Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla. Miten yhtälöjärjestelmä ratkaistaan? Menetelmiä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

Lopputestauksen valmisteluvaiheessa lukiolaisten on parannettava tietojaan aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt". Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat koululaisille tiettyjä vaikeuksia. Siksi lukion opiskelijoiden on heidän valmistautumistasostaan ​​riippumatta hallittava huolellisesti teoria, opittava ulkoa kaavat ja ymmärrettävä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen periaate. Oppittuaan selviytymään tämän tyyppisistä tehtävistä, valmistuneet voivat luottaa korkeisiin pisteisiin läpäiseessään matematiikan kokeen.

Valmistaudu tenttitestiin yhdessä Shkolkovon kanssa!

Toistaessaan käsiteltyä materiaalia monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää yhtälöiden ratkaisemiseen tarvittavat kaavat. Kouluoppikirja ei ole aina käsillä, ja aiheeseen liittyvien tarvittavien tietojen valinta Internetissä kestää kauan.

Shkolkovon koulutusportaali kutsuu opiskelijoita käyttämään tietopohjaamme. Otamme käyttöön täysin uudenlaisen menetelmän valmistautua viimeiseen kokeeseen. Sivustollamme opiskelemalla pystyt tunnistamaan tiedon puutteita ja kiinnittämään huomiota juuri niihin tehtäviin, jotka aiheuttavat eniten vaikeuksia.

"Shkolkovon" opettajat keräsivät, systematisoivat ja esittelivät kaiken kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen tarvittavan materiaalin yksinkertaisimmassa ja helposti saavutettavissa olevassa muodossa.

Tärkeimmät määritelmät ja kaavat on esitetty "Teoreettinen viite" -osiossa.

Materiaalin paremman omaksumisen vuoksi suosittelemme, että harjoittelet tehtäviä. Tutustu huolellisesti tällä sivulla esitettyihin eksponentiaaliyhtälöihin ja ratkaisuihin, jotta ymmärrät laskenta-algoritmin. Jatka sen jälkeen "Katalogit"-osiossa olevia tehtäviä. Voit aloittaa helpoimmista tehtävistä tai siirtyä suoraan ratkaisemaan monimutkaisia ​​eksponentiaaliyhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia tai . Verkkosivustomme harjoitustietokanta täydentyy ja päivitetään jatkuvasti.

Ne esimerkit indikaattoreineen, jotka aiheuttivat sinulle vaikeuksia, voidaan lisätä "Suosikkeihin". Voit löytää ne nopeasti ja keskustella ratkaisusta opettajan kanssa.

Läpäiseksesi kokeen onnistuneesti opiskele Shkolkovo-portaalissa joka päivä!

I. kirves 2 \u003d 0 – epätäydellinen toisen asteen yhtälö (b = 0, c = 0 ). Ratkaisu: x=0. Vastaus: 0.

Ratkaise yhtälöt.

2x·(x+3)=6x-x2.

Ratkaisu. Laajenna sulkuja kertomalla 2x jokaiselle termille suluissa:

2x2 +6x=6x-x2 ; siirtämällä termit oikealta puolelta vasemmalle:

2x2 +6x-6x+x2=0; Tässä on samanlaisia ​​termejä:

3x2 =0, joten x=0.

Vastaus: 0.

II. ax2+bx=0 –epätäydellinen toisen asteen yhtälö (s = 0 ). Ratkaisu: x (ax+b)=0 → x 1 =0 tai ax+b=0 → x 2 =-b/a. Vastaus: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Ratkaisu. Poista yhteinen tekijä X suluille:

x(5x-26)=0; jokainen tekijä voi olla nolla:

x=0 tai 5x-26 = 0→ 5x=26, jaa tasa-arvon molemmat puolet 5 ja saamme: x \u003d 5.2.

Vastaus: 0; 5,2.

Esimerkki 3 64x+4x2=0.

Ratkaisu. Poista yhteinen tekijä 4x suluille:

4x(16+x)=0. Meillä on kolme tekijää, 4≠0, siis tai x=0 tai 16+x=0. Viimeisestä yhtälöstä saadaan x=-16.

Vastaus: -16; 0.

Esimerkki 4(x-3) 2 + 5x = 9.

Ratkaisu. Käytä kaavaa kahden lausekkeen eron neliölle ja avaa sulut:

x 2 -6x+9+5x=9; muuntaa muotoon: x 2 -6x+9+5x-9=0; Tässä on samanlaisia ​​termejä:

x2-x=0; kestää X hakasulkeiden ulkopuolella saamme: x (x-1)=0. Täältä tai x=0 tai x-1 = 0→ x=1.

Vastaus: 0; 1.

III. ax2+c=0 –epätäydellinen toisen asteen yhtälö (b = 0 ); Ratkaisu: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Jos (-c/a)<0 , silloin ei ole todellisia juuria. Jos (-s/a)>0

Esimerkki 5 x 2 -49 = 0.

Ratkaisu.

x 2 \u003d 49, täältä x=±7. Vastaus:-7; 7.

Esimerkki 6 9x2-4=0.

Ratkaisu.

Usein sinun on löydettävä neliösumma (x 1 2 + x 2 2) tai kuutioiden summa (x 1 3 + x 2 3) toisen asteen yhtälön juurista, harvemmin - käänteislukujen summa. juurten neliöt tai aritmeettisten neliöjuurien summa toisen yhtälön juurista:

Vietan lause voi auttaa tässä:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Ilmaista kautta s ja q:

1) yhtälön juurten neliöiden summa x2+px+q=0;

2) yhtälön juurien kuutioiden summa x2+px+q=0.

Ratkaisu.

1) Ilmaisu x 1 2 + x 2 2 saadaan neliöimällä yhtälön molemmat puolet x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; avaa sulut: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; ilmaisemme halutun määrän: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Meillä on hyödyllinen yhtälö: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Ilmaisu x 1 3 + x 2 3 edustaa kuutioiden summan kaavalla muodossa:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q) = -p (p 2 -3 q) ).

Toinen hyödyllinen yhtälö: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 - 3q).

Esimerkkejä.

3) x 2 - 3 x - 4 = 0. Ratkaisematta yhtälöä, laske lausekkeen arvo x 1 2 + x 2 2.

Ratkaisu.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, ja työ x 1 ∙x 2 \u003d q \u003desimerkissä 1) tasa-arvo:

x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Meillä on -s=x 1 +x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. Sitten x 1 2 + x 2 2 = 9-2 (-4) = 9 + 8 = 17.

Vastaus: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4 = 0. Laske: x 1 3 + x 2 3 .

Ratkaisu.

Vietan lauseen mukaan tämän pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurien summa x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, ja työ x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- neljä. Sovelletaan sitä, mitä olemme saaneet ( esimerkissä 2) tasa-arvo: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 - 3q) \u003d 2 (2 2 - 3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.

Vastaus: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Kysymys: entä jos meille annetaan pelkistämätön toisen asteen yhtälö? Vastaus: sitä voidaan aina "vähentää" jakamalla termi termiltä ensimmäisellä kertoimella.

5) 2x2 -5x-7 = 0. Ratkaisematta laske: x 1 2 + x 2 2.

Ratkaisu. Meille annetaan täydellinen toisen asteen yhtälö. Jaa yhtälön molemmat puolet 2:lla (ensimmäinen kerroin) ja saa seuraava toisen asteen yhtälö: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

Vietan lauseen mukaan juurien summa on 2,5 ; juurten tuote on -3,5 .

Ratkaisemme samalla tavalla kuin esimerkki 3) tasa-arvoa käyttäen: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Vastaus: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2-5x-2=0. Löytö:

Muunnetaan tämä yhtälö ja korvataan juurten summa Vieta-lauseen mukaisesti, -s, ja tuotteen juuret läpi q, saamme toisen hyödyllisen kaavan. Kaavaa johdettaessa käytimme yhtälöä 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

Meidän esimerkissämme x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Korvaa nämä arvot tuloksena olevaan kaavaan:

7) x 2 -13x+36=0. Löytö:

Muunnetaan tämä summa ja saadaan kaava, jolla on mahdollista löytää aritmeettisten neliöjuurien summa toisen yhtälön juurista.

Meillä on x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Korvaa nämä arvot johdettuun kaavaan:

Neuvoja : tarkista aina mahdollisuus löytää toisen asteen yhtälön juuret sopivalla tavalla, koska 4 tarkistettu hyödyllisiä kaavoja avulla voit suorittaa tehtävän nopeasti, ensinnäkin tapauksissa, joissa erottaja on "epämukava" numero. Kaikissa yksinkertaisissa tapauksissa etsi juuret ja käytä niitä. Esimerkiksi viimeisessä esimerkissä valitsemme juuret käyttämällä Vieta-lausetta: juurien summan tulee olla yhtä suuri kuin 13 , ja juurien tuote 36 . Mitä nämä luvut ovat? Tietysti, 4 ja 9. Laske nyt näiden lukujen neliöjuurien summa: 2+3=5. Se siitä!

I. Vietan lause pelkistetylle toisen asteen yhtälölle.

Supistetun toisen asteen yhtälön juurien summa x 2 +px+q=0 on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Etsi annetun toisen yhtälön juuret Vietan lauseen avulla.

Esimerkki 1) x 2 -x-30 = 0. Tämä on pelkistetty toisen asteen yhtälö ( x 2 +px+q=0), toinen kerroin p = -1, ja vapaa aika q = -30. Varmista ensin, että annetulla yhtälöllä on juuret ja että juuret (jos niitä on) ilmaistaan ​​kokonaislukuina. Tätä varten riittää, että diskriminantti on kokonaisluvun täysi neliö.

Erottajan löytäminen D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nyt Vieta-lauseen mukaan juurien summan tulee olla yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella etumerkillä, ts. ( -s), ja tuote on yhtä suuri kuin vapaa termi, ts. ( q). Sitten:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Meidän on valittava tällaiset kaksi numeroa niin, että niiden tulo on yhtä suuri -30 , ja summa on yksikkö. Nämä ovat numeroita -5 ja 6 . Vastaus: -5; 6.

Esimerkki 2) x 2 +6x+8=0. Meillä on pelkistetty neliöyhtälö toisella kertoimella p = 6 ja vapaajäsen q = 8. Varmista, että on kokonaislukujuuria. Etsitään erontekijä D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminantti D 1 on luvun täydellinen neliö 1 , joten tämän yhtälön juuret ovat kokonaislukuja. Valitsemme juuret Vieta-lauseen mukaan: juurien summa on yhtä suuri –p=-6, ja juurien tulo on q = 8. Nämä ovat numeroita -4 ja -2 .

Itse asiassa: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Vastaus: -4; -2.

Esimerkki 3) x 2 +2x-4=0. Tässä pelkistetyssä toisen asteen yhtälössä toinen kerroin p = 2, ja vapaa aika q = -4. Etsitään erontekijä D1, koska toinen kerroin on parillinen luku. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminantti ei ole täydellinen luvun neliö, joten teemme niin johtopäätös: Tämän yhtälön juuret eivät ole kokonaislukuja, eikä niitä löydy Vietan lauseella. Joten ratkaisemme tämän yhtälön, kuten tavallisesti, kaavojen mukaan (tässä tapauksessa kaavojen mukaan). Saamme:

Esimerkki 4). Kirjoita neliöyhtälö käyttämällä sen juuria if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Ratkaisu. Haluttu yhtälö kirjoitetaan muodossa: x 2 +px+q=0, lisäksi perustuu Vieta-lauseeseen –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Sitten yhtälö saa muodon: x2 +3x-28=0.

Esimerkki 5). Kirjoita neliöyhtälö sen juurilla, jos:

II. Vietan lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle ax2+bx+c=0.

Juurien summa on miinus b jaettuna a, juurten tulos on Kanssa jaettuna a:

x 1 + x 2 \u003d -b/a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Esimerkki 6). Etsi toisen asteen yhtälön juurien summa 2x2 -7x-11 = 0.

Ratkaisu.

Olemme vakuuttuneita, että tällä yhtälöllä on juuret. Tätä varten riittää, että kirjoitat lausekkeen diskriminantille, ja ilman sen laskemista varmista vain, että diskriminantti on suurempi kuin nolla. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Ja nyt käytetään lause Vieta täydellisille toisen asteen yhtälöille.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Esimerkki 7). Etsi toisen asteen yhtälön juurten tulo 3x2 +8x-21 = 0.

Ratkaisu.

Etsitään erontekijä D1, koska toinen kerroin ( 8 ) on parillinen luku. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Neliöyhtälössä on 2 juuri, Vieta-lauseen mukaan juurien tulo x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 on yleinen toisen asteen yhtälö

Syrjivä D = b 2 - 4ac.

Jos D>0, niin meillä on kaksi todellista juurta:

Jos D = 0, niin meillä on yksi juuri (tai kaksi yhtä suurta juuria) x=-b/(2a).

Jos D<0, то действительных корней нет.

Esimerkki 1) 2x2 +5x-3 = 0.

Ratkaisu. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=52 -4∙2∙(-3)=25+24=49=72>0; 2 todellista juurta.

4x2 +21x+5=0.

Ratkaisu. a=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5 = 441-80 = 361 = 19 2 > 0; 2 todellista juuria.

II. ax2+bx+c=0 – erityinen toisen asteen yhtälö tasaisen sekunnin ajan

kerroin b

Esimerkki 3) 3x2 -10x+3=0.

Ratkaisu. a=3; b\u003d -10 (parillinen luku); c=3.

Esimerkki 4) 5x2-14x-3 = 0.

Ratkaisu. a=5; b= -14 (parillinen luku); c=-3.

Esimerkki 5) 71x2 +144x+4=0.

Ratkaisu. a=71; b=144 (parillinen luku); c=4.

Esimerkki 6) 9x2 -30x+25=0.

Ratkaisu. a=9; b\u003d -30 (parillinen luku); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – toisen asteen yhtälö yksityinen tyyppi, tarjotaan: a-b+c=0.

Ensimmäinen juuri on aina miinus yksi ja toinen juuri on miinus Kanssa jaettuna a:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Esimerkki 7) 2x2+9x+7=0.

Ratkaisu. a=2; b=9; c=7. Tarkastellaan tasa-arvoa: a-b+c=0. Saamme: 2-9+7=0 .

Sitten x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 \u003d -3,5. Vastaus: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – tietyn muodon toisen asteen yhtälö ehdon alla : a+b+c=0.

Ensimmäinen juuri on aina yhtä suuri kuin yksi ja toinen juuri on yhtä suuri Kanssa jaettuna a:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Esimerkki 8) 2x2 -9x+7=0.

Ratkaisu. a=2; b=-9; c=7. Tarkastellaan tasa-arvoa: a+b+c=0. Saamme: 2-9+7=0 .

Sitten x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Vastaus: 1; 3,5.

Sivu 1/1 1

7. luokan matematiikan kurssilla he tapaavat ensin yhtälöt kahdella muuttujalla, mutta niitä tutkitaan vain yhtälöjärjestelmien yhteydessä, joissa on kaksi tuntematonta. Tästä syystä joukko ongelmia putoaa näkyvistä, joissa yhtälön kertoimille asetetaan tiettyjä ehtoja, jotka rajoittavat niitä. Lisäksi jätetään huomiotta ongelmien ratkaisumenetelmät, kuten "Ratkaise yhtälö luonnollisilla tai kokonaislukuilla", vaikka tällaisia ​​ongelmia kohdataan yhä useammin yhtenäisen valtiokokeen materiaaleissa ja pääsykokeissa.

Mitä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on kaksi muuttujaa?

Joten esimerkiksi yhtälöt 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 tai xy = 12 ovat kaksimuuttujayhtälöitä.

Tarkastellaan yhtälöä 2x - y = 1. Se muuttuu todelliseksi yhtälöksi kohdissa x = 2 ja y = 3, joten tämä muuttujien arvojen pari on ratkaisu tarkasteltavaan yhtälöön.

Siten minkä tahansa yhtälön ratkaisu kahdella muuttujalla on joukko järjestettyjä pareja (x; y), muuttujien arvot, jotka tämä yhtälö muuttaa todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, voi:

a) on yksi ratkaisu. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + 5y 2 = 0 on ainutlaatuinen ratkaisu (0; 0);

b) on useita ratkaisuja. Esimerkiksi (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 sisältää 4 ratkaisua: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

sisään) ei ole ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + y 2 + 1 = 0 ei ole ratkaisuja;

G) ratkaisuja on äärettömän monta. Esimerkiksi x + y = 3. Tämän yhtälön ratkaisut ovat lukuja, joiden summa on 3. Tämän yhtälön ratkaisujen joukko voidaan kirjoittaa muodossa (k; 3 - k), jossa k on mikä tahansa reaaliluku.

Tärkeimmät menetelmät kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat menetelmät, jotka perustuvat lausekkeiden jakamiseen tekijöiksi, täysneliön valintaan, toisen asteen yhtälön ominaisuuksien käyttöön, lausekkeiden rajoittumiseen sekä arviointimenetelmät. Yhtälö muunnetaan pääsääntöisesti muotoon, josta voidaan saada järjestelmä tuntemattomien löytämiseksi.

Faktorisointi

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: xy - 2 = 2x - y.

Ratkaisu.

Ryhmittelemme ehdot factoringia varten:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Ota yhteinen kerroin kustakin suluista:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Meillä on:

y = 2, x on mikä tahansa reaaliluku tai x = -1, y on mikä tahansa reaaliluku.

Tällä tavalla, vastaus on kaikki muodon (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R parit.

Ei-negatiivisten lukujen nollan yhtäläisyys

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Ratkaisu.

Ryhmittely:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nyt jokainen sulku voidaan tiivistää neliöerokaavalla.

(3x - 2) 2 + (2v - 3) 2 = 0.

Kahden ei-negatiivisen lausekkeen summa on nolla vain, jos 3x - 2 = 0 ja 2y - 3 = 0.

Joten x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastaus: (2/3; 3/2).

Arviointimenetelmä

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Ratkaisu.

Valitse jokaisesta hakasulkeesta täysi neliö:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Arvio suluissa olevien ilmaisujen merkitys.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, silloin yhtälön vasen puoli on aina vähintään 2. Tasa-arvo on mahdollinen, jos:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y - 2) 2 + 2 = 2, joten x = -1, y = 2.

Vastaus: (-1; 2).

Tutustutaan toiseen menetelmään yhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella toisen asteen muuttujalla. Tämä menetelmä on, että yhtälöä pidetään neliö jonkin muuttujan suhteen.

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Ratkaisu.

Ratkaistaan ​​yhtälö neliöllisenä x:n suhteen. Etsitään diskriminantti:

D = 36-4(y-4√y + 13) = -4y + 16√y-16 = -4(√y-2)2. Yhtälöllä on ratkaisu vain kun D = 0, eli jos y = 4. Korvaamme y:n arvon alkuperäiseen yhtälöön ja huomaamme, että x = 3.

Vastaus: (3; 4).

Usein yhtälöissä kaksi tuntematonta osoittavat muuttujien rajoituksia.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Tuloksena olevan yhtälön oikea puoli, kun se jaetaan 5:llä, antaa jäännöksen 2:sta. Siksi x 2 ei ole jaollinen viidellä. Mutta neliö luku, joka ei ole jaollinen viidellä, antaa jäännöksen 1 tai 4. Näin ollen yhtäläisyys on mahdotonta eikä ratkaisuja ole.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Ratkaisu.

Valitsemme täydet ruudut kustakin suluista:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Yhtälön vasen puoli on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 3. Tasa-arvo on mahdollinen, jos |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Siten x = ± 2, y = -3.

Vastaus: (2; -3) ja (-2; -3).

Esimerkki 7

Jokaiselle negatiivisten kokonaislukujen (x; y) parille, joka täyttää yhtälön
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, laske summa (x + y). Vastaa pienimpään summaan.

Ratkaisu.

Valitse täydet neliöt:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Koska x ja y ovat kokonaislukuja, myös niiden neliöt ovat kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun neliöiden summa, joka on yhtä suuri kuin 37, saadaan, jos lasketaan yhteen 1 + 36. Siksi:

(x - y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Ratkaisemalla nämä järjestelmät ja ottaen huomioon, että x ja y ovat negatiivisia, löydämme ratkaisut: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastaus: -17.

Älä vaivu epätoivoon, jos sinulla on vaikeuksia ratkaista yhtälöitä kahdella tuntemattomalla. Pienellä harjoituksella pystyt hallitsemaan minkä tahansa yhtälön.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista yhtälöitä kahdella muuttujalla?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Palvelu yhtälöiden ratkaisemiseksi verkossa auttaa sinua ratkaisemaan minkä tahansa yhtälön. Sivustoamme käyttämällä et saa vain vastausta yhtälöön, vaan näet myös yksityiskohtaisen ratkaisun, eli vaiheittaisen näytön tuloksen saamisprosessista. Palvelumme on hyödyllinen lukiolaisille ja heidän vanhemmilleen. Opiskelijat voivat valmistautua kokeisiin, kokeisiin, testata tietonsa ja vanhemmat voivat ohjata lastensa matemaattisten yhtälöiden ratkaisua. Yhtälöiden ratkaisukyky on pakollinen vaatimus opiskelijoille. Palvelu auttaa sinua itseopiskelemaan ja parantamaan tietämystäsi matemaattisten yhtälöiden alalla. Sen avulla voit ratkaista minkä tahansa yhtälön: neliöllisen, kuutioisen, irrationaalisen, trigonometrisen jne. Verkkopalvelun hyöty on korvaamaton, koska oikean vastauksen lisäksi saat jokaiseen yhtälöön yksityiskohtaisen ratkaisun. Edut yhtälöiden ratkaisemisesta verkossa. Voit ratkaista minkä tahansa yhtälön verkossa verkkosivuillamme täysin ilmaiseksi. Palvelu on täysin automaattinen, sinun ei tarvitse asentaa mitään tietokoneellesi, sinun tarvitsee vain syöttää tiedot ja ohjelma antaa ratkaisun. Laskenta- tai kirjoitusvirheet eivät ole mahdollisia. Kaikkien yhtälöiden ratkaiseminen verkossa on erittäin helppoa, joten muista käyttää sivustoamme kaikenlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Sinun tarvitsee vain syöttää tiedot ja laskenta suoritetaan sekunneissa. Ohjelma toimii itsenäisesti, ilman ihmisen väliintuloa, ja saat tarkan ja yksityiskohtaisen vastauksen. Yhtälön ratkaisu yleisessä muodossa. Tällaisessa yhtälössä muuttujakertoimet ja halutut juuret liittyvät toisiinsa. Muuttujan suurin potenssi määrittää tällaisen yhtälön järjestyksen. Tämän perusteella yhtälöille käytetään erilaisia ​​menetelmiä ja lauseita ratkaisujen löytämiseksi. Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa haluttujen juurien löytämistä yleisessä muodossa. Palvelumme avulla voit ratkaista monimutkaisimmatkin algebralliset yhtälöt verkossa. Voit saada sekä yhtälön yleisen että yksityisen ratkaisun määrittämiesi kertoimien numeerisille arvoille. Algebrallisen yhtälön ratkaisemiseksi sivustolla riittää, että täytät oikein vain kaksi kenttää: annetun yhtälön vasen ja oikea osa. Algebrallisilla yhtälöillä, joissa on muuttujakerroin, on ääretön määrä ratkaisuja, ja tietyt ehdot asettamalla valitaan ratkaisujoukosta tietyt. Toisen asteen yhtälö. Neliöyhtälön muoto on ax^2+bx+c=0 kun a>0. Neliön muotoisten yhtälöiden ratkaisu edellyttää x:n arvojen löytämistä, joilla yhtälö ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 täyttyy. Tätä varten diskriminantin arvo löydetään kaavasta D=b^2-4ac. Jos diskriminantti on pienempi kuin nolla, yhtälöllä ei ole todellisia juuria (juuret ovat kompleksilukujen kentästä), jos se on nolla, yhtälöllä on yksi reaalijuuri, ja jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, niin yhtälöllä on kaksi todellista juuria, jotka löytyvät kaavasta: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Voit ratkaista toisen asteen yhtälön verkossa, sinun tarvitsee vain syöttää tällaisen yhtälön kertoimet (kokolukuja, murtolukuja tai desimaaliarvoja). Jos yhtälössä on vähennysmerkkejä, yhtälön vastaavien ehtojen eteen on laitettava miinus. Voit myös ratkaista toisen asteen yhtälön verkossa riippuen parametrista, eli yhtälön kertoimien muuttujista. Verkkopalvelumme yhteisten ratkaisujen löytämiseksi selviää tästä tehtävästä täydellisesti. Lineaariset yhtälöt. Lineaaristen yhtälöiden (tai yhtälöjärjestelmien) ratkaisemiseen käytetään käytännössä neljää päämenetelmää. Kuvataan jokainen menetelmä yksityiskohtaisesti. Korvausmenetelmä. Yhtälöiden ratkaiseminen substituutiomenetelmällä edellyttää yhden muuttujan ilmaisemista muiden kanssa. Tämän jälkeen lauseke korvataan järjestelmän muilla yhtälöillä. Tästä johtuu ratkaisumenetelmän nimi, eli muuttujan sijaan sen ilmaisu muiden muuttujien kautta korvataan. Käytännössä menetelmä vaatii monimutkaisia ​​laskelmia, vaikka se on helppo ymmärtää, joten tällaisen yhtälön ratkaiseminen verkossa säästää aikaa ja helpottaa laskelmia. Sinun tarvitsee vain määrittää yhtälössä tuntemattomien lukumäärä ja täyttää tiedot lineaarisista yhtälöistä, sitten palvelu suorittaa laskelman. Gaussin menetelmä. Menetelmä perustuu järjestelmän yksinkertaisimpiin muunnoksiin, jotta päästään vastaavaan kolmiojärjestelmään. Tuntemattomat määritetään yksitellen siitä. Käytännössä sinun on ratkaistava tällainen yhtälö verkossa yksityiskohtaisella kuvauksella, jonka ansiosta opit Gaussin menetelmän hyvin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Kirjoita lineaariyhtälöjärjestelmä muistiin oikeaan muotoon ja ota huomioon tuntemattomien lukumäärä järjestelmän ratkaisemiseksi oikein. Cramerin menetelmä. Tämä menetelmä ratkaisee yhtälöjärjestelmät tapauksissa, joissa järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Tärkein matemaattinen operaatio tässä on matriisideterminanttien laskenta. Yhtälöiden ratkaisu Cramer-menetelmällä suoritetaan verkossa, saat tuloksen välittömästi täydellisellä ja yksityiskohtaisella kuvauksella. Riittää, kun täytät järjestelmän kertoimilla ja valitset tuntemattomien muuttujien lukumäärän. matriisimenetelmä. Tässä menetelmässä kerätään tuntemattomien kertoimet matriisiin A, tuntemattomien sarakkeeseen X ja vapaat termit sarakkeeseen B. Siten lineaariyhtälöjärjestelmä pelkistetään matriisiyhtälöksi, jonka muoto on AxX=B. Tällä yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu vain, jos matriisin A determinantti on muu kuin nolla, muuten järjestelmällä ei ole ratkaisuja tai ratkaisuja on ääretön määrä. Yhtälöiden ratkaisu matriisimenetelmällä on löytää käänteismatriisi A.

Ohje. Online-ratkaisua varten sinun on valittava yhtälön tyyppi ja asetettava vastaavien matriisien dimensio.

Esimerkki #1. Harjoittele. Etsi ratkaisu matriisiyhtälöön
Ratkaisu. Merkitse:
Sitten matriisiyhtälö kirjoitetaan muodossa: A·X·B = C.
Matriisin A determinantti on detA=-1
Koska A on ei-singulaarinen matriisi, on olemassa käänteimatriisi A -1 . Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet A -1:llä: Kerro tämän yhtälön molemmat puolet vasemmalla arvolla A -1 ja oikealla B -1:llä: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Koska A A -1 = B B -1 = E ja E X = X E = X, niin X = A -1 C B -1

Käänteismatriisi A -1:
Etsi käänteismatriisi B -1 .
Transponoi matriisi B T:
Käänteismatriisi B -1:
Etsimme matriisia X kaavalla: X = A -1 C B -1

Vastaus:

Esimerkki #2. Harjoittele. Ratkaise matriisiyhtälö
Ratkaisu. Merkitse:
Sitten matriisiyhtälö kirjoitetaan muodossa: A X = B.
Matriisin A determinantti on detA=0
Koska A on degeneroitunut matriisi (determinantti on 0), yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Esimerkki #3. Harjoittele. Etsi ratkaisu matriisiyhtälöön
Ratkaisu. Merkitse:
Sitten matriisiyhtälö kirjoitetaan muodossa: X·A = B.
Matriisin A determinantti on detA=-60
Koska A on ei-singulaarinen matriisi, on olemassa käänteimatriisi A -1 . Kerro yhtälön oikealla puolella A -1:llä: X A A -1 = B A -1 , josta saamme selville, että X = B A -1
Etsi käänteismatriisi A -1 .
Transponoitu matriisi A T:
Käänteismatriisi A -1:
Etsimme matriisia X kaavalla: X = B A -1


Vastaus: >