Tenttiprofiilitason tehtävien analyysi. Valmistautuminen matematiikan tenttiin (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset

Tekijä Bagmenova T. A. matematiikan opettajaMBOU lukio nro 14, Novocherkassk, Rostovin alue.

Ratkaistaessa tehtäviä johdannaisen käyttöön valmisteltaessa yhtenäistä valtiontutkintoa, tehtäviä on monenlaisia, minkä vuoksi tehtävät on jaettava ryhmiin, joihin liittyy teoreettinen materiaali aiheesta "Johdannainen".

Harkitse esimerkkejä tehtävistä nro 7 aiheesta "Johdannainen" matematiikan profiilitasosta jakamalla ne ryhmiin.

1 . Olkoon funktio f(x) jatkuva janalla [ a ; b ] ja on differentioituva välissä (a;b). Sitten jos funktion derivaatta on suurempi kuin nolla kaikille x:lle, jotka kuuluvat [ a ; b ], niin funktio kasvaa [ a ; b ], ja jos funktion derivaatta on pienempi kuin nolla, niin se pienenee tällä segmentillä.

Esimerkkejä:

1)

Ratkaisu.

Pisteissä ja pisteissä funktio pienenee, joten funktion derivaatta näissä pisteissä on negatiivinen.

Vastaus: 2.

2)

Ratkaisu.

Välillä (-2; 2), (6; 10) funktion derivaatta on negatiivinen, joten funktio pienenee näillä aikaväleillä. Molempien välien pituus 4.

Vastaus: 4.

3)

Ratkaisu.

Välillä funktion derivaatta on positiivinen, joten funktio kasvaa tällä välillä, joten funktio saa pienimmän arvon pisteessä 3.

Vastaus: 3.

4)

Ratkaisu.

Janalla [-2; 3] funktion derivaatta on negatiivinen, joten funktio pienenee tällä välillä, jolloin funktio saa suurimman arvon pisteessä -2.

Vastaus: -2.

2 . Jos kohdassa funktion derivaatta muuttaa etumerkin "-":sta "+":ksi, niin tämä on funktion minimipiste; jos kohdassa funktion derivaatta muuttaa etumerkkiä "+":sta "-", niin tämä on funktion maksimipiste.

Esimerkki:

Ratkaisu.

Pisteessä x=3; x=13 funktion derivaatta muuttaa etumerkin "-":sta "+":ksi, joten nämä ovat funktion minimipisteet.

Vastaus: 2.

3. kunto( x )=0 on välttämätön ehto differentioituvan funktion ääripäälle f ( x ). Koska funktion derivaatan ja Ox-akselin kuvaajan leikkauspisteissä funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin nämä pisteet ovat ääripisteitä.

Esimerkki:

Ratkaisu.

Funktion derivaatan ja Ox-akselin kaavion leikkauspisteet tietyllä janalla 4, joten ääripisteet 4.

Vastaus: 4.

4 . Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla funktion ääripisteissä. Tässä tehtävässä nämä ovat pisteitä, joissa funktio siirtyy kasvavasta laskevaan tai päinvastoin.

Esimerkki:

Ratkaisu.

Pisteissä derivaatta on nolla.

Vastaus: 4.

5. Funktion derivaatan arvon löytäminen pisteessä tarkoittaa, että etsitään tangentin kulmakerroin tangentti Ox-akselille tai Ox-akselin suuntaiselle suoralle. Jos tangentin kaltevuuskulma x-akseliin on terävä, niin kulman tangentti on positiivinen, jos tangentin kaltevuuskulma x-akseliin on tylppä, kulman tangentti on negatiivinen.

Esimerkki:

Ratkaisu.

Rakennetaan suorakulmainen kolmio, jossa hypotenuusa on tangentin päällä ja yksi haaroista on Ox-akselilla tai Ox-akselin suuntaisella suoralla, sitten lasketaan jalkojen pituudet ja lasketaan tangentti suoran kolmion terävä kulma. Vastakkainen haara on 2, viereinen haara on 8, joten suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on 0,25. Tangentin kaltevuuskulma Ox-akseliin on tylpä, joten tangentin kaltevuuskulman tangentti on negatiivinen, joten funktion derivaatan arvo pisteessä on -0,25.

Vastaus: - 0,25.

6. 1) Yhdensuuntaisten viivojen jyrkkyys on yhtä suuri.

2) Funktion derivaatan arvo f ( x y = f ( x ) pisteessä (; f ()).

Esimerkki.

Ratkaisu.

Suoran kaltevuus on 2. Koskafunktion derivaatan arvof( x) pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajan tangentin kaltevuusy= f( x) pisteessä (;f()), niin löydämme pisteet, joissa funktion derivaattaf( x) on yhtä suuri kuin 2.Tällaisia ​​pisteitä tässä kaaviossa on 4. Siksi niiden pisteiden määrä, joissa funktion kaavion tangenttif( x) on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa tai on sen kanssa yhtä suuri kuin 4.

Vastaus: 4.

Käytetyt kirjat:

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. et al. Algebra ja matemaattisen analyysin alku (perus- ja edistynyt taso). 10 solua - Valaistuminen. 2014

KÄYTTÖ: 4000 tehtävää, joissa on matematiikan vastauksia. Kaikki tehtävät "Suljettu segmentti". Perus- ja profiilitaso. Toimittanut I.V. Yashchenko.- M.: Exam Publishing House, -2016.-640s.

Jotta matematiikan kokeen profiilivaihtoehdot voidaan ratkaista onnistuneesti, kannattaa luopua tällaisesta algoritmista. Tenttiin valmistauduttaessa ei pidä painottaa sen läpäisemistä päämääränä sinänsä, vaan opiskelijan tietotason nostamista. Tätä varten on tarpeen opiskella teoriaa, kehittää taitoja ratkaisemalla erilaisia ​​​​vaihtoehtoja matematiikan profiilikokeeseen epätyypillisillä tavoilla yksityiskohtaisilla vastauksilla ja seurata oppimisen dynamiikkaa. Ja Shkolkovon koulutusprojekti auttaa sinua kaikessa tässä.

Miksi sinun pitäisi valita resurssimme?

Emme tarjoa sinulle tyypillisiä esimerkkejä matematiikan ydinkäyttöön liittyvistä ongelmista, jotka liikkuvat Internetissä sivustosta toiseen. Asiantuntijamme kehittivät itsenäisesti tehtävätietokannan, joka koostuu mielenkiintoisista ja ainutlaatuisista harjoituksista ja jota päivitetään päivittäin. Kaikki profiilitason matematiikan USE-tehtävät sisältävät vastauksia ja yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja. Niiden avulla voit tunnistaa vahvuudet ja heikkoudet opiskelijan valmistelussa ja opettaa häntä ajattelemaan vapaasti ja laatikon ulkopuolella.

Jotta voit suorittaa tehtäviä ja tarkastella ratkaisuja USE-tehtäviin matematiikan erikoistasolla, valitse harjoitus "Katalogista". Tämä on melko helppo tehdä, koska siinä on selkeä rakenne, joka sisältää aiheita ja ala-aiheita. Kaikki tehtävät on järjestetty nousevaan järjestykseen yksinkertaisesta monimutkaisempiin ja sisältävät vastaukset matematiikan profiilikokeeseen ratkaisuineen.

Lisäksi opiskelijalla on mahdollisuus muodostaa itsenäisesti vaihtoehtoja tehtäviin. "Rakentajan" avulla hän voi valita USE:n matematiikan tehtävät profiilitasolla mistä tahansa häntä kiinnostavasta aiheesta ja tarkastella niiden ratkaisuja. Näin voit harjoitella taitoja tietyssä osassa, kuten geometriassa tai algebrassa.

Lisäksi opiskelija voi tehdä matematiikan profiilikokeen tehtävien analyysin "Opiskelijan henkilökohtaisella tilillä". Tässä osiossa opiskelija pystyy seuraamaan omaa dynamiikkaa ja kommunikoimaan opettajan kanssa.

Kaikki tämä auttaa sinua valmistautumaan tehokkaasti matematiikan profiilikokeeseen ja löytämään helposti ratkaisuja monimutkaisimpiinkin ongelmiin.

Käytäntö osoittaa, että tehtäviä kolmion alueen löytämiseksi löytyy kokeesta vuodesta toiseen. Siksi, jos opiskelijat haluavat saada kunnolliset pisteet sertifiointitestin läpäisemisestä, heidän tulee ehdottomasti toistaa tämä aihe ja ymmärtää materiaali uudelleen.

Kuinka valmistautua kokeeseen?

Shkolkovo-koulutusprojekti auttaa sinua oppimaan ratkaisemaan ongelmia kolmion alueen löytämiseksi, samanlaisia ​​kuin Unified State Examination -kokeessa. Täältä löydät kaiken mitä tarvitset valmistautuaksesi sertifiointitestiin.

Jotta harjoitukset aiheesta "Kolmion alue tentin ongelmissa" eivät aiheuta vaikeuksia valmistuneille, suosittelemme, että ensin päivität muistissasi trigonometriset peruskäsitteet ja -säännöt. Voit tehdä tämän siirtymällä "Teoreettinen viite" -osioon. On perusmääritelmiä ja kaavoja, jotka auttavat löytämään oikean vastauksen.

Oppitun materiaalin ja ongelmien ratkaisun käytännön vahvistamiseksi suosittelemme Shkolkovon koulutusprojektin asiantuntijoiden valitsemien harjoitusten tekemistä. Jokaisessa sivuston tehtävässä on oikea vastaus ja yksityiskohtainen kuvaus ratkaisusta. Opiskelija osaa harjoitella sekä yksinkertaisten että monimutkaisempien tehtävien kanssa.

Koululaiset voivat "pumpata" taitojaan tällaisten harjoitusten suorittamisessa verkossa sekä Moskovassa että missä tahansa muussa Venäjän kaupungissa. Tarvittaessa valmiin tehtävän voi tallentaa "Suosikit"-osioon, jotta voit palata siihen myöhemmin ja keskustella ratkaisusta opettajan kanssa.

Yleinen keskiasteen koulutus

Line UMK G.K. Muravina. Algebra ja matemaattisen analyysin alku (10-11) (syvä)

Line UMK Merzlyak. Algebra ja analyysin alku (10-11) (U)

Matematiikka

Valmistautuminen matematiikan tenttiin (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset

Profiilitason koepaperi kestää 3 tuntia 55 minuuttia (235 minuuttia).

Minimikynnys- 27 pistettä.

Tenttipaperi koostuu kahdesta osasta, jotka eroavat sisällöltään, monimutkaisuuden ja tehtävien lukumäärän osalta.

Jokaisen työn osan määrittävä piirre on tehtävien muoto:

• osa 1 sisältää 8 tehtävää (tehtävät 1-8), joissa on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa;
• Osa 2 sisältää 4 tehtävää (tehtävät 9-12), joihin on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa, ja 7 tehtävää (tehtävät 13-19), joissa on yksityiskohtainen vastaus (täydellinen tietue päätöksestä ja sen perustelut) suoritetut toimet).

Panova Svetlana Anatolievna, koulun korkeimman luokan matematiikan opettaja, työkokemus 20 vuotta:

”Oppilaitoksen todistuksen saamiseksi valmistuneen on läpäistävä kaksi pakollista yhtenäisen valtiontutkinnon koetta, joista yksi on matematiikka. Venäjän federaation matemaattisen koulutuksen kehittämiskonseptin mukaisesti yhtenäinen matematiikan valtiontutkinto on jaettu kahteen tasoon: perus- ja erikoistumistasoon. Tänään tarkastelemme vaihtoehtoja profiilitasolle.

Tehtävä numero 1- tarkistaa USE-osallistujien kyvyn soveltaa 5-9 luokalla hankittuja taitoja matematiikan alkeisopetuksessa käytännön toiminnassa. Osallistujalla tulee olla laskentataitoja, kyky työskennellä rationaalisten lukujen kanssa, osata pyöristää desimaalilukuja, osata muuntaa mittayksikkö toiseksi.

Esimerkki 1 Huoneistossa, jossa Petr asuu, asennettiin kylmävesimittari (mittari). Toukokuun ensimmäisenä päivänä mittari näytti 172 kuutiometrin kulutusta. m vettä ja ensimmäisenä kesäkuuta - 177 kuutiometriä. m. Kuinka paljon Pietarin pitäisi maksaa kylmästä vedestä toukokuussa, jos hinta on 1 cu. m kylmää vettä on 34 ruplaa 17 kopekkaa? Anna vastauksesi ruplissa.

Ratkaisu:

1) Laske kuukaudessa käytetty vesimäärä:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Selvitä, kuinka paljon käytetystä vedestä maksetaan:

34,17 5 = 170,85 (hankaa)

Vastaus: 170,85.

Tehtävä numero 2- on yksi kokeen yksinkertaisimmista tehtävistä. Suurin osa valmistuneista selviytyy siitä menestyksekkäästi, mikä osoittaa, että funktion käsitteen määritelmä on hallussa. Vaatimusten mukainen tehtävätyyppi nro 2 on tehtävä hankittujen tietojen ja taitojen hyödyntämiseksi käytännön toiminnassa ja arjessa. Tehtävä nro 2 koostuu erilaisten suureiden välisten todellisten suhteiden kuvaamisesta, funktioiden avulla ja niiden kuvaajien tulkitsemisesta. Tehtävä numero 2 testaa kykyä poimia taulukoissa, kaavioissa, kaavioissa esitettyä tietoa. Valmistuneiden tulee kyetä määrittämään funktion arvo argumentin arvon avulla eri tavoilla funktion määrittelyyn ja kuvata funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia sen kaavion mukaisesti. On myös osattava löytää suurin tai pienin arvo funktiokaaviosta ja rakentaa graafit tutkituista funktioista. Tehdyt virheet ovat satunnaisia ​​ongelman ehtoja luettaessa, kaaviota luettaessa.

#ADVERTISING_INSERT#

Esimerkki 2 Kuvassa näkyy kaivosyhtiön yhden osakkeen vaihto-arvon muutos huhtikuun 2017 ensimmäisellä puoliskolla. Liikemies osti 7. huhtikuuta 1 000 tämän yhtiön osaketta. Hän myi 10. huhtikuuta kolme neljäsosaa ostetuista osakkeista ja 13. huhtikuuta kaikki loput. Kuinka paljon liikemies menetti näiden toimien seurauksena?

Ratkaisu:

2) 1000 3/4 = 750 (osakkeet) - muodostavat 3/4 kaikista ostetuista osakkeista.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ruplaa) - liikemies sai 1000 osakkeen myynnin jälkeen.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (ruplaa) - liikemies menetti kaikkien toimintojen seurauksena.

Vastaus: 15000.

Tehtävä numero 3- on ensimmäisen osan perustason tehtävä, joka tarkistaa kyvyn suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla kurssin "Planimetria" sisällön mukaan. Tehtävä 3 testaa kykyä laskea kuvion pinta-ala ruudulliselle paperille, kykyä laskea kulmien astemittoja, laskea kehyksiä jne.

Esimerkki 3 Etsi ruudulliselle paperille piirretyn suorakulmion pinta-ala, jonka solukoko on 1 cm x 1 cm (katso kuva). Anna vastauksesi neliösenttimetrinä.

Ratkaisu: Voit laskea tämän kuvan pinta-alan käyttämällä Peak-kaavaa:

Tämän suorakulmion alueen laskemiseksi käytämme Peak-kaavaa:

Esimerkki 4 Ympyrässä on 5 punaista ja 1 sinistä pistettä. Selvitä, mitkä polygonit ovat suurempia: ne, joilla on kaikki punaiset kärjet, vai ne, joilla on yksi sinisistä pisteistä. Ilmoita vastauksessasi, kuinka monta enemmän yhtä kuin toista.

Ratkaisu: 1) Käytämme kaavaa yhdistelmien lukumäärälle alkaen n elementtejä k:

joiden kaikki kärjet ovat punaisia.

3) Yksi viisikulmio, jossa on kaikki punaiset kärjet.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonia, joissa on kaikki punaiset kärjet.

joiden kärjet ovat punaisia ​​tai joilla on yksi sininen kärki.

joiden kärjet ovat punaisia ​​tai joilla on yksi sininen kärki.

8) Yksi kuusikulmio, jonka kärjet ovat punaisia, ja yksi sininen kärki.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonia, joissa on kaikki punaiset tai yksi sininen kärki.

10) 42 - 16 = 26 monikulmiota, jotka käyttävät sinistä pistettä.

11) 26 - 16 = 10 polygonia - kuinka monta polygonia, jonka yksi kärkipisteistä on sininen piste, on enemmän kuin polygoneja, joissa kaikki kärjet ovat vain punaisia.

Vastaus: 10.

Tehtävä numero 5- Ensimmäisen osan perustasolla testataan kykyä ratkaista yksinkertaisimmat yhtälöt (irrationaalinen, eksponentiaalinen, trigonometrinen, logaritminen).

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Ratkaisu. Jaa tämän yhtälön molemmat puolet luvulla 5 3 + X≠ 0, saamme

mistä seuraa, että 3+ x = 1, x = –2.

Vastaus: –2.

Tehtävä numero 6 planimetriassa geometristen suureiden (pituudet, kulmat, pinta-alat) etsimiseen, todellisten tilanteiden mallintamiseen geometrian kielellä. Rakennettujen mallien tutkiminen geometristen käsitteiden ja lauseiden avulla. Vaikeuksien lähde on yleensä tietämättömyys tai tarvittavien planimetrian lauseiden virheellinen soveltaminen.

Kolmion pinta-ala ABC vastaa 129. DE- sivun suuntainen keskiviiva AB. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala SÄNKY.

Ratkaisu. Kolmio CDE samanlainen kuin kolmio OHJAAMO kahdessa kulmassa, koska kulma kärjessä C yleinen, kulma CDE yhtä suuri kuin kulma OHJAAMO kuin vastaavat kulmat DE || AB sekantti AC. Koska DE on kolmion keskiviiva ehdolla, sitten keskiviivan ominaisuudella | DE = (1/2)AB. Eli samankaltaisuuskerroin on 0,5. Samankaltaisten lukujen alueet suhteutetaan samankaltaisuuskertoimen neliöön, joten

Näin ollen S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tehtävä numero 7- tarkistaa derivaatan soveltamisen funktion tutkimukseen. Onnistunut toteutus edellyttää johdannaisen käsitteen mielekästä, epämuodollista hallussapitoa.

Esimerkki 7 Funktion kaavioon y = f(x) kohdassa, jossa on abskissa x 0 piirretään tangentti, joka on kohtisuorassa tämän kuvaajan pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevaa suoraa vastaan. löytö f′( x 0).

Ratkaisu. 1) Käytetään kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöä ja löydetään pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-yksi)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x-13, missä k 1 = 4.

2) Etsi tangentin kaltevuus k 2, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan y = 4x-13, missä k 1 = 4 kaavan mukaan:

3) Tangentin jyrkkyys on funktion derivaatta kosketuspisteessä. tarkoittaa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastaus: –0,25.

Tehtävä numero 8- tarkistaa tenttiin osallistuvien alkeisstereometrian tuntemuksen, kyvyn soveltaa kaavoja kuvioiden pinta-alojen ja tilavuuksien, dihedraalisten kulmien löytämiseen, vertailla samankaltaisten kuvioiden tilavuuksia, osaa suorittaa toimintoja geometrisilla kuvioilla, koordinaatteilla ja vektoreilla , jne.

Pallon ympärille piirretyn kuution tilavuus on 216. Selvitä pallon säde.

Ratkaisu. 1) V kuutio = a 3 (missä a on kuution reunan pituus), joten

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Koska pallo on kirjoitettu kuutioon, se tarkoittaa, että pallon halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin kuution reunan pituus, joten d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tehtävä numero 9- vaatii valmistuneelta muuntamaan ja yksinkertaistamaan algebrallisia lausekkeita. Tehtävä nro 9 monimutkaisempi ja lyhyt vastaus. Tehtävät osasta "Laskut ja muunnokset" USE:ssa on jaettu useisiin tyyppeihin:

numeeristen rationaalisten lausekkeiden muunnokset;

algebrallisten lausekkeiden ja murtolukujen muunnokset;

numeeristen/kirjaimien irrationaalisten lausekkeiden muunnokset;

toiminnot tutkinnoilla;

logaritmisen lausekkeiden muunnos;

1. numeeristen/kirjaimien trigonometristen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki 9 Laske tgα, jos tiedetään, että cos2α = 0,6 ja

Ratkaisu. 1) Käytetään kaksoisargumenttikaavaa: cos2α = 2 cos 2 α - 1 ja etsitään

Näin ollen tan 2 α = ± 0,5.

3) Ehdon mukaan

siten α on toisen neljänneksen ja tgα kulma< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastaus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tehtävä numero 10- tarkistaa opiskelijoiden kyvyn käyttää varhain hankittuja tietoja ja taitoja käytännön toiminnassa ja arjessa. Voimme sanoa, että nämä ovat fysiikan, ei matematiikan, ongelmia, mutta kaikki tarvittavat kaavat ja suuret on annettu ehdossa. Tehtävät rajoittuvat lineaarisen tai toisen asteen yhtälön tai lineaarisen tai neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseen. Siksi on välttämätöntä pystyä ratkaisemaan tällaiset yhtälöt ja epäyhtälöt ja määrittämään vastaus. Vastauksen tulee olla kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa.

Kaksi massakappaletta m= 2 kg kukin, liikkuvat samalla nopeudella v= 10 m/s kulmassa 2α toisiinsa nähden. Niiden ehdottoman joustamattoman törmäyksen aikana vapautuva energia (jouleina) määräytyy lausekkeen avulla K = mv 2 sin 2 α. Missä pienimmässä kulmassa 2α (asteina) kappaleiden tulee liikkua, jotta törmäyksen seurauksena vapautuu vähintään 50 joulea?
Ratkaisu. Ongelman ratkaisemiseksi meidän on ratkaistava epäyhtälö Q ≥ 50 välillä 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Koska α ∈ (0°; 90°), ratkaisemme vain

Esitämme epäyhtälön ratkaisun graafisesti:

Koska oletuksella α ∈ (0°; 90°), se tarkoittaa, että 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tehtävä numero 11- on tyypillistä, mutta se osoittautuu opiskelijoille vaikeaksi. Suurin vaikeuksien lähde on matemaattisen mallin rakentaminen (yhtälön laatiminen). Tehtävä numero 11 testaa kykyä ratkaista tekstitehtäviä.

Esimerkki 11. Kevättauon aikana 11-luokkalainen Vasya joutui ratkaisemaan 560 harjoitustehtävää valmistautuakseen tenttiin. Maaliskuun 18. päivänä, viimeisenä koulupäivänä, Vasya ratkaisi 5 ongelmaa. Sitten hän ratkaisi joka päivä saman määrän ongelmia enemmän kuin edellisenä päivänä. Selvitä, kuinka monta ongelmaa Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta viimeisenä lomapäivänä.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastaus: 65.

Tehtävä numero 12- tarkistaa opiskelijoiden kykyä suorittaa toimintoja funktioilla, osata soveltaa derivaatta funktion tutkimiseen.

Etsi funktion maksimipiste y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Ratkaisu: 1) Etsi funktion toimialue: x + 9 > 0, x> –9, eli x ∈ (–9; ∞).

2) Etsi funktion derivaatta:

4) Löytöpiste kuuluu väliin (–9; ∞). Määrittelemme funktion derivaatan merkit ja kuvaamme funktion käyttäytymistä kuvassa:

Haluttu maksimipiste x = –8.

a) Ratkaise yhtälö 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin.

Ratkaisu: a) Olkoon log 3 (2cos x) = t, sitten 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Etsi segmentin juuret.

Kuvasta voidaan nähdä, että annetulla segmentillä on juuret

Sylinterin kannan ympyrän halkaisija on 20, sylinterin generatrix on 28. Taso leikkaa kantansa pituudeltaan 12 ja 16 olevia jänteitä pitkin. Painteiden välinen etäisyys on 2√197.

a) Osoita, että sylinterin kantojen keskipisteet ovat samalla puolella tätä tasoa.

b) Etsi kulma tämän tason ja sylinterin kannan tason välillä.

Ratkaisu: a) Pituus 12 jänne on etäisyydellä = 8 perusympyrän keskustasta ja jänne, jonka pituus on 16, on vastaavasti etäisyydellä 6. Siksi niiden projektioiden välinen etäisyys tasossa, joka on yhdensuuntainen sylinterien kanta on joko 8 + 6 = 14 tai 8 - 6 = 2.

Silloin sointujen välinen etäisyys on joko

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ehdon mukaan toteutui toinen tapaus, jossa jänteiden projektiot ovat sylinterin akselin toisella puolella. Tämä tarkoittaa, että akseli ei leikkaa tätä tasoa sylinterin sisällä, eli kantat ovat sen toisella puolella. Mitä piti todistaa.

b) Merkitään kantojen keskipisteitä O 1 ja O 2. Piirretään kannan keskeltä jänteellä, jonka pituus on 12, kohtisuora puolittaja tähän jänteeseen (sen pituus on 8, kuten jo todettiin) ja toisen kannan keskustasta toiseen jänteeseen. Ne sijaitsevat samassa tasossa β kohtisuorassa näihin jänteisiin nähden. Kutsutaan pienemmän jänteen B keskipiste, joka on suurempi kuin A, ja A:n projektio toiseen kantaan H (H ∈ β). Tällöin AB,AH ∈ β ja siten AB,AH ovat kohtisuorassa jänteeseen, eli kannan leikkausviivaan annetun tason kanssa.

Tarvittava kulma on siis

Tehtävä numero 15- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, tarkistaa kyvyn ratkaista epätasa-arvot, menestyksekkäimmin ratkaistu tehtävien joukossa yksityiskohtaisella vastauksella, jolla on lisääntynyt monimutkaisuus.

Esimerkki 15 Ratkaise epäyhtälö | x 2 – 3x| loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Ratkaisu: Tämän epäyhtälön määritelmäalue on väli (–1; +∞). Harkitse kolmea tapausta erikseen:

1) Anna x 2 – 3x= 0, ts. X= 0 tai X= 3. Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö tulee todeksi, joten nämä arvot sisällytetään ratkaisuun.

2) Anna nyt x 2 – 3x> 0, ts. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ( x 2 – 3x) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaa positiivisella lausekkeella x 2 – 3x. Saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 tai x≤ -0,5. Kun otetaan huomioon määritelmäalue, meillä on x ∈ (–1; –0,5].

3) Lopuksi harkitse x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Tässä tapauksessa alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon (3 x – x 2) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Positiivisella lausekkeella jakamisen jälkeen 3 x – x 2 , saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Pinta-ala huomioon ottaen meillä on x ∈ (0; 1].

Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastaus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tehtävä numero 16- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

Tasakylkiseen kolmioon ABC, jonka kulma on 120° kärjessä A, piirretään puolittaja BD. Suorakulmio DEFH on piirretty kolmioon ABC siten, että sivu FH on janalla BC ja kärki E on janalla AB. a) Todista, että FH = 2DH. b) Etsi suorakulmion DEFH pinta-ala, jos AB = 4.

Ratkaisu: a)

1) ΔBEF - suorakulmainen, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, sitten EF = BE 30° kulmaa vastakkaisen jalan ominaisuuden vuoksi.

2) Olkoon EF = DH = x, niin BE = 2 x, BF = x√3 Pythagoraan lauseen mukaan.

3) Koska ΔABC on tasakylkinen, niin ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B:n puolittaja, joten ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tarkastellaan ΔDBH - suorakulmaista, koska DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Vastaus: 24 – 12√3.

Esimerkki 17. 20 miljoonan ruplan talletus on tarkoitus avata neljäksi vuodeksi. Pankki kasvattaa talletusta jokaisen vuoden lopussa 10 % vuoden alun kokoon verrattuna. Lisäksi kolmannen ja neljännen vuoden alussa tallettaja täydentää talletuksensa vuosittain mennessä X miljoonaa ruplaa, missä X - koko määrä. Etsi korkein arvo X, jossa pankki lisää alle 17 miljoonaa ruplaa talletukseen neljässä vuodessa.

Ratkaisu: Ensimmäisen vuoden lopussa maksu on 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoonaa ruplaa ja toisen vuoden lopussa - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoonaa ruplaa. Kolmannen vuoden alussa osuus (miljoonaa ruplaa) on (24,2 + X), ja lopussa - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljännen vuoden alussa panos on (26,62 + 2,1 X), ja lopussa - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Ehdon mukaan sinun on löydettävä suurin kokonaisluku x, jolle epäyhtälö on

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Suurin kokonaislukuratkaisu tälle epäyhtälölle on luku 24.

Vastaus: 24.

missä a epätasa-arvojärjestelmä

onko täsmälleen kaksi ratkaisua?

Ratkaisu: Tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Jos piirretään tasolle ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukko, saadaan ympyrän (jossa on raja) sisäosa, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on piste (0, a). Toisen epäyhtälön ratkaisujoukko on se osa tasosta, joka sijaitsee funktion kuvaajan alla y = | x| – a, ja jälkimmäinen on funktion kuvaaja
y = | x| , siirretty alaspäin a. Tämän järjestelmän ratkaisu on kunkin epäyhtälön ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Tästä johtuen tällä järjestelmällä on kaksi ratkaisua vain kuviossa 2 esitetyssä tapauksessa. yksi.

Ympyrän ja viivojen kosketuspisteet ovat järjestelmän kaksi ratkaisua. Jokainen suora on kallistettu akseleihin nähden 45° kulmassa. Kolmio siis PQR- suorakulmaiset tasakylkiset. Piste K on koordinaatit (0, a), ja pointti R– koordinaatit (0, – a). Lisäksi leikkaukset PR ja PQ ovat yhtä kuin ympyrän säde yhtä suuri kuin 1.

Päästää sn summa P aritmeettisen progression jäsenet ( a p). On tiedossa, että S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Anna kaava P tämän etenemisen jäsen.

b) Etsi pienin moduulisumma S n.

c) Etsi pienin P, jossa S n on kokonaisluvun neliö.

Ratkaisu a) Ilmeisesti a n = S n – S n- yksi . Käyttämällä tätä kaavaa saamme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

tarkoittaa, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) koska S n = 2n 2 – 25n, harkitse sitten toimintoa S(x) = | 2x 2 – 25x|. Hänen kaavionsa näkyy kuvassa.

On selvää, että pienin arvo saavutetaan lähimpänä funktion nollia sijaitsevissa kokonaislukupisteissä. Ilmeisesti nämä ovat pointteja. X= 1, X= 12 ja X= 13. Koska, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, niin pienin arvo on 12.

c) Edellisestä kappaleesta seuraa, että sn positiivinen siitä lähtien n= 13. Alkaen S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), niin ilmeinen tapaus, jossa tämä lauseke on täydellinen neliö, toteutuu, kun n = 2n- 25, eli kanssa P= 25.

On vielä tarkistettava arvot 13-25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Osoittautuu, että pienemmille arvoille P täyttä neliötä ei saavuteta.

Vastaus: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Toukokuusta 2017 lähtien DROFA-VENTANA-yhteiskustannusryhmä on ollut osa Russian Textbook Corporationia. Yhtiöön kuuluivat myös kustantamo Astrel ja digitaalinen koulutusalusta LECTA. Alexander Brychkin, valmistunut Venäjän federaation hallituksen alaiselta Finanssiakatemiasta, taloustieteiden kandidaatti, DROFA-kustantamon innovatiivisten projektien johtaja digitaalisen koulutuksen alalla (oppikirjojen elektroniset muodot, venäläinen elektroninen koulu, LECTA digitaalinen koulutus foorumi) on nimitetty pääjohtajaksi. Ennen tuloaan DROFA-kustantamoon hän toimi EKSMO-AST-kustannusholdingin strategisesta kehityksestä ja investoinneista vastaavana johtajana. Nykyään Russian Textbook Publishing Corporationilla on suurin liittovaltion luetteloon sisältyvien oppikirjojen salkku - 485 nimikettä (noin 40%, poislukien vankeuskoulujen oppikirjat). Yhtiön kustantamot omistavat venäläisten koulujen eniten kysytyt fysiikan, piirtämisen, biologian, kemian, tekniikan, maantieteen, tähtitieteen oppikirjasarjat - osaamisalueita, joita tarvitaan maan tuotantopotentiaalin kehittämiseen. Yhtiön salkku sisältää oppikirjoja ja opetusvälineitä Koulutuspresidentin palkinnon saaneille peruskouluille. Nämä ovat oppikirjoja ja käsikirjoja aihealueista, jotka ovat välttämättömiä Venäjän tieteellisen, teknisen ja teollisen potentiaalin kehittämiseksi.

Tämä artikkeli esittelee matematiikan osan 2 tehtävien 9-12 analyysin profiilitasolla matematiikan ja fysiikan tutorilta. Ohjaajan videotunti ehdotettujen tehtävien analyysillä sisältää yksityiskohtaisia ​​ja ymmärrettäviä kommentteja jokaisesta niistä. Jos olet juuri alkanut valmistautua matematiikan kokeeseen, tämä artikkeli voi olla sinulle erittäin hyödyllinen.

Käyttämällä logaritmien ominaisuuksia, jotka voit oppia yksityiskohtaisesti yllä olevasta opetusvideosta, muunnamme lausekkeen:

10. Jousiheiluri värähtelee pisteen kanssa T= 16 s. Ripustettavan kuorman paino m= 0,8 kg. Lastin liikenopeus muuttuu ajan myötä kaavan mukaan . Samaan aikaan m/s. Kineettisen energian (jouleina) määrittävä kaava on: , missä m otettu kilogrammoina, - metreinä sekunnissa. Mikä on kuorman kineettinen energia jouleina 10 sekuntia värähtelevän liikkeen alkamisen jälkeen?

Kuorman liikenopeus 10 s värähtelevän liikkeen alkamisen jälkeen on yhtä suuri:

Tällöin kineettinen energia tällä hetkellä on yhtä suuri kuin:

J.

Päästää x on yhden tikkarin hinta, ja y- Suklaan hinta. Sitten 6 tikkaria maksoi 6 x, ja 2 % suklaapatukan hinnasta on 0,02 y. Koska tiedetään, että 6 tikkaria maksaa 2 % vähemmän kuin suklaapatukka, ensimmäinen yhtälö pätee: 6 x + 0,02y = y, josta saamme sen x = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y. 9 tikkaria puolestaan ​​maksaa 9 x, eli 9 49/300 y = 49/300 y = 1,47 y. Ongelma rajoittuu määrittämään kuinka monta prosenttia 1,47 y enemmän kuin y. Jos y on 100%, sitten 1,47 y on 1,47 100 % = 147 %. Eli 1,47 y enemmän kuin y 47 prosenttia.

1) ODZ saadaan epäyhtälöstä: title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) Etsimme funktion derivaatta. Katso yllä olevasta videosta yksityiskohtainen tarina tämän funktion derivaatan laskemisesta. Funktion derivaatta on:

3) Arvojen etsiminen x, jonka derivaatta on 0 tai sitä ei ole olemassa. Sitä ei ole olemassa, koska tässä tapauksessa nimittäjä katoaa. Johdannainen katoaa, kun.