Kuinka löytää toisen asteen yhtälön juuret ilman c:tä. Neliöyhtälöt - esimerkkejä ratkaisuista, piirteistä ja kaavoista


Jatkamme aiheen tutkimista yhtälöiden ratkaisu". Olemme jo tutustuneet lineaarisiin yhtälöihin ja nyt tutustumme niihin toisen asteen yhtälöt.

Ensin keskustellaan siitä, mikä on toisen asteen yhtälö, miten se kirjoitetaan yleisessä muodossa ja annamme siihen liittyviä määritelmiä. Sen jälkeen analysoimme esimerkkien avulla yksityiskohtaisesti, kuinka epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan. Seuraavaksi siirrymme kokonaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, hankimme juurien kaavan, tutustumme toisen asteen yhtälön erottimeen ja pohdimme ratkaisuja tyypillisiin esimerkkeihin. Lopuksi jäljitetään juurien ja kertoimien väliset yhteydet.

Sivulla navigointi.

Mikä on toisen asteen yhtälö? Niiden tyypit

Ensin sinun on ymmärrettävä selvästi, mikä on toisen asteen yhtälö. Siksi on loogista alkaa puhua toisen asteen yhtälöistä toisen asteen yhtälön määritelmällä sekä siihen liittyvillä määritelmillä. Sen jälkeen voit harkita toisen asteen yhtälöiden päätyyppejä: pelkistettyjä ja pelkistemättömiä sekä täydellisiä ja epätäydellisiä yhtälöitä.

Neliöyhtälöiden määritelmä ja esimerkkejä

Määritelmä.

Toisen asteen yhtälö on muodon yhtälö a x 2 + b x + c = 0, jossa x on muuttuja, a , b ja c ovat joitain lukuja ja a on eri kuin nolla.

Sanotaan heti, että toisen asteen yhtälöitä kutsutaan usein toisen asteen yhtälöiksi. Tämä johtuu siitä, että toisen asteen yhtälö on algebrallinen yhtälö toinen aste.

Äänitetyn määritelmän avulla voimme antaa esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä. Joten 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 jne. ovat toisen asteen yhtälöitä.

Määritelmä.

Numerot kutsutaan a, b ja c toisen asteen yhtälön kertoimet a x 2 + b x + c \u003d 0, ja kerrointa a kutsutaan ensimmäiseksi eli vanhemmiksi tai kertoimeksi kohdassa x 2, b on toinen kerroin tai kerroin kohdassa x ja c on vapaa jäsen.

Otetaan esimerkiksi toisen asteen yhtälö muotoa 5 x 2 −2 x−3=0, tässä johtava kerroin on 5, toinen kerroin −2 ja vapaa termi −3. Huomaa, että kun kertoimet b ja/tai c ovat negatiivisia, kuten juuri annetussa esimerkissä, käytetään toisen asteen yhtälön lyhyttä muotoa muodossa 5 x 2 −2 x−3=0, ei 5 x 2 +(− 2)x+(−3)=0.

On syytä huomata, että kun kertoimet a ja/tai b ovat yhtä kuin 1 tai -1, niin ne eivät yleensä ole eksplisiittisesti läsnä toisen asteen yhtälön merkinnöissä, mikä johtuu tällaisten merkintöjen erityispiirteistä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä y 2 −y+3=0 johtava kerroin on yksi ja kerroin kohdassa y on −1.

Pelkistetyt ja pelkistämättömät toisen asteen yhtälöt

Johtavan kertoimen arvosta riippuen erotetaan pelkistetty ja ei-pelkistetty neliöyhtälö. Annetaan vastaavat määritelmät.

Määritelmä.

Kutsutaan neliöyhtälö, jonka johtava kerroin on 1 pelkistetty toisen asteen yhtälö. Muuten toisen asteen yhtälö on vähentämätön.

Tämän määritelmän mukaan toisen asteen yhtälöt x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 jne. - vähennetty, jokaisessa niistä ensimmäinen kerroin on yhtä suuri kuin yksi. Ja 5 x 2 −x−1=0 jne. - pelkistämättömät toisen asteen yhtälöt, joiden johtavat kertoimet ovat erilaisia ​​kuin 1 .

Mistä tahansa pelkistämättömästä toisen asteen yhtälöstä jakamalla sen molemmat osat johtavalla kertoimella, voit siirtyä pelkistettyyn yhtälöön. Tämä toiminto on ekvivalenttimuunnos, eli tällä tavalla saadulla pelkistetyllä toisen asteen yhtälöllä on samat juuret kuin alkuperäisellä pelkistämättömällä toisen asteen yhtälöllä tai sillä ei ole juuria.

Otetaan esimerkki siitä, kuinka siirtyminen pelkistämättömästä toisen asteen yhtälöstä pelkistettyyn yhtälöön suoritetaan.

Esimerkki.

Yhtälöstä 3 x 2 +12 x−7=0 siirrytään vastaavaan pelkistettyyn toisen asteen yhtälöön.

Ratkaisu.

Riittää, että teemme alkuperäisen yhtälön molempien osien jakamisen johtavalla kertoimella 3, se ei ole nolla, joten voimme suorittaa tämän toiminnon. Meillä on (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , joka on sama kuin (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ja niin edelleen (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , mistä . Joten saimme pelkistetyn toisen asteen yhtälön, joka vastaa alkuperäistä yhtälöä.

Vastaus:

Täydelliset ja epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Toisen yhtälön määritelmässä on ehto a≠0. Tämä ehto on välttämätön, jotta yhtälö a x 2 +b x+c=0 olisi täsmälleen neliö, koska a=0:lla siitä tulee itse asiassa lineaarinen yhtälö muotoa b x+c=0 .

Mitä tulee kertoimiin b ja c, ne voivat olla yhtä suuria kuin nolla, sekä erikseen että yhdessä. Näissä tapauksissa toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi.

Määritelmä.

Kutsutaan toisen asteen yhtälö a x 2 +b x+c=0 epätäydellinen, jos ainakin yksi kertoimista b, c on nolla.

puolestaan

Määritelmä.

Täydellinen toisen asteen yhtälö on yhtälö, jossa kaikki kertoimet ovat erilaisia ​​kuin nolla.

Näitä nimiä ei ole annettu sattumalta. Tämä selviää seuraavasta keskustelusta.

Jos kerroin b on nolla, niin toisen asteen yhtälö on muotoa a x 2 +0 x+c=0, ja se vastaa yhtälöä a x 2 +c=0 . Jos c=0 eli toisen asteen yhtälö on muotoa a x 2 +b x+0=0, niin se voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon x 2 +b x=0 . Ja b=0 ja c=0 saamme toisen asteen yhtälön a·x 2 =0. Tuloksena saadut yhtälöt eroavat täysneliöyhtälöstä siinä, että niiden vasemmalla puolella ei ole termiä muuttujalla x, vapaata termiä tai molempia. Tästä syystä heidän nimensä - epätäydelliset toisen asteen yhtälöt.

Joten yhtälöt x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 ovat esimerkkejä täydellisistä toisen asteen yhtälöistä, ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Edellisen kappaleen tiedoista seuraa, että on kolmenlaisia ​​epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

  • a x 2 = 0, kertoimet b=0 ja c=0 vastaavat sitä;
  • ax2 +c=0, kun b=0;
  • ja ax2+bx=0, kun c=0.

Analysoidaan järjestyksessä, kuinka kunkin tyypin epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan.

a x 2 \u003d 0

Aloitetaan ratkaisemalla epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä, joissa kertoimet b ja c ovat nolla, eli yhtälöillä, jotka ovat muotoa a x 2 =0. Yhtälö a·x 2 =0 vastaa yhtälöä x 2 =0, joka saadaan alkuperäisestä jakamalla sen molemmat osat nollasta poikkeavalla luvulla a. Ilmeisesti yhtälön x 2 \u003d 0 juuri on nolla, koska 0 2 \u003d 0. Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, mikä on selitetty, todellakin mille tahansa nollasta poikkeavalle luvulle p tapahtuu epäyhtälö p 2 >0, mikä tarkoittaa, että p≠0:lle yhtälöä p 2 =0 ei koskaan saavuteta.

Joten epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä a x 2 \u003d 0 on yksi juuri x \u003d 0.

Esimerkkinä annetaan epätäydellisen toisen asteen yhtälön −4·x 2 =0 ratkaisu. Se vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, sen ainoa juuri on x \u003d 0, joten alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juurinolla.

Lyhyt ratkaisu tässä tapauksessa voidaan antaa seuraavasti:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tarkastellaan nyt, kuinka ratkaistaan ​​epätäydelliset toisen asteen yhtälöt, joissa kerroin b on nolla ja c≠0, eli yhtälöt muotoa a x 2 +c=0. Tiedämme, että termin siirto yhtälön toiselta puolelta toiselle päinvastaisella merkillä sekä yhtälön molempien puolten jakaminen nollasta poikkeavalla luvulla antavat vastaavan yhtälön. Siksi epätäydellisen toisen asteen yhtälön a x 2 +c=0 seuraavat ekvivalentit muunnokset voidaan suorittaa:

  • siirrä c oikealle puolelle, jolloin saadaan yhtälö a x 2 =−c,
  • ja jaa sen molemmat osat a:lla, saamme .

Tuloksena oleva yhtälö antaa meille mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä sen juurista. A:n ja c:n arvoista riippuen lausekkeen arvo voi olla negatiivinen (esim. jos a=1 ja c=2 , niin ) tai positiivinen (esim. jos a=−2 ja c=6 , niin ), se ei ole yhtä suuri kuin nolla, koska ehdolla c≠0 . Analysoimme erikseen tapaukset ja .

Jos , yhtälöllä ei ole juuria. Tämä väite johtuu siitä tosiasiasta, että minkä tahansa luvun neliö on ei-negatiivinen luku. Tästä seuraa, että kun , niin mille tahansa luvulle p yhtäläisyys ei voi olla tosi.

Jos , niin tilanne yhtälön juurten kanssa on erilainen. Tässä tapauksessa, jos muistamme noin, yhtälön juuri tulee heti selväksi, se on numero, koska. On helppo arvata, että luku on myös yhtälön juuri, todellakin, . Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, mikä voidaan osoittaa esimerkiksi ristiriidalla. Tehdään se.

Merkitään yhtälön juuri soinnilliset juuret x 1 ja −x 1 . Oletetaan, että yhtälöllä on toinen juuri x 2, joka eroaa osoitetuista juurista x 1 ja −x 1 . Tiedetään, että substituutio yhtälöön sen juurien x:n sijaan muuttaa yhtälön todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi. Arvoilla x 1 ja −x 1 meillä on , ja x 2:lla meillä on . Numeeristen yhtälöiden ominaisuudet mahdollistavat todellisten numeeristen yhtälöiden termittäisen vähentämisen, joten yhtälöiden vastaavien osien vähentäminen antaa x 1 2 − x 2 2 =0. Numerooperaatioiden ominaisuudet antavat meille mahdollisuuden kirjoittaa tuloksena oleva yhtälö uudelleen muotoon (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Tiedämme, että kahden luvun tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos vähintään yksi niistä on nolla. Siten saadusta yhtälöstä seuraa, että x 1 −x 2 =0 ja/tai x 1 +x 2 =0 , joka on sama, x 2 =x 1 ja/tai x 2 = −x 1 . Joten olemme tulleet ristiriitaan, koska sanoimme alussa, että yhtälön x 2 juuri on eri kuin x 1 ja −x 1 . Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole muita juuria kuin ja .

Tehdään yhteenveto tämän kappaleen tiedoista. Epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 +c=0 vastaa yhtälöä, joka

  • ei ole juuria, jos
  • on kaksi juurta ja jos .

Tarkastellaan esimerkkejä epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta muotoa a·x 2 +c=0 .

Aloitetaan toisen asteen yhtälöstä 9 x 2 +7=0 . Kun vapaa termi on siirretty yhtälön oikealle puolelle, se saa muotoa 9·x 2 =−7. Jakamalla tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet luvulla 9 , saamme . Koska oikealla puolella saadaan negatiivinen luku, tällä yhtälöllä ei ole juuria, joten alkuperäisellä epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä 9 x 2 +7=0 ei ole juuria.

Ratkaistaan ​​vielä yksi epätäydellinen toisen asteen yhtälö −x 2 +9=0. Siirrämme yhdeksän oikealle puolelle: -x 2 \u003d -9. Nyt jaetaan molemmat osat −1:llä, saadaan x 2 =9. Oikealla puolella on positiivinen luku, josta päätämme, että tai . Lopullisen vastauksen kirjoittamisen jälkeen: epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä −x 2 +9=0 on kaksi juurta x=3 tai x=−3.

a x 2 + b x = 0

Jäljelle jää viimeisen tyypin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu c=0 :lle. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt muotoa a x 2 +b x=0 mahdollistavat ratkaisemisen faktorointimenetelmä. Ilmeisesti voimme, joka sijaitsee yhtälön vasemmalla puolella, jolle riittää, että otetaan yhteinen tekijä x pois suluista. Tämä mahdollistaa siirtymisen alkuperäisestä epätäydellisestä toisen asteen yhtälöstä vastaavaan yhtälöön muotoa x·(a·x+b)=0 . Ja tämä yhtälö vastaa kahden yhtälön x=0 ja a x+b=0 joukkoa, joista viimeinen on lineaarinen ja jonka juuri on x=-b/a .

Eli epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä a x 2 +b x=0 on kaksi juurta x=0 ja x=−b/a.

Aineiston vahvistamiseksi analysoimme tietyn esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu.

Otamme x:n pois suluista, tämä antaa yhtälön. Se vastaa kahta yhtälöä x=0 ja . Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön: , ja kun sekaluku on jaettu tavallisella murtoluvulla, saadaan . Siksi alkuperäisen yhtälön juuret ovat x=0 ja .

Tarvittavan harjoittelun jälkeen tällaisten yhtälöiden ratkaisut voidaan kirjoittaa lyhyesti:

Vastaus:

x=0, .

Diskriminantti, toisen asteen yhtälön juurten kaava

Neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi on juurikaava. Kirjoitetaanpa ylös toisen asteen yhtälön juurten kaava: , missä D=b 2 −4 a c- niin sanottu toisen asteen yhtälön diskriminantti. Merkintä tarkoittaa käytännössä sitä.

On hyödyllistä tietää, kuinka juurikaava on saatu ja miten sitä käytetään toisen asteen yhtälöiden juurien etsimisessä. Käsitellään tämän kanssa.

Neliöyhtälön juurien kaavan johtaminen

Meidän on ratkaistava toisen asteen yhtälö a·x 2 +b·x+c=0 . Suoritetaan joitain vastaavia muunnoksia:

  • Voimme jakaa tämän yhtälön molemmat osat nollasta poikkeavalla luvulla a, jolloin saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö.
  • Nyt valitse täysi neliö sen vasemmalla puolella: . Tämän jälkeen yhtälö saa muodon .
  • Tässä vaiheessa on mahdollista suorittaa kahden viimeisen termin siirto oikealle päinvastaisella merkillä, meillä on .
  • Ja muutetaan lauseke oikealla puolella: .

Tuloksena saadaan yhtälö , joka vastaa alkuperäistä toisen asteen yhtälöä a·x 2 +b·x+c=0 .

Olemme jo ratkaisseet muodoltaan samanlaisia ​​yhtälöitä edellisissä kappaleissa, kun analysoimme . Tämä antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavat johtopäätökset yhtälön juurista:

  • jos , niin yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja;
  • jos , niin yhtälöllä on muoto , joten , josta sen ainoa juuri on näkyvissä;
  • jos , Sitten tai , joka on sama kuin tai , Eli yhtälöllä on kaksi juurta.

Siten yhtälön juurien ja siten alkuperäisen toisen asteen yhtälön olemassaolo tai puuttuminen riippuu lausekkeen etumerkistä oikealla puolella. Tämän lausekkeen etumerkki puolestaan ​​määräytyy osoittajan etumerkillä, koska nimittäjä 4 a 2 on aina positiivinen, eli lausekkeen b 2 −4 a c etumerkki. Tätä lauseketta b 2 −4 a c kutsutaan toisen asteen yhtälön diskriminantti ja merkitty kirjaimella D. Tästä eteenpäin diskriminantin olemus on selvä - sen arvon ja merkin perusteella päätetään, onko toisen asteen yhtälöllä todellisia juuria, ja jos on, mikä on niiden lukumäärä - yksi tai kaksi.

Palataan yhtälöön , kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä diskriminantin merkintää: . Ja päätämme:

  • jos D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • jos D=0, niin tällä yhtälöllä on yksi juuri;
  • lopuksi, jos D>0, niin yhtälöllä on kaksi juuria tai , jotka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon tai, ja kun murtoluvut on laajennettu ja vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi, saadaan .

Joten johdimme kaavat toisen asteen yhtälön juurille, ne näyttävät tältä , jossa diskriminantti D lasketaan kaavalla D=b 2 −4 a c .

Heidän avullaan voit laskea toisen asteen yhtälön molemmat todelliset juuret positiivisella diskriminantilla. Kun erottaja on nolla, molemmat kaavat antavat saman juuriarvon, joka vastaa toisen asteen yhtälön ainoaa ratkaisua. Ja negatiivisella diskriminantilla, kun yritämme käyttää kaavaa toisen asteen yhtälön juurille, joudumme erottamaan neliöjuuren negatiivisesta luvusta, mikä vie meidät koulun opetussuunnitelman ulkopuolelle. Negatiivinen diskriminantti käytettäessä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, mutta sillä on pari monimutkainen konjugaatti juuret, jotka voidaan löytää käyttämällä samoja juurikaavoja, jotka olemme saaneet.

Algoritmi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi juurikaavojen avulla

Käytännössä neliöyhtälön ratkaisemisessa voidaan käyttää välittömästi juurikaavaa, jolla lasketaan niiden arvot. Mutta tämä on enemmän monimutkaisten juurien löytäminen.

Koulualgebran kurssilla emme kuitenkaan yleensä puhu monimutkaisista, vaan toisen asteen yhtälön todellisista juurista. Tässä tapauksessa on suositeltavaa ensin löytää diskriminantti ennen kuin käytät kaavoja toisen asteen yhtälön juurille, varmista, että se ei ole negatiivinen (muuten voimme päätellä, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria), ja sen jälkeen laske juurien arvot.

Yllä oleva perustelu antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa Algoritmi toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöyhtälön a x 2 + b x + c \u003d 0 ratkaisemiseksi tarvitset:

  • käyttämällä erottelukaavaa D=b 2 −4 a c laske sen arvo;
  • päättele, että toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, jos diskriminantti on negatiivinen;
  • laske yhtälön ainoa juuri kaavalla, jos D=0 ;
  • etsi toisen asteen yhtälön kaksi todellista juurta juurikaavalla, jos diskriminantti on positiivinen.

Tässä huomioidaan vain, että kun diskriminantti on nolla, kaavaa voidaan myös käyttää, se antaa saman arvon kuin .

Voit siirtyä esimerkkeihin algoritmin soveltamisesta toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Harkitse kolmen toisen asteen yhtälön ratkaisuja positiivisella, negatiivisella ja nolladiskriminantilla. Kun on käsitelty niiden ratkaisua, analogisesti on mahdollista ratkaista mikä tahansa toinen toisen asteen yhtälö. Aloitetaan.

Esimerkki.

Etsi yhtälön x 2 +2 x−6=0 juuret.

Ratkaisu.

Tässä tapauksessa meillä on seuraavat toisen asteen yhtälön kertoimet: a=1 , b=2 ja c=−6 . Algoritmin mukaan sinun on ensin laskettava diskriminantti, tätä varten korvaamme määritetyt a, b ja c erottelukaavassa, meillä on D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Koska 28>0, eli diskriminantti on suurempi kuin nolla, toisen asteen yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Etsitään ne kaavalla juuret , saamme , tässä voimme yksinkertaistaa tekemällä saatuja lausekkeita huomioimalla juuren merkin sen jälkeen murto-osan pienennys:

Vastaus:

Siirrytään seuraavaan tyypilliseen esimerkkiin.

Esimerkki.

Ratkaise toisen asteen yhtälö −4 x 2 +28 x−49=0 .

Ratkaisu.

Aloitamme etsimällä erottimen: D=28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0. Siksi tällä toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri, jonka löydämme muodossa , eli

Vastaus:

x = 3,5.

On vielä harkittava toisen asteen yhtälöiden ratkaisua negatiivisella diskriminantilla.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö 5 y 2 +6 y+2=0 .

Ratkaisu.

Tässä ovat toisen asteen yhtälön kertoimet: a=5 , b=6 ja c=2 . Korvaamalla nämä arvot erottelukaavaan, meillä on D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminantti on negatiivinen, joten tällä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Jos sinun on määritettävä monimutkaisia ​​juuria, käytämme tunnettua kaavaa toisen asteen yhtälön juurille ja suoritamme operaatioita kompleksiluvuilla:

Vastaus:

todellisia juuria ei ole, monimutkaiset juuret ovat: .

Jälleen kerran toteamme, että jos toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen, niin koulu yleensä kirjoittaa heti vastauksen, jossa ne osoittavat, että todellisia juuria ei ole, eivätkä he löydä monimutkaisia ​​juuria.

Juurikaava jopa toiselle kertoimelle

Kaava neliöyhtälön juurille, jossa D=b 2 −4 a c mahdollistaa kompaktimman kaavan, jonka avulla voit ratkaista toisen asteen yhtälöitä parillisella kertoimella kohdassa x (tai yksinkertaisesti kertoimella, joka näyttää 2 n esimerkiksi tai 14 ln5 = 2 7 ln5 ). Otetaan hänet ulos.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava toisen asteen yhtälö muotoa a x 2 +2 n x + c=0 . Etsitään sen juuret tuntemallamme kaavalla. Tätä varten laskemme diskriminantin D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), ja sitten käytämme juurikaavaa:

Merkitään lauseke n 2 − a c muodossa D 1 (joskus sitä merkitään D "). Sitten tarkasteltavan toisen kertoimen 2 n juuren kaava saa muotoa , jossa D 1 =n 2 −a c .

On helppo nähdä, että D=4·D 1 tai D 1 =D/4 . Toisin sanoen D 1 on diskriminantin neljäs osa. On selvää, että D 1:n merkki on sama kuin D:n merkki. Eli merkki D 1 on myös osoitus toisen asteen yhtälön juurien olemassaolosta tai puuttumisesta.

Tarvitset siis toisen kertoimen 2 n toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi

  • Laske D 1 =n 2 −a·c ;
  • Jos D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Jos D 1 =0, laske yhtälön ainoa juuri kaavalla;
  • Jos D 1 >0, niin etsi kaksi reaalijuurta kaavan avulla.

Harkitse esimerkin ratkaisua käyttämällä tässä kappaleessa saatua juurikaavaa.

Esimerkki.

Ratkaise toisen asteen yhtälö 5 x 2 −6 x−32=0 .

Ratkaisu.

Tämän yhtälön toinen kerroin voidaan esittää muodossa 2·(−3) . Eli voit kirjoittaa alkuperäisen toisen asteen yhtälön muotoon 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tässä a=5 , n=−3 ja c=−32 , ja laskea neljännen osan syrjivä: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Koska sen arvo on positiivinen, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Löydämme ne käyttämällä vastaavaa juurikaavaa:

Huomaa, että oli mahdollista käyttää tavallista kaavaa toisen asteen yhtälön juurille, mutta tässä tapauksessa joutuisi tekemään enemmän laskennallista työtä.

Vastaus:

Toissijaisten yhtälöiden muodon yksinkertaistaminen

Joskus ennen kuin aloitat toisen asteen yhtälön juurien laskemisen kaavoilla, ei ole haittaa kysyä: "Onko mahdollista yksinkertaistaa tämän yhtälön muotoa"? Sovitaan, että laskelmien kannalta on helpompi ratkaista toisen asteen yhtälö 11 x 2 −4 x −6=0 kuin 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Yleensä neliöyhtälön muodon yksinkertaistaminen saavutetaan kertomalla tai jakamalla sen molemmat puolet jollakin luvulla. Esimerkiksi edellisessä kappaleessa onnistuimme yksinkertaistamaan yhtälöä 1100 x 2 −400 x −600=0 jakamalla molemmat puolet 100:lla.

Samanlainen muunnos suoritetaan toisen asteen yhtälöillä, joiden kertoimet eivät ole . Tässä tapauksessa yhtälön molemmat osat jaetaan yleensä sen kertoimien absoluuttisilla arvoilla. Otetaan esimerkiksi toisen asteen yhtälö 12 x 2 −42 x+48=0. sen kertoimien absoluuttiset arvot: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Jakamalla alkuperäisen toisen asteen yhtälön molemmat osat 6:lla, saadaan vastaava toisen asteen yhtälö 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ja toisen asteen yhtälön molempien osien kertominen tehdään yleensä murtokertoimien poistamiseksi. Tässä tapauksessa kertolasku suoritetaan sen kertoimien nimittäjillä. Jos esimerkiksi toisen asteen yhtälön molemmat osat kerrotaan LCM(6, 3, 1)=6 , niin se saa yksinkertaisemman muodon x 2 +4 x−18=0 .

Tämän kappaleen lopuksi toteamme, että melkein aina päästä eroon miinuksesta neliöyhtälön korkeimmalla kertoimella muuttamalla kaikkien termien merkkejä, mikä vastaa molempien osien kertomista (tai jakamista) −1:llä. Esimerkiksi tavallisesti toisen asteen yhtälöstä −2·x 2 −3·x+7=0 mennään ratkaisuun 2·x 2 +3·x−7=0 .

Neliöyhtälön juurien ja kertoimien välinen suhde

Neliöyhtälön juurien kaava ilmaisee yhtälön juuret sen kertoimilla. Juurien kaavan perusteella voit saada muita suhteita juurien ja kertoimien välille.

Tunnetuimmat ja sovellettavissa olevat kaavat Vieta-lauseesta muodon ja . Erityisesti annetulle toisen asteen yhtälölle juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, ja juurien tulo on vapaa termi. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön 3 x 2 −7 x+22=0 muodossa voidaan heti sanoa, että sen juurien summa on 7/3 ja juurien tulo on 22/3.

Jo kirjoitettujen kaavojen avulla voit saada useita muita suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välille. Voit esimerkiksi ilmaista toisen asteen yhtälön juurien neliöiden summan sen kertoimilla: .

Bibliografia.

  • Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Tiedetään, että se on erityinen versio yhtälöstä ax 2 + in + c \u003d o, jossa a, b ja c ovat todellisia kertoimia tuntemattomalle x:lle ja missä a ≠ o ja b ja c ovat nollia - samanaikaisesti tai erikseen. Esimerkiksi c = o, v ≠ o tai päinvastoin. Melkein muistimme toisen asteen yhtälön määritelmän.

Toisen asteen trinomi on yhtä suuri kuin nolla. Sen ensimmäinen kerroin a ≠ o, b ja c voivat saada mitä tahansa arvoa. Muuttujan x arvo on silloin, kun substituutio muuttaa sen oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi. Pysähdytään todellisiin juuriin, vaikka yhtälön ratkaisut voivat olla myös täydellisiä, on tapana kutsua yhtälöä, jossa mikään kertoimista ei ole yhtä suuri kuin o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Ratkaistaan ​​esimerkki. 2x2 -9x-5 = oh, löydämme
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D on positiivinen, joten on juuret, x 1 = (9+√121): 4 = 5, ja toinen x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Tarkistaminen auttaa varmistamaan, että ne ovat oikein.

Tässä on askel askeleelta ratkaisu toisen asteen yhtälöön

Diskriminantin avulla voit ratkaista minkä tahansa yhtälön, jonka vasemmalla puolella on tunnettu neliötrinomi, jonka arvo on ≠ o. Meidän esimerkissämme. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Mieti, mitkä ovat toisen asteen epätäydelliset yhtälöt

  1. ax 2 + in = o. Vapaa termi, kerroin c kohdassa x 0, on tässä nolla, yksikössä ≠ o.
    Kuinka ratkaista tällainen epätäydellinen toisen asteen yhtälö? Poimimme x:n suluista. Muista, kun kahden tekijän tulo on nolla.
    x(ax+b) = o, tämä voi olla kun x = o tai kun ax+b = o.
    Ratkaisemalla 2., meillä on x = -v/a.
    Tämän seurauksena meillä on juuret x 1 \u003d 0 laskelmien mukaan x 2 \u003d -b / a.
  2. Nyt x:n kerroin on o, mutta c ei ole yhtä suuri kuin (≠) o.
    x 2 + c \u003d o. Siirrämme c yhtälön oikealle puolelle, saamme x 2 \u003d -c. Tällä yhtälöllä on vain todelliset juuret, kun -c on positiivinen luku (c ‹ o),
    x 1 on tällöin yhtä suuri kuin √(-c), vastaavasti, x 2 on -√(-c). Muuten yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan.
  3. Viimeinen vaihtoehto: b \u003d c \u003d o, eli ax 2 \u003d o. Luonnollisesti tällaisella yksinkertaisella yhtälöllä on yksi juuri, x = o.

Erikoistapaukset

Olemme pohtineet, kuinka ratkaista epätäydellinen toisen asteen yhtälö, ja nyt otamme minkä tahansa.

  • Täydessä toisen asteen yhtälössä x:n toinen kerroin on parillinen luku.
    Olkoon k = o,5b. Meillä on kaavat diskriminantin ja juurten laskemiseen.
    D / 4 \u003d k 2 - ac, juuret lasketaan seuraavasti x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a arvolle D › o.
    x = -k/a kohdassa D = o.
    D ‹ o:lla ei ole juuria.
  • On olemassa pelkistettyjä neliöyhtälöitä, kun x:n kerroin neliö on 1, on tapana kirjoittaa ne x 2 + px + q \u003d o. Kaikki yllä olevat kaavat pätevät niihin, mutta laskelmat ovat hieman yksinkertaisempia.
    Esimerkki, x 2 -4x-9 \u003d 0. Laskemme D: 2 2 +9, D \u003d 13.
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
  • Lisäksi se on helppo soveltaa annettuihin. Se sanoo, että yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin -p, toinen kerroin miinuksella (eli päinvastainen merkki), ja näiden samojen juurien tulo olla yhtä suuri kuin q, vapaa termi. Tarkista, kuinka helppoa olisi määrittää sanallisesti tämän yhtälön juuret. Pelkittämättömille (kaikki kertoimet eivät ole nolla) tätä lausetta voidaan soveltaa seuraavasti: summa x 1 + x 2 on yhtä suuri kuin -v / a, tulo x 1 x 2 on yhtä suuri kuin c / a.

Vapaan termin c ja ensimmäisen kertoimen a summa on yhtä suuri kuin kerroin b. Tässä tilanteessa yhtälöllä on vähintään yksi juuri (se on helppo todistaa), ensimmäinen on välttämättä yhtä suuri kuin -1 ja toinen - c / a, jos se on olemassa. Kuinka ratkaista epätäydellinen toisen asteen yhtälö, voit tarkistaa sen itse. Helppo nakki. Kertoimet voivat olla joissain suhteissa keskenään

  • x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
  • Kaikkien kertoimien summa on o.
    Tällaisen yhtälön juuret ovat 1 ja c / a. Esimerkki, 2x 2 -15x + 13 = o.
    x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

On olemassa useita muita tapoja ratkaista toisen asteen yhtälöitä. Tässä on esimerkiksi menetelmä täyden neliön erottamiseksi annetusta polynomista. Graafisia tapoja on useita. Kun käsittelet usein tällaisia ​​esimerkkejä, opit "klikkaamaan" niitä kuin siemeniä, koska kaikki menetelmät tulevat automaattisesti mieleen.

Tällä matematiikkaohjelmalla voit ratkaise toisen asteen yhtälö.

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin kahdella tavalla:
- Diskriminantin käyttö
- käyttämällä Vieta-lausetta (jos mahdollista).

Lisäksi vastaus näytetään täsmällisesti, ei likimääräisesti.
Esimerkiksi yhtälön \(81x^2-16x-1=0\) vastaus näytetään tässä muodossa:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ tämän sijaan: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille kokeisiin ja kokeisiin valmistautuessa, kun tietoja testataan ennen yhtenäistä valtiontutkintoa, vanhemmille monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisun hallitsemiseksi. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.

Jos et tunne neliöpolynomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme tutustumaan niihin.

Neliöpolynomin syöttämistä koskevat säännöt

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaislukuina tai murtolukuina.
Lisäksi murtolukuja voidaan syöttää ei vain desimaalin, vaan myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtoluvuissa murto-osa kokonaisluvusta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi kirjoittaa desimaalit seuraavasti: 2,5x - 3,5x^2

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Tulo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Tulos: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kun syötät lausekkeen voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö, esitetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkki: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
Päättää

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript ei ole käytössä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...


Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.



Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Toisen asteen yhtälö ja sen juuret. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Jokainen yhtälö
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
on muotoa
\(ax^2+bx+c=0, \)
missä x on muuttuja, a, b ja c ovat lukuja.
Ensimmäisessä yhtälössä a = -1, b = 6 ja c = 1,4, toisessa a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmannessa a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.
toisen asteen yhtälö kutsutaan yhtälöä muotoa ax 2 +bx+c=0, jossa x on muuttuja, a, b ja c joitakin lukuja ja \(a \neq 0 \).

Luvut a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimia. Lukua a kutsutaan ensimmäiseksi kertoimeksi, lukua b on toinen kerroin ja lukua c on leikkauspiste.

Jokaisessa yhtälössä, jonka muoto on ax 2 +bx+c=0, missä \(a \neq 0 \), muuttujan x suurin potenssi on neliö. Siitä nimi: toisen asteen yhtälö.

Huomaa, että toisen asteen yhtälöä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, koska sen vasen puoli on toisen asteen polynomi.

Kutsutaan neliöyhtälö, jossa kerroin kohdassa x 2 on 1 pelkistetty toisen asteen yhtälö. Esimerkiksi annetut toisen asteen yhtälöt ovat yhtälöitä
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jos toisen asteen yhtälössä ax 2 +bx+c=0 ainakin yksi kertoimista b tai c on yhtä suuri kuin nolla, niin tällaista yhtälöä kutsutaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö. Joten yhtälöt -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Ensimmäisessä niistä b=0, toisessa c=0, kolmannessa b=0 ja c=0.

Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä on kolmea tyyppiä:
1) ax 2 +c=0, missä \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, missä \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Harkitse kunkin näiden tyyppien yhtälöiden ratkaisua.

Jos haluat ratkaista epätäydellisen toisen asteen yhtälön muotoa ax 2 + c=0 arvolle \ (c \ neq 0 \), siirrä sen vapaa termi oikealle puolelle ja jaa yhtälön molemmat puolet a:lla:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Oikea nuoli x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Koska \(c \neq 0 \), sitten \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jos \(-\frac(c)(a)>0 \), yhtälöllä on kaksi juuria.

Jos \(-\frac(c)(a) Ratkaise epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0 arvolle \(b \neq 0 \), kerro sen vasen puoli ja hanki yhtälö
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (taulukko)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Näin ollen epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä muotoa ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) on aina kaksi juuria.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka muoto on ax 2 \u003d 0, vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, ja siksi sillä on yksi juuri 0.

Kaava toisen asteen yhtälön juurille

Tarkastellaan nyt, kuinka ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt, joissa sekä tuntemattomien kertoimet että vapaa termi ovat nollasta poikkeavia.

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön yleisessä muodossa ja tuloksena saamme juurien kaavan. Sitten tätä kaavaa voidaan soveltaa minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax 2 +bx+c=0

Jakamalla sen molemmat osat a:lla, saadaan vastaava pelkistetty toisen asteen yhtälö
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Muunnamme tämän yhtälön korostamalla binomiaalin neliön:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \nuoli oikealle \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Oikeanuoli x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Nuoli oikealle \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Juurilauseketta kutsutaan toisen asteen yhtälön diskriminantti ax 2 +bx+c=0 ("diskriminantti" latinaksi - erottaja). Sitä merkitään kirjaimella D, ts.
\(D = b^2-4ac\)

Nyt, käyttämällä erottimen merkintää, kirjoitamme uudelleen kaava toisen asteen yhtälön juurille:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), missä \(D= b^2-4ac \)

On selvää, että:
1) Jos D>0, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.
2) Jos D=0, niin toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jos D Näin ollen, erottimen arvosta riippuen, toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi juuria (jos D > 0), yksi juuri (jos D = 0) tai ei juuria (D:lle Kun ratkaistaan ​​neliöyhtälö tällä kaavalla , on suositeltavaa toimia seuraavasti:
1) laske diskriminantti ja vertaa sitä nollaan;
2) jos diskriminantti on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, käytä juurikaavaa, jos diskriminantti on negatiivinen, kirjoita ylös, että juuria ei ole.

Vietan lause

Annetulla toisen asteen yhtälöllä ax 2 -7x+10=0 on juuret 2 ja 5. Juurien summa on 7 ja tulo on 10. Näemme, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin otettuna vastakkainen merkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Jokaisella pelkistetyllä toisen asteen yhtälöllä, jolla on juuret, on tämä ominaisuus.

Annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Nuo. Vietan lause sanoo, että pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +px+q=0 juurilla x 1 ja x 2 on ominaisuus:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Aiheen "Yhtälöiden ratkaiseminen" jatkona tämän artikkelin materiaali esittelee toisen asteen yhtälöitä.

Tarkastellaan kaikkea yksityiskohtaisesti: toisen asteen yhtälön olemus ja merkintä, aseta liitetermit, analysoidaan epätäydellisten ja täydellisten yhtälöiden ratkaisumalli, tutustutaan juurien ja erottimen kaavaan, luodaan yhteyksiä juurien ja kertoimien välille sekä kurssilla annamme visuaalisen ratkaisun käytännön esimerkeistä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neliöyhtälö, sen tyypit

Määritelmä 1

Toisen asteen yhtälö on yhtälö kirjoitettu muodossa a x 2 + b x + c = 0, missä x– muuttuja, a , b ja c ovat joitakin numeroita, vaikka a ei ole nolla.

Usein toisen asteen yhtälöitä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöiksi, koska itse asiassa neliöyhtälö on toisen asteen algebrallinen yhtälö.

Annamme esimerkin havainnollistamaan annettua määritelmää: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. ovat toisen asteen yhtälöitä.

Määritelmä 2

Numerot a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimet a x 2 + b x + c = 0, kun taas kerroin a kutsutaan ensimmäiseksi, tai vanhemmiksi, tai kertoimeksi x 2, b - toiseksi kertoimeksi tai kertoimeksi at x, a c kutsutaan vapaaksi jäseneksi.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 suurin kerroin on 6, toinen kerroin on − 2 , ja vapaa termi on yhtä suuri kuin − 11 . Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että kun kertoimet b ja/tai c ovat negatiivisia, silloin käytetään lyhennettyä muotoa 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, mutta ei 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Selvitetään myös tämä näkökohta: jos kertoimet a ja tai b yhtä suuri 1 tai − 1 , silloin he eivät välttämättä osallistu nimenomaisesti toisen asteen yhtälön kirjoittamiseen, mikä selittyy osoitettujen numeeristen kertoimien kirjoittamisen erityispiirteillä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä y 2 − y + 7 = 0 vanhempi kerroin on 1 ja toinen kerroin on − 1 .

Pelkistetyt ja pelkistämättömät toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen kertoimen arvon mukaan neliöyhtälöt jaetaan pelkistettyihin ja pelkistämättömiin.

Määritelmä 3

Pelkistetty toisen asteen yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka johtava kerroin on 1. Muille johtavan kertoimen arvoille toisen asteen yhtälö ei ole pelkistynyt.

Tässä muutamia esimerkkejä: toisen asteen yhtälöt x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 pienennetään, joissa jokaisessa johtava kerroin on 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- pelkistämätön neliöyhtälö, jossa ensimmäinen kerroin on eri kuin 1 .

Mikä tahansa pelkistämätön toisen asteen yhtälö voidaan muuntaa pelkistetyksi yhtälöksi jakamalla sen molemmat osat ensimmäisellä kertoimella (ekvivalenttimuunnos). Muunnetulla yhtälöllä on samat juuret kuin annetulla pelkistymättömällä yhtälöllä tai sillä ei myöskään ole juuria ollenkaan.

Tietyn esimerkin tarkastelu antaa meille mahdollisuuden osoittaa selvästi siirtyminen pelkistämättömästä toisen asteen yhtälöstä pelkistettyyn.

Esimerkki 1

Kun yhtälö 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Alkuperäinen yhtälö on muutettava pelkistettyyn muotoon.

Ratkaisu

Yllä olevan kaavion mukaisesti jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat osat johtavalla kertoimella 6 . Sitten saamme: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ja tämä on sama kuin: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ja kauemmas: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Täältä: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Näin saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä.

Vastaus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täydelliset ja epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Siirrytään toisen asteen yhtälön määritelmään. Siinä määritimme sen a ≠ 0. Samanlainen ehto on välttämätön yhtälölle a x 2 + b x + c = 0 oli täsmälleen neliömäinen, koska a = 0 se muuttuu olennaisesti lineaariseksi yhtälöksi b x + c = 0.

Siinä tapauksessa, että kertoimet b ja c ovat yhtä kuin nolla (mikä on mahdollista sekä erikseen että yhdessä), toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi.

Määritelmä 4

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö on toisen asteen yhtälö a x 2 + b x + c \u003d 0, jossa vähintään yksi kertoimista b ja c(tai molemmat) on nolla.

Täydellinen toisen asteen yhtälö on neliöyhtälö, jossa kaikki numeeriset kertoimet eivät ole nolla.

Keskustellaan siitä, miksi toisen asteen yhtälötyypeille annetaan juuri tällaiset nimet.

Kun b = 0, toisen asteen yhtälö saa muodon a x 2 + 0 x + c = 0, joka on sama kuin a x 2 + c = 0. klo c = 0 toisen asteen yhtälö kirjoitetaan muodossa a x 2 + b x + 0 = 0, joka on vastaava a x 2 + b x = 0. klo b = 0 ja c = 0 yhtälö saa muodon a x 2 = 0. Saamamme yhtälöt eroavat täysneliöyhtälöstä siinä, että niiden vasemmalla puolella ei ole termiä muuttujalla x, vapaata termiä tai molempia kerralla. Itse asiassa tämä tosiasia antoi nimen tämän tyyppisille yhtälöille - epätäydellinen.

Esimerkiksi x 2 + 3 x + 4 = 0 ja − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ovat täydellisiä toisen asteen yhtälöitä; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Yllä annettu määritelmä mahdollistaa seuraavan tyyppisten epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden erottamisen:

  • a x 2 = 0, kertoimet vastaavat tällaista yhtälöä b = 0 ja c = 0;
  • a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
  • a x 2 + b x = 0, kun c = 0.

Tarkastellaan peräkkäin jokaisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisua.

Yhtälön a x 2 \u003d 0 ratkaisu

Kuten edellä jo mainittiin, tällainen yhtälö vastaa kertoimia b ja c, yhtä kuin nolla. Yhtälö a x 2 = 0 voidaan muuntaa vastaavaksi yhtälöksi x2 = 0, jonka saamme jakamalla alkuperäisen yhtälön molemmat puolet numerolla a, ei ole nolla. Ilmeinen tosiasia on, että yhtälön juuri x2 = 0 on nolla, koska 0 2 = 0 . Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, mikä selittyy asteen ominaisuuksilla: mille tahansa luvulle p , ei ole nolla, epäyhtälö on totta p2 > 0, josta seuraa, että klo p ≠ 0 tasa-arvo p2 = 0 ei koskaan tavoiteta.

Määritelmä 5

Siten epätäydelliselle toisen asteen yhtälölle a x 2 = 0 on ainutlaatuinen juuri x=0.

Esimerkki 2

Ratkaistaan ​​esimerkiksi epätäydellinen toisen asteen yhtälö − 3 x 2 = 0. Se vastaa yhtälöä x2 = 0, sen ainoa juuri on x=0, niin alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri - nolla.

Ratkaisu on tiivistettynä seuraavasti:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Yhtälön a x 2 + c \u003d 0 ratkaisu

Seuraavaksi jonossa on epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu, jossa b \u003d 0, c ≠ 0, eli yhtälöt muotoa a x 2 + c = 0. Muunnetaan tämä yhtälö siirtämällä termi yhtälön toiselta puolelta toiselle, muuttamalla etumerkki vastakkaiseksi ja jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla, joka ei ole nolla:

  • kestää c oikealle puolelle, joka antaa yhtälön a x 2 = − c;
  • jaa yhtälön molemmat puolet a, saamme tuloksena x = - c a .

Muunnoksemme ovat vastaavasti ekvivalentteja, tuloksena oleva yhtälö on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa, ja tämä seikka mahdollistaa johtopäätöksen yhtälön juurista. Mistä arvot ovat peräisin a ja c riippuu lausekkeen arvosta - c a: sillä voi olla miinusmerkki (esimerkiksi jos a = 1 ja c = 2, niin - c a = - 2 1 = - 2) tai plusmerkki (esimerkiksi jos a = -2 ja c = 6, niin - c a = - 6 - 2 = 3); se ei ole nolla, koska c ≠ 0. Tarkastellaanpa tarkemmin tilanteita, joissa - c a< 0 и - c a > 0 .

Siinä tapauksessa, kun - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s yhtälö p 2 = - c a ei voi olla tosi.

Kaikki on erilaista, kun - c a > 0: muista neliöjuuri, ja tulee ilmeiseksi, että yhtälön x 2 \u003d - c a juuri on luku - c a, koska - c a 2 \u003d - c a. On helppo ymmärtää, että luku - - c a - on myös yhtälön x 2 = - c a juuri: todellakin - - c a 2 = - c a .

Yhtälöllä ei ole muita juuria. Voimme osoittaa tämän käyttämällä päinvastaista menetelmää. Ensin asetetaan yllä löydettyjen juurien merkintätapa muodossa x 1 ja − x 1. Oletetaan, että yhtälöllä x 2 = - c a on myös juuri x2, joka eroaa juurista x 1 ja − x 1. Tiedämme sen korvaamalla yhtälön sijaan x sen juuret, muunnamme yhtälön reiluksi numeeriseksi yhtälöksi.

varten x 1 ja − x 1 kirjoittaa: x 1 2 = - c a , ja for x2- x 2 2 \u003d - c a. Numeeristen yhtälöiden ominaisuuksien perusteella vähennämme yhden todellisen yhtälön toisesta termi kerrallaan, mikä antaa meille: x 1 2 − x 2 2 = 0. Käytä numerotoiminto-ominaisuuksia kirjoittaaksesi viimeinen yhtälö uudelleen muotoon (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Tiedetään, että kahden luvun tulo on nolla silloin ja vain, jos ainakin yksi luvuista on nolla. Siitä, mitä on sanottu, se seuraa x1 − x2 = 0 ja tai x1 + x2 = 0, joka on sama x2 = x1 ja tai x 2 = − x 1. Ilmeinen ristiriita syntyi, koska aluksi sovittiin, että yhtälön juuri x2 eroaa x 1 ja − x 1. Olemme siis osoittaneet, että yhtälöllä ei ole muita juuria kuin x = - c a ja x = - - c a .

Teemme yhteenvedon kaikista yllä olevista väitteistä.

Määritelmä 6

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + c = 0 vastaa yhtälöä x 2 = - c a , joka:

  • ei ole juuria - c a< 0 ;
  • sillä on kaksi juurta x = - c a ja x = - - c a kun - c a > 0 .

Otetaan esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta a x 2 + c = 0.

Esimerkki 3

Annettu toisen asteen yhtälö 9 x 2 + 7 = 0. Sen ratkaisu on löydettävä.

Ratkaisu

Siirrämme vapaan termin yhtälön oikealle puolelle, jolloin yhtälö saa muodon 9 x 2 \u003d - 7.
Jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet arvolla 9 , tulemme x 2 = - 7 9 . Oikealla puolella on luku, jossa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa: annetulla yhtälöllä ei ole juuria. Sitten alkuperäinen epätäydellinen toisen asteen yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 ei ole juuria.

Vastaus: yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 ei ole juuria.

Esimerkki 4

On tarpeen ratkaista yhtälö − x2 + 36 = 0.

Ratkaisu

Siirretään 36 oikealle puolelle: − x 2 = − 36.
Jaetaan molemmat osat − 1 , saamme x2 = 36. Oikealla puolella on positiivinen luku, josta voimme päätellä sen x = 36 tai x = -36.
Poimimme juuren ja kirjoitamme lopputuloksen: epätäydellinen toisen asteen yhtälö − x2 + 36 = 0 on kaksi juurta x=6 tai x = -6.

Vastaus: x=6 tai x = -6.

Yhtälön a x 2 +b x=0 ratkaisu

Analysoidaan kolmannen tyyppisiä epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä, milloin c = 0. Löytää ratkaisu epätäydelliseen toisen asteen yhtälöön a x 2 + b x = 0, käytämme faktorointimenetelmää. Kerrotaan polynomi, joka on yhtälön vasemmalla puolella, ja otetaan yhteinen kerroin pois suluista x. Tämä vaihe mahdollistaa alkuperäisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön muuntamisen sen ekvivalentiksi x (a x + b) = 0. Ja tämä yhtälö puolestaan ​​vastaa yhtälöjoukkoa x=0 ja a x + b = 0. Yhtälö a x + b = 0 lineaarinen ja sen juuri: x = −b a.

Määritelmä 7

Siten epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + b x = 0 tulee olemaan kaksi juurta x=0 ja x = −b a.

Yhdistetään aineistoa esimerkillä.

Esimerkki 5

On tarpeen löytää yhtälön 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 ratkaisu.

Ratkaisu

Otetaan pois x hakasulkujen ulkopuolella ja saa yhtälö x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Tämä yhtälö vastaa yhtälöitä x=0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nyt sinun pitäisi ratkaista tuloksena oleva lineaarinen yhtälö: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Lyhyesti, kirjoitamme yhtälön ratkaisun seuraavasti:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 tai 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 tai x = 3 3 7

Vastaus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantti, toisen asteen yhtälön juurten kaava

Ratkaisun löytämiseksi toisen asteen yhtälöihin on olemassa juurikaava:

Määritelmä 8

x = - b ± D 2 a, missä D = b 2 − 4 a c on toisen asteen yhtälön ns.

Kirjoittaminen x \u003d - b ± D 2 a tarkoittaa käytännössä, että x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

On hyödyllistä ymmärtää, kuinka ilmoitettu kaava johdettiin ja kuinka sitä sovelletaan.

Neliöyhtälön juurien kaavan johtaminen

Oletetaan, että edessämme on toisen asteen yhtälön ratkaiseminen a x 2 + b x + c = 0. Suoritetaan joukko vastaavia muunnoksia:

  • jaa yhtälön molemmat puolet numerolla a, eroaa nollasta, saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
  • valitse koko neliö tuloksena olevan yhtälön vasemmalta puolelta:
    x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
    Tämän jälkeen yhtälö on muodossa: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
  • nyt on mahdollista siirtää kaksi viimeistä termiä oikealle vaihtamalla etumerkki päinvastaiseksi, minkä jälkeen saadaan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • lopuksi muunnamme viimeisen yhtälön oikealle puolelle kirjoitetun lausekkeen:
    b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Siten olemme päässeet yhtälöön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , joka vastaa alkuperäistä yhtälöä a x 2 + b x + c = 0.

Käsittelimme tällaisten yhtälöiden ratkaisua edellisissä kappaleissa (epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu). Jo saatu kokemus mahdollistaa johtopäätöksen yhtälön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurista:

  • b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • kun b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, yhtälö on muotoa x + b 2 · a 2 = 0, jolloin x + b 2 · a = 0.

Tästä eteenpäin ainoa juuri x = - b 2 · a on ilmeinen;

  • kun b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, oikea on: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 tai x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , joka on sama kuin x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 tai x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ts. yhtälöllä on kaksi juuria.

Voidaan päätellä, että yhtälön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurten (ja siten alkuperäisen yhtälön) olemassaolo tai puuttuminen riippuu lausekkeen b 2 - 4 a c etumerkistä. 4 · oikealle puolelle kirjoitettu 2. Ja tämän lausekkeen merkin antaa osoittajan merkki (nimittäjä 4 ja 2 on aina positiivinen), eli ilmaisun merkki b 2 − 4 a c. Tämä ilmaisu b 2 − 4 a c annetaan nimi - toisen asteen yhtälön erottaja ja kirjain D määritellään sen nimitykseksi. Täällä voit kirjoittaa muistiin diskriminantin olemuksen - sen arvon ja merkin perusteella he päättelevät, onko toisen asteen yhtälöllä todellisia juuria, ja jos on, kuinka monta juuria - yksi tai kaksi.

Palataan yhtälöön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä erottelua: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Kerrataan johtopäätökset:

Määritelmä 9

  • klo D< 0 yhtälöllä ei ole todellisia juuria;
  • klo D = 0 yhtälöllä on yksi juuri x = - b 2 · a ;
  • klo D > 0 yhtälöllä on kaksi juuria: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 tai x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikaalien ominaisuuksien perusteella nämä juuret voidaan kirjoittaa seuraavasti: x \u003d - b 2 a + D 2 a tai - b 2 a - D 2 a. Ja kun avaamme moduulit ja vähennämme murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Joten päättelymme tuloksena oli toisen asteen yhtälön juurien kaavan johtaminen:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, erotteleva D lasketaan kaavalla D = b 2 − 4 a c.

Nämä kaavat mahdollistavat molemmat todelliset juuret, kun erottaja on suurempi kuin nolla. Kun erottaja on nolla, molempien kaavojen soveltaminen antaa saman juurin toisen asteen yhtälön ainoana ratkaisuna. Jos diskriminantti on negatiivinen, yritettäessä käyttää neliöjuurikaavaa, kohtaamme tarpeen erottaa negatiivisen luvun neliöjuuri, mikä vie meidät reaalilukujen ulkopuolelle. Negatiivisella diskriminantilla toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, mutta monimutkaisten konjugaattijuurien pari on mahdollista, jotka määritetään samoilla juurikaavoilla, jotka saimme.

Algoritmi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi juurikaavojen avulla

Neliöyhtälö voidaan ratkaista välittömästi juurikaavaa käyttämällä, mutta periaatteessa tämä tehdään, kun on tarpeen löytää monimutkaisia ​​juuria.

Suurin osa tapauksista ei yleensä ole tarkoitettu monimutkaisille, vaan toisen asteen yhtälön todellisille juurille. Sitten on optimaalista, ennen kuin käytät kaavoja toisen asteen yhtälön juurille, ensin määrittää diskriminantti ja varmistaa, että se ei ole negatiivinen (muuten päätellään, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria), ja sitten laskea juurien arvo.

Yllä oleva päättely mahdollistaa algoritmin muodostamisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi.

Määritelmä 10

Ratkaisemaan toisen asteen yhtälön a x 2 + b x + c = 0, tarpeen:

  • kaavan mukaan D = b 2 − 4 a c löytää erottajan arvo;
  • osoitteessa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • kun D = 0, etsi yhtälön ainoa juuri kaavalla x = - b 2 · a ;
  • kun D > 0, määritä toisen asteen yhtälön kaksi todellista juurta kaavalla x = - b ± D 2 · a.

Huomaa, että kun erottaja on nolla, voit käyttää kaavaa x = - b ± D 2 · a , se antaa saman tuloksen kuin kaava x = - b 2 · a .

Harkitse esimerkkejä.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Esittelemme esimerkkiratkaisun eriarvoisen tekijän eri arvoille.

Esimerkki 6

On tarpeen löytää yhtälön juuret x 2 + 2 x - 6 = 0.

Ratkaisu

Kirjoitamme toisen asteen yhtälön numeeriset kertoimet: a \u003d 1, b \u003d 2 ja c = -6. Seuraavaksi toimitaan algoritmin mukaan, ts. Aloitetaan diskriminantin laskeminen, jolle korvataan kertoimet a , b ja c erottelukaavaan: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Saimme siis D > 0, mikä tarkoittaa, että alkuperäisellä yhtälöllä on kaksi reaalijuurta.
Niiden löytämiseksi käytämme juurikaavaa x \u003d - b ± D 2 · a ja korvaamalla sopivat arvot, saamme: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Yksinkertaistamme tuloksena olevaa lauseketta ottamalla kertoimen pois juuren merkistä, minkä jälkeen vähennämme murtolukua:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 tai x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 tai x = - 1 - 7

Vastaus: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Esimerkki 7

On tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Ratkaisu

Määritellään diskriminantti: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Tällä erottimen arvolla alkuperäisellä yhtälöllä on vain yksi juuri, joka määräytyy kaavalla x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Vastaus: x = 3, 5.

Esimerkki 8

On tarpeen ratkaista yhtälö 5 v 2 + 6 v + 2 = 0

Ratkaisu

Tämän yhtälön numeeriset kertoimet ovat: a = 5 , b = 6 ja c = 2 . Käytämme näitä arvoja löytääksemme diskriminantin: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Laskettu diskriminantti on negatiivinen, joten alkuperäisellä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Siinä tapauksessa, että tehtävänä on osoittaa kompleksijuuret, käytämme juurikaavaa suorittamalla operaatioita kompleksiluvuilla:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 tai x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = -3 5 + 1 5 i tai x = - 3 5 - 1 5 i.

Vastaus: ei ole todellisia juuria; kompleksiset juuret ovat: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Koulujen opetussuunnitelmassa ei yleensä vaadita monimutkaisten juurien etsimistä, joten jos erottaja määritellään päätöksen aikana kielteiseksi, kirjataan heti vastaus, että varsinaisia ​​juuria ei ole.

Juurikaava jopa toiselle kertoimelle

Juurikaava x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) mahdollistaa toisen, kompaktimman kaavan, jonka avulla voit löytää ratkaisuja toisen asteen yhtälöille parillisella kertoimella x:ssä (tai kertoimella muotoa 2 a n, esimerkiksi 2 3 tai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näytämme kuinka tämä kaava johdetaan.

Otetaan tehtäväksi löytää ratkaisu toisen asteen yhtälölle a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Toimimme algoritmin mukaan: määritämme diskriminantin D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja käytämme sitten juurikaavaa:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Merkitään lauseke n 2 − a c muodossa D 1 (joskus sitä merkitään D "). Silloin kaava tarkasteltavan toisen kertoimen 2 n mukaisen toisen asteen yhtälön juurille on seuraavanlainen:

x \u003d - n ± D 1 a, missä D 1 \u003d n 2 - a c.

On helppo nähdä, että D = 4 · D 1 tai D 1 = D 4 . Toisin sanoen D 1 on neljäsosa diskriminantista. On selvää, että D 1:n etumerkki on sama kuin D:n etumerkki, mikä tarkoittaa, että D 1:n etumerkki voi toimia myös osoittimena toisen asteen yhtälön juurten olemassaolosta tai poissaolosta.

Määritelmä 11

Siten ratkaisun löytämiseksi toisen 2 n:n kertoimen toiselle yhtälölle on välttämätöntä:

  • etsi D 1 = n 2 − a c ;
  • paikassa D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • kun D 1 = 0, määritä yhtälön ainoa juuri kaavalla x = - n a ;
  • kun D 1 > 0, määritä kaksi reaalijuurta kaavalla x = - n ± D 1 a.

Esimerkki 9

On tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Ratkaisu

Annetun yhtälön toinen kerroin voidaan esittää muodossa 2 · (− 3) . Sitten kirjoitetaan annettu toisen asteen yhtälö uudelleen muotoon 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , missä a = 5, n = −3 ja c = −32.

Lasketaan diskriminantin neljäs osa: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Tuloksena oleva arvo on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Määrittelemme ne vastaavalla juurikaavalla:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 tai x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 tai x = - 2

Laskelmia voitaisiin suorittaa tavallisella kaavalla toisen asteen yhtälön juurille, mutta tässä tapauksessa ratkaisu olisi hankalampi.

Vastaus: x = 3 1 5 tai x = - 2 .

Toissijaisten yhtälöiden muodon yksinkertaistaminen

Joskus on mahdollista optimoida alkuperäisen yhtälön muoto, mikä yksinkertaistaa juurien laskentaprosessia.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälö 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 on selvästi helpompi ratkaista kuin 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Useammin toisen asteen yhtälön muodon yksinkertaistaminen suoritetaan kertomalla tai jakamalla sen molemmat osat tietyllä luvulla. Esimerkiksi yllä näytimme yksinkertaistetun esityksen yhtälöstä 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, joka saadaan jakamalla sen molemmat osat 100:lla.

Tällainen muunnos on mahdollinen, kun toisen asteen yhtälön kertoimet eivät ole koprime. Sitten yleensä yhtälön molemmat osat jaetaan sen kertoimien absoluuttisten arvojen suurimmalla yhteisellä jakajalla.

Esimerkkinä käytämme toisen asteen yhtälöä 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määritetään sen kertoimien itseisarvojen gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Jaetaan alkuperäisen toisen asteen yhtälön molemmat osat 6:lla ja saadaan vastaava toisen asteen yhtälö 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Kertomalla toisen asteen yhtälön molemmat puolet murtokertoimet yleensä eliminoidaan. Tässä tapauksessa kerrotaan sen kertoimien nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisella. Jos esimerkiksi toisen asteen yhtälön 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 jokainen osa kerrotaan LCM:llä (6, 3, 1) \u003d 6, se kirjoitetaan yksinkertaisemmassa muodossa x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lopuksi huomaamme, että melkein aina päästä eroon miinuksesta toisen asteen yhtälön ensimmäisessä kertoimessa muuttamalla yhtälön kunkin termin etumerkkejä, mikä saavutetaan kertomalla (tai jakamalla) molemmat osat −1:llä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälöstä - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, voit siirtyä sen yksinkertaistettuun versioon 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Juurien ja kertoimien välinen suhde

Jo tunnettu kaava toisen asteen yhtälöiden juurille x = - b ± D 2 · a ilmaisee yhtälön juuret sen numeeristen kertoimien avulla. Tämän kaavan perusteella meillä on mahdollisuus asettaa muita riippuvuuksia juurien ja kertoimien välille.

Tunnetuimmat ja soveltuvimmat ovat Vieta-lauseen kaavat:

x 1 + x 2 \u003d - b a ja x 2 \u003d c a.

Erityisesti annetulle toisen asteen yhtälölle juurien summa on toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 muodossa on mahdollista määrittää välittömästi, että sen juurien summa on 7 3 ja juurten tulo on 22 3.

Voit myös löytää useita muita suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välillä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön juurten neliöiden summa voidaan ilmaista kertoimilla:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Vain. Kaavojen ja selkeiden yksinkertaisten sääntöjen mukaan. Ensimmäisessä vaiheessa

on tarpeen saattaa annettu yhtälö vakiomuotoon, ts. näkymään:

Jos yhtälö on jo annettu sinulle tässä muodossa, sinun ei tarvitse tehdä ensimmäistä vaihetta. Tärkeintä on oikein

määrittää kaikki kertoimet a, b ja c.

Kaava toisen asteen yhtälön juurten löytämiseksi.

Juurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan syrjivä . Kuten näet, löytääksesi x, me

käyttää vain a, b ja c. Nuo. kertoimet alkaen toisen asteen yhtälö. Aseta vain varovasti

arvot a, b ja c tähän kaavaan ja laske. Korvaa kanssa heidän merkkejä!

Esimerkiksi, yhtälössä:

a =1; b = 3; c = -4.

Korvaa arvot ja kirjoita:

Esimerkki melkein ratkaistu:

Tämä on vastaus.

Yleisimmät virheet ovat sekaannus arvojen merkkeihin a, b ja Kanssa. Pikemminkin vaihdolla

negatiiviset arvot juurien laskentakaavaan. Tässä yksityiskohtainen kaava säästää

tietyillä numeroilla. Jos laskelmissa on ongelmia, tee se!

Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava esimerkki:

Tässä a = -6; b = -5; c = -1

Maalamme kaiken yksityiskohtaisesti, huolellisesti, ilman mitään puuttumista kaikilla kylteillä ja suluilla:

Usein toisen asteen yhtälöt näyttävät hieman erilaisilta. Esimerkiksi näin:

Ota nyt huomioon käytännön tekniikat, jotka vähentävät dramaattisesti virheiden määrää.

Ensimmäinen vastaanotto. Älä ole laiska ennen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen tuo se vakiomuotoon.

Mitä tämä tarkoittaa?

Oletetaan, että saat muunnoksen jälkeen seuraavan yhtälön:

Älä kiirehdi kirjoittamaan juurien kaavaa! Sekoitat lähes varmasti kertoimet a, b ja c.

Rakenna esimerkki oikein. Ensin x neliö, sitten ilman neliötä, sitten vapaa jäsen. Kuten tämä:

Päästä eroon miinuksesta. Miten? Meidän on kerrottava koko yhtälö -1:llä. Saamme:

Ja nyt voit turvallisesti kirjoittaa ylös kaavan juurille, laskea erottimen ja täydentää esimerkin.

Päätä itse. Sinun pitäisi päätyä juuriin 2 ja -1.

Toinen vastaanotto. Tarkista juuresi! Tekijä: Vietan lause.

Ratkaisemaan annettuja toisen asteen yhtälöitä, ts. jos kerroin

x2+bx+c=0,

sittenx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Täydelliselle toisen asteen yhtälölle, jossa a≠1:

x 2+bx+c=0,

jaa koko yhtälö a:

→ →

missä x 1 ja x 2 - yhtälön juuret.

Vastaanotto kolmas. Jos yhtälössäsi on murtokertoimia, päästä eroon murtoluvuista! Kerro

yhtälö yhteiselle nimittäjälle.

Johtopäätös. Käytännön vinkkejä:

1. Ennen ratkaisemista tuomme toisen asteen yhtälön vakiomuotoon, rakennamme sen oikein.

2. Jos neliön x:n edessä on negatiivinen kerroin, eliminoidaan se kertomalla kaikki

yhtälöt -1.

3. Jos kertoimet ovat murto-osia, poistamme murtoluvut kertomalla koko yhtälön vastaavalla

tekijä.

4. Jos x neliö on puhdas, sen kerroin on yksi, ratkaisu voidaan helposti tarkistaa