Mitä tehdä, jos diskriminantti on 0 esimerkki. Kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöt

Tämä aihe voi aluksi tuntua monimutkaiselta monien ei niin yksinkertaisten kaavojen vuoksi. Paitsi että itse asteen yhtälöillä on pitkiä merkintöjä, myös juuret löytyvät diskriminantin kautta. Uusia kaavoja on yhteensä kolme. Ei kovin helppo muistaa. Tämä on mahdollista vasta tällaisten yhtälöiden toistuvan ratkaisun jälkeen. Sitten kaikki kaavat muistavat itsestään.

Yleinen näkymä toisen asteen yhtälöstä

Tässä ehdotetaan niiden nimenomaista merkintää, kun suurin aste kirjoitetaan ensin ja sitten - laskevassa järjestyksessä. Usein on tilanteita, joissa termit eroavat toisistaan. Sitten on parempi kirjoittaa yhtälö uudelleen muuttujan asteen mukaiseen laskevaan järjestykseen.

Otetaan käyttöön notaatio. Ne on esitetty alla olevassa taulukossa.

Jos hyväksymme nämä merkinnät, kaikki toisen asteen yhtälöt pelkistetään seuraavaan merkintään.

Lisäksi kerroin a ≠ 0. Merkitään tämä kaava numerolla yksi.

Kun yhtälö on annettu, ei ole selvää, kuinka monta juuria vastauksessa on. Koska yksi kolmesta vaihtoehdosta on aina mahdollinen:

ratkaisulla on kaksi juurta;
vastaus on yksi numero;
Yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan.

Ja vaikka päätöstä ei saada loppuun asti, on vaikea ymmärtää, mikä vaihtoehdoista putoaa tietyssä tapauksessa.

Neliöyhtälöiden tietuetyypit

Tehtävissä voi olla erilaisia merkintöjä. Ne eivät aina näytä toisen asteen yhtälön yleiseltä kaavalta. Joskus siitä puuttuu joitain termejä. Yllä kirjoitettu on täydellinen yhtälö. Jos poistat siitä toisen tai kolmannen termin, saat jotain erilaista. Näitä tietueita kutsutaan myös toisen asteen yhtälöiksi, vain epätäydellisiksi.

Lisäksi vain termit, joiden kertoimet "b" ja "c" voivat kadota. Luku "a" ei voi missään olosuhteissa olla yhtä suuri kuin nolla. Koska tässä tapauksessa kaava muuttuu lineaariseksi yhtälöksi. Kaavat yhtälöiden epätäydelliselle muodolle ovat seuraavat:

Joten on olemassa vain kaksi tyyppiä, täydellisten lisäksi on myös epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Olkoon ensimmäinen kaava numero kaksi ja toinen numero kolme.

Diskriminantti ja juurten lukumäärän riippuvuus sen arvosta

Tämä luku on tiedettävä, jotta yhtälön juuret voidaan laskea. Se voidaan aina laskea riippumatta siitä, mikä toisen asteen yhtälön kaava on. Diskriminantin laskemiseksi sinun on käytettävä alla olevaa yhtälöä, jolla on numero neljä.

Kun olet korvannut kertoimien arvot tähän kaavaan, voit saada lukuja eri merkeillä. Jos vastaus on kyllä, yhtälön vastaus on kaksi eri juuria. Negatiivisella luvulla toisen asteen yhtälön juuret puuttuvat. Jos se on nolla, vastaus on yksi.

Miten täydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan?

Itse asiassa tämän asian pohtiminen on jo aloitettu. Koska ensin sinun on löydettävä erottaja. Kun on selvitetty, että toisen asteen yhtälöllä on juuria ja niiden lukumäärä tiedetään, sinun on käytettävä muuttujien kaavoja. Jos juuria on kaksi, sinun on sovellettava tällaista kaavaa.

Koska se sisältää ±-merkin, arvoja on kaksi. Neliöjuuren alla oleva lauseke on diskriminantti. Siksi kaava voidaan kirjoittaa uudelleen eri tavalla.

Formula viisi. Samasta tietueesta voidaan nähdä, että jos diskriminantti on nolla, niin molemmat juuret ottavat samat arvot.

Jos toisen asteen yhtälöiden ratkaisua ei ole vielä laadittu, on parempi kirjoittaa kaikkien kertoimien arvot muistiin ennen erottelu- ja muuttujakaavojen soveltamista. Myöhemmin tämä hetki ei aiheuta vaikeuksia. Mutta heti alussa on hämmennystä.

Miten epätäydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan?

Täällä kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Edes lisäkaavoja ei tarvita. Etkä tarvitse niitä, jotka on jo kirjoitettu erottaville ja tuntemattomille.

Harkitse ensin epätäydellistä yhtälöä numero kaksi. Tässä yhtälössä on tarkoitus ottaa tuntematon arvo pois suluista ja ratkaista lineaarinen yhtälö, joka jää hakasulkeisiin. Vastauksella on kaksi juurta. Ensimmäinen on välttämättä nolla, koska siinä on tekijä, joka koostuu itse muuttujasta. Toinen saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälö.

Epätäydellinen yhtälö numerossa kolme ratkaistaan siirtämällä luku yhtälön vasemmalta puolelta oikealle. Sitten sinun on jaettava kertoimella tuntemattoman edessä. Jää vain poimia neliöjuuri ja älä unohda kirjoittaa sitä kahdesti päinvastaisilla merkeillä.

Seuraavassa on joitain toimintoja, jotka auttavat sinua oppimaan ratkaisemaan kaikenlaisia yhtälöitä, jotka muuttuvat toisen asteen yhtälöiksi. Ne auttavat opiskelijaa välttämään huolimattomuudesta johtuvia virheitä. Nämä puutteet ovat syynä huonoihin arvosanoihin tutkittaessa laajaa aihetta "Neliöyhtälöt (Grade 8)". Myöhemmin näitä toimintoja ei tarvitse suorittaa jatkuvasti. Koska tulee vakaa tapa.

Ensin sinun on kirjoitettava yhtälö vakiomuodossa. Eli ensin termi, jolla on muuttujan suurin aste, ja sitten - ilman astetta ja viimeistä - vain numero.

Jos miinus ilmestyy ennen kerrointa "a", se voi vaikeuttaa aloittelijan työtä toisen asteen yhtälöiden tutkimisessa. Siitä on parempi päästä eroon. Tätä tarkoitusta varten kaikki yhtäläisyys on kerrottava "-1":llä. Tämä tarkoittaa, että kaikkien termien merkki muuttuu päinvastaiseksi.

Samalla tavalla on suositeltavaa päästä eroon fraktioista. Yksinkertaisesti kerrotaan yhtälö sopivalla kertoimella niin, että nimittäjät kumoutuvat.

Esimerkkejä

Se on tarpeen ratkaista seuraavat toisen asteen yhtälöt:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ensimmäinen yhtälö: x 2 - 7x \u003d 0. Se on epätäydellinen, joten se ratkaistaan kaavan numero kaksi kuvatulla tavalla.

Haarukoinnin jälkeen käy ilmi: x (x - 7) \u003d 0.

Ensimmäinen juuri saa arvon: x 1 \u003d 0. Toinen löytyy lineaarisesta yhtälöstä: x - 7 \u003d 0. On helppo nähdä, että x 2 \u003d 7.

Toinen yhtälö: 5x2 + 30 = 0. Jälleen epätäydellinen. Vain se ratkaistaan kolmannelle kaavalle kuvatulla tavalla.

Kun 30 on siirretty yhtälön oikealle puolelle: 5x 2 = 30. Nyt sinun täytyy jakaa 5:llä. Osoittautuu: x 2 = 6. Vastaukset ovat numeroita: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Kolmas yhtälö: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tämän jälkeen toisen asteen yhtälöiden ratkaisu alkaa kirjoittamalla ne uudelleen vakiomuotoon: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nyt on aika käyttää toista hyödyllistä vinkkiä ja kerro kaikki miinus yhdellä. Osoittautuu, että x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Neljännen kaavan mukaan sinun on laskettava diskriminantti: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. positiivinen luku. Edellä sanotusta käy ilmi, että yhtälöllä on kaksi juuria. Ne on laskettava viidennen kaavan mukaan. Sen mukaan käy ilmi, että x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sitten x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Neljäs yhtälö x 2 + 8 + 3x \u003d 0 muunnetaan seuraavaksi: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Sen diskriminantti on yhtä suuri kuin tämä arvo: -23. Koska tämä luku on negatiivinen, vastaus tähän tehtävään on seuraava: "Ei ole juuria."

Viides yhtälö 12x + x 2 + 36 = 0 tulee kirjoittaa uudelleen seuraavasti: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminantin kaavan soveltamisen jälkeen saadaan luku nolla. Tämä tarkoittaa, että sillä on yksi juuri, nimittäin: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Kuudes yhtälö (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) vaatii muunnoksia, jotka koostuvat siitä, että sinun on tuotava samanlaiset termit ennen sulkeiden avaamista. Ensimmäisen tilalle tulee seuraava lauseke: x 2 + 2x + 1. Tasa-arvon jälkeen ilmestyy tämä merkintä: x 2 + 3x + 2. Kun vastaavat termit on laskettu, yhtälö on muodossa: x 2 - x \u003d 0. Siitä on tullut epätäydellinen . Samanlainen se on jo pidetty hieman korkeampi. Tämän juuret ovat luvut 0 ja 1.

Neliöyhtälö - helppo ratkaista! *Lisäksi tekstissä "KU". Ystävät, näyttää siltä, että matematiikassa se voi olla helpompaa kuin tällaisen yhtälön ratkaiseminen. Mutta jokin kertoi minulle, että monilla ihmisillä on ongelmia hänen kanssaan. Päätin nähdä, kuinka monta näyttökertaa Yandex antaa pyyntöä kohden kuukaudessa. Tässä mitä tapahtui, katso:

Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että noin 70 000 ihmistä kuukaudessa etsii tätä tietoa, ja nyt on kesä, ja mitä tapahtuu lukuvuoden aikana - pyyntöjä tulee kaksi kertaa enemmän. Tämä ei ole yllättävää, koska pojat ja tytöt, jotka ovat pitkään valmistuneet koulusta ja valmistautuvat tenttiin, etsivät tätä tietoa, ja koululaiset yrittävät myös virkistää muistiaan.

Huolimatta siitä, että monet sivustot kertovat kuinka tämä yhtälö ratkaistaan, päätin myös osallistua ja julkaista materiaalin. Ensinnäkin haluan vierailijoiden tulevan sivustolleni tämän pyynnöstä; toiseksi, muissa artikkeleissa, kun puhe "KU" tulee esiin, annan linkin tähän artikkeliin; Kolmanneksi kerron sinulle hänen ratkaisustaan hieman enemmän kuin muilla sivustoilla yleensä mainitaan. Aloitetaan! Artikkelin sisältö:

Neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on:

missä kertoimet a,bja mielivaltaisilla luvuilla, joissa a≠0.

Koulukurssilla materiaali annetaan seuraavassa muodossa - yhtälöiden jako kolmeen luokkaan tehdään ehdollisesti:

1. On kaksi juurta.

2. * On vain yksi juuri.

3. Ei ole juuria. Tässä on syytä huomata, että niillä ei ole todellisia juuria

Miten juuret lasketaan? Vain!

Laskemme diskriminantin. Tämän "kauhean" sanan alla piilee hyvin yksinkertainen kaava:

Juurikaavat ovat seuraavat:

*Nämä kaavat täytyy tuntea ulkoa.

Voit heti kirjoittaa muistiin ja ratkaista:

Esimerkki:

1. Jos D > 0, yhtälöllä on kaksi juuria.

2. Jos D = 0, yhtälöllä on yksi juuri.

3. Jos D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Katsotaanpa yhtälöä:

Tässä tapauksessa, kun diskriminantti on nolla, koulukurssi sanoo, että saadaan yksi juuri, tässä se on yhdeksän. Aivan oikein, mutta...

Tämä esitys on jossain määrin väärä. Itse asiassa on kaksi juurta. Kyllä, kyllä, älä ylläty, käy ilmi, että kaksi juuria, ja ollakseen matemaattisesti tarkka, vastauksessa tulee kirjoittaa kaksi juuria:

x 1 = 3 x 2 = 3

Mutta näin on - pieni poikkeama. Koulussa voit kirjoittaa ylös ja sanoa, että on vain yksi juuri.

Nyt seuraava esimerkki:

Kuten tiedämme, negatiivisen luvun juuria ei eroteta, joten tässä tapauksessa ei ole ratkaisua.

Se on koko päätöksentekoprosessi.

Neliöllinen toiminto.

Tältä ratkaisu näyttää geometrisesti. Tämä on erittäin tärkeää ymmärtää (tulevaisuudessa yhdessä artikkeleista analysoimme yksityiskohtaisesti neliöllisen epätasa-arvon ratkaisua).

Tämä on muodon funktio:

missä x ja y ovat muuttujia

a, b, c on annettu numeroita, joissa a ≠ 0

Kaavio on paraabeli:

Toisin sanoen käy ilmi, että ratkaisemalla toisen asteen yhtälön, jossa "y" on yhtä suuri kuin nolla, löydämme paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet. Näitä pisteitä voi olla kaksi (diskriminantti on positiivinen), yksi (diskriminantti on nolla) tai ei yhtään (diskriminantti on negatiivinen). Lisää neliöfunktiosta Voit katsoa Inna Feldmanin artikkeli.

Harkitse esimerkkejä:

Esimerkki 1: Päätä 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Vastaus: x 1 = 8 x 2 = -12

* Voit välittömästi jakaa yhtälön vasemman ja oikean puolen 2:lla, eli yksinkertaistaa sitä. Laskelmat helpottuvat.

Esimerkki 2: Päättää x 2–22 x+121 = 0

a = 1 b = -22 c = 121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Saimme x 1 \u003d 11 ja x 2 \u003d 11

Vastauksessa on sallittua kirjoittaa x = 11.

Vastaus: x = 11

Esimerkki 3: Päättää x 2 – 8x+72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminantti on negatiivinen, reaaliluvuilla ei ole ratkaisua.

Vastaus: ei ratkaisua

Diskriminantti on negatiivinen. On ratkaisu!

Tässä puhutaan yhtälön ratkaisemisesta siinä tapauksessa, että saadaan negatiivinen diskriminantti. Tiedätkö mitään kompleksiluvuista? En mene tässä yksityiskohtaisesti siihen, miksi ja missä ne syntyivät ja mikä on niiden erityinen rooli ja välttämättömyys matematiikassa, tämä on laajan erillisen artikkelin aihe.

Kompleksiluvun käsite.

Vähän teoriaa.

Kompleksiluku z on muodon luku

z = a + bi

missä a ja b ovat reaalilukuja, i on ns. imaginaariyksikkö.

a+bi on YKSI NUMERO, ei lisäys.

Kuvitteellinen yksikkö on yhtä kuin miinus ykkösen juuri:

Mieti nyt yhtälöä:

Hanki kaksi konjugaattijuurta.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö.

Harkitse erikoistapauksia, jolloin kerroin "b" tai "c" on yhtä suuri kuin nolla (tai molemmat ovat nolla). Ne ratkaistaan helposti ilman syrjintää.

Tapaus 1. Kerroin b = 0.

Yhtälö saa muodon:

Muunnetaan:

Esimerkki:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Tapaus 2. Kerroin c = 0.

Yhtälö saa muodon:

Muunna, kerroin:

*Tulos on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla.

Esimerkki:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 tai x -5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tapaus 3. Kertoimet b = 0 ja c = 0.

Tässä on selvää, että yhtälön ratkaisu on aina x = 0.

Kertoimien hyödylliset ominaisuudet ja mallit.

On ominaisuuksia, jotka mahdollistavat yhtälöiden ratkaisemisen suurilla kertoimilla.

ax 2 + bx+ c=0 tasa-arvo

a + b+ c = 0, sitten

— jos yhtälön kertoimet ax 2 + bx+ c=0 tasa-arvo

a+ = kanssab, sitten

Nämä ominaisuudet auttavat ratkaisemaan tietynlaisen yhtälön.

Esimerkki 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Kertoimien summa on 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, joten

Esimerkki 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Tasa-arvo a+ = kanssab, tarkoittaa

Kertoimien säännöllisyydet.

1. Jos yhtälössä ax 2 + bx + c \u003d 0 kerroin "b" on (a 2 +1) ja kerroin "c" on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", niin sen juuret ovat

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jos yhtälössä ax 2 - bx + c \u003d 0, kerroin "b" on (a 2 +1) ja kerroin "c" on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", niin sen juuret ovat

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jos yhtälössä ax 2 + bx - c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri (a 2 – 1) ja kerroin "c" numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", silloin sen juuret ovat samat

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jos yhtälössä ax 2 - bx - c \u003d 0, kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 - 1) ja kerroin c on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", niin sen juuret ovat

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietan lause.

Vietan lause on nimetty kuuluisan ranskalaisen matemaatikon Francois Vietan mukaan. Vietan lauseella voidaan ilmaista mielivaltaisen KU:n juurien summa ja tulo sen kertoimilla.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Yhteenvetona luku 14 antaa vain 5 ja 9. Nämä ovat juuret. Tietyllä taidolla, käyttämällä esitettyä lausetta, voit ratkaista monia toisen asteen yhtälöitä välittömästi suullisesti.

Lisäksi Vietan lause. kätevä, koska kun toisen asteen yhtälö on ratkaistu tavalliseen tapaan (diskriminantin kautta), tuloksena olevat juuret voidaan tarkistaa. Suosittelen tekemään tämän koko ajan.

SIIRTOTAPA

Tällä menetelmällä kerroin "a" kerrotaan vapaalla termillä, ikään kuin "siirretty" siihen, minkä vuoksi sitä kutsutaan ns. siirtomenetelmä. Tätä menetelmää käytetään, kun yhtälön juuret on helppo löytää Vietan lauseen avulla ja mikä tärkeintä, kun diskriminantti on tarkka neliö.

Jos a± b+c≠ 0, silloin käytetään siirtotekniikkaa, esimerkiksi:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Yhtälön (2) Vieta-lauseen mukaan on helppo määrittää, että x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Saadut yhtälön juuret on jaettava kahdella (koska nämä kaksi "heitettiin" x 2:sta), saadaan

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Mikä on perustelu? Katso mitä tapahtuu.

Yhtälöiden (1) ja (2) erottimet ovat:

Jos tarkastellaan yhtälöiden juuria, saadaan vain erilaisia nimittäjiä, ja tulos riippuu tarkasti kertoimesta x 2:ssa:

Toiset (muokatut) juuret ovat 2 kertaa suurempia.

Siksi jaamme tuloksen kahdella.

*Jos heitämme kolmosia, jaamme tuloksen kolmella ja niin edelleen.

Vastaus: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq ur-ie ja tentti.

Sanon lyhyesti sen tärkeydestä - PÄÄTTÄMINEN PITÄÄ nopeasti ja ajattelematta, juurien ja erottelijan kaavat pitää tuntea ulkoa. Monet USE-tehtäviin kuuluvista tehtävistä rajoittuvat toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen (mukaan lukien geometriset).

Mikä on huomioimisen arvoista!

1. Yhtälön muoto voi olla "implisiittinen". Esimerkiksi seuraava merkintä on mahdollista:

15+ 9x 2 - 45x = 0 tai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 tai 15 -5x + 10x 2 = 0.

Sinun on tuotava se vakiomuotoon (jotta ei hämmentyisi ratkaisemisen aikana).

2. Muista, että x on tuntematon arvo ja se voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella - t, q, p, h ja muut.

Tässä artikkelissa tarkastelemme epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisua.

Mutta ensin toistetaan, mitä yhtälöitä kutsutaan neliöllisiksi. Kutsutaan yhtälöä muotoa ax 2 + bx + c \u003d 0, jossa x on muuttuja ja kertoimet a, b ja c ovat joitain lukuja ja a ≠ 0. neliö-. Kuten näemme, kerroin kohdassa x 2 ei ole nolla, ja siksi kertoimet kohdassa x tai vapaa termi voivat olla nolla, tässä tapauksessa saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön.

Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä on kolmenlaisia:

1) Jos b \u003d 0, c ≠ 0, niin ax 2 + c \u003d 0;

2) Jos b ≠ 0, c \u003d 0, niin ax 2 + bx \u003d 0;

3) Jos b \u003d 0, c \u003d 0, niin ax 2 \u003d 0.

Katsotaan kuinka ne ratkaisevat yhtälöt muotoa ax 2 + c = 0.

Yhtälön ratkaisemiseksi siirrämme vapaan termin yhtälön oikealle puolelle, saamme

ax 2 = ‒s. Koska a ≠ 0, niin jaamme yhtälön molemmat osat a:lla, sitten x 2 \u003d -c / a.

Jos ‒с/а > 0, yhtälöllä on kaksi juuria

x = ±√(–c/a) .

Jos ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Yritetään ymmärtää esimerkkien avulla, kuinka ratkaista tällaiset yhtälöt.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö 2x 2 - 32 = 0.

Vastaus: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö 2x 2 + 8 = 0.

Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Katsotaan kuinka ne ratkaisevat yhtälöt muotoa ax 2 + bx = 0.

Yhtälön ax 2 + bx \u003d 0 ratkaisemiseksi hajotamme sen tekijöiksi, eli otamme x:n pois suluista, saamme x (ax + b) \u003d 0. Tulo on nolla, jos vähintään yksi tekijät on nolla. Tällöin joko х = 0 tai ах + b = 0. Ratkaisemalla yhtälön ах + b = 0 saadaan ах = – b, josta х = – b/a. Yhtälöllä, jonka muoto on ax 2 + bx \u003d 0, on aina kaksi juuria x 1 \u003d 0 ja x 2 \u003d - b / a. Katso, miltä tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisu näyttää kaaviosta.

Vahvistamme tietämyksemme tietyllä esimerkillä.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 tai 3x - 12 \u003d 0

Vastaus: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kolmannen tyypin yhtälöt ax 2 = 0 ratkaistaan hyvin yksinkertaisesti.

Jos ax 2 \u003d 0, niin x 2 \u003d 0. Yhtälöllä on kaksi yhtä suurta juurta x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Selvyyden vuoksi harkitse kaaviota.

Kun ratkaisemme esimerkkiä 4, varmistamme, että tämän tyyppiset yhtälöt ratkaistaan hyvin yksinkertaisesti.

Esimerkki 4 Ratkaise yhtälö 7x 2 = 0.

Vastaus: x 1, 2 = 0.

Aina ei ole heti selvää, millainen epätäydellinen toisen asteen yhtälö meidän on ratkaistava. Harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Esimerkki 5 ratkaise yhtälö

Kerro yhtälön molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä, eli 30:llä

Leikkaamme

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Avataan sulut

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Tässä on samanlaisia

Siirretään 99 yhtälön vasemmalta puolelta oikealle muuttamalla etumerkki päinvastaiseksi

Vastaus: ei juuria.

Olemme analysoineet kuinka epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan. Toivottavasti sinulla ei nyt ole vaikeuksia tällaisten tehtävien kanssa. Ole varovainen määrittäessäsi epätäydellisen toisen asteen yhtälön tyyppiä, niin onnistut.

Jos sinulla on kysyttävää tästä aiheesta, ilmoittaudu tunneilleni, ratkaisemme ongelmat yhdessä.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Neliöyhtälöt ilmestyvät usein, kun ratkaistaan erilaisia fysiikan ja matematiikan ongelmia. Tässä artikkelissa pohditaan, kuinka ratkaista nämä tasa-arvot universaalilla tavalla "diskriminantin kautta". Artikkelissa on myös esimerkkejä hankitun tiedon käytöstä.

Mistä yhtälöistä puhumme?

Alla olevassa kuvassa on kaava, jossa x on tuntematon muuttuja ja latinalaiset merkit a, b, c edustavat joitain tunnettuja lukuja.

Jokaista näistä symboleista kutsutaan kertoimeksi. Kuten näet, luku "a" on neliön muuttujan x edessä. Tämä on esitettävän lausekkeen maksimiteho, minkä vuoksi sitä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi. Usein käytetään toista nimeä: toisen asteen yhtälö. Itse arvo a on neliökerroin (muuttujan neliöinti), b on lineaarinen kerroin (se on ensimmäiseen potenssiin nostetun muuttujan vieressä) ja lopuksi luku c on vapaa termi.

Huomaa, että yllä olevassa kuvassa näkyvä yhtälön muoto on yleinen klassinen neliölauseke. Sen lisäksi on muita toisen kertaluvun yhtälöitä, joissa kertoimet b, c voivat olla nolla.

Kun tehtävä asetetaan ratkaisemaan kyseessä oleva yhtäläisyys, tämä tarkoittaa, että muuttujan x arvot on löydettävä, jotka sen täyttäisivät. Ensimmäinen asia, joka on muistettava tässä, on seuraava: koska x:n maksimiteho on 2, tämäntyyppisellä lausekkeella ei voi olla enempää kuin 2 ratkaisua. Tämä tarkoittaa, että jos yhtälöä ratkaistaessa löydettäisiin 2 x-arvoa, jotka täyttävät sen, voit olla varma, että ei ole olemassa kolmatta numeroa, joka korvaa sen x:n sijaan, yhtäläisyys olisi myös totta. Matematiikan yhtälön ratkaisuja kutsutaan sen juuriksi.

Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaiseminen vaatii jonkin teorian tuntemusta niistä. Algebran koulukurssilla tarkastellaan 4 erilaista ratkaisumenetelmää. Listataan ne:

käyttämällä tekijöiden jakamista;
käyttämällä täydellisen neliön kaavaa;
sovelletaan vastaavan toisen asteen funktion kuvaajaa;
käyttämällä diskriminanttiyhtälöä.

Ensimmäisen menetelmän etuna on sen yksinkertaisuus, mutta sitä ei voida soveltaa kaikkiin yhtälöihin. Toinen menetelmä on yleinen, mutta hieman hankala. Kolmas menetelmä erottuu selkeydestä, mutta se ei ole aina kätevä ja käyttökelpoinen. Ja lopuksi, diskriminanttiyhtälön käyttö on universaali ja melko yksinkertainen tapa löytää juuri minkä tahansa toisen asteen yhtälön juuret. Siksi artikkelissa tarkastelemme vain sitä.

Kaava yhtälön juurten saamiseksi

Siirrytään toisen asteen yhtälön yleiseen muotoon. Kirjoita se muistiin: a*x²+ b*x + c =0. Ennen kuin käytät tapaa ratkaista se "diskriminantin kautta", tasa-arvo tulee aina pelkistää kirjalliseen muotoon. Eli sen on koostuttava kolmesta termistä (tai vähemmän, jos b tai c on 0).

Esimerkiksi, jos on lauseke: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², niin sinun tulee ensin siirtää sen kaikki jäsenet tasa-arvon toiselle puolelle ja lisätä muuttujan x sisältävät termit samaan valtuudet.

Tässä tapauksessa tämä operaatio johtaa seuraavaan lausekkeeseen: -6*x²-4*x+8=0, joka vastaa yhtälöä 6*x²+4*x-8=0 (tässä olemme kertoneet vasemman ja yhtälön oikeat puolet -1) .

Yllä olevassa esimerkissä a = 6, b = 4, c = -8. Huomaa, että kaikki tarkasteltavan yhtälön ehdot summataan aina yhteen, joten jos "-"-merkki ilmestyy, tämä tarkoittaa, että vastaava kerroin on negatiivinen, kuten tässä tapauksessa luku c.

Analysoituamme tämän kohdan, siirrymme nyt itse kaavaan, jonka avulla on mahdollista saada toisen asteen yhtälön juuret. Se näyttää alla olevalta valokuvalta.

Kuten tästä lausekkeesta voidaan nähdä, sen avulla voit saada kaksi juuria (sinun tulee kiinnittää huomiota "±"-merkkiin). Tätä varten riittää, että siihen korvataan kertoimet b, c ja a.

Syrjinnän käsite

Edellisessä kappaleessa annettiin kaava, jonka avulla voit nopeasti ratkaista minkä tahansa toisen asteen yhtälön. Siinä radikaalia ilmaisua kutsutaan diskriminantiksi, toisin sanoen D \u003d b²-4 * a * c.

Miksi tämä osa kaavasta on otettu esiin, ja onko sillä edes oma nimi? Tosiasia on, että diskriminantti yhdistää kaikki kolme yhtälön kerrointa yhdeksi lausekkeeksi. Viimeinen tosiasia tarkoittaa, että se sisältää täysin tietoja juurista, mikä voidaan ilmaista seuraavalla luettelolla:

D>0: yhtälöllä on 2 eri ratkaisua, jotka molemmat ovat reaalilukuja.
D=0: Yhtälöllä on vain yksi juuri, ja se on reaaliluku.

Tehtävä määrittää syrjivä tekijä

Tässä on yksinkertainen esimerkki siitä, kuinka erottaja löydetään. Olkoon seuraava yhtälö: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Viedään se vakiomuotoon, saamme: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, josta tulemme tasa-arvoon : -2*x² +2*x-11 = 0. Tässä a=-2, b=2, c=-11.

Nyt voit käyttää nimettyä kaavaa erottajalle: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Tuloksena oleva luku on vastaus tehtävään. Koska esimerkin diskriminantti on pienempi kuin nolla, voidaan sanoa, että tällä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Sen ratkaisu on vain kompleksityyppisiä lukuja.

Esimerkki epätasa-arvosta syrjinnän kautta

Ratkaistaan hieman erityyppisiä tehtäviä: annetaan yhtälö -3*x²-6*x+c = 0. On löydettävä sellaiset c:n arvot, joille D>0.

Tässä tapauksessa vain 2 kertoimesta kolmesta tunnetaan, joten erottimen tarkkaa arvoa ei voida laskea, mutta sen tiedetään olevan positiivinen. Käytämme viimeistä tosiasiaa epäyhtälöä käännettäessä: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Saadun epäyhtälön ratkaisu johtaa tulokseen: c>-3.

Tarkastetaan tuloksena oleva luku. Tätä varten laskemme D kahdelle tapaukselle: c=-2 ja c=-4. Luku -2 tyydyttää saadun tuloksen (-2>-3), vastaavalla erottajalla on arvo: D = 12>0. Luku -4 puolestaan ei täytä epäyhtälöä (-4 Siten kaikki luvut c, jotka ovat suurempia kuin -3, täyttävät ehdon.

Esimerkki yhtälön ratkaisemisesta

Esitetään ongelma, joka ei koostu pelkästään erottimen löytämisestä, vaan myös yhtälön ratkaisemisesta. On tarpeen löytää juuret yhtälölle -2*x²+7-9*x = 0.

Tässä esimerkissä diskriminantti on yhtä suuri kuin seuraava arvo: D = 81-4*(-2)*7= 137. Sitten yhtälön juuret määritetään seuraavasti: x = (9±√137)/(- 4). Nämä ovat juurien tarkat arvot, jos lasket likimääräisen juuren, saat luvut: x \u003d -5,176 ja x \u003d 0,676.

geometrinen ongelma

Ratkaistaan ongelma, joka vaatii paitsi kykyä laskea diskriminanttia, myös abstraktin ajattelun taitoja ja tietoa toisen asteen yhtälöiden kirjoittamisesta.

Bobilla oli 5 x 4 metrin peitto. Poika halusi ommella jatkuvan kauniin kankaan nauhan koko kehän ympärille. Kuinka paksu tämä nauha on, jos tiedetään, että Bobilla on 10 m² kangasta.

Olkoon nauhan paksuus x m, niin kankaan pinta-ala peiton pitkällä sivulla on (5 + 2 * x) * x, ja koska pitkiä sivuja on 2, meillä on: 2 * x * (5 + 2 * x). Lyhyellä puolella ommeltu kankaan pinta-ala on 4*x, koska näitä puolia on 2, saamme arvon 8*x. Huomaa, että pitkälle sivulle on lisätty arvo 2*x, koska peiton pituus on kasvanut tällä numerolla. Petoon ommeltu kankaan kokonaispinta-ala on 10 m². Tästä syystä saamme yhtälön: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Tässä esimerkissä diskriminantti on: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Sen juuri on 22. Kaavan avulla löydämme halutut juuret: x = (-18±22)/(2* 4) = (-5; 0,5). Ilmeisesti kahdesta juurista vain numero 0,5 sopii ongelman tilaan.

Siten kangaskaistale, jonka Bob ompelee peittoonsa, on 50 cm leveä.

Toisen asteen yhtälöt. Syrjivä. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Toisen asteen yhtälöiden tyypit

Mikä on toisen asteen yhtälö? Miltä se näyttää? Termillä toisen asteen yhtälö avainsana on "neliö". Se tarkoittaa sitä yhtälössä välttämättä siellä täytyy olla x:n neliö. Sen lisäksi yhtälössä voi olla (tai ei välttämättä ole!) Vain x (ensimmäiseen asteeseen) ja vain luku (vapaa jäsen). Eikä x:iä saa olla kahta suuremmassa asteessa.

Matemaattisesti neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on:

Tässä a, b ja c- joitain numeroita. b ja c- ehdottomasti mikä tahansa, mutta a- kaikkea muuta kuin nolla. Esimerkiksi:

Tässä a =1; b = 3; c = -4

Tässä a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tässä a =-3; b = 6; c = -18

No ymmärrät kyllä idean...

Näissä toisen asteen yhtälöissä vasemmalla on täysi setti jäsenet. x neliöity kertoimella a, x ensimmäiseen potenssiin kertoimella b ja vapaa jäsen

Tällaisia toisen asteen yhtälöitä kutsutaan saattaa loppuun.

Mitä jos b= 0, mitä saamme? Meillä on X häviää ensimmäisessä asteessa. Tämä tapahtuu kertomalla nollalla.) Osoittautuu esimerkiksi:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x = 0

Jne. Ja jos molemmat kertoimet b ja c ovat yhtä kuin nolla, niin se on vielä yksinkertaisempaa:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Tällaisia yhtälöitä, joista jotain puuttuu, kutsutaan epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Mikä on varsin loogista.) Huomaa, että x neliö on läsnä kaikissa yhtälöissä.

Muuten miksi a ei voi olla nolla? Ja korvaat sen sijaan a nolla.) Neliön X katoaa! Yhtälöstä tulee lineaarinen. Ja se tehdään toisin...

Siinä ovat kaikki neliöyhtälöiden päätyypit. Täydellinen ja epätäydellinen.

Neliöyhtälöiden ratkaisu.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu.

Neliöyhtälöt on helppo ratkaista. Kaavojen ja selkeiden yksinkertaisten sääntöjen mukaan. Ensimmäisessä vaiheessa on tarpeen saattaa annettu yhtälö vakiomuotoon, ts. näkymään:

Jos yhtälö on jo annettu sinulle tässä muodossa, sinun ei tarvitse tehdä ensimmäistä vaihetta.) Tärkeintä on määrittää kaikki kertoimet oikein, a, b ja c.

Kaava toisen asteen yhtälön juurten löytämiseksi näyttää tältä:

Juurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan syrjivä. Mutta hänestä lisää alla. Kuten näet, käytämme x:n löytämiseen vain a, b ja c. Nuo. kertoimet toisen asteen yhtälöstä. Vaihda arvot huolellisesti a, b ja c tähän kaavaan ja laske. Korvaava omilla merkeilläsi! Esimerkiksi yhtälössä:

a =1; b = 3; c= -4. Täällä kirjoitetaan:

Esimerkki melkein ratkaistu:

Tämä on vastaus.

Kaikki on hyvin yksinkertaista. Ja mitä luulet, et voi mennä pieleen? Niin, miten...

Yleisimmät virheet ovat sekaannus arvojen merkkeihin a, b ja c. Tai pikemminkin, ei niiden merkeillä (missä on hämmentävää?), Mutta negatiivisten arvojen korvaaminen juuren laskentakaavassa. Tässä tallennetaan kaavan yksityiskohtainen tietue tietyillä numeroilla. Jos laskennassa on ongelmia, joten tee se!

Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava esimerkki:

Tässä a = -6; b = -5; c = -1

Oletetaan, että tiedät, että saat harvoin vastauksia ensimmäisellä kerralla.

No älä ole laiska. Ylimääräisen rivin kirjoittaminen kestää 30 sekuntia ja virheiden määrä laskee jyrkästi. Joten kirjoitamme yksityiskohtaisesti, kaikilla suluilla ja merkeillä:

Tuntuu uskomattoman vaikealta maalata niin huolellisesti. Mutta se vain näyttää. Kokeile. No, tai valitse. Kumpi on parempi, nopea vai oikea? Sitä paitsi minä teen sinut onnelliseksi. Hetken kuluttua kaikkea ei tarvitse maalata niin huolellisesti. Se vain osoittautuu oikeaksi. Varsinkin jos käytät käytännön tekniikoita, jotka kuvataan alla. Tämä paha esimerkki joukolla miinuksia ratkaistaan helposti ja ilman virheitä!

Mutta usein toisen asteen yhtälöt näyttävät hieman erilaisilta. Esimerkiksi näin:

Tiesitkö?) Kyllä! se epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu.

Ne voidaan myös ratkaista yleisellä kaavalla. Sinun tarvitsee vain selvittää oikein, mikä on yhtäläinen tässä a, b ja c.

Tajusi? Ensimmäisessä esimerkissä a = 1; b = -4; a c? Sitä ei ole olemassa ollenkaan! No kyllä, se on oikein. Matematiikassa tämä tarkoittaa sitä c = 0 ! Siinä kaikki. Korvaa kaavaan nolla sen sijaan c, ja kaikki järjestyy meille. Samoin toisen esimerkin kanssa. Vain nollaa meillä ei ole täällä Kanssa, a b !

Mutta epätäydelliset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista paljon helpommin. Ilman kaavoja. Tarkastellaan ensimmäistä epätäydellistä yhtälöä. Mitä vasemmalle puolelle voidaan tehdä? Voit ottaa X:n pois suluista! Otetaan se pois.

Ja mitä siitä? Ja se, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, ja vain jos jokin tekijöistä on nolla! Etkö usko? No, keksi sitten kaksi nollasta poikkeavaa lukua, jotka kerrottuna antavat nollan!
Ei toimi? Jotain...
Siksi voimme luottavaisesti kirjoittaa: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kaikki. Nämä ovat yhtälömme juuret. Molemmat sopivat. Kun jokin niistä korvataan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan oikea identiteetti 0 = 0. Kuten näette, ratkaisu on paljon yksinkertaisempi kuin yleinen kaava. Huomaan muuten, mikä X on ensimmäinen ja mikä toinen - se on täysin välinpitämätön. Helppo kirjoittaa järjestyksessä x 1- kumpi tahansa on vähemmän x 2- mikä on enemmän.

Toinen yhtälö voidaan myös ratkaista helposti. Siirrämme 9 oikealle puolelle. Saamme:

Jää vielä poimia juuri 9:stä, ja siinä se. Saada:

myös kaksi juuria . x 1 = -3, x 2 = 3.

Näin kaikki epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan. Joko ottamalla X pois suluista tai yksinkertaisesti siirtämällä numero oikealle ja poistamalla juuri.
Näitä menetelmiä on erittäin vaikea sekoittaa. Yksinkertaisesti siksi, että ensimmäisessä tapauksessa sinun täytyy poimia juuri X:stä, mikä on jotenkin käsittämätöntä, ja toisessa tapauksessa suluista ei ole mitään poistettavaa ...

Syrjivä. Diskriminoiva kaava.

Maaginen sana syrjivä ! Harvinainen lukiolainen ei ole kuullut tätä sanaa! Ilmaus "päätä syrjinnän kautta" on rauhoittava ja rauhoittava. Koska ei tarvitse odottaa syrjinnän temppuja! Se on yksinkertainen ja vaivaton käyttää.) Muistutan yleisimmästä ratkaisukaavasta minkä tahansa toisen asteen yhtälöt:

Juurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan diskriminantiksi. Diskriminantti merkitään yleensä kirjaimella D. Diskriminoiva kaava:

D = b2 - 4ac

Ja mitä ihmeellistä tässä ilmaisussa on? Miksi se ansaitsee erityisen nimen? Mitä syrjinnän merkitys? Kuitenkin -b, tai 2a tässä kaavassa he eivät nimeä erityisesti ... Kirjaimia ja kirjaimia.

Pointti on tämä. Kun ratkaiset toisen asteen yhtälön tällä kaavalla, se on mahdollista vain kolme tapausta.

1. Diskriminantti on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että voit poimia siitä juuren. Se, onko juuri uutettu hyvin vai huonosti, on toinen kysymys. On tärkeää, mitä periaatteessa poimitaan. Sitten toisen asteen yhtälölläsi on kaksi juuria. Kaksi erilaista ratkaisua.

2. Diskriminantti on nolla. Sitten sinulla on yksi ratkaisu. Koska nollan lisääminen tai vähentäminen osoittajassa ei muuta mitään. Tarkkaan ottaen tämä ei ole yksittäinen juuri, vaan kaksi identtistä. Mutta yksinkertaistetussa versiossa on tapana puhua yksi ratkaisu.

3. Diskriminantti on negatiivinen. Negatiivinen luku ei ota neliöjuurta. No okei. Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Ollakseni rehellinen, yksinkertaisella toisen asteen yhtälöiden ratkaisulla erottimen käsitettä ei todellakaan vaadita. Korvaamme kertoimien arvot kaavassa ja harkitsemme. Siellä kaikki käy itsestään, ja kaksi juuria ja yksi, eikä yksikään. Kuitenkin, kun ratkaistaan monimutkaisempia tehtäviä, ilman tietoa merkitys ja erottelukaava ei tarpeeksi. Erityisesti - yhtälöissä parametrien kanssa. Tällaiset yhtälöt ovat taitolentoa GIA:lle ja Unified State Examinationille!)

Niin, kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöt muistamasi diskriminantin kautta. Tai oppinut, mikä ei myöskään ole huono.) Osaa tunnistaa oikein a, b ja c. Tiedätkö kuinka huolellisesti korvaa ne juurikaavassa ja huolellisesti laske tulos. Ymmärsitkö, että avainsana tässä on - huolellisesti?

Ota nyt huomioon käytännön tekniikat, jotka vähentävät dramaattisesti virheiden määrää. Juuri ne, jotka johtuvat välinpitämättömyydestä... Joka sitten on tuskallista ja loukkaavaa...

Ensimmäinen vastaanotto . Älä ole laiska ennen kuin ratkaiset toisen asteen yhtälön saadaksesi sen vakiomuotoon. Mitä tämä tarkoittaa?
Oletetaan, että saat muunnoksen jälkeen seuraavan yhtälön:

Älä kiirehdi kirjoittamaan juurien kaavaa! Sekoitat lähes varmasti kertoimet a, b ja c. Rakenna esimerkki oikein. Ensin x neliö, sitten ilman neliötä, sitten vapaa jäsen. Kuten tämä:

Ja vielä kerran, älä kiirehdi! Miinus ennen x-ruutua voi järkyttää sinua paljon. Sen unohtaminen on helppoa... Päästä eroon miinuksesta. Miten? Kyllä, kuten edellisessä aiheessa opetettiin! Meidän on kerrottava koko yhtälö -1:llä. Saamme:

Ja nyt voit turvallisesti kirjoittaa ylös kaavan juurille, laskea diskriminantin ja täydentää esimerkin. Päätä itse. Sinun pitäisi päätyä juuriin 2 ja -1.

Toinen vastaanotto. Tarkista juuresi! Vietan lauseen mukaan. Älä huoli, minä selitän kaiken! Tarkistetaan viimeinen asia yhtälö. Nuo. se, jolla kirjoitimme juurten kaavan. Jos (kuten tässä esimerkissä) kerroin a = 1, tarkista juuret helposti. Niiden moninkertaistaminen riittää. Sinun pitäisi saada vapaa termi, ts. meidän tapauksessamme -2. Huomio, ei 2, vaan -2! vapaa jäsen merkilläsi . Jos se ei toiminut, se tarkoittaa, että he ovat jo sotkeneet jossain. Etsi virhe.

Jos se onnistui, sinun on taitettava juuret. Viimeinen ja viimeinen tarkistus. Pitäisi olla suhde b Kanssa vastapäätä merkki. Meidän tapauksessamme -1+2 = +1. Kerroin b, joka on ennen x:ää, on yhtä suuri kuin -1. Eli kaikki on oikein!
Harmi, että se on niin yksinkertaista vain esimerkeissä, joissa x neliö on puhdas, kertoimella a = 1. Mutta tarkista ainakin sellaiset yhtälöt! Virheitä tulee vähemmän.

Vastaanotto kolmas . Jos yhtälössäsi on murtokertoimia, päästä eroon murtoluvuista! Kerro yhtälö yhteisellä nimittäjällä oppitunnissa "Kuinka ratkaistaan yhtälöitä? Identiteettimuunnokset" kuvatulla tavalla. Kun työskentelet murtolukujen kanssa, virheet jostain syystä kiipeävät ...

Muuten, lupasin pahan esimerkin, jossa on joukko miinuksia yksinkertaistamiseksi. Ole kiltti! Täällä hän on.

Jotta ei hämmentyisi miinuksissa, kerromme yhtälön -1:llä. Saamme:

Siinä kaikki! Päättäminen on hauskaa!

Kerrataanpa siis aihe.

Käytännön vinkkejä:

1. Ennen ratkaisemista tuomme toisen asteen yhtälön vakiomuotoon, rakennamme sen oikein.

2. Jos neliön x:n edessä on negatiivinen kerroin, eliminoidaan se kertomalla koko yhtälö -1:llä.

3. Jos kertoimet ovat murto-osia, poistamme murtoluvut kertomalla koko yhtälön vastaavalla kertoimella.

4. Jos x neliö on puhdas, sen kerroin on yksi, ratkaisu voidaan helposti tarkistaa Vietan lauseella. Tee se!

Nyt voit päättää.)

Ratkaise yhtälöt:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastaukset (sekaisin):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - mikä tahansa numero

x 1 = -3
x 2 = 3

ei ratkaisuja

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Sopiiko kaikki? Erinomainen! Neliöyhtälöt eivät ole päänsärkyäsi. Kolme ensimmäistä osoittautui, mutta loput eivät? Silloin ongelma ei ole toisen asteen yhtälöissä. Ongelma on identtisissä yhtälöiden muunnoksissa. Katso linkki, se on hyödyllinen.

Ei ihan toimi? Vai eikö se toimi ollenkaan? Silloin auttaa sinua § 555. Siellä kaikki nämä esimerkit on lajiteltu luiden mukaan. Näytetään pää virheitä ratkaisussa. Tietenkin kuvataan myös identtisten muunnosten soveltamista erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Auttaa paljon!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.