Kuinka määrittää, leikkaavatko viivat. Linjojen keskinäinen järjestely avaruudessa

Voi-o-oi-oi-oi... no, se on tinaa, ikään kuin lukisi lauseen itsekseen =) Sitten rentoutuminen auttaa, varsinkin kun tänään ostin sopivat tarvikkeet. Jatketaan siksi ensimmäiseen osaan, toivon, että artikkelin loppuun mennessä säilytän iloisen tunnelman.

Kahden suoran keskinäinen järjestely

Tapaus, kun sali laulaa mukana kuorossa. Kaksi riviä voi:

1) ottelu;

2) olla yhdensuuntainen: ;

3) tai leikkaa yhdessä pisteessä: .

Apua nukkeille : muista risteyksen matemaattinen merkki, se esiintyy hyvin usein. Syöte tarkoittaa, että suora leikkaa pisteen suoran.

Kuinka määrittää kahden viivan suhteellinen sijainti?

Aloitetaan ensimmäisestä tapauksesta:

Kaksi suoraa osuvat yhteen silloin ja vain, jos niiden vastaavat kertoimet ovat verrannollisia, eli on olemassa sellainen numero "lambda", että yhtäläisyydet

Tarkastellaan suoria viivoja ja laaditaan kolme yhtälöä vastaavista kertoimista: . Jokaisesta yhtälöstä seuraa, että nämä suorat ovat siis samat.

Todellakin, jos kaikki yhtälön kertoimet kerrotaan -1:llä (muutosmerkit) ja kaikki yhtälön kertoimet Vähennä 2:lla, saat saman yhtälön: .

Toinen tapaus, kun suorat ovat yhdensuuntaiset:

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​silloin ja vain, jos niiden kertoimet muuttujissa ovat verrannollisia: , mutta.

Tarkastellaan esimerkiksi kahta suoraa. Tarkistamme muuttujien vastaavien kertoimien suhteellisuuden:

On kuitenkin selvää, että.

Ja kolmas tapaus, kun viivat leikkaavat:

Kaksi suoraa leikkaavat silloin ja vain, jos niiden muuttujien kertoimet EIVÄT ole verrannollisia, eli "lambdalla" EI ole sellaista arvoa, että yhtäläisyydet täyttyvät

Joten suorille viivoille muodostamme järjestelmän:

Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että , ja toisesta yhtälöstä: , siis järjestelmä on epäjohdonmukainen(ei ratkaisuja). Näin ollen muuttujien kertoimet eivät ole verrannollisia.

Johtopäätös: viivat leikkaavat

Käytännön ongelmissa voidaan käyttää juuri tarkasteltua ratkaisumallia. Muuten, se on hyvin samanlainen kuin vektorien kollineaarisuuden tarkistamisalgoritmi, jota tarkastelimme oppitunnilla. Vektorien lineaarisen (ei) riippuvuuden käsite. Vektoripohjalta. Mutta on olemassa sivistyneempi paketti:

Esimerkki 1

Selvitä viivojen suhteellinen sijainti:

Ratkaisu perustuen suorien viivojen suuntavektorien tutkimukseen:

a) Yhtälöistä saadaan suorien suuntavektorit: .

, joten vektorit eivät ole kollineaarisia ja suorat leikkaavat.

Varmuuden vuoksi laitan risteykseen kiven osoittimilla:

Loput hyppäävät kiven yli ja seuraavat suoraan Kashchei the Deathlessiin =)

b) Etsi viivojen suuntavektorit:

Viivoilla on sama suuntavektori, mikä tarkoittaa, että ne ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai samoja. Tässä determinanttia ei tarvita.

Ilmeisesti tuntemattomien kertoimet ovat verrannollisia, kun taas .

Selvitetään, onko tasa-arvo totta:

Tällä tavalla,

c) Etsi viivojen suuntavektorit:

Lasketaan determinantti, joka koostuu näiden vektorien koordinaateista:
, siksi suuntavektorit ovat kollineaarisia. Viivat ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai yhteneviä.

Suhteellisuustekijä "lambda" on helppo nähdä suoraan kollineaaristen suuntavektorien suhteesta. Se voidaan kuitenkin löytää myös itse yhtälöiden kertoimien kautta: .

Otetaan nyt selvää, onko tasa-arvo totta. Molemmat ilmaiset ehdot ovat nolla, joten:

Tuloksena oleva arvo täyttää tämän yhtälön (mikä tahansa luku yleensä täyttää sen).

Siten linjat osuvat yhteen.

Vastaus:

Hyvin pian opit (tai olet jo oppinut) ratkaisemaan harkitun ongelman sanallisesti kirjaimellisesti muutamassa sekunnissa. Tältä osin en näe mitään syytä tarjota jotain itsenäiselle ratkaisulle, on parempi laittaa yksi tärkeä tiili geometriseen perustaan:

Kuinka piirtää viiva yhdensuuntainen tietyn kanssa?

Tämän yksinkertaisin tehtävän tietämättömyydestä Satakieli Ryöstäjä rankaisee ankarasti.

Esimerkki 2

Suora saadaan yhtälöstä . Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle yhdensuuntaiselle suoralle.

Ratkaisu: Merkitse tuntematon rivi kirjaimella . Mitä ehto sanoo siitä? Viiva kulkee pisteen läpi. Ja jos suorat ovat yhdensuuntaisia, on selvää, että suoran "ce" suuntausvektori sopii myös suoran "de" rakentamiseen.

Otamme suuntavektorin pois yhtälöstä:

Vastaus:

Esimerkin geometria näyttää yksinkertaiselta:

Analyyttinen todentaminen koostuu seuraavista vaiheista:

1) Tarkistamme, että viivoilla on sama suuntavektori (jos suoran yhtälöä ei ole yksinkertaistettu kunnolla, vektorit ovat kollineaarisia).

2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön.

Analyyttinen todentaminen on useimmissa tapauksissa helppo suorittaa suullisesti. Katso kahta yhtälöä ja monet teistä ymmärtävät nopeasti, kuinka suorat ovat yhdensuuntaiset ilman piirustusta.

Esimerkit itseratkaisusta tänään ovat luovia. Koska sinun on silti kilpailtava Baba Yagan kanssa, ja hän on kaikenlaisten arvoitusten rakastaja.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle, joka kulkee suoran if kanssa yhdensuuntaisen pisteen kautta

On olemassa järkevä ja ei kovin järkevä tapa ratkaista. Lyhin reitti on oppitunnin lopussa.

Teimme vähän työtä rinnakkaisten linjojen kanssa ja palaamme niihin myöhemmin. Yhtäkkäisten linjojen tapaus ei kiinnosta juurikaan, joten tarkastellaan ongelmaa, jonka tunnet hyvin koulun opetussuunnitelmasta:

Kuinka löytää kahden suoran leikkauspiste?

Jos suoraan leikkaa pisteessä , niin sen koordinaatit ovat ratkaisu lineaariset yhtälöt

Kuinka löytää viivojen leikkauspiste? Ratkaise järjestelmä.

Tässä sinulle kahden tuntemattoman lineaarisen yhtälön järjestelmän geometrinen merkitys ovat kaksi leikkaavaa (useimmiten) suoraa tasossa.

Esimerkki 4

Etsi viivojen leikkauspiste

Ratkaisu: On kaksi tapaa ratkaista - graafinen ja analyyttinen.

Graafinen tapa on yksinkertaisesti piirtää annetut viivat ja selvittää leikkauspiste suoraan piirroksesta:

Tässä on pointtimme: . Tarkistaaksesi, sinun tulee korvata sen koordinaatit jokaisessa suoran yhtälössä, niiden tulisi sopia sekä sinne että sinne. Toisin sanoen pisteen koordinaatit ovat järjestelmän ratkaisu. Itse asiassa harkitsimme graafista tapaa ratkaista lineaariset yhtälöt kahdella yhtälöllä, kahdella tuntemattomalla.

Graafinen menetelmä ei tietenkään ole huono, mutta siinä on havaittavia haittoja. Ei, pointti ei ole siinä, että seitsemäsluokkalaiset päättävät näin, vaan se, että oikean ja TARKAN piirustuksen tekeminen vie aikaa. Lisäksi jotkin viivat eivät ole niin helppoja rakentaa, ja itse leikkauspiste voi olla jossain 30. valtakunnassa muistivihkon ulkopuolella.

Siksi on tarkoituksenmukaisempaa etsiä leikkauspiste analyyttisellä menetelmällä. Ratkaistaan ​​systeemi:

Järjestelmän ratkaisemiseen käytettiin yhtälöiden termittäistä yhteenlaskumenetelmää. Vieraile oppitunnilla kehittääksesi tarvittavia taitoja Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmä?

Vastaus:

Varmentaminen on triviaali - leikkauspisteen koordinaattien on täytettävä järjestelmän jokainen yhtälö.

Esimerkki 5

Etsi viivojen leikkauspiste, jos ne leikkaavat.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. On kätevää jakaa ongelma useisiin vaiheisiin. Tilan analyysi viittaa siihen, että se on välttämätöntä:
1) Kirjoita suoran yhtälö.
2) Kirjoita suoran yhtälö.
3) Selvitä viivojen suhteellinen sijainti.
4) Jos suorat leikkaavat, etsi leikkauspiste.

Toiminta-algoritmin kehittäminen on tyypillistä monille geometrisille ongelmille, ja aion keskittyä tähän toistuvasti.

Koko ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa:

Yksi kenkäpari ei ole vielä kulunut, kun pääsimme oppitunnin toiseen osaan:

Kohtisuorat viivat. Etäisyys pisteestä viivaan.
Viivojen välinen kulma

Aloitetaan tyypillisestä ja erittäin tärkeästä tehtävästä. Ensimmäisessä osassa opimme rakentamaan suoran yhdensuuntaisen linjan kanssa, ja nyt kananjalkojen kota kääntyy 90 astetta:

Kuinka piirtää viiva kohtisuoraan tiettyyn kohtaan?

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä . Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle kohtisuoralle suoralle.

Ratkaisu: Tiedetään olettaen, että . Olisi kiva löytää suoran suuntavektori. Koska viivat ovat kohtisuorassa, temppu on yksinkertainen:

Yhtälöstä "poistetaan" normaalivektori: , josta tulee suoran suuntausvektori.

Muodostamme suoran yhtälön pisteestä ja suuntavektorista:

Vastaus:

Avataan geometrinen luonnos:

Hmmm... Oranssi taivas, oranssi meri, oranssi kameli.

Liuoksen analyyttinen tarkastus:

1) Poimi suuntavektorit yhtälöistä ja avustuksella vektorien pistetulo päättelemme, että suorat ovat todellakin kohtisuorassa: .

Muuten, voit käyttää normaaleja vektoreita, se on vielä helpompaa.

2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön .

Vahvistus on jälleen helppo suorittaa suullisesti.

Esimerkki 7

Etsi kohtisuorien viivojen leikkauspiste, jos yhtälö tunnetaan ja piste.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tehtävässä on useita toimintoja, joten ratkaisu on kätevä järjestää piste kerrallaan.

Jännittävä matkamme jatkuu:

Etäisyys pisteestä linjaan

Edessämme on suora jokikaistale ja tehtävämme on saavuttaa se lyhintä tietä. Esteitä ei ole, ja optimaalinen reitti on liikkuminen kohtisuoraa pitkin. Eli etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran segmentin pituus.

Geometrian etäisyys on perinteisesti merkitty kreikkalaisella kirjaimella "ro", esimerkiksi: - etäisyys pisteestä "em" suoraan "de".

Etäisyys pisteestä linjaan ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkki 8

Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys

Ratkaisu: sinun tarvitsee vain korvata numerot huolellisesti kaavaan ja tehdä laskelmat:

Vastaus:

Suoritetaan piirustus:

Pisteestä viivaan löydetty etäisyys on täsmälleen punaisen segmentin pituus. Jos teet piirroksen ruudulliselle paperille 1 yksikön mittakaavassa. \u003d 1 cm (2 solua), niin etäisyys voidaan mitata tavallisella viivaimella.

Harkitse toista tehtävää saman piirustuksen mukaan:

Tehtävänä on löytää pisteen koordinaatit, joka on pisteen suhteen symmetrinen suoran suhteen . Ehdotan toimintojen suorittamista itse, mutta hahmotan ratkaisualgoritmin välituloksilla:

1) Etsi suora, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan.

2) Etsi viivojen leikkauspiste: .

Molempia toimintoja käsitellään yksityiskohtaisesti tässä oppitunnissa.

3) Piste on janan keskipiste. Tiedämme keskikohdan ja yhden pään koordinaatit. Tekijä: kaavat janan keskikohdan koordinaateille löytö .

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, että etäisyys on myös 2,2 yksikköä.

Laskelmissa voi syntyä vaikeuksia, mutta tornissa mikrolaskin auttaa paljon, jolloin voit laskea tavallisia murtolukuja. Olen neuvonut monta kertaa ja suosittelen uudelleen.

Kuinka löytää kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys?

Esimerkki 9

Etsi kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys

Tämä on toinen esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Pieni vihje: ratkaisutapoja on äärettömän monta. Selvitys oppitunnin lopussa, mutta parempi yrittää arvata itse, mielestäni onnistuit hajottamaan kekseliäisyytesi hyvin.

Kahden viivan välinen kulma

Mikä kulma tahansa, sitten jamb:


Geometriassa kahden suoran välinen kulma otetaan PIENEMMÄN kulmana, josta seuraa automaattisesti, että se ei voi olla tylppä. Kuvassa punaisen kaaren osoittamaa kulmaa ei pidetä leikkausviivojen välisenä kulmana. Ja sen "vihreä" naapuri tai vastakkaiseen suuntaan karmiininpunainen kulma.

Jos suorat ovat kohtisuorassa, mikä tahansa neljästä kulmasta voidaan ottaa niiden väliseksi kulmaksi.

Miten kulmat eroavat toisistaan? Suuntautuminen. Ensinnäkin kulman "vierityksen" suunta on olennaisen tärkeä. Toiseksi negatiivisesti suunnattu kulma kirjoitetaan miinusmerkillä, esimerkiksi jos .

Miksi sanoin tämän? Vaikuttaa siltä, ​​että pärjäät tavallisella kulman käsitteellä. Tosiasia on, että kaavoissa, joilla löydämme kulmat, voidaan helposti saada negatiivinen tulos, eikä tämän pitäisi yllättää sinua. Miinusmerkillä varustettu kulma ei ole huonompi, ja sillä on hyvin erityinen geometrinen merkitys. Negatiivisen kulman piirustuksessa on välttämätöntä osoittaa sen suunta (myötäpäivään) nuolella.

Kuinka löytää kahden viivan välinen kulma? Työkaavoja on kaksi:

Esimerkki 10

Etsi viivojen välinen kulma

Ratkaisu ja Menetelmä yksi

Tarkastellaan kahta suoraa, jotka on annettu yhtälöillä yleisessä muodossa:

Jos suoraan ei kohtisuorassa, sitten suuntautunut niiden välinen kulma voidaan laskea kaavalla:

Kiinnitämme huomiota nimittäjään - tämä on täsmälleen skalaarituote suorien viivojen suuntavektorit:

Jos , niin kaavan nimittäjä häviää, ja vektorit ovat ortogonaalisia ja linjat ovat kohtisuorassa. Tästä syystä muotoilussa olevien viivojen epäsuoraan kohdistamiseen tehtiin varaus.

Edellä olevan perusteella ratkaisu muotoillaan kätevästi kahdessa vaiheessa:

1) Laske suorien suuntausvektorien skalaaritulo:
joten viivat eivät ole kohtisuorassa.

2) Löydämme viivojen välisen kulman kaavalla:

Käänteisfunktiolla on helppo löytää itse kulma. Tässä tapauksessa käytämme arctangentin parittomuutta (katso kuva. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet):

Vastaus:

Vastauksessa ilmoitamme tarkan arvon sekä likimääräisen arvon (mieluiten sekä asteina että radiaaneina), joka on laskettu laskimella.

No, miinus, niin miinus, ei hätää. Tässä on geometrinen kuva:

Ei ole yllättävää, että kulma osoittautui negatiiviseksi suuntaukseksi, koska tehtävän tilanteessa ensimmäinen numero on suora ja kulman "kiertyminen" alkoi juuri siitä.

Jos todella haluat saada positiivisen kulman, sinun on vaihdettava suorat viivat, eli otettava kertoimet toisesta yhtälöstä , ja ota kertoimet ensimmäisestä yhtälöstä . Lyhyesti sanottuna sinun on aloitettava suorasta .

Tämän online-laskimen avulla voit löytää viivojen leikkauspisteen tasosta. Yksityiskohtainen ratkaisu selityksineen annetaan. Löytääksesi viivojen leikkauspisteen koordinaatit, määritä suorien yhtälön tyyppi ("kanoninen", "parametrinen" tai "yleinen"), syötä viivojen yhtälöiden kertoimet soluihin ja napsauta "Ratkaise" -painiketta. Katso teoreettinen osa ja numeeriset esimerkit alla.

×

Varoitus

Tyhjennä kaikki solut?

Sulje Tyhjennä

Tietojen syöttöohje. Numerot syötetään kokonaislukuina (esimerkkejä: 487, 5, -7623 jne.), desimaalilukuina (esim. 67., 102,54 jne.) tai murtolukuina. Murtoluku on kirjoitettava muodossa a/b, jossa a ja b (b>0) ovat kokonaislukuja tai desimaalilukuja. Esimerkit 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 jne.

Tason viivojen leikkauspiste - teoria, esimerkkejä ja ratkaisuja

1. Yleisessä muodossa annettujen suorien leikkauspiste.

Oxy L 1 ja L 2:

Rakennetaan lisätty matriisi:

Jos B" 2 = 0 ja FROM" 2 =0, niin lineaarisella yhtälöjärjestelmällä on useita ratkaisuja. Siksi suora L 1 ja L 2 ottelua. Jos B" 2 = 0 ja FROM" 2 ≠0, järjestelmä on epäjohdonmukainen ja sen vuoksi suorat ovat yhdensuuntaisia ​​eikä niillä ole yhteistä pistettä. Jos B" 2 ≠0, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Toisesta yhtälöstä löydämme y: y=FROM" 2 /B" 2 ja korvaamalla saadun arvon ensimmäiseen yhtälöön, löydämme x: x=−FROM 1 −B 1 y. Hanki viivojen leikkauspiste L 1 ja L 2: M(x, y).

2. Kanonisessa muodossa annettujen suorien leikkauspiste.

Olkoon suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy ja annetaan tässä koordinaattijärjestelmässä suorat L 1 ja L 2:

Avataan sulut ja tehdään muunnokset:

Samalla menetelmällä saamme suoran (7) yleisen yhtälön:

Yhtälöistä (12) seuraa:

Kanonisessa muodossa annettujen viivojen leikkauspisteen löytäminen on kuvattu edellä.

4. Eri näkymissä määriteltyjen viivojen leikkauspiste.

Olkoon suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy ja annetaan tässä koordinaattijärjestelmässä suorat L 1 ja L 2:

Etsitään t:

Ratkaisemme lineaarisen yhtälöjärjestelmän suhteessa x, y. Tätä varten käytämme Gaussin menetelmää. Saamme:

Esimerkki 2. Etsi viivojen leikkauspiste L 1 ja L 2:

(21)

Etsiä viivojen leikkauspiste L 1 ja L 2 on tarpeen ratkaista lineaariset yhtälöt (20) ja (21). Esitämme yhtälöt matriisimuodossa.

Olkoon kaksi suoraa annettu ja on löydettävä niiden leikkauspiste. Koska tämä piste kuuluu jokaiseen kahdesta annetusta suorasta, sen koordinaattien on täytettävä sekä ensimmäisen että toisen suoran yhtälö.

Siten kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytämiseksi tulee ratkaista yhtälöjärjestelmä

Esimerkki 1. Etsi viivojen ja leikkauspiste

Ratkaisu. Löydämme halutun leikkauspisteen koordinaatit ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän

Leikkauspisteellä M on koordinaatit

Osoitetaan kuinka muodostaa suora sen yhtälöstä. Viivan piirtämiseen riittää, että tiedät sen kaksi pistettä. Kunkin pisteen piirtämiseksi annamme mielivaltaisen arvon yhdelle sen koordinaateista, ja sitten yhtälöstä löydämme toisen koordinaatin vastaavan arvon.

Jos suoran yleisessä yhtälössä kumpikaan kerroin nykyisten koordinaattien kohdalla ei ole nolla, niin tämän suoran rakentamiseksi on parasta löytää sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

Esimerkki 2. Muodosta suora.

Ratkaisu. Etsi tämän suoran leikkauspiste x-akselin kanssa. Tätä varten ratkaisemme yhdessä heidän yhtälönsä:

ja saamme. Siten löydettiin tämän suoran ja abskissa-akselin leikkauspiste M (3; 0) (kuva 40).

Tämän jälkeen ratkaistaan ​​yhdessä annetun suoran yhtälö ja y-akselin yhtälö

löydämme suoran leikkauspisteen y-akselin kanssa. Lopuksi rakennetaan suora sen kahdesta pisteestä M ja

Kun ratkaistaan ​​joitain geometrisia tehtäviä koordinaattimenetelmällä, on tarpeen löytää suorien leikkauspisteen koordinaatit. Useimmiten on etsittävä kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit tasossa, mutta joskus on tarpeen määrittää kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit avaruudessa. Tässä artikkelissa käsittelemme kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytämistä.

Sivulla navigointi.

Kahden suoran leikkauspiste on määritelmä.

Määritetään ensin kahden suoran leikkauspiste.

Viivojen suhteellista sijaintia tasossa käsittelevässä osiossa näytetään, että kaksi tasossa olevaa suoraa voivat joko osua yhteen (ja niillä on äärettömän monta yhteistä pistettä) tai olla yhdensuuntaisia ​​(ja kahdella suoralla ei ole yhteisiä pisteitä) tai leikata , joilla on yksi yhteinen kohta. Kahden suoran keskinäiseen järjestelyyn avaruudessa on enemmän vaihtoehtoja - ne voivat osua yhteen (on äärettömän monta yhteistä pistettä), voivat olla yhdensuuntaisia ​​(eli olla samassa tasossa eivätkä leikkaa), voivat olla leikkaavia (ei sijaita avaruudessa) sama taso), ja sillä voi olla myös yksi yhteinen piste, eli leikkauspiste. Joten kahta suoraa sekä tasossa että avaruudessa kutsutaan leikkaaviksi, jos niillä on yksi yhteinen piste.

Leikkaavien viivojen määritelmästä se seuraa viivojen leikkauspisteen määrittäminen: Pistettä, jossa kaksi suoraa leikkaavat, kutsutaan näiden viivojen leikkauspisteeksi. Toisin sanoen, kahden leikkaavan suoran ainoa yhteinen piste on näiden viivojen leikkauspiste.

Selvyyden vuoksi esitämme graafisen kuvan kahden suoran leikkauspisteestä tasossa ja avaruudessa.

Sivun yläreunassa

Kahden tason suoran leikkauspisteen koordinaattien löytäminen.

Ennen kuin löydämme kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit tasossa niiden tunnettujen yhtälöiden mukaan, tarkastellaan apuongelmaa.

Oxy a ja b. Oletetaan, että suora a vastaa suoran ja suoran yleistä yhtälöä b-tyyppi. Antaa olla jonkin pisteen koneessa, ja se on tarpeen selvittää, onko piste M 0 annettujen viivojen leikkauspiste.

Ratkaistaan ​​ongelma.

Jos M0 a ja b, niin se kuuluu määritelmän mukaan myös riville a ja suora b, eli sen koordinaattien on täytettävä samanaikaisesti sekä yhtälö että yhtälö . Siksi meidän on korvattava pisteen koordinaatit M 0 annettujen suorien yhtälöihin ja katso, saadaanko kaksi todellista yhtälöä. Jos pisteen koordinaatit M 0 täyttävät molemmat yhtälöt ja , Sitten on rivien leikkauspiste a ja b, muuten M 0 .

Onko pointti M 0 koordinaattien kanssa (2, -3) viivojen leikkauspiste 5x-2y-16=0 ja 2x-5y-19 = 0?

Jos M 0 on annettujen suorien leikkauspiste, silloin sen koordinaatit täyttävät suorien yhtälön. Tarkistetaan tämä korvaamalla pisteen koordinaatit M 0 annettuihin yhtälöihin:

Meillä on siis kaksi todellista tasa-arvoa, M 0 (2, -3)- viivojen leikkauspiste 5x-2y-16=0 ja 2x-5y-19 = 0.

Selvyyden vuoksi esitämme piirustuksen, joka näyttää suoria viivoja ja näyttää niiden leikkauspisteen koordinaatit.

kyllä, piste M 0 (2, -3) on viivojen leikkauspiste 5x-2y-16=0 ja 2x-5y-19 = 0.

Leikkaavatko viivat? 5x+3y-1=0 ja 7x-2v+11=0 pisteessä M 0 (2, -3)?

Korvaa pisteen koordinaatit M 0 suorien yhtälöihin, tällä toiminnolla tarkistamme, kuuluuko piste M 0 molemmat rivit yhtä aikaa:

Toisesta yhtälöstä lähtien, kun siihen korvataan pisteen koordinaatit M 0 ei muuttunut todelliseksi tasa-arvoksi, niin pointti M 0 ei kuulu riviin 7x-2v+11=0. Tästä tosiasiasta voimme päätellä, että kohta M 0 ei ole annettujen viivojen leikkauspiste.

Myös piirustuksessa näkyy selvästi, että piste M 0 ei ole viivojen leikkauspiste 5x+3y-1=0 ja 7x-2v+11=0. Ilmeisesti annetut suorat leikkaavat pisteessä, jolla on koordinaatit (-1, 2) .

M 0 (2, -3) ei ole viivojen leikkauspiste 5x+3y-1=0 ja 7x-2v+11=0.

Nyt voidaan edetä ongelmaan löytää kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit tasossa annettujen suorayhtälöiden mukaisesti.

Kiinnitetään tasoon suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy ja annetaan kaksi leikkaavaa suoraa a ja b yhtälöt ja vastaavasti. Merkitään annettujen suorien leikkauspisteeksi M 0 ja ratkaise seuraava tehtävä: etsi kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit a ja b näiden linjojen tunnettujen yhtälöiden ja .

Piste M0 kuuluu jokaiseen leikkaavaan suoraan a ja b määritelmän mukaan. Sitten suorien leikkauspisteen koordinaatit a ja b täyttävät sekä yhtälön että yhtälön. Siksi kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit a ja b ovat ratkaisu yhtälöjärjestelmään (katso artikkeli lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisuista).

Siten, jotta löydettäisiin yleisillä yhtälöillä tasolle määritellyn kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, on ratkaistava järjestelmä, joka koostuu annettujen suorien yhtälöistä.

Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Etsi kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa määritetyn suoran leikkauspiste tasossa yhtälöiden avulla x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Saamme kaksi yleistä suorayhtälöä, muodostamme niistä järjestelmän: . Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisut löytyvät helposti, jos sen ensimmäinen yhtälö ratkaistaan ​​muuttujan suhteen x ja korvaa tämä lauseke toiseen yhtälöön:

Yhtälöjärjestelmän löydetty ratkaisu antaa meille kahden suoran leikkauspisteen halutut koordinaatit.

M 0 (4, 2)- viivojen leikkauspiste x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Joten kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytäminen, jotka määritellään tasossa yleisillä yhtälöillä, pelkistetään kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseksi kahdella tuntemattomalla muuttujalla. Mutta entä jos tason suorat eivät anneta yleisillä yhtälöillä, vaan eri tyyppisillä yhtälöillä (katso tason suoran yhtälön tyypit)? Näissä tapauksissa voit ensin viedä suorien yhtälöt yleiseen muotoon ja vasta sen jälkeen etsiä leikkauspisteen koordinaatit.

Ennen kuin löydämme annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatit, saamme niiden yhtälöt yleiseen muotoon. Siirtyminen suoran parametriyhtälöistä tämän suoran yleisyhtälöön on seuraava:

Nyt suoritamme tarvittavat toimet kanonisella yhtälöllä:

Siten suorien leikkauspisteen halutut koordinaatit ovat ratkaisu muodon yhtälöjärjestelmään. Käytämme sen ratkaisemiseen Cramerin menetelmää:

M 0 (-5, 1)

On toinenkin tapa löytää kahden tason suoran leikkauspisteen koordinaatit. Sitä on kätevä käyttää, kun yksi suorista on annettu muodon parametriyhtälöillä ja toinen erityyppisellä suorayhtälöllä. Tässä tapauksessa toiseen yhtälöön muuttujien sijaan x ja y voit korvata lausekkeet ja , josta saat arvon, joka vastaa annettujen viivojen leikkauspistettä. Tässä tapauksessa viivojen leikkauspisteellä on koordinaatit .

Etsitään edellisen esimerkin viivojen leikkauspisteen koordinaatit tällä tavalla.

Määritä viivojen leikkauspisteen koordinaatit ja .

Korvaa suoran lausekkeen yhtälössä:

Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön saamme . Tämä arvo vastaa viivojen ja yhteistä pistettä. Laskemme leikkauspisteen koordinaatit korvaamalla suoran parametriyhtälöihin:
.

M 0 (-5, 1).

Kuvan täydentämiseksi on keskusteltava vielä yhdestä asiasta.

Ennen kuin löytää tasossa kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, on hyödyllistä varmistaa, että annetut suorat todella leikkaavat. Jos käy ilmi, että alkuperäiset suorat ovat samat tai samansuuntaiset, niin tällaisten viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytäminen ei tule kysymykseen.

Voit tietysti tehdä ilman tällaista tarkistusta ja laatia välittömästi muodon yhtälöjärjestelmän ja ratkaista sen. Jos yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, se antaa sen pisteen koordinaatit, jossa alkuperäiset suorat leikkaavat. Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, niin voimme päätellä, että alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia ​​(koska sellaista reaalilukuparia ei ole olemassa x ja y, joka täyttäisi samanaikaisesti annettujen suorien molemmat yhtälöt). Yhtälöjärjestelmän äärettömän ratkaisujoukon läsnäolosta seuraa, että alkuperäisillä viivoilla on äärettömän monta yhteistä pistettä, eli ne ovat yhteneväisiä.

Katsotaanpa esimerkkejä, jotka sopivat näihin tilanteisiin.

Selvitä, leikkaavatko suorat ja, ja jos ne leikkaavat, niin etsi leikkauspisteen koordinaatit.

Annetut rivien yhtälöt vastaavat yhtälöitä ja . Ratkaistaan ​​näistä yhtälöistä koostuva järjestelmä.

Ilmeisesti järjestelmän yhtälöt ilmaistaan ​​lineaarisesti toistensa kautta (järjestelmän toinen yhtälö saadaan ensimmäisestä kertomalla sen molemmat osat 4 ), siksi yhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja. Siten yhtälöt ja määrittelevät saman suoran, emmekä voi puhua näiden viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä.

yhtälöt ja ne määritellään suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy sama suora, joten emme voi puhua leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä.

Etsi viivojen leikkauspisteen koordinaatit ja jos mahdollista.

Ongelman tila myöntää, että viivat eivät välttämättä leikkaa. Tehdään näistä yhtälöistä järjestelmä. Käytämme Gaussin menetelmää sen ratkaisemiseen, koska sen avulla voimme todeta yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden tai epäjohdonmukaisuuden ja sen yhteensopivuuden tapauksessa löytää ratkaisun:

Järjestelmän viimeinen yhtälö Gaussin menetelmän suoran kulun jälkeen muuttui virheelliseksi yhtälöksi, joten yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja. Tästä voidaan päätellä, että alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia, eikä näiden suorien leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä voi puhua.

Toinen ratkaisu.

Selvitetään, leikkaavatko annetut suorat.

Normaalivektori on suora, ja vektori on suoran normaalivektori. Tarkastellaan vektorien ja :n kollinaarisuusehdon täyttymistä: yhtälö on tosi, koska siis annettujen suorien normaalivektorit ovat kollineaarisia. Sitten nämä viivat ovat yhdensuuntaisia ​​tai yhtenevät. Näin ollen emme voi löytää alkuperäisten suorien leikkauspisteen koordinaatteja.

on mahdotonta löytää annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatteja, koska nämä suorat ovat yhdensuuntaisia.

Etsi viivojen leikkauspisteen koordinaatit 2x-1 = 0 ja jos ne leikkaavat.

Tehdään yhtälöjärjestelmä, jotka ovat annettujen suorien yleisiä yhtälöitä: . Tämän yhtälöjärjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, joten yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka osoittaa annettujen suorien leikkauskohdan.

Löytääksemme viivojen leikkauspisteen koordinaatit, meidän on ratkaistava järjestelmä:

Tuloksena oleva ratkaisu antaa meille viivojen leikkauspisteen koordinaatit, eli - viivojen leikkauspisteen 2x-1 = 0 ja .

Sivun yläreunassa

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytäminen avaruudesta.

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit kolmiulotteisessa avaruudessa löytyvät samalla tavalla.

Anna leikkaavat viivat a ja b annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz kahden leikkaavan tason yhtälöt, eli suora a määritetään lomakkeen ja rivin järjestelmällä b- . Päästää M 0- viivojen leikkauspiste a ja b. Sitten se pointti M 0 määritelmän mukaan kuuluu riviin a ja suora b, siksi sen koordinaatit täyttävät molempien suorien yhtälöt. Siten viivojen leikkauspisteen koordinaatit a ja b edustavat ratkaisua muotoon . Tässä tarvitsemme tietoja osiosta, joka käsittelee lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemista, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä.

Mietitään esimerkkejä.

Etsi kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit avaruudessa yhtälöillä ja .

Tehdään yhtälöjärjestelmä annettujen suorien yhtälöistä: . Tämän järjestelmän ratkaisu antaa meille halutut koordinaatit viivojen leikkauspisteelle avaruudessa. Etsitään kirjoitetun yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisi on muotoinen ja laajennettu - .

Määritä matriisin järjestys MUTTA ja matriisiarvo T. Käytämme alaikäisten rajaamismenetelmää, mutta emme kuvaile yksityiskohtaisesti determinanttien laskemista (katso tarvittaessa artikkelia matriisin determinantin laskemisesta):

Siten päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo ja on yhtä suuri kuin kolme.

Siksi yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Otamme determinantin kantamolliksi, joten viimeinen yhtälö tulee jättää yhtälöjärjestelmästä pois, koska se ei osallistu kantamollin muodostukseen. Niin,

Tuloksena olevan järjestelmän ratkaisu löytyy helposti:

Siten viivojen leikkauspisteellä ja on koordinaatit (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

On huomattava, että yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos ja vain jos viivat a ja b leikkaavat. Jos suoraan a ja b yhdensuuntainen tai leikkaava, niin viimeisellä yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, koska tässä tapauksessa suorilla ei ole yhteisiä pisteitä. Jos suoraan a ja b samat, silloin niillä on ääretön joukko yhteisiä pisteitä, joten ilmoitetulla yhtälöjärjestelmällä on ääretön joukko ratkaisuja. Näissä tapauksissa ei kuitenkaan voida puhua suorien leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä, koska suorat eivät leikkaa.

Siten, jos emme tiedä etukäteen, annetut suorat leikkaavat a ja b tai ei, on järkevää muodostaa muotoinen yhtälöjärjestelmä ja ratkaista se Gaussin menetelmällä. Jos saamme ainutlaatuisen ratkaisun, se vastaa viivojen leikkauspisteen koordinaatteja a ja b. Jos järjestelmä osoittautuu epäjohdonmukaiseksi, niin suora a ja bälä leikkaa. Jos järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, niin suora a ja b ottelu.

Voit tehdä ilman Gaussin menetelmää. Vaihtoehtoisesti voit laskea tämän järjestelmän pää- ja laajennettujen matriisien rivit ja tehdä saatujen tietojen ja Kronecker-Capellin lauseen perusteella johtopäätös joko yhden ratkaisun olemassaolosta tai useiden ratkaisujen olemassaolosta, tai ratkaisujen puuttumisesta. Se on makuasia.

Jos suorat ja leikkaavat, määritä leikkauspisteen koordinaatit.

Tehdään järjestelmä annetuista yhtälöistä: . Ratkaisemme sen Gaussin menetelmällä matriisimuodossa:

Kävi selväksi, että yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, joten annetut suorat eivät leikkaa, eikä näiden suorien leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä voi olla kysymys.

emme voi löytää annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatteja, koska nämä suorat eivät leikkaa.

Kun leikkaavat suorat annetaan avaruudessa olevan suoran kanonisilla yhtälöillä tai suoran parametrisilla yhtälöillä avaruudessa, sinun tulee ensin saada niiden yhtälöt kahden leikkaavan tason muodossa ja vasta sen jälkeen löytää leikkauspisteen koordinaatit.

Kaksi leikkaavaa suoraa on annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz yhtälöt ja . Etsi näiden viivojen leikkauspisteen koordinaatit.

Asetetaan alkusuorat kahden leikkaavan tason yhtälöillä:

Viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämiseksi on vielä ratkaistava yhtälöjärjestelmä. Tämän järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo ja on yhtä suuri kuin kolme (suosittelemme tämän tosiasian tarkistamista). Perusmolliksi otamme , joten viimeinen yhtälö voidaan jättää järjestelmästä pois. Kun olet ratkaissut tuloksena olevan järjestelmän millä tahansa menetelmällä (esimerkiksi Cramer-menetelmällä), saamme ratkaisun . Siten viivojen leikkauspisteellä ja on koordinaatit (-2, 3, -5) .

Oppitunti sarjasta "Geometric Algorithms"

Hei rakas lukija!

Jatkamme tutustumista geometrisiin algoritmeihin. Viimeisellä oppitunnilla löysimme suoran yhtälön kahden pisteen koordinaateista. Meillä on yhtälö muodossa:

Tänään kirjoitetaan funktio, joka kahden suoran yhtälön avulla löytää niiden leikkauspisteen koordinaatit (jos sellainen on). Reaalilukujen yhtäläisyyden tarkistamiseksi käytämme erikoisfunktiota RealEq().

Tason pisteet kuvataan reaalilukuparilla. Oikeaa tyyppiä käytettäessä on parempi järjestää vertailutoiminnot erikoistoiminnoilla.

Syy on tiedossa: Pascal-ohjelmointijärjestelmässä ei ole Real-tyypin järjestyssuhdetta, joten on parempi olla käyttämättä muotoa a = b olevia tietueita, joissa a ja b ovat reaalilukuja.
Tänään esittelemme RealEq()-funktion toteuttamaan "=" (tiukasti yhtäläinen) -operaation:

Funktio RealEq(Const a, b:Real):Totuusarvo; (tiukasti yhtä suuri) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tehtävä. Kahden suoran yhtälöt annetaan: ja . Etsi niiden leikkauspiste.

Ratkaisu. Ilmeinen ratkaisu on ratkaista yhtälöjärjestelmä: Kirjoitetaan tämä järjestelmä hieman eri tavalla:
(1)

Esittelemme merkinnän: , , . Tässä D on järjestelmän determinantti, ja ne ovat determinantteja, jotka saadaan korvaamalla vastaavan tuntemattoman kertoimien sarake vapaiden termien sarakkeella. Jos , niin järjestelmä (1) on määrätty, eli sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Tämä ratkaisu löytyy seuraavilla kaavoilla: , , joita kutsutaan Cramerin kaavat. Haluan muistuttaa, kuinka toisen asteen determinantti lasketaan. Determinantti erottaa kaksi diagonaalia: pää- ja toissijainen. Päädiagonaali koostuu elementeistä, jotka on otettu determinantin vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan. Sivulävistäjä - ylhäältä oikealta alavasemmalle. Toisen asteen determinantti on yhtä suuri kuin päälävistäjän alkioiden tulo miinus toissijaisen diagonaalin alkioiden tulo.

Koodi käyttää RealEq()-funktiota tasa-arvon tarkistamiseen. Reaalilukujen laskelmat tehdään aina _Eps=1e-7 tarkkuudella.

Ohjelma geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(laskennan tarkkuus) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funktio RealEq(Const a, b:Real):Totuusarvo; (tiukasti yhtä suuri) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Olemme laatineet ohjelman, jolla voit, tietäen suorien yhtälöt, löytää niiden leikkauspisteen koordinaatit.