Matemaattiset mallit elämässä. Elävän luonnon matemaattiset mallit

Jos katsot ympärillesi tarkkaan, matematiikan rooli ihmisen elämässä tulee ilmeiseksi. Tietokoneet, modernit puhelimet ja muut laitteet ovat mukanamme joka päivä, ja niiden luominen on mahdotonta ilman suuren tieteen lakeja ja laskelmia. Matematiikan rooli yhteiskunnassa ei kuitenkaan rajoitu tällaisiin sovelluksiin. Muuten esimerkiksi monet taiteilijat voisivat sanoa puhtaalla omallatunnolla, että ongelmien ratkaisemiseen ja teoreemojen todistamiseen käytetty aika koulussa meni hukkaan. Näin ei kuitenkaan ole. Yritetään selvittää, miksi matematiikkaa tarvitaan.

Pohja

Ensinnäkin on syytä ymmärtää, mitä matematiikka oikeastaan on. Muinaisesta kreikasta käännettynä sen nimi tarkoittaa "tiedettä", "tutkimusta". Matematiikka perustuu esineiden muotojen laskemiseen, mittaamiseen ja kuvaamiseen. johon rakenteesta, järjestyksestä ja suhteista tieto perustuu. Ne ovat tieteen ydin. Reaaliobjektien ominaisuudet idealisoidaan siinä ja kirjoitetaan muodollisella kielellä. Näin ne muunnetaan matemaattisiksi objekteiksi. Joistakin idealisoiduista ominaisuuksista tulee aksioomeja (lausuntoja, jotka eivät vaadi todisteita). Näistä sitten johdetaan muut todelliset ominaisuudet. Näin muodostuu todellinen olemassa oleva esine.

Kaksi jaksoa

Matematiikka voidaan jakaa kahteen toisiaan täydentävään osaan. Teoreettinen tiede käsittelee matematiikan sisäisten rakenteiden syväanalyysiä. Soveltava tiede tarjoaa mallinsa muille tieteenaloille. Fysiikka, kemia ja tähtitiede, suunnittelujärjestelmät, ennustaminen ja logiikka käyttävät jatkuvasti matemaattista laitteistoa. Sen avulla tehdään löytöjä, löydetään malleja ja ennustetaan tapahtumia. Tässä mielessä matematiikan merkitystä ihmisen elämässä ei voi yliarvioida.

Ammatillisen toiminnan perusta

Ilman matemaattisten peruslakien tuntemusta ja kykyä käyttää niitä nykymaailmassa on erittäin vaikeaa oppia melkein mitä tahansa ammattia. Eivät vain rahoittajat ja kirjanpitäjät käsittelevät numeroita ja operaatioita heidän kanssaan. Ilman tällaista tietoa tähtitieteilijä ei pysty määrittämään etäisyyttä tähdestä ja parasta aikaa sen tarkkailuun, eikä molekyylibiologi pysty ymmärtämään, miten geenimutaatioita tulisi käsitellä. Insinööri ei suunnittele toimivaa hälytys- tai videovalvontajärjestelmää, eikä ohjelmoija löydä lähestymistapaa käyttöjärjestelmään. Monet näistä ja muista ammateista eivät yksinkertaisesti ole olemassa ilman matematiikkaa.

Humanistiset tieteet

Matematiikan rooli esimerkiksi maalaukselle tai kirjallisuudelle omistautuneen ihmisen elämässä ei kuitenkaan ole niin ilmeinen. Ja silti, tieteiden kuningattaren jälkiä on läsnä myös humanistisissa tieteissä.

Näyttäisi siltä, että runous on puhdasta romantiikkaa ja inspiraatiota, analyysille ja laskennalle ei ole sijaa. Riittää kuitenkin muistaa amfibrakkien runolliset mitat), ja tulee käsitys, että matematiikalla oli tässäkin osuutensa. Rytmiä, sanallista tai musiikillista, kuvataan ja lasketaan myös tämän tieteen tietämyksen avulla.

Kirjoittajalle tai psykologille sellaiset käsitteet kuin tiedon luotettavuus, yksittäinen tapaus, yleistäminen ja niin edelleen ovat usein tärkeitä. Kaikki ne ovat joko suoraan matemaattisia tai ne on rakennettu tieteiden kuningattaren kehittämien lakien pohjalta ja ovat olemassa hänen ansiostaan ja hänen sääntöjensä mukaan.

Psykologia syntyi humanististen ja luonnontieteiden risteyksessä. Kaikki sen suunnat, myös ne, jotka toimivat yksinomaan kuvien kanssa, perustuvat havainnointiin, data-analyysiin, niiden yleistämiseen ja todentamiseen. Tässä käytetään mallintamista, ennustamista ja tilastollisia menetelmiä.

Koulusta

Matematiikka on läsnä elämässämme paitsi ammatin hallitsemisessa ja hankitun tiedon toteuttamisessa. Tavalla tai toisella käytämme tieteiden kuningatarta melkein joka hetki. Siksi matematiikkaa aletaan opettaa varhain. Ratkaisemalla yksinkertaisia ja monimutkaisia ongelmia lapsi ei vain opi lisäämään, vähentämään ja kertomaan. Hitaasti, perusasioista lähtien hän ymmärtää nykymaailman rakenteen. Emmekä puhu teknisestä kehityksestä tai mahdollisuudesta tarkistaa myymälässä tapahtuvat muutokset. Matematiikka muokkaa ajattelun tiettyjä piirteitä ja vaikuttaa suhtautumiseemme maailmaan.

Yksinkertaisin, vaikein, tärkein

Luultavasti jokainen muistaa läksyjä tehdessään ainakin yhden illan, jolloin haluttiin epätoivoisesti huutaa: ”En ymmärrä mitä varten matematiikka on!”, heittää syrjään vihatut monimutkaiset ja tylsät ongelmat ja juosta pihalle ystävien kanssa. Koulussa ja vielä myöhemmin yliopistossa vanhempien ja opettajien vakuuttelut, että "se on hyödyllistä myöhemmin", vaikuttavat ärsyttävältä hölynpölyltä. Kävi kuitenkin ilmi, että he ovat oikeassa.

Se on matematiikka ja sitten fysiikka, joka opettaa sinua löytämään syy-seuraus-suhteita, muodostaa tavan etsiä pahamaineista "mistä jalat kasvavat". Huomio, keskittyminen, tahdonvoima - ne myös harjoittelevat näiden erittäin vihattujen ongelmien ratkaisemista. Jos mennään pidemmälle, kyky tehdä tosiasioista johtopäätöksiä, ennustaa tulevia tapahtumia ja myös tehdä samoin on asetettu matemaattisten teorioiden tutkimisen aikana. Mallintaminen, abstraktio, deduktio ja induktio ovat kaikki tieteitä ja samalla tapoja aivojen työskennellä tiedon kanssa.

Ja taas psykologia

Usein juuri matematiikka antaa lapselle paljastuksen, että aikuiset eivät ole kaikkivoivia eivätkä tiedä kaikkea. Näin tapahtuu, kun äiti tai isä, kun häntä pyydetään auttamaan ongelman ratkaisemisessa, vain kohauttaa olkapäitään ja ilmoittaa kyvyttömyydestään tehdä sitä. Ja lapsen on pakko etsiä vastausta itse, tehdä virheitä ja katsoa uudelleen. On myös mahdollista, että vanhemmat kieltäytyvät auttamasta. "Sinun on tehtävä se itse", he sanovat. Ja he tekevät sen oikein. Useiden tuntien yrittämisen jälkeen lapsi ei saa vain valmiita kotitehtäviä, vaan kykyä itsenäisesti löytää ratkaisuja, havaita ja korjata virheet. Ja tässä on myös matematiikan rooli ihmisen elämässä.

Tietenkin itsenäisyyttä, kykyä tehdä päätöksiä, olla niistä vastuussa ja virheiden pelon puuttumista kehitetään paitsi algebran ja geometrian tunneilla. Mutta näillä tieteenaloilla on merkittävä rooli prosessissa. Matematiikka edistää sellaisia ominaisuuksia kuin päättäväisyys ja aktiivisuus. Totta, paljon riippuu opettajasta. Aineiston virheellinen esittäminen, liiallinen ankaruus ja painostus voivat päinvastoin synnyttää pelkoa vaikeuksista ja virheistä (ensin luokkahuoneessa ja sitten elämässä), haluttomuutta ilmaista mielipiteensä ja passiivisuutta.

Matematiikka jokapäiväisessä elämässä

Yliopistosta tai korkeakoulusta valmistuttuaan aikuiset eivät lakkaa ratkomasta matemaattisia tehtäviä joka päivä. Kuinka päästä junaan? Voiko kilo lihaa valmistaa illallisen kymmenelle vieraalle? Kuinka paljon kaloreita astiassa on? Kuinka kauan yksi hehkulamppu kestää? Nämä ja monet muut kysymykset liittyvät suoraan Tieteiden kuningattareen, eikä niitä voida ratkaista ilman häntä. Osoittautuu, että matematiikka on näkymättömästi läsnä elämässämme melkein jatkuvasti. Ja useimmiten emme edes huomaa sitä.

Matematiikka yhteiskunnan ja yksilön elämässä vaikuttaa valtavaan määrään alueita. Jotkut ammatit ovat mahdottomia ajatella ilman sitä, monet ilmestyivät vain sen yksittäisten alueiden kehityksen ansiosta. Nykyaikainen tekninen kehitys liittyy läheisesti matemaattisen laitteen monimutkaisuuteen ja kehitykseen. Tietokoneet ja puhelimet, lentokoneet ja avaruusalukset eivät olisi koskaan ilmestyneet, elleivät ihmiset olisi tunteneet tieteiden kuningatarta. Matematiikan rooli ihmisen elämässä ei kuitenkaan lopu tähän. Tiede auttaa lasta hallitsemaan maailmaa, opettaa häntä olemaan vuorovaikutuksessa sen kanssa tehokkaammin ja muokkaa hänen ajatteluaan ja yksilöllisiä luonteenpiirteitään. Pelkkä matematiikka ei kuitenkaan selviä tällaisista tehtävistä. Kuten edellä mainittiin, materiaalin esittämisellä ja lapsen maailmaan esittelevän persoonallisuuden ominaisuuksilla on valtava rooli.

Lopuksi yritämme kuvata lyhyesti matematiikan yleisiä kehitysmalleja.

1. Matematiikka ei ole minkään yhden historiallisen aikakauden, yhden kansan luomus; se on useiden aikakausien tulos, useiden sukupolvien työn tulos. Sen ensimmäiset käsitteet ja määräykset syntyivät

kuten olemme nähneet, muinaisina aikoina ja jo yli kaksituhatta vuotta sitten ne tuotiin harmoniseen järjestelmään. Kaikista matematiikan muutoksista huolimatta sen käsitteet ja johtopäätökset säilyvät siirtyen aikakaudesta toiseen, kuten esimerkiksi aritmeettiset säännöt tai Pythagoraan lause.

Uudet teoriat yhdistävät aikaisemmat saavutukset, selventävät, täydentävät ja yleistävät niitä.

Samanaikaisesti, kuten edellä esitetystä matematiikan historian lyhyestä pääpiirteestä käy ilmi, sen kehitystä ei voida pelkästään pelkistää uusien lauseiden kerääntymiseen, vaan se sisältää merkittäviä, laadullisia muutoksia. Näin ollen matematiikan kehitys on jaettu useisiin ajanjaksoihin, joiden väliset siirtymät osoittavat tarkasti tällaiset perustavanlaatuiset muutokset tämän tieteen aineessa tai rakenteessa.

Matematiikka sisältää kaikki uudet todellisuuden määrällisten suhteiden alueet. Samaan aikaan matematiikan tärkein aine on ollut ja on edelleen tilamuodot ja kvantitatiiviset suhteet näiden sanojen yksinkertaisessa, suorimmassa merkityksessä, ja uusien yhteyksien ja suhteiden matemaattinen ymmärtäminen tapahtuu väistämättä sen pohjalta ja yhteydessä. jo vakiintunut määrällisten ja paikkatieteellisten tieteellisten käsitteiden järjestelmä.

Lopuksi tulosten kertyminen itse matematiikan sisällä edellyttää välttämättä sekä nousua uusille abstraktion tasoille, uusille yleistäville käsitteille että syventymistä perusteiden ja alkukäsitteiden analyysiin.

Samoin kuin tammi voimakkaassa kasvussaan paksuntaa vanhoja oksia uusilla kerroksilla, heittelee ulos uusia oksia, venyy ylöspäin ja syvenee juurensa alaspäin, niin myös matematiikka kehittyessään kerää uutta materiaalia jo vakiintuneille alueilleen, muodostaa uusia suuntauksia, nousee uusia abstraktion korkeuksia ja menee syvemmälle sen perusasioihin.

2. Matematiikassa on aiheena todellisuuden todelliset muodot ja suhteet, mutta, kuten Engels sanoi, näiden muotojen ja suhteiden tutkimiseksi puhtaassa muodossaan on välttämätöntä erottaa ne kokonaan sisällöstään, jättää tämä syrjään. jotain välinpitämätöntä. Sisällön ulkopuolella ei kuitenkaan ole muotoja ja suhteita, matemaattiset muodot ja suhteet eivät voi olla täysin välinpitämättömiä sisällön suhteen. Siksi matematiikka, joka pohjimmiltaan pyrkii saavuttamaan tällaisen erottelun, pyrkii saavuttamaan mahdotonta. Tämä on perustavanlaatuinen ristiriita matematiikan ytimessä. Se on matematiikalle ominaista kognition yleisen ristiriidan ilmentymä. Todellisuuden jokaisen ilmiön, jokaisen puolen, jokaisen hetken ajatuksella tapahtuva heijastus karkeuttaa, yksinkertaistaa sitä, siepaten sen luonnon yleisestä yhteydestä. Kun ihmiset tutkiessaan avaruuden ominaisuuksia totesivat, että sillä on euklidinen geometria, poikkeuksellinen

tärkeä kognitiotoimi, mutta siihen sisältyi myös harha: avaruuden todelliset ominaisuudet [otettiin yksinkertaistetulla, kaavamaisella tavalla, abstraktiona aineesta. Mutta ilman tätä geometriaa ei yksinkertaisesti olisi olemassa, ja tämän abstraktion (sekä sen sisäisen tutkimuksen että matemaattisten tulosten vertailun muiden tieteiden kanssa) pohjalta syntyi ja vahvistui uusia geometrisia teorioita.

Tämän ristiriidan jatkuva ratkaiseminen ja palauttaminen kognition yhä lähempänä todellisuutta olevissa vaiheissa muodostaa kognition kehityksen olemuksen. Tässä tapauksessa ratkaiseva tekijä on tietysti tiedon positiivinen sisältö, absoluuttisen totuuden elementti siinä. Tieto liikkuu nousevaa linjaa pitkin, eikä merkitse aikaa, vaan se on yksinkertaisesti sekoitettu virheeseen. Tiedon liike on jatkuvaa sen epätarkkuuden ja rajoitusten voittamista.

Tämä keskeinen ristiriita sisältää muitakin. Näimme tämän esimerkissä diskreetin ja jatkuvan vastakohdat. (Luonnossa niiden välillä ei ole absoluuttista kuilua, ja niiden erottaminen matematiikassa johti väistämättä tarpeeseen luoda yhä uusia käsitteitä, jotka heijastavat syvällisemmin todellisuutta ja samalla voittavat olemassa olevan matemaattisen teorian sisäiset puutteet). Täsmälleen samalla tavalla äärellisen ja äärettömän, abstraktin ja konkreettisen, muodon ja sisällön jne. ristiriidat ilmenevät matematiikassa sen perustavanlaatuisen ristiriidan ilmenemismuotoina. Mutta sen ratkaiseva ilmentymä on, että matematiikka abstraktioituna konkreettisesta, abstraktien käsitteidensä kehässä on siten erotettu kokeesta ja käytännöstä, ja samalla se on vain tiedettä (eli sillä on kognitiivista arvoa) siltä osin kuin se perustuu. käytännössä, koska se ei ole puhdasta, vaan sovellettua matematiikkaa. Jossain määrin hegelilaisella kielellä sanottuna puhdas matematiikka jatkuvasti "kiistää" itsensä puhtaana matematiikkana; ilman sitä sillä ei voi olla tieteellistä merkitystä, se ei voi kehittyä, ei voi voittaa vaikeuksia, joita siinä väistämättä syntyy.

Muodollisessa muodossaan matemaattiset teoriat vastustavat todellista sisältöä tiettyjen johtopäätösten kaavioina. Tässä tapauksessa matematiikka toimii menetelmänä muotoilla luonnontieteen kvantitatiivisia lakeja, välineenä sen teorioiden kehittämiseen, keinona ratkaista luonnontieteen ja tekniikan ongelmia. Puhtaan matematiikan merkitys tässä vaiheessa on ensisijaisesti matemaattisessa menetelmässä. Ja kuten jokainen menetelmä on olemassa ja kehittyy ei itsestään, vaan vain sovellusten pohjalta, sen sisällön yhteydessä, johon sitä sovelletaan, niin ei matematiikkakaan voi olla ja kehittyä ilman sovelluksia. Tässä taas paljastuu vastakohtien yhtenäisyys: yleinen menetelmä vastustaa tiettyä ongelmaa sen ratkaisukeinona, mutta se itse syntyy tietyn materiaalin yleistyksestä ja on olemassa.

kehittyy ja löytää perustelunsa vain tiettyjen ongelmien ratkaisemisessa.

3. Yhteiskunnallisella käytännöllä on ratkaiseva rooli matematiikan kehityksessä kolmella tavalla. Se asettaa matematiikalle uusia ongelmia, stimuloi sen kehitystä suuntaan tai toiseen ja tarjoaa kriteerin johtopäätösten totuudelle.

Tämä näkyy erittäin selvästi analyysin syntyessä. Ensinnäkin mekaniikan ja tekniikan kehitys nosti esiin ongelman tutkia muuttujien riippuvuuksia niiden yleisessä muodossa. Differentiaali- ja integraalilaskennan lähelle tullessaan Archimedes pysyi kuitenkin staattisten ongelmien puitteissa, kun taas nykyaikana liikkeen tutkiminen synnytti muuttujan ja funktion käsitteet ja pakotti muotoilemaan analyysin. Newton ei voinut kehittää mekaniikkaa kehittämättä vastaavaa matemaattista menetelmää.

Toiseksi, juuri yhteiskunnallisen tuotannon tarpeet saivat muotoilemaan ja ratkaisemaan kaikki nämä ongelmat. Näitä kannustimia ei ollut olemassa muinaisessa eikä keskiaikaisessa yhteiskunnassa. Lopuksi on hyvin tyypillistä, että matemaattinen analyysi löysi alkuvaiheessaan oikeutuksen päätelmilleen juuri sovelluksissa. Tämä on ainoa syy, miksi se voisi kehittyä ilman niitä tiukkoja määritelmiä peruskäsitteilleen (muuttuja, funktio, raja), jotka annettiin myöhemmin. Analyysin totuus vahvistettiin mekaniikan, fysiikan ja tekniikan sovelluksilla.

Yllä oleva koskee kaikkia matematiikan kehityskausia. 1700-luvulta lähtien. Suorimmin sen kehitykseen vaikuttavat yhdessä mekaniikan kanssa teoreettinen fysiikka ja uuden tekniikan ongelmat. Jatkuumomekaniikka ja sitten kenttäteoria (lämmönjohtavuus, sähkö, magnetismi, gravitaatiokenttä) ohjaavat osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teorian kehitystä. Molekyyliteorian ja ylipäätään tilastollisen fysiikan kehitys viime vuosisadan lopusta lähtien toimi tärkeänä sysäyksenä todennäköisyysteorian, erityisesti satunnaisprosessien teorian, kehitykselle. Suhteellisuusteorialla oli ratkaiseva rooli Riemannilaisen geometrian kehityksessä analyyttisin menetelmin ja yleistyksin.

Tällä hetkellä uusien matemaattisten teorioiden, kuten funktionaalisen analyysin jne., kehitystä stimuloivat kvanttimekaniikan ja sähködynamiikan ongelmat, tietokonetekniikan ongelmat, fysiikan ja tekniikan tilastolliset kysymykset jne. jne. Fysiikka ja tekniikka eivät ole vain aiheita uusia haasteita matematiikan ongelmille, työntää sitä kohti uusia tutkimusaiheita, mutta myös herättää niille välttämättömien matematiikan haarojen kehityksen, joka alun perin kehittyi enemmän itsensä sisällä, kuten Riemannilainen geometria. Lyhyesti sanottuna tieteen intensiivisen kehityksen kannalta on välttämätöntä, että se ei ainoastaan lähesty uusien ongelmien ratkaisua, vaan että niiden ratkaisemisen tarve pakotetaan.

yhteiskunnan kehitystarpeita. Matematiikassa on äskettäin syntynyt monia teorioita, mutta vain ne niistä on kehitetty ja lujasti otettu tieteeseen, jotka ovat löytäneet sovelluksensa luonnontieteissä ja tekniikassa tai ovat olleet tärkeitä yleistyksiä sellaisista teorioista, joilla on tällaisia sovelluksia. Samaan aikaan muut teoriat jäävät ilman liikettä, kuten esimerkiksi jotkin jalostetut geometriset teoriat (ei-desarguesilaiset, ei-arkimedelaiset geometriat), joille ei ole löydetty merkittäviä sovellutuksia.

Matemaattisten johtopäätösten totuus ei löydä lopullista perustaansa yleisissä määritelmissä ja aksioomissa, ei muodollisessa todisteiden tiukassa, vaan todellisissa sovelluksissa, eli viime kädessä käytännössä.

Yleisesti ottaen matematiikan kehitys on ymmärrettävä ensisijaisesti sen aiheen logiikan vuorovaikutuksen tuloksena, joka heijastuu itse matematiikan sisäiseen logiikkaan, tuotannon vaikutukseen ja yhteyksiin luonnontieteeseen. Tämä ero seuraa monimutkaisia vastakohtien taistelupolkuja, mukaan lukien merkittävät muutokset matematiikan perussisällössä ja muodoissa. Sisällöllisesti matematiikan kehitystä määrää sen aihe, mutta sitä vauhdittavat pääasiassa ja viime kädessä tuotannon tarpeet. Tämä on matematiikan kehityksen perusmalli.

Emme tietenkään saa unohtaa, että puhumme vain peruskuviosta ja että matematiikan ja tuotannon välinen yhteys on yleisesti ottaen monimutkainen. Edellä sanotun perusteella on selvää, että olisi naiivia yrittää perustella jonkin tietyn matemaattisen teorian syntymistä suoralla "tuotantojärjestyksellä". Lisäksi matematiikalla, kuten kaikilla tieteillä, on suhteellinen riippumattomuus, oma sisäinen logiikkansa, joka heijastaa, kuten olemme korostaneet, objektiivista logiikkaa, eli aiheensa säännöllisyyttä.

4. Matematiikalla on aina ollut merkittävin vaikutus ei ainoastaan yhteiskunnalliseen tuotantoon, vaan myös kaikkiin yhteiskunnallisiin olosuhteisiin yleensä. Sen loistava edistyminen antiikin Kreikan nousun aikakaudella, algebran menestys Italiassa renessanssin aikana, analyysin kehitys Englannin vallankumousta seuranneella aikakaudella, matematiikan menestys Ranskassa Ranskan vallankumouksen viereisenä aikana - kaikki tämä osoittaa vakuuttavasti matematiikan kehityksen erottamattoman yhteyden yhteiskunnan yleiseen tekniseen, kulttuuriseen, poliittiseen kehitykseen.

Tämä näkyy selvästi myös Venäjän matematiikan kehityksessä. Itsenäisen venäläisen matemaattisen koulukunnan muodostumista, joka tulee Lobatševskiltä, Ostrogradskilta ja Chebysheviltä, ei voida erottaa venäläisen yhteiskunnan edistymisestä kokonaisuudessaan. Lobatševskin aika on Puškinin aika,

Glinka, dekabristien aika ja matematiikan kukoistus oli yksi yleisen nousun elementtejä.

Sitä vakuuttavampi on yhteiskunnallisen kehityksen vaikutus Suuren lokakuun sosialistisen vallankumouksen jälkeisenä aikana, jolloin perustavanlaatuisia tutkimuksia ilmestyi peräkkäin hämmästyttävän nopeasti moniin suuntiin: joukkoteoriassa, topologiassa, lukuteoriassa, todennäköisyysteoriassa, differentiaaliyhtälöt, funktionaalinen analyysi, algebra, geometria.

Lopuksi, matematiikka on aina ollut ja vaikuttaa edelleen merkittävästi ideologiaan. Kuten missä tahansa tieteessä, matemaatikot ja filosofit havaitsevat ja tulkitsevat matematiikan objektiivisen sisällön yhden tai toisen ideologian puitteissa.

Lyhyesti sanottuna tieteen objektiivinen sisältö sopii aina johonkin ideologiseen muotoon; näiden dialektisten vastakohtien - objektiivisen sisällön ja ideologisten muotojen - yhtenäisyydellä ja taistelulla matematiikassa, kuten missä tahansa tieteessä, on tärkeä rooli sen kehityksessä.

Taistelu tieteen objektiivista sisältöä vastaavan materialismin ja tämän sisällön kanssa ristiriidassa olevan ja sen ymmärrystä vääristävän idealismin välillä käy läpi koko matematiikan historian. Tämä taistelu ilmaantui selvästi jo antiikin Kreikassa, jossa Pythagoraan, Sokrateen ja Platonin idealismi vastusti Thaleen, Demokrituksen ja muiden kreikkalaisen matematiikan luoneiden filosofien materialismia. Orjajärjestelmän kehittymisen myötä yhteiskunnan eliitti irtautui tuotantoon osallistumisesta pitäen sitä alemman luokan osana, ja tämä johti "puhtaan" tieteen ja käytännön eroon. Vain puhtaasti teoreettinen geometria tunnustettiin todellisen filosofin huomion arvoiseksi. On ominaista, että Platon katsoi, että syntyneet tutkimukset joistakin mekaanisista käyristä ja jopa kartioleikkauksista jäävät geometrian rajojen ulkopuolelle, koska ne "eivät johda meitä kommunikaatioon ikuisten ja ruumiittomien ideoiden kanssa" ja "tarvitsivat vulgaarin työkalujen käyttöä". alus."

Merkittävä esimerkki materialismin taistelusta idealismia vastaan matematiikan alalla on Lobatševskin toiminta, joka esitti ja puolusti materialistista matematiikan ymmärrystä kantialismin idealistisia näkemyksiä vastaan.

Venäläiselle matemaattiselle koulukunnalle on yleensä ominaista materialistinen perinne. Siten Tšebyšev korosti selkeästi harjoituksen ratkaisevaa merkitystä, ja Ljapunov ilmaisi venäläisen matemaattisen koulukunnan tyylin seuraavilla merkillisillä sanoilla: ”Sovelluksen kannalta erityisen tärkeiden kysymysten yksityiskohtainen kehittäminen ja samalla erityisten esittäminen. teoreettiset vaikeudet, jotka vaativat uusien menetelmien keksimistä ja nousua tieteen periaatteisiin, sitten havaintojen yleistämistä ja siten enemmän tai vähemmän yleisen teorian luomista." Yleistykset ja abstraktiot eivät ole itsessään, vaan tietyn materiaalin yhteydessä

teoreemat ja teoriat eivät sinänsä, vaan tieteen yleisessä yhteydessä, jotka johtavat lopulta käytäntöön - tämä osoittautuu todella tärkeäksi ja lupaavaksi.

Nämä olivat myös suurten tiedemiesten, kuten Gaussin ja Riemannin, pyrkimyksiä.

Kapitalismin kehittyessä Euroopassa materialistiset näkemykset, jotka heijastivat 1500-luvun - 1800-luvun alun nousevan porvariston kehittynyttä ideologiaa, alkoivat kuitenkin korvata idealistisilla näkemyksillä. Esimerkiksi Cantor (1846-1918) viittasi äärettömien joukkojen teoriaa luodessaan suoraan Jumalaan ja puhui siinä hengessä, että äärettömillä joukoilla on absoluuttinen olemassaolo jumalallisessa mielessä. Suurin ranskalainen matemaatikko 1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa. Poincaré esitti idealistisen "konventionalismin" käsitteen, jonka mukaan matematiikka on konventionaalisten sopimusten järjestelmä, joka on otettu käyttöön kokemuksen monimuotoisuuden kuvaamisen helpottamiseksi. Poincarén mukaan euklidisen geometrian aksioomat eivät siis ole muuta kuin ehdollisia sopimuksia ja niiden merkityksen määrää mukavuus ja yksinkertaisuus, mutta ei niiden vastaavuus todellisuuden kanssa. Siksi Poincaré sanoi, että esimerkiksi fysiikassa he hylkäävät mieluummin valon suoraviivaisen etenemisen lain kuin euklidisen geometrian. Tämän näkemyksen kumosi suhteellisuusteorian kehitys, joka kaikesta euklidisen geometrian "yksinkertaisuudesta" ja "mukavuudesta" huolimatta, täysin sopusoinnussa Lobatševskin ja Riemmannin materialististen ideoiden kanssa, johti siihen johtopäätökseen, että todellinen avaruuden geometria eroaa euklidisesta.

Joukkoteoriassa syntyneiden vaikeuksien vuoksi ja matematiikan peruskäsitteiden analysointitarpeen yhteydessä matemaatikoiden keskuudessa 1900-luvun alussa. erilaisia virtoja ilmaantui. Yhtenäisyys matematiikan sisällön ymmärtämisessä katosi; Eri matemaatikot eivät alkaneet nähdä eri tavalla vain tieteen yleisiä perusteita, kuten ennen, vaan jopa arvioimaan eri tavalla yksittäisten tulosten ja todisteiden merkitystä ja merkitystä. Johtopäätökset, jotka vaikuttivat toisille merkityksellisiltä ja merkityksellisiltä, julistivat toiset merkityksettömiksi ja merkityksettömiksi. Syntyi idealistisia "logismin", "intuitionismin", "formalismin" jne. liikkeitä.

Logistikot väittävät, että kaikki matematiikka on johdettavissa logiikan käsitteistä. Intuitionistit näkevät matematiikan lähteen intuitiossa ja antavat merkityksen vain sille, mitä intuitiivisesti havaitaan. Siksi erityisesti he kieltävät täysin Cantorin äärettömien joukkojen teorian merkityksen. Lisäksi intuitionistit kiistävät jopa tällaisten lausuntojen yksinkertaisen merkityksen

lauseena, jonka mukaan jokaisella algebrallisella asteyhtälöllä on juuret. Heille tämä lauseke on tyhjä, kunnes juurien laskentamenetelmä on määritetty. Siten matematiikan objektiivisen merkityksen täydellinen kieltäminen sai intuitionistit halveksimaan merkittävän osan matematiikan saavutuksista "merkityttömiksi". Äärimmäisin niistä meni niin pitkälle, että väitti, että matemaatikoita on yhtä monta kuin matemaatikotkin.

Yrityksen omalla tavallaan pelastaa matematiikka tällaiselta hyökkäykseltä teki vuosisadamme alun suurin matemaatikko - D. Hilbert. Hänen ajatuksensa ydin oli pelkistää matemaattiset teoriat puhtaasti muodollisiin toimintoihin symboleille määrättyjen sääntöjen mukaisesti. Laskelma oli, että tällaisella täysin muodollisella lähestymistavalla kaikki vaikeudet poistuisivat, koska matematiikan aiheena olisivat symbolit ja niiden kanssa toimimisen säännöt ilman mitään yhteyttä niiden merkitykseen. Tämä on matematiikan formalismin asetus. Intuitionisti Brouwerin mukaan formalistille matematiikan totuus on paperilla, kun taas intuitionistille se on matemaatikon päässä.

Ei ole kuitenkaan vaikea nähdä, että molemmat ovat väärässä, matematiikan kannalta ja samalla se, mitä paperille on kirjoitettu ja mitä matemaatikko ajattelee, heijastaa todellisuutta, ja matematiikan totuus piilee sen vastaavuudessa objektiiviseen todellisuutta. . Erottamalla matematiikan aineellisesta todellisuudesta kaikki nämä suuntaukset osoittautuvat idealistisiksi.

Hilbertin idea kukistettiin sen omalla kehityksellä. Itävaltalainen matemaatikko Gödel osoitti, että edes aritmetiikkaa ei voida formalisoida täysin, kuten Hilbert oli toivonut. Gödelin johtopäätös paljasti selvästi matematiikan sisäisen dialektiikan, joka ei salli muodollisen laskennan avulla tyhjentää mitään sen alueista. Luonnollisen lukusarjan yksinkertaisinkin ääretön osoittautui ehtymättömäksi äärelliseksi symbolijärjestelmäksi ja niiden kanssa toimimiseen. Näin ollen oli matemaattisesti todistettu, mitä Engels ilmaisi yleisesti kirjoittaessaan:

"Infinity on ristiriita... Tämän ristiriidan tuhoaminen olisi äärettömyyden loppu." Hilbert toivoi sulkevansa matemaattisen äärettömän äärellisten kaavioiden kehykseen ja eliminoivansa siten kaikki ristiriidat ja vaikeudet. Tämä osoittautui mahdottomaksi.

Mutta kapitalismin olosuhteissa konvencionalismi, intuitionismi, formalismi ja muut vastaavat liikkeet eivät vain säily, vaan niitä täydennetään matematiikan idealististen näkemysten uusilla muunnelmilla. Matematiikan perusteiden loogiseen analyysiin liittyviä teorioita käytetään merkittävästi joissakin uusissa subjektiivisen idealismin muunnelmissa. Subjektiivinen

idealismi käyttää nykyään matematiikkaa, erityisesti matemaattista logiikkaa, yhtä paljon kuin fysiikkaa, ja siksi matematiikan perusteiden ymmärtämisen kysymykset tulevat erityisen akuuteiksi.

Näin ollen matematiikan kehityksen vaikeudet kapitalismin olosuhteissa aiheuttivat tämän tieteen ideologisen kriisin, joka on perustaltaan samanlainen kuin fysiikan kriisi, jonka olemusta Lenin selvensi loistavassa työssään "Materialismi ja empirio". – Kritiikkiä." Tämä kriisi ei suinkaan tarkoita sitä, että kapitalististen maiden matematiikka olisi täysin hidastunut kehityksessään. Useat tiedemiehet, joilla on selkeästi idealistinen asema, tekevät tärkeitä, joskus merkittäviäkin onnistumisia tiettyjen matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa ja uusien teorioiden kehittämisessä. Riittää, kun viitataan matemaattisen logiikan loistavaan kehitykseen.

Kapitalistisissa maissa laajalle levinneen matematiikan näkemyksen perustavanlaatuinen virhe on sen idealismissa ja metafysiikassa: matematiikan erottaminen todellisuudesta ja sen todellisen kehityksen laiminlyönti. Logistiikka, intuitionismi, formalismi ja muut vastaavat suuntaukset korostavat matematiikassa yhtä sen puolta - yhteyttä logiikkaan, intuitiivinen selkeys, muodollinen tiukka jne. - ne liioittelevat, absolutisoivat sen merkityksen, erottavat sen todellisuudesta ja tämän syvällisen analyysin takana. Yksi matematiikan piirre sinänsä on matematiikan kokonaisuuden unohtaminen. Juuri tämän yksipuolisuuden vuoksi mikään näistä virroista, yksilöllisten johtopäätösten hienovaraisuudella ja syvyydellä, ei voi johtaa oikeaan matematiikan ymmärtämiseen. Toisin kuin idealismin ja metafysiikan eri virrat ja sävyt, dialektinen materialismi pitää matematiikkaa, kuten kaikkea tiedettä kokonaisuutena, sellaisena kuin se on, sen yhteyksien ja kehityksen kaikessa rikkaudessa ja monimutkaisuudessa. Ja juuri siksi, että dialektinen materialismi pyrkii ymmärtämään tieteen ja todellisuuden välisten yhteyksien kaikkea rikkautta ja monimutkaisuutta, koko sen kehityksen monimutkaisuutta, siirtyen yksinkertaisesta kokemuksen yleistyksestä korkeampiin abstraktioihin ja niistä käytäntöön, juuri siksi, että se jatkuvasti johtaa omaa lähestymistapaansa tieteeseen sen objektiivisen sisällön, uusien löytöjensä mukaisesti, juuri tästä syystä ja viime kädessä vain tästä syystä se osoittautuu ainoaksi todella tieteelliseksi filosofiaksi, joka johtaa oikeaan tieteen ymmärtämiseen. yleensä ja erityisesti matematiikassa.

Johdanto

Meille usein sanotaan koulussa, että matematiikka on tieteiden kuningatar. Eräänä päivänä kuulin toisen lauseen, jonka yksi kouluni opettajista sanoi, ja isäni toistaa mielellään: "Luonto ei ole niin tyhmä, ettei se käyttäisi matematiikan lakeja." (Kotelnikov F.M. entinen matematiikan professori Moskovan valtionyliopiston laitoksella). Tästä sain idean tutkia tätä asiaa.

Tätä ajatusta vahvistaa seuraava sanonta: "Kauneus on aina suhteellista... Ei pidä... olettaa, että valtameren rannat ovat todella muodottomia vain siksi, että niiden muoto on erilainen kuin rakentamiemme laitureiden oikea muoto; vuorten muotoa ei voida pitää epäsäännöllisenä sillä perusteella, että ne eivät ole säännöllisiä kartioita tai pyramideja; vain siksi, että tähtien väliset etäisyydet ovat epäyhtenäiset, ei tarkoita, että ne olisivat hajallaan taivaalla kyvyttömän käden toimesta. Nämä epäsäännöllisyydet ovat olemassa vain mielikuvituksessamme, mutta todellisuudessa ne eivät ole sellaisia eivätkä millään tavalla häiritse elämän todellisia ilmenemismuotoja maan päällä, kasvien ja eläinten valtakunnassa tai ihmisten keskuudessa." (Richard Bentley, 1600-luvun englantilainen tiedemies)

Mutta matematiikkaa opiskellessa luotamme vain kaavojen, lauseiden ja laskelmien tuntemiseen. Ja matematiikka esiintyy edessämme eräänlaisena abstraktina tieteenä, joka toimii numeroiden kanssa. Kuitenkin, kuten käy ilmi, matematiikka on kaunis tiede.

Siksi asetin itselleni seuraavan tavoitteen: näyttää matematiikan kauneus luonnossa olevien kuvioiden avulla.

Tavoitteensa saavuttamiseksi se jaettiin useisiin tehtäviin:

Tutustu erilaisiin luonnon käyttämiin matemaattisiin kuvioihin.

Anna kuvaus näistä malleista.

Yritä oman kokemuksesi avulla löytää matemaattisia suhteita kissan kehon rakenteesta (Kuten eräässä kuuluisassa elokuvassa: harjoittele kissoilla).

Työssä käytetyt menetelmät: aiheeseen liittyvän kirjallisuuden analyysi, tieteellinen kokeilu.

1. Etsi matemaattisia kuvioita luonnosta.

Matemaattisia malleja voidaan etsiä sekä elävästä että elottomasta luonnosta.

Lisäksi on tarpeen määrittää, mitä malleja etsiä.

Koska kuudennella luokalla ei paljon kaavoja opiskeltu, jouduin opiskelemaan lukion oppikirjoja. Lisäksi minun piti ottaa huomioon, että luonto käyttää hyvin usein geometrisia kuvioita. Siksi minun piti kiinnittää huomioni algebraoppikirjojen lisäksi geometrian oppikirjoihin.

Matemaattiset kuviot luonnosta:

Kultainen leikkaus. Fibonaccin numerot (Archimedes-spiraali). Samoin muun tyyppiset spiraalit.
Erilaisia symmetriatyyppejä: keskus, aksiaalinen, pyörivä. Sekä symmetria elävässä ja elottomassa luonnossa.
Kulmat ja geometriset muodot.
Fraktaaleja. Termi fraktaali tulee latinasta fractus (tauko, tauko), ts. luoda epäsäännöllisen muotoisia fragmentteja.
Aritmeettinen ja geometrinen eteneminen.

Katsotaanpa tunnistettuja malleja yksityiskohtaisemmin, mutta hieman eri järjestyksessä.

Ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on läsnäolo symmetria Kreikasta käännettynä tämä sana tarkoittaa "suhteellisuutta, suhteellisuutta, osien järjestelyn yhdenmukaisuutta". Matemaattisesti tiukka ajatus symmetriasta muodostui suhteellisen äskettäin - 1800-luvulla. Yksinkertaisimmassa tulkinnassa (G. Weilin mukaan) nykyaikainen symmetrian määritelmä näyttää tältä: objektia, jota voidaan jollain tavalla muuttaa, jolloin tuloksena on sama asia, josta aloitimme, kutsutaan symmetriseksi. .

Luonnossa kaksi yleisintä symmetriatyyppiä ovat "peili" ja "säde" ("säteittäinen") symmetria. Yhden nimen lisäksi näillä symmetriatyypeillä on kuitenkin muitakin. Joten peilisymmetriaa kutsutaan myös: aksiaalinen, kahdenvälinen, lehtisymmetria. Säteittäistä symmetriaa kutsutaan myös säteittäiseksi symmetriaksi.

Aksiaalinen symmetria esiintyy useimmiten maailmassamme. Talot, erilaiset laitteet, autot (ulkoisesti), ihmiset (!) ovat kaikki symmetrisiä tai melkein. Ihmiset ovat symmetrisiä siinä mielessä, että kaikilla terveillä ihmisillä on kaksi kättä, kummallakin kädellä on viisi sormea; jos taitat kämmenet, se on kuin peilikuva.

Symmetrian tarkistaminen on hyvin yksinkertaista. Riittää, kun otat peilin ja asetat sen suunnilleen esineen keskelle. Jos esineen osa, joka on peilin mattaisella, heijastamattomalla puolella, vastaa heijastusta, kohde on symmetrinen.

Säteittäinen symmetria .Kaikki, mikä kasvaa tai liikkuu pystysuunnassa, ts. ylös tai alas suhteessa maan pintaan säteittäisen symmetrian alaisena.

Monien kasvien lehdillä ja kukilla on säteittäinen symmetria. (Kuva 1, liitteet)

Kasvin juuren tai varren muodostavien kudosten poikkileikkauksissa säteittäinen symmetria on selvästi näkyvissä (kiivit, puun leikkaus). Säteittäinen symmetria on ominaista istuville ja kiinnittyneille muodoille (korallit, hydrat, meduusat, merivuokot). (Kuva 2, liitteet)

Pyörimissymmetria . Kiertyminen tietyllä astemäärällä, johon liittyy siirtyminen kiertoakselin pituudelta, saa aikaan kierteisen symmetrian - kierreportaiden symmetrian. Esimerkki kierteisestä symmetriasta on lehtien järjestely monien kasvien varressa. Auringonkukan päässä on versot, jotka on järjestetty geometrisiksi spiraaleiksi, jotka kääntyvät keskeltä ulospäin. (Kuva 3, liitteet)

Symmetriaa ei löydy vain elävästä luonnosta. Elottomassa luonnossa On myös esimerkkejä symmetriasta. Symmetria ilmenee epäorgaanisen maailman moninaisissa rakenteissa ja ilmiöissä. Kiteen ulkomuodon symmetria on seurausta sen sisäisestä symmetriasta - atomien (molekyylien) järjestyneestä suhteellisesta järjestelystä avaruudessa.

Lumihiutaleiden symmetria on erittäin kaunis.

Mutta on sanottava, että luonto ei siedä tarkkaa symmetriaa. Aina löytyy ainakin pieniä poikkeamia. Siten kätemme, jalkamme, silmämme ja korvamme eivät ole täysin identtisiä toistensa kanssa, vaikka ne ovatkin hyvin samanlaisia.

Kultainen leikkaus.

Kultaista suhdetta ei tällä hetkellä opeteta kuudennella luokalla. Mutta tiedetään, että kultainen leikkaus tai kultainen osuus on pienemmän osan suhde suurempaan, mikä antaa saman tuloksen jaettaessa koko segmentti suurempaan osaan ja jaettaessa suurempi osa pienempään. Kaava: A/B=B/C

Periaatteessa suhde on 1/1,618. Kultainen leikkaus on hyvin yleinen eläinmaailmassa.

Voidaan sanoa, että ihminen "koostuu" kokonaan kultaisesta leikkauksesta. Esimerkiksi silmien välinen etäisyys (1,618) ja kulmakarvojen välinen etäisyys (1) on kultainen leikkaus. Ja etäisyys navasta jalkaan ja korkeus on myös kultainen osuus. Koko kehomme on "täytynyt" kultaisiin mittasuhteisiin. (Kuva 5, liitteet)

Kulmat ja geometriset muodot Ne ovat yleisiä myös luonnossa. Kulmia on havaittavissa, esimerkiksi ne näkyvät selvästi auringonkukansiemenissä, hunajakennoissa, hyönteisten siivissä, vaahteran lehdissä jne. Vesimolekyylin kulma on 104,7 0 C. Mutta on myös hienovaraisia kulmia. Esimerkiksi auringonkukan kukinnossa siemenet sijaitsevat 137,5 asteen kulmassa keskustaan nähden.

Geometriset hahmot He näkivät myös kaiken elävässä ja elottomassa luonnossa, mutta he eivät kiinnittäneet niihin juurikaan huomiota. Kuten tiedät, sateenkaari on osa ellipsiä, jonka keskipiste on maanpinnan alapuolella. Kasvien ja luumuhedelmien lehdet ovat elliptisiä. Vaikka ne voidaan todennäköisesti laskea jollain monimutkaisemmalla kaavalla. Esimerkiksi tämä (kuva 6, liitteet):

Kuusi, tietyntyyppiset kuoret ja erilaiset käpyjä ovat kartiomaisia. Jotkut kukinnot näyttävät joko pyramidilta, oktaedrilta tai samalta kartiolta.

Tunnetuin luonnollinen kuusikulmio on hunajakenno (mehiläinen, ampiainen, kimalainen jne.). Toisin kuin monet muut muodot, niillä on melkein ihanteellinen muoto ja ne eroavat vain solujen koosta. Mutta jos kiinnität huomiota, huomaat, että myös hyönteisten yhdistelmäsilmät ovat lähellä tätä muotoa.

Kuusenkäpyt ovat hyvin samanlaisia kuin pieniä sylintereitä.

Elottomasta luonnosta on lähes mahdotonta löytää ihanteellisia geometrisia muotoja, mutta monet vuoret näyttävät pyramidilta, joilla on eri pohjat, ja hiekkavartta muistuttaa ellipsiä.

Ja tällaisia esimerkkejä on monia.

Olen jo kattanut kultaisen leikkauksen. Nyt haluan kiinnittää huomioni Fibonacci-luvut ja muut spiraalit, jotka liittyvät läheisesti kultaiseen leikkaukseen.

Spiraalit ovat hyvin yleisiä luonnossa. Spiraalimaisesti käpristyneen kuoren muoto kiinnitti Archimedesin huomion (kuva 2). Hän tutki sitä ja keksi yhtälön spiraalille. Tämän yhtälön mukaan piirrettyä spiraalia kutsutaan hänen nimellä. Hänen askeleen nousu on aina tasaista. Tällä hetkellä Archimedes-spiraalia käytetään laajalti tekniikassa. (Kuva 7 liite)

"Kultaiset" spiraalit ovat laajalle levinneitä biologisessa maailmassa. Kuten edellä todettiin, eläinten sarvet kasvavat vain toisesta päästä. Tämä kasvu tapahtuu logaritmisena spiraalina. Kirjassa "Curved Lines in Life" T. Cook tutkii erilaisia spiraaleja, joita esiintyy pässien, vuohien, antilooppien ja muiden sarvieläinten sarvissa.

Lehtien kierteinen ja kierteinen asettuminen puiden oksiin huomattiin jo kauan sitten. Kierre näkyi auringonkukansiementen, käpyjen, ananasten, kaktusten jne. Kasvitieteilijöiden ja matemaatikoiden yhteinen työ on tuonut valoa näihin hämmästyttäviin luonnonilmiöihin. Kävi ilmi, että lehtien sijoittelussa oksalle - filotaxis, auringonkukansiemenet, käpyjä - Fibonacci-sarja ilmenee, ja siksi kultaisen suhteen laki ilmenee. Hämähäkki kutoo verkkonsa spiraalimaisesti. Hurrikaani pyörii kuin spiraali. Pelästynyt porolauma hajoaa kierteessä.

Ja lopuksi tiedon kantajat - DNA-molekyylit - ovat myös kierretty spiraaliksi. Goethe kutsui spiraalia "elämän kaareksi".

Männynkäpyn asteikot sen pinnalla on järjestetty tiukasti säännöllisesti - kahta spiraalia pitkin, jotka leikkaavat suunnilleen suorassa kulmassa.

Palataan kuitenkin yhteen valittuun spiraaliin - Fibonacci-lukuihin. Nämä ovat erittäin mielenkiintoisia lukuja. Luku saadaan lisäämällä kaksi edellistä. Tässä ovat alkuperäiset Fibonacci-luvut luvulle 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Ja katsotaanpa joitain havainnollistavia esimerkkejä (dia 14).

Fraktaalejaavattiin vähän aikaa sitten. Fraktaaligeometrian käsite ilmestyi 1900-luvun 70-luvulla. Nyt fraktaalit ovat tulleet aktiivisesti elämäämme, ja jopa sellainen suunta kuin fraktaaligrafiikka on kehittymässä. (Kuva 8, liitteet)

Fraktaaleja esiintyy luonnossa melko usein. Tämä ilmiö on kuitenkin tyypillisempi kasveille ja elottomille luonnolle. Esimerkiksi saniaisten lehdet, sateenvarjokukinnot. Elottomassa luonnossa näitä ovat salamaniskut, ikkunoiden kuviot, puiden oksiin tarttuva lumi, rannikon elementit ja paljon muuta.

Geometrinen eteneminen.

Geometrinen progressio sen yksinkertaisimmassa määritelmässä on edellisen luvun kertominen kertoimella.

Tämä eteneminen on läsnä yksisoluisissa organismeissa. Esimerkiksi mikä tahansa solu on jaettu kahteen, nämä kaksi on jaettu neljään jne. Tämä on siis geometrinen progressio, jonka kerroin on 2. Yksinkertaisesti sanottuna solujen määrä kasvaa 2 kertaa jokaisella jaolla.

Se on aivan sama bakteerien kanssa. Jako, kaksinkertaistaa väestön.

Siten tutkin luonnossa esiintyviä matemaattisia malleja ja annoin asiaankuuluvia esimerkkejä.

On huomattava, että tällä hetkellä luonnon matemaattisia lakeja tutkitaan aktiivisesti ja on olemassa jopa tiede nimeltä biosymmetria. Se kuvaa paljon monimutkaisempia malleja kuin mitä työssä käsiteltiin.

Tieteellisen kokeen suorittaminen.

Perustelut valinnalle:

Kissa valittiin koeeläimeksi useista syistä:

Minulla on kissa kotona;

Minulla on niitä neljä kotona, joten saatujen tietojen pitäisi olla tarkempia kuin yhtä eläintä tutkittaessa.

Kokeilujärjestys:

Kissan vartalon mittaaminen.

Saavutettujen tulosten kirjaaminen;

Etsi matemaattisia kuvioita.

Päätelmät saatujen tulosten perusteella.

Luettelo asioista, joita kissalla tutkia:

Symmetria;
Kultainen leikkaus;
Spiraalit;
Kulmat;
Fraktaalit;
Geometrinen eteneminen.

Symmetriatutkimus kissalla esimerkkinä osoitti, että kissa on symmetrinen. Symmetriatyyppi – aksiaalinen, ts. se on symmetrinen akselin suhteen. Kuten teoreettisessa aineistossa tutkittiin, kissalle liikkuvana eläimenä säteittäinen, keskus- ja pyörimissymmetria on epätyypillistä.

Kultaisen leikkauksen tutkimiseksi otin mittauksia kissan vartalosta ja valokuvasin sen. Vartalon koon suhde hännän kanssa ja ilman häntää, vartalon ilman häntää suhde päähän on todella lähellä kultaisen leikkauksen arvoa.

65/39=1,67

39/24=1,625

Tässä tapauksessa on otettava huomioon mittausvirhe ja villan suhteellinen pituus. Mutta joka tapauksessa saadut tulokset ovat lähellä arvoa 1,618. (Kuva 9, liite).

Kissa kieltäytyi itsepintaisesti antamasta häntä mitata, joten yritin valokuvata häntä, koonnut kultaisen leikkauksen asteikon ja asetin sen kissojen valokuvien päälle. Jotkut tuloksista olivat erittäin mielenkiintoisia.

Esimerkiksi:

istuvan kissan korkeus lattiasta päähän ja päästä "kainaloon";
"ranne- ja kyynärpäänivelet";
istuvan kissan korkeus pään korkeuteen;
kuonon leveys nenäselän leveyteen;
kuonon korkeus silmien korkeuteen;
nenän leveydestä sieraimien leveyteen;

Löysin kissasta vain yhden spiraalin - nämä ovat kynnet. Vastaavaa spiraalia kutsutaan involuutioksi.

Kissan vartalosta löytyy erilaisia geometrisia muotoja, mutta minä etsin kulmia. Vain kissan korvat ja kynnet olivat kulmikkaita. Mutta kuten aiemmin määritin, kynnet ovat spiraaleja. Korvien muoto muistuttaa enemmän pyramidia.

Fraktaalien etsiminen kissan kehosta ei tuottanut tulosta, koska siinä ei ole mitään samanlaista ja se on jaettu samoihin pieniin yksityiskohtiin. Fraktaalit ovat kuitenkin enemmän tyypillisiä kasveille kuin eläimille, erityisesti nisäkkäille.

Mutta pohdittuani tätä asiaa, tulin siihen tulokseen, että kissan kehossa on fraktaaleja, mutta sisäisessä rakenteessa. Koska en ollut vielä opiskellut nisäkkäiden biologiaa, käännyin Internetiin ja löysin seuraavat piirustukset (kuva 10, liitteet):

Heidän ansiostaan vakuuttuin siitä, että kissan verenkierto- ja hengitysjärjestelmät ovat fraktaalilain mukaan.

Geometrinen eteneminen on ominaista lisääntymisprosessille, mutta ei keholle. Aritmeettinen eteneminen ei ole tyypillistä kissoille, koska kissa synnyttää tietyn määrän kissanpentuja. Kissojen lisääntymisessä voidaan todennäköisesti löytää geometrinen eteneminen, mutta todennäköisesti siellä on joitain monimutkaisia kertoimia. Selitän ajatukseni.

Kissa alkaa synnyttää pentuja 9 kuukauden ja 2 vuoden iässä (kaikki riippuu kissasta). Raskausaika on 64 päivää. Kissa imettää pentuja noin 3 kuukautta, joten keskimäärin hänellä on 4 pentuetta vuodessa. Pentujen lukumäärä on 3-7. Kuten näet, tiettyjä kuvioita voidaan saada kiinni, mutta tämä ei ole geometrinen eteneminen. Parametrit ovat liian epämääräisiä.

Sain nämä tulokset:

Kissan vartalo sisältää: aksiaalisymmetriaa, kultaisia mittasuhteita, spiraaleja (kynnet), geometrisia muotoja (pyramidikorvat).

Ulkonäössä ei ole fraktaaleja tai geometrista progressiota.

Kissan sisäinen rakenne kuuluu enemmän biologian alaan, mutta on huomioitava, että keuhkojen ja verenkiertoelimen rakenne (kuten muutkin eläimet) noudattaa fraktaalien logiikkaa.

Johtopäätös

Työssäni tutustuin aiheeseen liittyvään kirjallisuuteen ja pääasiallisiin teoreettisiin kysymyksiin. Hän osoitti erityisellä esimerkillä, että luonnossa moni, ellei kaikki, noudattaa matemaattisia lakeja.

Tutkittuani materiaalia ymmärsin, että luonnon ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä matematiikan lisäksi algebraa, geometriaa ja niiden osia: stereometriaa, trigonometriaa jne.

Kotikissan esimerkin avulla tutkin matemaattisten lakien toteutumista. Tuloksena huomasin, että kissan kehossa on aksiaalista symmetriaa, kultaista mittasuhdetta, spiraaleja, geometrisia muotoja ja fraktaaleja (sisäisessä rakenteessa). Mutta samaan aikaan hän ei pystynyt löytämään geometristä etenemistä, vaikka tietyt kuviot kissojen lisääntymisessä olivat selvästi näkyvissä.

Ja nyt olen samaa mieltä lauseesta: "Luonto ei ole niin tyhmä, ettei se alistaisi kaikkea matematiikan laeille."

Joskus näyttää siltä, että maailmamme on yksinkertainen ja ymmärrettävä. Itse asiassa tämä on maailmankaikkeuden suuri mysteeri, joka loi niin täydellisen planeetan. Tai ehkä sen on luonut joku, joka luultavasti tietää mitä tekee? Aikamme suurimmat mielet työskentelevät tämän asian parissa.

Joka kerta he tulevat siihen tulokseen, että on mahdotonta luoda kaikkea, mitä meillä on ilman korkeampaa mieltä. Kuinka poikkeuksellinen, monimutkainen ja samalla yksinkertainen ja spontaani planeettamme Maa onkaan! Ympäröivä maailma on hämmästyttävä säännöillään, muodoillaan ja väreillään.

Luonnon lait

Ensimmäinen asia, johon voit kiinnittää huomiota valtavalla ja hämmästyttävällä planeetallamme, on se, että sitä esiintyy kaikissa ympäröivän maailman muodoissa, ja se on myös kauneuden, ihanteellisuuden ja suhteellisuuden perusperiaate. Tämä ei ole muuta kuin matematiikkaa luonnossa.

Käsite "symmetria" tarkoittaa harmoniaa, oikeellisuutta. Tämä on ympäröivän todellisuuden ominaisuus, joka systematisoi fragmentteja ja muuttaa ne yhdeksi kokonaisuudeksi. Muinaisessa Kreikassa tämän lain merkkejä alettiin havaita ensimmäistä kertaa. Esimerkiksi Platon uskoi, että kauneus näkyy yksinomaan symmetrian ja suhteellisuuden seurauksena. Itse asiassa, jos katsomme esineitä, jotka ovat suhteellisia, oikeita ja täydellisiä, sisäinen tilamme on kaunis.

Matematiikan lait elävässä ja elottomassa luonnossa

Katsotaanpa mitä tahansa olentoa, esimerkiksi täydellisintä - ihmistä. Näemme kehon rakenteen, joka näyttää samalta molemmilta puolilta. Voit myös luetella monia esimerkkejä, kuten hyönteisiä, eläimiä, meren elämää, lintuja. Jokaisella lajilla on oma värinsä.

Jos kuvioita tai kuvioita on olemassa, sen tiedetään peilautuvan keskiviivan ympärille. Kaikki organismit syntyvät maailmankaikkeuden sääntöjen ansiosta. Tällaisia matemaattisia kuvioita voidaan jäljittää myös elottomassa luonnossa.

Jos kiinnität huomiota kaikkiin ilmiöihin, kuten tornado, sateenkaari, kasvit, lumihiutaleet, voit löytää niistä paljon yhteistä. Suhteellisen puun lehti jaetaan kahtia, ja jokainen osa on heijastus edellisestä.

Jos otamme esimerkkinä tornadon, joka nousee pystysuunnassa ja näyttää suppilolta, niin se voidaan myös jakaa kahteen täysin identtiseen puolikkaaseen. Symmetria-ilmiön löydät päivän ja yön, vuodenaikojen vaihtumisesta. Ympäröivän maailman lait ovat matematiikkaa luonnossa, jolla on oma täydellinen järjestelmänsä. Koko käsitys maailmankaikkeuden luomisesta perustuu siihen.

Sateenkaari

Emme usein ajattele luonnonilmiöitä. Satoi lunta tai satoi, aurinko paistoi tai ukkonen iski - tavallinen muuttuvan sään tila. Harkitse moniväristä kaaria, joka löytyy yleensä sateen jälkeen. Sateenkaari taivaalla on hämmästyttävä luonnonilmiö, johon liittyy vain ihmissilmälle näkyvä kaikkien värien kirjo. Tämä tapahtuu, koska auringonsäteet kulkevat poistuvan pilven läpi. Jokainen sadepisara toimii prismana, jolla on optisia ominaisuuksia. Voimme sanoa, että jokainen pisara on pieni sateenkaari.

Läpiessään vesiesteen läpi säteet muuttavat alkuperäistä väriään. Jokaisella valovirralla on tietty pituus ja sävy. Siksi silmämme näkevät sateenkaaren niin värikkäänä. Huomattakoon mielenkiintoinen tosiasia, että vain ihmiset voivat nähdä tämän ilmiön. Koska se on vain illuusio.

Sateenkaaren tyypit

Auringon muodostamat sateenkaaret ovat yleisimpiä. Se on kirkkain kaikista lajikkeista. Koostuu seitsemästä pääväristä: punainen oranssi, keltainen, vihreä, sininen, indigo, violetti. Mutta jos katsomme yksityiskohtia, on olemassa paljon enemmän sävyjä kuin silmämme näkevät.
Kuun luoma sateenkaari esiintyy yöllä. Uskotaan, että sen voi aina nähdä. Mutta kuten käytäntö osoittaa, tämä ilmiö havaitaan pääasiassa vain sateisilla alueilla tai suurten vesiputousten lähellä. Kuun sateenkaaren värit ovat hyvin himmeitä. Ne on tarkoitettu tutkittavaksi vain erikoislaitteiden avulla. Mutta jopa sen kanssa silmämme erottaa vain valkoisen kaistaleen.
Sumun seurauksena ilmaantuva sateenkaari on kuin leveä loistava valokaari. Joskus tämä tyyppi sekoitetaan edelliseen. Väri voi olla ylhäältä oranssi ja alhaalta violetti sävy. Sumun läpi kulkevat auringonsäteet muodostavat kauniin luonnonilmiön.
näkyy erittäin harvoin taivaalla. Se ei ole samanlainen kuin aikaisemmat tyypit vaakasuorassa muodossaan. Ilmiö on mahdollinen vain cirruspilvien yläpuolella. Ne ulottuvat yleensä 8-10 kilometrin korkeuteen. Kulman, jossa sateenkaari näyttää itsensä kaikessa loistossaan, on oltava yli 58 astetta. Värit pysyvät yleensä samoina kuin auringon sateenkaaressa.

Kultainen suhde (1,618)

Ihanteellinen suhteellisuus löytyy useimmiten eläinmaailmasta. He saavat osuuden, joka on yhtä suuri kuin yhtä vastaavan PHI-luvun juuri. Tämä suhde on kaikkien planeetan eläinten yhdistävä tosiasia. Antiikin suuret mielet kutsuivat tätä lukua jumalalliseksi suhteeksi. Sitä voidaan kutsua myös kultaiseksi leikkaukseksi.

Tämä sääntö on täysin yhdenmukainen ihmisen rakenteen harmonian kanssa. Jos esimerkiksi määrität silmien ja kulmakarvojen välisen etäisyyden, se on yhtä suuri kuin jumalallinen vakio.

Kultainen leikkaus on esimerkki matematiikan merkityksestä luonnossa, jonka lakia alkoivat noudattaa suunnittelijat, taiteilijat, arkkitehdit sekä kauniiden ja täydellisten asioiden luojat. He luovat jumalallisen vakion avulla luomuksiaan, joissa on tasapainoa, harmoniaa ja joita on miellyttävä katsella. Mielemme pystyy pitämään kauniina niitä asioita, esineitä, ilmiöitä, joissa osien suhde on epätasainen. Aivomme kutsuvat kultaista suhdetta suhteelliseksi.

DNA heliksi

Kuten saksalainen tiedemies Hugo Weyl aivan oikein totesi, symmetrian juuret tulivat matematiikan kautta. Monet panivat merkille geometristen muotojen täydellisyyden ja kiinnittivät niihin huomiota. Esimerkiksi hunajakenno ei ole muuta kuin luonnon itsensä luoma kuusikulmio. Voit myös kiinnittää huomiota kuusen käpyihin, joilla on lieriömäinen muoto. Spiraaleja löytyy usein myös ympäröivästä maailmasta: suurten ja pienten karjan sarvet, nilviäisten kuoret, DNA-molekyylejä.

Luotu kultaisen leikkauksen periaatteen mukaisesti. Se on yhdistävä linkki materiaalikappaleen kaavion ja sen todellisen kuvan välillä. Ja jos ajattelemme aivoja, ne eivät ole muuta kuin johdin kehon ja mielen välillä. Älykkyys yhdistää elämän ja sen ilmenemismuodon ja antaa muodon sisältämän elämän tuntea itsensä. Tämän avulla ihmiskunnan on mahdollista ymmärtää ympäröivää planeettaa, etsiä siitä malleja, jotka sitten soveltuvat sisäisen maailman tutkimiseen.

Jako luonnossa

Solumitoosi koostuu neljästä vaiheesta:

Prophase. Sen ydin kasvaa. Näkyviin tulee kromosomeja, jotka alkavat kiertyä spiraaliksi ja muuttuvat tavanomaiseen muotoonsa. Muodostuu paikka solujen jakautumiselle. Vaiheen lopussa ydin ja sen kuori liukenevat ja kromosomit virtaavat sytoplasmaan. Tämä on jaon pisin vaihe.
Metafaasi. Täällä kromosomien kierteitys päättyy ja ne muodostavat metafaasilevyn. Kromatidit sijoitetaan vastakkain jakamiseen valmistautuessaan. Niiden välissä näkyy katkaisupaikka - kara. Tämä päättää toisen vaiheen.

Anafaasi. Kromatidit eroavat vastakkaisiin suuntiin. Solulla on nyt kaksi sarjaa kromosomeja niiden jakautumisen vuoksi. Tämä vaihe on hyvin lyhyt.
Telofaasi. Solun jokaiseen puoliskoon muodostuu ydin, jonka sisällä muodostuu tuma. Sytoplasma dissosioituu aktiivisesti. Kara häviää vähitellen.

Mitoosin merkitys

Ainutlaatuisen jakautumismenetelmän ansiosta jokaisella myöhemmällä solulla on lisääntymisen jälkeen sama geenikoostumus kuin sen äidillä. Molemmat solut saavat saman kromosomikoostumuksen. Tätä ei voitaisi tehdä ilman sellaista tiedettä kuin geometria. Mitoosin eteneminen on tärkeää, koska tämä on periaate, jolla kaikki solut lisääntyvät.

Mistä mutaatiot tulevat?

Tämä prosessi varmistaa jatkuvan kromosomien ja geneettisten materiaalien saatavuuden jokaisessa solussa. Mitoosin ansiosta keho kehittyy, lisääntyy ja uusiutuu. Joidenkin myrkkyjen vaikutuksesta johtuvassa häiriössä kromosomit eivät välttämättä erotu puoliksi tai niissä voi esiintyä rakenteellisia häiriöitä. Tämä on selvä osoitus alkavista mutaatioista.

Yhteenvetona

Mitä yhteistä on matematiikalla ja luonnolla? Löydät vastauksen tähän kysymykseen artikkelistamme. Ja jos kaivaa syvemmälle, on sanottava, että ympärillämme olevaa maailmaa tutkimalla ihminen oppii tuntemaan itsensä. Ilman Häntä, joka synnytti kaiken elävän, mitään ei olisi voinut tapahtua. Luonto on yksinomaan harmoniassa, lakiensa tiukassa järjestyksessä. Onko tämä kaikki mahdollista ilman syytä?

Lainataanpa tiedemiehen, filosofin, matemaatikon ja fyysikon Henri Poincarén lausuntoa, joka, kuten kukaan muu, voi vastata kysymykseen, onko matematiikka luonnossa todella perustavaa. Jotkut materialistit eivät ehkä pidä tällaisesta päättelystä, mutta on epätodennäköistä, että he kykenisivät kumoamaan sen. Poincaré sanoo, että harmoniaa, jonka ihmismieli haluaa löytää luonnosta, ei voi olla sen ulkopuolella. joka on läsnä ainakin muutaman yksilön mielessä, voi olla koko ihmiskunnan saatavilla. Yhteyttä, joka kokoaa yhteen henkisen toiminnan, kutsutaan maailman harmoniaksi. Viime aikoina tällaisessa prosessissa on edistytty valtavasti, mutta ne ovat hyvin pieniä. Näiden maailmankaikkeuden ja yksilön yhdistävien linkkien pitäisi olla arvokkaita kaikille ihmismielelle, joka on herkkä näille prosesseille.

Johdanto. 2

Luku 1. Elävän luonnon matemaattiset lait. 3

Luku 2. Luonnon muodonmuodostuksen periaatteet 5

Luku 3. Kultainen suhde 8

Luku 4. Escherin geometrinen rapsodia. 15

Luku 5. Transsendenttinen luku   18

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta. 20

Johdanto.

Pinnallisesti matematiikan tunteessa se saattaa tuntua käsittämättömältä kaavojen, numeeristen riippuvuuksien ja loogisten polkujen labyrintilta. Satunnaiset vierailijat, jotka eivät ole tienneet matemaattisten aarteiden todellista arvoa, pelkäävät matemaattisten abstraktioiden kuivaa kaavaa, jonka kautta matemaatikko näkee todellisuuden elävän monivärisen.

Jokainen, joka on ymmärtänyt matematiikan ihmeellisen maailman, ei jää vain sen aarteiden innokkaaksi tutkijaksi. Hän itse pyrkii luomaan uusia matemaattisia objekteja etsien tapoja ratkaista uusia ongelmia tai uusia, edistyneempiä ratkaisuja jo ratkaistuihin ongelmiin. Pythagoraan lauseesta on jo löydetty ja julkaistu yli 300 todistetta, kymmeniä ei-klassisia ympyrän kvadratuureja, kulman kolmiosia ja kuution tuplauksia.

Mutta levoton, utelias ajatus johtaa uusiin etsintöihin. Samanaikaisesti jopa enemmän kuin itse tulos sen etsiminen houkuttelee. Tämä on luonnollista. Loppujen lopuksi polku jokaisen riittävän merkityksellisen ongelman ratkaisemiseen on aina hämmästyttävä johtopäätösten ketju, jota sementoi logiikan laki.

Matemaattinen luovuus on aitoa mielen luovuutta. Neuvostoliiton matemaatikko G.D. Suvorov kirjoitti näin: "Loogisesti moitteettomasti kirjoitettu teoreema näyttää todella olevan vailla runollista alkua, eikä se näytä olevan tulisen fantasian hedelmä, vaan äitilogiikan synkkä lapsi. Mutta kukaan paitsi tiedemies ei tiedä, mikä fantasioiden ja runollisten lentojen pyörre todellisuudessa synnytti tämän lauseen. Loppujen lopuksi hän oli siivekäs, eksoottinen perhonen, ennen kuin hänet vangittiin, logiikan tuudittamana ja paperiin kiinnitettynä todisteina!" On luonnollista, että muistelmissaan K.F. Gauss, A. Poincaré, J. Hadamard, A.N. Kolmogorov ja muut erinomaiset matemaatikot puhuivat suuresta ilosta, aidosta esteettisestä nautinnosta, jonka he kokivat etsiessään vastauksia ratkaisemattomiin ongelmiin, että ne olivat heille teitä. tuntemattomaan. Koska he tulivat näihin ratkaisuihin ensimmäistä kertaa, ja matematiikka antoi heille täyden mittakaavan pioneerien ilosta.

Joissakin ongelmissa monien vastausteiden joukossa on yksi, odottamattomin, usein huolellisesti "naamioitu" ja yleensä kaunein ja halutuin. On suuri ilo löytää se ja kävellä sitä pitkin. Tällaisten ratkaisujen etsiminen, kyky mennä jo tunnettujen algoritmien kykyjä pidemmälle, on todellista esteettistä matemaattista luovuutta.
^

Luku 1. Elävän luonnon matemaattiset lait.

Villieläimissä on lukuisia symmetrisiä eliömuotoja. Monissa tapauksissa organismin symmetristä muotoa täydentävät värikkäät, symmetriset värit.

Pieni, tuskin 4 mm:n mittainen koivupärskä ei tietenkään osaa korkeampaa matematiikkaa. Mutta tehdessään kehdon jälkeläisilleen, hän "piirtää" tai pikemminkin kaivertaa puunlehteen evoluution - käyrän, joka edustaa monia lehden kaarevuuskeskuksia. Lehden reuna on evoluutio kärsäkäskon leikkaamaan käyrään nähden.

Hunajakennosolun arkkitehtuuri on monimutkaisten geometristen kuvioiden alainen.

Populaatiolukujen vaihteluiden teoreettiset käyrät ja vaihekäyrät kahden vuorovaikutuksessa olevan lajin (biokenoosi) "peto-saalis" koostumuksessa.

Vito Voltaire (1860-1940) on erinomainen italialainen matemaatikko. Rakensi teorian biologisten populaatioiden dynamiikasta,

jossa hän sovelsi differentiaaliyhtälöiden menetelmää.

Kuten useimmat biologisten ilmiöiden matemaattiset mallit, se perustuu moniin yksinkertaistaviin oletuksiin.

SISÄÄN Hyppääessä eläinten massakeskus kuvaa hyvin tunnettua hahmoa - neliömäistä paraabelia, jonka oksat ovat alaspäin: y=ax 2, a>1, a

Monien kasvien lehtien ääriviivat ovat kauniita. Suurella tarkkuudella niiden muotoja kuvataan eleganteilla yhtälöillä polaarisessa tai karteesisessa koordinaatistossa.

Luku 2. Luonnon muodonmuodostuksen periaatteet

Kaikki, mikä sai jonkin muodon, muodostui, kasvoi, pyrki ottamaan paikan avaruudessa ja säilyttämään itsensä. Tämä halu toteutuu pääasiassa kahdessa vaihtoehdossa - kasvamalla ylöspäin tai leviämällä maan pinnalle ja kiertymällä spiraalina.

Kuori on kierretty spiraaliksi. Jos avaat sen, saat hieman lyhyemmän pituuden kuin käärmeen pituus. Pienessä kymmenen senttimetrin kuoressa on 35 cm pitkä spiraali, joka on luonnossa hyvin yleistä.

Spiraalimaisesti kiertyneen kuoren muoto herätti Archimedesin huomion. Hän tutki sitä ja keksi yhtälön spiraalille. Tämän yhtälön mukaan piirrettyä spiraalia kutsutaan hänen nimellä. Hänen askeleen nousu on aina tasaista. Tällä hetkellä Archimedes-spiraalia käytetään laajalti tekniikassa.

Goethe korosti myös luonnon taipumusta spiraalisuuteen. Lehtien kierteinen ja kierteinen asettuminen puiden oksiin huomattiin jo kauan sitten. Kierre näkyi auringonkukansiementen, käpyjen, ananasten, kaktusten jne. Hämähäkki kutoo verkkonsa spiraalimaisesti. Hurrikaani pyörii kuin spiraali. Pelästynyt porolauma hajoaa kierteessä. DNA-molekyyli on kierretty kaksoiskierteeksi. Goethe kutsui spiraalia "elämän kaareksi".

Nilviäisten Nautilus, Haliotis ja muut kuoret on muodostettu logaritmisen spiraalin muotoon: p=ae b φ .

Kasvien nuorten versojen lehdet on järjestetty spatiaaliseen spiraaliin. Ja katsomalla niitä ylhäältä, löydämme toisen spiraalin, koska ne on myös sijoitettu niin, etteivät ne häiritse toistensa käsitystä auringonvalosta. Yksittäisten lehtien välisiä etäisyyksiä kuvaavat Fibonacci-sarjanumerot: 1,1,2,3,5,8,…,u n, u n +1,…, missä u n =u n -1 +u n -2.

Auringonkukassa siemenet ovat tyypillisiä kaaria, jotka ovat lähellä kahta logaritmisen spiraalin perhettä.

Luonto suosi logaritmista spiraalia tämän käyrän monien merkittävien ominaisuuksien vuoksi. Se ei esimerkiksi muutu samankaltaisuusmuunnoksen aikana.

Näin ollen kehon ei tarvitse rakentaa uudelleen kehonsa arkkitehtuuria kasvuprosessin aikana.

Hämmästyttävä esimerkki elävien olioiden epäsymmetriastaan submolekyylitasolla on perinnöllisen tiedon materiaalikantajan toissijainen muoto - jättiläis-DNA-molekyylin kaksoiskierre. Mutta DNA on jo nukleosomin ympärille kierretty heliksi; se on kaksinkertainen heliksi. Elämä syntyy vaikeassa, hämmästyttävän tarkassa prosessissa, jossa toteutetaan arkkitehdin luonnon suunnitelmia, joiden mukaan proteiinimolekyylejä rakennetaan.

Hämähäkki kutoo ansansa monimutkaisen transsendentaalisen käyrän muodossa - logaritmisen spiraalin p=ae b φ

Luku 3. Kultainen suhde

Ihminen erottaa ympärillään olevat esineet niiden muodon perusteella. Kiinnostus esineen muotoa kohtaan voi johtua elintärkeästä välttämättömyydestä tai sen voi aiheuttaa muodon kauneus. Muoto, jonka rakenne perustuu symmetrian ja kultaisen leikkauksen yhdistelmään, edistää parhaan visuaalisen havainnoinnin sekä kauneuden ja harmonian tunteen ilmaantumista. Kokonaisuus koostuu aina osista, erikokoiset osat ovat tietyssä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Kultaisen leikkauksen periaate on korkein ilmentymä kokonaisuuden ja sen osien rakenteellisesta ja toiminnallisesta täydellisyydestä taiteessa, tieteessä, tekniikassa ja luonnossa.

Matematiikassa suhde (lat. proportio) on kahden suhteen yhtäläisyys: a: b = c: d.

Suora jana AB voidaan jakaa kahteen osaan seuraavilla tavoilla:

kahteen yhtä suureen osaan – AB: AC = AB: BC;
kahteen eriarvoiseen osaan millään tavalla (sellaiset osat eivät muodosta mittasuhteita);
siis kun AB: AC = AC: BC.

Jälkimmäinen on segmentin kultainen jako tai jako äärimmäisessä ja keskimääräisessä suhteessa.

^ Kultainen suhde- tämä on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti liittyy suurempaan osaan, kun suurempi osa itse pienempiin; tai toisin sanoen pienempi segmentti on suurempi kuin suurempi on kokonaisuus

a: b = b: c tai c: b = b: a.

Geometrinen kuva kultaisesta leikkauksesta

P Käytännön tutustuminen kultaiseen leikkaukseen alkaa jakamalla suora jana kultaiseen mittasuhteeseen kompassin ja viivaimen avulla. Suoran janan jakaminen kultaisen leikkauksen avulla. BC = 1/2 AB; CD = BC

Pisteestä B palautetaan kohtisuora, joka on yhtä suuri kuin puoli AB. Tuloksena oleva piste C yhdistetään suoralla pisteeseen A. Tuloksena olevalle suoralle asetetaan jana BC, joka päättyy pisteeseen D. Jana AD siirretään suoralle AB. Tuloksena oleva piste E jakaa janan AB kultaisessa suhteessa.

Kultaisen osuuden segmentit ilmaistaan äärettömällä irrationaalisella murtoluvulla AE = 0,618..., jos AB otetaan yhdeksi, BE = 0,382... Käytännön tarkoituksiin käytetään usein likimääräisiä arvoja 0,62 ja 0,38. Jos segmentiksi AB otetaan 100 osaa, niin suurin osa segmentistä on 62 ja pienempi osa 38 osaa.

Kultaisen leikkauksen ominaisuuksia kuvataan yhtälöllä:

x 2 – x – 1 = 0.

Ratkaisu tähän yhtälöön:

Kultaisen leikkauksen ominaisuudet ovat luoneet tämän numeron ympärille romanttisen mysteerin ja lähes mystisen palvonnan auran.
^ Kultaisen leikkauksen historia
On yleisesti hyväksyttyä, että kultaisen jaon käsitteen otti tieteelliseen käyttöön Pythagoras, muinainen kreikkalainen filosofi ja matemaatikko (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljeefien, taloustavaroiden ja korujen mittasuhteet Tutankhamonin haudasta osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä. Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier havaitsi, että Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä kuvien mittasuhteet vastaavat kultaisen jaon arvoja. Arkkitehti Khesira, joka on kuvattu hänen mukaansa nimetystä haudasta peräisin olevan puulevyn reliefillä, pitää käsissään mittalaitteita, joihin on kirjattu kultaisen jaon mittasuhteet.

Kreikkalaiset olivat taitavia geometrioita. He jopa opettivat aritmetiikkaa lapsilleen geometristen kuvioiden avulla. Pythagoraan neliö ja tämän neliön diagonaali olivat perusta dynaamisten suorakulmioiden rakentamiselle.

^ Dynaamiset suorakulmiot

Myös Platon (427...347 eKr.) tiesi kultaisesta jaosta. Hänen dialoginsa "Timaeus" on omistettu Pythagoraan koulukunnan matemaattisille ja esteettisille näkemyksille ja erityisesti kultaisen jaon kysymyksiin.

Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on kultaiset mittasuhteet. Sen kaivauksissa löydettiin kompasseja, joita käyttivät muinaisen maailman arkkitehdit ja kuvanveistäjät. Pompeian kompassi (museo Napolissa) sisältää myös kultaisen jaon mittasuhteet.

Muinaisessa kirjallisuudessa, joka on tullut meille, kultainen jako mainittiin ensimmäisen kerran Eukleideen elementeissä. "Periaatteiden" 2. kirjassa on esitetty kultaisen jaon geometrinen rakenne. Eukleideen jälkeen kultaista jakoa tutkivat Hypsicles (2. vuosisata eKr.), Pappus (III vuosisata jKr.) ja muut. keskiaikainen Eurooppa kultaisen jaon kanssa Tapasimme Eukleideen elementtien arabiankielisten käännösten kautta. Kääntäjä J. Campano Navarrasta (III vuosisata) kommentoi käännöstä. Kultaisen divisioonan salaisuuksia vartioitiin mustasukkaisesti ja pidettiin tiukasti salassa. Ne olivat vain vihittyjen tiedossa.

Renessanssin aikana kiinnostus kultaista jakoa kohtaan lisääntyi tiedemiesten ja taiteilijoiden keskuudessa, koska sitä käytettiin sekä geometriassa että taiteessa, erityisesti arkkitehtuurissa.Taiteilija ja tiedemies Leonardo da Vinci näki, että italialaisilla taiteilijoilla oli paljon empiiristä kokemusta, mutta vähän tietoa. Hän tuli raskaaksi ja alkoi kirjoittaa kirjaa geometriasta, mutta tuolloin ilmestyi munkki Luca Paciolin kirja, ja Leonardo hylkäsi ideansa. Aikalaisten ja tieteen historioitsijoiden mukaan Luca Pacioli oli todellinen valomies, Italian suurin matemaatikko Fibonaccin ja Galileon välisenä aikana. Luca Pacioli oli taiteilija Piero della Franceschin oppilas, joka kirjoitti kaksi kirjaa, joista toinen oli nimeltään "Perspektiivistä maalaukseen". Häntä pidetään kuvailevan geometrian luojana.

Luca Pacioli ymmärsi täydellisesti tieteen merkityksen taiteelle. Vuonna 1496 hän saapui Moreaun herttuan kutsusta Milanoon, jossa hän luennoi matematiikasta. Leonardo da Vinci työskenteli tuolloin myös Milanossa Moron hovissa. Vuonna 1509 Venetsiassa julkaistiin Luca Paciolin kirja "The Divine Proportion" upeasti toteutetuilla kuvituksilla, minkä vuoksi uskotaan, että ne ovat Leonardo da Vinci. Kirja oli innostunut hymni kultaiselle leikkaukselle. Kultaisen mittasuhteen monien etujen joukossa munkki Luca Pacioli ei jättänyt nimeämättä sen "jumalallista olemusta" ilmaisuksi jumalallisesta kolminaisuudesta - Jumala poika, Jumala isä ja Jumala pyhä henki (sen vihjattiin, että pieni segmentti on Jumalan pojan personifikaatio, suurempi segmentti on isän jumala ja koko segmentti - Pyhän Hengen Jumala).

Leonardo da Vinci kiinnitti myös paljon huomiota kultaisen divisioonan tutkimukseen. Hän teki osia stereometrisestä kappaleesta, joka muodostui säännöllisistä viisikulmioista, ja joka kerta hän sai suorakulmiot, joiden kuvasuhteet olivat kultaisessa jaossa. Siksi hän antoi tälle jaolle nimen kultainen leikkaus. Joten se on edelleen suosituin.

Samaan aikaan Pohjois-Euroopassa, Saksassa, Albrecht Dürer työskenteli samojen ongelmien parissa. Hän luonnostelee johdannon mittasuhteita käsittelevän traktaatin ensimmäiseen versioon. Dürer kirjoittaa. ”On välttämätöntä, että joku, joka osaa tehdä jotain, opettaa sitä muille, jotka sitä tarvitsevat. Tämä on se, mitä päätin tehdä."

Yhdestä Dürerin kirjeestä päätellen hän tapasi Luca Paciolin ollessaan Italiassa. Albrecht Durer kehittää yksityiskohtaisesti ihmiskehon mittasuhteiden teoriaa. Dürer antoi tärkeän paikan suhdejärjestelmässään kultaiselle leikkaukselle. Ihmisen pituus jaetaan kultaisissa mittasuhteissa vyön viivalla, samoin kuin alas laskettujen käsien keskisormien kärkien läpi, kasvojen alaosan suulla jne. Dürerin suhteellinen kompassi on hyvin tunnettu.

1500-luvun suuri tähtitieteilijä. Johannes Kepler kutsui kultaista leikkausta yhdeksi geometrian aarteista. Hän kiinnitti ensimmäisenä huomion kultaisen mittasuhteen merkitykseen kasvitieteen kannalta (kasvien kasvu ja rakenne).

Seuraavina vuosisatoina kultaisen mittasuhteen sääntö muuttui akateemiseksi kaanoniksi, ja kun ajan mittaan taiteessa alkoi taistelu akateemista rutiinia vastaan, taistelun kuumuudessa "he heittivät vauvan kylpyveden mukana". Kultainen leikkaus ”löydettiin” uudelleen 1800-luvun puolivälissä. Vuonna 1855 saksalainen kultaisen leikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi teoksensa "Aesthetic Studies". Zeisingille tapahtui juuri sitä, mitä väistämättä pitäisi tapahtua tutkijalle, joka pitää ilmiötä sellaisenaan ilman yhteyttä muihin ilmiöihin. Hän ehdotti kultaisen leikkauksen osuutta ja julisti sen universaaliksi kaikille luonnonilmiöille ja taiteelle. Zeisingillä oli lukuisia seuraajia, mutta oli myös vastustajia, jotka julistivat hänen mittasuhteiden oppinsa "matemaattiseksi estetiikaksi".

^ Kultaiset mittasuhteet ihmishahmossa
Zeising teki loistavaa työtä. Hän mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia. Kehon jakautuminen napapisteen mukaan on kultaisen leikkauksen tärkein indikaattori. Miehen vartalon mittasuhteet vaihtelevat keskimääräisen suhteen 13:8 = 1,625 sisällä ja ovat jonkin verran lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen ruumiin mittasuhteet, joihin nähden osuuden keskiarvo ilmaistaan suhteessa 8: 5 = 1,6. Vastasyntyneellä suhde on 1:1, 13-vuotiaana se on 1,6 ja 21-vuotiaana sama kuin miehen. Kultaisen leikkauksen mittasuhteet näkyvät myös suhteessa muihin kehon osiin - olkapään, kyynärvarren ja käden pituuteen, käsiin ja sormiin jne.

^ Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa
1800-luvun lopulla – 1900-luvun alussa. Kultaisen leikkauksen käytöstä taideteoksissa ja arkkitehtuurissa ilmestyi monia puhtaasti formalistisia teorioita. Muotoilun ja teknisen estetiikan kehittyessä kultaisen leikkauksen laki ulottui autojen, huonekalujen jne. suunnitteluun.

Tienvarsien yrttien joukossa kasvaa huomaamaton kasvi - sikuri. Katsotaanpa sitä tarkemmin. Päävarresta on muodostunut verso. Ensimmäinen lehti oli juuri siellä.

Sikuri

Verso heittää voimakkaan avaruuteen, pysähtyy, irrottaa lehden, mutta tällä kertaa se on lyhyempi kuin ensimmäinen, heittää taas avaruuteen, mutta pienemmällä voimalla, vapauttaa vielä pienemmän lehden ja sinkoutuu uudelleen . Jos ensimmäinen päästö otetaan 100 yksikkönä, niin toinen on 62 yksikköä, kolmas - 38, neljäs - 24 jne. Terälehtien pituus riippuu myös kultaisesta suhteesta. Kasvaessaan ja valloittaessaan tilaa kasvi säilytti tietyt mittasuhteet. Sen kasvun impulssit vähenivät vähitellen suhteessa kultaiseen leikkaukseen.

^ Elävä lisko

Ensi silmäyksellä liskon mittasuhteet ovat miellyttäviä silmillemme - sen hännän pituus on suhteessa muun kehon pituuteen, 62-38.

Luonto on jakanut symmetrisiin osiin ja kultaisiin mittasuhteisiin. Osat paljastavat kokonaisuuden rakenteen toiston.
^Linnunmuna

Suuri Goethe, runoilija, luonnontieteilijä ja taiteilija (hän piirsi ja maalasi vesiväreillä), haaveili yhtenäisen opin luomisesta orgaanisten ruumiiden muodosta, muodostumisesta ja muuttamisesta.

Pierre Curie muotoili tämän vuosisadan alussa useita syvällisiä ajatuksia symmetriasta. Hän väitti, ettei minkään kappaleen symmetriaa voida tarkastella ottamatta huomioon ympäristön symmetriaa.

"Kultaisen" symmetrian lait ilmenevät alkuainehiukkasten energiasiirtymissä, joidenkin kemiallisten yhdisteiden rakenteessa, planeetta- ja kosmisissa järjestelmissä, elävien organismien geenirakenteissa. Nämä kuviot, kuten edellä mainittiin, esiintyvät yksittäisten ihmiselinten rakenteessa ja koko kehossa, ja ne ilmenevät myös aivojen biorytmeissä ja toiminnassa sekä visuaalisessa havainnoissa.

Kultaista leikkausta ei voida tarkastella yksinään, erikseen, ilman yhteyttä symmetriaan. Suuri venäläinen kristallografi G.V. Wulf (1863...1925) piti kultaista leikkausta yhtenä symmetrian ilmentymistä.

Luku 4. Escherin geometrinen rapsodia.

Hollantilainen taiteilija Maur Cornelius Escher (1898-1971) loi koko maailman visuaalisia kuvia, jotka paljastavat matematiikan, fysiikan perusideat ja lait sekä psykologiset ominaisuudet, joita ihminen havainnoi todellisuuden kohteista ympärillämme olevassa kolmiulotteisessa tilassa.

Rajoittamaton tila, peilikuvat, tason ja tilan väliset ristiriidat - kaikki nämä käsitteet ilmenevät ikimuistoisissa kuvissa, jotka ovat täynnä erityistä viehätystä. Liskot edustavat visuaalisesti lukiossa opittuja geometrisia kartoituksia.

Ratsumiehet tarjoavat erinomaisen visuaalisen esityksen rinnakkaisesta siirrosta, symmetriasta ja koko tason täyttämisestä monimutkaisilla kuvioilla.

"Kuutio ja taikanauhat." Belvederen nauhat - ei vain -

todella maaginen: geometrinen vitsi, mutta kokonaisuus

Niiden "näkemykset" voivat olla yllätyksiä,

harkitse piirteiden ja koveruuden synnyttämää etumerkkiä ja kuperuutta. ihmisen käsitys esineistä

Riittää, kun muuttaa näkökulmaa kolmiulotteisessa avaruudessa.

kuinka nauhat kiertyvät välittömästi
Maurits Cornelius Escher loi ainutlaatuisen gallerian maalauksista, jotka kuuluvat sekä taiteeseen että tieteeseen. Ne kuvaavat Einsteinin suhteellisuusteoriaa, aineen rakennetta, geometrisia muunnoksia, topologiaa, kristallografiaa ja fysiikkaa. Tästä todistavat joidenkin taiteilijan albumien nimet: "Rajaton tila", "Peilikuvat", "Inversiot", "Polyhedrons", "Suhteellisuus", "Tason ja tilan väliset ristiriidat", "Mahdottomat rakenteet".

"Tunnen usein olevani lähempänä matemaatikoita kuin taiteilijatovereitani", kirjoitti Escher. Hänen maalauksensa ovat todellakin epätavallisia, ne ovat täynnä syvää filosofista merkitystä ja välittävät monimutkaisia matemaattisia suhteita. Escherin maalausten jäljennöksiä käytetään laajasti kuvituksena tieteellisissä ja populaaritieteellisissä kirjoissa.

Luku 5. Transsendenttinen luku  

Numeron  luonne on yksi matematiikan suurimmista mysteereistä. Intuitio ehdotti, että ympyrän pituus ja halkaisija ovat yhtä ymmärrettäviä suureita.

Viimeisten kahden vuosisadan aikana monet tiedemiehet ovat olleet mukana laskemassa satoja desimaaleja.

Kuuluisa englantilainen matemaatikko ja filosofi Bertrand Russell kirjoitti kirjassa "Nightmares of Eminent Personities": "Pin kasvot peitti naamio. Kaikki ymmärsivät, että kukaan ei pystyisi repimään sitä alas ja pysymään hengissä. Naamarin rakojen läpi silmät näyttivät lävistävältä, armottomasti, kylmältä ja salaperäiseltä. Se voi olla liian säälittävää kuvata matemaattista käsitettä, mutta yleisesti se on totta. Itse asiassa luvun  historia on jännittäviä sivuja vuosisatoja vanhasta matemaattisen ajattelun voittomarssista, totuuden löytäjien väsymättömästä työstä. Matkan varrella oli voittoja, katkeria tappioita, dramaattisia yhteentörmäyksiä ja koomisia väärinkäsityksiä. Tiedemiehet ovat tehneet valtavan etsintätyön paljastaen yhden vaikeaselkoisimman, salaperäisimmän ja suosituimman luvun – kreikkalaisella kirjaimella  merkityn numeron – aritmeettisen luonteen.

Sumerilais-babylonialaiset matemaatikot laskivat ympyrän kehän ja pinta-alan likiarvoilla, jotka vastaavat arvoa =3, he tiesivät myös tarkemman likiarvon =3 1/8. Rainen (Ahmes) papyruksessa on ilmoitettu, että ympyrän pinta-ala on (8/9*2R) 2 =256/81R 2

Tämä tarkoittaa, että ≈3.1605… .
Archimedes oli ensimmäinen, joka asetti ympyrän kehän ja pinta-alan laskemisen ongelman tieteelliselle pohjalle. Joten r =  > 48a 96 ≈3,1410>3 10/71

Tiedemies laski ylärajan (3 1/7): 3 10/71≈3.14084...Usbekistanin matemaatikko ja tähtitieteilijä al-Kashi, joka työskenteli kuuluisan matemaatikon ja tähtitieteilijän Ulugbekin tieteellisessä keskustassa, laski luvun 2 16 oikean desimaalin tarkkuudella: 2=6,283 185 307 179 5866.

Kaksinkertaistamalla ympyrään piirrettyjen säännöllisten monikulmioiden sivujen lukumäärän hän sai monikulmion, jossa oli 800 355 168 sivua.

Hollantilainen matemaatikko Ludolf Van Zeijlen (1540-1610) laski 35 desimaalin tarkkuudella  ja jätti tämän arvon kaiverrettavaksi hautamonumentilleen.

Yksi kauneimmista ympyrän kvadratuurista, jonka on tehnyt puolalainen matemaatikko A.A. Kohanski (1631-1700).

Kaikki rakenteet tehdään samalla kompassiratkaisulla ja ne johtavat nopeasti melko hyvään likimäärään.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) – saksalainen matemaatikko, fyysikko, tähtitieteilijä ja filosofi. Otin ratkaisevan askeleen kohti numeron  ratkaisemista. Vuonna 1766

hän todisti luvun  irrationaalisuuden. Numeron salaisuuden paljastamisen tuloksen tiivisti saksalainen matemaatikko Ferdinand Lindemann (1852-1939).

Vuonna 1882 hän osoitti, että luku  on transsendenttinen. Siten ympyrän neliöinnin mahdottomuus tämän ongelman klassisessa muotoilussa todistettiin.

Satunnaiset tapahtumat: ne toteutettiin heittämällä neulaa ja auttoivat myös tutkijoita laskemaan luvun  melko suurella tarkkuudella.
Tämän tehtävän esitti ja suoritti ensin ranskalainen luonnontieteilijä Georges Louis Leclerc Buffon (1707-1788).

Samalla tavalla sveitsiläinen tähtitieteilijä ja matemaatikko Rudolf Wolf (1816-1896) havaitsi 5 tuhannen neulanheiton tuloksena, että  = 3,1596.

Muut tutkijat saivat seuraavat tulokset: 3204 heitolla =3,1533; 3408 heitolla =3,141593.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta.

1. Nuoren matemaatikon tietosanakirja

2. Vasiliev N.B., Gutenmacher V.L. Suorat linjat ja käyrät. - M.: Nauka, 1976

3. Markushevich A.I. Upeat kaaret. – M., Nauka, 1978

4. Stroik D.Ya. Lyhyt katsaus matematiikan historiaan. – M., Nauka, 1984

5. Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa., M., Koulutus, 1982

6. Gardner M. Matemaattiset ihmeet ja salaisuudet. M., Mir. 1978

Kovalev F.V. Kultainen suhde maalauksessa. K.: Vyshcha School, 1989.
Kepler I. Kuusikulmaisista lumihiutaleista. – M., 1982.
Durer A. Päiväkirjat, kirjeet, tutkielmat - L., M., 1957.
Tsekov-Pencil Ts. Tietoja toisesta kultaisesta leikkauksesta. – Sofia, 1983.
Stakhov A. Kultaisen mittasuhteen koodit.