Kuinka tarkistaa gauss-menetelmä. Käänteinen Gaussin menetelmä

Yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä on tekniikka, joka perustuu determinanttien ( Cramerin sääntö). Sen etuna on, että sen avulla voit tallentaa ratkaisun välittömästi, se on erityisen kätevä tapauksissa, joissa järjestelmäkertoimet eivät ole numeroita, vaan joitain parametreja. Sen haittapuolena on laskutoimitusten vaivalloisuus, kun yhtälöitä on paljon, ja lisäksi Cramerin sääntö ei sovellu suoraan järjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Tällaisissa tapauksissa sitä käytetään yleensä Gaussin menetelmä.

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaava. On selvää, että lineaarisen järjestelmän ratkaisujoukko ei muutu, jos yhtälöitä vaihdetaan keskenään tai jos yksi yhtälöistä kerrotaan jollain nollasta poikkeavalla luvulla tai jos yhtälö lisätään toiseen.

Gaussin menetelmä (Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin) perustuu siihen, että alkeismuunnosten avulla järjestelmä pelkistetään vastaavaksi porrastetuksi järjestelmäksi. Ensinnäkin 1. yhtälön avulla x 1 kaikista järjestelmän myöhemmistä yhtälöistä. Sitten eliminoimme 2. yhtälön avulla x 2/3 ja kaikki sitä seuraavat yhtälöt. Tämä prosessi ns suora Gaussin menetelmä, jatkuu, kunnes vain yksi tuntematon on jäljellä viimeisen yhtälön vasemmalla puolella x n. Sen jälkeen se tehdään Gaussin käänteinen– ratkaisemme viimeisen yhtälön x n; sen jälkeen tätä arvoa käyttäen laskemme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 jne. Viimeksi löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä.

Gaussin muunnokset suoritetaan kätevästi tekemällä muunnoksia ei itse yhtälöillä, vaan niiden kertoimien matriiseilla. Harkitse matriisia:

nimeltään laajennettu matriisijärjestelmä, koska järjestelmän päämatriisin lisäksi se sisältää sarakkeen vapaita jäseniä. Gaussin menetelmä perustuu siihen, että järjestelmän päämatriisi saatetaan kolmiomaiseen muotoon (tai ei-neliömäisten järjestelmien tapauksessa puolisuunnikkaan muotoon) käyttämällä järjestelmän laajennetun matriisin perusrivimuunnoksia (!).

Esimerkki 5.1. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja ensimmäisen rivin avulla nollataan loput elementit:

saamme nollia ensimmäisen sarakkeen 2., 3. ja 4. riville:

Nyt kaikkien toisen sarakkeen 2. rivin alapuolella olevien elementtien on oltava yhtä suuria kuin nolla. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin -4/7:lla ja lisäämällä kolmanteen riviin. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, luomme yksikön toisen sarakkeen 2. riville ja vain

Nyt kolmiomatriisin saamiseksi sinun on nollattava kolmannen sarakkeen neljännen rivin elementti, jotta voit kertoa kolmannen rivin 8/54: llä ja lisätä sen neljänteen. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, vaihdamme 3. ja 4. rivin sekä 3. ja 4. sarakkeen, ja vasta sen jälkeen nollaamme määritetyn elementin nollaan. Huomaa, että kun sarakkeet järjestetään uudelleen, vastaavat muuttujat vaihtuvat, ja tämä on muistettava; muita perusmuunnoksia sarakkeilla (yhteenlasku ja kertominen luvulla) ei voida suorittaa!

Viimeinen yksinkertaistettu matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää, joka vastaa alkuperäistä:

Täältä, käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä kurssia, löydämme neljännestä yhtälöstä x 3 = -1; kolmannesta alkaen x 4 = -2, toisesta x 2 = 2 ja ensimmäisestä yhtälöstä x 1 = 1. Matriisimuodossa vastaus kirjoitetaan muodossa

Olemme tarkastelleet tapausta, jossa järjestelmä on määrätty, ts. kun on vain yksi ratkaisu. Katsotaan mitä tapahtuu, jos järjestelmä on epäjohdonmukainen tai epämääräinen.

Esimerkki 5.2. Tutustu järjestelmään Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän lisätyn matriisin

Kirjoitamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

Tässä viimeisessä yhtälössä kävi ilmi, että 0=4, ts. ristiriita. Siksi järjestelmällä ei ole ratkaisua, ts. hän on yhteensopimaton. à

Esimerkki 5.3. Tutki ja ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Muutosten seurauksena viimeiselle riville saatiin vain nollia. Tämä tarkoittaa, että yhtälöiden määrä on vähentynyt yhdellä:

Näin ollen jäljelle jää kaksi yhtälöä yksinkertaistamisen jälkeen ja neljä tuntematonta, ts. kaksi tuntematonta "lisää". Olkoon "tarpeeton" tai, kuten sanotaan, vapaat muuttujat, tulee x 3 ja x neljä . Sitten

Olettaen x 3 = 2a ja x 4 = b, saamme x 2 = 1–a ja x 1 = 2b–a; tai matriisimuodossa

Tällä tavalla kirjoitettua ratkaisua kutsutaan yleistä, koska antamalla parametrit a ja b eri arvoilla on mahdollista kuvata järjestelmän kaikki mahdolliset ratkaisut. a

Tänään käsittelemme Gaussin menetelmää lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Voit lukea siitä, mitä nämä järjestelmät ovat, edellisestä artikkelista, joka on omistettu saman SLAE:n ratkaisemiseen Cramer-menetelmällä. Gaussin menetelmä ei vaadi erityistä tietoa, tarvitaan vain huolellisuutta ja johdonmukaisuutta. Huolimatta siitä, että matematiikan näkökulmasta kouluvalmistelu riittää sen soveltamiseen, tämän menetelmän hallitseminen aiheuttaa usein vaikeuksia opiskelijoille. Tässä artikkelissa yritämme vähentää ne tyhjäksi!

Gaussin menetelmä

M Gaussin menetelmä on yleisin tapa ratkaista SLAE (lukuun ottamatta erittäin suuria järjestelmiä). Toisin kuin aiemmin käsitelty, se ei sovellu vain järjestelmiin, joissa on ainutlaatuinen ratkaisu, vaan myös järjestelmiin, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä on kolme vaihtoehtoa.

1. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla);
2. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja;
3. Ratkaisuja ei ole, järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Joten meillä on järjestelmä (olkoon sillä yksi ratkaisu), ja aiomme ratkaista sen Gaussin menetelmällä. Kuinka se toimii?

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta - suorasta ja käänteisestä.

Suora Gaussin menetelmä

Ensin kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi. Tätä varten lisäämme päämatriisiin vapaan jäsenen sarakkeen.

Gaussin menetelmän koko olemus on saattaa annettu matriisi porrastettuun (tai kuten sanotaan kolmiomaiseen) muotoon alkeismuunnosten avulla. Tässä muodossa matriisin päädiagonaalin alla (tai sen yläpuolella) pitäisi olla vain nollia.

Mitä voidaan tehdä:

1. Voit järjestää matriisin rivit uudelleen;
2. Jos matriisissa on identtisiä (tai suhteellisia) rivejä, voit poistaa ne kaikki yhtä lukuun ottamatta.
3. Voit kertoa tai jakaa merkkijonon millä tahansa luvulla (paitsi nollalla);
4. Nollaviivat poistetaan;
5. Voit lisätä merkkijonoon nollasta poikkeavalla luvulla kerrotun merkkijonon.

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kun olemme muuttaneet järjestelmän tällä tavalla, yksi tuntematon xn tulee tunnetuksi, ja on mahdollista löytää kaikki jäljellä olevat tuntemattomat käänteisessä järjestyksessä korvaamalla jo tunnetut x:t järjestelmän yhtälöihin ensimmäiseen saakka.

Kun Internet on aina käsillä, voit ratkaista yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä verkossa. Sinun tarvitsee vain syöttää kertoimet online-laskuriin. Mutta täytyy myöntää, että on paljon miellyttävämpää huomata, että esimerkkiä ei ratkaissut tietokoneohjelma, vaan omat aivosi.

Esimerkki yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Ja nyt - esimerkki, jotta kaikki tulee selväksi ja ymmärrettäväksi. Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä, ja se on ratkaistava Gaussin menetelmällä:

Ensin kirjoitetaan lisätty matriisi:

Katsotaanpa nyt muunnoksia. Muista, että meidän on saavutettava matriisin kolmiomuoto. Kerro ensimmäinen rivi (3). Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen ja saadaan:

Kerro sitten 3. rivi arvolla (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro ensimmäinen rivi (6). Kerro toinen rivi arvolla (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Voila - järjestelmä saatetaan sopivaan muotoon. Vielä on löydettävä tuntemattomat:

Tämän esimerkin järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Käsittelemme erillisessä artikkelissa ratkaisua järjestelmiin, joissa on loputon joukko ratkaisuja. Ehkä aluksi et tiedä mistä aloittaa matriisimuunnoksilla, mutta sopivan harjoittelun jälkeen saat sen käsiisi ja napsaat Gaussin SLAE:tä kuin pähkinät. Ja jos kohtaat yhtäkkiä SLAU:n, joka osoittautuu liian kovaksi pähkinäksi, ota yhteyttä kirjoittajiimme! voit jättää hakemuksen kirjeenvaihtoon. Yhdessä ratkaisemme kaikki ongelmat!

Tämä online-laskin löytää ratkaisun lineaariseen yhtälöjärjestelmään (SLE) Gaussin menetelmällä. Yksityiskohtainen ratkaisu annetaan. Laskemista varten valitse muuttujien lukumäärä ja yhtälöiden lukumäärä. Syötä sitten tiedot soluihin ja napsauta "Laske".

Numeron esitys:

Numeroiden lukumäärä desimaalierottimen jälkeen

×

Varoitus

Tyhjennä kaikki solut?

Sulje Tyhjennä

Tietojen syöttöohje. Numerot syötetään kokonaislukuina (esimerkkejä: 487, 5, -7623 jne.), desimaalilukuina (esim. 67., 102,54 jne.) tai murtolukuina. Murtoluku on kirjoitettava muodossa a/b, jossa a ja b (b>0) ovat kokonaislukuja tai desimaalilukuja. Esimerkit 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 jne.

Gaussin menetelmä

Gaussin menetelmä on menetelmä, jolla siirrytään alkuperäisestä lineaariyhtälöjärjestelmästä (käyttäen vastaavia muunnoksia) järjestelmään, joka on helpompi ratkaista kuin alkuperäinen järjestelmä.

Lineaariyhtälöjärjestelmän vastaavat muunnokset ovat:

• vaihtamalla kaksi yhtälöä järjestelmässä,
• minkä tahansa järjestelmän yhtälön kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla,
• lisäämällä yhteen yhtälöön toinen yhtälö kerrottuna mielivaltaisella luvulla.

Harkitse lineaarista yhtälöjärjestelmää:

Kirjoitamme järjestelmän (1) matriisimuodossa:

(3)

A kutsutaan järjestelmän kerroinmatriisiksi, b- rajoitusten oikea puoli, x− löydettävien muuttujien vektori. Anna ranking( A)=s.

Ekvivalentit muunnokset eivät muuta järjestelmän kerroinmatriisin ja lisätyn matriisin järjestystä. Myöskään järjestelmän ratkaisujoukko ei muutu vastaavien muunnosten yhteydessä. Gaussin menetelmän ydin on tuoda kertoimien matriisi A diagonaaliseen tai porrastettuun.

Rakennetaan järjestelmän laajennettu matriisi:

Seuraavassa vaiheessa nollaamme kaikki elementin alapuolella olevan sarakkeen 2 elementit. Jos annettu elementti on nolla, tämä rivi vaihdetaan riviin, joka on annetun rivin alapuolella ja jonka toisessa sarakkeessa on nollasta poikkeava elementti. Seuraavaksi nollataan kaikki sarakkeen 2 elementit johtavan elementin alapuolella a 22. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 3, ... m rivi 2 kerrottuna − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22, vastaavasti. Jatkamalla menettelyä, saamme diagonaalisen tai porrastetun matriisin. Olkoon tuloksena oleva lisätty matriisi tältä:

Koska sijoitusA = sijoitus(A|b), niin ratkaisujoukko (7) on ( n-p) on lajike. Näin ollen n-p tuntemattomat voidaan valita mielivaltaisesti. Jäljelle jäävät tuntemattomat järjestelmästä (7) lasketaan seuraavasti. Viimeisestä yhtälöstä ilmaisemme x p muiden muuttujien läpi ja lisää edellisiin lausekkeisiin. Seuraavaksi toiseksi viimeisestä yhtälöstä ilmaisemme x p−1 muiden muuttujien läpi ja lisää edellisiin lausekkeisiin jne. Harkitse Gaussin menetelmää erityisissä esimerkeissä.

Esimerkkejä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Esimerkki 1. Etsi lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu Gaussin menetelmällä:

Merkitse a ij elementtejä i- rivi ja j- sarake.

a yksitoista. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 2,3 rivillä 1 kerrottuna -2/3:lla ja -1/2:lla:

Matriisitietueen tyyppi: ax=b, missä

Merkitse a ij elementtejä i- rivi ja j- sarake.

Sulje pois elementin alla olevan matriisin 1. sarakkeen elementit a yksitoista. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 2,3 rivillä 1 kerrottuna -1/5:llä, -6/5:llä:

Jaamme jokaisen matriisin rivin vastaavalla alkuelementillä (jos johtava elementti on olemassa):

missä x 3 , x

Korvaamalla ylemmät lausekkeet alemmilla, saamme ratkaisun.

Sitten vektoriratkaisu voidaan esittää seuraavasti:

missä x 3 , x 4 ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja.

1. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

1.1 Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän käsite

Yhtälöjärjestelmä on ehto, joka koostuu useiden yhtälöiden samanaikaisesta suorittamisesta useissa muuttujissa. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (jäljempänä SLAE) järjestelmä, joka sisältää m yhtälöä ja n tuntematonta, on järjestelmä, jonka muoto on:

jossa lukuja a ij kutsutaan järjestelmän kertoimiksi, luvut b i ovat vapaita jäseniä, aij ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) ovat joitain tunnettuja lukuja ja x 1 ,…, x n- tuntematon. Kertoimien merkinnöissä aij ensimmäinen indeksi i ilmaisee yhtälön numeroa ja toinen indeksi j on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on. Edellytämme luvun x n löytämistä. Tällainen järjestelmä on kätevää kirjoittaa kompaktissa matriisimuodossa: AX=B. Tässä A on järjestelmän kertoimien matriisi, jota kutsutaan päämatriisiksi;

Matriisien A * X tulo on määritelty, koska matriisissa A on yhtä monta saraketta kuin matriisissa X on rivejä (n kappaletta).

Järjestelmän laajennettu matriisi on järjestelmän matriisi A, jota on täydennetty vapaiden jäsenten sarakkeella

1.2 Lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on järjestetty joukko numeroita (muuttujien arvoja), kun ne korvataan muuttujien sijasta, jokainen järjestelmän yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Järjestelmän ratkaisu on n arvoa tuntemattomista x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, jotka korvaavat kaikki järjestelmän yhtälöt todellisiksi yhtälöiksi. Mikä tahansa järjestelmän ratkaisu voidaan kirjoittaa matriisisarakkeeksi

Yhtälöjärjestelmää kutsutaan johdonmukaiseksi, jos sillä on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaiseksi, jos sillä ei ole ratkaisuja.

Yhteistä järjestelmää kutsutaan määrätyksi, jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epämääräiseksi, jos sillä on useampi kuin yksi ratkaisu. Jälkimmäisessä tapauksessa jokaista sen ratkaisua kutsutaan järjestelmän tietyksi ratkaisuksi. Kaikkien yksittäisten ratkaisujen joukkoa kutsutaan yleisratkaisuksi.

Järjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sen selvittämistä, onko se yhteensopiva vai ei. Jos järjestelmä on johdonmukainen, etsi sen yleinen ratkaisu.

Kahta järjestelmää kutsutaan ekvivalentiksi (ekvivalentiksi), jos niillä on sama yleinen ratkaisu. Toisin sanoen järjestelmät ovat samanarvoisia, jos jokainen ratkaisu yhteen niistä on ratkaisu toiseen ja päinvastoin.

Muunnosta, jonka soveltaminen muuttaa järjestelmän uudeksi, alkuperäistä vastaavaksi järjestelmäksi, kutsutaan ekvivalentiksi tai vastaavaksi muunnokseksi. Seuraavat muunnokset voivat toimia esimerkkeinä ekvivalenteista muunnoksista: järjestelmän kahden yhtälön vaihtaminen, kahden tuntemattoman vaihtaminen yhteen kaikkien yhtälöiden kertoimilla, minkä tahansa järjestelmän yhtälön molempien osien kertominen nollasta poikkeavalla luvulla.

Lineaarista yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla:

Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska x1=x2=x3=…=xn=0 on ratkaisu järjestelmään. Tätä ratkaisua kutsutaan tyhjäksi tai triviaaliksi.

2. Gaussin eliminaatiomenetelmä

2.1 Gaussin eliminaatiomenetelmän ydin

Klassinen menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi on menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin - Gaussin menetelmä(Sitä kutsutaan myös Gaussin eliminaatiomenetelmäksi). Tämä on menetelmä muuttujien peräkkäiseen eliminointiin, kun alkeismuunnosten avulla yhtälöjärjestelmä pelkistetään porrastetun (tai kolmion) muodon vastaavaksi järjestelmäksi, josta kaikki muut muuttujat löydetään peräkkäin alkaen viimeiset (luvun mukaan) muuttujat.

Gaussin ratkaisuprosessi koostuu kahdesta vaiheesta: eteenpäin- ja taaksepäinliikkeistä.

1. Suora siirto.

Ensimmäisessä vaiheessa suoritetaan ns. suora siirto, kun rivien yli suoritettujen alkeismuunnosten avulla järjestelmä saatetaan porrastettuun tai kolmiomaiseen muotoon tai todetaan järjestelmän epäjohdonmukaisuus. Nimittäin matriisin ensimmäisen sarakkeen elementeistä valitaan nollasta poikkeava ykkönen, se siirretään rivejä permutoimalla ylimpään kohtaan ja permutoinnin jälkeen saatu ensimmäinen rivi vähennetään jäljellä olevista riveistä kertomalla se arvolla, joka on yhtä suuri kuin kunkin rivin ensimmäisen elementin suhde ensimmäisen rivin ensimmäiseen elementtiin, nollaten siten sen alapuolella olevan sarakkeen.

Kun ilmoitetut muunnokset on tehty, ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake yliviivataan ja jatketaan, kunnes jäljelle jää nollakokoinen matriisi. Jos joissakin iteraatioissa ensimmäisen sarakkeen elementtien joukosta ei löytynyt nollasta poikkeavaa ykköstä, siirry seuraavaan sarakkeeseen ja suorita samanlainen toimenpide.

Ensimmäisessä vaiheessa (eteenajo) järjestelmä pelkistetään porrastettuun (erityisesti kolmiomaiseen) muotoon.

Alla oleva järjestelmä on vaiheittainen:

Kertoimia aii kutsutaan järjestelmän tärkeimmiksi (johtaviksi) elementeiksi.

Muunnamme järjestelmän eliminoimalla tuntemattoman x1:n kaikista yhtälöistä paitsi ensimmäistä (käyttämällä järjestelmän alkeismuunnoksia). Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet luvulla

Jatkamalla tätä prosessia, saamme vastaavan järjestelmän:

Siten ensimmäisessä vaiheessa kaikki kertoimet ensimmäisen johtavan elementin a 11 alla tuhotaan

Jos järjestelmän pelkistysprosessissa vaiheittaiseen muotoon ilmaantuu nollayhtälöitä, ts. yhtälöt muotoa 0=0, ne hylätään. Jos on muodon yhtälö

Tämä täydentää Gaussin menetelmän suoran kurssin.

2. Peruutusliike.

Toisessa vaiheessa suoritetaan ns. käänteinen siirto, jonka ydin on ilmaista kaikki tuloksena olevat perusmuuttujat ei-perusmuuttujilla ja rakentaa perusratkaisujärjestelmä, tai jos kaikki muuttujat ovat perusmuuttujia, ilmaista sitten numeerisesti lineaarisen yhtälöjärjestelmän ainoa ratkaisu.

Tämä menettely alkaa viimeisestä yhtälöstä, josta vastaava perusmuuttuja ilmaistaan ​​(sissä on vain yksi) ja korvataan aiemmilla yhtälöillä ja niin edelleen "askeleita" ylöspäin.

Jokainen rivi vastaa täsmälleen yhtä perusmuuttujaa, joten jokaisessa vaiheessa, paitsi viimeinen (ylimpänä), tilanne toistaa täsmälleen viimeisen rivin tapauksen.

Huomaa: käytännössä on kätevämpää työskennellä ei järjestelmän kanssa, vaan sen laajennetun matriisin kanssa suorittamalla kaikki alkeismuunnokset sen riveillä. On kätevää, että kerroin a11 on yhtä suuri kuin 1 (järjestä yhtälöt uudelleen tai jaa yhtälön molemmat puolet a11:llä).

2.2 Esimerkkejä SLAE:n ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Tässä osiossa kolmella eri esimerkillä näytämme kuinka Gaussin menetelmää voidaan käyttää SLAE:n ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Ratkaise kolmannen asteen SLAE.

Aseta kertoimet nollaan klo

Jatkamme lineaaristen yhtälöjärjestelmien tarkastelua. Tämä oppitunti on aiheesta kolmas. Jos sinulla on epämääräinen käsitys siitä, mitä lineaarinen yhtälöjärjestelmä yleensä on, tunnet olosi teekannuksi, suosittelen aloittamaan perusasioista Seuraavalla sivulla, on hyödyllistä tutkia oppitunti.

Gaussin menetelmä on helppo! Miksi? Kuuluisa saksalainen matemaatikko Johann Carl Friedrich Gauss sai elämänsä aikana tunnustuksen kaikkien aikojen suurimmaksi matemaatikoksi, neroksi ja jopa lempinimen "Matematiikan kuningas". Ja kaikki nerokas, kuten tiedät, on yksinkertaista! Muuten, rahojen sisään ei pääse vain tikkarit, vaan myös nerot - Gaussin muotokuva leijui 10 Saksan markan setelissä (ennen euron käyttöönottoa), ja Gauss hymyilee edelleen mystisesti saksalaisille tavallisista postimerkeistä.

Gaussin menetelmä on yksinkertainen siinä mielessä, että sen hallitsemiseen RIITTÄVÄN VIIDES LUOKKAAN OPPILAIDEN TIETO. Pitää osata lisätä ja kertoa! Ei ole sattumaa, että opettajat harkitsevat usein koulun matematiikan valinnaisaineiden peräkkäistä tuntemattomien poistamista. Se on paradoksi, mutta Gaussin menetelmä aiheuttaa eniten vaikeuksia opiskelijoille. Ei mitään yllättävää - kyse on tekniikasta, ja yritän kertoa helposti saatavilla olevassa muodossa menetelmän algoritmista.

Ensin systematisoidaan hieman tietoa lineaarisista yhtälöjärjestelmistä. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu. 2) On äärettömän monta ratkaisua. 3) Ei ratkaisuja (ol yhteensopimaton).

Gaussin menetelmä on tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisun löytämiseen minkä tahansa lineaariset yhtälöt. Kuten muistamme Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Tällä oppitunnilla tarkastelemme jälleen Gaussin menetelmää tapaukselle nro 1 (ainoa ratkaisu järjestelmään), artikkeli on varattu kohtien nro 2-3 tilanteisiin. Huomaan, että menetelmäalgoritmi itsessään toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa.

Palataan oppitunnin yksinkertaisimpaan järjestelmään Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä? ja ratkaista se Gaussin menetelmällä.

Ensimmäinen askel on kirjoittaa laajennettu matriisijärjestelmä: . Millä periaatteella kertoimet kirjataan, luulen kaikkien näkevän. Pystyviivalla matriisin sisällä ei ole matemaattista merkitystä - se on vain yliviivaus suunnittelun helpottamiseksi.

Viite : Suosittelen muistamaan ehdot lineaarialgebra. Järjestelmämatriisi on matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista, tässä esimerkissä järjestelmän matriisi: . Laajennettu järjestelmämatriisi on sama järjestelmän matriisi plus vapaiden jäsenten sarake, tässä tapauksessa: . Mitä tahansa matriiseista voidaan kutsua yksinkertaisesti matriisiksi lyhyyden vuoksi.

Kun järjestelmän laajennettu matriisi on kirjoitettu, sen kanssa on suoritettava joitain toimintoja, joita myös kutsutaan alkeellisia muunnoksia.

Siellä on seuraavat perusmuunnokset:

1) jouset matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa. Esimerkiksi tarkasteltavana olevassa matriisissa voit järjestää ensimmäisen ja toisen rivin turvallisesti uudelleen:

2) Jos matriisissa on (tai ilmestyi) suhteellisia (erikoistapauksena - identtisiä) rivejä, siitä seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä matriisissa kolme viimeistä riviä ovat verrannollisia, joten riittää, että jätät vain yhden niistä: .

3) Jos matriisiin ilmestyi muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa. En tietenkään piirrä, nollaviiva on se viiva, jossa vain nollia.

4) Matriisin rivi voi olla kertoa (jakaa) mille tahansa numerolle ei-nolla. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä on suositeltavaa jakaa ensimmäinen rivi -3:lla ja kertoa toinen rivi 2:lla: . Tämä toiminto on erittäin hyödyllinen, koska se yksinkertaistaa matriisin lisämuunnoksia.

5) Tämä muunnos aiheuttaa eniten vaikeuksia, mutta todellisuudessa ei myöskään ole mitään monimutkaista. Matriisin riville voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta. Tarkastellaan matriisiamme käytännön esimerkistä: . Ensin kuvailen muodonmuutosta yksityiskohtaisesti. Kerro ensimmäinen rivi -2:lla: , ja toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla: . Nyt ensimmäinen rivi voidaan jakaa "takaisin" -2:lla: . Kuten näet, rivi, joka on LISÄTTY LI – ei ole muuttunut. On aina rivi muuttuu, JOIHIN LISÄTTY UT.

Käytännössä he eivät tietenkään maalaa niin yksityiskohtaisesti, mutta kirjoittavat lyhyemmin: Vielä kerran: toiselle riville lisäsi ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Rivi kerrotaan yleensä suullisesti tai luonnoksessa, kun taas laskelmien mentaalinen kulku on jotain tällaista:

"Kirjoitan matriisin uudelleen ja kirjoitan ensimmäisen rivin uudelleen: »

Ensimmäinen sarake ensin. Alla minun täytyy saada nolla. Siksi kerron yllä olevan yksikön -2:lla ja lisään ensimmäisen toiselle riville: 2 + (-2) = 0. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Nyt toinen sarake. Yli -1 kertaa -2: . Lisään ensimmäisen toiselle riville: 1 + 2 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Ja kolmas sarake. Yli -5 kertaa -2: . Lisään ensimmäisen rivin toiselle riville: -7 + 10 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

Mieti tarkkaan tätä esimerkkiä ja ymmärrä peräkkäisen laskenta-algoritmi, jos ymmärrät tämän, niin Gaussin menetelmä on käytännössä "taskussasi". Mutta luonnollisesti työskentelemme edelleen tämän muutoksen parissa.

Elementaarimuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua

! HUOMIO: harkittuja manipulaatioita ei voi käyttää, jos sinulle tarjotaan tehtävää, jossa matriisit annetaan "itse". Esimerkiksi "klassisella" matriisejaÄlä missään tapauksessa saa järjestää mitään uudelleen matriisien sisällä! Palataan järjestelmäämme. Hän on käytännössä murtunut palasiksi.

Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja pelkistetään se alkeismuunnoksilla porrastettu näkymä:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ja vielä: miksi kerromme ensimmäisen rivin -2:lla? Saadakseen nollan alareunaan, mikä tarkoittaa eroon yhdestä muuttujasta toisella rivillä.

(2) Jaa toinen rivi kolmella.

Alkuainemuunnosten tarkoitus – muunna matriisi askelmuotoon: . Tehtävän suunnittelussa he piirtävät "tikkaat" suoraan yksinkertaisella kynällä ja ympyröivät myös "portailla" olevat numerot. Termi "askelmainen näkymä" itsessään ei ole täysin teoreettinen, vaan tieteellisessä ja opetuskirjallisuudessa sitä kutsutaan usein ns. puolisuunnikkaan muotoinen näkymä tai kolmion muotoinen näkymä.

Alkuainemuunnosten tuloksena olemme saaneet vastaava alkuperäinen yhtälöjärjestelmä:

Nyt järjestelmä on "kierrettävä" vastakkaiseen suuntaan - alhaalta ylöspäin, tätä prosessia kutsutaan käänteinen Gaussin menetelmä.

Alemmassa yhtälössä meillä on jo valmis tulos: .

Tarkastellaan järjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja korvataan siihen jo tunnettu "y":n arvo:

Tarkastellaan yleisintä tilannetta, jossa kolmen tuntemattoman lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseen tarvitaan Gaussin menetelmä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Kirjoitamme järjestelmän lisätyn matriisin:

Piirrän nyt heti tuloksen, johon tulemme ratkaisun aikana: Ja toistan, tavoitteemme on saattaa matriisi porrastettuun muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Mistä alkaa toimia?

Katso ensin vasemmassa yläkulmassa olevaa numeroa: Pitäisi olla melkein aina täällä yksikkö. Yleisesti ottaen myös -1 (ja joskus muutkin luvut) sopivat, mutta jotenkin perinteisesti on käynyt niin, että sinne yleensä sijoitetaan yksikkö. Kuinka organisoida yksikkö? Katsomme ensimmäistä saraketta - meillä on valmis yksikkö! Muunnos yksi: vaihda ensimmäinen ja kolmas rivi:

Nyt ensimmäinen rivi pysyy muuttumattomana ratkaisun loppuun asti. Nyt hyvin.

Vasemmassa yläkulmassa oleva yksikkö on järjestetty. Nyt sinun on saatava nollia näissä paikoissa:

Nollat ​​saadaan vain "vaikean" muunnoksen avulla. Ensin käsittelemme toista riviä (2, -1, 3, 13). Mitä pitää tehdä nollan saamiseksi ensimmäiselle sijalle? Tarve lisää toiselle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -2:lla. Henkisesti tai luonnoksessa kerromme ensimmäisen rivin -2:lla: (-2, -4, 2, -18). Ja teemme jatkuvasti (taas henkisesti tai luonnoksessa) lisäystä, toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin, joka on jo kerrottu -2:lla:

Tulos kirjoitetaan toiselle riville:

Samoin käsittelemme kolmatta riviä (3, 2, -5, -1). Jotta saat nollan ensimmäiselle paikalle, sinun on lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Henkisesti tai luonnoksessa kerromme ensimmäisen rivin -3:lla: (-3, -6, 3, -27). Ja kolmanteen riviin lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla:

Tulos kirjoitetaan kolmannelle riville:

Käytännössä nämä toimet suoritetaan yleensä suullisesti ja kirjataan ylös yhdessä vaiheessa:

Kaikkea ei tarvitse laskea kerralla ja samaan aikaan. Laskelmien järjestys ja tulosten "lisääminen". johdonmukainen ja yleensä näin: kirjoitamme ensin ensimmäisen rivin uudelleen ja puhaltelemme hiljaa - JOHDONMUKAISESTI ja HUOLELLISESTI:
Ja olen jo tarkastellut itse laskelmien henkistä kulkua yllä.

Tässä esimerkissä tämä on helppo tehdä, jaamme toisen rivin -5:llä (koska kaikki luvut ovat jaollisia 5:llä ilman jäännöstä). Samanaikaisesti jaamme kolmannen rivin -2:lla, koska mitä pienempi numero, sitä yksinkertaisempi ratkaisu:

Alkeismuunnosten viimeisessä vaiheessa tässä on hankittava yksi nolla lisää:

Tätä varten kolmanteen riviin lisäämme toisen rivin kerrottuna -2:lla:
Yritä jäsentää tämä toiminto itse - kerro henkisesti toinen rivi -2:lla ja suorita yhteenlasku.

Viimeinen suoritettu toimenpide on tuloksen kampaus, jaa kolmas rivi 3:lla.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin ekvivalentti alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä: Viileä.

Nyt tulee esiin Gaussin menetelmän käänteinen kulku. Yhtälöt "purkautuvat" alhaalta ylöspäin.

Kolmannessa yhtälössä meillä on jo lopullinen tulos:

Katsotaanpa toista yhtälöä: . "z":n merkitys on jo tiedossa, joten:

Ja lopuksi ensimmäinen yhtälö: . "Y" ja "Z" tunnetaan, tapaus on pieni:

Vastaus:

Kuten on toistuvasti todettu, missä tahansa yhtälöjärjestelmässä on mahdollista ja välttämätöntä tarkistaa löydetty ratkaisu, onneksi tämä ei ole vaikeaa ja nopeaa.

Esimerkki 2

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, näyte viimeistelystä ja vastaus oppitunnin lopussa.

On huomattava, että sinun toimintatapa ei ehkä ole sama kuin toimintani, ja tämä on Gaussin menetelmän ominaisuus. Mutta vastausten on oltava samat!

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tein tämän: (1) Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Eli kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Jokainen, joka haluaa saada +1:n, voi suorittaa lisäeleen: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen merkkiä).

(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(3) Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askeleessa meillä oli haluttu yksikkö.

(4) Toinen rivi kerrottuna 2:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(5) Kolmas rivi jaettiin kolmella.

Huono merkki, joka osoittaa laskentavirheen (harvemmin kirjoitusvirheen), on "huono" tulos. Eli jos saamme jotain alla olevan kaltaista ja vastaavasti , niin suurella todennäköisyydellä voidaan väittää, että alkeismuunnosten aikana on tapahtunut virhe.

Veloitamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Käänteinen liike, muistutan teitä, toimii alhaalta ylöspäin. Kyllä, tässä on lahja:

Vastaus: .

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, se on hieman monimutkaisempi. Ei haittaa, jos joku on hämmentynyt. Koko ratkaisu ja malliesimerkki oppitunnin lopussa. Ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani.

Viimeisessä osassa tarkastellaan joitain Gauss-algoritmin ominaisuuksia. Ensimmäinen ominaisuus on, että joskus järjestelmän yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esimerkiksi: Kuinka kirjoittaa oikein järjestelmän lisätty matriisi? Puhuin tästä hetkestä jo oppitunnilla. Cramerin sääntö. Matriisimenetelmä. Järjestelmän laajennetussa matriisissa laitetaan nollia puuttuvien muuttujien tilalle: Muuten, tämä on melko helppo esimerkki, koska ensimmäisessä sarakkeessa on jo yksi nolla ja suoritettavaa alkeismuunnoksia on vähemmän.

Toinen ominaisuus on tämä. Kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä sijoitimme joko -1 tai +1 "askeleen". Voiko muita numeroita olla? Joissakin tapauksissa voivat. Harkitse järjestelmää: .

Tässä vasemmassa yläkulmassa "askel" meillä on kakkonen. Mutta huomaamme tosiasian, että kaikki ensimmäisen sarakkeen luvut ovat jaollisia kahdella ilman jäännöstä - ja vielä kahdella ja kuudella. Ja vasemman yläkulman kakkonen sopii meille! Ensimmäisessä vaiheessa sinun on suoritettava seuraavat muunnokset: lisää ensimmäinen rivi kerrottuna -1:llä toiselle riville; lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Siten saamme halutut nollat ​​ensimmäiseen sarakkeeseen.

Tai toinen hypoteettinen esimerkki: . Täällä myös toisen "asteikon" kolmio sopii meille, koska 12 (paikka, josta meidän on saatava nolla) on jaollinen 3:lla ilman jäännöstä. On tarpeen suorittaa seuraava muunnos: kolmanteen riviin lisätään toinen rivi kerrottuna -4:llä, minkä seurauksena tarvitsemme nolla.

Gaussin menetelmä on universaali, mutta siinä on yksi erikoisuus. Voit itsevarmasti oppia ratkaisemaan järjestelmiä muilla menetelmillä (Cramerin menetelmä, matriisimenetelmä) kirjaimellisesti ensimmäisestä kerrasta lähtien - siinä on erittäin jäykkä algoritmi. Mutta tunteaksesi itsevarmaksi Gauss-menetelmässä, sinun tulee "täytä kätesi" ja ratkaista vähintään 5-10 kymmenen järjestelmää. Siksi aluksi voi olla sekaannusta, virheitä laskelmissa, eikä tässä ole mitään epätavallista tai traagista.

Sateinen syyssää ikkunan ulkopuolella .... Siksi kaikille monimutkaisempi esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 5

Ratkaise 4 lineaarisen yhtälön järjestelmä neljällä tuntemattomalla Gaussin menetelmällä.

Tällainen tehtävä ei käytännössä ole niin harvinainen. Uskon, että jopa teekannu, joka on tutkinut tämän sivun yksityiskohtaisesti, ymmärtää algoritmin tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi intuitiivisesti. Pohjimmiltaan sama - vain enemmän toimintaa.

Oppitunnilla tarkastellaan tapauksia, joissa järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukaisia) tai ratkaisuja on äärettömän monta. Yhteensopimattomat järjestelmät ja järjestelmät, joissa on yhteinen ratkaisu. Siellä voit korjata Gaussin menetelmän tarkasteltavan algoritmin.

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Ratkaisu : Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon.
Suoritetut alkeismuunnokset: (1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä. Huomio! Tässä saattaa olla houkuttelevaa vähentää ensimmäinen kolmannesta rivistä, en suosittele vähentämistä - virheriski kasvaa huomattavasti. Me vain kippaamme! (2) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Toinen ja kolmas rivi on vaihdettu. merkintä että "askelissa" olemme tyytyväisiä paitsi yhteen, myös -1:een, mikä on vielä kätevämpää. (3) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 5:llä. (4) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Kolmas rivi jaettiin 14:llä.

Käänteinen liike:

Vastaus : .

Esimerkki 4: Ratkaisu : Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Suoritetut konversiot: (1) Toinen rivi lisättiin ensimmäiselle riville. Siten haluttu yksikkö on järjestetty vasemman yläkulman "askeleen". (2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 7:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 6:lla lisättiin kolmanteen riviin.

Toisessa "vaiheessa" kaikki on pahempaa , sen "ehdokkaat" ovat numerot 17 ja 23, ja tarvitsemme joko yhden tai -1. Muunnoksilla (3) ja (4) pyritään saamaan haluttu yksikkö (3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä. (4) Kolmas rivi kerrottuna -3:lla lisättiin toiselle riville. Tarvittava asia toisessa vaiheessa vastaanotetaan . (5) Kolmannelle riville lisätään toinen, kerrottuna 6:lla. (6) Toinen rivi kerrottiin -1:llä, kolmas rivi jaettiin -83:lla.

Käänteinen liike:

Vastaus :

Esimerkki 5: Ratkaisu : Kirjataan ylös järjestelmän matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Suoritetut konversiot: (1) Ensimmäinen ja toinen rivi on vaihdettu. (2) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin neljännelle riville kerrottuna -3:lla. (3) Toinen rivi kerrottuna 4:llä lisättiin kolmanteen riviin ja toinen rivi kerrottuna -1:llä lisättiin neljännelle riville. (4) Toisen rivin merkki on muutettu. Neljäs rivi jaettiin kolmella ja sijoitettiin kolmannen rivin sijaan. (5) Kolmas rivi lisättiin neljännelle riville kerrottuna -5:llä.

Käänteinen liike:

Vastaus :