Määrittele termi matriisi. §yksi

Määritelmä 1. Matrix A kokomn on suorakaiteen muotoinen taulukko, jossa on m riviä ja n saraketta ja joka koostuu luvuista tai muista matemaattisista lausekkeista (kutsutaan matriisielementeiksi), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, tai

Määritelmä 2. Kaksi matriisia
ja
samaa kokoa kutsutaan yhtä suuri, jos ne vastaavat elementti kerrallaan, ts. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matriisien avulla on helppo kirjoittaa ylös joitain taloudellisia riippuvuuksia, esimerkiksi taulukoita resurssien jakautumisesta tietyille talouden sektoreille.

Määritelmä 3. Jos matriisirivien lukumäärä vastaa sen sarakkeiden määrää, ts. m = n, niin matriisia kutsutaan neliön järjestysn, muuten suorakulmainen.

Määritelmä 4. Siirtymä matriisista A matriisiin A m, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan järjestyksen säilyttämisen kanssa, on ns. osaksi kansallista lainsäädäntöä matriiseja.

Matriisityypit: neliö (koko 33) -
,

suorakaiteen muotoinen (koko 25) -
,

diagonaali -
, yksittäinen -
, nolla -
,

matriisirivi -
, matriisi-sarake -.

Määritelmä 5. N:n kertaluvun neliömatriisin alkioita, joilla on samat indeksit, kutsutaan päädiagonaalin elementeiksi, ts. nämä ovat elementit:
.

Määritelmä 6. N-kertaisen neliömatriisin alkioita kutsutaan toissijaisiksi diagonaalielementeiksi, jos niiden indeksien summa on n + 1, ts. nämä ovat elementit: .

1.2. Operaatiot matriiseilla.

1 0 . summa kaksi matriisia
ja
samankokoista matriisia kutsutaan matriisiksi С = (с ij), jonka alkiot määräytyvät yhtäläisyydellä ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Matriisilisäyksen toiminnan ominaisuudet.

Kaikille samankokoisille matriiseille A, B, C seuraavat yhtälöt:

1) A + B = B + A (kommutatiivisuus),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assosiatiivisuus).

2 0 . työ matriiseja
numeroa kohti kutsutaan matriisiksi
samankokoinen kuin matriisi A, ja b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matriisin luvulla kertomisen ominaisuudet.

    (А) = ()А (kertoimen assosiatiivisuus);

    (А+В) = А+В (kertolaskujakauma suhteessa matriisisummaan);

    (+)A = A+A (kertolaskujakauma suhteessa lukujen yhteenlaskemiseen).

Määritelmä 7. Matriisien lineaarinen yhdistelmä
ja
Samankokoista lauseketta kutsutaan muotoa A + B, missä  ja  ovat mielivaltaisia ​​lukuja.

3 0 . Tuote A Matriiseissa A:ta ja B:tä, joiden koko on mn ja nk, kutsutaan matriisiksi C, jonka koko on mk, jolloin alkio, jossa ij on yhtä suuri kuin i:nnen rivin alkioiden tulojen summa. matriisin A ja matriisin B j:nnen sarakkeen, ts. jossa ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Tulo AB on olemassa vain, jos matriisin A sarakkeiden lukumäärä on sama kuin matriisin B rivien lukumäärä.

Matriisin kertolaskutoiminnon ominaisuudet:

    (АВ)С = А(ВС) (assosiatiivisuus);

    (А+В)С = АС+ВС (jakauma suhteessa matriisilisäukseen);

    А(В+С) = АВ+АС (jakauma suhteessa matriisilisäukseen);

    АВ  ВА (ei kommutatiivisuus).

Määritelmä 8. Matriiseja A ja B, joille AB = BA, kutsutaan commutingiksi tai permutaatioksi.

Minkä tahansa järjestyksen neliömatriisin kertominen vastaavalla identiteettimatriisilla ei muuta matriisia.

Määritelmä 9. Elementaariset muunnokset matriiseja kutsutaan seuraaviksi operaatioiksi:

    Vaihda kaksi riviä (saraketta).

    Kerro jokainen rivin (sarakkeen) elementti nollasta poikkeavalla luvulla.

    Lisätään yhden rivin (sarakkeen) elementteihin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit.

Määritelmä 10. Alkuainemuunnosten avulla matriisista A saatua matriisia B kutsutaan vastaava(merkitty BA).

Esimerkki 1.1. Etsi matriisien 2A–3B lineaarinen yhdistelmä, jos

,
.

,
,


.

Esimerkki 1.2. Etsi matriisien tulo
, jos

.

Ratkaisu: koska ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä, matriisitulo on olemassa. Tuloksena saamme uuden matriisin
, missä

Tuloksena saamme
.

Luento 2. Determinantit. Toisen, kolmannen kertaluvun determinanttien laskeminen. Tarkentajan ominaisuudetn- järjestys.

>> Matriisit

4.1 Matriisit. Matriisioperaatiot

Suorakaidematriisi, jonka koko on mxn, on kokoelma mxn-lukuja, jotka on järjestetty suorakaiteen muotoiseen taulukkoon, joka sisältää m riviä ja n saraketta. Kirjoitamme sen lomakkeeseen

tai lyhennettynä A = (a i j) (i = ; j = ), numeroita a i j kutsutaan sen elementeiksi; ensimmäinen indeksi osoittaa rivin numeroon, toinen indeksi sarakkeen numeroon. Samankokoisia A = (a i j) ja B = (b i j) kutsutaan yhtäläisiksi, jos niiden samoissa paikoissa olevat alkiot ovat pareittain yhtä suuret, eli A = B, jos a i j = b i j .

Yhdestä rivistä tai yhdestä sarakkeesta koostuvaa matriisia kutsutaan -rivi- tai sarakevektoriksi. Sarakevektoreita ja rivivektoreita kutsutaan yksinkertaisesti vektoreiksi.

Yhdestä numerosta koostuva matriisi tunnistetaan tällä numerolla. A:ta, jonka koko on mxn, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla, kutsutaan nollaksi ja merkitään 0:lla. Elementtejä, joilla on samat indeksit, kutsutaan päädiagonaalin elementeiksi. Jos rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, eli m = n, niin matriisin sanotaan olevan kertaluvun n neliö. Neliömatriiseja, joissa vain päälävistäjän alkiot eivät ole nollia, kutsutaan diagonaalimatriiseiksi ja ne kirjoitetaan seuraavasti:

.

Jos kaikki lävistäjän elementit a i i ovat yhtä suuria kuin 1, sitä kutsutaan yksiköksi ja merkitään kirjaimella E:

.

Neliömatriisia kutsutaan kolmiomaiseksi, jos kaikki elementit päälävistäjän yläpuolella (tai alapuolella) ovat nolla. Transpositio on muunnos, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan ja niiden numerot säilyvät. Transponointi on merkitty T-kirjaimella yläosassa.

Jos kohdassa (4.1) järjestämme rivit uudelleen sarakkeilla, niin saamme

,

joka transponoidaan A:n suhteen. Erityisesti sarakevektorin transponointi johtaa rivivektoriin ja päinvastoin.

A:n tulo luvulla b on matriisi, jonka alkiot saadaan A:n vastaavista alkioista kertomalla luvulla b: b A = (b a i j).

Samankokoisten A = (a i j) ja B = (b i j) summa on samankokoinen C = (c i j), jonka alkiot määritetään kaavalla c i j = a i j + b i j .

Tulo AB määritellään olettaen, että A:n sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin B:n rivien määrä.

AB:n tulo, jossa A = (a i j) ja B = (b j k), jossa i = , j= , k= , annettuna tietyssä järjestyksessä AB, on C = (c i k), jonka alkiot määräytyvät seuraava sääntö:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Toisin sanoen tulon AB elementti määritellään seuraavasti: i:nnen rivin ja k:nnen sarakkeen C alkio on yhtä kuin i:nnen rivin A alkioiden tulojen summa k:nnen sarakkeen B vastaavat elementit.

Esimerkki 2.1. Etsi AB:n ja .

Ratkaisu. Meillä on: A, jonka koko on 2x3, B on kokoa 3x3, niin tulo AB = C on olemassa ja C:n alkiot ovat yhtä suuret

С 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, с 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, с 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

, ja tuotetta BA ei ole olemassa.

Esimerkki 2.2. Taulukossa näkyy päivittäin meijereistä 1 ja 2 myymälöihin M 1, M 2 ja M 3 lähetettyjen tuotteiden määrä ja tuotantoyksikön toimitus kustakin meijeristä varastoon M 1 maksaa 50 den. yksiköitä, kaupassa M 2 - 70 ja M 3 - 130 den. yksiköitä Laske kunkin tehtaan päivittäiset kuljetuskustannukset.

meijeri

Ratkaisu. Merkitse A:lla meille ehdossa annettu matriisi ja
B - matriisi, joka kuvaa tuotantoyksikön myymälöihin toimittamisen kustannuksia, ts.

,

Sitten kuljetuskustannusmatriisi näyttää tältä:

.

Ensimmäinen laitos kuluttaa siis 4750 den päivittäin kuljetuksiin. yksikköä, toinen - 3680 den.un.

Esimerkki 2.3. Ompeluyritys valmistaa talvitakkeja, puolikausitakkeja ja sadetakkeja. Vuosikymmenen suunniteltua tuotantoa kuvaa vektori X = (10, 15, 23). Kangastyyppejä käytetään neljää: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Taulukossa näkyvät kunkin tuotteen kankaan kulutusmäärät (metreinä). Vektori C = (40, 35, 24, 16) määrittää kunkin tyypin kangasmetrin hinnan ja vektori P = (5, 3, 2, 2) - kunkin kangasmetrin kuljetuskustannukset. tyyppi.

Kankaan kulutus

Talvitakki

Demi takki

1. Kuinka monta metriä kutakin kangastyyppiä tarvitaan suunnitelman suorittamiseen?

2. Selvitä kunkin tuotetyypin räätälöintiin käytetyn kankaan hinta.

3. Määritä suunnitelman suorittamiseen tarvittavan kankaan hinta.

Ratkaisu. Merkitään A:lla meille ehdossa annettu matriisi, ts.

,

sitten löytääksesi suunnitelman suorittamiseen tarvittavan kangasmetrimäärän, sinun on kerrottava vektori X matriisilla A:

Kunkin tyyppisen tuotteen räätälöintiin käytetyn kankaan hinta saadaan kertomalla matriisi A ja vektori C T:

.

Suunnitelman loppuun saattamiseen tarvittavan kankaan hinta määräytyy kaavan mukaan:

Lopuksi, kun otetaan huomioon kuljetuskustannukset, koko summa on yhtä suuri kuin kankaan hinta, eli 9472 den. yksikköä plus arvo

X A P T =
.

Joten, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (den. yksikköä).

Matriisi on merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla ( MUTTA, AT, FROM,...).

Määritelmä 1. Suorakaiteen muotoinen taulukko,

joka koostuu m linjat ja n sarakkeita kutsutaan matriisi.

Matriisielementti, i – rivin numero, j – sarakkeen numero.

Matriisityypit:

päädiagonaalin elementit:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn.

§2. 2., 3. ja n. kertaluvun determinantit

Olkoon kaksi neliömatriisia:

Määritelmä 1. Matriisin toisen kertaluvun determinantti MUTTA 1 on luku, joka on merkitty ∆:llä ja yhtä suuri kuin , missä

Esimerkki. Laske toisen asteen determinantti:

Määritelmä 2. Neliömatriisin 3. kertaluvun determinantti MUTTA 2 kutsutaan lomakkeen numeroksi:

Tämä on yksi tapa laskea determinantti.

Esimerkki. Laskea

Määritelmä 3. Jos determinantti koostuu n-rivistä ja n-sarakkeesta, sitä kutsutaan n:nnen kertaluvun determinantiksi.

Determinanttien ominaisuudet:

    Determinantti ei muutu transponoinnin aikana (eli jos sen rivit ja sarakkeet vaihdetaan samalla kun järjestys säilyy).

    Jos mitkä tahansa kaksi riviä tai kaksi saraketta vaihdetaan determinantissa, determinantti muuttaa vain etumerkkiä.

    Minkä tahansa rivin (sarakkeen) yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin etumerkistä.

    Jos determinantin minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla, niin determinantti on nolla.

    Determinantti on nolla, jos minkä tahansa kahden rivin alkiot ovat yhtä suuret tai verrannolliset.

    Determinantti ei muutu, jos minkä tahansa rivin (sarakkeen) elementteihin lisätään toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla.

Esimerkki.

Määritelmä 4. Kutsutaan determinanttia, joka saadaan annetusta poistamalla sarake ja rivi alaikäinen vastaava elementti. M ij elementti a ij .

Määritelmä 5. Algebrallinen lisäys elementtiä a ij , kutsutaan lausekkeeksi

§3. Matrix-toiminnot

Lineaariset operaatiot

1) Matriiseja lisättäessä lisätään niiden samannimiset elementit.

    Matriiseja vähennettäessä vähennetään niiden samannimiset elementit.

    Kun matriisi kerrotaan luvulla, matriisin jokainen elementti kerrotaan tällä numerolla:

3.2 Matriisikertominen.

Työ matriiseja MUTTA matriisiin AT on uusi matriisi, jonka alkiot ovat yhtä suuria kuin matriisin i:nnen rivin alkioiden tulojen summa MUTTA matriisin j:nnen sarakkeen vastaaviin elementteihin AT. Matrix tuote MUTTA matriisiin AT löytyy vain, jos matriisin sarakkeiden määrä MUTTA on yhtä suuri kuin matriisirivien lukumäärä AT. Muuten työ on mahdotonta.

Kommentti:

(ei koske kommutatiivisuusominaisuutta)

§ 4. Käänteinen matriisi

Käänteimatriisi on olemassa vain neliömatriisille, ja matriisin on oltava ei-singulaarinen.

Määritelmä 1. Matriisi MUTTA nimeltään ei-degeneroitunut jos tämän matriisin determinantti ei ole nolla

Määritelmä 2. MUTTA-1 soitti käänteinen matriisi tietylle ei-singulaariselle neliömatriisille MUTTA, jos kertomalla tämä matriisi annetulla molemmilla oikealla, niin vasemmalla saadaan identiteettimatriisi.

Algoritmi käänteismatriisin laskemiseksi

1 tapa (käyttäen algebrallisia lisäyksiä)

Esimerkki 1:

1. vuosi, korkeampi matematiikka, opiskelu matriiseja ja niihin liittyvät perustoiminnot. Tässä systematisoidaan tärkeimmät toiminnot, jotka voidaan suorittaa matriiseilla. Kuinka aloittaa matriisien käyttö? Tietysti yksinkertaisimmista - määritelmät, peruskäsitteet ja yksinkertaisimmat toiminnot. Vakuutamme, että matriisit ymmärtävät kaikki, jotka omistavat niille ainakin vähän aikaa!

Matriisin määritelmä

Matriisi on suorakaiteen muotoinen elementtitaulukko. No, jos yksinkertaisesti sanottuna - numerotaulukko.

Matriisit merkitään yleensä latinalaisilla isoilla kirjaimilla. Esimerkiksi matriisi A , matriisi B ja niin edelleen. Matriisit voivat olla erikokoisia: suorakaiteen muotoisia, neliömäisiä, on myös rivimatriiseja ja sarakematriiseja, joita kutsutaan vektoreiksi. Matriisin koko määräytyy rivien ja sarakkeiden lukumäärän mukaan. Esimerkiksi kirjoitetaan suorakaiteen muotoinen koon matriisi m päällä n , missä m on rivien lukumäärä ja n on sarakkeiden lukumäärä.

Elementit, joita varten i=j (a11, a22, .. ) muodostavat matriisin päädiagonaalin, ja niitä kutsutaan diagonaaleiksi.

Mitä matriiseilla voidaan tehdä? Lisää/Vähennä, kerrotaan numerolla, lisääntyvät keskenään, transponoida. Nyt kaikista näistä matriisien perusoperaatioista järjestyksessä.

Matriisi yhteen- ja vähennysoperaatiot

Varoitamme heti, että voit lisätä vain samankokoisia matriiseja. Tuloksena on samankokoinen matriisi. Matriisien lisääminen (tai vähentäminen) on helppoa − lisää vain niitä vastaavat elementit . Otetaan esimerkki. Suoritetaan kahden matriisin A ja B summaus, joiden koko on kaksi kertaa kaksi.

Vähennys suoritetaan analogisesti, vain vastakkaisella merkillä.

Mikä tahansa matriisi voidaan kertoa mielivaltaisella luvulla. Tehdä tämä, sinun on kerrottava tällä numerolla jokainen sen elementti. Kerrotaan esimerkiksi ensimmäisen esimerkin matriisi A numerolla 5:

Matriisin kertolaskuoperaatio

Kaikkia matriiseja ei voida kertoa keskenään. Meillä on esimerkiksi kaksi matriisia - A ja B. Ne voidaan kertoa keskenään vain, jos matriisin A sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin B rivien lukumäärä. tuloksena olevan matriisin jokainen elementti i:nnessä rivissä ja j:nnessä sarakkeessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän i:nnen rivin vastaavien elementtien ja toisen kertoimen j:nnen sarakkeen vastaavien elementtien tulojen summa.. Ymmärtääksesi tämän algoritmin, kirjoitetaan, kuinka kaksi neliömatriisia kerrotaan:

Ja esimerkki reaaliluvuilla. Kerrotaan matriisit:

Matriisitransponointitoiminto

Matriisitransponointi on toiminto, jossa vastaavat rivit ja sarakkeet vaihdetaan. Esimerkiksi transponoimme matriisin A ensimmäisestä esimerkistä:

Matriisin determinantti

Determinantti, oi determinantti, on yksi lineaarisen algebran peruskäsitteistä. Kerran ihmiset keksivät lineaarisia yhtälöitä, ja niiden jälkeen heidän piti keksiä determinantti. Loppujen lopuksi sinun on ratkaistava tämä kaikki, joten viimeinen työntö!

Determinantti on neliömatriisin numeerinen ominaisuus, jota tarvitaan monien ongelmien ratkaisemiseen.
Yksinkertaisimman neliömatriisin determinantin laskemiseksi sinun on laskettava pää- ja toissijaisten diagonaalien elementtien tulojen välinen ero.

Ensimmäisen kertaluvun, eli yhdestä alkiosta koostuvan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin tämä alkio.

Entä jos matriisi on kolme kertaa kolme? Tämä on vaikeampaa, mutta se voidaan tehdä.

Tällaisessa matriisissa determinantin arvo on yhtä suuri kuin päälävistäjän alkioiden tulojen ja päälävistäjän kanssa samansuuntaisten kolmioiden päällä olevien elementtien tulojen summa, josta alkioiden tulo toissijaisen lävistäjän ja toissijaisen diagonaalin kanssa samansuuntaisten kolmioiden päällä olevien elementtien tulo vähennetään.

Onneksi suurten matriisien determinantteja on käytännössä harvoin tarpeen laskea.

Tässä olemme tarkastelleet matriisien perusoperaatioita. Tosielämässä ei tietenkään voi koskaan törmätä vihjeeseen matriisiyhtälöjärjestelmästä, tai päinvastoin, saatat kohdata paljon monimutkaisempia tapauksia, joissa sinun on todella ryhdyttävä aivoihin. Tällaisia ​​tapauksia varten on olemassa ammattimainen opiskelijapalvelu. Pyydä apua, hanki laadukas ja yksityiskohtainen ratkaisu, nauti akateemisesta menestyksestä ja vapaa-ajasta.

Tässä aiheessa tarkastelemme matriisin käsitettä sekä matriisien tyyppejä. Koska tässä aiheessa on paljon termejä, lisään yhteenvedon materiaalissa liikkumisen helpottamiseksi.

Matriisin ja sen elementin määritelmä. Merkintä.

Matriisi on taulukko, jossa on $m$ riviä ja $n$ saraketta. Matriisin elementit voivat olla luonteeltaan täysin erilaisia ​​objekteja: lukuja, muuttujia tai esimerkiksi muita matriiseja. Esimerkiksi matriisissa $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ on 3 riviä ja 2 saraketta; sen elementit ovat kokonaislukuja. Matriisi $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ sisältää 2 riviä ja 4 saraketta.

Eri tapoja kirjoittaa matriiseja: näytä\piilota

Matriisi voidaan kirjoittaa paitsi pyöreisiin hakasulkeisiin, myös neliö- tai kaksinkertaisiin suoriin hakasulkeisiin. Eli alla olevat merkinnät tarkoittavat samaa matriisia:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Tuote $m\times n$ kutsutaan matriisin koko. Esimerkiksi jos matriisi sisältää 5 riviä ja 3 saraketta, puhutaan $5\kertaa 3$ matriisista. Matriisin $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ koko on $3 \kertaa 2$.

Matriisit merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: $A$, $B$, $C$ ja niin edelleen. Esimerkiksi $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Rivien numerointi etenee ylhäältä alas; sarakkeet - vasemmalta oikealle. Esimerkiksi matriisin $B$ ensimmäinen rivi sisältää elementit 5 ja 3 ja toinen sarake elementit 3, -87, 0.

Matriisien elementit merkitään yleensä pienillä kirjaimilla. Esimerkiksi matriisin $A$ alkioita merkitään $a_(ij)$. Kaksoisindeksi $ij$ sisältää tietoa elementin sijainnista matriisissa. Luku $i$ on rivin numero ja luku $j$ sen sarakkeen numero, jonka leikkauskohdassa elementti $a_(ij)$ sijaitsee. Esimerkiksi matriisin toisen rivin ja viidennen sarakkeen leikkauskohdassa $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elementti $ a_(25)= 59 $:

Vastaavasti ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen leikkauskohdassa meillä on elementti $a_(11)=51$; kolmannen rivin ja toisen sarakkeen leikkauskohdassa - elementti $a_(32)=-15$ ja niin edelleen. Huomaa, että $a_(32)$ luetaan "kolme kaksi" mutta ei "kolmekymmentäkaksi".

Matriisin $A$, jonka koko on $m\times n$, lyhennettyyn nimeämiseen käytetään merkintää $A_(m\times n)$. Voit kirjoittaa hieman tarkemmin:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

jossa merkintä $(a_(ij))$ tarkoittaa matriisin $A$ alkioita. Täysin laajennetussa muodossa matriisi $A_(m\times n)=(a_(ij))$ voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \lpisteet & a_(2n) \\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Otetaan käyttöön toinen termi - yhtä suuret matriisit.

Kaksi samankokoista matriisia $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ja $B_(m\times n)=(b_(ij))$ kutsutaan yhtä suuri jos niiden vastaavat elementit ovat yhtä suuret, ts. $a_(ij)=b_(ij)$ kaikille $i=\overline(1,m)$ ja $j=\overline(1,n)$.

Selitys merkinnälle $i=\overline(1,m)$: näytä\piilota

Merkintä "$i=\overline(1,m)$" tarkoittaa, että parametri $i$ muuttuu arvosta 1 arvoon m. Esimerkiksi merkintä $i=\overline(1,5)$ sanoo, että $i$-parametri saa arvot 1, 2, 3, 4, 5.

Joten matriisien yhtäläisyyteen vaaditaan kaksi ehtoa: kokojen yhteensopivuus ja vastaavien elementtien yhtäläisyys. Esimerkiksi matriisi $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ei ole yhtä suuri kuin matriisi $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ koska matriisi $A$ on $3\kertaa 2$ ja matriisi $B$ on $2\kertaa 2$. Myös matriisi $A$ ei ole sama kuin matriisi $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right) $, koska $a_(21)\neq c_(21)$ (eli $0\neq 98$). Mutta matriisille $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$, voimme turvallisesti kirjoittaa $A =F$, koska matriisien $A$ ja $F$ koot ja vastaavat elementit ovat samat.

Esimerkki #1

Määritä matriisin koko $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Määritä, mitä elementit $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ vastaavat.

Tämä matriisi sisältää 5 riviä ja 3 saraketta, joten sen koko on $5\kertaa 3$. Tälle matriisille voidaan käyttää myös merkintää $A_(5\kertaa 3)$.

Elementti $a_(12)$ on ensimmäisen rivin ja toisen sarakkeen leikkauskohdassa, joten $a_(12)=-2$. Elementti $a_(33)$ on kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa, joten $a_(33)=23$. Elementti $a_(43)$ on neljännen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa, joten $a_(43)=-5$.

Vastaus: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Matriisityypit niiden koosta riippuen. Pää- ja sivudiagonaalit. Matriisijälki.

Olkoon jokin matriisi $A_(m\times n)$. Jos $m=1$ (matriisi koostuu yhdestä rivistä), niin annettu matriisi kutsutaan matriisi-rivi. Jos $n = 1$ (matriisi koostuu yhdestä sarakkeesta), sellainen matriisi kutsutaan sarakematriisi. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ on rivimatriisi ja $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - sarakematriisi.

Jos ehto $m\neq n$ on tosi matriisille $A_(m\times n)$ (eli rivien määrä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä), niin usein sanotaan, että $A$ on suorakaiteen muotoinen matriisi. Esimerkiksi matriisin $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ on koko $2\kertaa 4 $, ne. sisältää 2 riviä ja 4 saraketta. Koska rivien määrä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, tämä matriisi on suorakaiteen muotoinen.

Jos ehto $m=n$ on tosi matriisille $A_(m\kertaa n)$ (eli rivien määrä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä), niin $A$ sanotaan olevan neliömatriisi tilaus $n$. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ on toisen kertaluvun neliömatriisi; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ on 3. asteen neliömatriisi. Yleensä neliömatriisi $A_(n\times n)$ voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \lpisteet & a_(2n) \\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet \\ a_(n1) & a_(n2) & \lpisteet & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementtien $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sanotaan olevan päällä päädiagonaali matriisit $A_(n\times n)$. Näitä elementtejä kutsutaan diagonaaliset pääelementit(tai vain diagonaaliset elementit). Elementit $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ovat päällä sivu (toissijainen) diagonaali; niitä kutsutaan toissijaiset diagonaaliset elementit. Esimerkiksi matriisille $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ meillä on:

Alkiot $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ovat tärkeimpiä diagonaalielementtejä; elementit $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ovat toissijaisia ​​diagonaalielementtejä.

Diagonaalien pääelementtien summaa kutsutaan jota seuraa matriisi ja merkitty $\Tr A$ (tai $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Esimerkiksi matriisille $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ meillä on:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diagonaalielementtien käsitettä käytetään myös ei-neliömatriiseissa. Esimerkiksi matriisille $B=\left(\begin(array) (cccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ diagonaaliset pääelementit ovat $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Matriisityypit riippuen niiden elementtien arvoista.

Jos matriisin $A_(m\kertaa n)$ kaikki alkiot ovat nolla, niin tällainen matriisi on ns. tyhjä ja se merkitään yleensä kirjaimella $O$. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ovat nollamatriiseja.

Olkoon matriisi $A_(m\times n)$ tältä:

Sitten tätä matriisia kutsutaan puolisuunnikkaan muotoinen. Se ei välttämättä sisällä nollaa riviä, mutta jos on, ne sijaitsevat matriisin alaosassa. Yleisemmässä muodossa puolisuunnikkaan muotoinen matriisi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Jälleen, lopussa olevat tyhjät merkkijonot ovat valinnaisia. Nuo. muodollisesti voimme erottaa seuraavat ehdot puolisuunnikkaan matriisille:

  1. Kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat elementit ovat nolla.
  2. Kaikki alkiot $a_(11)$ - $a_(rr)$, jotka sijaitsevat päälävistäjällä, eivät ole yhtä suuria kuin nolla: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
  3. Joko kaikki viimeisten $m-r$-rivien elementit ovat nolla, tai $m=r$ (eli nollarivejä ei ole ollenkaan).

Esimerkkejä puolisuunnikkaan muotoisista matriiseista:

Siirrytään seuraavaan määritelmään. Matriisia $A_(m\times n)$ kutsutaan astui jos se täyttää seuraavat ehdot:


Esimerkiksi askelmatriisit olisivat:

Vertailun vuoksi matriisi $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ei ole porrastettu, koska kolmannella rivillä on sama nolla-osa kuin toisella rivillä. Eli periaatetta "mitä pienempi viiva - sitä suurempi nolla-osa" rikotaan. Lisään, että puolisuunnikkaan muotoinen matriisi on porrastetun matriisin erikoistapaus.

Siirrytään seuraavaan määritelmään. Jos kaikki neliömatriisin elementit, jotka sijaitsevat päälävistäjän alla, ovat yhtä suuria kuin nolla, tällainen matriisi on ns. ylempi kolmiomatriisi. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - ylempi kolmiomatriisi. Huomaa, että ylemmän kolmion matriisin määritelmä ei kerro mitään päälävistäjän yläpuolella tai päälävistäjällä olevien elementtien arvoista. Ne voivat olla tai olla nolla, sillä ei ole väliä. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ on myös ylempi kolmiomatriisi.

Jos kaikki neliömatriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin yläpuolella, ovat yhtä suuria kuin nolla, tällainen matriisi on ns. alempi kolmiomatriisi. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alempi kolmiomatriisi. Huomaa, että alemman kolmion matriisin määritelmä ei kerro mitään päädiagonaalin alla tai päällä olevien elementtien arvoista. Ne voivat olla mitättömiä tai eivät, sillä ei ole väliä. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ ja $\left(\ aloita (taulukko) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ovat myös alempia kolmiomatriiseja.

Neliömatriisia kutsutaan diagonaalinen jos kaikki tämän matriisin alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat nollia. Esimerkki: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Päädiagonaalin elementit voivat olla mitä tahansa (nolla tai ei) - tämä ei ole välttämätöntä.

Diagonaalimatriisia kutsutaan yksittäinen jos kaikki tämän matriisin päälävistäjällä olevat elementit ovat yhtä suuret kuin 1. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4. asteen identiteettimatriisi; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ on toisen asteen identiteettimatriisi.