinulle mielenrauhan, voititpa vedon vai et: jos panostit hyvin tai kippasit ajoissa, tiedät, että olet ansainnut tai säästänyt tietyn määrän rahaa, jota heikompi pelaaja ei voinut säästää. Kippaaminen on paljon vaikeampaa, jos olet turhautunut siihen, että vastustajallasi on parempi käsi vedossa. Se sanoi, että rahat, jotka säästät olemalla pelaamatta, panostamisen sijaan lisätään yön tai kuukausittaisiin voittoihin.

Muista vain, että jos vaihtaisit kättä, vastustajasi maksaisi sinulle, ja kuten näet Pokerin peruslause -artikkelista, tämä on vain yksi eduistasi. Kannattaa iloita kun näin tapahtuu. Voit jopa oppia nauttimaan käden häviämisestä, koska tiedät, että muut pelaajat sinun kengissäsi menettäisivät paljon enemmän.

Kuten alussa kolikkopeliesimerkissä todettiin, tuntituotto liittyy matemaattiseen odotukseen, ja tämä käsite on erityisen tärkeä ammattilaispelaajille. Kun aiot pelata pokeria, sinun on henkisesti arvioitava, kuinka paljon voit voittaa pelitunnissa. Useimmissa tapauksissa joudut luottamaan intuitioon ja kokemukseesi, mutta voit myös käyttää joitain matemaattisia laskelmia. Jos esimerkiksi pelaat vetoa lowball ja näet kolmen pelaajan panostavan 10 dollaria ja sitten nostavan kaksi korttia, mikä on erittäin huono taktiikka, voit laskea itse, että joka kerta kun panostavat 10 dollaria, he menettävät noin 2 dollaria. Jokainen heistä tekee tämän kahdeksan kertaa tunnissa, mikä tarkoittaa, että kaikki kolme menettävät noin 48 dollaria tunnissa. Olet yksi jäljellä olevista neljästä pelaajasta, jotka ovat suunnilleen samanarvoisia, joten näiden neljän pelaajan (ja sinun joukossasi) on jaettava 48 dollaria, ja jokainen ansaitsee 12 dollaria tunnissa. Tuntihintasi on tässä tapauksessa yksinkertaisesti sinun osuutesi kolmen huonon pelaajan menettämästä rahamäärästä tunnissa.

Pitkällä aikavälillä pelaajan kokonaisvoitot ovat hänen matemaattisten odotustensa summa erillisissä jakaumissa. Mitä enemmän pelaat positiivisilla odotuksilla, sitä enemmän voitat, ja päinvastoin, mitä enemmän käsiä pelaat negatiivisilla odotuksilla, sitä enemmän häviät. Tämän seurauksena sinun tulee asettaa etusijalle peli, joka voi maksimoida positiiviset odotuksesi tai kumota negatiiviset odotuksesi, jotta voit maksimoida tuntivoitosi.

Positiivinen matemaattinen odotus pelistrategiassa

Jos osaat laskea kortit, sinulla voi olla etua kasinoon nähden, jos he eivät huomaa ja potkaise sinua ulos. Kasinot rakastavat humalaisia ​​pelaajia eivätkä kestä korttien laskemista. Edun ansiosta voit voittaa enemmän kertoja kuin hävitä ajan mittaan. Hyvä rahanhallinta odotuslaskelmien avulla voi auttaa sinua saamaan enemmän irti eduistasi ja vähentämään tappioitasi. Ilman etua sinun on parempi antaa rahat hyväntekeväisyyteen. Pörssipelissä etua antaa pelin järjestelmä, joka tuottaa enemmän voittoa kuin tappiot, hintaerot ja palkkiot. Mikään rahanhallinta ei pelasta huonoa pelijärjestelmää.

Positiivinen odotus määritellään arvolla, joka on suurempi kuin nolla. Mitä suurempi tämä luku, sitä vahvempi on tilastollinen odotus. Jos arvo on pienempi kuin nolla, myös matemaattinen odotus on negatiivinen. Mitä suurempi negatiivisen arvon moduuli on, sitä huonompi tilanne. Jos tulos on nolla, odotus on nollatulos. Voit voittaa vain, jos sinulla on positiivinen matemaattinen odotus, kohtuullinen pelijärjestelmä. Intuitiolla pelaaminen johtaa katastrofiin.

Matemaattinen odotus ja osakekauppa

Matemaattinen odotus on varsin laajalti kysytty ja suosittu tilastoindikaattori pörssikaupassa rahoitusmarkkinoilla. Ensinnäkin tätä parametria käytetään kaupankäynnin onnistumisen analysointiin. Ei ole vaikea arvata, että mitä suurempi tämä arvo, sitä enemmän syytä pitää tutkittavaa kauppaa onnistuneena. Tietenkään elinkeinonharjoittajan työn analysointia ei voida suorittaa vain tämän parametrin avulla. Laskettu arvo yhdessä muiden työn laadun arviointimenetelmien kanssa voi kuitenkin parantaa merkittävästi analyysin tarkkuutta.

Kaupankäyntitilin valvontapalveluissa lasketaan usein matemaattinen odotus, jonka avulla voit nopeasti arvioida talletuksella tehtyä työtä. Poikkeuksina voimme mainita strategioita, jotka käyttävät menettävien kauppojen "ylijäämistä". Elinkeinonharjoittaja voi olla onnekas jonkin aikaa, ja siksi hänen työssään ei välttämättä ole lainkaan tappioita. Tässä tapauksessa ei ole mahdollista navigoida pelkästään odotusten mukaan, koska työssä käytettyjä riskejä ei huomioida.

Markkinakaupassa matemaattista odotusta käytetään useimmiten ennustettaessa kaupankäyntistrategian kannattavuutta tai ennustettaessa elinkeinonharjoittajan tuloja aiempien kauppojen tilastojen perusteella.

Rahanhallinnan kannalta on erittäin tärkeää ymmärtää, että tehtäessä kauppoja negatiivisilla odotuksilla, ei ole olemassa rahanhallintajärjestelmää, joka voi varmasti tuoda suuria voittoja. Jos jatkat vaihdon pelaamista näillä ehdoilla, menetät koko tilisi riippumatta siitä, kuinka hallitset rahojasi, riippumatta siitä, kuinka suuri se oli alussa.

Tämä aksiooma ei päde vain negatiivisten odotusten peleihin tai kauppoihin, se pätee myös parillisten kertoimien peleihin. Siksi ainoa tapaus, jossa sinulla on mahdollisuus hyötyä pitkällä aikavälillä, on tehdä kauppoja positiivisten matemaattisten odotusten perusteella.

Ero negatiivisen odotuksen ja positiivisen odotuksen välillä on ero elämän ja kuoleman välillä. Ei ole väliä kuinka positiivinen tai kuinka negatiivinen odotus on; Tärkeintä on, onko se positiivinen vai negatiivinen. Siksi, ennen kuin harkitset rahanhallintaa, sinun on löydettävä peli, jolla on positiiviset odotukset.

Jos sinulla ei ole tätä peliä, mikään rahanhallinta maailmassa ei pelasta sinua. Toisaalta, jos sinulla on positiivinen odotus, se on mahdollista oikean rahanhallinnan avulla muuttaa eksponentiaaliseksi kasvufunktioksi. Ei ole väliä kuinka pieni positiivinen odotus on! Toisin sanoen sillä ei ole väliä, kuinka kannattava yhteen sopimukseen perustuva kaupankäyntijärjestelmä on. Jos sinulla on järjestelmä, joka voittaa 10 dollaria per sopimus yhdestä kaupasta (palkkioiden ja lipsahduksen jälkeen), voit käyttää rahanhallintatekniikoita tehdäksesi siitä kannattavampaa kuin järjestelmä, jonka keskimääräinen voitto on 1 000 dollaria kauppaa kohden (palkkioiden ja palkkioiden vähentämisen jälkeen). lipsahdus).

Ratkaisevaa ei ole se, kuinka kannattava järjestelmä oli, vaan se, kuinka varmaa voidaan sanoa, että järjestelmä näyttää tulevaisuudessa vähintään minimaalisen tuoton. Siksi elinkeinonharjoittajan tärkein valmistautuminen on varmistaa, että järjestelmä näyttää positiivista odotusarvoa tulevaisuudessa.

Jotta sinulla olisi positiivinen odotusarvo tulevaisuudessa, on erittäin tärkeää olla rajoittamatta järjestelmäsi vapausasteita. Tämä saavutetaan paitsi eliminoimalla tai vähentämällä optimoitavien parametrien määrää, myös vähentämällä mahdollisimman monia järjestelmäsääntöjä. Jokainen lisäämäsi parametri, jokainen tekemäsi sääntö, jokainen pieni muutos, jonka teet järjestelmään, vähentää vapausasteiden määrää. Ihannetapauksessa haluat rakentaa melko primitiivisen ja yksinkertaisen järjestelmän, joka tuottaa jatkuvasti pientä voittoa melkein kaikilla markkinoilla. Jälleen on tärkeää, että ymmärrät, että sillä ei ole väliä kuinka kannattava järjestelmä on, kunhan se on kannattava. Kaupankäynnissä ansaitsemasi rahat ansaitaan tehokkaan rahanhallinnan avulla.

Kaupankäyntijärjestelmä on yksinkertaisesti työkalu, joka antaa sinulle positiivisen matemaattisen odotuksen, jotta rahanhallintaa voidaan käyttää. Järjestelmät, jotka toimivat (jotka näyttävät vähintään minimaalisen tuoton) vain yhdellä tai muutamalla markkina-alueella tai joilla on erilaiset säännöt tai parametrit eri markkinoilla, eivät todennäköisesti toimi reaaliajassa pitkään. Useimpien teknisten kauppiaiden ongelmana on, että he käyttävät liian paljon aikaa ja vaivaa kaupankäyntijärjestelmän eri sääntöjen ja parametrien optimointiin. Tämä antaa täysin päinvastaisia ​​tuloksia. Sen sijaan, että tuhlaa energiaa ja tietokoneaikaa kaupankäyntijärjestelmän voittojen kasvattamiseen, suuntaa energiasi vähimmäisvoiton saamisen luotettavuuden parantamiseen.

Tietäen, että rahanhallinta on vain numeropeli, joka vaatii positiivisten odotusten käyttöä, elinkeinonharjoittaja voi lopettaa osakekaupan "pyhän maljan" etsimisen. Sen sijaan hän voi alkaa testata kaupankäyntitapaansa, selvittää kuinka tämä menetelmä on loogisesti järkevä, antaako se positiivisia odotuksia. Oikeat rahanhallintamenetelmät, joita sovelletaan kaikkiin, jopa erittäin keskinkertaisiin kaupankäyntimenetelmiin, tekevät loput työstä.

Jokaisen elinkeinonharjoittajan on ratkaistava kolme tärkeintä tehtävää menestyäkseen työssään: . Varmistetaan, että onnistuneiden liiketoimien määrä ylittää väistämättömät virheet ja laskelmat; Aseta kaupankäyntijärjestelmäsi niin, että mahdollisuus ansaita rahaa on mahdollisimman usein; Saavuta toiminnastasi vakaa positiivinen tulos.

Ja tässä meille, toimiville kauppiaille, matemaattinen odotus voi olla hyvä apu. Tämä termi todennäköisyysteoriassa on yksi avaimista. Sen avulla voit antaa keskimääräisen arvion jostain satunnaisesta arvosta. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on kuin painopiste, jos kuvittelemme kaikki mahdolliset todennäköisyydet pisteiksi, joilla on eri massat.

Kaupankäyntistrategian yhteydessä sen tehokkuuden arvioimiseksi käytetään useimmiten matemaattista voiton (tai tappion) odotusta. Tämä parametri määritellään tiettyjen voitto- ja tappiotasojen tulojen ja niiden toteutumisen todennäköisyyden summaksi. Esimerkiksi kehitetyssä kaupankäyntistrategiassa oletetaan, että 37% kaikista toiminnoista tuottaa voittoa ja loput - 63% - ovat tappiollisia. Samaan aikaan onnistuneen kaupan keskimääräinen tulo on 7 dollaria ja keskimääräinen tappio 1,4 dollaria. Lasketaan kaupankäynnin matemaattiset odotukset seuraavalla järjestelmällä:

Mitä tämä numero tarkoittaa? Siinä sanotaan, että tämän järjestelmän sääntöjä noudattaen saamme keskimäärin 1,708 dollaria jokaisesta suljetusta tapahtumasta. Koska tuloksena saatu tehokkuuspiste on suurempi kuin nolla, tällaista järjestelmää voidaan käyttää todelliseen työhön. Jos laskennan tuloksena matemaattinen odotus osoittautuu negatiiviseksi, tämä osoittaa jo keskimääräistä tappiota ja tällainen kaupankäynti johtaa tuhoon.

Voiton määrä kauppaa kohti voidaan ilmaista myös suhteellisena arvona prosenteissa. Esimerkiksi:

– prosenttiosuus tuloista yhtä tapahtumaa kohti – 5 %;

– onnistuneiden kaupankäyntitoimintojen prosenttiosuus - 62 %;

– tappioprosentti per 1 kauppa - 3%;

- epäonnistuneiden liiketoimien prosenttiosuus - 38 %;

Eli keskimääräinen kauppa tuo 1,96%.

On mahdollista kehittää järjestelmä, joka tappiollisista kaupoista huolimatta antaa positiivisen tuloksen, koska sen MO>0.

Pelkkä odottaminen ei kuitenkaan riitä. On vaikea ansaita rahaa, jos järjestelmä antaa hyvin vähän kaupankäyntisignaaleja. Tässä tapauksessa sen kannattavuus on verrattavissa pankkikorkoon. Antaa kukin operaatio tuoda keskimäärin vain 0,5 dollaria, mutta entä jos järjestelmä olettaa 1000 tapahtumaa vuodessa? Tämä on erittäin vakava summa suhteellisen lyhyessä ajassa. Tästä seuraa loogisesti, että toisena hyvän kaupankäyntijärjestelmän tunnusmerkkinä voidaan pitää lyhyt pitoaika.

Lähteet ja linkit

dic.academic.ru - akateeminen online-sanakirja

mathematics.ru - matematiikan koulutussivusto

nsu.ru – Novosibirskin valtionyliopiston koulutussivusto

webmath.ru on koulutusportaali opiskelijoille, hakijoille ja koululaisille.

exponenta.ru matemaattinen opetussivusto

ru.tradimo.com - ilmainen online-kaupankäyntikoulu

crypto.hut2.ru - monitieteinen tietolähde

poker-wiki.ru - ilmainen pokerin tietosanakirja

sernam.ru - Tieteellinen kirjasto valikoiduista luonnontieteellisistä julkaisuista

reshim.su - WWW-sivusto SOLVE tehtävät ohjaavat kursseja

unfx.ru – Forex UNFX:ssä: koulutus, kaupankäyntisignaalit, luottamuksen hallinta

slovopedia.com - Suuri tietosanakirja

pokermansion.3dn.ru - Opas pokerin maailmaan

statanaliz.info - tietoblogi "Tilastollinen data-analyysi"

forex-trader.rf - portaali Forex-Trader

megafx.ru - ajantasainen Forex-analytiikka

fx-by.com - kaikki kauppiaalle

Matemaattisen odotuksen käsitettä voidaan tarkastella käyttämällä nopanheiton esimerkkiä. Jokaisella heitolla pudotetut pisteet kirjataan. Niiden ilmaisemiseen käytetään luonnollisia arvoja välillä 1 - 6.

Tietyn määrän heitot jälkeen voit yksinkertaisilla laskelmilla löytää pudonneiden pisteiden aritmeettisen keskiarvon.

Sen lisäksi, että pudotetaan jokin alueen arvoista, tämä arvo on satunnainen.

Ja jos lisäät heittojen määrää useita kertoja? Suurella heittomäärällä pisteiden aritmeettinen keskiarvo lähestyy tiettyä lukua, jota todennäköisyysteoriassa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi.

Joten matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo. Tämä indikaattori voidaan esittää myös todennäköisten arvojen painotettuna summana.

Tällä käsitteellä on useita synonyymejä:

• tarkoittaa;
• keskiarvo;
• keskeinen trendin indikaattori;
• ensimmäinen hetki.

Toisin sanoen se ei ole muuta kuin luku, jonka ympärille satunnaismuuttujan arvot jakautuvat.

Ihmisen toiminnan eri aloilla lähestymistavat matemaattisten odotusten ymmärtämiseen ovat jonkin verran erilaisia.

Sitä voidaan tarkastella seuraavasti:

• päätöksen tekemisestä saatu keskimääräinen hyöty, jos päätöstä tarkastellaan suurten lukujen teorian näkökulmasta;
• mahdollinen voiton tai tappion määrä (uhkapeliteoria), joka lasketaan kunkin vedon keskiarvona. Slangissa ne kuulostavat "pelaajan edulta" (positiivinen pelaajalle) tai "kasinon etu" (negatiivinen pelaajalle);
• prosenttiosuus voitoista saadusta voitosta.

Matemaattinen odotus ei ole pakollinen ehdottoman kaikille satunnaismuuttujille. Se puuttuu niiltä, ​​joilla on poikkeama vastaavassa summassa tai integraalissa.

Odotusominaisuudet

Kuten kaikilla tilastollisilla parametreilla, matemaattisella odotuksella on seuraavat ominaisuudet:

Matemaattisen odotuksen peruskaavat

Matemaattisen odotuksen laskenta voidaan suorittaa sekä satunnaismuuttujille, joille on tunnusomaista sekä jatkuvuus (kaava A) että diskreetti (kaava B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, missä xi ovat satunnaismuuttujan arvot, pi ovat todennäköisyydet:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, missä f(x) on annettu todennäköisyystiheys.

Esimerkkejä matemaattisen odotuksen laskemisesta

Esimerkki A.

Onko mahdollista selvittää tonttujen keskimääräinen korkeus Lumikki-sadussa. Tiedetään, että jokaisella 7 tontulla oli tietty korkeus: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ja 0,81 m.

Laskenta-algoritmi on melko yksinkertainen:

• etsi kasvuindikaattorin (satunnainen muuttuja) kaikkien arvojen summa:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Saatu määrä jaetaan tonttujen lukumäärällä:
  6,31:7=0,90.

Näin ollen sadun tonttujen keskikorkeus on 90 cm, eli tämä on matemaattinen odotus tonttujen kasvusta.

Käyttökaava - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Matemaattisen odotuksen käytännön toteutus

Matemaattisen odotuksen tilastollisen indikaattorin laskemiseen turvaudutaan käytännön toiminnan eri aloilla. Ensinnäkin puhumme kaupallisesta alueesta. Loppujen lopuksi tämän indikaattorin käyttöönotto Huygensin toimesta liittyy niiden mahdollisuuksien määrittämiseen, jotka voivat olla suotuisia tai päinvastoin epäsuotuisia jollekin tapahtumalle.

Tätä parametria käytetään laajalti riskien arvioinnissa, erityisesti kun on kyse rahoitussijoituksista.
Joten liiketoiminnassa matemaattisten odotusten laskenta toimii riskinarviointimenetelmänä hintoja laskettaessa.

Tätä indikaattoria voidaan käyttää myös laskettaessa tiettyjen toimenpiteiden tehokkuutta, esimerkiksi työsuojelun alalla. Sen ansiosta voit laskea tapahtuman todennäköisyyden.

Toinen tämän parametrin sovellusalue on hallinta. Se voidaan laskea myös tuotteen laadunvalvonnan yhteydessä. Esimerkiksi maton käyttö. odotusten perusteella voit laskea valmistusvirheellisten osien mahdollisen määrän.

Matemaattinen odotus on välttämätön myös tieteellisen tutkimuksen tulosten tilastollisen käsittelyn aikana. Sen avulla voit myös laskea kokeen tai tutkimuksen halutun tai ei-toivotun tuloksen todennäköisyyden tavoitteen saavuttamistasosta riippuen. Loppujen lopuksi sen saavuttaminen voidaan yhdistää voittoon ja hyötyyn, ja sen saavuttamatta jättäminen - tappioksi tai tappioksi.

Matemaattisen odotuksen käyttäminen Forexissä

Tämän tilastollisen parametrin käytännön soveltaminen on mahdollista valuuttamarkkinoilla suoritettaessa liiketoimia. Sitä voidaan käyttää analysoimaan kauppatapahtumien menestystä. Lisäksi odotusten arvon nousu osoittaa heidän menestyksensä lisääntymistä.

On myös tärkeää muistaa, että matemaattista odotusta ei tule pitää ainoana tilastollisena parametrina, jota käytetään elinkeinonharjoittajan suorituskyvyn analysointiin. Useiden tilastollisten parametrien käyttö keskiarvon kanssa lisää ajoittain analyysin tarkkuutta.

Tämä parametri on osoittautunut hyvin kaupankäyntitilien havaintojen seurannassa. Hänen ansiostaan ​​talletustilillä tehdystä työstä tehdään nopea arvio. Tapauksissa, joissa elinkeinonharjoittajan toiminta onnistuu ja hän välttää tappioita, ei ole suositeltavaa käyttää vain matemaattisen odotuksen laskentaa. Näissä tapauksissa riskejä ei oteta huomioon, mikä heikentää analyysin tehokkuutta.

Kauppiaiden taktiikoista tehdyt tutkimukset osoittavat, että:

• tehokkaimpia ovat satunnaiseen syötteeseen perustuvat taktiikat;
• vähiten tehokkaita ovat strukturoituihin panoksiin perustuvat taktiikat.

Myönteisten tulosten saavuttamiseksi on yhtä tärkeää:

• rahanhallintataktiikat;
• irtautumisstrategioita.

Käyttämällä sellaista indikaattoria kuin matemaattinen odotus, voimme olettaa, mikä on voitto tai tappio, kun sijoitat 1 dollarin. Tiedetään, että tämä indikaattori, joka on laskettu kaikista kasinolla harjoitettavista peleistä, on laitoksen eduksi. Tämän avulla voit ansaita rahaa. Pitkän pelisarjan tapauksessa asiakkaan todennäköisyys menettää rahaa kasvaa merkittävästi.

Ammattipelaajien pelit rajoittuvat pieniin ajanjaksoihin, mikä lisää voittomahdollisuutta ja vähentää häviämisen riskiä. Sama kaava on havaittavissa sijoitustoiminnan suorituskyvyssä.

Sijoittaja voi ansaita merkittävän summan positiivisella odotuksella ja suurella määrällä transaktioita lyhyessä ajassa.

Odotusarvo voidaan ajatella erotuksena voittoprosentin (PW) kertaa keskimääräinen voitto (AW) ja tappion todennäköisyys (PL) ja keskimääräinen tappio (AL).

Harkitse esimerkiksi seuraavaa: asema - 12,5 tuhatta dollaria, salkku - 100 tuhatta dollaria, riski per talletus - 1%. Transaktioiden kannattavuus on 40 % tapauksista ja keskimääräinen voitto 20 %. Tappion sattuessa keskimääräinen tappio on 5 %. Kaupan matemaattisen odotuksen laskeminen antaa arvon 625 dollaria.

Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien numeeriset perusominaisuudet: matemaattinen odotus, varianssi ja keskihajonta. Niiden ominaisuudet ja esimerkit.

Jakaumalaki (jakaumafunktio ja jakauman sarja tai todennäköisyystiheys) kuvaavat täysin satunnaismuuttujan käyttäytymistä. Mutta useissa ongelmissa riittää, että tiedetään joitain tutkittavan suuren numeerisia ominaisuuksia (esimerkiksi sen keskiarvo ja mahdollinen poikkeama siitä), jotta voidaan vastata esitettyyn kysymykseen. Tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien tärkeimpiä numeerisia ominaisuuksia.

Määritelmä 7.1.matemaattinen odotus Diskreetti satunnaismuuttuja on sen mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien tulojen summa:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)

Jos satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön, niin jos tuloksena oleva sarja konvergoi absoluuttisesti.

Huomautus 1. Matemaattista odotusta kutsutaan joskus painotettu keskiarvo, koska se on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo suurelle määrälle kokeita.

Huomautus 2. Matemaattisen odotuksen määritelmästä seuraa, että sen arvo ei ole pienempi kuin satunnaismuuttujan pienin mahdollinen arvo eikä suurempi kuin suurin.

Huomautus 3. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-sattumanvarainen(vakio. Myöhemmin näemme, että sama pätee jatkuviin satunnaismuuttujiin.

Esimerkki 1. Etsi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- vakioosien lukumäärä kolmen joukosta, jotka on valittu 10 osan erästä, mukaan lukien 2 viallista. Tehdään jakelusarja X. Ongelman tilasta seuraa, että X voi ottaa arvot 1, 2, 3. Sitten

Esimerkki 2. Määrittele satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- kolikonheittojen määrä vaakunan ensimmäiseen ilmestymiseen asti. Tämä määrä voi ottaa äärettömän määrän arvoja (mahdollisten arvojen joukko on luonnollisten lukujen joukko). Sen jakelusarja on muotoa:

+ (laskettaessa käytettiin kahdesti äärettömästi pienenevän geometrisen progression summan kaavaa: , mistä ).

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet.

1) Vakion matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio:

M(FROM) = FROM.(7.2)

Todiste. Jos ajatellaan FROM diskreetti satunnaismuuttuja, joka saa vain yhden arvon FROM todennäköisyydellä R= 1 siis M(FROM) = FROM?1 = FROM.

2) Odotusmerkistä voidaan ottaa pois vakiotekijä:

M(SH) = CM(X). (7.3)

Todiste. Jos satunnaismuuttuja X jakelusarjan antama

Sitten M(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = FROM(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Määritelmä 7.2. Kutsutaan kahta satunnaismuuttujaa riippumaton, jos yhden niistä jakautumislaki ei riipu siitä, mitkä arvot toinen on ottanut. Muuten satunnaismuuttujia riippuvainen.

Määritelmä 7.3. Soitetaan riippumattomien satunnaismuuttujien tulo X ja Y Satunnaismuuttuja XY, jonka mahdolliset arvot ovat yhtä suuria kuin kaikkien mahdollisten arvojen tulot X kaikille mahdollisille arvoille Y, ja niitä vastaavat todennäköisyydet ovat yhtä suuria kuin tekijöiden todennäköisyyksien tulot.

3) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Todiste. Laskelmien yksinkertaistamiseksi rajoitamme tapaukseen, jolloin X ja Y ota vain kaksi mahdollista arvoa:

Näin ollen M(XY) = x 1 y 1 ?s 1 g 1 + x 2 y 1 ?s 2 g 1 + x 1 y 2 ?s 1 g 2 + x 2 y 2 ?s 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 s 1 + x 2 s 2) + + y 2 g 2 (x 1 s 1 + x 2 s 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 s 1 + x 2 s 2) = M(X)?M(Y).

Huomautus 1. Vastaavasti tämä ominaisuus voidaan todistaa useammille mahdollisille tekijöiden arvoille.

Huomautus 2. Ominaisuus 3 pätee minkä tahansa määrän riippumattomien satunnaismuuttujien tulolle, mikä todistetaan matemaattisen induktion menetelmällä.

Määritelmä 7.4. Määritellään satunnaismuuttujien summa X ja Y satunnaismuuttujana X + Y, jonka mahdolliset arvot ovat yhtä suuria kuin kunkin mahdollisen arvon summat X kaikilla mahdollisilla arvoilla Y; tällaisten summien todennäköisyydet ovat yhtä suuria kuin termien todennäköisyyksien tulot (riippuvaisille satunnaismuuttujille - yhden termin todennäköisyyden tulot toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa).

4) Kahden satunnaismuuttujan (riippuvaisen tai riippumattoman) summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Todiste.

Tarkastellaan uudelleen ominaisuuden 3 todistuksessa annettujen jakaumasarjojen antamia satunnaismuuttujia. Sitten mahdolliset arvot X+Y ovat X 1 + klo 1 , X 1 + klo 2 , X 2 + klo 1 , X 2 + klo 2. Merkitse niiden todennäköisyydet vastaavasti R 11 , R 12 , R 21 ja R 22. Etsitään M(X+Y) = (x 1 + y 1)s 11 + (x 1 + y 2)s 12 + (x 2 + y 1)s 21 + (x 2 + y 2)s 22 =

= x 1 (s 11 + s 12) + x 2 (s 21 + s 22) + y 1 (s 11 + s 21) + y 2 (s 12 + s 22).

Todistetaan se R 11 + R 22 = R yksi . Todellakin, tapahtuma, joka X+Y ottaa arvot X 1 + klo 1 tai X 1 + klo 2 ja jonka todennäköisyys on R 11 + R 22 osuu samaan tapahtumaan X = X 1 (sen todennäköisyys on R yksi). Samoin se on todistettu s 21 + s 22 = R 2 , s 11 + s 21 = g 1 , s 12 + s 22 = g 2. tarkoittaa,

M(X+Y) = x 1 s 1 + x 2 s 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Kommentti. Ominaisuus 4 tarkoittaa, että minkä tahansa määrän satunnaismuuttujia summa on yhtä suuri kuin ehtojen odotusarvojen summa.

Esimerkki. Etsi viisi noppaa heittäessäsi heitettyjen pisteiden summan matemaattinen odotus.

Etsitään matemaattinen odotus pistemäärästä, joka putosi yhtä noppaa heittäessä:

M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Sama luku on yhtä suuri kuin mihin tahansa noppaan putoavien pisteiden lukumäärän matemaattinen odotus. Siksi kiinteistön 4 mukaan M(X)=

Dispersio.

Saadakseen käsityksen satunnaismuuttujan käyttäytymisestä ei riitä, että tietää vain sen matemaattinen odotus. Harkitse kahta satunnaismuuttujaa: X ja Y, annetaan lomakkeen jakelusarjoina

Etsitään M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 ​​+ 100? 0,5 ​​\u003d 50. Kuten näette, molempien suureiden matemaattiset odotukset ovat samat, mutta jos HM(X) kuvaa hyvin satunnaismuuttujan käyttäytymistä, koska se on sen todennäköisin mahdollinen arvo (lisäksi loput arvot poikkeavat hieman 50:stä), niin arvot Y poiketa merkittävästi M(Y). Siksi matemaattisen odotuksen ohella on toivottavaa tietää, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot poikkeavat siitä. Dispersiota käytetään karakterisoimaan tätä indikaattoria.

Määritelmä 7.5.Dispersio (sironta) satunnaismuuttujaa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi neliöstä, jolla se poikkeaa sen matemaattisesta odotuksesta:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Etsi satunnaismuuttujan varianssi X(vakioosien lukumäärä valituista) tämän luennon esimerkissä 1. Lasketaan kunkin mahdollisen arvon neliöllisen poikkeaman arvot matemaattisesta odotuksesta:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Näin ollen

Huomautus 1. Varianssin määritelmässä ei arvioida itse poikkeamaa keskiarvosta, vaan sen neliö. Tämä tehdään niin, että eri merkkien poikkeamat eivät kompensoi toisiaan.

Huomautus 2. Dispersion määritelmästä seuraa, että tämä suure saa vain ei-negatiivisia arvoja.

Huomautus 3. Varianssin laskemiseen on kätevämpi kaava, jonka pätevyys todistetaan seuraavalla lauseella:

Lause 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Todiste.

Käyttämällä mitä M(X) on vakioarvo, ja matemaattisen odotuksen ominaisuudet muunnamme kaavan (7.6) muotoon:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), mikä oli todistettava.

Esimerkki. Lasketaan satunnaismuuttujien varianssit X ja Y käsitellään tämän osan alussa. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) \u003d (0 2? 0,5 ​​+ 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Joten toisen satunnaismuuttujan dispersio on useita tuhansia kertoja suurempi kuin ensimmäisen. Näin ollen, vaikka tietämättäkään näiden määrien jakautumislakeja, dispersion tunnettujen arvojen mukaan voimme todeta, että X poikkeaa vähän matemaattisista odotuksistaan, kun taas for Y tämä poikkeama on erittäin merkittävä.

Dispersioominaisuudet.

1) Dispersiovakio FROM on yhtä kuin nolla:

D (C) = 0. (7.8)

Todiste. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkistä neliöimällä se:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Todiste. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Todiste. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Seuraus 1. Useiden toisistaan ​​riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa.

Seuraus 2. Vakion ja satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssi.

4) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Todiste. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Varianssi antaa satunnaismuuttujan keskiarvon neliöllisen poikkeaman keskiarvon; poikkeaman arvioimiseksi on arvo, jota kutsutaan keskihajotukseksi.

Määritelmä 7.6.Standardipoikkeamaσ satunnaismuuttuja X kutsutaan varianssin neliöjuureksi:

Esimerkki. Edellisessä esimerkissä keskihajonnat X ja Y vastaavasti yhtä suuret

Jakaumalakien lisäksi voidaan kuvata myös satunnaismuuttujia numeeriset ominaisuudet .

matemaattinen odotus Satunnaismuuttujan M (x):tä kutsutaan sen keskiarvoksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus lasketaan kaavalla

missä – satunnaismuuttujan arvot, s minä- niiden todennäköisyyksiä.

Harkitse matemaattisen odotuksen ominaisuuksia:

1. Vakion matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio

2. Jos satunnaismuuttuja kerrotaan tietyllä luvulla k, niin matemaattinen odotus kerrotaan samalla luvulla

M (kx) = km (x)

3. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Riippumattomille satunnaismuuttujille x 1 , x 2 , … x n tuotteen matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Lasketaan matemaattinen odotus satunnaismuuttujalle esimerkistä 11.

M(x) == .

Esimerkki 12. Olkoon satunnaismuuttujat x 1 , x 2 annettu vastaavasti jakautumislailla:

x 1 Taulukko 2

x 2 Taulukko 3

Laske M (x 1) ja M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Molempien satunnaismuuttujien matemaattiset odotukset ovat samat - ne ovat nolla. Niiden jakautuminen on kuitenkin erilainen. Jos x 1:n arvot poikkeavat vähän heidän matemaattisista odotuksistaan, niin x 2:n arvot eroavat suuresti heidän matemaattisesta odotuksestaan, eivätkä tällaisten poikkeamien todennäköisyydet ole pieniä. Nämä esimerkit osoittavat, että keskiarvosta on mahdotonta määrittää, mitä poikkeamia siitä tapahtuu sekä ylös- että alaspäin. Näin ollen kahdella paikkakunnalla samalla keskimääräisellä vuotuisella sademäärällä ei voida sanoa, että nämä paikkakunnat olisivat yhtä suotuisia maataloustyölle. Vastaavasti keskipalkkojen indikaattorilla ei ole mahdollista arvioida korkea- ja matalapalkkaisten osuutta. Siksi otetaan käyttöön numeerinen ominaisuus - dispersio D(x) , joka kuvaa satunnaismuuttujan poikkeamaa sen keskiarvosta:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersio on matemaattinen odotus satunnaismuuttujan neliöidylle poikkeamalle matemaattisesta odotuksesta. Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan kaavalla:

D(x)= = (3)

Varianssin määritelmästä seuraa, että D (x) 0.

Dispersioominaisuudet:

1. Vakion dispersio on nolla

2. Jos satunnaismuuttuja kerrotaan jollakin luvulla k, niin varianssi kerrotaan tämän luvun neliöllä

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Pareittain riippumattomille satunnaismuuttujille x 1 , x 2 , … x n summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Lasketaan esimerkin 11 satunnaismuuttujan varianssi.

Matemaattinen odotus M (x) = 1. Siksi kaavan (3) mukaan meillä on:

D (x) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2

Huomaa, että varianssin laskeminen on helpompaa, jos käytämme ominaisuutta 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Lasketaan esimerkin 12 satunnaismuuttujien x 1 , x 2 varianssit tällä kaavalla. Molempien satunnaismuuttujien matemaattiset odotukset ovat nolla.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,003d \u0002

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Mitä lähempänä dispersion arvo on nollaa, sitä pienempi on satunnaismuuttujan hajonta suhteessa keskiarvoon.

Arvoa kutsutaan keskihajonta. Satunnainen muoti x diskreetti tyyppi Md on satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa suurinta todennäköisyyttä.

Satunnainen muoti x jatkuva tyyppi Md, on reaaliluku, joka määritellään todennäköisyysjakauman tiheyden f(x) maksimipisteeksi.

Satunnaismuuttujan mediaani x jatkuva tyyppi Mn on reaaliluku, joka täyttää yhtälön

Jokainen yksittäinen arvo määräytyy täysin sen jakautumisfunktion mukaan. Käytännön ongelmien ratkaisemiseksi riittää myös useiden numeeristen ominaisuuksien tunteminen, joiden ansiosta on mahdollista esittää satunnaismuuttujan pääpiirteet tiiviissä muodossa.

Nämä määrät ovat ensisijaisesti odotettu arvo ja dispersio .

Odotettu arvo- satunnaismuuttujan keskiarvo todennäköisyysteoriassa. Nimetty nimellä .

Yksinkertaisimmalla tavalla satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X(w), löytyvät muodossa kiinteäLebesgue todennäköisyysmittauksen suhteen R alkuperäinen todennäköisyysavaruus

Voit myös löytää arvon as:n matemaattisen odotuksen Lebesguen integraali alkaen X todennäköisyysjakauman mukaan R X määriä X:

missä on kaikkien mahdollisten arvojen joukko X.

Satunnaismuuttujan funktioiden matemaattinen odotus X tapahtuu jakelun kautta R X. Esimerkiksi, jos X- satunnaismuuttuja, jonka arvot ovat ja f(x)- yksiselitteinen Boreltoiminto X , sitten:

Jos F(x)- jakelutoiminto X, silloin matemaattinen odotus on edustava kiinteäLebesgue - Stieltjes (tai Riemann - Stieltjes):

kun taas integroitavuus X missä mielessä ( * ) vastaa integraalin äärellisyyttä

Erityistapauksissa, jos X on diskreetti jakauma todennäköisillä arvoilla x k, k = 1, 2, . , ja todennäköisyydet sitten

jos X on ehdottoman jatkuva jakauma todennäköisyystiheydellä p(x), sitten

tässä tapauksessa matemaattisen odotuksen olemassaolo vastaa vastaavan sarjan tai integraalin absoluuttista konvergenssia.

Satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ominaisuudet.

• Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tämä arvo:

C- vakio;

• M=C.M[X]

• Satunnaisesti otettujen arvojen summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin heidän matemaattisten odotustensa summa:

• Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus = heidän matemaattisten odotustensa tulo:

M=M[X]+M[Y]

jos X ja Y riippumaton.

jos sarja lähentyy:

Algoritmi matemaattisen odotuksen laskemiseksi.

Diskreettien satunnaismuuttujien ominaisuudet: kaikki niiden arvot voidaan numeroida uudelleen luonnollisilla luvuilla; rinnastaa jokainen arvo nollasta poikkeavaan todennäköisyyteen.

1. Kerro parit vuorotellen: x i päällä pi.

2. Lisää kunkin parin tulo x i p i.

Esimerkiksi, varten n = 4 :

Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio vaiheittain se kasvaa äkillisesti niissä kohdissa, joiden todennäköisyydet ovat positiivisia.

Esimerkki: Etsi matemaattinen odotus kaavan avulla.