Katkaistun pyramidin kokonaispinta-alan kaava. Online-laskin katkaistun pyramidin pinta-alan laskemiseen

  • 09.10.2014

    Kuvassa näkyvä esivahvistin on suunniteltu käytettäväksi 4 eri äänilähteen kanssa, kuten mikrofoni, CD-soitin, radionauhuri jne. Samalla esivahvistimessa on yksi tulo, joka voi muuttaa herkkyyttä 50mV:sta 500mV:iin. . vahvistimen lähtöjännite on 1000mV. Yhdistämällä eri signaalilähteitä kytkintä SA1 vaihdettaessa saamme aina ...

  • 20.09.2014

    Virtalähde on suunniteltu kuormitukselle, jonka teho on 15 ... 20 wattia. Lähde on valmistettu ykskaavion mukaan. Transistoriin on asennettu oskillaattori, joka toimii taajuudella 20 ... 40 kHz. Taajuutta säädetään kapasitanssilla C5. Elementit VD5, VD6 ja C6 muodostavat piirin oskillaattorin käynnistämiseksi. Toisiopiirissä, siltatasasuuntaajan jälkeen, mikropiirissä on tavanomainen lineaarinen stabilisaattori, jonka avulla voit ...

  • 28.09.2014

    Kuvassa on K174XA11-sirun generaattori, jonka taajuutta ohjataan jännitteellä. Muuttamalla kapasitanssia C1 560:sta 4700pF:iin saadaan laaja taajuusalue, kun taas taajuutta säädetään muuttamalla vastusta R4. Esimerkiksi kirjoittaja sai selville, että C1 \u003d 560pF:llä generaattorin taajuutta voidaan muuttaa R4:llä 600 Hz:stä 200 kHz:iin, ...

  • 03.10.2014

    Yksikkö on suunniteltu antamaan virtaa tehokkaalle ULF:lle, se on suunniteltu ± 27 V:n lähtöjännitteelle ja siten kuormittaa kutakin vartta jopa 3 A. Virtalähde on kaksinapainen, ja se on valmistettu täydellisistä komposiittitransistoreista KT825-KT827. Stabilisaattorin molemmat varret on valmistettu saman kaavion mukaan, mutta toisessa varressa (ei näy) kondensaattoreiden napaisuutta muutetaan ja toisen transistoreita käytetään ...

- Tämä on monitahoinen, jonka muodostaa pyramidin pohja ja sen suuntainen osa. Voimme sanoa, että katkaistu pyramidi on pyramidi, jonka yläosa on katkaistu. Tällä kuviolla on monia ainutlaatuisia ominaisuuksia:

  • Pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia;
  • Säännöllisen katkaistun pyramidin sivureunat ovat samanpituisia ja kallistuneet alustaan ​​samassa kulmassa;
  • Pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja;
  • Tavallisessa katkaistussa pyramidissa pinnat ovat identtisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Ne on myös kallistettu alustaan ​​yhdessä kulmassa.

Katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-alan kaava on sen sivujen pinta-alojen summa:

Koska katkaistun pyramidin sivut ovat puolisuunnikkaan muotoisia, sinun on käytettävä kaavaa parametrien laskemiseen puolisuunnikkaan muotoinen alue. Normaalille katkaistulle pyramidille voidaan soveltaa toista pinta-alan laskentakaavaa. Koska sen kaikki sivut, pinnat ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret, on mahdollista soveltaa pohjan ja apoteemin kehyksiä sekä johtaa pinta-ala pohjan kulman kautta.

Jos säännöllisen katkaistun pyramidin olosuhteiden mukaan on annettu apoteemi (sivun korkeus) ja pohjan sivujen pituudet, niin pinta-ala voidaan laskea kehäsumman puolitulon kautta. perusteet ja apoteemi:

Katsotaanpa esimerkkiä katkaistun pyramidin sivupinta-alan laskemisesta.
Annettu säännöllinen viisikulmainen pyramidi. Apothem l\u003d 5 cm, kasvojen pituus suuressa pohjassa on a\u003d 6 cm, ja kasvot ovat pienemmässä pohjassa b\u003d 4 cm. Laske katkaistun pyramidin pinta-ala.

Ensin etsitään pohjan kehät. Koska meille on annettu viisikulmainen pyramidi, ymmärrämme, että kannat ovat viisikulmioita. Tämä tarkoittaa, että pohjat ovat kuvio, jossa on viisi identtistä sivua. Etsi suuremman pohjan ympärysmitta:

Samalla tavalla löydämme pienemmän pohjan kehän:

Nyt voimme laskea säännöllisen katkaistun pyramidin alueen. Korvaamme tiedot kaavassa:

Näin ollen laskemme säännöllisen katkaistun pyramidin alueen kehän ja apoteemin läpi.

Toinen tapa laskea säännöllisen pyramidin sivupinta-ala on kaava pohjan kulmien läpi ja juuri näiden jalkojen alueen läpi.

Katsotaanpa esimerkkilaskelmaa. Muista, että tämä kaava koskee vain tavallista katkaistua pyramidia.

Olkoon säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Alapohjan pinta on a = 6 cm ja ylemmän b = 4 cm. Dihedraalikulma pohjassa on β = 60°. Etsi säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala.

Ensin lasketaan tukien pinta-ala. Koska pyramidi on säännöllinen, kannan kaikki pinnat ovat keskenään yhtä suuret. Koska kanta on nelikulmio, ymmärrämme, että se on tarpeen laskea neliön alue. Se on leveyden ja pituuden tulo, mutta neliöitynä nämä arvot ovat samat. Etsi suuremman pohjan pinta-ala:


Nyt käytämme löydettyjä arvoja laskettaessa sivupinta-alaa.

Tietäen muutaman yksinkertaisen kaavan, laskemme helposti katkaistun pyramidin sivusuunnikkaan alueen eri arvojen avulla.

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka yksi pinta on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .



Sivujousi Pyramidiksi kutsutaan sivupinnan sitä puolta, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Huipusta vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteema . diagonaalinen leikkaus Pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivupinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaksi. Koko pinta-ala on kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summa.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskelle lähellä kantaa.

2. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskelle lähellä kantaa.

3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat samalla tavalla kalteva pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi kaava on oikea:

missä V- tilavuus;

S pää- peruspinta-ala;

H on pyramidin korkeus.

Säännölliselle pyramidille seuraavat kaavat ovat tosia:

missä s- pohjan kehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pää- peruspinta-ala;

V on säännöllisen pyramidin tilavuus.

katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja leikkaustason väliin pyramidin pohjan suuntaisesti (kuva 17). Oikea katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Säätiöt katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus Katkaistua pyramidia kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen välillä. Diagonaalinen Katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. diagonaalinen leikkaus Katkaistun pyramidin osaa kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.


Katkaistun pyramidin kaavat ovat voimassa:

(4)

missä S 1 , S 2 - ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä on kokonaispinta-ala;

S puoli on sivuttainen pinta-ala;

H- korkeus;

V on katkaistun pyramidin tilavuus.

Tavalliselle katkaistulle pyramidille seuraava kaava on totta:

missä s 1 , s 2 - pohjakehät;

h a- säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1 Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).


Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että kanta on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: ts. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (rajoitetun ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivurivan kaltevuuskulma (esim SB) on kulma itse reunan ja sen perustason projektion välillä. Kylkiluun SB tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN ja OB. Olkoon segmentin pituus BD on 3 a. piste O Jana BD on jaettu osiin: ja mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2 Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Kantojen pinta-alojen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa kantojen pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm3.

Esimerkki 3 Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka kantat ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).


Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikas. Puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi sinun on tiedettävä pohjat ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Etsi se mistä MUTTA 1 E kohtisuorassa pisteestä MUTTA 1 alemman alustan tasossa, A 1 D- kohtisuoraan MUTTA 1 päälle AC. MUTTA 1 E\u003d 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytämiseen DE teemme lisäpiirustuksen, jossa kuvaamme ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste O- ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK on piirretyn ympyrän säde ja OM on piirretyn ympyrän säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan

Kasvojen sivualue:


Vastaus:

Esimerkki 4 Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat a ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD on yhtä suuri kuin pinta-alojen ja puolisuunnikkaan pinta-alan summa ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste O- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD perustasolle. Tasaisen hahmon ortogonaalisen projektion alaa koskevan lauseen mukaan saamme:


Samalla tavalla se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste O on puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.


Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin Pythagoraan lauseen mukaan meillä on

Tällä oppitunnilla tarkastelemme katkaistua pyramidia, tutustumme oikeaan katkaistuun pyramidiin ja tutkimme niiden ominaisuuksia.

Muistakaamme n-kulmaisen pyramidin käsite käyttämällä esimerkkiä kolmiopyramidista. Kolmio ABC on annettu. Kolmion tason ulkopuolelle otetaan piste P, joka on yhdistetty kolmion kärkipisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista pintaa kutsutaan pyramidiksi (kuva 1).

Riisi. 1. Kolmiopyramidi

Leikataan pyramidi tasolla, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan tason kanssa. Näiden tasojen väliltä saatua kuvaa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi (kuva 2).

Riisi. 2. Katkaistu pyramidi

Pääelementit:

Yläpohja;

Alempi pohja ABC;

sivukasvot ;

Jos PH on alkuperäisen pyramidin korkeus, niin on katkaistun pyramidin korkeus.

Katkaistun pyramidin ominaisuudet johtuvat sen rakennusmenetelmästä, nimittäin kantajen tasojen yhdensuuntaisuudesta:

Katkaistun pyramidin kaikki sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia. Harkitse esimerkiksi kasvoja. Sillä on yhdensuuntaisten tasojen ominaisuus (koska tasot ovat yhdensuuntaisia, ne leikkaavat alkuperäisen ABP-pyramidin sivupinnan yhdensuuntaisia ​​linjoja pitkin), samalla ne eivät ole yhdensuuntaisia. On selvää, että nelikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen, kuten kaikki katkaistun pyramidin sivupinnat.

Kantojen suhde on sama kaikille puolisuunnikkaan:

Meillä on useita samankaltaisia ​​kolmioita, joilla on sama samankaltaisuuskerroin. Esimerkiksi kolmiot ja RAB ovat samankaltaisia ​​tasojen yhdensuuntaisuuden ja samankaltaisuuskertoimen vuoksi:

Samanaikaisesti kolmiot ja RCS ovat samankaltaisia ​​samankaltaisuuskertoimella:

Ilmeisesti samankaltaisuuskertoimet kaikille kolmelle samankaltaisten kolmioiden parille ovat yhtä suuret, joten kantojen suhde on sama kaikille puolisuunnikkaan.

Säännöllinen katkaistu pyramidi on katkaistu pyramidi, joka saadaan leikkaamalla säännöllinen pyramidi, jonka taso on yhdensuuntainen kannan kanssa (kuva 3).

Riisi. 3. Korjaa katkaistu pyramidi

Määritelmä.

Säännöllistä pyramidia kutsutaan pyramidiksi, jonka pohjalla on säännöllinen n-kulmio, ja kärki heijastetaan tämän n-kulmion keskustaan ​​(kirjoitetun ja rajatun ympyrän keskipisteeseen).

Tässä tapauksessa neliö on pyramidin pohjalla ja kärki projisoidaan sen diagonaalien leikkauspisteeseen. Tuloksena oleva säännöllinen nelikulmainen katkaistu pyramidi sisältää ABCD - alempi kanta, - ylempi kanta. Alkuperäisen pyramidin korkeus - RO, katkaistu pyramidi - (kuva 4).

Riisi. 4. Säännöllinen nelikulmainen katkaistu pyramidi

Määritelmä.

Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty yhden kannan mistä tahansa pisteestä toisen kannan tasoon.

Alkuperäisen pyramidin apoteemi on RM (M on AB:n keskikohta), katkaistun pyramidin apoteemi on (kuva 4).

Määritelmä.

Katkaistun pyramidin apoteemi on minkä tahansa sivupinnan korkeus.

On selvää, että katkaistun pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, eli sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita.

Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan kehän ja apoteemin puolen summan tulo.

Todiste (säännölliselle nelikulmaiselle katkaistulle pyramidille - kuva 4):

Joten meidän on todistettava:

Sivupinta-ala koostuu tässä sivupintojen - puolisuunnikkaan - pintojen summasta. Koska puolisuunnikkaat ovat samat, meillä on:

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala on puolisuunnikkaan kantajen summan ja korkeuden tulo, apoteemi on puolisuunnikkaan korkeus. Meillä on:

Q.E.D.

n-kulmaiselle pyramidille:

Missä n on pyramidin sivupintojen lukumäärä, a ja b ovat puolisuunnikkaan kantat, on apoteemi.

Säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 3 cm ja 9 cm, korkeus - 4 cm. Etsi sivupinnan pinta-ala.

Riisi. 5. Kuva tehtävälle 1

Ratkaisu. Havainnollistetaan tilanne:

Annettu: , ,

Piirrä suora MN pisteen O läpi, joka on samansuuntainen alemman jalustan molempien sivujen kanssa, samoin piirrä suora pisteen läpi (kuva 6). Koska neliöt ja rakenteet ovat yhdensuuntaiset katkaistun pyramidin kannalla, saadaan puolisuunnikkaan sivupinnat. Lisäksi sen sivusivu kulkee sivupintojen ylä- ja alareunojen keskikohdan läpi ja on katkaistun pyramidin ruumiillistuma.

Riisi. 6. Lisärakenteet

Harkitse tuloksena olevaa puolisuunnikasta (kuva 6). Tässä puolisuunnikkaan ylempi pohja, alempi pohja ja korkeus tunnetaan. On löydettävä sivusivu, joka on annetun katkaistun pyramidin apoteemi. Piirrä kohtisuoraan MN:ää vastaan. Pudotetaan kohtisuora NQ pisteestä. Saamme, että suurempi pohja on jaettu kolmen senttimetrin osiin (). Harkitse suorakulmaista kolmiota, sen jalat tunnetaan, tämä on egyptiläinen kolmio, Pythagoraan lauseella määritämme hypotenuusan pituuden: 5 cm.

Nyt on kaikki elementit pyramidin sivupinnan alueen määrittämiseksi:

Pyramidin ylittää pohjan kanssa yhdensuuntainen taso. Osoita kolmiomaisen pyramidin esimerkillä, että pyramidin sivureunat ja korkeus on jaettu tällä tasolla suhteellisiin osiin.

Todiste. Havainnollistetaan:

Riisi. 7. Kuva tehtävälle 2

Pyramidi RABC on annettu. RO on pyramidin korkeus. Pyramidi leikataan tasolla, lisäksi saadaan katkaistu pyramidi. Piste - RO:n korkeuden leikkauspiste katkaistun pyramidin pohjan tason kanssa. On tarpeen todistaa:

Avain ratkaisuun on yhdensuuntaisten tasojen ominaisuus. Kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa minkä tahansa kolmannen tason läpi siten, että leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset. Täältä: . Vastaavien viivojen yhdensuuntaisuus tarkoittaa neljän samankaltaisen kolmion paria:

Kolmioiden samankaltaisuudesta seuraa vastaavien sivujen suhteellisuus. Tärkeä ominaisuus on, että näiden kolmioiden samankaltaisuuskertoimet ovat samat:

Q.E.D.

Säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi RABC, jolla on korkeus ja pohjan sivu, leikataan tasolla, joka kulkee ABC:n pohjan suuntaisen korkeuden PH keskikohdan läpi. Etsi tuloksena olevan katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala.

Ratkaisu. Havainnollistetaan:

Riisi. 8. Kuva tehtävälle 3

DIA on säännöllinen kolmio, H on tämän kolmion keskipiste (kirjoitettujen ja rajattujen ympyröiden keskipiste). RM on annetun pyramidin apoteemi. - katkaistun pyramidin apoteemi. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuden mukaan (kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa minkä tahansa kolmannen tason niin, että leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset) meillä on useita samankaltaisia ​​kolmioita, joilla on sama samankaltaisuuskerroin. Erityisesti olemme kiinnostuneita suhteesta:

Etsitään NM. Tämä on kantaan kirjoitetun ympyrän säde, tiedämme vastaavan kaavan:

Nyt suorakulmaisesta kolmiosta РНМ Pythagoraan lauseen mukaan löydämme РМ - alkuperäisen pyramidin apoteemin:

Alkusuhteesta:

Nyt tiedämme kaikki elementit katkaistun pyramidin sivupinta-alan löytämiseksi:

Joten tutustuimme katkaistun pyramidin ja säännöllisen katkaistun pyramidin käsitteisiin, annoimme perusmääritelmiä, tarkastelimme ominaisuuksia ja todistimme lauseen sivupinnan alueella. Seuraavalla oppitunnilla keskitytään ongelmanratkaisuun.

Bibliografia

  1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Luokka 10-11: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja profiilitasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, Rev. ja ylimääräisiä - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
  2. Sharygin I. F. Geometria. Luokka 10-11: Oppikirja yleisille oppilaitoksille / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
  3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. Luokka 10: Oppikirja yleiskouluille, jossa on matematiikan syvällinen ja profiiliopinnot / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.
  1. Uztest.ru ().
  2. Fmclass.ru ().
  3. Webmath.expponenta.ru().

Kotitehtävät