Oppitunnin yhteenveto "Suoraviivainen ja kaareva liike. RD-kappale ympyrässä"

Tiedät hyvin, että liike jakautuu liikeradan muodosta riippuen suoraviivainen ja kaareva. Opimme työskentelemään suoraviivaisen liikkeen kanssa aiemmilla tunneilla, nimittäin ratkaisemaan tämän tyyppisen liikkeen mekaniikan pääongelma.

On kuitenkin selvää, että todellisessa maailmassa on useimmiten kyse kaarevasta liikkeestä, kun liikerata on kaareva viiva. Esimerkkejä tällaisesta liikkeestä ovat horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kehon liikerata, Maan liike Auringon ympäri ja jopa silmiesi liikerata, jotka nyt seuraavat tätä abstraktia.

Tämä oppitunti on omistettu kysymykselle, kuinka mekaniikan pääongelma ratkaistaan kaarevan liikkeen tapauksessa.

Aluksi selvitetään, mitä perustavanlaatuisia eroja kaarevalla liikkeellä (kuva 1) on suhteessa suoraviivaiseen ja mihin nämä erot johtavat.

Riisi. 1. Kaarevalinjaisen liikkeen liikerata

Puhutaan siitä, kuinka on kätevää kuvata kehon liikettä kaarevan liikkeen aikana.

Voit jakaa liikkeen erillisiin osiin, joissa jokaisessa liikettä voidaan pitää suoraviivaisena (kuva 2).

Riisi. 2. Kaarevan liikkeen jakaminen suoraviivaisen liikkeen segmenteiksi

Seuraava lähestymistapa on kuitenkin kätevämpi. Esitämme tämän liikkeen sarjana useita liikkeitä pitkin ympyräkaareja (kuva 3). Huomaa, että tällaisia osioita on vähemmän kuin edellisessä tapauksessa, lisäksi liike ympyrää pitkin on kaarevaa. Lisäksi esimerkit ympyrässä liikkumisesta luonnossa ovat hyvin yleisiä. Tästä voimme päätellä:

Kaarevalinjaisen liikkeen kuvaamiseksi on opittava kuvaamaan liikettä ympyrässä ja sitten esitettävä mielivaltainen liike joukkona liikkeitä pitkin ympyrän kaaria.

Riisi. 3. Kaarevalinjaisen liikkeen jakaminen ympyrän kaarien mukaisiksi liikkeiksi

Joten aloitetaan kaarevan liikkeen tutkimus yhtenäisen liikkeen tutkimuksella ympyrässä. Katsotaanpa, mitkä ovat perustavanlaatuiset erot kaarevan ja suoraviivaisen liikkeen välillä. Aluksi muistetaan, että yhdeksännellä luokalla tutkimme sitä, että kappaleen nopeus liikkuessaan ympyrää pitkin suuntautuu tangentiaalisesti lentoradalle (kuva 4). Voit muuten havaita tämän tosiasian käytännössä, jos katsot kuinka kipinät liikkuvat hiomakiveä käytettäessä.

Tarkastellaan kappaleen liikettä ympyräkaaren mukaisesti (kuva 5).

Riisi. 5. Kehon nopeus ympyrässä liikkuessa

Huomaa, että tässä tapauksessa kehon nopeuden moduuli pisteessä on yhtä suuri kuin kehon nopeuden moduuli pisteessä:

Vektori ei kuitenkaan ole sama kuin vektori . Joten meillä on nopeuserovektori (kuva 6):

Riisi. 6. Nopeuserovektori

Lisäksi nopeuden muutos tapahtui hetken kuluttua. Siten saamme tutun yhdistelmän:

Tämä ei ole muuta kuin nopeuden muutos tietyn ajan kuluessa tai kehon kiihtyvyys. Voimme tehdä erittäin tärkeän johtopäätöksen:

Liike kaarevaa polkua pitkin kiihtyy. Tämän kiihtyvyyden luonne on jatkuva muutos nopeusvektorin suunnassa.

Jälleen kerran todetaan, että vaikka sanottaisiinkin, että kappale liikkuu tasaisesti ympyrässä, se tarkoittaa, että kehon nopeusmoduuli ei muutu. Tällainen liike kuitenkin kiihtyy aina, koska nopeuden suunta muuttuu.

Yhdeksännellä luokalla opit, mitä tämä kiihtyvyys on ja miten se suunnataan (kuva 7). Keskisuuntainen kiihtyvyys on aina suunnattu sen ympyrän keskustaan, jota pitkin keho liikkuu.

Riisi. 7. Keskipistekiihtyvyys

Keskipetaalinen kiihtyvyysmoduuli voidaan laskea kaavalla:

Siirrymme kuvaukseen kehon yhtenäisestä liikkeestä ympyrässä. Sovitaan, että nopeutta, jota käytit kuvaillessasi translaatioliikettä, kutsutaan nyt lineaariseksi nopeudeksi. Ja lineaarisella nopeudella ymmärrämme hetkellisen nopeuden pyörivän kappaleen liikeradan pisteessä.

Riisi. 8. Levypisteiden liike

Harkitse levyä, joka varmuuden vuoksi pyörii myötäpäivään. Merkitsemme sen säteelle kaksi pistettä ja (kuva 8). Harkitse heidän liikettä. Jonkin aikaa nämä pisteet liikkuvat ympyrän kaaria pitkin ja niistä tulee pisteitä ja . Ilmeisestipiste on liikkunut enemmän kuin piste . Tästä voidaan päätellä, että mitä kauempana piste on pyörimisakselista, sitä suuremmalla lineaarisella nopeudella se liikkuu.

Kuitenkin, jos tarkastelemme tarkasti pisteitä ja , voimme sanoa, että kulma, jolla ne kääntyivät suhteessa pyörimisakseliin, pysyi muuttumattomana. Käytämme kulmaominaisuuksia kuvaamaan liikettä ympyrässä. Huomaa, että kuvaamaan ympyrän liikettä voimme käyttää kulma ominaisuudet.

Aloitetaan ympyrän liikkeen tarkastelu yksinkertaisimmalla tapauksella - tasaisella liikkeellä ympyrässä. Muista, että tasainen translaatioliike on liike, jossa keho tekee samat siirtymät millä tahansa yhtä pitkällä aikavälillä. Analogisesti voimme antaa määritelmän tasaiselle liikkeelle ympyrässä.

Tasainen liike ympyrässä on liikettä, jossa kappale pyörii samojen kulmien läpi minkä tahansa yhtäjaksoisen ajan.

Samoin kuin lineaarisen nopeuden käsite, otetaan käyttöön kulmanopeuden käsite.

Tasaisen liikkeen kulmanopeus ( kutsutaan fysikaaliseksi suureksi, joka on yhtä suuri kuin kappaleen kääntymiskulman suhde aikaan, jonka aikana tämä käännös tapahtui.

Fysiikassa kulman radiaanimitta käytetään yleisimmin. Esimerkiksi kulma at on yhtä suuri kuin radiaanit. Kulmanopeus mitataan radiaaneina sekunnissa:

Etsitään pisteen kulmanopeuden ja tämän pisteen lineaarinopeuden välinen suhde.

Riisi. 9. Kulma- ja lineaarinopeuden välinen suhde

Piste kulkee pyörimisen aikana pituisen kaaren ja kääntyy kulman läpi. Kulman radiaanimitan määritelmästä voimme kirjoittaa:

Jaetaan yhtälön vasen ja oikea osa aikavälillä , jolle liike tehtiin, sitten käytetään kulma- ja lineaarinopeuksien määritelmää:

Huomaa, että mitä kauempana piste on pyörimisakselista, sitä suurempi on sen lineaarinen nopeus. Ja pyörimisakselilla sijaitsevat pisteet ovat kiinteitä. Esimerkki tästä on karuselli: mitä lähempänä olet karusellin keskustaa, sitä helpompi sinun on pysyä siinä.

Tätä lineaaristen ja kulmanopeuksien riippuvuutta käytetään geostationaarisissa satelliiteissa (satelliiteissa, jotka ovat aina saman pisteen yläpuolella maan pinnalla). Tällaisten satelliittien ansiosta pystymme vastaanottamaan televisiosignaaleja.

Muista, että aiemmin otimme käyttöön jakson ja kiertotaajuuden käsitteet.

Pyörimisjakso on yhden täydellisen kierroksen aika. Pyörimisjakso on merkitty kirjaimella ja se mitataan sekunteina SI:nä:

Pyörimistaajuus on fysikaalinen suure, joka on yhtä suuri kuin kehon tekemien kierrosten lukumäärä aikayksikköä kohti.

Taajuus ilmaistaan kirjaimella ja mitataan käänteissekunteina:

Ne liittyvät:

Kehon kulmanopeuden ja pyörimistaajuuden välillä on suhde. Jos muistamme, että täysi kierros on , on helppo nähdä, että kulmanopeus on:

Korvaamalla nämä lausekkeet kulma- ja lineaarinopeuden väliseen riippuvuuteen, saadaan lineaarisen nopeuden riippuvuus jaksosta tai taajuudesta:

Kirjataan myös ylös keskikiihtyvyyden ja näiden suureiden välinen suhde:

Näin ollen tiedämme ympyrän tasaisen liikkeen kaikkien ominaisuuksien välisen suhteen.

Tehdään yhteenveto. Tällä oppitunnilla aloimme kuvata kaarevaa liikettä. Ymmärsimme kuinka kaareva liike yhdistetään ympyräliikkeeseen. Ympyräliikettä kiihdytetään aina, ja kiihtyvyyden olemassaolo aiheuttaa sen, että nopeus muuttaa aina suuntaaan. Tällaista kiihtyvyyttä kutsutaan keskipisteiseksi. Lopuksi muistimme joitain ympyrän liikkeen ominaisuuksia (lineaarinopeus, kulmanopeus, pyörimisjakso ja -taajuus) ja löysimme niiden välisen suhteen.

Bibliografia

G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fysiikka 10. - M .: Koulutus, 2008.
A.P. Rymkevitš. Fysiikka. Ongelmakirja 10-11. - M.: Bustard, 2006.
O.Ya. Savtšenko. Ongelmia fysiikassa. - M.: Nauka, 1988.
A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. Fysiikan kurssi. T. 1. - M .: Tila. oh.-ped. toim. min. RSFSR:n koulutus, 1957.

Ayp.ru ().
Wikipedia ().

Kotitehtävät

Ratkaisemalla tämän oppitunnin tehtävät pystyt valmistautumaan GIA:n kysymyksiin 1 ja yhtenäisen valtiokokeen kysymyksiin A1, A2.

Tehtävät 92, 94, 98, 106, 110 - la. tehtävät A.P. Rymkevich, toim. kymmenen
Laske kellon minuutti-, sekunti- ja tuntiosoittimien kulmanopeus. Laske näiden nuolien kärkiin vaikuttava keskipetaalinen kiihtyvyys, jos kunkin säde on yksi metri.

Tämän oppitunnin avulla voit opiskella itsenäisesti aihetta "Suoraviivainen ja kaareva liike. Kappaleen liike ympyrässä vakiomoduulinopeudella. Ensin karakterisoidaan suoraviivaista ja kaarevaa liikettä pohtimalla, kuinka nopeusvektori ja kehoon kohdistettu voima liittyvät toisiinsa tämäntyyppisissä liikkeessä. Seuraavaksi tarkastellaan erikoistapausta, jossa kappale liikkuu ympyrää pitkin vakiomoduulinopeudella.

Edellisellä oppitunnilla pohdimme yleismaailmallisen gravitaatiolakiin liittyviä kysymyksiä. Tämän päivän oppitunnin aihe liittyy läheisesti tähän lakiin, siirrymme kehon yhtenäiseen liikkeeseen ympyrässä.

Aiemmin sanoimme sen liikenne - tämä on muutos kehon sijainnissa avaruudessa suhteessa muihin kappaleisiin ajan myötä. Liikkeelle ja liikesuunnalle on ominaista muun muassa nopeus. Nopeuden muutos ja itse liikkeen tyyppi liittyvät voiman toimintaan. Jos voima vaikuttaa kehoon, keho muuttaa nopeuttaan.

Jos voima suunnataan samansuuntaisesti kehon liikkeen kanssa, sellainen liike on suoraviivaista(Kuva 1).

Riisi. 1. Suoraviivainen liike

kaareva tällainen liike tapahtuu, kun kappaleen nopeus ja tähän kappaleeseen kohdistuva voima suunnataan suhteessa toisiinsa tietyssä kulmassa (kuva 2). Tässä tapauksessa nopeus muuttaa suuntaa.

Riisi. 2. Kaareva liike

Joten, klo suoraviivaista liikettä nopeusvektori on suunnattu samaan suuntaan kuin kehoon kohdistettu voima. MUTTA kaareva liike on sellainen liike, kun nopeusvektori ja kehoon kohdistettu voima sijaitsevat jossain kulmassa toisiinsa nähden.

Tarkastellaan kaarevan liikkeen erikoistapausta, kun kappale liikkuu ympyrässä vakionopeudella absoluuttisesti mitattuna. Kun kappale liikkuu ympyrässä vakionopeudella, vain nopeuden suunta muuttuu. Modulo se pysyy vakiona, mutta nopeuden suunta muuttuu. Tällainen nopeuden muutos johtaa kiihtyvyyden esiintymiseen kehossa, jota kutsutaan keskipitkän.

Riisi. 6. Liikkuminen kaarevaa polkua pitkin

Jos kehon liikerata on käyrä, se voidaan esittää joukona liikkeitä pitkin ympyränkaareja, kuten kuvassa 10 on esitetty. 6.

Kuvassa Kuva 7 näyttää kuinka nopeusvektorin suunta muuttuu. Nopeus tällaisen liikkeen aikana on suunnattu tangentiaalisesti ympyrään, jonka kaarta pitkin kappale liikkuu. Siksi sen suunta muuttuu jatkuvasti. Vaikka modulonopeus pysyy vakiona, nopeuden muutos johtaa kiihtyvyyteen:

Tässä tapauksessa kiihtyvyys suunnataan kohti ympyrän keskustaa. Siksi sitä kutsutaan keskipitkäksi.

Miksi keskikiihtyvyys on suunnattu keskustaan?

Muista, että jos kappale liikkuu kaarevaa polkua pitkin, sen nopeus on tangentiaalinen. Nopeus on vektorisuure. Vektorilla on numeerinen arvo ja suunta. Nopeus kehon liikkuessa muuttaa jatkuvasti suuntaansa. Eli nopeuksien ero eri ajankohtina ei ole yhtä suuri kuin nolla (), toisin kuin suoraviivaisessa tasaisessa liikkeessä.

Meillä on siis muutos nopeudessa tietyn ajan kuluessa. Suhde on kiihtyvyys. Tulemme siihen johtopäätökseen, että vaikka nopeus ei itseisarvossa muuttuisi, kappaleella, joka suorittaa tasaista liikettä ympyrässä, on kiihtyvyys.

Mihin tämä kiihtyvyys on suunnattu? Harkitse kuviota. 3. Jotkin kappaleet liikkuvat kaarevasti (kaari). Kappaleen nopeus pisteissä 1 ja 2 on tangentiaalinen. Kappale liikkuu tasaisesti, eli nopeuksien moduulit ovat yhtä suuret: , mutta nopeuksien suunnat eivät ole samat.

Riisi. 3. Kehon liike ympyrässä

Vähennä nopeus luvusta ja hanki vektori . Tätä varten sinun on yhdistettävä molempien vektorien alku. Samanaikaisesti siirrämme vektoria vektorin alkuun. Rakennamme kolmion. Kolmion kolmas sivu on nopeuserovektori (kuva 4).

Riisi. 4. Nopeuserovektori

Vektori on suunnattu ympyrää kohti.

Tarkastellaan nopeusvektorien ja erovektorin muodostamaa kolmiota (kuva 5).

Riisi. 5. Nopeusvektorien muodostama kolmio

Tämä kolmio on tasakylkinen (nopeusmoduulit ovat yhtä suuret). Joten kulmat pohjassa ovat yhtä suuret. Kirjoitetaan yhtälö kolmion kulmien summalle:

Selvitä, mihin kiihtyvyys suuntautuu liikeradan tietyssä pisteessä. Tätä varten alamme tuoda pistettä 2 lähemmäksi pistettä 1. Tällaisella rajoittamattomalla huolellisuudella kulma pyrkii olemaan 0 ja kulma - kohtaan. Nopeudenmuutosvektorin ja itse nopeusvektorin välinen kulma on . Nopeus on suunnattu tangentiaalisesti ja nopeudenmuutosvektori on suunnattu kohti ympyrän keskustaa. Tämä tarkoittaa, että myös kiihtyvyys on suunnattu kohti ympyrän keskustaa. Siksi tätä kiihtyvyyttä kutsutaan keskipitkän.

Kuinka löytää keskipetaalinen kiihtyvyys?

Harkitse liikerataa, jota pitkin keho liikkuu. Tässä tapauksessa tämä on ympyrän kaari (kuva 8).

Riisi. 8. Kehon liike ympyrässä

Kuvassa on kaksi kolmiota: nopeuksien muodostama kolmio ja säteiden ja siirtymävektorin muodostama kolmio. Jos pisteet 1 ja 2 ovat hyvin lähellä, niin siirtymävektori on sama kuin polkuvektori. Molemmat kolmiot ovat tasakylkisiä, joilla on samat kärkikulmat. Joten kolmiot ovat samanlaisia. Tämä tarkoittaa, että kolmioiden vastaavat sivut ovat samassa suhteessa:

Siirtymä on yhtä suuri kuin nopeuden ja ajan tulo: . Korvaamalla tämän kaavan saat seuraavan lausekkeen keskikiihtyvyydelle:

Kulmanopeus merkitty kreikkalaisella kirjaimella omega (ω), se osoittaa, missä kulmassa keho pyörii aikayksikköä kohti (kuva 9). Tämä on kaaren suuruus asteina, jonka keho kulkee jonkin ajan kuluessa.

Riisi. 9. Kulmanopeus

Huomaa, että jos jäykkä kappale pyörii, tämän kappaleen minkä tahansa pisteen kulmanopeus on vakioarvo. Piste on lähempänä kiertokeskusta tai kauempana - sillä ei ole väliä, eli se ei riipu säteestä.

Mittayksikkö on tässä tapauksessa joko astetta sekunnissa () tai radiaania sekunnissa (). Usein sanaa "radiaani" ei kirjoiteta, vaan yksinkertaisesti kirjoitetaan. Selvitetään esimerkiksi mikä on Maan kulmanopeus. Maa tekee täyden kierroksen yhdessä tunnissa, ja tässä tapauksessa voimme sanoa, että kulmanopeus on yhtä suuri:

Kiinnitä myös huomiota kulma- ja lineaarinopeuksien väliseen suhteeseen:

Lineaarinen nopeus on suoraan verrannollinen säteeseen. Mitä suurempi säde, sitä suurempi on lineaarinen nopeus. Siten siirtyessämme pois kiertokeskipisteestä lisäämme lineaarista nopeuttamme.

On huomattava, että liike ympyrässä vakionopeudella on liikkeen erikoistapaus. Pyöreä liike voi kuitenkin olla myös epätasaista. Nopeus voi muuttua paitsi suunnassa ja pysyä samana absoluuttisesti, myös muuttua arvossaan, eli suunnanmuutoksen lisäksi myös nopeusmoduulissa on muutos. Tässä tapauksessa puhumme niin sanotusta kiihdytetystä ympyräliikkeestä.

Mikä on radiaani?

Kulmien mittaamiseen on kaksi yksikköä: asteet ja radiaanit. Fysiikassa kulman radiaanimitta on pääsääntöisesti tärkein.

Muodostetaan keskikulma , joka perustuu pituuteen .

Liikeradan muodosta riippuen liike voidaan jakaa suoraviivaiseen ja kaarevaan. Useimmiten kohtaat kaarevia liikkeitä, kun polku esitetään käyränä. Esimerkki tämäntyyppisestä liikkeestä on horisonttiin nähden kulmaan heitetyn kappaleen polku, Maan liike Auringon, planeettojen ja niin edelleen.

Kuva 1. Liikerata ja siirtymä käyräviivaisessa liikkeessä

Määritelmä 1

Kaareva liike kutsutaan liikkeeksi, jonka liikerata on kaareva viiva. Jos kappale liikkuu kaarevaa reittiä pitkin, siirtymävektori s → on suunnattu jännettä pitkin, kuten kuvassa 1 on esitetty, ja l on polun pituus. Kehon hetkellisen nopeuden suunta on tangentiaalinen samassa liikeradan pisteessä, jossa liikkuva kohde sillä hetkellä sijaitsee, kuten kuvassa 2 näkyy.

Kuva 2. Välitön nopeus kaarevassa liikkeessä

Määritelmä 2

Materiaalin pisteen kaareva liike kutsutaan yhtenäiseksi, kun nopeusmoduuli on vakio (liike ympyrässä) ja tasaisesti kiihdytetty muuttuvan suunnan ja nopeusmoduulin kanssa (heitetyn kappaleen liike).

Kaareva liike on aina kiihtynyt. Tämä selittyy sillä, että jopa muuttumattomalla nopeusmoduulilla, mutta muuttuneella suunnalla, on aina kiihtyvyys.

Materiaalipisteen kaarevan liikkeen tutkimiseksi käytetään kahta menetelmää.

Polku on jaettu erillisiin osiin, joissa jokaisessa sitä voidaan pitää suorana, kuten kuvassa 3 näkyy.

Kuva 3. Kaarevalinjaisen liikkeen jakaminen translaatioksi

Nyt voit soveltaa jokaiseen osaan suoraviivaisen liikkeen lakia. Tämä periaate hyväksytään.

Kätevimpänä ratkaisutapana pidetään polun esittämistä useiden liikkeiden sarjana ympyräkaareja pitkin, kuten kuvassa 4 näkyy. Osioiden määrä on paljon pienempi kuin edellisessä menetelmässä, lisäksi liike ympyrän ympäri on jo kaarevaa.

Kuva 4. Kaarevalinjaisen liikkeen jakaminen liikkeiksi ympyräkaareilla

Huomautus 1

Kaarevan liikkeen tallentamiseksi on kyettävä kuvaamaan liikettä ympyrää pitkin, edustamaan mielivaltaista liikettä näiden ympyröiden kaaria pitkin liikkeiden sarjoina.

Kaarevan liikkeen tutkimus sisältää kinemaattisen yhtälön laatimisen, joka kuvaa tätä liikettä ja jonka avulla voit määrittää kaikki liikkeen ominaisuudet käytettävissä olevista alkuolosuhteista.

Esimerkki 1

Annettu materiaalipiste, joka liikkuu käyrää pitkin, kuten kuvassa 4. Ympyröiden O 1 , O 2 , O 3 keskipisteet sijaitsevat yhdellä suoralla. Pitää löytää liike
s → ja polun l pituus liikkeen aikana pisteestä A paikkaan B.

Ratkaisu

Ehdolla on, että ympyrän keskipisteet kuuluvat yhdelle suoralle, joten:

s → = R1 + 2 R2 + R3.

Koska liikkeen liikerata on puoliympyröiden summa, niin:

l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

Vastaus: s → \u003d R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

Esimerkki 2

Kehon kulkeman reitin riippuvuus ajasta on annettu yhtälöllä s (t) \u003d A + B t + C t 2 + D t 3 (C \u003d 0, 1 m / s 2, D \ u003d 0, 003 m/s 3) . Laske, minkä ajan kuluttua liikkeen alkamisen jälkeen kehon kiihtyvyys on 2 m / s 2

Ratkaisu

Vastaus: t = 60 s.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kaarevassa liikkeessä nopeusvektorin suunta muuttuu. Tällöin myös sen moduuli eli pituus voi muuttua. Tässä tapauksessa kiihtyvyysvektori jaetaan kahteen osaan: lentoradan tangentti ja lentorataa vastaan kohtisuorassa oleva osa (kuva 10). Komponentti on ns tangentiaalinen(tangentiaalinen) kiihtyvyys, komponentti - normaali(keskipetaalinen) kiihtyvyys.

Kaareva kiihtyvyys

Tangentiaalinen kiihtyvyys luonnehtii lineaarisen nopeuden muutosnopeutta ja normaalikiihtyvyys luonnehtii suunnan muutosnopeutta.

Kokonaiskiihtyvyys on yhtä suuri kuin tangentiaali- ja normaalikiihtyvyyden vektorisumma:

(15)

Kokonaiskiihtyvyysmoduuli on:

Tarkastellaan pisteen tasaista liikettä ympyrää pitkin. Jossa ja . Olkoon piste tarkasteluhetkellä t paikassa 1 (kuva 11). Ajan Δt jälkeen piste on asennossa 2 kulkittuaan polun Δs, yhtä suuri kuin kaari 1-2. Tässä tapauksessa pisteen v nopeus kasvaa Δv, jonka seurauksena nopeusvektori, joka pysyy muuttumattomana suuruudeltaan, kääntyy kulman läpi Δφ , joka on suuruudeltaan sama kuin pituuskaaren mukainen keskikulma Δs:

(16)

jossa R on ympyrän säde, jota pitkin piste liikkuu. Etsitään nopeusvektorin inkrementti Tätä varten siirrämme vektoria niin, että sen alku on sama kuin vektorin alku. Sitten vektoria edustaa segmentti, joka on vedetty vektorin päästä vektorin loppuun . Tämä segmentti toimii pohjana tasakylkiselle kolmiolle, jonka sivut ja ja kulma Δφ ylhäällä. Jos kulma Δφ on pieni (mikä pätee pienelle Δt), tämän kolmion sivuille voidaan kirjoittaa noin:

Korvaamalla tässä Δφ arvosta (16), saadaan lauseke vektorin moduulille:

Jakamalla yhtälön molemmat osat Δt:llä ja tekemällä rajasiirtymä, saadaan keskipetaalisen kiihtyvyyden arvo:

Tässä määrät v ja R ovat vakioita, joten ne voidaan ottaa pois rajamerkistä. Suhderaja on nopeusmoduuli Sitä kutsutaan myös lineaariseksi nopeudeksi.

Kaarevuussäde

Ympyrän sädettä R kutsutaan kaarevuussäde lentoradat. R:n käänteislukua kutsutaan polun kaarevuudeksi:

missä R on kyseessä olevan ympyrän säde. Jos α on ympyrän s kaaria vastaava keskikulma, niin kuten tiedetään, seuraava suhde pätee R:n, α:n ja s:n välillä:

s = Ra. (18)

Kaarevuussäteen käsite ei koske vain ympyrää, vaan mitä tahansa kaarevaa viivaa. Kaarevuussäde (tai sen käänteinen kaarevuus) kuvaa viivan kaarevuusastetta. Mitä pienempi kaarevuussäde (vastaavasti, sitä suurempi kaarevuus), sitä enemmän viiva on taipunut. Tarkastellaan tätä käsitettä yksityiskohtaisemmin.

Tasaisen viivan kaarevuusympyrä jossain pisteessä A on pisteen A ja kahden muun pisteen B 1 ja B 2 kautta kulkevan ympyrän raja-asema, kun ne lähestyvät äärettömästi pistettä A (kuvassa 12 käyrä piirretään pisteellä A) kiinteä viiva ja kaarevuusympyrä on katkoviiva). Kaarevuusympyrän säde antaa kyseisen käyrän kaarevuussäteen pisteessä A, ja tämän ympyrän keskipiste on saman pisteen A käyrän kaarevuuskeskipiste.

Piirrä pisteiden B 1 , A ja B 2 kautta kulkevan ympyrän tangentit B 1 D ja B 2 E pisteisiin B 1 ja B 2 . Näiden tangenttien B 1 C ja B 2 C normaalit ovat ympyrän säteet R ja leikkaavat sen keskipisteessä C. Otetaan käyttöön kulma Δα normaalien B1C ja B 2 C välille; ilmeisesti se on yhtä suuri kuin tangenttien B 1 D ja B 2 E välinen kulma. Merkitään pisteiden B 1 ja B 2 välinen käyrän leikkaus Δs:ksi. Sitten kaavan (18) mukaan:

Tasaisen kaarevan viivan kaarevuusympyrä

Tasokäyrän kaarevuuden määrittäminen eri pisteissä

Kuvassa Kuvio 13 esittää tasaisen viivan kaarevuusympyröitä eri pisteissä. Pisteessä A 1 , jossa käyrä on tasaisempi, kaarevuussäde on suurempi kuin pisteessä A 2, vastaavasti, pisteen A 1 suoran kaarevuus on pienempi kuin pisteessä A 2 . Pisteessä A 3 käyrä on vielä tasaisempi kuin pisteissä A 1 ja A 2 , joten kaarevuussäde tässä kohdassa on suurempi ja kaarevuus pienempi. Lisäksi pisteen A 3 kaarevuusympyrä on käyrän toisella puolella. Tästä syystä kaarevuuden suuruudelle tässä pisteessä annetaan pisteissä A 1 ja A 2 olevaa kaarevuuden merkkiä vastakkainen etumerkki: jos kaarevuutta pisteissä A 1 ja A 2 pidetään positiivisena, kaarevuus pisteessä A 3 on negatiivinen.

6. kaareva liike. Kehon kulmasiirtymä, kulmanopeus ja kiihtyvyys. Polku ja siirtymä kehon kaarevan liikkeen aikana.

Kaareva liike- tämä on liike, jonka liikerata on kaareva viiva (esimerkiksi ympyrä, ellipsi, hyperbola, paraabeli). Esimerkki kaarevasta liikkeestä on planeettojen liike, kellon osoittimen pää kellotaulussa jne. Yleisesti kaareva nopeus koon ja suunnan muutoksia.

Materiaalin pisteen kaareva liike katsotaan tasaiseksi liikkeeksi, jos moduuli nopeus vakio (esimerkiksi tasainen liike ympyrässä) ja tasaisesti kiihtyvä, jos moduuli ja suunta nopeus muutokset (esimerkiksi horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liike).

Riisi. 1.19. Liikerata ja siirtymävektori kaarevassa liikkeessä.

Kun liikutaan kaarevaa polkua pitkin siirtymävektori suunnattu jännettä pitkin (kuva 1.19), ja l- pituus lentoradat . Kappaleen hetkellinen nopeus (eli kappaleen nopeus tietyssä liikeradan pisteessä) on suunnattu tangentiaalisesti siihen pisteeseen, jossa liikkuva kappale sillä hetkellä sijaitsee (kuva 1.20).

Riisi. 1.20. Hetkellinen nopeus käyräviivaisessa liikkeessä.

Kaareva liike on aina kiihdytettyä liikettä. Tuo on kaareva kiihtyvyys on aina olemassa, vaikka nopeuden moduuli ei muutu, vaan vain nopeuden suunta muuttuu. Nopeuden muutos aikayksikköä kohti on tangentiaalinen kiihtyvyys :

tai

Missä v τ , v 0 ovat nopeudet tällä hetkellä t 0 + Δt ja t 0 vastaavasti.

Tangentiaalinen kiihtyvyys Tietyssä liikeradan pisteessä suunta osuu yhteen kappaleen nopeuden suunnan kanssa tai on sitä vastakkainen.

Normaali kiihtyvyys on nopeuden muutos suunnassa aikayksikköä kohti:

Normaali kiihtyvyys suunnattu liikeradan kaarevuussädettä pitkin (pyörimisakselia kohti). Normaali kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeuden suuntaan.

keskipitkä kiihtyvyys on normaali kiihtyvyys tasaiselle ympyräliikkeelle.

Täysi kiihtyvyys yhtä vaihtelevalla kehon kaarevalla liikkeellä vastaa:

Kappaleen liike kaarevaa liikerataa pitkin voidaan likimäärin esittää liikkeenä joidenkin ympyröiden kaaria pitkin (kuva 1.21).

Riisi. 1.21. Kehon liike kaarevan liikkeen aikana.

Kaareva liike

Kaarevalinjaiset liikkeet- liikkeet, joiden liikeradat eivät ole suoria, vaan kaarevia linjoja. Planeetat ja jokien vedet liikkuvat kaarevia lentoratoja pitkin.

Kaareva liike on aina liikettä, jossa on kiihtyvyys, vaikka nopeuden itseisarvo olisi vakio. Käyräviivaista liikettä vakiokiihtyvyydellä tapahtuu aina siinä tasossa, jossa kiihtyvyysvektorit ja pisteen alkunopeudet sijaitsevat. Käyräviivaisen liikkeen tapauksessa tasaisella kiihtyvyydellä tasossa xOy ennusteita v x ja v y sen nopeus akselilla Härkä ja Oy ja koordinaatit x ja y pisteitä milloin tahansa t määritetään kaavojen mukaan

Kaarevalinjaisen liikkeen erikoistapaus on ympyräliike. Ympyräliike, jopa tasainen, on aina kiihdytettyä liikettä: nopeusmoduuli on aina suunnattu tangentiaalisesti lentoradalle, jatkuvasti muuttuvassa suunnassa, joten ympyräliikettä tapahtuu aina keskikiihtyvyydellä missä r on ympyrän säde.

Kiihtyvyysvektori liikkuessaan ympyrää pitkin on suunnattu kohti ympyrän keskustaa ja kohtisuorassa nopeusvektoriin nähden.

Kaarevassa liikkeessä kiihtyvyys voidaan esittää normaalin ja tangentiaalisen komponentin summana:

Normaali (keskipetaalinen) kiihtyvyys on suunnattu kohti liikeradan kaarevuuskeskusta ja kuvaa nopeuden muutosta suunnassa:

v- hetkellinen nopeus, r on liikeradan kaarevuussäde tietyssä pisteessä.

Tangentiaalinen (tangentiaalinen) kiihtyvyys on suunnattu tangentiaalisesti lentoradalle ja se kuvaa nopeuden modulon muutosta.

Kokonaiskiihtyvyys, jolla aineellinen piste liikkuu, on yhtä suuri kuin:

Keskipetaalisen kiihtyvyyden lisäksi ympyrän tasaisen liikkeen tärkeimmät ominaisuudet ovat pyörimisjakso ja -taajuus.

Kiertojakso on aika, joka keholta kuluu yhden kierroksen suorittamiseen .

Ajankohta on merkitty kirjaimella T c) ja se määritetään kaavalla:

missä t- läpimenoaika P- tänä aikana tehtyjen kierrosten lukumäärä.

Liikkeen taajuus- tämä on numeerisesti yhtä suuri kuin aikayksikköä kohti tehtyjen kierrosten lukumäärä.

Taajuus on merkitty kreikkalaisella kirjaimella (nu) ja se löytyy kaavasta:

Taajuus mitataan 1/s.

Jakso ja taajuus ovat keskenään käänteisiä suureita:

Jos kappale liikkuu ympyrässä nopeudella v, tekee yhden kierroksen, niin tämän kappaleen kulkema polku voidaan löytää kertomalla nopeus v yhdelle kierrokselle:

l = vT. Toisaalta tämä polku on yhtä suuri kuin ympärysmitta 2π r. Siksi

vT= 2π r,

missä w(alkaen -1) - kulmanopeus.

Vakiolla pyörimistaajuudella keskikiihtyvyys on suoraan verrannollinen etäisyyteen liikkuvasta hiukkasesta pyörimiskeskukseen.

Kulmanopeus (w) on arvo, joka on yhtä suuri kuin sen säteen kiertokulman suhde, jolla pyörimispiste sijaitsee, aikaväliin, jonka aikana tämä kierto tapahtui:

Lineaaristen ja kulmanopeuksien välinen suhde:

Kappaleen liikettä voidaan pitää tunnetuksi vain, kun tiedetään, miten jokainen sen piste liikkuu. Jäykkien kappaleiden yksinkertaisin liike on translaatiota. Käännös kutsutaan jäykän kappaleen liikkeeksi, jossa mikä tahansa tähän kappaleeseen piirretty suora liikkuu yhdensuuntaisesti itsensä kanssa.