Jos kaksi merkkiä on vähemmän, funktio kasvaa. Toiminnon ominaisuudet
Yksitoikkoinen
Erittäin tärkeä funktion ominaisuus on sen monotonisuus. Tietäen tämän erilaisten erityistoimintojen ominaisuuden, voidaan määrittää erilaisten fyysisten, taloudellisten, sosiaalisten ja monien muiden prosessien käyttäytyminen.
Seuraavat toimintojen monotonisuuden tyypit erotetaan:
1) toiminto lisääntyy, Jos jollakin aikavälillä, jos kahdelle pisteelle ja tämä väli sellainen, että . Nuo. suurempi argumentin arvo vastaa suurempaa funktion arvoa;
2) toiminto vähenee, Jos jollakin aikavälillä, jos kahdelle pisteelle ja tämä väli sellainen, että . Nuo. argumentin suurempi arvo vastaa pienempää funktion arvoa;
3) toiminto ei-vähenevä, Jos jollakin aikavälillä, jos kahdelle pisteelle ja tämä väli sellainen, että ;
4) toiminto ei lisäänny, Jos jollakin aikavälillä, jos kahdelle pisteelle ja tämä väli sellainen, että .
2. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa käytetään myös termiä "tiukka monotonisuus".
3. Kaksi viimeistä tapausta ovat erityisiä ja ne on yleensä määritelty useiden toimintojen koostumukseksi.
4. Huomaamme erikseen, että funktion kaavion kasvua ja laskua tulee tarkastella täsmälleen vasemmalta oikealle eikä mitään muuta.
2. Parillinen/pariton.
Funktiota kutsutaan parittomaksi, jos argumentin etumerkki muuttuu, se muuttaa arvonsa päinvastaiseksi. Tämän kaava näyttää tältä. Tämä tarkoittaa, että kun miinus x -arvot on korvattu funktioon kaikkien x:ien tilalle, funktio muuttaa etumerkkiään. Tällaisen funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
Esimerkkejä parittomista funktioista ovat mm.
Esimerkiksi kaavio on todellakin symmetrinen origon suhteen:
Funktiota kutsutaan parillisiksi jos argumentin etumerkin muuttaminen ei muuta sen arvoa. Tämän kaava näyttää tältä. Tämä tarkoittaa, että kun miinus x -arvot on korvattu funktioon kaikkien x:ien tilalle, funktio ei muutu. Tällaisen funktion kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen.
Esimerkkejä parillisista funktioista ovat mm.
Esitetään esimerkiksi kaavion symmetria akselin suhteen:
Jos funktio ei kuulu mihinkään määritetyistä tyypeistä, sitä ei kutsuta parilliseksi tai parittomaksi tai yleinen toiminto. Tällaisilla funktioilla ei ole symmetriaa.
Tällainen funktio on esimerkiksi äskettäin harkittu lineaarinen funktio kaaviolla:
3. Funktioiden erityinen ominaisuus on jaksotus.
Tosiasia on, että jaksolliset funktiot, joita tarkastellaan peruskoulun opetussuunnitelmassa, ovat vain trigonometrisiä toimintoja. Olemme jo puhuneet niistä yksityiskohtaisesti tutkiessamme vastaavaa aihetta.
Jaksottainen toiminto on funktio, joka ei muuta arvoaan, kun tietty vakio nollasta poikkeava luku lisätään argumenttiin.
Tätä miniminumeroa kutsutaan toimintajakso ja ne on merkitty kirjaimella.
Tämän kaava näyttää tältä: 
.
Tarkastellaan tätä ominaisuutta sinikaavion esimerkissä:
Muista, että funktioiden ja jakso on ja jakso ja on .
Kuten jo tiedämme, trigonometrisille funktioille, joilla on monimutkainen argumentti, voi olla epästandardi jakso. Nämä ovat lomakkeen toimintoja:
Heillä on sama ajanjakso. Ja funktioista:
Heillä on sama ajanjakso.
Kuten näet, uuden jakson laskemiseksi vakiojakso yksinkertaisesti jaetaan argumentin kertoimella. Se ei ole riippuvainen muista toiminnon muutoksista.
Rajoitus.
Toiminto y=f(x) kutsutaan alhaalta rajatuksi joukossa X⊂D(f), jos on olemassa sellainen luku a, että mille tahansa xϵX:lle epäyhtälö f(x)< a.
Toiminto y=f(x) kutsutaan ylhäältä rajatuksi joukossa X⊂D(f), jos on olemassa sellainen luku a, että mille tahansa xϵX:lle epäyhtälö f(x)< a.
Jos väliä X ei ilmoiteta, katsotaan, että toiminto on rajoitettu koko määrittelyalueelle. Sekä ylä- että alapuolelta rajattua funktiota kutsutaan rajatuksi.
Toiminnon rajoitus on helppo lukea kaaviosta. On mahdollista piirtää jokin suora y=a, ja jos funktio on tätä suoraa korkeampi, niin se rajataan alhaalta.
Jos alla, niin vastaavasti ylhäällä. Alla on kaavio alarajaisesta funktiosta. Kaavio rajatusta funktiosta, kaverit, yritä piirtää se itse.
Aihe: Funktioiden ominaisuudet: kasvu- ja laskuvälit; suurimmat ja pienimmät arvot; ääripisteet (paikallinen maksimi ja minimi), funktion kupera.
nousu- ja laskukausia.
Riittävien ehtojen (merkkien) perusteella funktion lisääntymiselle ja pienenemiselle löydetään funktion kasvu- ja laskuvälit.
Tässä on formulaatiot intervallin kasvavien ja pienenevien funktioiden merkkien:
jos funktion derivaatta y=f(x) positiivista mille tahansa x intervallista X, niin funktio kasvaa X;
jos funktion derivaatta y=f(x) negatiivinen mille tahansa x intervallista X, toiminto pienenee X.
Näin ollen funktion kasvu- ja laskuvälin määrittämiseksi on välttämätöntä:
etsi toiminnon laajuus;
löytää funktion derivaatta;
ratkaista eriarvoisuudet ja määritelmän alalla;
Toiminnan ääripäät
Määritelmä 2
Pistettä $x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ maksimipisteeksi, jos tämän pisteen ympäristö on sellainen, että kaikille $x$ tästä naapurustosta epäyhtälö $f(x)\le f(x_0 )$ on tyytyväinen.
Määritelmä 3
Pistettä $x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ maksimipisteeksi, jos tämän pisteen naapuri on sellainen, että kaikille $x$ tästä naapurustosta epäyhtälö $f(x)\ge f(x_0 )$ on tyytyväinen.
Funktion ääripään käsite liittyy läheisesti funktion kriittisen pisteen käsitteeseen. Esittelemme sen määritelmän.
Määritelmä 4
$x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ kriittiseksi pisteeksi, jos:
1) $x_0$ - määritelmäalueen sisäinen piste;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ tai sitä ei ole olemassa.
Ekstreemumin käsitteelle voidaan muotoilla lauseita sen olemassaolon riittävillä ja välttämättömillä ehdoilla.
Lause 2
Riittävä ääripään kunto
Olkoon piste $x_0$ kriittinen funktiolle $y=f(x)$ ja sijaita välillä $(a,b)$. Olkoon jokaisella intervallilla $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ derivaatta $f"(x)$ ja säilytä vakiomerkki. Sitten:
1) Jos välissä $(a,x_0)$ derivaatta $f"\left(x\right)>0$ ja välissä $(x_0,b)$ derivaatta $f"\left(x\ oikea)
2) Jos derivaatta $f"\left(x\right)0$ on välillä $(a,x_0)$, niin piste $x_0$ on tämän funktion minimipiste.
3) Jos sekä välissä $(a,x_0)$ että välillä $(x_0,b)$ derivaatta $f"\left(x\right) >0$ tai derivaatta $f"\left(x \oikea)
Tämä lause on havainnollistettu kuvassa 1.
Kuva 1. Riittävä ehto ääripään olemassaololle
Esimerkkejä ääripäistä (kuva 2).
Kuva 2. Esimerkkejä ääripisteistä
Sääntö funktion tutkimiseksi ääripäälle
2) Etsi derivaatta $f"(x)$;
7) Tee johtopäätökset maksimien ja minimien olemassaolosta kullakin välillä Lauseen 2 avulla.
Toiminto nouseva ja laskeva
Otetaan ensin käyttöön kasvavien ja pienenevien funktioiden määritelmät.
Määritelmä 5
Välille $X$ määritettyä funktiota $y=f(x)$ kutsutaan kasvavaksi, jos missä tahansa pisteessä $x_1,x_2\in X$ arvolla $x_1
Määritelmä 6
Intervalle $X$ määritettyä funktiota $y=f(x)$ kutsutaan pieneneväksi, jos missä tahansa pisteessä $x_1,x_2\in X$ arvolla $x_1f(x_2)$.
Kasvavan ja pienentävän funktion tutkiminen
Voit tutkia lisäämisen ja vähentämisen funktioita derivaatan avulla.
Jotta voit tutkia funktiota kasvu- ja laskuväleillä, sinun on tehtävä seuraava:
1) Etsi funktion $f(x)$ toimialue;
2) Etsi derivaatta $f"(x)$;
3) Etsi pisteet, joissa yhtälö $f"\left(x\right)=0$;
4) Etsi kohdat, joissa $f"(x)$ ei ole olemassa;
5) Merkitse koordinaattiviivalle kaikki löydetyt pisteet ja annetun funktion toimialue;
6) Määritä derivaatan $f"(x)$ etumerkki kullakin tuloksena olevalla välillä;
7) Päättele: intervalleilla, joissa $f"\left(x\right)0$ funktio kasvaa.
Esimerkkejä ongelmista kasvavien, pienentävien ja ääripisteiden esiintymisen funktioiden tutkimiseen
Esimerkki 1
Tutki kasvun ja pienenemisen funktiota sekä maksimi- ja minimipisteiden olemassaoloa: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Koska ensimmäiset 6 pistettä ovat samat, arvomme ne ensin.
1) Määritelmäalue - kaikki reaaliluvut;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ on olemassa määritelmäalueen kaikissa kohdissa;
5) Koordinaattiviiva:
Kuva 3
6) Määritä derivaatan $f"(x)$ etumerkki kullakin välillä:
\ \ . Se löydetään käyttämällä maksimipisteitä ja on yhtä suuri kuin funktion maksimiarvo, ja toinen luku on enemmän kuin maksimipisteen löytäminen kohdassa x = b.
Riittävät olosuhteet toimintojen lisäämiselle ja vähentämiselle
Funktion maksimien ja minimien löytämiseksi on tarpeen käyttää ääripään merkkejä siinä tapauksessa, että funktio täyttää nämä ehdot. Ensimmäinen ominaisuus on yleisimmin käytetty.
Ensimmäinen riittävä ehto ääripäälle
Määritelmä 4Olkoon annettu funktio y = f (x), joka on differentioituva pisteen x 0 ympäristössä ε ja jolla on jatkuvuus annetussa pisteessä x 0 . Siksi saamme sen
- kun f "(x) > 0 x ∈ (x 0 - ε; x 0) ja f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- kun f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , niin x 0 on minimipiste.
Toisin sanoen saamme heidän merkkien asettamisehdot:
- kun funktio on jatkuva pisteessä x 0, niin sillä on derivaatta, jonka etumerkki on muuttuva, eli +:sta - -, mikä tarkoittaa, että pistettä kutsutaan maksimiksi;
- kun funktio on jatkuva pisteessä x 0, niin sillä on derivaatta, jonka etumerkki muuttuu arvosta - +, mikä tarkoittaa, että pistettä kutsutaan minimiksi.
Määrittääksesi funktion enimmäis- ja minimipisteet oikein, sinun on noudatettava algoritmia niiden löytämiseksi:
- etsi määritelmän alue;
- etsi funktion derivaatta tällä alueella;
- tunnistaa nollat ja kohdat, joissa funktiota ei ole olemassa;
- derivaatan etumerkin määrittäminen intervalleilla;
- valitse kohdat, joissa funktio vaihtaa merkkiä.
Tarkastellaan algoritmia esimerkkinä, jossa ratkaistaan useita funktion ääripäiden löytämisen esimerkkejä.
Esimerkki 1
Etsi annetun funktion y = 2 (x + 1) 2 x - 2 maksimi- ja minimipisteet.
Ratkaisu
Tämän funktion toimialue on kaikki reaaliluvut paitsi x = 2. Ensin löydämme funktion derivaatan ja saamme:
y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2)" (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2
Tästä näemme, että funktion nollat ovat x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, eli jokainen hakasulke on rinnastettava nollaan. Merkitse numeroriville ja saat:
Nyt määritetään derivaatan merkit kustakin intervallista. On tarpeen valita väliin sisältyvä piste, korvata se lausekkeella. Esimerkiksi pisteet x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
Me ymmärrämme sen
y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2) ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, joten välillä - ∞; - 1 on positiivinen derivaatta. Samalla tavalla saadaan, että
y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Koska toinen intervalli osoittautui pienemmäksi kuin nolla, se tarkoittaa, että segmentin derivaatta on negatiivinen. Kolmas miinuksella, neljäs plussalla. Jatkuvuuden määrittämiseksi on kiinnitettävä huomiota derivaatan etumerkkiin, jos se muuttuu, tämä on ääripiste.
Saamme, että pisteessä x = - 1 funktio on jatkuva, mikä tarkoittaa, että derivaatta muuttaa etumerkkiä +:sta - -. Ensimmäisen merkin mukaan meillä on, että x = - 1 on maksimipiste, mikä tarkoittaa, että saamme
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Piste x = 5 osoittaa, että funktio on jatkuva, ja derivaatan etumerkki muuttuu arvosta - +:ksi. Siksi x=-1 on minimipiste, ja sen löydöksellä on muoto
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Graafinen kuva
Vastaus: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.
On syytä kiinnittää huomiota siihen, että ääripään ensimmäisen riittävän merkin käyttö ei edellytä funktion olevan differentioituva pisteestä x 0, mikä yksinkertaistaa laskentaa.
Esimerkki 2
Etsi funktion y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 maksimi- ja minimipisteet.
Ratkaisu.
Funktioalue on kaikki reaaliluvut. Tämä voidaan kirjoittaa yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Sitten sinun on löydettävä johdannainen:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 v" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Pisteellä x = 0 ei ole derivaattia, koska yksipuolisten rajojen arvot ovat erilaisia. Saamme sen:
lim y "x → 0 - 0 = raja x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = raja x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Tästä seuraa, että funktio on jatkuva pisteessä x = 0, sitten lasketaan
raja x → 0 - 0 = raja x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 raja x → 0 + 0 = raja x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 v (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
On tarpeen suorittaa laskelmia argumentin arvon löytämiseksi, kun derivaatasta tulee nolla:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Kaikki saadut pisteet on merkittävä suoralle viivalle kunkin intervallin etumerkin määrittämiseksi. Siksi on välttämätöntä laskea derivaatta mielivaltaisissa pisteissä jokaiselle välille. Voimme ottaa esimerkiksi pisteitä, joiden arvot ovat x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Me ymmärrämme sen
y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 v "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 v "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Suoralla olevalla kuvalla on muoto
Joten tulemme siihen pisteeseen, että on välttämätöntä turvautua äärimmäisyyden ensimmäiseen merkkiin. Laskemme ja saamme sen
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , niin tästä eteenpäin maksimipisteillä on arvot x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3
Jatketaan vähimmäismäärien laskemiseen:
v m i n = v - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 v m i n = v (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 v m i n = v 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Lasketaan funktion maksimit. Me ymmärrämme sen
v m a x = v - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 v m a x = v 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Graafinen kuva
Vastaus:
v m i n = v - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 v m i n = y (0) = - 8 v m i n = v 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 v m a x = v - 4 + 2 3 3 = 3 v m 2 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Jos funktiolle annetaan f "(x 0) = 0, niin sen f "" (x 0) > 0 avulla saadaan, että x 0 on minimipiste, jos f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Esimerkki 3
Etsi funktion y = 8 x x + 1 maksimi ja minimi.
Ratkaisu
Ensin löydämme määritelmäalueen. Me ymmärrämme sen
D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
On tarpeen erottaa funktio, jonka jälkeen saamme
y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1)" (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
Kun x = 1, derivaatta tulee yhtä suureksi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että piste on mahdollinen ääriarvo. Selvyyden vuoksi on tarpeen löytää toinen derivaatta ja laskea arvo kohdassa x \u003d 1. Saamme:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0
Siten käyttämällä ääripään ehtoa 2, saadaan, että x = 1 on maksimipiste. Muussa tapauksessa merkintä on y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .
Graafinen kuva
Vastaus: y m a x = y (1) = 4 ..
Määritelmä 5Funktion y = f (x) derivaatta on n:nnen kertaluvun luokkaan asti annetun pisteen x 0 ε-naapurustossa ja sen derivaatta n + 1. kertalukuon asti pisteessä x 0 . Sitten f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = fn (x 0) = 0.
Tästä seuraa, että kun n on parillinen luku, niin x 0 katsotaan käännepisteeksi, kun n on pariton luku, niin x 0 on ääripiste ja f (n + 1) (x 0) > 0, niin x 0 on minimipiste, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Esimerkki 4
Etsi funktion y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 maksimi- ja minimipisteet.
Ratkaisu
Alkuperäinen funktio on kokonainen rationaalinen funktio, joten tästä seuraa, että määritelmäalue on kaikki reaaliluvut. Toiminto on erotettava toisistaan. Me ymmärrämme sen
y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Tämä derivaatta menee nollaan, kun x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Toisin sanoen pisteet voivat olla mahdollisen ääripään pisteitä. On tarpeen soveltaa kolmatta riittävää äärimmäistä ehtoa. Toisen derivaatan löytäminen antaa sinun määrittää tarkasti funktion maksimin ja minimin olemassaolon. Toinen derivaatta lasketaan sen mahdollisen ääripään pisteistä. Me ymmärrämme sen
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Tämä tarkoittaa, että x 2 \u003d 5 7 on maksimipiste. Sovellettaessa 3 riittävää kriteeriä saadaan, että n = 1 ja f (n + 1) 5 7< 0 .
On tarpeen määrittää pisteiden luonne x 1 = - 1, x 3 = 3. Tätä varten sinun on löydettävä kolmas derivaatta, laskettava arvot näissä kohdissa. Me ymmärrämme sen
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Siten x 1 = - 1 on funktion käännepiste, koska n = 2 ja f (n + 1) (- 1) ≠ 0. On tarpeen tutkia pistettä x 3 = 3 . Tätä varten etsimme 4. derivaatan ja suoritamme laskelmat tässä vaiheessa:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Yllä olevasta päättelemme, että x 3 \u003d 3 on funktion minimipiste.
Graafinen kuva
Vastaus: x 2 \u003d 5 7 on maksimipiste, x 3 \u003d 3 - tietyn funktion minimipiste.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Toiminnan ääripäät
Määritelmä 2
Pistettä $x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ maksimipisteeksi, jos tämän pisteen ympäristö on sellainen, että kaikille $x$ tästä naapurustosta epäyhtälö $f(x)\le f(x_0 )$ on tyytyväinen.
Määritelmä 3
Pistettä $x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ maksimipisteeksi, jos tämän pisteen naapuri on sellainen, että kaikille $x$ tästä naapurustosta epäyhtälö $f(x)\ge f(x_0 )$ on tyytyväinen.
Funktion ääripään käsite liittyy läheisesti funktion kriittisen pisteen käsitteeseen. Esittelemme sen määritelmän.
Määritelmä 4
$x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ kriittiseksi pisteeksi, jos:
1) $x_0$ - määritelmäalueen sisäinen piste;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ tai sitä ei ole olemassa.
Ekstreemumin käsitteelle voidaan muotoilla lauseita sen olemassaolon riittävillä ja välttämättömillä ehdoilla.
Lause 2
Riittävä ääripään kunto
Olkoon piste $x_0$ kriittinen funktiolle $y=f(x)$ ja sijaita välillä $(a,b)$. Olkoon jokaisella intervallilla $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ derivaatta $f"(x)$ ja säilytä vakiomerkki. Sitten:
1) Jos välissä $(a,x_0)$ derivaatta $f"\left(x\right)>0$ ja välissä $(x_0,b)$ derivaatta $f"\left(x\ oikea)
2) Jos derivaatta $f"\left(x\right)0$ on välillä $(a,x_0)$, niin piste $x_0$ on tämän funktion minimipiste.
3) Jos sekä välissä $(a,x_0)$ että välillä $(x_0,b)$ derivaatta $f"\left(x\right) >0$ tai derivaatta $f"\left(x \oikea)
Tämä lause on havainnollistettu kuvassa 1.
Kuva 1. Riittävä ehto ääripään olemassaololle
Esimerkkejä ääripäistä (kuva 2).
Kuva 2. Esimerkkejä ääripisteistä
Sääntö funktion tutkimiseksi ääripäälle
2) Etsi derivaatta $f"(x)$;
7) Tee johtopäätökset maksimien ja minimien olemassaolosta kullakin välillä Lauseen 2 avulla.
Toiminto nouseva ja laskeva
Otetaan ensin käyttöön kasvavien ja pienenevien funktioiden määritelmät.
Määritelmä 5
Välille $X$ määritettyä funktiota $y=f(x)$ kutsutaan kasvavaksi, jos missä tahansa pisteessä $x_1,x_2\in X$ arvolla $x_1
Määritelmä 6
Intervalle $X$ määritettyä funktiota $y=f(x)$ kutsutaan pieneneväksi, jos missä tahansa pisteessä $x_1,x_2\in X$ arvolla $x_1f(x_2)$.
Kasvavan ja pienentävän funktion tutkiminen
Voit tutkia lisäämisen ja vähentämisen funktioita derivaatan avulla.
Jotta voit tutkia funktiota kasvu- ja laskuväleillä, sinun on tehtävä seuraava:
1) Etsi funktion $f(x)$ toimialue;
2) Etsi derivaatta $f"(x)$;
3) Etsi pisteet, joissa yhtälö $f"\left(x\right)=0$;
4) Etsi kohdat, joissa $f"(x)$ ei ole olemassa;
5) Merkitse koordinaattiviivalle kaikki löydetyt pisteet ja annetun funktion toimialue;
6) Määritä derivaatan $f"(x)$ etumerkki kullakin tuloksena olevalla välillä;
7) Päättele: intervalleilla, joissa $f"\left(x\right)0$ funktio kasvaa.
Esimerkkejä ongelmista kasvavien, pienentävien ja ääripisteiden esiintymisen funktioiden tutkimiseen
Esimerkki 1
Tutki kasvun ja pienenemisen funktiota sekä maksimi- ja minimipisteiden olemassaoloa: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Koska ensimmäiset 6 pistettä ovat samat, arvomme ne ensin.
1) Määritelmäalue - kaikki reaaliluvut;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ on olemassa määritelmäalueen kaikissa kohdissa;
5) Koordinaattiviiva:
Kuva 3
6) Määritä derivaatan $f"(x)$ etumerkki kullakin välillä:
\ \}