Matriisiluvut ja vektorit. Lineaarioperaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit

HOMOGEENISTEN LINEAARISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄ

Homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on muotoinen järjestelmä

On selvää, että tässä tapauksessa , koska näiden determinanttien yhden sarakkeen kaikki elementit ovat yhtä suuria kuin nolla.

Koska tuntemattomat löydetään kaavojen mukaan , silloin kun Δ ≠ 0, järjestelmällä on ainutlaatuinen nollaratkaisu x = y = z= 0. Kuitenkin monissa ongelmissa mielenkiintoinen kysymys on, onko homogeenisella järjestelmällä muita ratkaisuja kuin nolla.

Lause. Jotta lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisulla olisi nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että Δ ≠ 0.

Joten jos determinantti Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos Δ ≠ 0, niin lineaarisilla homogeenisilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja.

Esimerkkejä.

Matriisin ominaisvektorit ja ominaisarvot

Olkoon neliömatriisi annettu , X– jokin matriisisarake, jonka korkeus on sama kuin matriisin järjestys A. .

Monissa ongelmissa meidän on otettava huomioon yhtälö for X

missä λ on tietty luku. On selvää, että millä tahansa λ:lla tällä yhtälöllä on nollaratkaisu.

Kutsutaan lukua λ, jolle tällä yhtälöllä on nollasta poikkeavat ratkaisut ominaisarvo matriiseja A, A X tällaista λ:ta kutsutaan ominaisvektori matriiseja A.

Etsitään matriisin ominaisvektori A. Koska E∙X = X, niin matriisiyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon tai . Laajennetussa muodossa tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen lineaaristen yhtälöiden järjestelmäksi. Todella .

Ja siksi

Joten olemme saaneet homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmän koordinaattien määrittämiseksi x 1, x 2, x 3 vektori X. Jotta järjestelmässä olisi nollasta poikkeavia ratkaisuja, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ts.

Tämä on λ:n kolmannen asteen yhtälö. Sitä kutsutaan ominaisyhtälö matriiseja A ja sen avulla määritetään λ:n ominaisarvot.

Jokainen ominaisarvo λ vastaa ominaisvektoria X, jonka koordinaatit määritetään järjestelmästä vastaavalla λ:n arvolla.

Esimerkkejä.

VEKTORIN ALGEBRA. VEKTORIN KÄSITE

Fysiikan eri aloja tutkiessa on suureita, jotka määritetään täysin määrittämällä niiden numeeriset arvot, esimerkiksi pituus, pinta-ala, massa, lämpötila jne. Tällaisia ​​määriä kutsutaan skalaariksi. Niiden lisäksi on kuitenkin olemassa myös suureita, joiden määrittämiseksi numeerisen arvon lisäksi on tiedettävä myös niiden suunta avaruudessa, esimerkiksi kehoon vaikuttava voima, voiman nopeus ja kiihtyvyys. kehon liikkuessa avaruudessa, magneettikentän voimakkuus tietyssä avaruuden pisteessä jne. Tällaisia ​​suureita kutsutaan vektorisuureiksi.

Otetaan käyttöön tiukka määritelmä.

Ohjattu jakso Kutsutaan segmentti, jonka päihin nähden tiedetään, mikä niistä on ensimmäinen ja mikä toinen.

Vektori jota kutsutaan suunnatuksi segmentiksi, jolla on tietty pituus, ts. Tämä on tietynpituinen segmentti, jossa yksi sitä rajoittavista pisteistä otetaan alkuun ja toinen lopuksi. Jos A- vektorin alku, B on sen loppu, silloin vektoria merkitään symbolilla, lisäksi vektoria merkitään usein yhdellä kirjaimella. Kuvassa vektori on merkitty segmentillä ja sen suunta nuolella.

Moduuli tai pituus Vektoria kutsutaan sen määrittävän suunnatun segmentin pituudeksi. Merkitään || tai ||.

Sisällytämme vektoreiksi myös ns. nollavektorin, jonka alku ja loppu ovat samat. Se on nimetty. Nollavektorilla ei ole tiettyä suuntaa ja sen moduuli on nolla ||=0.

Vektoreita kutsutaan kollineaarinen, jos ne sijaitsevat samalla linjalla tai rinnakkaisilla linjoilla. Lisäksi, jos vektorit ja ovat samassa suunnassa, kirjoitamme , päinvastoin.

Kutsutaan vektoreita, jotka sijaitsevat saman tason suuntaisilla suorilla koplanaarinen.

Näitä kahta vektoria kutsutaan yhtä suuri, jos ne ovat kollineaarisia, niillä on sama suunta ja yhtä pitkiä. Tässä tapauksessa he kirjoittavat.

Vektorien yhtäläisyyden määritelmästä seuraa, että vektori voidaan kuljettaa rinnakkain itsensä kanssa asettamalla sen alkupiste mihin tahansa avaruuden pisteeseen.

Esimerkiksi.

LINEAARISET OPERATIOT VEKTOREILLA

1. Vektorin kertominen luvulla.

   Vektorin ja luvun λ tulo on uusi vektori siten, että:

   Vektorin ja luvun λ tuloa merkitään .

   

   Esimerkiksi, on vektori, joka on suunnattu samaan suuntaan kuin vektori ja jonka pituus on puolet vektorin pituudesta.

   Esitetyllä toiminnolla on seuraava ominaisuuksia:

2. Vektorin lisäys.

   Olkoon ja kaksi mielivaltaista vektoria. Otetaan mielivaltainen kohta O ja rakentaa vektori. Sen jälkeen pisteestä A laitetaan vektori sivuun. Kutsutaan vektoria, joka yhdistää ensimmäisen vektorin alun toisen loppuun määrä näistä vektoreista ja on merkitty .

   

   Muotoiltua vektorinlisäyksen määritelmää kutsutaan suunnikassääntö, koska sama vektorien summa voidaan saada seuraavasti. Siirretään pisteestä O vektorit ja . Muodostetaan suunnikas näille vektoreille OABC. Koska vektorit, niin sitten vektori, joka on kärjestä vedetyn suunnikkaan diagonaali O, on ilmeisesti vektorien summa.

   

   Seuraavat asiat on helppo tarkistaa vektorin lisäyksen ominaisuudet.

3. Vektori ero.

   Kutsutaan vektoria, joka on kollineaarinen tietylle vektorille, yhtä pitkä ja vastakkaiseen suuntaan vastapäätä vektori vektorille ja sitä merkitään . Vastakkaista vektoria voidaan pitää tuloksena kertomalla vektori luvulla λ = –1: .

www.sivusto antaa sinun löytää. Sivusto suorittaa laskennan. Muutamassa sekunnissa palvelin antaa oikean ratkaisun. Matriisin ominaisyhtälö on algebrallinen lauseke, joka löydetään käyttämällä determinantin laskentasääntöä matriiseja matriiseja, kun taas päädiagonaalia pitkin diagonaalielementtien ja muuttujan arvoissa on eroja. Laskettaessa ominaisyhtälö matriisille verkossa, jokainen elementti matriiseja kerrotaan vastaavilla muilla elementeillä matriiseja. Etsi tilassa verkossa mahdollista vain neliölle matriiseja. Operaatioiden löytäminen ominaisyhtälö matriisille verkossa pelkistyy elementtien tulon algebrallisen summan laskemiseen matriiseja determinantin löytämisen seurauksena matriiseja, vain määrittämistä varten ominaisyhtälö matriisille verkossa. Tällä operaatiolla on erityinen paikka teoriassa matriiseja, voit löytää ominaisarvoja ja vektoreita juurien avulla. Tehtävä löytää ominaisyhtälö matriisille verkossa koostuu kertovista elementeistä matriiseja minkä jälkeen nämä tuotteet lasketaan yhteen tietyn säännön mukaisesti. www.sivusto löytöjä matriisin ominaisyhtälö annettu mitta tilassa verkossa. Laskeminen ominaisyhtälö matriisille verkossa mitataan, tämä on polynomin löytäminen numeerisilla tai symbolisilla kertoimilla, jotka löytyvät determinantin laskentasäännön mukaan matriiseja- vastaavien elementtien tulojen summana matriiseja, vain määrittämistä varten ominaisyhtälö matriisille verkossa. Polynomin löytäminen neliöllisen muuttujan suhteen matriiseja, määritelmänä matriisin ominaisyhtälö, yleistä teoriassa matriiseja. Polynomin juurien merkitys ominaisyhtälö matriisille verkossa käytetään ominaisvektorien ja ominaisarvojen määrittämiseen matriiseja. Lisäksi jos määräävä tekijä matriiseja on silloin yhtä suuri kuin nolla matriisin ominaisyhtälö on edelleen olemassa, toisin kuin päinvastoin matriiseja. Laskeakseen matriisin ominaisyhtälö tai etsi useita kerralla matriisien ominaisyhtälöt, sinun on käytettävä paljon aikaa ja vaivaa, kun taas palvelimemme löytää sen muutamassa sekunnissa ominaisyhtälö matriisille verkossa. Tässä tapauksessa vastaus etsimiseen ominaisyhtälö matriisille verkossa on oikein ja riittävän tarkasti, vaikka numerot löydettäessä ominaisyhtälö matriisille verkossa tulee olemaan järjetöntä. Sivustolla www.sivusto merkkimerkinnät ovat sallittuja elementeissä matriiseja, tuo on ominaisyhtälö matriisille verkossa voidaan esittää yleisessä symbolisessa muodossa laskettaessa matriisin ominaisyhtälö verkossa. Saatu vastaus on hyödyllistä tarkistaa etsimisongelmaa ratkaistaessa ominaisyhtälö matriisille verkossa käyttämällä sivustoa www.sivusto. Suorittaessasi polynomin laskentatoimintoa - matriisin ominaisyhtälö, sinun on oltava varovainen ja erittäin keskittynyt ratkaiseessasi tätä ongelmaa. Sivustomme puolestaan ​​auttaa sinua tarkistamaan päätöksesi aiheesta matriisin ominaisyhtälö verkossa. Jos sinulla ei ole aikaa ratkaistujen ongelmien pitkiin tarkastuksiin, niin www.sivusto on varmasti kätevä työkalu etsimiseen ja laskemiseen ominaisyhtälö matriisille verkossa.

Jos matriisilla A on sellainen luku l, että AX = lX.

Tässä tapauksessa kutsutaan numeroa l ominaisarvo operaattori (matriisi A), joka vastaa vektoria X.

Toisin sanoen ominaisvektori on vektori, joka lineaarioperaattorin vaikutuksesta muuttuu kollineaariseksi vektoriksi, ts. kerro vain jollain numerolla. Sitä vastoin väärät vektorit ovat monimutkaisempia muunnettavissa.

Kirjoitetaan ominaisvektorin määritelmä yhtälöjärjestelmän muodossa:

Siirretään kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Jälkimmäinen järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon seuraavasti:

(A - lE)X = O

Tuloksena olevalla järjestelmällä on aina nollaratkaisu X = O. Sellaisia ​​järjestelmiä, joissa kaikki vapaat termit ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan homogeeninen. Jos tällaisen järjestelmän matriisi on neliö ja sen determinantti ei ole nolla, niin Cramerin kaavoja käyttämällä saamme aina ainutlaatuisen ratkaisun - nollan. Voidaan todistaa, että järjestelmässä on nollasta poikkeavia ratkaisuja, jos ja vain, jos tämän matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ts.

|A - lE| = = 0

Tätä yhtälöä tuntemattomalla l:llä kutsutaan ominaisyhtälö (ominaispolynomi) matriisi A (lineaarinen operaattori).

Voidaan osoittaa, että lineaarioperaattorin karakteristinen polynomi ei riipu kantan valinnasta.

Etsitään esimerkiksi matriisin A = määrittelemän lineaarioperaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Tätä varten luodaan ominaisyhtälö |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 21 + 1 2 - 36 = 12 - 21 - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; ominaisarvot l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Ominaisuusvektorien löytämiseksi ratkaisemme kaksi yhtälöjärjestelmää

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Ensimmäiselle niistä laajennettu matriisi ottaa muodon

,

mistä x2 = c, x1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, so. X(1) = (-(2/3)s; s).

Toiselle niistä laajennettu matriisi saa muodon

,

mistä x2 = c1, x1 - (2/3)c1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, so. X(2) = ((2/3)s 1; s 1).

Siten tämän lineaarisen operaattorin ominaisvektorit ovat kaikki muotoa (-(2/3)с; с) olevat vektorit ominaisarvolla (-5) ja kaikki vektorit muotoa ((2/3)с 1 ; с 1) ominaisarvo 7.

Voidaan osoittaa, että operaattorin A matriisi sen ominaisvektoreista koostuvassa kannassa on diagonaalinen ja muotoa:

,

missä l i ovat tämän matriisin ominaisarvot.

Päinvastoin on myös totta: jos matriisi A jossakin kannassa on diagonaalinen, niin kaikki tämän kannan vektorit ovat tämän matriisin ominaisvektoreita.

Voidaan myös todistaa, että jos lineaarisella operaattorilla on n pareittain erillistä ominaisarvoa, niin vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja tämän operaattorin matriisilla vastaavassa kannassa on diagonaalimuoto.

Havainnollistetaan tätä edellisellä esimerkillä. Otetaan mielivaltaiset nollasta poikkeavat arvot c ja c 1, mutta siten, että vektorit X (1) ja X (2) ovat lineaarisesti riippumattomia, ts. muodostaisi pohjan. Olkoon esimerkiksi c = c 1 = 3, sitten X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Varmistetaan näiden vektorien lineaarinen riippumattomuus:

12 ≠ 0. Tässä uudessa kannassa matriisi A saa muotoa A * = .

Tämän tarkistamiseksi käytetään kaavaa A * = C -1 AC. Etsitään ensin C -1.

C-1 = ;

Neliön muodot

Neliöllinen muoto n muuttujan f(x 1, x 2, x n) kutsutaan summaksi, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan matriisi neliömuoto. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij = a ji).

Matriisimerkinnässä neliömuoto on f(X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan neliömuoto matriisimuotoon.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin neliömuuttujien kertoimet, ja loput elementit ovat yhtä suuria kuin neliömuodon vastaavien kertoimien puolikkaat. Siksi

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä C on n:nnen kertaluvun ei-singulaarinen matriisi. Sitten neliömuoto f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Siten ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella C neliömuotoinen matriisi saa muodon: A * = C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f(y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys), jos kaikki sen kertoimet a ij = 0 kun i ≠ j, ts.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(todistetta ei ole annettu täällä). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Esimerkiksi pelkistetään neliömuoto kanoniseen muotoon
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin kokonaisen neliön muuttujalla x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme täydellisen neliön muuttujalla x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 ja y 3 = x 3 tuo tämän toisen asteen muodon kanoniseen muotoon f(y 1, y 2 , y 3) = 2 y 1 2 - 5 y 2 2 + (1/20) y 3 2 .

Huomaa, että toisen asteen muodon kanoninen muoto määritetään moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoon eri tavoin). Eri menetelmillä saaduilla kanonisilla muodoilla on kuitenkin useita yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti neliömuodon positiivisilla (negatiivisilla) kertoimilla varustettujen termien määrä ei riipu menetelmästä, jolla muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin). Tätä ominaisuutta kutsutaan toisen asteen muotojen hitauslaiksi.

Varmistetaan tämä tuomalla sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3 = -3 x 2 2 - x 2 x 3 + 4 x 1 x 2 + 2 x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, missä y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ja y 3 = x 1. Tässä on negatiivinen kerroin -3 kohdassa y 1 ja kaksi positiivista kerrointa 3 ja 2 kohdassa y 2 ja y 3 (ja toisella menetelmällä saimme negatiivisen kertoimen (-5) kohdassa y 2 ja kaksi positiivista: 2 kohdassa y 1 ja 1/20 v 3).

On myös huomattava, että asteikolla matriisin neliömuotoinen, ns asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä eikä muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f(X). positiivisesti (negatiivinen) varma, jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuret kuin nolla, se on positiivinen, ts. f(X) > 0 (negatiivinen, ts.
f(X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 on positiivinen, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossa f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon varman merkin määrittäminen on jonkin verran vaikeampaa, joten käytämme tätä varten jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause. Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty silloin ja vain, jos kaikki sen matriisin ominaisarvot ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause(Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin johtavat minorit ovat positiivisia.

Pää (kulma) alaikäinen N:nnen kertaluvun k:nnen kertaluvun matriisia A kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin A () ensimmäisistä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivisissa määritetyissä asteen muodoissa pää-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollin tulee olla negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkin määrittämistä varten.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = 12 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin A ensimmäisen kertaluvun päämolli D 1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun päämolli D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Siksi Sylvesterin kriteerin mukaan neliömuoto on positiivinen selvä.

Tarkastellaan toista toisen asteen muotoa merkin määrittämiselle, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = 12 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.

Menetelmä 2. Matriisin A ensimmäisen kertaluvun päämolli D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Sylvesterin kriteerin mukaan neliömuoto on siis negatiivinen definiitti (päämollin merkit vuorottelevat, alkaen miinuksesta).

Ja toisena esimerkkinä tarkastelemme etumerkkimääräistä neliömuotoa f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Toinen näistä luvuista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Ominaisuusarvojen merkit ovat erilaisia. Näin ollen neliömuoto ei voi olla negatiivisesti eikä positiivisesti määrätty, ts. tämä neliömuoto ei ole merkkimääräinen (se voi ottaa minkä tahansa merkin arvoja).

Menetelmä 2. Matriisin A ensimmäisen kertaluvun päämolli D 1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun päämolli D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Diagonaalimatriiseilla on yksinkertaisin rakenne. Herää kysymys, onko mahdollista löytää kanta, jossa lineaarioperaattorin matriisilla olisi diagonaalinen muoto. Tällainen perusta on olemassa.
Olkoon meille annettu lineaarinen avaruus R n ja siinä toimiva lineaarinen operaattori A; tässä tapauksessa operaattori A ottaa R n:n itseensä, eli A:R n → R n .

Määritelmä. Nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan operaattorin A ominaisvektoriksi, jos operaattori A muuttuu kollineaariseksi vektoriksi, ts. Lukua λ kutsutaan ominaisvektoria vastaavaksi operaattorin A ominaisarvoksi tai ominaisarvoksi.
Huomioikaa joitain ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuuksia.
1. Mikä tahansa ominaisvektorien lineaarinen yhdistelmä Samaa ominaisarvoa λ vastaava operaattori A on ominaisvektori, jolla on sama ominaisarvo.
2. Ominaisvektorit Operaattori A, jolla on pareittain erilaiset ominaisarvot λ 1 , λ 2 , …, λ m ovat lineaarisesti riippumattomia.
3. Jos ominaisarvot λ 1 =λ 2 = λ m = λ, niin ominaisarvo λ vastaa enintään m lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Eli jos on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria , jotka vastaavat erilaisia ​​ominaisarvoja λ 1, λ 2, ..., λ n, niin ne ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa avaruuden R n perustaksi. Etsitään lineaarisen operaattorin A matriisin muoto sen ominaisvektorien perusteella, jolle toimimme operaattorin A kanssa kantavektoreiden perusteella: Sitten .
Siten lineaarioperaattorin A matriisilla sen ominaisvektorien perusteella on diagonaalimuoto ja operaattorin A ominaisarvot ovat diagonaalia pitkin.
Onko olemassa muuta perustaa, jossa matriisilla on diagonaalinen muoto? Vastaus tähän kysymykseen saadaan seuraavalla lauseella.

Lause. Lineaarisen operaattorin A matriisilla kannassa (i = 1..n) on diagonaalimuoto silloin ja vain, jos kaikki kannan vektorit ovat operaattorin A ominaisvektoreita.

Sääntö ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytämiseksi

. (*)

(1)
Missä - lineaarinen operaattorimatriisi.

Järjestelmällä (1) on nollasta poikkeava ratkaisu, jos sen determinantti D on nolla

Esimerkki 12. Lineaarinen operaattori A toimii R3:ssa lain mukaan, missä x 1, x 2, .., x n ovat kantavektorin koordinaatit , , . Etsi tämän operaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.
Ratkaisu. Rakennamme tämän operaattorin matriisin:
.
Luomme järjestelmän ominaisvektorien koordinaattien määrittämiseksi:

Muodostamme ominaisyhtälön ja ratkaisemme sen:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Korvaamalla λ = -1 järjestelmään, meillä on:
tai
Koska , silloin on kaksi riippuvaa muuttujaa ja yksi vapaa muuttuja.
Olkoon siis x 1 vapaa tuntematon Ratkaisemme tämän järjestelmän millä tahansa tavalla ja löydämme tämän järjestelmän yleisen ratkaisun: Ratkaisujen perusjärjestelmä koostuu yhdestä ratkaisusta, koska n - r = 3 - 2 = 1.
Ominaisarvoa λ = -1 vastaavalla ominaisvektorijoukolla on muoto: , jossa x 1 on mikä tahansa muu luku kuin nolla. Valitaan yksi vektori tästä joukosta, esimerkiksi laittamalla x 1 = 1: .
Samalla tavalla päätellen löydämme ominaisarvoa λ = 3 vastaavan ominaisvektorin: .
Avaruudessa R3 kanta koostuu kolmesta lineaarisesti riippumattomasta vektorista, mutta saimme vain kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, joista kantaa R3:ssa ei voida muodostaa. Näin ollen emme voi pelkistää lineaarioperaattorin matriisia A diagonaalimuotoon.

Esimerkki 13. Annettu matriisi .
1. Todista, että vektori on matriisin A ominaisvektori. Etsi tätä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo.
2. Etsi kanta, jossa matriisilla A on diagonaalimuoto.
Ratkaisu.
1. Jos , niin on ominaisvektori

.
Vektori (1, 8, -1) on ominaisvektori. Ominaisarvo λ = -1.
Matriisilla on diagonaalinen muoto ominaisvektoreista koostuvassa kannassa. Yksi heistä on kuuluisa. Etsitään loput.
Etsimme ominaisvektoreita järjestelmästä:

Ominaisuusyhtälö: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Etsitään ominaisarvoa λ = -3 vastaava ominaisvektori:

Tämän järjestelmän matriisin arvo on kaksi ja yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, joten tällä järjestelmällä on vain nollaratkaisu x 1 = x 3 = 0. x 2 voi tässä olla mitä tahansa muuta kuin nolla, esimerkiksi x 2 = 1. Siten vektori (0 ,1,0) on ominaisvektori, joka vastaa arvoa λ = -3. Tarkistetaan:
.
Jos λ = 1, niin saadaan järjestelmä
Matriisin sijoitus on kaksi. Ylitämme viimeisen yhtälön.
Olkoon x 3 vapaa tuntematon. Sitten x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Olettaen, että x 3 = 1, meillä on (-3,-9,1) - ominaisarvoa λ = 1 vastaava ominaisvektori. Tarkista:

.
Koska ominaisarvot ovat todellisia ja erillisiä, niitä vastaavat vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa R3:n perustaksi. Perusteessa siis , , matriisilla A on muoto:
.
Lineaarisen operaattorin A:R n → R n jokaista matriisia ei voida pelkistää diagonaalimuotoon, koska joillakin lineaarisilla operaattoreilla voi olla vähemmän kuin n lineaarista riippumatonta ominaisvektoria. Kuitenkin, jos matriisi on symmetrinen, niin monikertaisuuden m ominaisyhtälön juuri vastaa täsmälleen m lineaarisesti riippumatonta vektoria.

Määritelmä. Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, jossa päädiagonaalin suhteen symmetriset elementit ovat yhtä suuret, eli jossa .
Huomautuksia. 1. Kaikki symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat todellisia.
2. Pareittain eri ominaisarvoja vastaavan symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Yhtenä tutkitun laitteen monista sovelluksista tarkastelemme ongelmaa toisen kertaluvun käyrän tyypin määrittämisessä.

Neliomatriisin ominaisvektori on sellainen, joka kerrottuna annetulla matriisilla johtaa kollineaariseen vektoriin. Yksinkertaisesti sanottuna, kun matriisi kerrotaan ominaisvektorilla, jälkimmäinen pysyy samana, mutta kerrotaan tietyllä luvulla.

Määritelmä

Ominaisuusvektori on nollasta poikkeava vektori V, joka neliömatriisilla M kerrottuna kasvaa itsestään jollain luvulla λ. Algebrallisessa merkinnässä se näyttää tältä:

M × V = λ × V,

missä λ on matriisin M ominaisarvo.

Katsotaanpa numeerista esimerkkiä. Tallennuksen helpottamiseksi matriisin numerot erotetaan puolipisteellä. Otetaan matriisi:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Kerrotaan se sarakevektorilla:

• V = -2;

Kun kerromme matriisin sarakevektorilla, saamme myös sarakevektorin. Tiukassa matemaattisessa kielessä kaava 2 × 2 -matriisin kertomiseksi sarakevektorilla näyttää tältä:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 tarkoittaa matriisin M ensimmäisellä rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa olevaa elementtiä ja M22 toisella rivillä ja toisessa sarakkeessa olevaa elementtiä. Matriisissamme nämä alkiot ovat yhtä kuin M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Sarakevektorille nämä arvot ovat yhtä suuria kuin V11 = –2, V21 = 1. Tämän kaavan mukaan saamme seuraavan tuloksen neliömatriisin tulosta vektorilla:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Mukavuuden vuoksi kirjoitetaan sarakevektori riville. Joten kerroimme neliömatriisin vektorilla (-2; 1), jolloin saatiin vektori (4; -2). Ilmeisesti tämä on sama vektori kerrottuna λ = -2:lla. Lambda tarkoittaa tässä tapauksessa matriisin ominaisarvoa.

Matriisin ominaisvektori on kollineaarinen vektori, eli esine, joka ei muuta sijaintiaan avaruudessa, kun se kerrotaan matriisilla. Kollineaarisuuden käsite vektorialgebrassa on samanlainen kuin geometrian yhdensuuntaisuuden termi. Geometrisessä tulkinnassa kollineaariset vektorit ovat samansuuntaisia ​​eripituisia segmenttejä. Eukleideen ajoista lähtien tiedämme, että yhdellä suoralla on ääretön määrä sen rinnalla olevia viivoja, joten on loogista olettaa, että jokaisella matriisilla on ääretön määrä ominaisvektoreita.

Edellisestä esimerkistä on selvää, että ominaisvektorit voivat olla (-8; 4) ja (16; -8) ja (32, -16). Nämä ovat kaikki kollineaarisia vektoreita, jotka vastaavat ominaisarvoa λ = -2. Kerrottaessa alkuperäinen matriisi näillä vektoreilla saadaan silti vektori, joka eroaa alkuperäisestä 2 kertaa. Tästä syystä, kun ratkaistaan ​​ominaisvektorin löytämisen ongelmia, on välttämätöntä löytää vain lineaarisesti riippumattomia vektoriobjekteja. Useimmiten n × n -matriisissa on n määrä ominaisvektoreita. Laskimemme on suunniteltu toisen kertaluvun neliömatriisien analysointiin, joten lähes aina tuloksesta löytyy kaksi ominaisvektoria, paitsi tapauksissa, joissa ne ovat yhteneväisiä.

Yllä olevassa esimerkissä tiesimme alkuperäisen matriisin ominaisvektorin etukäteen ja määritimme selvästi lambda-luvun. Käytännössä kaikki tapahtuu kuitenkin päinvastoin: ensin löydetään ominaisarvot ja vasta sitten ominaisvektorit.

Ratkaisualgoritmi

Katsotaanpa alkuperäistä matriisia M uudelleen ja yritetään löytää sen molemmat ominaisvektorit. Joten matriisi näyttää tältä:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Ensin on määritettävä ominaisarvo λ, mikä edellyttää seuraavan matriisin determinantin laskemista:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Tämä matriisi saadaan vähentämällä tuntematon λ päädiagonaalin elementeistä. Determinantti määritetään standardikaavalla:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Koska vektorimme on oltava nollasta poikkeava, hyväksymme tuloksena olevan yhtälön lineaarisesti riippuvaiseksi ja samastamme determinanttimme detA nollaan.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Avataan sulut ja saadaan matriisin ominaisyhtälö:

λ 2 − 10 λ − 24 = 0

Tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö, joka on ratkaistava käyttämällä diskriminanttia.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminantin juuri on sqrt(D) = 14, joten λ1 = -2, λ2 = 12. Nyt jokaiselle lambda-arvolle on löydettävä ominaisvektori. Esitetään systeemikertoimet λ = -2:lle.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Tässä kaavassa E on identiteettimatriisi. Saadun matriisin perusteella luomme lineaarisen yhtälöjärjestelmän:

2x + 4v = 6x + 12v,

missä x ja y ovat ominaisvektorialkiot.

Keräätään kaikki X:t vasemmalta ja kaikki Y:t oikealta. Ilmeisesti - 4x = 8v. Jaa lauseke -4:llä ja saa x = -2y. Nyt voimme määrittää matriisin ensimmäisen ominaisvektorin ottamalla kaikki tuntemattomien arvot (muista lineaarisesti riippuvien ominaisvektorien ääretön). Otetaan y = 1, sitten x = –2. Siksi ensimmäinen ominaisvektori näyttää tältä V1 = (–2; 1). Palaa artikkelin alkuun. Tällä vektoriobjektilla kerroimme matriisin havainnollistaaksemme ominaisvektorin käsitteen.

Etsitään nyt ominaisvektori arvolle λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Luodaan sama lineaarinen yhtälöjärjestelmä;

• -12x + 4v = 6x -2v
• -18x = -6v
• 3x = y.

Nyt otetaan x = 1, joten y = 3. Siten toinen ominaisvektori näyttää tältä V2 = (1; 3). Kun alkuperäinen matriisi kerrotaan tietyllä vektorilla, tuloksena on aina sama vektori kerrottuna 12:lla. Tähän ratkaisualgoritmi päättyy. Nyt tiedät kuinka määrittää matriisin ominaisvektori manuaalisesti.

• determinantti;
• jäljitys, eli päälävistäjän elementtien summa;
• rank, eli lineaarisesti riippumattomien rivien/sarakkeiden enimmäismäärä.

Ohjelma toimii yllä olevan algoritmin mukaisesti lyhentäen ratkaisuprosessia niin paljon kuin mahdollista. On tärkeää huomauttaa, että ohjelmassa lambda on merkitty kirjaimella "c". Katsotaanpa numeerista esimerkkiä.

Esimerkki ohjelman toiminnasta

Yritetään määrittää ominaisvektorit seuraavalle matriisille:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Syötetään nämä arvot laskimen soluihin ja saadaan vastaus seuraavassa muodossa:

• Matriisi sijoitus: 2;
• Matriisideterminantti: 18;
• Matriisijäljitys: 19;
• Ominaisuusvektorin laskeminen: c 2 − 19.00c + 18.00 (ominaisuusyhtälö);
• Omavektorilaskenta: 18 (ensimmäinen lambda-arvo);
• Omavektorilaskenta: 1 (toinen lambda-arvo);
• Yhtälöjärjestelmä vektorille 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Yhtälöjärjestelmä vektorille 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Ominaisuusvektori 1: (1; 1);
• Ominaisuusvektori 2: (-3,25; 1).

Siten saimme kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Johtopäätös

Lineaarinen algebra ja analyyttinen geometria ovat vakioaineita kaikille fuksi tekniikan pääaineille. Vektorien ja matriisien suuri määrä on pelottavaa, ja niin monimutkaisissa laskelmissa on helppo tehdä virheitä. Ohjelmamme avulla opiskelijat voivat tarkistaa laskelmansa tai ratkaista automaattisesti ominaisvektorin löytämisen ongelman. Luettelossamme on muita lineaarisia algebralaskijoita, joita voit käyttää opinnoissasi tai työssäsi.