Erityinen differentiaaliyhtälön ratkaisu verkossa. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Sovellus

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen verkossa sivustolla, jotta opiskelijat voivat vahvistaa opiskeluaan materiaalia. Ja harjoittele käytännön taitojasi. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Difuras verkossa, online-matemaattinen ratkaisu. Askel askeleelta matemaattisten ongelmien ratkaisu verkossa. Differentiaaliyhtälön järjestys tai aste on siihen sisältyvien derivaattojen korkein kertaluku. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Differentiaaliyhtälön ratkaisuprosessia kutsutaan integraatioksi. Differentiaaliyhtälön integrointiongelma katsotaan ratkaistuksi, jos tuntemattoman funktion löytö voidaan saattaa kvadratuuriin, riippumatta siitä, ilmaistaanko tuloksena oleva integraali lopullisessa muodossa tunnetuilla funktioilla vai ei. Differentiaaliyhtälöiden askel askeleelta ratkaisu verkossa. Kaikki differentiaaliyhtälöt voidaan jakaa tavallisiin differentiaaliyhtälöihin (ODE), jotka sisältävät vain yhden argumentin funktiot (ja niiden derivaatat), ja osittaisiin differentiaaliyhtälöihin (PDE), joissa syötefunktiot riippuvat monista muuttujista. Differentiaaliyhtälöt verkossa. On myös olemassa stokastisia differentiaaliyhtälöitä (SDE), jotka sisältävät satunnaisia prosesseja. Differentiaaliyhtälöiden askel askeleelta ratkaisu verkossa. Riippuen derivaattojen, funktioiden, riippumattomien muuttujien yhdistelmistä, differentiaaliyhtälöt jaetaan lineaarisiin ja epälineaarisiin, vakio- tai muuttujakertoimiin, homogeenisiin tai epähomogeenisiin. Sovellusten tärkeyden vuoksi kvasilineaariset (lineaariset korkeampiin derivaattaisiin nähden) osittaisdifferentiaaliyhtälöt erotetaan omassa luokassa. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut jaetaan yleisiin ja erityisiin ratkaisuihin. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Yleisiä ratkaisuja ovat määrittelemättömät vakiot ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden mielivaltaiset riippumattomien muuttujien funktiot, joita voidaan jalostaa lisäintegrointiehdoista (tavallisten differentiaaliyhtälöiden alkuehdot, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alku- ja reunaehdot). Differentiaaliyhtälöiden askel askeleelta ratkaisu verkossa. Kun näiden vakio- ja epämääräisten funktioiden muoto on määritetty, ratkaisuista tulee erityisiä. Ratkaisujen etsiminen tavallisiin differentiaaliyhtälöihin johti erikoisfunktioiden luokan perustamiseen - funktioihin, joita usein kohdataan sovelluksissa, joita ei ilmaista tunnetuilla perusfunktioilla. Differentiaaliyhtälöt verkossa. Niiden ominaisuuksia tutkittiin yksityiskohtaisesti, koottiin arvotaulukot, määritettiin keskinäiset yhteydet jne. . Luetteloitujen numeroiden joukkoa voidaan tutkia. Paras vastaus annettuun ongelmaan. Kuinka löytää ensimmäisessä approksimaatiossa lähtevä vektori differentiaaliyhtälöiden konvergenssialueelle selvittämättä löydettyä ylärajaa. Valinta on ilmeinen matemaattisten funktioiden kasvattamiseksi. Tutkimustason yläpuolella on progressiivinen menetelmä. Tasautuakseen ongelman alkutilaan differentiaalin ratkaisu auttaa löytämään yksiarvoisen valitun arvon. Voi olla, että hän voi määrittää tuntemattoman välittömästi. Kuten edellisessä esimerkissä, jossa esitettiin ratkaisu matemaattiseen ongelmaan, lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat vastaus tiettyyn ongelmaan tietyllä aikavälillä. Opintomenettelyn ylläpitoa ei ole paikallisesti määritelty. Se tulee olemaan niin, että jokaiselle opiskelijalle on oma esimerkki ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisun määrittää vastuullisen suorittajan tehtäväksi määrätty henkilö vähintään kahdesta arvosta. Ota tietyn segmentin yleisen arvon funktio ja varoita, millä akselilla on rako. Tutkittuaan differentiaaliyhtälöitä verkossa on mahdollista osoittaa yksiselitteisesti, kuinka tärkeä tulos on, jos sellainen annetaan lähtöehdoista. Alueen leikkaaminen pois funktiomäärittelystä on mahdotonta, koska tehtävämäärittelyä ei ole paikallisesti. Yhtälöjärjestelmästä löydettynä vastaus sisältää muuttujan, joka voidaan laskea yleisessä mielessä, mutta on luonnollisesti mahdollista ratkaista differentiaaliyhtälö verkossa ilman tätä toimenpidettä mainitun ehdon määrittämiseksi. Lähellä segmentin intervallia näkyy, kuinka differentiaaliyhtälöiden ratkaisu verkossa pystyy viemään tutkimuksen tulosta positiiviseen suuntaan opiskelijoiden tiedon katkaisuhetkellä. Yleisesti hyväksytty lähestymistapa liiketoimintaan ei aina saavuta parasta. 2x-tasolla voidaan hyödyllisesti tarkastella kaikkia tarvittavia luonnollisia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, mutta kyky laskea numeerinen arvo johtaa tiedon lisääntymiseen. Minkä tahansa matematiikan tekniikan mukaan on olemassa differentiaaliyhtälöitä, jotka esitetään olennaisesti erilaisina lausekkeina, kuten homogeenisina tai kompleksisina. Kun funktion tutkimuksesta on tehty yleinen analyysi, käy selväksi, että differentiaalin ratkaisu mahdollisuuksien joukkona edustaa selkeää virhettä arvoissa. Totuus siinä on abskissaviivojen yläpuolella olevassa tilassa. Jossain monimutkaisen funktion alueella, jossain vaiheessa sen määritelmää, lineaariset differentiaaliyhtälöt pystyvät esittämään vastauksen analyyttisessä muodossa. eli yleisesti ottaen olemuksena. Mikään ei muutu muuttujaa vaihdettaessa. Vastausta on kuitenkin tarkasteltava erityisen kiinnostuneena. Itse asiassa laskin muuttaa lopulta suhdetta, eli halutun ratkaisun sisällä näkyy kuinka differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on verrannollinen globaaliin arvoon. Joissakin tapauksissa joukkovirhevaroitus on väistämätön. Differentiaaliyhtälöt verkossa toteuttavat yleisen käsityksen ongelmasta, mutta loppujen lopuksi sinun on tarjottava ristituotteen positiiviset puolet mahdollisimman pian. Matematiikassa lukuteorian virhetapaukset eivät ole harvinaisia. Pitää ehdottomasti tarkistaa. Luonnollisesti on parempi antaa tämä oikeus alansa ammattilaisille, ja juuri he auttavat ratkaisemaan differentiaaliyhtälön verkossa, koska heidän kokemuksensa on valtava ja positiivinen. Kuvien pintojen ja alueen ero on sellainen, että näkeminen ei ole differentiaaliyhtälöiden online-ratkaisu, vaan ei-leikkaavien kohteiden joukko on sellainen, että viiva on yhdensuuntainen akselin kanssa. Tämän seurauksena voit saada kaksi kertaa enemmän arvoja. Implisiittisenä käsityksemme muodollisen merkinnän oikeellisuudesta tarjoaa lineaarisia differentiaaliyhtälöitä sekä katselualueella että suhteessa tuloksen laadun tahalliseen yliarviointiin. Katsauksessa julkaistaan useita kertoja keskustelu kaikkia opiskelijoita kiinnostavasta aiheesta. Koko luentokurssin opiskelun ajan keskitämme huomiomme differentiaaliyhtälöihin ja niihin liittyviin tieteenaloihin, mikäli tämä ei ole ristiriidassa totuuden kanssa. Monet vaiheet voidaan välttää matkan alussa. Jos differentiaaliratkaisu on opiskelijoille vielä pohjimmiltaan uutta, niin vanhaa ei unohdeta ollenkaan, vaan se etenee suurella kehitysvauhdilla tulevaisuuteen. Aluksi matematiikan ongelman ehdot poikkeavat toisistaan, mutta tämä on osoitettu oikealla olevassa kappaleessa. Määritelmän määritellyn ajan umpeutumisen jälkeen ei ole poissuljettu mahdollisuutta suhteellisesta riippuvaisesta lopputuloksesta vektorin eri liiketasoilla. Tällainen yksinkertainen tapaus korjataan samalla tavalla kuin lineaariset differentiaaliyhtälöt kuvataan laskimella yleisessä muodossa, joten se on nopeampi eikä laskelmien poikkeama johda virheelliseen mielipiteeseen. Vain viisi teorian mukaan nimettyä tapausta voi työntää tapahtuman rajoja. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumme auttaa laskemaan manuaalisesti arvon numeroina jo funktionaalisen avaruuden hajoamisen ensimmäisissä vaiheissa. Oikeissa paikoissa on tarpeen esittää neljän viivan kosketuspiste yleisessä mielessä. Mutta jos sinun täytyy pakottaa tehtävä pois, on helppo rinnastaa monimutkaisuus. Lähtötiedot riittävät viereisen haaran suunnitteluun ja online-differentiaaliyhtälöt näyttävät vasemmalle kohdistetuilta ja yksipuolinen pinta on suunnattu vektoriroottoria kohti. Ylärajan yläpuolella numeeriset arvot ovat mahdollisia ilmoitetun ehdon ylittävät. On mahdollista ottaa huomioon matemaattinen kaava ja ratkaista differentiaaliyhtälö verkossa kolmen tuntemattoman osuuden yleisarvon vuoksi. Paikallinen laskentatapa hyväksytään. Koordinaatisto on suorakaiteen muotoinen tason suhteellisessa liikkeessä. Differentiaaliyhtälöiden yleinen online-ratkaisu mahdollistaa yksiselitteisen johtopäätöksen laskennallisen pyyhkäisyn puolesta matriisimääritelmien läpi koko suoralla, joka sijaitsee eksplisiittisesti määritellyn funktion graafin yläpuolella. Ratkaisu näkyy läpi, jos käytät liikevektoria kolmen pallonpuoliskon kosketuspisteeseen. Sylinteri saadaan kiertämällä suorakulmiota sivun ympäri ja lineaariset differentiaaliyhtälöt voivat näyttää pisteen liikesuunnan sen liikelain annettujen lausekkeiden mukaisesti. Lähtötiedot ovat oikein ja matematiikan ongelma on vaihdettavissa yhdellä yksinkertaisella ehdolla. Kuitenkin olosuhteista johtuen, ottaen huomioon asettelualiongelman monimutkaisuus, differentiaaliyhtälöt yksinkertaistavat laskettujen numeeristen avaruuksien prosessia kolmiulotteisen avaruuden tasolla. On helppo todistaa toisin, mutta se on mahdollista välttää, kuten yllä olevassa esimerkissä. Korkeammassa matematiikassa tarjotaan seuraavat seikat: kun ongelma pelkistetään yksinkertaistettuun muotoon, siihen tulee ulottaa opiskelijoiden suurin mahdollinen panostus. Toistensa päälle asetetut viivat putoavat siirtymään. Pro-differentiaaliratkaisu palauttaa edelleen mainitun menetelmän edut kaarevalla viivalla. Jos et aluksi tunnista sitä, mitä tarvitset, matemaattinen kaava tekee lausekkeelle uuden arvon. Tavoitteena on optimaalinen lähestymistapa professorin asettamien tehtävien ratkaisemiseen. Sinun ei pitäisi olettaa, että lineaariset differentiaaliyhtälöt yksinkertaistetussa muodossa ylittävät odotetun tuloksen. Asetamme kolme vektoria äärellisen koostumuksen pinnalle. ortogonaaliset toisiinsa nähden. Lasketaan tuote. Suoritetaan suuremman määrän symbolien lisäys ja kirjoitetaan tuloksena olevasta lausekkeesta kaikki funktion muuttujat. On olemassa suhde. Useat laskutoimituksen loppua edeltävät toiminnot eivät anna yksiselitteistä vastausta differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun heti, vaan vasta kun varattu aika on kulunut y-akselilla. Epäjatkuvuuspisteen vasemmalle puolelle, funktiosta implisiittisesti annettuna, piirretään akseli, joka on kohtisuora parhaaseen kasvavaan vektoriin ja sijoitetaan online-differentiaaliyhtälöt matemaattisen objektin alarajan pienimpään raja-arvoon. Lisätään ylimääräinen argumentti funktion taukoalueelle. Kaarevan viivan pisteiden oikealla puolella kirjoittamamme kaavat yhteiseksi nimittäjäksi vähentämiseksi auttavat ratkaisemaan differentiaaliyhtälön verkossa. Ainoa oikea lähestymistapa on se, joka valaisee ratkaisemattomia ongelmia teoriasta käytäntöön, yleensä yksiselitteisesti. Annettujen pisteiden koordinaattien suuntaiset viivat eivät ole koskaan sulkeneet neliön ääriasemaa, mutta differentiaaliyhtälöiden online-ratkaisu auttaa sekä opiskelijoita että meitä ja vasta-alkajia tällä alalla opiskelemaan matematiikkaa. Puhumme mahdollisuudesta korvata arvoargumentti yhden kentän kaikkiin merkittäviin aliriveihin. Periaatteessa, kuten voisi odottaa, lineaariset differentiaaliyhtälömme ovat jotain eristettyä yhdestä pelkistetyn merkityksen käsitteestä. Opiskelijoiden auttamiseksi yksi parhaista vastaavista palveluista on laskin. Käy läpi kaikki kurssit ja valitse itsellesi sopivin.

Muista ongelma, jonka kohtasimme etsiessämme tarkkoja integraaleja:

tai dy = f(x)dx. Hänen ratkaisunsa:

ja se pelkistyy määräämättömän integraalin laskentaan. Käytännössä vaikeampi tehtävä on yleisempi: funktion löytäminen y, jos tiedetään, että se täyttää muodon suhteen

Tämä relaatio liittyy riippumattomaan muuttujaan x, tuntematon toiminto y ja sen johdannaiset järjestyksen mukaan n mukaan lukien, kutsutaan .

Differentiaaliyhtälö sisältää funktion, joka on yhden tai toisen asteen derivaattojen (tai differentiaalien) merkin alla. Korkeimman järjestystä kutsutaan järjestyksessä (9.1) .

Differentiaaliyhtälöt:

- ensimmäinen tilaus

toinen tilaus,

- viides tilaus jne.

Funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön, kutsutaan sen ratkaisuksi , tai integraali . Sen ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä. Jos haluttu toiminto y onnistui saamaan kaavan, joka antaa kaikki ratkaisut, niin sanomme, että olemme löytäneet sen yleisen ratkaisun , tai yleinen integraali .

Yhteinen päätös sisältää n mielivaltaisia vakioita ja näyttää siltä

Jos saadaan relaatio, joka liittyy x, y ja n mielivaltaisia vakioita muodossa, jota ei sallita suhteessa y -

silloin tällaista suhdetta kutsutaan yhtälön (9.1) yleiseksi integraaliksi.

Cauchy ongelma

Jokaista tiettyä ratkaisua, eli jokaista tiettyä funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön ja joka ei riipu mielivaltaisista vakioista, kutsutaan tietyksi ratkaisuksi , tai yksityinen integraali. Tiettyjen ratkaisujen (integraalien) saamiseksi yleisistä ratkaisuista on tarpeen liittää vakioihin tietyt numeeriset arvot.

Tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Yleinen ratkaisu, joka sisältää kaikki yksittäiset ratkaisut, on integraalikäyrien perhe. Ensimmäisen kertaluvun yhtälössä tämä perhe riippuu yhdestä mielivaltaisesta vakiosta; yhtälölle n tilaus - alkaen n mielivaltaisia vakioita.

Cauchyn ongelma on löytää tietty ratkaisu yhtälöön n järjestyksessä, tyydyttävä n alkuolosuhteet:

jotka määrittävät n vakiota с 1 , с 2 ,..., c n.

1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

1. asteen differentiaaliyhtälöllä on derivaatan suhteen ratkaisematon muoto

tai suhteellisesti sallittua

Esimerkki 3.46. Etsi yhtälölle yleinen ratkaisu

Ratkaisu. Integroimalla saamme

jossa C on mielivaltainen vakio. Jos annamme C:lle tietyt numeeriset arvot, saamme tiettyjä ratkaisuja, esim.

Esimerkki 3.47. Harkitse kasvavaa pankkiin talletettua rahamäärää 100 r:n kertymän mukaisesti korkokorkoa vuodessa. Olkoon Yo alkuperäinen rahasumma ja Yx voimassaolon päättymisen jälkeen x vuotta. Kun korko lasketaan kerran vuodessa, saamme

jossa x = 0, 1, 2, 3,.... Kun korko lasketaan kahdesti vuodessa, saadaan

jossa x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Korkoa laskettaessa n kerran vuodessa ja jos x ottaa peräkkäin arvot 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., sitten

Merkitse 1/n = h , niin edellinen yhtälö näyttää tältä:

Rajoittamattomalla suurennuksella n(at ) rajassa tulemme rahamäärän kasvattamiseen jatkuvalla korkokertymällä:

Näin ollen voidaan nähdä, että jatkuvalla muutoksella x rahan tarjonnan muutoslaki ilmaistaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöllä. missä Y x on tuntematon funktio, x- itsenäinen muuttuja, r- vakio. Ratkaisemme tämän yhtälön, tätä varten kirjoitamme sen uudelleen seuraavasti:

missä , tai , jossa P on e C .

Alkuehdoista Y(0) = Yo saadaan P: Yo = Pe o , josta Yo = P. Ratkaisu näyttää siis tältä:

Mieti toista taloudellista ongelmaa. Makrotaloudellisia malleja kuvataan myös 1. kertaluvun lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä, jotka kuvaavat tulon tai tuotoksen Y muutosta ajan funktiona.

Esimerkki 3.48. Kasvakoon kansantulo Y sen arvoon suhteutettuna:

ja olkoon, julkisten menojen alijäämä on suoraan verrannollinen tuloihin Y suhteellisuuskertoimella q. Menojen alijäämä johtaa valtionvelan kasvuun D:

Alkuehdot Y = Yo ja D = Do, kun t = 0. Ensimmäisestä yhtälöstä Y= Yoe kt . Korvaamalla Y saadaan dD/dt = qYoe kt . Yleisellä ratkaisulla on muoto
D = (q/ k) Yoe kt +С, missä С = const, joka määritetään alkuehdoista. Korvaamalla alkuehdot, saadaan Do = (q/k)Yo + C. Joten lopuksi,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

Tämä osoittaa, että valtionvelka kasvaa samaa suhteellista vauhtia k, joka on kansantulo.

Harkitse yksinkertaisimpia differentiaaliyhtälöitä n järjestyksessä, nämä ovat muodon yhtälöitä

Sen yleinen ratkaisu voidaan saada käyttämällä n integraation aikoja.

Esimerkki 3.49. Tarkastellaan esimerkkiä y """ = cos x.

Ratkaisu. Integrointi, löydämme

Yleisellä ratkaisulla on muoto

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Taloustieteessä niistä on paljon hyötyä, harkitse tällaisten yhtälöiden ratkaisua. Jos (9.1):llä on muoto:

silloin sitä kutsutaan lineaariseksi, missä po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) on annettu funktioita. Jos f(x) = 0, niin (9.2) kutsutaan homogeeniseksi, muuten sitä kutsutaan epähomogeeniseksi. Yhtälön (9.2) yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen yksittäisen ratkaisun summa y(x) ja sitä vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Jos kertoimet p o (x), p 1 (x),..., p n (x) ovat vakioita, niin (9.2)

(9.4) kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi, jolla on vakiokertoimet n .

Kohdalle (9.4) se on muodossa:

Voimme asettaa ilman yleisyyden menetystä p o = 1 ja kirjoittaa (9.5) muotoon

Etsimme ratkaisua (9.6) muodossa y = e kx , jossa k on vakio. Meillä on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Korvaa saadut lausekkeet lausekkeella (9.6), saamme:

(9.7) on algebrallinen yhtälö, sen tuntematon on k, sitä kutsutaan ominaispiirteeksi. Ominaisuusyhtälöllä on aste n ja n juuret, joiden joukossa voi olla sekä useita että monimutkaisia. Olkoon k 1 , k 2 ,..., k n siis todellinen ja erillinen ovat erityisiä ratkaisuja (9.7), kun taas yleiset

Tarkastellaan toisen asteen lineaarista homogeenista differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla:

Sen tunnusomaisella yhtälöllä on muoto

(9.9)

sen diskriminantti D = p 2 - 4q, riippuen D:n merkistä, kolme tapausta on mahdollista.

1. Jos D>0, niin juuret k 1 ja k 2 (9.9) ovat todellisia ja erilaisia, ja yleisratkaisulla on muoto:

Ratkaisu. Ominaisuusyhtälö: k 2 + 9 = 0, jolloin k = ± 3i, a = 0, b = 3, yleinen ratkaisu on:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Toisen asteen lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä tutkitaan verkkomaista taloudellista mallia tavaravarastoilla, jossa hinnan P muutosnopeus riippuu varaston koosta (ks. kappale 10). Jos kysyntä ja tarjonta ovat lineaarisia hinnan funktioita, eli

a - on vakio, joka määrittää reaktionopeuden, jolloin hinnanmuutosprosessi kuvataan differentiaaliyhtälöllä:

Tietylle ratkaisulle voit ottaa vakion

jolla on tasapainohinnan merkitys. Poikkeama täyttää homogeenisen yhtälön

(9.10)

Ominaisuusyhtälö on seuraava:

Siinä tapauksessa termi on positiivinen. Merkitse . Karakteriyhtälön k 1,2 = ± i w juuret, joten yleisratkaisu (9.10) on muotoa:

missä C ja mielivaltaiset vakiot, ne määritetään alkuehdoista. Olemme saaneet hinnan muutoksen lain ajassa:

Syötä differentiaaliyhtälösi, heittomerkkiä "" käytetään syöttämään derivaatta, paina lähetä ja hanki ratkaisu

Joko jo ratkaistu derivaatan suhteen tai ne voidaan ratkaista johdannaisen suhteen .

Tyypin differentiaaliyhtälöiden yleinen ratkaisu välille X, joka on annettu, voidaan löytää ottamalla tämän yhtälön kummankin puolen integraali.

Saada .

Jos tarkastelemme epämääräisen integraalin ominaisuuksia, löydämme halutun yleisratkaisun:

y = F(x) + C,

missä F(x)- yksi toiminnon antijohdannaisista f(x) välissä X, a FROM on mielivaltainen vakio.

Huomaa, että useimmissa tehtävissä väli Xälä ilmoita. Tämä tarkoittaa, että ratkaisu on löydettävä kaikille. x, jolle ja haluttu toiminto y, ja alkuperäinen yhtälö on järkevä.

Jos haluat laskea tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisun, joka täyttää alkuehdon y(x0) = y0, sitten yleisen integraalin laskemisen jälkeen y = F(x) + C, on silti tarpeen määrittää vakion arvo C=C0 käyttämällä alkuehtoa. Eli vakio C=C0 määritetään yhtälöstä F(x 0) + C = y 0, ja haluttu erityinen differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa:

y = F(x) + C0.

Harkitse esimerkkiä:

Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu, tarkista tuloksen oikeellisuus. Etsitään tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttäisi alkuehdon .

Ratkaisu:

Kun olemme integroineet annetun differentiaaliyhtälön, saamme:

Otamme tämän integraalin osien integrointimenetelmällä:

Että., on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Tarkistamme, että tulos on oikea. Tätä varten korvaamme löytämämme ratkaisun annettuun yhtälöön:

Eli klo alkuperäinen yhtälö muuttuu identiteetiksi:

siksi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritettiin oikein.

Löysimme ratkaisun on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu argumentin jokaiselle todelliselle arvolle x.

On vielä laskettava tietty ODE:n ratkaisu, joka täyttäisi alkuehdon. Toisin sanoen on tarpeen laskea vakion arvo FROM, jossa yhtäläisyys on totta:

Sitten vaihtamalla C = 2 ODE:n yleisratkaisuun saamme differentiaaliyhtälön erityisen ratkaisun, joka täyttää alkuehdon:

Tavallinen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista derivaatan suhteen jakamalla yhtälön 2 osaa arvolla f(x). Tämä muunnos on vastaava, jos f(x) ei mene nollaan millään x differentiaaliyhtälön integrointivälistä X.

Tilanteet ovat todennäköisiä, kun joillekin argumentin arvoille x ∈ X toimintoja f(x) ja g(x) käännä nollaan samaan aikaan. Samanlaisia arvoja varten x differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on mikä tahansa funktio y, joka on määritelty niissä, koska .

Jos joillekin argumentin arvoille x ∈ X ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että tässä tapauksessa ODE:llä ei ole ratkaisuja.

Kaikille muille x intervallista X differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritetään muunnetusta yhtälöstä.

Katsotaanpa esimerkkejä:

Esimerkki 1

Etsitään ODE:n yleinen ratkaisu: .

Ratkaisu.

Peruselementaaristen funktioiden ominaisuuksista on selvää, että luonnollinen logaritmifunktio on määritelty argumentin ei-negatiivisille arvoille, joten lausekkeen verkkoalue log(x+3) on väliaika x > -3 . Siksi annettu differentiaaliyhtälö on järkevä x > -3 . Näillä argumentin arvoilla lauseke x + 3 ei katoa, joten ODE voidaan ratkaista derivaatan suhteen jakamalla 2 osaa x + 3.

Saamme .

Seuraavaksi integroimme tuloksena olevan differentiaaliyhtälön, joka on ratkaistu derivaatan suhteen: . Ottaaksemme tämän integraalin, käytämme summaamista differentiaalin merkin alle.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt on ratkaistu derivaatan suhteen

Kuinka ratkaista ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt

Olkoon ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö ratkaistu derivaatan suhteen:
.
Jakamalla tämän yhtälön , at , saamme yhtälön muodossa:
,
missä .

Seuraavaksi katsomme, kuuluvatko nämä yhtälöt johonkin alla luetelluista tyypeistä. Jos ei, niin kirjoitamme yhtälön uudelleen differentiaalien muodossa. Tätä varten kirjoitamme ja kerromme yhtälön arvolla . Saamme yhtälön differentiaalien muodossa:
.

Jos tämä yhtälö ei ole yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa, oletamme, että tässä yhtälössä on riippumaton muuttuja ja se on funktio. Jaetaan yhtälö:
.
Seuraavaksi katsomme, kuuluuko tämä yhtälö johonkin alla luetelluista tyypeistä ottaen huomioon sen ja onko se vaihdettu.

Jos tälle yhtälölle ei löydy tyyppiä, katsotaan, onko mahdollista yksinkertaistaa yhtälöä yksinkertaisella korvauksella. Esimerkiksi, jos yhtälö on:
,
sitten huomaamme sen. Sitten teemme vaihdon. Sen jälkeen yhtälö saa yksinkertaisemman muodon:
.

Jos tämä ei auta, yritämme löytää integroivan tekijän.

Erotettavissa olevat muuttujayhtälöt

;
.
Jaa ja integroi. Kun saamme:
.

Yhtälöt, jotka pelkistyvät yhtälöiksi, joissa on erotettavia muuttujia

Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisemme korvaamalla:
,
missä on funktio . Sitten
;
.
Erottele muuttujat ja integroi.

Homogeeniseksi pelkistävät yhtälöt

Esittelemme muuttujia ja:
;
.
Vakiot ja valitaan siten, että vapaat termit katoavat:
;
.
Tuloksena saamme homogeenisen yhtälön muuttujissa ja .

Yleistetyt homogeeniset yhtälöt

Teemme vaihdon. Saamme homogeenisen yhtälön muuttujilla ja .

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen on kolme menetelmää.

2) Bernoullin menetelmä.
Etsimme ratkaisua kahden funktion ja muuttujan tuotteena:
.
;
.
Voimme valita yhden näistä toiminnoista mielivaltaisesti. Siksi, kun valitsemme yhtälön minkä tahansa nollasta poikkeavan ratkaisun:
.

3) Vakion (Lagrange) variaatiomenetelmä.
Tässä ratkaisemme ensin homogeenisen yhtälön:

Homogeenisen yhtälön yleisratkaisulla on muoto:
,
missä on vakio. Seuraavaksi korvaamme vakion muuttujasta riippuen funktiolla:
.
Korvaa alkuperäisessä yhtälössä. Tämän seurauksena saamme yhtälön, josta määritämme .

Bernoullin yhtälöt

Korvaamalla Bernoullin yhtälö pelkistetään lineaariseksi yhtälöksi.

Tämä yhtälö voidaan ratkaista myös Bernoullin menetelmällä. Eli etsimme ratkaisua kahden funktion tuotteena muuttujasta riippuen:
.
Korvaamme alkuperäisen yhtälön:
;
.
Kun valitsemme yhtälön minkä tahansa nollasta poikkeavan ratkaisun:
.
Kun olet määrittänyt , saamme yhtälön, jossa on erotettavissa olevat muuttujat .

Riccatin yhtälöt

Sitä ei ratkaista yleisesti. Korvaus

Riccatin yhtälö pelkistyy muotoon:
,
missä on vakio; ; .
Seuraavaksi vaihto:

se näyttää:
,
missä .

Sivulla on esitetty Riccatin yhtälön ominaisuudet ja eräät sen ratkaisun erikoistapaukset
Riccatin differentiaaliyhtälö >>>

Jacobin yhtälöt

Korvaamalla ratkaistu:
.

Yhtälöt kokonaisdifferentiaaleina

Kunnossa
.
Kun tämä ehto täyttyy, yhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke on jonkin funktion differentiaali:
.
Sitten
.
Tästä saamme differentiaaliyhtälön integraalin:
.

Toiminnon löytämiseksi kätevin tapa on differentiaalin peräkkäinen valinta. Tätä varten käytetään kaavoja:
;
;
;
.

Integroiva tekijä

Jos ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä ei ole pelkistetty mihinkään luetelluista tyypeistä, voit yrittää löytää integroivan tekijän. Integroiva tekijä on sellainen funktio, jolla kerrottuna differentiaaliyhtälöstä tulee yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöllä on ääretön määrä integroivia tekijöitä. Yleisiä menetelmiä integroivan tekijän löytämiseksi ei kuitenkaan ole.

Yhtälöitä ei ole ratkaistu derivaatalle y"

Yhtälöt, jotka sallivat ratkaisun derivaatan y suhteen"

Ensin sinun on yritettävä ratkaista yhtälö derivaatan suhteen. Jos mahdollista, yhtälö voidaan vähentää johonkin yllä luetelluista tyypeistä.

Factorisoinnin mahdollistavat yhtälöt

Jos voit kertoa yhtälön:
,
sitten ongelma pelkistetään yksinkertaisempien yhtälöiden peräkkäiseen ratkaisuun:
;
;

;
. Me uskomme . Sitten
tai .
Seuraavaksi integroimme yhtälön:
;
.
Tämän seurauksena saamme toisen muuttujan lausekkeen parametrin kautta.

Yleisemmät yhtälöt:
tai
ratkaistaan myös parametrimuodossa. Tätä varten sinun on valittava funktio, jonka voit ilmaista alkuperäisestä yhtälöstä tai parametrin kautta.
Ilmaistaksemme toisen muuttujan parametrilla , integroimme yhtälön:
;
.

Yhtälöt on ratkaistu suhteessa y:ään

Clairaut'n yhtälöt

Tällä yhtälöllä on yleinen ratkaisu

Lagrangen yhtälöt

Etsimme ratkaisua parametrisessa muodossa. Oletetaan, missä on parametri.

Bernoullin yhtälöön johtavat yhtälöt

Nämä yhtälöt pelkistyvät Bernoullin yhtälöön, jos etsimme niiden ratkaisuja parametrimuodossa ottamalla käyttöön parametri ja tekemällä substituution.

Viitteet:
V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, Lan, 2003.

Mielestäni meidän pitäisi aloittaa tällaisen loistavan matemaattisen työkalun, kuten differentiaaliyhtälöiden, historiasta. Kuten kaikki differentiaali- ja integraalilaskenta, nämä yhtälöt keksi Newton 1600-luvun lopulla. Hän piti juuri tätä löytöään niin tärkeänä, että hän jopa salasi viestin, joka nykyään voidaan kääntää suunnilleen näin: "Kaikki luonnonlait kuvataan differentiaaliyhtälöillä." Tämä saattaa tuntua liioittelulta, mutta se on totta. Mikä tahansa fysiikan, kemian, biologian laki voidaan kuvata näillä yhtälöillä.

Matemaatikot Euler ja Lagrange antoivat valtavan panoksen differentiaaliyhtälöiden teorian kehittämiseen ja luomiseen. Jo 1700-luvulla he löysivät ja kehittivät sitä, mitä he nyt opiskelevat yliopistojen vanhemmilla kursseilla.

Uusi virstanpylväs differentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa alkoi Henri Poincaren ansiosta. Hän loi "laadullisen differentiaaliyhtälöiden teorian", joka yhdessä monimutkaisen muuttujan funktioteorian kanssa antoi merkittävän panoksen topologian - avaruustieteen ja sen ominaisuuksien - perustamiseen.

Mitä ovat differentiaaliyhtälöt?

Monet ihmiset pelkäävät yhtä lausetta, mutta tässä artikkelissa kerromme tämän erittäin hyödyllisen matemaattisen laitteen koko olemuksen, joka ei itse asiassa ole niin monimutkaista kuin miltä nimestä näyttää. Jotta voit alkaa puhua ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä, sinun tulee ensin tutustua peruskäsitteisiin, jotka liittyvät luonnostaan tähän määritelmään. Aloitetaan differentiaalista.

Ero

Monet ihmiset tuntevat tämän käsitteen koulusta. Katsotaanpa sitä kuitenkin tarkemmin. Kuvittele funktion kuvaaja. Voimme kasvattaa sitä niin paljon, että mikä tahansa sen segmenteistä tulee suoran muodon. Siitä otamme kaksi pistettä, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan. Niiden koordinaattien (x tai y) välinen ero on äärettömän pieni arvo. Sitä kutsutaan differentiaaliksi ja sitä merkitään dyillä (differentiaali y:stä) ja dx (differentiaali x:stä). On erittäin tärkeää ymmärtää, että differentiaali ei ole äärellinen arvo, ja tämä on sen merkitys ja päätehtävä.

Ja nyt on tarpeen harkita seuraavaa elementtiä, joka on hyödyllinen meille selittäessäsi differentiaaliyhtälön käsitettä. Tämä on johdannainen.

Johdannainen

Luultavasti olemme kaikki kuulleet tämän käsitteen koulussa. Johdannan sanotaan olevan funktion kasvu- tai vähenemisnopeus. Suuri osa tästä määritelmästä tulee kuitenkin käsittämättömäksi. Yritetään selittää derivaatta differentiaalien avulla. Palataan funktion äärettömään segmenttiin, jossa on kaksi pistettä, jotka ovat vähimmäisetäisyydellä toisistaan. Mutta jopa tällä etäisyydellä toiminto onnistuu muuttumaan jonkin verran. Ja tämän muutoksen kuvaamiseksi he keksivät derivaatan, joka voidaan muuten kirjoittaa differentiaalien suhteeksi: f (x) "=df / dx.

Nyt kannattaa pohtia johdannaisen perusominaisuuksia. Niitä on vain kolme:

Summan tai erotuksen derivaatta voidaan esittää derivaattojen summana tai erotuksena: (a+b)"=a"+b" ja (a-b)"=a"-b".
Toinen ominaisuus liittyy kertolaskuun. Tuotteen derivaatta on yhden funktion tulojen ja toisen funktion derivaatan tulojen summa: (a*b)"=a"*b+a*b".
Eron derivaatta voidaan kirjoittaa seuraavana yhtälönä: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Kaikki nämä ominaisuudet ovat meille hyödyllisiä etsiessämme ratkaisuja ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöihin.

On myös osittaisia johdannaisia. Oletetaan, että meillä on funktio z, joka riippuu muuttujista x ja y. Tämän funktion osittaisen derivaatan laskemiseksi esimerkiksi x:n suhteen meidän on otettava muuttuja y vakiona ja yksinkertaisesti differentioitava.

Integraali

Toinen tärkeä käsite on integraali. Itse asiassa tämä on johdannaisen suora vastakohta. Integraaleja on useita tyyppejä, mutta yksinkertaisimpien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitsemme triviaalimmat

Oletetaan siis, että f:llä on jokin riippuvuus x:stä. Otetaan siitä integraali ja saadaan funktio F (x) (kutsutaan usein antiderivaatta), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio. Siten F(x)"=f(x). Tästä seuraa myös, että derivaatan integraali on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio.

Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa on erittäin tärkeää ymmärtää integraalin merkitys ja toiminta, koska niitä on käytettävä hyvin usein ratkaisun löytämiseksi.

Yhtälöt ovat erilaisia riippuen niiden luonteesta. Seuraavassa osiossa tarkastelemme ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden tyyppejä ja sitten opimme ratkaisemaan ne.

Differentiaaliyhtälöiden luokat

"Diffura" on jaettu niihin liittyvien johdannaisten järjestyksen mukaan. Siten on ensimmäinen, toinen, kolmas ja useampi järjestys. Ne voidaan myös jakaa useisiin luokkiin: tavalliset ja osajohdannaiset.

Tässä artikkelissa tarkastelemme tavallisia ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä. Käsittelemme myös esimerkkejä ja tapoja ratkaista ne seuraavissa osioissa. Otamme huomioon vain ODE:t, koska nämä ovat yleisimmät yhtälötyypit. Tavalliset on jaettu alalajeihin: erotettavissa olevilla muuttujilla, homogeeninen ja heterogeeninen. Seuraavaksi opit, miten ne eroavat toisistaan, ja opit ratkaisemaan ne.

Lisäksi nämä yhtälöt voidaan yhdistää niin, että sen jälkeen saadaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöjärjestelmä. Harkitsemme myös tällaisia järjestelmiä ja opimme ratkaisemaan ne.

Miksi harkitsemme vain ensimmäistä tilausta? Koska sinun on aloitettava yksinkertaisesta, ja on yksinkertaisesti mahdotonta kuvata kaikkea, mikä liittyy differentiaaliyhtälöihin yhdessä artikkelissa.

Erotettavissa olevat muuttujayhtälöt

Nämä ovat ehkä yksinkertaisimpia ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä. Nämä sisältävät esimerkkejä, jotka voidaan kirjoittaa näin: y "=f (x) * f (y). Tämän yhtälön ratkaisemiseksi tarvitsemme kaavan derivaatan esittämiseksi differentiaalien suhteena: y" = dy / dx. Sitä käyttämällä saamme seuraavan yhtälön: dy/dx=f(x)*f(y). Nyt voidaan siirtyä standardiesimerkkien ratkaisumenetelmään: jaamme muuttujat osiin, eli siirrämme kaikki y-muuttujan kanssa siihen osaan, jossa dy sijaitsee, ja teemme samoin x-muuttujan kanssa. Saadaan yhtälö muotoa: dy/f(y)=f(x)dx, joka ratkaistaan ottamalla molempien osien integraalit. Älä unohda vakiota, joka on asetettava integraalin ottamisen jälkeen.

Minkä tahansa "diffurancen" ratkaisu on funktio x:n riippuvuudesta y:stä (tapauksessamme) tai jos on numeerinen ehto, niin vastaus on luvun muodossa. Katsotaanpa koko ratkaisua tietyllä esimerkillä:

Siirrämme muuttujia eri suuntiin:

Nyt otetaan integraalit. Ne kaikki löytyvät erityisestä integraalitaulukosta. Ja saamme:

log(y) = -2*cos(x) + C

Tarvittaessa voimme ilmaista "y" funktiona "x". Nyt voidaan sanoa, että differentiaaliyhtälömme on ratkaistu, jos ehtoa ei ole annettu. Ehto voidaan antaa esimerkiksi y(n/2)=e. Sitten vain korvaamme näiden muuttujien arvot ratkaisuun ja löydämme vakion arvon. Esimerkissämme se on yhtä suuri kuin 1.

Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt

Siirrytään nyt vaikeampaan osaan. Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa seuraavasti: y "= z (x, y). On huomattava, että kahden muuttujan oikeanpuoleinen funktio on homogeeninen, eikä sitä voida jakaa kahteen riippuvuuteen : z x:llä ja z y:llä. Tarkista, onko yhtälö homogeeninen vai ei, on melko yksinkertainen: teemme substituutiot x=k*x ja y=k*y. Nyt kumotaan kaikki k.Jos kaikilla näillä kirjaimilla on on pienennetty, yhtälö on homogeeninen ja voit turvallisesti edetä sen ratkaisemisessa.Eteenpäin katsottuna sano: näiden esimerkkien ratkaisemisen periaate on myös hyvin yksinkertainen.

Meidän on tehtävä korvaus: y=t(x)*x, missä t on jokin funktio, joka myös riippuu x:stä. Sitten voidaan ilmaista derivaatta: y"=t"(x)*x+t. Korvaamalla tämä kaikki alkuperäiseen yhtälöimme ja yksinkertaistamalla sitä, saamme esimerkin, jossa on erotettavissa olevat muuttujat t ja x. Ratkaisemme sen ja saamme riippuvuuden t(x). Kun saimme sen, korvaamme yksinkertaisesti y=t(x)*x aiemmalla korvauksellamme. Sitten saadaan y:n riippuvuus x:stä.

Selventääksesi asiaa, katsotaanpa esimerkkiä: x*y"=y-x*e y/x .

Kun tarkistat vaihdolla, kaikki vähenee. Joten yhtälö on todella homogeeninen. Nyt teemme toisen korvauksen, josta puhuimme: y=t(x)*x ja y"=t"(x)*x+t(x). Yksinkertaistamisen jälkeen saamme seuraavan yhtälön: t "(x) * x \u003d -e t. Ratkaisemme tuloksena olevan esimerkin erotetuilla muuttujilla ja saamme: e -t \u003dln (C * x). Meidän tarvitsee vain korvata t y / x:llä (koska jos y \u003d t * x, niin t \u003d y / x), ja saamme vastauksen: e -y / x \u003d ln (x * C).

Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

On aika pohtia toista laajaa aihetta. Analysoimme ensimmäisen kertaluvun epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä. Miten ne eroavat kahdesta edellisestä? Selvitetään se. Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt yleismuodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti: y " + g (x) * y \u003d z (x). On syytä selventää, että z (x) ja g (x) voivat olla vakioarvoja .

Ja nyt esimerkki: y" - y*x=x 2 .

On kaksi tapaa ratkaista, ja analysoimme molemmat järjestyksessä. Ensimmäinen on mielivaltaisten vakioiden vaihtelumenetelmä.

Yhtälön ratkaisemiseksi tällä tavalla sinun on ensin rinnastettava oikea puoli nollaan ja ratkaistava tuloksena oleva yhtälö, joka osien siirtämisen jälkeen saa muodon:

ln|y|=x2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Nyt meidän on korvattava vakio C 1 funktiolla v(x), joka meidän on löydettävä.

Muutetaan derivaatta:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Korvataan nämä lausekkeet alkuperäiseen yhtälöön:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Voidaan nähdä, että kaksi termiä on peruutettu vasemmalla puolella. Jos jossain esimerkissä näin ei tapahtunut, teit jotain väärin. Jatketaan:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nyt ratkaisemme tavallisen yhtälön, jossa meidän on erotettava muuttujat:

dv/dx=x2/e x2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Integraalin erottamiseksi meidän on sovellettava osien integrointia tässä. Tämä ei kuitenkaan ole artikkelimme aihe. Jos olet kiinnostunut, voit oppia suorittamaan tällaiset toiminnot itse. Se ei ole vaikeaa, ja riittävällä taidolla ja huolella se ei vie paljon aikaa.

Siirrytään toiseen menetelmään epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisemiseksi: Bernoullin menetelmään. Se, mikä lähestymistapa on nopeampi ja helpompi, on sinun.

Joten, kun ratkaisemme yhtälön tällä menetelmällä, meidän on tehtävä korvaus: y=k*n. Tässä k ja n ovat joitain x:stä riippuvia funktioita. Tällöin derivaatta näyttää tältä: y"=k"*n+k*n". Korvaamme molemmat korvaukset yhtälöön:

k"*n+k*n"+x*k*n=x2.

Ryhmittely:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Nyt meidän on rinnastettava nollaan se, mikä on suluissa. Jos nyt yhdistämme kaksi tuloksena olevaa yhtälöä, saamme ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöjärjestelmän, joka on ratkaistava:

Ratkaisemme ensimmäisen yhtälön tavallisena yhtälönä. Tätä varten sinun on erotettava muuttujat:

Otetaan integraali ja saadaan: ln(n)=x 2 /2. Sitten, jos ilmaisemme n:

Nyt korvaamme tuloksena olevan yhtälön järjestelmän toiseen yhtälöön:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Ja muuntamalla saamme saman tasa-arvon kuin ensimmäisessä menetelmässä:

dk=x2/e x2/2.

Emme myöskään analysoi muita toimia. On syytä sanoa, että ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen aiheuttaa aluksi merkittäviä vaikeuksia. Syvemmällä aiheeseen uppoutuessa se kuitenkin alkaa parantua.

Missä differentiaaliyhtälöitä käytetään?

Differentiaaliyhtälöitä käytetään erittäin aktiivisesti fysiikassa, koska melkein kaikki peruslait on kirjoitettu differentiaalimuodossa, ja näkemämme kaavat ovat näiden yhtälöiden ratkaisu. Kemiassa niitä käytetään samasta syystä: niistä johdetaan peruslait. Biologiassa differentiaaliyhtälöitä käytetään mallintamaan järjestelmien, kuten petoeläin-saaliin, käyttäytymistä. Niitä voidaan myös käyttää luomaan lisääntymismalleja esimerkiksi mikro-organismipesäkkeestä.

Miten differentiaaliyhtälöt auttavat elämässä?

Vastaus tähän kysymykseen on yksinkertainen: ei mitenkään. Jos et ole tiedemies tai insinööri, he eivät todennäköisesti ole hyödyllisiä sinulle. Yleisen kehityksen kannalta ei kuitenkaan ole haittaa tietää, mikä differentiaaliyhtälö on ja miten se ratkaistaan. Ja sitten kysymys pojasta tai tyttärestä "mikä on differentiaaliyhtälö?" ei hämmennä sinua. No, jos olet tiedemies tai insinööri, ymmärrät itse tämän aiheen merkityksen missä tahansa tieteessä. Mutta tärkeintä on, että nyt kysymys "miten ratkaistaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö?" aina voi vastata. Samaa mieltä, on aina mukavaa, kun ymmärrät sen, mitä ihmiset jopa pelkäävät ymmärtää.

Oppimisen pääongelmat

Suurin ongelma tämän aiheen ymmärtämisessä on toimintojen integroinnin ja eriyttämisen heikko taito. Jos olet huono ottamaan johdannaisia ja integraaleja, kannattaa luultavasti oppia lisää, hallita erilaisia integrointi- ja eriyttämismenetelmiä ja vasta sitten jatkaa artikkelissa kuvatun materiaalin tutkimista.

Jotkut ihmiset ovat yllättyneitä, kun he oppivat, että dx voidaan siirtää, koska aiemmin (koulussa) todettiin, että murto-osa dy / dx on jakamaton. Täällä sinun on luettava derivaatta koskeva kirjallisuus ja ymmärrettävä, että se on äärettömän pienten määrien suhdetta, jota voidaan manipuloida yhtälöitä ratkaistaessa.

Monet eivät heti tajua, että ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on usein funktio tai integraali, jota ei voida ottaa, ja tämä harhaluulo aiheuttaa heille paljon vaivaa.

Mitä muuta voi tutkia paremman ymmärryksen saamiseksi?

Differentiaalilaskennan maailmaan syveneminen on parasta aloittaa erikoisoppikirjoilla, esimerkiksi ei-matemaattisten erikoisalojen opiskelijoille tarkoitetuilla laskennalla. Sitten voit siirtyä erikoistuneempaan kirjallisuuteen.

On syytä sanoa, että differentiaaliyhtälöiden lisäksi on olemassa myös integraaliyhtälöitä, joten sinulla on aina jotain tavoiteltavaa ja opittavaa.

Johtopäätös

Toivomme, että tämän artikkelin lukemisen jälkeen sinulla on käsitys siitä, mitä differentiaaliyhtälöt ovat ja kuinka ratkaista ne oikein.

Joka tapauksessa matematiikka on jotenkin hyödyllistä meille elämässä. Se kehittää logiikkaa ja huomiokykyä, jota ilman jokainen ihminen on kuin ilman käsiä.