Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisut, ratkaisumenetelmät, esimerkit. Etsi järjestelmän ja fsr:n yleinen ratkaisu

Gaussin menetelmällä on useita haittoja: on mahdotonta tietää, onko järjestelmä johdonmukainen vai ei, ennen kuin kaikki Gaussin menetelmässä tarvittavat muunnokset on suoritettu; Gaussin menetelmä ei sovellu kirjainkertoimien järjestelmiin.

Tarkastellaan muita menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Nämä menetelmät käyttävät matriisiluokan käsitettä ja pelkistävät minkä tahansa johdonmukaisen järjestelmän ratkaisun sellaisen järjestelmän ratkaisuksi, johon Cramerin sääntö pätee.

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu seuraavalle lineaariyhtälöjärjestelmälle pelkistetyn homogeenisen järjestelmän perusratkaisujen avulla ja erityinen ratkaisu epähomogeeniseen järjestelmään.

1. Matriisin tekeminen A ja laajennettu järjestelmämatriisi (1)

2. Tutustu järjestelmään (1) yhdessäoloa varten. Tätä varten löydämme matriisien rivit A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jos käy ilmi , niin järjestelmä (1) yhteensopimaton. Jos saamme sen , tämä järjestelmä on johdonmukainen ja me ratkaisemme sen. (Yhteensopivuustutkimus perustuu Kronecker-Capellin lauseeseen).

a. Löydämme rA.

Löytää rA, tarkastelemme peräkkäin matriisin ensimmäisen, toisen jne. kertaluvun nollasta poikkeavat ala-arvot A ja heitä ympäröivät alaikäiset.

M1=1≠0 (otamme 1 matriisin vasemmasta yläkulmasta A).

Me rajamme M1 tämän matriisin toinen rivi ja toinen sarake. . Jatkamme rajaa M1 toinen rivi ja kolmas sarake..gif" width="37" height="20 src=">. Nyt rajataan nollasta poikkeava sivu M2′ toinen tilaus.

Meillä on: (koska kaksi ensimmäistä saraketta ovat samat)

(koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia).

Näemme sen rA=2, a on matriisin kantamolli A.

b. Löydämme.

Melko perus-molli M2′ matriiseja A rajaa vapaiden termien sarake ja kaikki rivit (meillä on vain viimeinen rivi).

. Seuraa, että M3′′ pysyy matriisin perusmollina https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Koska M2′- matriisin perusmolli A järjestelmät (2) , tämä järjestelmä vastaa järjestelmää (3) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (2) (for M2′ on matriisin A kahdella ensimmäisellä rivillä).

(3)

Sivun perusversiosta lähtien https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Tässä järjestelmässä on kaksi vapaata tuntematonta ( x2 Ja x4 ). Siksi FSR järjestelmät (4) koostuu kahdesta ratkaisusta. Niiden löytämiseksi annamme ilmaisia ​​tuntemattomia (4) arvot ensin x2=1 , x4=0 , ja sitten - x2=0 , x4=1 .

klo x2=1 , x4=0 saamme:

.

Tämä järjestelmä on jo olemassa ainoa asia ratkaisu (se löytyy Cramerin säännöllä tai millä tahansa muulla menetelmällä). Vähentämällä ensimmäinen toisesta yhtälöstä, saamme:

Hänen ratkaisunsa tulee olemaan x1= -1 , x3 = 0 . Arvot huomioiden x2 Ja x4 , jonka lisäsimme, saamme järjestelmän ensimmäisen perusratkaisun (2) : .

Nyt uskomme (4) x2=0 , x4=1 . Saamme:

.

Ratkaisemme tämän järjestelmän käyttämällä Cramerin lausetta:

.

Saamme järjestelmän toisen perusratkaisun (2) : .

Ratkaisut β1 , β2 ja meikkaamaan FSR järjestelmät (2) . Sitten sen yleinen ratkaisu on

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tässä C1 , C2 – mielivaltaiset vakiot.

4. Etsitään yksi yksityinen ratkaisu heterogeeninen järjestelmä(1) . Kuten kappaleessa 3 , järjestelmän sijaan (1) Ajatellaanpa vastaavaa järjestelmää (5) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (1) .

(5)

Siirretään vapaita tuntemattomia oikealle puolelle x2 Ja x4.

(6)

Annetaan tuntemattomia ilmaiseksi x2 Ja x4 mielivaltaiset arvot, esim. x2=2 , x4=1 ja laita ne sisään (6) . Otetaan systeemi

Tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (koska sen määräävä tekijä M2′0). Ratkaisemalla sen (käyttäen Cramerin lausetta tai Gaussin menetelmää) saamme x1=3 , x3=3 . Kun otetaan huomioon vapaiden tuntemattomien arvot x2 Ja x4 , saamme erityinen ratkaisu epähomogeeniselle järjestelmälle(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nyt jää vain kirjoittaa se muistiin epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu α(1) : se on yhtä suuri kuin summa yksityinen ratkaisu tämä järjestelmä ja sen pelkistetyn homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Tämä tarkoittaa: (7)

6. Tutkimus. Tarkistaaksesi, ratkaisitko järjestelmän oikein (1) , tarvitsemme yleisen ratkaisun (7) korvata sisään (1) . Jos jokainen yhtälö muuttuu identiteetiksi ( C1 Ja C2 on tuhottava), niin ratkaisu löytyy oikein.

Me korvaamme (7) esimerkiksi vain järjestelmän viimeinen yhtälö (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saamme: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Missä –1=–1. Meillä on identiteetti. Teemme tämän kaikkien muiden järjestelmän yhtälöiden kanssa (1) .

Kommentti. Tarkistaminen on yleensä melko hankalaa. Seuraavaa "osittaista tarkistusta" voidaan suositella: järjestelmän yleisessä ratkaisussa (1) määritä joitain arvoja mielivaltaisille vakioille ja korvaa tuloksena saatu osaratkaisu vain hylättyihin yhtälöihin (eli yhtälöihin (1) , jotka eivät kuuluneet joukkoon (5) ). Jos saat identiteetit, niin todennäköisemmin, järjestelmäratkaisu (1) löytyi oikein (mutta tällainen tarkistus ei takaa täydellistä oikeellisuutta!). Esimerkiksi jos sisään (7) laittaa C2=- 1 , C1 = 1, niin saamme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Korvaamalla järjestelmän (1) viimeiseen yhtälöön, meillä on: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , eli –1=–1. Meillä on identiteetti.

Esimerkki 2. Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle (1) , joka ilmaisee perus-tuntemattomat ilmaisina.

Ratkaisu. Kuten sisällä esimerkki 1, muodostaa matriiseja A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> näistä matriiseista. Jätetään nyt vain ne järjestelmän yhtälöt (1) , joiden kertoimet sisältyvät tähän perus-molliin (eli meillä on kaksi ensimmäistä yhtälöä) ja tarkastelemme niistä koostuvaa järjestelmää, joka vastaa järjestelmää (1).

Siirretään vapaat tuntemattomat näiden yhtälöiden oikealle puolelle.

järjestelmä (9) Ratkaisemme Gaussin menetelmällä katsoen oikeat puolet vapaiksi termeiksi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Vaihtoehto 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Vaihtoehto 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Vaihtoehto 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Vaihtoehto 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogeeniset lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Osana oppitunteja Gaussin menetelmä Ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät, joilla on yhteinen ratkaisu mietimme epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, Missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä erosi nollasta.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin arvo, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmän yhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on täysin selvää homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea, mikä pistää silmään, on ns triviaali ratkaisu . Triviaali, niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa ilman esittelyä. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ...Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että täällä ei tarvitse kirjoittaa ylös pystypalkkia ja vapaiden termien nollasaraketta - loppujen lopuksi riippumatta siitä, mitä teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja Gaussin menetelmän käänteistä käyttämällä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on pelkkä triviaali ratkaisu, Jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa - 3 kappaletta).

Lämmitetään ja viritetään radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Artikkelista Kuinka löytää matriisin sijoitus? Muistakaamme rationaalinen tekniikka, jossa matriisilukuja pienennetään samanaikaisesti. Muuten joudut leikkaamaan suuria ja usein purevia kaloja. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Nollat ​​ovat hyviä ja käteviä, mutta käytännössä tapaus on paljon yleisempi, kun järjestelmämatriisin rivit lineaarisesti riippuvainen. Ja sitten yleisen ratkaisun syntyminen on väistämätöntä:

Esimerkki 3

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: kirjoitetaan järjestelmän matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon. Ensimmäisen toimenpiteen tarkoituksena ei ole vain yhden arvon saaminen, vaan myös ensimmäisen sarakkeen numeroiden vähentäminen:

(1) Kolmas rivi lisättiin ensimmäiselle riville kerrottuna -1:llä. Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Vasemmassa yläkulmassa sain yksikön, jossa on "miinus", joka on usein paljon kätevämpi jatkomuunnoksille.

(2) Kaksi ensimmäistä riviä ovat samat, yksi niistä on poistettu. Rehellisesti sanottuna en painostanut ratkaisua - se osoittautui sellaiseksi. Jos teet muunnoksia mallipohjaisesti, niin lineaarinen riippuvuus rivit olisivat paljastuneet hieman myöhemmin.

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna 3:lla.

(4) Ensimmäisen rivin merkki muutettiin.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin vastaava järjestelmä:

Algoritmi toimii täsmälleen samalla tavalla kuin heterogeeniset järjestelmät. Muuttujat "istuu portailla" ovat tärkeimmät, muuttuja, joka ei saanut "askelta", on vapaa.

Ilmaistaan ​​perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Vastaus: yhteinen päätös:

Triviaali ratkaisu sisältyy yleiskaavaan, eikä sitä tarvitse kirjoittaa erikseen.

Tarkastus suoritetaan myös tavanomaisen kaavion mukaisesti: tuloksena oleva yleinen ratkaisu on substituoitava järjestelmän kunkin yhtälön vasempaan puolelle ja kaikille substituutioille on saatava laillinen nolla.

Tämä olisi mahdollista tehdä hiljaa ja rauhallisesti, mutta homogeenisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu on usein esitettävä vektorimuodossa käyttämällä perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä. Ole hyvä ja unohda se toistaiseksi analyyttinen geometria, koska nyt puhumme vektoreista yleisessä algebrallisessa mielessä, jota avasin hieman artikkelissa matriisin arvo. Terminologiaa ei tarvitse peitellä, kaikki on melko yksinkertaista.

Homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä kentän päällä

MÄÄRITELMÄ. Yhtälöjärjestelmän (1) perusratkaisujärjestelmä on sen ratkaisujen ei-tyhjä lineaarisesti riippumaton järjestelmä, jonka lineaarinen jänne on sama kuin järjestelmän (1) kaikkien ratkaisujen joukko.

Huomaa, että homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä, jolla on vain nollaratkaisu, ei ole perusratkaisujärjestelmää.

EHDOTUS 3.11. Mitkä tahansa kaksi homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän perusratkaisujärjestelmää koostuvat samasta määrästä ratkaisuja.

Todiste. Itse asiassa mitkä tahansa kaksi perusratkaisujärjestelmää homogeeniseen yhtälöjärjestelmään (1) ovat ekvivalentteja ja lineaarisesti riippumattomia. Siksi väitteen 1.12 mukaan heidän arvonsa ovat yhtä suuret. Näin ollen yhteen perusjärjestelmään sisältyvien ratkaisujen määrä on yhtä suuri kuin minkä tahansa muun perusratkaisujärjestelmän sisältämien ratkaisujen määrä.

Jos homogeenisen yhtälöjärjestelmän (1) päämatriisi A on nolla, niin mikä tahansa vektori kohteesta on ratkaisu järjestelmään (1); tässä tapauksessa mikä tahansa joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita kohteesta on perusratkaisujärjestelmä. Jos matriisin A sarakesijoitus on yhtä suuri kuin , niin järjestelmällä (1) on vain yksi ratkaisu - nolla; siksi tässä tapauksessa yhtälöjärjestelmällä (1) ei ole perusratkaisujärjestelmää.

LAUSE 3.12. Jos homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän (1) päämatriisin järjestys on pienempi kuin muuttujien lukumäärä , niin järjestelmällä (1) on perusratkaisujärjestelmä, joka koostuu ratkaisuista.

Todiste. Jos homogeenisen järjestelmän (1) päämatriisin A järjestys on nolla tai , niin edellä on osoitettu, että lause on tosi. Siksi alla oletetaan, että oletetaan, että matriisin A ensimmäiset sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Tässä tapauksessa matriisi A vastaa riveittäin pelkistettyä porrastettua matriisia ja järjestelmä (1) vastaa seuraavaa pelkistettyä porrastettua yhtälöjärjestelmää:

On helppo tarkistaa, että mikä tahansa järjestelmän (2) vapaiden muuttujien arvojärjestelmä vastaa yhtä ja vain yhtä ratkaisua järjestelmälle (2) ja siten järjestelmälle (1). Erityisesti vain järjestelmän (2) ja järjestelmän (1) nollaratkaisu vastaa nolla-arvojen järjestelmää.

Järjestelmässä (2) annamme yhdelle vapaista muuttujista arvon, joka on yhtä suuri, ja muille muuttujille nolla-arvoja. Tuloksena saadaan ratkaisut yhtälöjärjestelmään (2), jotka kirjoitetaan seuraavan matriisin C rivien muotoon:

Tämän matriisin rivijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Todellakin, kaikille skalaareille tasa-arvosta

tasa-arvo seuraa

ja siksi tasa-arvo

Osoitetaan, että matriisin C rivijärjestelmän lineaarinen jänne on sama kuin järjestelmän (1) kaikkien ratkaisujen joukko.

Järjestelmän (1) mielivaltainen ratkaisu. Sitten vektori

on myös ratkaisu järjestelmään (1) ja

Ratkaisu löytää laskimen avulla. Ratkaisualgoritmi on sama kuin lineaaristen epähomogeenisten yhtälöiden järjestelmissä.
Toimimalla vain riveillä, löydämme matriisin arvon, kanta-molli; Julistamme riippuvaisia ​​ja vapaita tuntemattomia ja löydämme yleisen ratkaisun.

Esimerkki 2. Etsi järjestelmän yleinen ratkaisu ja perusratkaisujärjestelmä
Ratkaisu.



,
tästä seuraa, että matriisin sijoitus on 3 ja yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä ei ole vapaita tuntemattomia, ja siksi sillä on ainutlaatuinen ratkaisu - triviaali.

Harjoittele . Tutki ja ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Esimerkki 4

Harjoittele . Etsi kunkin järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut.
Ratkaisu. Kirjataan ylös järjestelmän päämatriisi:

Tehtävä. Etsi perusjoukko ratkaisuja homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) järjestelmien ratkaiseminen on epäilemättä tärkein aihe lineaarialgebran kurssilla. Valtava määrä ongelmia kaikilta matematiikan aloilta juontuu lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Nämä tekijät selittävät tämän artikkelin syyn. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• valita optimaalinen menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkitsemalla yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja tyypillisiin esimerkkeihin ja ongelmiin.

Lyhyt kuvaus artikkelimateriaalista.

Ensin annamme kaikki tarvittavat määritelmät, käsitteet ja esittelemme merkinnät.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitymme Cramerin menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi ja kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (menetelmä tuntemattomien muuttujien peräkkäiseen eliminointiin). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Tämän jälkeen siirrytään ratkaisemaan yleismuotoisia lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on singulaarinen. Muotoilkaamme Kronecker-Capelli-lause, jonka avulla voimme määrittää SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien (jos ne ovat yhteensopivia) ratkaisua matriisin kantamollin käsitteellä. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Pysähdymme ehdottomasti lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan, kuinka SLAE:n yleinen ratkaisu kirjoitetaan käyttämällä perusratkaisujärjestelmän vektoreita. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka voidaan pelkistää lineaarisiin, sekä erilaisia ​​​​ongelmia, joiden ratkaisussa SLAE syntyy.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut reaali- tai kompleksiluvut), - vapaat termit (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-tallennusmuotoa kutsutaan koordinoida.

SISÄÄN matriisimuoto tämän yhtälöjärjestelmän kirjoittamisella on muoto,
Missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien sarakematriisi, - vapaiden termien sarakematriisi.

Jos lisäämme matriisiin A (n+1) sarakkeena vapaiden termien matriisisarakkeen, saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Tyypillisesti laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden termien sarake erotetaan pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, jotka muuttavat kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille matriisiyhtälöstä tulee myös identiteetti.

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan ei-nivel.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaiseminen.

Jos järjestelmän yhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, tällaisia ​​SLAE:itä kutsutaan perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja homogeenisen järjestelmän tapauksessa kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme opiskella tällaisia ​​SLAE:ita lukiossa. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, otimme sitten seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja - A:sta korvaamalla saatujen matriisien determinantit 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällä merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan käyttämällä Cramerin menetelmän kaavoja as . Näin ratkaisu lineaariseen algebralliseen yhtälöjärjestelmään löydetään Cramerin menetelmällä.

Esimerkki.

Cramerin menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Lasketaan sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Tehdään ja lasketaan tarvittavat determinantit (saamme determinantin korvaamalla matriisin A ensimmäisen sarakkeen vapaiden termien sarakkeella, determinantin korvaamalla toisen sarakkeen vapaiden termien sarakkeella ja korvaamalla matriisin A kolmannen sarakkeen vapaiden termien sarakkeella) :

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haittapuoli (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käänteismatriisin avulla).

Olkoon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä matriisimuodossa, jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi. Jos kerromme yhtälön molemmat puolet vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien matriisisarakkeen löytämiseksi. Näin saimme matriisimenetelmällä ratkaisun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä uudelleen matriisimuotoon:

Koska

sitten SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käänteismatriisia käyttämällä ratkaisu tähän järjestelmään voidaan löytää seuraavasti .

Muodostetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisia matriisin A elementtien algebrallisista lisäyksistä (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteismatriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeeseen (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma löydettäessä ratkaisuja lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiin matriisimenetelmällä on käänteimatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriiseille, joiden kertaluku on korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta: ensin x 1 jätetään pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes vain tuntematon muuttuja x n jää viimeiseen yhtälöön. Tätä järjestelmäyhtälöiden muunnosprosessia tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi peräkkäin kutsutaan suora Gaussin menetelmä. Gaussin menetelmän eteenpäinvedon suorittamisen jälkeen viimeisestä yhtälöstä löydetään x n, tätä toiseksi viimeistä yhtälöä käyttämällä lasketaan x n-1 ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. Gaussin menetelmän käänteinen.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Poistetaan tuntematon muuttuja x 1 kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta. Tätä varten lisäämme järjestelmän toiseen yhtälöön ensimmäisen, kerrottuna : llä, kolmanteen yhtälöön lisäämme ensimmäisen, kerrottuna luvulla ja niin edelleen, n. yhtälöön lisäämme ensimmäisen kerrottuna . Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä ja .

Olisimme päässeet samaan tulokseen, jos olisimme ilmaisseet x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja vaihtaneet tuloksena olevan lausekkeen kaikkiin muihin yhtälöihin. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi etenemme samalla tavalla, mutta vain osalla tuloksena olevaa järjestelmää, joka on merkitty kuvaan

Tätä varten lisäämme järjestelmän kolmanteen yhtälöön toisen, kerrottuna :llä, neljänteen yhtälöön lisäämme toisen, kerrottuna luvulla ja niin edelleen, n. yhtälöön lisäämme toisen, kerrottuna . Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä ja . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi siirrytään poistamaan tuntematon x 3, samalla kun toimimme samalla tavalla kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa etenemistä, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua x n:n arvoa löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1, ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä .

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molemmille puolille ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt poistamme x 2 kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasemmalle ja oikealle puolelle toisen yhtälön vasen ja oikea puoli kerrottuna:

Tämä päättää Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuvan iskun; aloitamme käänteisen iskun.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja täydennämme näin Gaussin menetelmän käänteistä.

Vastaus:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

Yleensä järjestelmän p yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliö ja yksikkö.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastauksen kysymykseen milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se on epäjohdonmukainen, antaa Kronecker-Capellin lause:
Jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, eli , Sijoitus(A) = Sijoitus(T).

Tarkastellaanpa esimerkkinä Kronecker–Capelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Katsotaanpa kolmannen asteen alaikäisiä, jotka reunustavat sitä:

Koska kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi.

Puolestaan ​​laajennetun matriisin sijoitus on yhtä kuin kolme, koska molli on kolmannen asteen

eroaa nollasta.

Täten, Alue(A), joten Kronecker–Capellin lausetta käyttämällä voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Järjestelmässä ei ole ratkaisuja.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseella.

Mutta kuinka löytää ratkaisu SLAE:hen, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kantamollin käsitteen ja lauseen matriisin arvosta.

Kutsutaan matriisin A korkeimman asteen mollia, joka eroaa nollasta perus.

Perus-mollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavalla matriisilla A voi olla useita kanta-molleja, aina yksi kanta-molli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alaikäiset ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisirank-lause.

Jos matriisin arvo, jonka kertaluku on p:llä n:llä, on yhtä suuri kuin r, niin kaikki matriisin rivi- (ja sarake)elementit, jotka eivät muodosta valittua kantamollista, ilmaistaan ​​lineaarisesti vastaavien rivi- (ja sarake)-elementtien muodossa. perusteena alaikäinen.

Mitä matriisiluokkalause kertoo meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseen mukaan todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme järjestelmän päämatriisin minkä tahansa kantamollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodosta valittua alamollista. Tällä tavalla saatu SLAE on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän tarpeettomien yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska molli on toisen asteen eroaa nollasta. Laajennettu Matrix Rank on myös yhtä kuin kaksi, koska ainoa kolmannen asteen molli on nolla

ja edellä käsitelty toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker–Capelli-lauseen perusteella voimme väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden, koska Rank(A)=Rank(T)=2.

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu kantamollin muodostukseen, joten jätämme sen pois systeemistä matriisin järjestyksen lauseen perusteella:


Näin saimme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jos yhtälöiden r määrä tuloksena olevassa SLAE:ssä on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä n, niin yhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään perustan muodostavat termit molliarvoiksi ja siirretään loput termit kaavan oikealle puolelle. järjestelmän yhtälöt päinvastaisella etumerkillä.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niistä r) kutsutaan pää.

Tuntemattomia muuttujia (on n - r kappaletta), jotka ovat oikealla puolella, kutsutaan vapaa.

Nyt uskomme, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapaiden tuntemattomien muuttujien kautta ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmaisu voidaan löytää ratkaisemalla tuloksena oleva SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Katsotaanpa sitä esimerkin avulla.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä .

Ratkaisu.

Etsitään järjestelmän päämatriisin sijoitus alaikäisten rajaamismenetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 ensimmäisen asteen nollasta poikkeavaksi molliksi. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toissijaista mollia, joka rajautuu tähän molliin:


Näin löysimme toisen asteen nollasta poikkeavan mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Laajennetun matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Otamme perustaksi löydetyn kolmannen kertaluvun ei-nolla-mollin.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme kanta-molliin liittyvät termit systeemiyhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli hyväksytään , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaistaan ​​tuloksena oleva lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmä Cramerin menetelmällä:


Siksi,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessasi ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi määritämme ensin sen yhteensopivuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on yhteensopimaton.

Jos päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin sijoitus, valitsemme kanta-mollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun kanta-mollin muodostukseen.

Jos kanta-mollin järjestys on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tunnetulla menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin järjestelmäyhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa, siirretään loput termit oikealle puolelle ja annetaan mielivaltaisia ​​arvoja. ilmaiset tuntemattomat muuttujat. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmää voidaan käyttää kaikenlaisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen ilman, että niiden johdonmukaisuus on ensin testattu. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että yhteensopimattomuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisesti Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sen yksityiskohtainen kuvaus ja analysoidut esimerkit artikkelista Gaussin menetelmä yleisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Kirjoitetaan yleinen ratkaisu homogeenisiin ja epähomogeenisiin lineaarisiin algebrallisiin järjestelmiin käyttäen perusratkaisujärjestelmän vektoreita.

Tässä osiossa puhumme samanaikaisista homogeenisista ja epähomogeenisista lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmistä, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Ratkaisujen perusjärjestelmä p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on kokoelma (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme homogeenisen SLAE:n lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat pylväsmatriiseja, joiden ulottuvuus on n 1) , niin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu esitetään lineaarisena yhdistelmänä ratkaisujen perusjärjestelmän vektoreita mielivaltaisilla vakiokertoimilla C 1, C 2, ..., C (n-r), eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava määrittelee kaikki mahdolliset alkuperäisen SLAE:n ratkaisut, toisin sanoen ottamalla minkä tahansa mielivaltaisten vakioiden C 1, C 2, ..., C (n-r) arvot käyttämällä kaavaa. Hanki jokin alkuperäisen homogeenisen SLAE:n liuoksesta.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme määritellä tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muodossa .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän kantamolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään kaikki vapaita tuntemattomia muuttujia sisältävät termit vastakkaisten etumerkkien järjestelmäyhtälöiden oikealle puolelle. Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 1,0,0,...,0 ja lasketaan tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälön alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Tämä johtaa X (1) - perusjärjestelmän ensimmäiseen ratkaisuun. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Tällä tavalla rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle ja sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa , jossa on vastaavan homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu, ja se on alkuperäisen epähomogeenisen SLAE:n erityinen ratkaisu, jonka saamme antamalla vapaille tuntemattomille arvot. ​0,0,...,0 ja tärkeimpien tuntemattomien arvojen laskeminen.

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten rajausmenetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsitään toisen asteen reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka poikkeaa nollasta, on löydetty. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi. Otetaan . Huomioikaa selvyyden vuoksi sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu kanta-mollin muodostamiseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätämme tärkeimmät tuntemattomat sisältävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirrämme termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen base minorin järjestys on yhtä suuri kuin kaksi. Löytääksesi X (1), annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 = 1, x 4 = 0, sitten löydämme yhtälöjärjestelmästä tärkeimmät tuntemattomat
.