Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön ratkaisu. Differentiaaliyhtälöt verkossa

Muistakaamme tehtävä, joka kohtasi, kun etsimme varmoja integraaleja:

tai dy = f(x)dx. Hänen ratkaisunsa:

ja se laskee määrittelemättömän integraalin. Käytännössä kohdataan useammin monimutkaisempi tehtävä: funktion löytäminen y, jos tiedetään, että se täyttää muodon suhteen

Tämä suhde liittyy riippumattomaan muuttujaan x, tuntematon toiminto y ja sen johdannaiset järjestyksen mukaan n mukaan lukien, kutsutaan .

Differentiaaliyhtälö sisältää funktion, joka on yhden tai toisen asteen derivaattojen (tai differentiaalien) merkin alla. Korkeinta järjestystä kutsutaan järjestykseksi (9.1) .

Differentiaaliyhtälöt:

- ensimmäinen tilaus,

Toinen tilaus

- viides tilaus jne.

Funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön, kutsutaan sen ratkaisuksi , tai integraali . Sen ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä. Jos vaadittavalle toiminnolle y onnistui saamaan kaavan, joka antaa kaikki ratkaisut, niin sanomme, että olemme löytäneet sen yleisen ratkaisun , tai yleinen integraali .

Yhteinen päätös sisältää n mielivaltaisia ​​vakioita ja näyttää siltä

Jos saadaan relaatio, joka liittyy x, y Ja n mielivaltaisia ​​vakioita muodossa, jota ei sallita suhteessa y -

silloin tällaista suhdetta kutsutaan yhtälön (9.1) yleiseksi integraaliksi.

Cauchy ongelma

Jokaista tiettyä ratkaisua, eli jokaista tiettyä funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön ja joka ei riipu mielivaltaisista vakioista, kutsutaan tietyksi ratkaisuksi , tai osittainen integraali. Jotta saadaan tietyt ratkaisut (integraalit) yleisistä, vakioille on annettava tietyt numeeriset arvot.

Tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Yleinen ratkaisu, joka sisältää kaikki osaratkaisut, on integraalikäyrien perhe. Ensimmäisen kertaluvun yhtälölle tämä perhe riippuu yhtälön mielivaltaisesta vakiosta n-th tilaus - alkaen n mielivaltaisia ​​vakioita.

Cauchyn ongelma on löytää tietty ratkaisu yhtälölle n- järjestyksessä, tyydyttävä n alkuolosuhteet:

jolla määritetään n vakiota c 1, c 2,..., c n.

1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle, joka on ratkaisematon derivaatan suhteen, sen muoto on

tai suhteellisesti sallittua

Esimerkki 3.46. Etsi yhtälön yleinen ratkaisu

Ratkaisu. Integroimalla saamme

jossa C on mielivaltainen vakio. Jos annamme C:lle tiettyjä numeerisia arvoja, saamme tiettyjä ratkaisuja, esim.

Esimerkki 3.47. Harkitse kasvavaa pankkiin talletettua rahamäärää, jota kertyy 100 r korkokorkoa vuodessa. Olkoon Yo alkuperäinen rahasumma ja Yx lopussa x vuotta. Jos korko lasketaan kerran vuodessa, saamme

jossa x = 0, 1, 2, 3,.... Kun korko lasketaan kahdesti vuodessa, saadaan

jossa x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Korkoa laskettaessa n kerran vuodessa ja jos x ottaa peräkkäiset arvot 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., sitten

Määritä 1/n = h, niin edellinen yhtälö näyttää tältä:

Rajoittamattomalla suurennuksella n(at ) rajassa tulemme rahamäärän kasvattamiseen jatkuvalla koronkertymällä:

On siis selvää, että jatkuvalla muutoksella x rahan tarjonnan muutoslaki ilmaistaan ​​1. asteen differentiaaliyhtälöllä. missä Y x on tuntematon funktio, x- itsenäinen muuttuja, r- vakio. Ratkaistaan ​​tämä yhtälö, kirjoitetaan se uudelleen seuraavasti:

missä , tai , jossa P on e C .

Alkuehdoista Y(0) = Yo saadaan P: Yo = Pe o, josta Yo = P. Siksi ratkaisulla on muoto:

Tarkastellaanpa toista taloudellista ongelmaa. Makrotaloudellisia malleja kuvataan myös ensimmäisen asteen lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä, jotka kuvaavat tulon tai tuotoksen Y muutoksia ajan funktioina.

Esimerkki 3.48. Kasvakoon kansantulo Y sen arvoon suhteutettua tahtia:

ja olkoon julkisten menojen alijäämä suoraan verrannollinen tuloihin Y suhteellisuuskertoimella q. Menoalijäämä johtaa valtionvelan kasvuun D:

Alkuehdot Y = Yo ja D = Do, kun t = 0. Ensimmäisestä yhtälöstä Y= Yoe kt. Korvaamalla Y saadaan dD/dt = qYoe kt . Yleisellä ratkaisulla on muoto
D = (q/ k) Yoe kt +С, missä С = const, joka määritetään alkuehdoista. Korvaamalla alkuehdot, saamme Do = (q/ k)Yo + C. Joten lopuksi,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

Tämä osoittaa, että valtionvelka kasvaa samaa suhteellista vauhtia k, sama kuin kansantulo.

Tarkastellaan yksinkertaisimpia differentiaaliyhtälöitä n järjestyksessä, nämä ovat muodon yhtälöitä

Sen yleinen ratkaisu voidaan saada käyttämällä n kertaa integraatiot.

Esimerkki 3.49. Tarkastellaan esimerkkiä y """ = cos x.

Ratkaisu. Integrointi, löydämme

Yleisellä ratkaisulla on muoto

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Niitä käytetään laajasti taloustieteessä. Harkitsemme tällaisten yhtälöiden ratkaisemista. Jos (9.1):llä on muoto:

silloin sitä kutsutaan lineaariseksi, missä рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) on annettu funktioita. Jos f(x) = 0, niin (9.2) kutsutaan homogeeniseksi, muuten sitä kutsutaan epähomogeeniseksi. Yhtälön (9.2) yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen yksittäisen ratkaisun summa y(x) ja sitä vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Jos kertoimet р o (x), р 1 (x),..., р n (x) ovat vakioita, niin (9.2)

(9.4) kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi, jolla on vakiokertoimet n .

Sillä (9.4) on muoto:

Yleisyyttä menettämättä voidaan asettaa p o = 1 ja kirjoittaa (9.5) muotoon

Etsimme ratkaisua (9.6):lle muodossa y = e kx, missä k on vakio. Meillä on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Kun tuloksena saadut lausekkeet korvataan lausekkeella (9.6), saadaan:

(9.7) on algebrallinen yhtälö, sen tuntematon on k, sitä kutsutaan ominaispiirteeksi. Ominaisuusyhtälöllä on aste n Ja n juuret, joiden joukossa voi olla sekä useita että monimutkaisia. Olkoon k 1 , k 2 ,..., k n siis todellinen ja erillinen - erityiset ratkaisut (9.7) ja yleiset

Tarkastellaan lineaarista homogeenista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla:

Sen tunnusomaisella yhtälöllä on muoto

(9.9)

sen diskriminantti D = p 2 - 4q, riippuen D:n merkistä, kolme tapausta on mahdollista.

1. Jos D>0, niin juuret k 1 ja k 2 (9.9) ovat todellisia ja erilaisia, ja yleisratkaisulla on muoto:

Ratkaisu. Ominaisuusyhtälö: k 2 + 9 = 0, jolloin k = ± 3i, a = 0, b = 3, yleisratkaisu on muotoa:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Toisen asteen lineaarisia differentiaaliyhtälöitä käytetään tutkittaessa verkkotyyppistä taloudellista mallia tavaravarastoilla, joissa hinnan P muutosnopeus riippuu varaston koosta (katso kappale 10). Jos kysyntä ja tarjonta ovat lineaarisia hinnan funktioita, se on

a on vakio, joka määrittää reaktionopeuden, niin hinnanmuutosprosessia kuvaa differentiaaliyhtälö:

Tietylle ratkaisulle voimme ottaa vakion

järkevä tasapainohinta. Poikkeama täyttää homogeenisen yhtälön

(9.10)

Ominaisuusyhtälö on seuraava:

Jos termi on positiivinen. Merkitään . Ominaistayhtälön k 1,2 = ± i w juuret, joten yleisratkaisu (9.10) on muotoa:

missä C ja ovat mielivaltaisia ​​vakioita, ne määritetään alkuehdoista. Saimme hinnan muutoksen lain ajan myötä:

Differentiaaliyhtälö (DE) - tämä on yhtälö,
missä ovat riippumattomat muuttujat, y on funktio ja osittaiset derivaatat.

Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jolla on vain yksi riippumaton muuttuja, .

Osittaisdifferentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on kaksi tai useampia riippumattomia muuttujia.

Sanat "tavallinen" ja "osittaisjohdannaiset" voidaan jättää pois, jos on selvää, mitä yhtälöä tarkastellaan. Seuraavassa tarkastellaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä.

Differentiaaliyhtälön järjestys on korkeimman derivaatan järjestys.

Tässä on esimerkki ensimmäisen asteen yhtälöstä:

Tässä on esimerkki neljännen kertaluvun yhtälöstä:

Joskus ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan differentiaalien avulla:

Tässä tapauksessa muuttujat x ja y ovat yhtä suuret. Eli riippumaton muuttuja voi olla joko x tai y. Ensimmäisessä tapauksessa y on x:n funktio. Toisessa tapauksessa x on y:n funktio. Tarvittaessa voimme pelkistää tämän yhtälön muotoon, joka eksplisiittisesti sisältää derivaatan y′.
Jakamalla tämän yhtälön dx:llä saamme:
.
Koska ja, siitä seuraa siitä
.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

Alkuperäisten funktioiden johdannaiset ilmaistaan ​​alkeisfunktioiden kautta. Alkeisfunktioiden integraaleja ei usein ilmaista alkeisfunktioilla. Differentiaaliyhtälöiden kanssa tilanne on vielä pahempi. Ratkaisun tuloksena voit saada:

• funktion eksplisiittinen riippuvuus muuttujasta;

  Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen on funktio y = u (x), joka on määritelty, n kertaa differentioituva ja .

• implisiittinen riippuvuus tyypin Φ yhtälön muodossa (x, y) = 0 tai yhtälöjärjestelmät;

  Differentiaaliyhtälön integraali on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, jolla on implisiittinen muoto.

• alkeisfunktioiden ja niiden integraalien kautta ilmaistu riippuvuus;

  Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen kvadratuurissa - tämä on ratkaisun löytäminen alkeisfunktioiden ja niiden integraalien yhdistelmän muodossa.

• ratkaisua ei voi ilmaista alkeisfunktioiden kautta.

Koska differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen rajoittuu integraalien laskemiseen, ratkaisu sisältää joukon vakioita C 1, C 2, C 3, ... C n. Vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Differentiaaliyhtälön osaintegraali on yleinen integraali vakioiden C 1, C 2, C 3, ..., C n annetuille arvoille.

Viitteet:
V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Korkeamman matematiikan tehtäväkokoelma, "Lan", 2003.

Tavallinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka yhdistää riippumattoman muuttujan, tämän muuttujan tuntemattoman funktion ja sen eri asteisia johdannaisia ​​(tai differentiaaleja).

Differentiaaliyhtälön järjestys kutsutaan sen sisältämän korkeimman derivaatan järjestykseksi.

Tavallisten yhtälöiden lisäksi tutkitaan myös osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Nämä ovat riippumattomiin muuttujiin liittyviä yhtälöitä, näiden muuttujien tuntematon funktio ja sen osittaiset derivaatat samoihin muuttujiin nähden. Mutta harkitsemme vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä ja siksi lyhennyksen vuoksi jätämme pois sanan "tavallinen".

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Yhtälö (1) on neljännen kertaluvun, yhtälö (2) on kolmannen kertaluvun, yhtälöt (3) ja (4) ovat toisen kertaluvun, yhtälö (5) on ensimmäistä kertaluokkaa.

Differentiaaliyhtälö n järjestyksessä ei välttämättä tarvitse sisältää eksplisiittistä funktiota, kaikki sen johdannaiset ensimmäisestä n-th kertaluku ja riippumaton muuttuja. Se ei saa sisältää eksplisiittisiä johdannaisia ​​tietyistä järjestyksistä, funktiota tai riippumatonta muuttujaa.

Esimerkiksi yhtälössä (1) ei selvästikään ole kolmannen ja toisen kertaluvun derivaattoja eikä funktiota; yhtälössä (2) - toisen kertaluvun derivaatta ja funktio; yhtälössä (4) - riippumaton muuttuja; yhtälössä (5) - funktiot. Vain yhtälö (3) sisältää eksplisiittisesti kaikki derivaatat, funktion ja riippumattoman muuttujan.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen jokaista funktiota kutsutaan y = f(x), kun se korvataan yhtälöllä, se muuttuu identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun löytämisprosessia kutsutaan sen prosessiksi liittäminen.

Esimerkki 1. Etsi ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Ratkaisu. Kirjoitetaan tämä yhtälö muotoon . Ratkaisu on löytää funktio sen derivaatasta. Alkuperäinen funktio, kuten integraalilaskennasta tiedetään, on antiderivaata ts.

Sitä se on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön . Muuttumassa siinä C, saamme erilaisia ​​ratkaisuja. Huomasimme, että ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöön on ääretön määrä ratkaisuja.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu n kertaluku on sen ratkaisu, joka ilmaistaan ​​eksplisiittisesti tuntemattoman funktion suhteen ja sisältää n riippumattomia mielivaltaisia ​​vakioita, ts.

Esimerkin 1 differentiaaliyhtälön ratkaisu on yleinen.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu kutsutaan ratkaisua, jossa mielivaltaisille vakioille annetaan tietyt numeeriset arvot.

Esimerkki 2. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja erityinen ratkaisu .

Ratkaisu. Integroidaan yhtälön molemmat puolet differentiaaliyhtälön järjestystä vastaava määrä kertoja.

,

.

Tuloksena saimme yleisen ratkaisun -

tietyn kolmannen asteen differentiaaliyhtälön.

Etsitään nyt erityinen ratkaisu määritetyissä olosuhteissa. Voit tehdä tämän korvaamalla niiden arvot mielivaltaisten kertoimien sijaan ja saamalla

.

Jos differentiaaliyhtälön lisäksi alkuehto annetaan muodossa , niin tällainen ongelma on ns. Cauchy ongelma . Korvaa arvot ja yhtälön yleiseen ratkaisuun ja löydä mielivaltaisen vakion arvo C, ja sitten erityinen yhtälön ratkaisu löydetylle arvolle C. Tämä on ratkaisu Cauchyn ongelmaan.

Esimerkki 3. Ratkaise Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle esimerkistä 1 kohteena .

Ratkaisu. Korvataan alkuehdon arvot yleiseen ratkaisuun y = 3, x= 1. Saamme

Kirjoitamme Cauchyn ongelman ratkaisun tälle ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle:

Differentiaaliyhtälöiden, jopa yksinkertaisimpien, ratkaiseminen vaatii hyviä integrointi- ja derivointitaitoja, mukaan lukien monimutkaiset funktiot. Tämä voidaan nähdä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Ratkaisu. Yhtälö on kirjoitettu sellaiseen muotoon, että voit välittömästi integroida molemmat puolet.

.

Käytämme integrointimenetelmää muuttujan muutoksella (substituutio). Olkoon sitten.

Pakollinen ottamaan dx ja nyt - huomio - teemme tämän monimutkaisen funktion eriyttämissääntöjen mukaisesti, koska x ja siinä on monimutkainen funktio ("omena" on neliöjuuren erottaminen tai, mikä on sama asia, nostaminen "puoleen", ja "jauheliha" on juuri juuren alla oleva ilmaus):

Löydämme integraalin:

Palataan muuttujaan x, saamme:

.

Tämä on tämän ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ei vaadita vain korkeamman matematiikan aiempien osien taitoja, vaan myös perus- eli koulumatematiikan taitoja. Kuten jo mainittiin, minkä tahansa asteen differentiaaliyhtälössä ei välttämättä ole riippumatonta muuttujaa, toisin sanoen muuttujaa x. Koulusta saamat tiedot mittasuhteista, joita ei ole unohdettu (mutta riippuen siitä, kuka) koulusta auttavat ratkaisemaan tämän ongelman. Tämä on seuraava esimerkki.

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan. Useimmissa käytännön ongelmissa funktiot edustavat fyysisiä suureita, derivaatat vastaavat näiden suureiden muutosnopeuksia ja yhtälö määrittää niiden välisen suhteen.

Tässä artikkelissa käsitellään menetelmiä tietyntyyppisten tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, joiden ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon perustoiminnot, eli polynominen, eksponentiaalinen, logaritminen ja trigonometrinen, sekä niiden käänteisfunktiot. Monet näistä yhtälöistä esiintyvät tosielämässä, vaikka useimpia muita differentiaaliyhtälöitä ei voidakaan ratkaista näillä menetelmillä, ja niille vastaus kirjoitetaan erikoisfunktioiden tai potenssisarjojen muodossa tai löydetään numeerisin menetelmin.

Ymmärtääksesi tämän artikkelin, sinun on oltava taitava differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä jonkin verran ymmärrystä osittaisista derivaatoista. On myös suositeltavaa tuntea lineaarisen algebran perusteet differentiaaliyhtälöiden, erityisesti toisen asteen differentiaaliyhtälöiden, perusteet, vaikkakin differentiaali- ja integraalilaskennan tuntemus riittää niiden ratkaisemiseen.

Ennakkotiedot

• Differentiaaliyhtälöillä on laaja luokitus. Tässä artikkelissa puhutaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä, eli yhtälöistä, jotka sisältävät yhden muuttujan funktion ja sen derivaatat. Tavallisia differentiaaliyhtälöitä on paljon helpompi ymmärtää ja ratkaista kuin osittaisdifferentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät useiden muuttujien funktioita. Tässä artikkelissa ei käsitellä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, koska näiden yhtälöiden ratkaisumenetelmät määräytyvät yleensä niiden tietyn muodon mukaan.
  • Alla on esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Alla on esimerkkejä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\osittainen y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Tilaus differentiaaliyhtälön arvo määräytyy tähän yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestyksessä. Ensimmäinen yllä olevista tavallisista differentiaaliyhtälöistä on ensimmäisen kertaluvun yhtälö, kun taas toinen on toisen kertaluvun yhtälö. Tutkinto differentiaaliyhtälön suurin potenssi, johon yksi tämän yhtälön ehdoista on korotettu.
  • Esimerkiksi alla oleva yhtälö on kolmannen asteen ja toisen asteen.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ oikea)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differentiaaliyhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö siinä tapauksessa, että funktio ja kaikki sen derivaatat ovat ensimmäisessä asteessa. Muuten yhtälö on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat merkittäviä siinä mielessä, että niiden ratkaisuilla voidaan muodostaa lineaarisia yhdistelmiä, jotka ovat myös ratkaisuja annettuun yhtälöön.
  • Alla on esimerkkejä lineaarisista differentiaaliyhtälöistä.
  • Alla on esimerkkejä epälineaarisista differentiaaliyhtälöistä. Ensimmäinen yhtälö on epälineaarinen sinitermin vuoksi.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Yhteinen päätös tavallinen differentiaaliyhtälö ei ole ainutlaatuinen, se sisältää mielivaltaiset integrointivakiot. Useimmissa tapauksissa mielivaltaisten vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Käytännössä näiden vakioiden arvot määritetään annettujen perusteella alkuolosuhteet eli funktion ja sen johdannaisten arvojen mukaan x = 0. (\displaystyle x=0.) Alkuehtojen lukumäärä, jotka on löydettävä yksityinen ratkaisu differentiaaliyhtälö, useimmissa tapauksissa on myös yhtä suuri kuin annetun yhtälön järjestys.
  • Esimerkiksi tässä artikkelissa tarkastellaan alla olevan yhtälön ratkaisemista. Tämä on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö. Sen yleinen ratkaisu sisältää kaksi mielivaltaista vakiota. Näiden vakioiden löytämiseksi on tarpeen tietää alkuehdot at x (0) (\displaystyle x(0)) Ja x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Yleensä alkuehdot määritellään pisteessä x = 0 , (\displaystyle x=0,), vaikka tämä ei ole välttämätöntä. Tässä artikkelissa keskustellaan myös siitä, kuinka löytää tiettyjä ratkaisuja tietyille alkuolosuhteille.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Askeleet

Osa 1

Tätä palvelua käytettäessä osa tiedoista saatetaan siirtää YouTubeen.

1. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt. Tässä osiossa käsitellään menetelmiä ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi yleisesti ja erikoistapauksissa, joissa jotkut termit ovat yhtä kuin nolla. Teeskennetäänpä sitä y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Ja q (x) (\displaystyle q(x)) ovat toimintoja x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\näyttötyyli (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Yhden matemaattisen analyysin peruslauseen mukaan funktion derivaatan integraali on myös funktio. Näin ollen riittää, että yhtälö yksinkertaisesti integroidaan ratkaisun löytämiseksi. On otettava huomioon, että määrittämätöntä integraalia laskettaessa ilmestyy mielivaltainen vakio.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\näyttötyyli y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Käytämme menetelmää muuttujien erottelu. Tämä siirtää eri muuttujat yhtälön eri puolille. Voit esimerkiksi siirtää kaikki jäsenet kohteesta y (\displaystyle y) yhdeksi ja kaikki jäsenet x (\displaystyle x) yhtälön toiselle puolelle. Jäseniä voidaan myös siirtää d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Ja d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), jotka sisältyvät johdannaisten lausekkeisiin, mutta on muistettava, että tämä on vain symboli, joka on kätevä monimutkaisen funktion erottamisessa. Keskustelu näistä jäsenistä, jotka ovat ns erottimet, ei kuulu tämän artikkelin piiriin.

   • Ensin sinun on siirrettävä muuttujat yhtäläisyysmerkin vastakkaisille puolille.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\näyttötyyli (\frac (1) (y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integroidaan yhtälön molemmat puolet. Integroinnin jälkeen molemmille puolille ilmestyy mielivaltaisia ​​vakioita, jotka voidaan siirtää yhtälön oikealle puolelle.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\näyttötyyli y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.1. Viimeisessä vaiheessa käytimme sääntöä e a + b = e a e b (\näyttötyyli e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ja vaihdettu e C (\displaystyle e^(C)) päällä C (\displaystyle C), koska tämä on myös mielivaltainen integrointivakio.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(tasattu)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Esittelimme yleisen ratkaisun löytämiseksi integroiva tekijä funktiona x (\displaystyle x) pelkistääksesi vasemman puolen yhteiseksi derivaatiksi ja siten ratkaistaksesi yhtälön.

   • Kerro molemmat puolet μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Vasemman puolen pelkistämiseksi yleisderivaataan on tehtävä seuraavat muunnokset:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Viimeinen tasa-arvo tarkoittaa sitä d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tämä on integroiva tekijä, joka riittää ratkaisemaan minkä tahansa ensimmäisen asteen lineaariyhtälön. Nyt voimme johtaa kaavan tämän yhtälön ratkaisemiseksi suhteessa μ , (\displaystyle \mu ,) vaikka koulutuksessa on hyödyllistä tehdä kaikki välilaskelmat.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.2. Tämä esimerkki näyttää kuinka löytää tietty ratkaisu differentiaaliyhtälöön annetuilla alkuehdoilla.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\näyttötyyli \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d t t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(tasattu)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(tasattu)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Epälineaariset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt. Tässä osassa käsitellään menetelmiä joidenkin ensimmäisen asteen epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Vaikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa yleistä menetelmää, jotkin niistä voidaan ratkaista alla olevilla menetelmillä.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jos toiminto f (x , y) = h (x) g (y) (\näyttötyyli f(x,y)=h(x)g(y)) voidaan jakaa yhden muuttujan funktioiksi, tällaista yhtälöä kutsutaan differentiaaliyhtälö erotettavilla muuttujilla. Tässä tapauksessa voit käyttää yllä olevaa menetelmää:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Esimerkki 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\näyttötyyli (\ alkaa(tasattu)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(tasattu)))

   D y d x = g(x, y) h(x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Teeskennetäänpä sitä g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Ja h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) ovat toimintoja x (\displaystyle x) Ja y. (\displaystyle y.) Sitten homogeeninen differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa g (\displaystyle g) Ja h (\displaystyle h) ovat homogeeniset toiminnot samassa määrin. Eli toimintojen on täytettävä ehto g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Missä k (\displaystyle k) kutsutaan homogeenisuusasteeksi. Mitä tahansa homogeenista differentiaaliyhtälöä voidaan käyttää sopivalla muuttujien korvaukset (v = y / x (\displaystyle v=y/x) tai v = x / y (\displaystyle v=x/y)) muuntaa erotettavissa olevaksi yhtälöksi.

   • Esimerkki 1.4. Yllä oleva homogeenisuuden kuvaus saattaa tuntua epäselvältä. Katsotaanpa tätä konseptia esimerkin avulla.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Aluksi on huomattava, että tämä yhtälö on epälineaarinen suhteessa y. (\displaystyle y.) Näemme myös, että tässä tapauksessa on mahdotonta erottaa muuttujia. Samalla tämä differentiaaliyhtälö on homogeeninen, koska sekä osoittaja että nimittäjä ovat homogeenisia potenssilla 3. Siksi voimme tehdä muuttujien muutoksen v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Tämän seurauksena meillä on yhtälö for v (\displaystyle v) erotettavissa olevilla muuttujilla.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Tämä Bernoullin differentiaaliyhtälö- erityinen ensimmäisen asteen epälineaarinen yhtälö, jonka ratkaisu voidaan kirjoittaa alkeisfunktioilla.

   • Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\näyttötyyli (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Käytämme sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseen vasemmalla puolella ja muunnamme yhtälön lineaariseksi yhtälöksi suhteessa y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) jotka voidaan ratkaista yllä olevilla menetelmillä.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\näyttötyyli M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) Tämä yhtälö kokonaisdifferentiaaleina. On tarpeen löytää ns potentiaalinen toiminto φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), joka täyttää ehdon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Tämän ehdon täyttämiseksi tarvitaan kokonaisjohdannainen. Kokonaisderivaata ottaa huomioon riippuvuuden muista muuttujista. Kokonaisjohdannaisen laskeminen φ (\displaystyle \varphi) Tekijä: x , (\displaystyle x,) oletamme niin y (\displaystyle y) voi myös riippua x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Ehtojen vertailu antaa meille M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Ja N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tämä on tyypillinen tulos useiden muuttujien yhtälöille, joissa tasaisten funktioiden sekaderivaatat ovat keskenään yhtä suuret. Joskus tätä tapausta kutsutaan Clairaut'n lause. Tässä tapauksessa differentiaaliyhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö, jos seuraava ehto täyttyy:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Menetelmä kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi on samanlainen kuin potentiaalisten funktioiden löytäminen useiden derivaattojen läsnä ollessa, joita käsittelemme lyhyesti. Ensin integroidaan M (\displaystyle M) Tekijä: x. (\displaystyle x.) Koska M (\displaystyle M) on toiminto ja x (\displaystyle x), Ja y , (\displaystyle y,) integroimalla saamme epätäydellisen funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) nimetty φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Tulos riippuu myös y (\displaystyle y) integraatiovakio.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Tämän jälkeen saada c (y) (\displaystyle c(y)) voimme ottaa tuloksena olevan funktion osittaisen derivaatan suhteessa y , (\displaystyle y,) rinnastaa tulos N (x, y) (\displaystyle N(x,y)) ja integroida. Voit myös ensin integroida N (\displaystyle N), ja ota sitten osaderivaata suhteessa x (\displaystyle x), jonka avulla voit löytää mielivaltaisen funktion d(x). (\displaystyle d(x).) Molemmat menetelmät ovat sopivia, ja yleensä integrointiin valitaan yksinkertaisempi funktio.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) osittainen (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Esimerkki 1.5. Voit ottaa osittaisia ​​derivaattoja ja nähdä, että alla oleva yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\näyttötyyli 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(tasattu)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\osittinen \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(tasattu)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\näyttötyyli x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jos differentiaaliyhtälö ei ole kokonaisdifferentiaaliyhtälö, joissakin tapauksissa voit löytää integroivan tekijän, jonka avulla voit muuntaa sen kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi. Tällaisia ​​yhtälöitä käytetään kuitenkin harvoin käytännössä, ja vaikka integroiva tekijä olemassa, se sattuu löytämään sen ei helppoa, joten näitä yhtälöitä ei käsitellä tässä artikkelissa.

Osa 2

1. Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Näitä yhtälöitä käytetään laajasti käytännössä, joten niiden ratkaiseminen on ensiarvoisen tärkeää. Tässä tapauksessa emme puhu homogeenisista funktioista, vaan siitä, että yhtälön oikealla puolella on 0. Seuraava jakso näyttää kuinka vastaava ratkaistaan heterogeeninen differentiaaliyhtälöt. Alla a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ovat vakioita.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Tämä differentiaaliyhtälö on merkittävä siinä mielessä, että se voidaan ratkaista erittäin helposti, jos kiinnittää huomiota siihen, mitä ominaisuuksia sen ratkaisuilla tulisi olla. Yhtälöstä käy selväksi y (\displaystyle y) ja sen johdannaiset ovat verrannollisia toisiinsa. Aiemmista esimerkeistä, joita käsiteltiin ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä käsittelevässä osassa, tiedämme, että vain eksponentiaalisella funktiolla on tämä ominaisuus. Siksi on mahdollista esittää ansatz(koulutettu arvaus) siitä, mikä tämän yhtälön ratkaisu on.

   • Ratkaisu tulee olemaan eksponentiaalisen funktion muotoinen e r x , (\displaystyle e^(rx),) Missä r (\displaystyle r) on vakio, jonka arvo pitäisi löytää. Korvaa tämä funktio yhtälöön ja hanki seuraava lauseke
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Tämä yhtälö osoittaa, että eksponentiaalisen funktion ja polynomin tulon on oltava nolla. Tiedetään, että eksponentti ei voi olla yhtä suuri kuin nolla millekään asteen arvolle. Tästä päätämme, että polynomi on yhtä suuri kuin nolla. Näin ollen olemme pelkistäneet differentiaaliyhtälön ratkaisuongelman paljon yksinkertaisemmalle algebrallisen yhtälön ratkaisutehtäväksi, jota kutsutaan tietyn differentiaaliyhtälön ominaisyhtälöksi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\näyttötyyli r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Meillä on kaksi juurta. Koska tämä differentiaaliyhtälö on lineaarinen, sen yleinen ratkaisu on osittaisten ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. Koska tämä on toisen asteen yhtälö, tiedämme, että se on Todella yleinen ratkaisu, eikä muita ole. Tiukempi perustelu tälle on ratkaisun olemassaoloa ja ainutlaatuisuutta koskevissa teoreemoissa, jotka löytyvät oppikirjoista.
   • Hyödyllinen tapa tarkistaa, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia, on laskea Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W) on matriisin determinantti, jonka sarakkeet sisältävät funktioita ja niiden peräkkäisiä derivaattoja. Lineaarialgebran lauseessa sanotaan, että Wronskin funktiot ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos Wronski on nolla. Tässä osiossa voimme tarkistaa, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia - tätä varten meidän on varmistettava, että Wronskian ei ole nolla. Wronskian on tärkeä ratkaistaessa epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä, joissa on vakiokertoimet muuttuvien parametrien menetelmällä.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Lineaarialgebran kannalta tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisujen joukko muodostaa vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on yhtä suuri kuin differentiaaliyhtälön kertaluku. Tässä tilassa voi valita pohjan lineaarisesti riippumaton päätöksiä toisiltaan. Tämä on mahdollista, koska toiminto y (x) (\displaystyle y(x)) pätevä lineaarinen operaattori. Johdannainen On lineaarinen operaattori, koska se muuttaa differentioituvien funktioiden avaruuden kaikkien funktioiden avaruuteen. Yhtälöitä kutsutaan homogeenisiksi niissä tapauksissa, joissa mille tahansa lineaarioperaattorille L (\displaystyle L) meidän on löydettävä ratkaisu yhtälöön L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Siirrytään nyt tarkastelemaan useita konkreettisia esimerkkejä. Käsittelemme ominaisyhtälön useiden juurien tapausta hieman myöhemmin järjestyksen vähentämistä käsittelevässä osiossa.

   Jos juuret r ± (\displaystyle r_(\pm )) ovat erilaisia ​​reaalilukuja, differentiaaliyhtälöllä on seuraava ratkaisu

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\näyttötyyli y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Kaksi monimutkaista juurta. Algebran peruslauseesta seuraa, että polynomiyhtälöiden ratkaisuilla reaalikertoimilla on juuret, jotka ovat reaalisia tai muodostavat konjugaattipareja. Jos siis kompleksiluku r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) on siis ominaisyhtälön juuri r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) on myös tämän yhtälön juuri. Siten voimme kirjoittaa ratkaisun muotoon c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Se on kuitenkin kompleksiluku, eikä se ole toivottava käytännön ongelmien ratkaisemiseksi.

   • Sen sijaan voit käyttää Eulerin kaava e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), jonka avulla voit kirjoittaa ratkaisun trigonometristen funktioiden muodossa:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nyt voit vakion sijaan c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Kirjoita ylös c 1 (\displaystyle c_(1)), ja ilmaisu i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) korvattu c 2. (\displaystyle c_(2).) Tämän jälkeen saamme seuraavan ratkaisun:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • On olemassa toinen tapa kirjoittaa ratkaisu amplitudin ja vaiheen suhteen, mikä sopii paremmin fysiikan ongelmiin.
   • Esimerkki 2.1. Etsitään ratkaisu alla olevaan differentiaaliyhtälöön annetuilla alkuehdoilla. Tätä varten sinun on otettava tuloksena oleva ratkaisu, sekä sen johdannainen, ja korvaa ne alkuehtoihin, jolloin voimme määrittää mielivaltaisia ​​vakioita.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\näyttötyyli r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\ näyttötyyli x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(tasattu)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\end(tasattu)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
   
   N:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen vakiokertoimilla (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Laskeva järjestys. Järjestyspelkistys on menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, kun tunnetaan yksi lineaarisesti riippumaton ratkaisu. Tämä menetelmä koostuu yhtälön järjestyksen alentamisesta yhdellä, mikä mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen edellisessä osiossa kuvatuilla menetelmillä. Olkoon ratkaisu tiedossa. Tilauksen vähentämisen pääideana on löytää ratkaisu alla olevaan muotoon, jossa on tarpeen määritellä toiminto v (x) (\displaystyle v(x)), korvaa se differentiaaliyhtälöön ja löytää v(x). (\displaystyle v(x).) Katsotaanpa, kuinka järjestysvähennystä voidaan käyttää differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen vakiokertoimilla ja useilla juurilla.

   
   

   Useita juuria homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla. Muista, että toisen kertaluvun yhtälöllä on oltava kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Jos ominaisyhtälöllä on useita juuria, ratkaisujen joukko Ei muodostaa avaruuden, koska nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tässä tapauksessa on tarpeen käyttää kertalukua toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun löytämiseksi.

   • Olkoon ominaisyhtälöllä useita juuria r (\displaystyle r). Oletetaan, että toinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ja korvaa se differentiaaliyhtälöön. Tässä tapauksessa useimmat termit, paitsi termi, jossa on funktion toinen derivaatta v , (\displaystyle v,) vähennetään.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Esimerkki 2.2. Olkoon seuraava yhtälö, jolla on useita juuria r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Korvauksen aikana useimmat termit pienenevät.
     • d 2 v d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(tasattu)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(tasattu)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(tasattu) )v""e^(-4x)&-(\peruuta (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(tasattu)))
   • Samoin kuin ansatzissamme vakiokertoimien differentiaaliyhtälölle, tässä tapauksessa vain toinen derivaatta voi olla nolla. Integroimme kahdesti ja saamme halutun lausekkeen for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Sitten vakiokertoimien differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu siinä tapauksessa, että ominaisyhtälöllä on useita juuria, voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Mukavuuden vuoksi voit muistaa, että lineaarisen riippumattomuuden saamiseksi riittää yksinkertaisesti kertoa toinen termi x (\displaystyle x). Tämä ratkaisujoukko on lineaarisesti riippumaton, joten olemme löytäneet kaikki ratkaisut tähän yhtälöön.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\näyttötyyli y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Tilauksen alennusta sovelletaan, jos ratkaisu on tiedossa y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), joka löytyy tai annetaan ongelmalausekkeessa.

   • Etsimme ratkaisua muodossa y (x) = v (x) y 1 (x) (\näyttötyyli y(x)=v(x)y_(1)(x)) ja korvaa se tähän yhtälöön:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Koska y 1 (\displaystyle y_(1)) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, jonka kaikki termit ovat v (\displaystyle v) vähennetään. Lopulta se jää ensimmäisen asteen lineaarinen yhtälö. Jos haluat nähdä tämän selkeämmin, muutetaan muuttujia w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\oikea)(\mathrm (d) )x\oikea))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jos integraalit voidaan laskea, saadaan yleinen ratkaisu alkeisfunktioiden yhdistelmänä. Muuten ratkaisu voidaan jättää kiinteään muotoon.

3. Cauchy-Euler yhtälö. Cauchy-Euler-yhtälö on esimerkki toisen asteen differentiaaliyhtälöstä muuttujia kertoimet, joilla on tarkat ratkaisut. Tätä yhtälöä käytetään käytännössä esimerkiksi Laplacen yhtälön ratkaisemiseen pallokoordinaateissa.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Kuten näette, tässä differentiaaliyhtälössä jokainen termi sisältää tehokertoimen, jonka aste on yhtä suuri kuin vastaavan derivaatan järjestys.

   • Voit siis yrittää etsiä ratkaisua lomakkeesta y (x) = x n , (\näyttötyyli y(x)=x^(n),) missä se on määritettävä n (\displaystyle n), aivan kuten etsimme ratkaisua eksponentiaalisen funktion muodossa lineaariselle differentiaaliyhtälölle, jolla on vakiokertoimet. Erilaistumisen ja korvaamisen jälkeen saamme
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\näyttötyyli x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Käyttääksemme ominaisyhtälöä meidän on oletettava, että se x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Piste x = 0 (\displaystyle x=0) nimeltään säännöllinen yksikköpiste differentiaaliyhtälö. Tällaiset pisteet ovat tärkeitä ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä potenssisarjoja käyttäen. Tällä yhtälöllä on kaksi juurta, jotka voivat olla eri ja reaali-, moni- tai monimutkainen konjugaatti.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Kaksi erilaista todellista juurta. Jos juuret n ± (\displaystyle n_(\pm )) ovat todellisia ja erilaisia, niin differentiaaliyhtälön ratkaisulla on seuraava muoto:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\näyttötyyli y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Kaksi monimutkaista juurta. Jos ominaisyhtälöllä on juuret n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ratkaisu on monimutkainen funktio.

   • Muuttaaksemme ratkaisun todelliseksi funktioksi teemme muuttujien muutoksen x = e t , (\näyttötyyli x=e^(t),) tuo on t = ln ⁡ x , (\näyttötyyli t=\ln x,) ja käytä Eulerin kaavaa. Samanlaisia ​​toimenpiteitä tehtiin aiemmin mielivaltaisia ​​vakioita määritettäessä.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\näyttötyyli y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Sitten yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Useita juuria. Toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun saamiseksi on tarpeen pienentää järjestystä uudelleen.

   • Se vaatii melko paljon laskelmia, mutta periaate pysyy samana: korvaamme y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) yhtälöön, jonka ensimmäinen ratkaisu on y 1 (\displaystyle y_(1)). Vähennysten jälkeen saadaan seuraava yhtälö:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tämä on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö suhteessa v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Hänen ratkaisunsa on v (x) = c 1 + c 2 ln x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Siten ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Tämä on melko helppo muistaa - toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun saaminen vaatii yksinkertaisesti lisätermin ln ⁡ x (\näyttötyyli \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\näyttötyyli y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Epähomogeenisilla yhtälöillä on muoto L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Missä f (x) (\displaystyle f(x))- niin sanottu vapaa jäsen. Differentiaaliyhtälöiden teorian mukaan tämän yhtälön yleinen ratkaisu on superpositio yksityinen ratkaisu y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Ja lisäratkaisu y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tässä tapauksessa tietty ratkaisu ei kuitenkaan tarkoita alkuolosuhteiden antamaa ratkaisua, vaan ratkaisua, jonka määrää heterogeenisyyden läsnäolo (vapaa termi). Lisäratkaisu on ratkaisu vastaavaan homogeeniseen yhtälöön, jossa f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Kokonaisratkaisu on näiden kahden ratkaisun päällekkäisyys, koska L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\näyttötyyli L=L+L=f(x)), ja siitä lähtien L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tällainen superpositio on todellakin yleinen ratkaisu.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Määrittämättömien kertoimien menetelmä. Epämääräisten kertoimien menetelmää käytetään tapauksissa, joissa leikkaustermi on eksponentiaalisen, trigonometrisen, hyperbolisen tai potenssifunktion yhdistelmä. Vain näillä funktioilla taataan äärellinen määrä lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Tässä osiossa löydämme erityisen ratkaisun yhtälöön.

   • Vertaataan termejä f (x) (\displaystyle f(x)) ehdoilla kiinnittämättä huomiota pysyviin tekijöihin. Mahdollisia tapauksia on kolme.
     • Ei ole kahta samanlaista jäsentä. Tässä tapauksessa erityinen ratkaisu y p (\displaystyle y_(p)) on lineaarinen yhdistelmä termejä alkaen y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen alkaen y c , (\displaystyle y_(c),) Missä n (\displaystyle n) on nolla tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa ominaisyhtälön erillistä juuria. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) koostuu toimintojen yhdistelmästä x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset sekä muut termit f (x) (\displaystyle f(x)) ja niiden lineaarisesti riippumattomat derivaatat.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen h (x) , (\displaystyle h(x),) joka on teos x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen alkaen y c , (\displaystyle y_(c),) Missä n (\displaystyle n) on yhtä suuri kuin 0 tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa useita ominaisyhtälön juuri. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) on funktion lineaarinen yhdistelmä x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Missä s (\displaystyle s)- juuren monikerta) ja sen lineaarisesti riippumattomat derivaatat sekä muut funktion jäsenet f (x) (\displaystyle f(x)) ja sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset.
   • Kirjoitetaan se ylös y p (\displaystyle y_(p)) edellä lueteltujen termien lineaarisena yhdistelmänä. Näiden kertoimien vuoksi lineaarisessa yhdistelmässä tätä menetelmää kutsutaan "määrittelemättömien kertoimien menetelmäksi". Kun sisältö tulee näkyviin y c (\displaystyle y_(c)) termit voidaan hylätä mielivaltaisten vakioiden vuoksi y c . (\displaystyle y_(c).) Tämän jälkeen korvaamme y p (\displaystyle y_(p)) yhtälöön ja rinnastaa samanlaisia ​​termejä.
   • Määritämme kertoimet. Tässä vaiheessa saadaan algebrallinen yhtälöjärjestelmä, joka voidaan yleensä ratkaista ilman ongelmia. Tämän järjestelmän ratkaisu antaa meille mahdollisuuden saada y p (\displaystyle y_(p)) ja siten ratkaise yhtälö.
   • Esimerkki 2.3. Tarkastellaan epähomogeenistä differentiaaliyhtälöä, jonka vapaa termi sisältää äärellisen määrän lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Erityinen ratkaisu tällaiselle yhtälölle voidaan löytää määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\näyttötyyli y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\näyttötyyli y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 Ae 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(tasattu)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ loppu (tapaukset)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrangen menetelmä. Lagrangen menetelmä eli mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmä on yleisempi menetelmä epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, erityisesti tapauksissa, joissa leikkaustermi ei sisällä äärellistä määrää lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Esimerkiksi ilmaisilla jäsenillä tan ⁡ x (\näyttötyyli \rusketus x) tai x − n (\displaystyle x^(-n)) tietyn ratkaisun löytämiseksi on tarpeen käyttää Lagrange-menetelmää. Lagrange-menetelmää voidaan käyttää jopa muuttuvien kertoimien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, vaikka tässä tapauksessa sitä käytetään Cauchy-Euler-yhtälöä lukuun ottamatta harvemmin, koska lisäratkaisua ei yleensä ilmaista alkeisfunktioilla.

   • Oletetaan, että ratkaisulla on seuraava muoto. Sen johdannainen annetaan toisella rivillä.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\näyttötyyli y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Koska ehdotettu ratkaisu sisältää kaksi tuntemattomia määriä, on tarpeen määrätä lisää kunto. Valitsemme tämä lisäehto seuraavassa muodossa:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nyt voimme saada toisen yhtälön. Jäsenten vaihtamisen ja uudelleenjakamisen jälkeen voit ryhmitellä jäseniä v 1 (\displaystyle v_(1)) ja jäsenet kanssa v 2 (\displaystyle v_(2)). Näitä ehtoja vähennetään, koska y 1 (\displaystyle y_(1)) Ja y 2 (\displaystyle y_(2)) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisuja. Tuloksena saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(tasattu)))
   • Tämä järjestelmä voidaan muuntaa muodon matriisiyhtälöksi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kenen ratkaisu on x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Matriisille 2 × 2 (\näyttötyyli 2\kertaa 2) käänteismatriisi löydetään jakamalla determinantilla, järjestämällä diagonaaliset elementit uudelleen ja muuttamalla ei-diagonaalisten elementtien etumerkkiä. Itse asiassa tämän matriisin determinantti on Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_() 2)"\end(pmatriisi))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Ilmaisut for v 1 (\displaystyle v_(1)) Ja v 2 (\displaystyle v_(2)) annetaan alla. Kuten järjestysvähennysmenetelmässä, tässä tapauksessa integroinnin aikana ilmestyy mielivaltainen vakio, joka sisältää lisäratkaisun differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Luento National Open University Intuitista otsikolla "N:nnen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla."

Käytännöllinen käyttö

Differentiaaliyhtälöt muodostavat suhteen funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan välille. Koska tällaiset suhteet ovat erittäin yleisiä, differentiaaliyhtälöt ovat löytäneet laajan käytön monilla aloilla, ja koska elämme neljässä ulottuvuudessa, nämä yhtälöt ovat usein differentiaaliyhtälöitä. yksityinen johdannaisia. Tämä osio kattaa joitakin tämän tyyppisiä tärkeimpiä yhtälöitä.

• Eksponentiaalinen kasvu ja rappeutuminen. Radioaktiivinen hajoaminen. Korkoa korolle. Kemiallisten reaktioiden nopeus. Lääkkeiden pitoisuus veressä. Rajoittamaton väestönkasvu. Newton-Richmannin laki. Reaalimaailmassa on monia järjestelmiä, joissa kasvu- tai heikkenemisnopeus kulloinkin on verrannollinen määrään tietyllä hetkellä tai se voidaan hyvin approksimoida mallilla. Tämä johtuu siitä, että tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisu, eksponentiaalinen funktio, on yksi matematiikan ja muiden tieteiden tärkeimmistä funktioista. Yleisemmin hallitulla väestönkasvulla järjestelmä voi sisältää lisätermejä, jotka rajoittavat kasvua. Alla olevassa yhtälössä vakio k (\displaystyle k) voi olla suurempi tai pienempi kuin nolla.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniset värähtelyt. Sekä klassisessa että kvanttimekaniikassa harmoninen oskillaattori on yksi tärkeimmistä fysikaalisista järjestelmistä johtuen sen yksinkertaisuudesta ja laajasta sovelluksesta monimutkaisempien järjestelmien, kuten yksinkertaisen heilurin, lähentämisessä. Klassisessa mekaniikassa harmonisia värähtelyjä kuvataan yhtälöllä, joka yhdistää materiaalin pisteen sijainnin sen kiihtyvyyteen Hooken lain mukaisesti. Tässä tapauksessa voidaan ottaa huomioon myös vaimennus- ja käyttövoimat. Alla olevassa ilmaisussa x ˙ (\displaystyle (\piste (x)))- aikajohdannainen x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)- vaimennusvoimaa kuvaava parametri, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- järjestelmän kulmataajuus, F (t) (\displaystyle F(t))- ajasta riippuva käyttövoima. Harmoninen oskillaattori on mukana myös sähkömagneettisissa värähtelypiireissä, joissa se voidaan toteuttaa mekaanisia järjestelmiä tarkemmin.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\piste (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselin yhtälö. Besselin differentiaaliyhtälöä käytetään monilla fysiikan alueilla, mukaan lukien aaltoyhtälön, Laplacen yhtälön ja Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen, erityisesti sylinterimäisen tai pallomaisen symmetrian esiintyessä. Tämä muuttujakertoiminen toisen asteen differentiaaliyhtälö ei ole Cauchy-Euler-yhtälö, joten sen ratkaisuja ei voida kirjoittaa alkeisfunktioina. Besselin yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktiot, jotka ovat hyvin tutkittuja, koska niitä voidaan soveltaa useilla aloilla. Alla olevassa ilmaisussa α (\displaystyle \alpha )- vakio, joka vastaa järjestyksessä Besselin toiminnot.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwellin yhtälöt. Lorentzin voiman ohella Maxwellin yhtälöt muodostavat klassisen sähködynamiikan perustan. Nämä ovat neljä osittaista differentiaaliyhtälöä sähkölle E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ja magneettinen B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) kentät. Alla olevissa ilmaisuissa ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- lataustiheys, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- virrantiheys ja ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Ja μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- sähköiset ja magneettiset vakiot, vastaavasti.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\dotnabla(tasattu)) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(tasattu)))
• Schrödingerin yhtälö. Kvanttimekaniikassa Schrödingerin yhtälö on liikkeen perusyhtälö, joka kuvaa hiukkasten liikettä aaltofunktion muutoksen mukaan. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) ajan kanssa. Liikeyhtälö kuvataan käyttäytymisellä Hamiltonin H^(\displaystyle (\hattu (H))) - operaattori, joka kuvaa järjestelmän energiaa. Yksi tunnetuista esimerkeistä Schrödingerin yhtälöstä fysiikassa on yhtälö yksittäiselle ei-relativistiselle hiukkaselle, joka on alttiina potentiaalille V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Monia järjestelmiä kuvataan ajasta riippuvalla Schrödingerin yhtälöllä, ja yhtälön vasemmalla puolella on E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Missä E (\displaystyle E)- hiukkasenergia. Alla olevissa ilmaisuissa ℏ (\displaystyle \hbar )- alennettu Planck-vakio.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\oikea)\Psi )
• Aaltoyhtälö. Fysiikkaa ja tekniikkaa ei voida kuvitella ilman aaltoja, ne ovat läsnä kaikentyyppisissä järjestelmissä. Yleensä aallot kuvataan alla olevalla yhtälöllä, jossa u = u (r , t) (\näyttötyyli u=u((\mathbf (r) ),t)) on haluttu toiminto ja c (\displaystyle c)- kokeellisesti määritetty vakio. d'Alembert havaitsi ensimmäisenä, että yksiulotteisen tapauksen ratkaisu aaltoyhtälöön on minkä tahansa funktio argumentin kanssa x − c t (\displaystyle x-ct), joka kuvaa mielivaltaisen muotoista aaltoa, joka etenee oikealle. Yksiulotteisen tapauksen yleinen ratkaisu on tämän funktion lineaarinen yhdistelmä toisen argumentin sisältävän funktion kanssa x + c t (\displaystyle x+ct), joka kuvaa vasemmalle etenevää aaltoa. Tämä ratkaisu esitetään toisella rivillä.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\näyttötyyli u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes yhtälöt. Navier-Stokes-yhtälöt kuvaavat nesteiden liikettä. Koska nesteitä esiintyy käytännössä kaikilla tieteen ja tekniikan aloilla, nämä yhtälöt ovat erittäin tärkeitä sään ennustamisessa, lentokoneiden suunnittelussa, merivirtojen tutkimisessa ja monien muiden sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Navier-Stokes-yhtälöt ovat epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja useimmissa tapauksissa niitä on erittäin vaikea ratkaista, koska epälineaarisuus johtaa turbulenssiin ja vakaan ratkaisun saaminen numeerisilla menetelmillä edellyttää osiointia hyvin pieniin soluihin, mikä vaatii huomattavaa laskentatehoa. Hydrodynamiikan käytännön syistä turbulenttisten virtausten mallintamiseen käytetään menetelmiä, kuten aikakeskiarvon laskemista. Vielä peruskysymykset, kuten epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo ja ainutlaatuisuus, ovat haastavia, ja Navier-Stokes-yhtälöiden kolmiulotteisen ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden todistaminen kuuluu vuosituhannen matemaattisiin ongelmiin. Alla on kokoonpuristumattoman nesteen virtausyhtälö ja jatkuvuusyhtälö.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\näyttötyyli (\frac (\osittais (\math)b )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Monia differentiaaliyhtälöitä ei yksinkertaisesti voida ratkaista yllä olevilla menetelmillä, etenkään niillä, jotka mainittiin viimeisessä osassa. Tämä pätee, kun yhtälö sisältää muuttuvia kertoimia, eikä se ole Cauchy-Euler-yhtälö, tai kun yhtälö on epälineaarinen, lukuun ottamatta muutamia erittäin harvinaisia ​​tapauksia. Yllä olevat menetelmät voivat kuitenkin ratkaista monia tärkeitä differentiaaliyhtälöitä, joita usein kohdataan eri tieteenaloilla.
• Toisin kuin differentiaatio, jonka avulla voit löytää minkä tahansa funktion derivaatan, monien lausekkeiden integraalia ei voida ilmaista alkeisfunktioissa. Älä siis tuhlaa aikaa integraalin laskemiseen siellä, missä se on mahdotonta. Katso integraalitaulukkoa. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisua ei voida ilmaista alkeisfunktioilla, se voidaan joskus esittää integraalimuodossa, ja tässä tapauksessa ei ole väliä, voidaanko tämä integraali laskea analyyttisesti.

Varoitukset

• Ulkomuoto differentiaaliyhtälö voi olla harhaanjohtava. Esimerkiksi alla on kaksi ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä. Ensimmäinen yhtälö voidaan ratkaista helposti tässä artikkelissa kuvatuilla menetelmillä. Ensi silmäyksellä pieni muutos y (\displaystyle y) päällä y 2 (\displaystyle y^(2)) toisessa yhtälössä tekee siitä epälineaarisen ja siitä tulee erittäin vaikea ratkaista.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Joko ne on jo ratkaistu johdannaisen suhteen tai ne voidaan ratkaista johdannaisen suhteen .

Tyypin differentiaaliyhtälöiden yleinen ratkaisu välille X, joka on annettu, voidaan löytää ottamalla tämän yhtälön kummankin puolen integraali.

Saamme .

Jos tarkastelemme epämääräisen integraalin ominaisuuksia, löydämme halutun yleisratkaisun:

y = F(x) + C,

Missä F(x)- yksi primitiivisistä toiminnoista f(x) välissä X, A KANSSA- mielivaltainen vakio.

Huomaa, että useimmissa ongelmissa väli Xälä ilmoita. Tämä tarkoittaa, että ratkaisu on löydettävä kaikille. x, jolle ja haluttu toiminto y, ja alkuperäinen yhtälö on järkevä.

Jos sinun on laskettava tietty ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka täyttää alkuehdon y(x 0) = y 0, sitten yleisen integraalin laskemisen jälkeen y = F(x) + C, on silti tarpeen määrittää vakion arvo C = C 0, käyttämällä alkuehtoa. Eli vakio C = C 0 määritetään yhtälöstä F(x 0) + C = y 0, ja haluttu differentiaaliyhtälön osaratkaisu on muotoa:

y = F(x) + C 0.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Etsitään yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön ja tarkistetaan tuloksen oikeellisuus. Etsitään tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttäisi alkuehdon.

Ratkaisu:

Kun olemme integroineet annetun differentiaaliyhtälön, saamme:

.

Otetaan tämä integraali käyttämällä osien integrointimenetelmää:

Että., on yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Varmista, että tulos on oikea, tarkista. Tätä varten korvaamme löytämämme ratkaisun annettuun yhtälöön:

.

Eli milloin alkuperäinen yhtälö muuttuu identiteetiksi:

siksi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritettiin oikein.

Löysimme ratkaisun on yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön argumentin jokaiselle todelliselle arvolle x.

On vielä laskettava erityinen ratkaisu ODE:lle, joka täyttäisi alkuehdon. Toisin sanoen on tarpeen laskea vakion arvo KANSSA, jossa yhtäläisyys on totta:

.

.

Sitten vaihtamalla C = 2 ODE:n yleisratkaisuun saamme differentiaaliyhtälön erityisen ratkaisun, joka täyttää alkuehdon:

.

Tavallinen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista derivaatalle jakamalla yhtälön 2 puolta f(x). Tämä muunnos on vastaava, jos f(x) ei muutu nollaan missään olosuhteissa x differentiaaliyhtälön integrointivälistä X.

On todennäköisiä tilanteita, joissa joillekin argumentin arvoille x ∈ X toimintoja f(x) Ja g(x) muuttua samalla nollaksi. Samanlaisia ​​arvoja varten x differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on mikä tahansa funktio y, joka on määritelty niissä, koska .

Jos joillekin argumenttiarvoille x ∈ X ehto täyttyy, mikä tarkoittaa, että tässä tapauksessa ODE:llä ei ole ratkaisuja.

Kaikille muille x väliltä X differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu määritetään muunnetusta yhtälöstä.

Katsotaanpa esimerkkejä:

Esimerkki 1.

Etsitään yleinen ratkaisu ODE:lle: .

Ratkaisu.

Peruselementaaristen funktioiden ominaisuuksista on selvää, että luonnollinen logaritmifunktio on määritelty argumentin ei-negatiivisille arvoille, joten lausekkeen määritelmäalue ln(x+3) on väliaika x > -3 . Tämä tarkoittaa, että annettu differentiaaliyhtälö on järkevä x > -3 . Näille argumenttiarvoille lauseke x+3 ei katoa, joten voit ratkaista derivaatan ODE:n jakamalla 2 osaa x + 3.

Saamme .

Seuraavaksi integroimme tuloksena olevan differentiaaliyhtälön, joka on ratkaistu derivaatan suhteen: . Ottaaksemme tämän integraalin, käytämme differentiaalimerkin summaamista.