Vertailu matematiikassa - kuinka määrittää, mikä luvuista on suurempi tai pienempi. Negatiivisten lukujen vertailu: sääntö, esimerkit

Matematiikan oppitunti 6:ssa Luokassa

Aihe: "Positiivisten ja negatiivisten lukujen vertailu"

Oppitunnin tyyppi: oppitunti asettaa oppimisongelma

Työmuodot: yksittäinen, etuosa, höyrysauna, ryhmä.

Opetusmenetelmät: sanallinen, visuaalinen, käytännöllinen, ongelmallinen.

Laitteet: tietokone, multimediaprojektori.

Oppitunnin tavoitteet:

Kognitiivinen: muotoile sääntö lukujen vertaamiseksi eri merkillä, opi soveltamaan sitä käytännössä.

Metasubjektit, mukaan lukien:

Sääntely: aseta oppimistehtävä perustuen korrelaatioon sen kanssa, mitä opiskelijat jo tietävät ja oppivat, ja mikä on vielä tuntematonta; määrittää toimintosarja ongelman ratkaisemiseksi; korjaa tulos ottaen huomioon opiskelijan, opettajan, toverien arvioinnin; ymmärtää materiaalin laadun ja assimilaatiotason.

Kommunikaatio: oppia ennakoivaa yhteistyötä etsimään ratkaisua ongelmaan; oppia ilmaisemaan ajatuksensa riittävän täydellisesti ja tarkasti viestintätehtävien ja -ehtojen mukaisesti.

Tuntien aikana

Motivaatio.

Jatkamme työtä positiivisten ja negatiivisten lukujen kanssa. Olemme tunteneet positiiviset luvut pitkään, ensin opimme vertaamaan niitä, sitten suorittamaan erilaisia ​​toimintoja: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja. Onko mielestäsi mahdollista suorittaa samat toiminnot negatiivisilla luvuilla kuin positiivisilla luvuilla? (vastaus). Mitä haluaisit oppia tunnilla tänään?

Tavoitteiden asettaminen: Johda sääntö lukujen vertaamiseksi eri merkillä ja opi soveltamaan sitä.

Perustietojen päivittäminen.

Suullisen työn tehtävät:

Määrittele moduuli.

Mikä on koordinaattiviivalla nollan oikealla puolella olevien numeroiden merkki? Vasen nollasta?

Etsi luvun 6,8 moduuli; -3,5; 18.11; 0,03; -12.3

Selvitys koulutustehtävästä.

Vertaa lukumoduuleja

1. Kuinka vertailla lukuja käyttämällä koordinaattiviivaa?

   Koordinaattiviivan piste A sijaitsee pisteen B vasemmalla puolella. Kumman pisteen koordinaatti on suurempi?

   Mikä koordinaattiviivan piste sijaitsee vasemmalla?

   1. A(0,6) tai B(3,11)

Ratkaisu.

Seuraavan tehtävän suorittamiseksi jaamme 5 6 hengen ryhmään. Jokaisen ryhmän tulee vertailla lukuja ja vastata kysymyksiin.

1. 2. 2 ja -11

   3. -15 ja 16

Ensisijainen kiinnitys.

Nimeä viisi eri numeroa

iso 0;

pienempi 0;

pienempi -5;

iso -3;

iso -11, mutta pienempi -3

Mitä vierekkäisten kokonaislukujen välissä on luku 3,8; numero -8.9

Kirjoita muistiin kaikki kokonaisluvut, jotka sijaitsevat koordinaattiviivalla numeroiden -2,5 ja 6 välillä; numeroiden -17,3 ja -8,1 välillä

Kirjoita numerot järjestykseen laskeva -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Kotitehtävien asettaminen. kohta 29, opi positiivisten ja negatiivisten lukujen vertailusääntö, täytä numerot 995, 996, 997, 999, 1000

Oppimistoimintojen heijastus luokkahuoneessa.

1. Mitä tavoitteita asetimme tämän päivän oppitunnilla, vastasimmeko kaikkiin esitettyihin kysymyksiin?

   Miten vertaat positiivisia ja negatiivisia lukuja?

   Kuinka vertailla kahta negatiivista lukua?

   Täytä tämän päivän oppitunnin arviointikortit.

Vertaa lukuja käyttämällä koordinaattiviivaa:

2. 2 ja -11

3. -15 ja 16

Anna vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

Vertaa kahta positiivista lukua

Vertaa positiivista lukua nollaan

Vertaa negatiivista lukua nollaan

Vertaa positiivisia ja negatiivisia lukuja

Vertaa kahta negatiivista lukua

Negatiiviset luvut ovat numeroita, joissa on miinusmerkki (-), esimerkiksi -1, -2, -3. Lukee näin: miinus yksi, miinus kaksi, miinus kolme.

Sovellusesimerkki negatiivisia lukuja on lämpömittari, joka näyttää kehon, ilman, maaperän tai veden lämpötilan. Talvella, kun ulkona on erittäin kylmä, lämpötila on negatiivinen (tai, kuten ihmiset sanovat, "miinus").

Esimerkiksi -10 astetta pakkasta:

Tavallisia lukuja, joita tarkastelimme aiemmin, kuten 1, 2, 3, kutsutaan positiivisiksi. Positiiviset luvut ovat numeroita, joissa on plusmerkki (+).

Positiivisia lukuja kirjoitettaessa +-merkkiä ei kirjoiteta muistiin, minkä vuoksi näemme meille tutut luvut 1, 2, 3. Mutta on syytä muistaa, että nämä positiiviset luvut näyttävät tältä: +1, + 2, +3.

Tämä on suora viiva, jolla kaikki luvut sijaitsevat: sekä negatiiviset että positiiviset. Seuraavasti:

Tässä näytetään numeroita välillä -5 - 5. Itse asiassa koordinaattiviiva on ääretön. Kuvassa näkyy vain pieni osa siitä.

Koordinaattiviivalla olevat numerot on merkitty pisteinä. Kuvassa lihavoitu musta piste on lähtökohta. Lähtölaskenta alkaa nollasta. Vertailupisteen vasemmalle puolelle on merkitty negatiiviset luvut ja oikealle positiiviset luvut.

Koordinaattiviiva jatkuu loputtomasti molemmilla puolilla. Matematiikan ääretöntä merkitään symbolilla ∞. Negatiivinen suunta merkitään symbolilla −∞ ja positiivinen symbolilla +∞. Sitten voidaan sanoa, että kaikki luvut miinus äärettömyydestä plus äärettömään sijaitsevat koordinaattiviivalla:

Jokaisella koordinaattiviivan pisteellä on oma nimi ja koordinaatti. Nimi on mikä tahansa latinalainen kirjain. Koordinaatti on numero, joka ilmaisee pisteen sijainnin tällä viivalla. Yksinkertaisesti sanottuna koordinaatti on sama numero, jonka haluamme merkitä koordinaattiviivalle.

Esimerkiksi piste A(2) kuuluu seuraavasti "piste A koordinaatilla 2" ja se merkitään koordinaattiviivalla seuraavasti:

Tässä A on pisteen nimi, 2 on pisteen koordinaatti A.

Esimerkki 2 Kohta B(4) kuuluu seuraavasti "piste B koordinaatissa 4"

Tässä B on pisteen nimi, 4 on pisteen koordinaatti b.

Esimerkki 3 Piste M(−3) luetaan muodossa "piste M koordinaatilla miinus kolme" ja se merkitään koordinaattiviivalla seuraavasti:

Tässä M on pisteen nimi, −3 on pisteen M koordinaatti .

Pisteet voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella. Mutta on yleisesti hyväksyttyä merkitä ne isoilla latinalaisilla kirjaimilla. Lisäksi raportin alku, jota muuten kutsutaan alkuperä merkitään yleensä isolla O-kirjaimella

On helppo nähdä, että negatiiviset luvut ovat origon vasemmalla puolella ja positiiviset luvut oikealla.

On lauseita, kuten "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" ja "mitä enemmän oikealle, sitä enemmän". Olet varmaan jo arvannut, mistä puhumme. Jokaisella askeleella vasemmalle numero pienenee alaspäin. Ja jokaisella askeleella oikealle, määrä kasvaa. Oikealle osoittava nuoli osoittaa laskennan positiivisen suunnan.

Negatiivisten ja positiivisten lukujen vertailu

Sääntö 1 Mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku.

Verrataan esimerkiksi kahta lukua: −5 ja 3. Miinus viisi Vähemmän kuin kolme, huolimatta siitä, että viisi kiinnittää huomiota ensiksikin, koska luku on suurempi kuin kolme.

Tämä johtuu siitä, että −5 on negatiivinen ja 3 on positiivinen. Koordinaattiviivalla näet, missä numerot −5 ja 3 sijaitsevat

Voidaan nähdä, että −5 on vasemmalla ja 3 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Tästä seuraa siis

−5 < 3

"Miinus viisi on vähemmän kuin kolme"

Sääntö 2 Kahdesta negatiivisesta luvusta pienempi on koordinaattiviivan vasemmalla puolella oleva.

Verrataan esimerkiksi lukuja -4 ja -1. miinus neljä Vähemmän kuin miinus yksi.

Tämä taas johtuu siitä, että koordinaattiviivalla −4 sijaitsee enemmän vasemmalla kuin −1

Voidaan nähdä, että -4 on vasemmalla ja -1 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että kahdesta negatiivisesta luvusta koordinaattiviivan vasemmalla puolella oleva on pienempi. Tästä seuraa siis

Miinus neljä on vähemmän kuin miinus yksi

Sääntö 3 Nolla on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku.

Verrataan esimerkiksi arvoja 0 ja −3. Nolla lisää kuin miinus kolme. Tämä johtuu siitä, että koordinaattiviivalla 0 sijaitsee oikealla kuin −3

Voidaan nähdä, että 0 on oikealla ja −3 vasemmalla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän oikealle, sitä enemmän" . Ja sääntö sanoo, että nolla on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku. Tästä seuraa siis

Nolla on suurempi kuin miinus kolme

Sääntö 4 Nolla on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku.

Vertaa esimerkiksi 0 ja 4. Nolla Vähemmän kuin 4. Periaatteessa tämä on selvää ja totta. Mutta yritämme nähdä sen omin silmin, jälleen koordinaattiviivalla:

Voidaan nähdä, että koordinaattiviivalla 0 sijaitsee vasemmalla ja 4 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että nolla on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Tästä seuraa siis

Nolla on pienempi kuin neljä

Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte-ryhmäämme ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista

§ 1 Positiivisten lukujen vertailu

Tällä oppitunnilla muistamme kuinka verrata positiivisia lukuja ja tarkastellaan negatiivisten lukujen vertailua.

Aloitetaan tehtävästä. Ilman lämpötila oli päivällä +7 astetta, illalla +2 astetta, yöllä -2 astetta ja aamulla -7 astetta. Miten ilman lämpötila muuttui?

Ongelmana on laskeminen, ts. lämpötilan laskusta. Tämä tarkoittaa, että jokaisessa tapauksessa lopullinen lämpötila-arvo on pienempi kuin alkuperäinen, joten 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Merkitään numerot 7, 2, -2, -7 koordinaattiviivalle. Muista, että koordinaattiviivalla on suurempi positiivinen luku oikealla.

Katsotaanpa negatiivisia lukuja, luku -2 on oikealla kuin -7, ts. koordinaattiviivan negatiivisille luvuille säilyy sama järjestys: kun piste liikkuu oikealle, sen koordinaatti kasvaa ja kun piste liikkuu vasemmalle, sen koordinaatti pienenee.

Voimme päätellä: Mikä tahansa positiivinen luku on suurempi kuin nolla ja suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku. 1 > 0; 12 > -2,5. Mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin nolla ja pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Moduulin avulla on kätevää verrata rationaalilukuja (eli kaikkia kokonaislukuja ja murtolukuja).

Positiiviset luvut sijaitsevat koordinaattiviivalla nousevassa järjestyksessä origosta, mikä tarkoittaa, että mitä kauempana luku on origosta, sitä suurempi on janan pituus nollasta numeroon, ts. sen moduuli. Siksi kahdesta positiivisesta luvusta se, jonka moduuli on suurempi, on suurempi.

§ 2 Negatiivisten lukujen vertailu

Kun verrataan kahta negatiivista lukua, suurempi sijoittuu oikealle, eli lähemmäs origoa. Tämä tarkoittaa, että sen moduuli (segmentin pituus nollasta numeroon) on pienempi. Siten kahdesta negatiivisesta luvusta pienempi moduuli on suurempi.

Esimerkiksi. Verrataanpa lukuja -1 ja -5. Numeroa -1 vastaava piste sijaitsee lähempänä origoa kuin numeroa -5 vastaava piste. Joten segmentin pituus välillä 0 arvoon -1 tai luvun -1 moduuli on pienempi kuin segmentin pituus välillä 0 - -5 tai luvun -5 moduuli, mikä tarkoittaa, että luku -1 on suurempi kuin numero -5.

Teemme johtopäätökset:

Kun vertaat rationaalisia lukuja, kiinnitä huomiota:

Merkit: Negatiivinen luku on aina pienempi kuin positiivinen luku ja nolla;

Sijainti koordinaattiviivalla: mitä enemmän oikealle, sitä enemmän;

Moduuleissa: positiivisilla luvuilla moduuli on suurempi ja luku on suurempi, negatiivisilla luvuilla moduuli on suurempi ja luku on pienempi.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Matematiikka. 6. luokka: tuntisuunnitelmat oppikirjaan I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // kirjoittaja-kääntäjä L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matematiikka. luokka 6: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matematiikka. luokka 6: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematiikan käsikirja - http://lyudmilanik.com.ua
5. Käsikirja lukion opiskelijoille http://shkolo.ru

Ensimmäinen taso

Numeroiden vertailu. Kattava opas (2019)

Yhtälöitä ja epäyhtälöitä sekä moduulitehtäviä ratkaistaessa vaaditaan löydetyt juuret paikannettava reaaliviivalta. Kuten tiedät, löydetyt juuret voivat olla erilaisia. Ne voivat olla tällaisia:, tai ne voivat olla tällaisia:,.

Vastaavasti, jos luvut eivät ole rationaalisia vaan irrationaalisia (jos unohdit, mitä ne ovat, katso aihetta) tai ovat monimutkaisia ​​matemaattisia lausekkeita, niiden sijoittaminen numeroviivalle on erittäin ongelmallista. Lisäksi kokeessa ei voi käyttää laskimia, eikä likimääräinen laskelma anna 100% takuuta siitä, että yksi luku on pienempi kuin toinen (entä jos vertailulukujen välillä on eroa?).

Tietenkin tiedät, että positiiviset luvut ovat aina suurempia kuin negatiiviset, ja että jos edustamme lukuakselia, niin vertailussa suurimmat luvut ovat oikealla kuin pienimmät: ; ; jne.

Mutta onko se aina niin helppoa? Mihin numeroriville merkitsemme .

Kuinka verrata niitä esimerkiksi numeroon? Siellä se hankaus on...)

Aluksi puhutaan yleisesti siitä, miten ja mitä verrataan.

Tärkeää: on toivottavaa tehdä muunnoksia siten, että epäyhtälömerkki ei muutu! Toisin sanoen muunnosten aikana ei ole toivottavaa kertoa negatiivisella luvulla, ja se on kielletty neliö, jos yksi osista on negatiivinen.

Murtolukuvertailu

Joten meidän on verrattava kahta murto-osaa: ja.

Tämän tekemiseen on useita vaihtoehtoja.

Vaihtoehto 1. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

Kirjoitetaan se tavallisena murtolukuna:

- (kuten näette, vähennin myös osoittajalla ja nimittäjällä).

Nyt meidän on verrattava murtolukuja:

Nyt voimme jatkaa vertailua myös kahdella tavalla. Me voimme:

1. pelkistä vain kaikki yhteiseksi nimittäjäksi ja esitä molemmat murtoluvut virheellisinä (osoittaja on suurempi kuin nimittäjä):

   Kumpi luku on suurempi? Aivan oikein, se, jonka osoittaja on suurempi, eli ensimmäinen.

2. "hylkää" (oletetaan, että vähennimme yhden jokaisesta murto-osasta ja murto-osien suhde ei ole muuttunut) ja vertaamme murto-osia:

   Tuomme ne myös yhteiseksi nimittäjäksi:

   Saimme täsmälleen saman tuloksen kuin edellisessä tapauksessa - ensimmäinen numero on suurempi kuin toinen:

   Tarkastetaan myös, olemmeko vähentäneet yhden oikein? Lasketaan ensimmäisen ja toisen laskutoimituksen osoittajan ero:
   1)
   2)

Joten tarkastelimme kuinka verrata murtolukuja ja tuoda ne yhteiseen nimittäjään. Siirrytään toiseen menetelmään - murtolukujen vertailuun tuomalla ne yhteiseen ... osoittajaan.

Vaihtoehto 2. Murtolukujen vertailu vähentämällä yhteiseen osoittajaan.

Kyllä kyllä. Tämä ei ole kirjoitusvirhe. Koulussa tätä menetelmää opetetaan harvoin kenellekään, mutta usein se on erittäin kätevä. Jotta ymmärrät nopeasti sen olemuksen, esitän sinulle vain yhden kysymyksen - "missä tapauksissa murto-osan arvo on suurin?" Tietenkin sanot "kun osoittaja on mahdollisimman suuri ja nimittäjä mahdollisimman pieni."

Sanot esimerkiksi varmasti, että totta? Ja jos meidän on verrattava tällaisia ​​murtolukuja: Uskon, että asetat myös merkin oikein heti, koska ensimmäisessä tapauksessa ne on jaettu osiin ja toisessa kokonaisiin, mikä tarkoittaa, että toisessa tapauksessa palat osoittautuvat hyvin pieniksi ja vastaavasti: . Kuten näet, nimittäjät ovat täällä erilaisia, mutta osoittajat ovat samat. Näiden kahden murtoluvun vertaamiseksi sinun ei kuitenkaan tarvitse löytää yhteistä nimittäjää. Vaikka ... löydä se ja katso, onko vertailumerkki edelleen väärä?

Mutta merkki on sama.

Palataan alkuperäiseen tehtäväämme - vertailla ja. Vertaillaan ja Emme tuo näitä murtolukuja yhteiseen nimittäjään, vaan yhteiseen osoittajaan. Tätä varten se on yksinkertainen osoittaja ja nimittäjä kerro ensimmäinen murto-osa luvulla. Saamme:

ja. Kumpi fraktio on suurempi? Aivan oikein, ensimmäinen.

Vaihtoehto 3. Murtolukujen vertailu vähennyslaskulla.

Kuinka vertailla murtolukuja vähennyslaskulla? Kyllä, hyvin yksinkertaista. Vähennämme toisen yhdestä murtoluvusta. Jos tulos on positiivinen, ensimmäinen murto-osa (vähennetty) on suurempi kuin toinen (vähennetty), ja jos negatiivinen, niin päinvastoin.

Meidän tapauksessamme yritetään vähentää ensimmäinen murtoluku toisesta: .

Kuten jo ymmärsit, käännämme myös tavalliseksi murtoluvuksi ja saamme saman tuloksen -. Ilmaisumme tulee:

Lisäksi meidän on edelleen turvauduttava vähentämiseen yhteiseen nimittäjään. Kysymys kuuluu, miten: ensimmäisellä tavalla murto-osien muuntaminen sopimattomiksi tai toisella ikään kuin "poistamalla" yksikkö? Muuten, tällä toiminnolla on täysin matemaattinen perustelu. Katso:

Pidän toisesta vaihtoehdosta paremmin, koska osoittajan kertominen yhteiseen nimittäjään pienennettäessä on monta kertaa helpompaa.

Tuomme yhteisen nimittäjän:

Tärkeintä tässä ei ole hämmentyä siitä, mistä numerosta ja mistä vähennimme. Katso huolellisesti ratkaisun kulkua äläkä sekoita merkkejä vahingossa. Vähensimme ensimmäisen toisesta numerosta ja saimme kielteisen vastauksen, joten? .. Aivan oikein, ensimmäinen luku on suurempi kuin toinen.

Sain sen? Kokeile murtolukujen vertailua:

Pysähdy, lopeta. Älä kiirehdi tuomaan yhteistä nimittäjää tai vähentämään. Katso: se voidaan helposti muuntaa desimaalimurtoluvuksi. Kuinka paljon se tulee olemaan? oikein. Mitä lopulta on enemmän?

Tämä on toinen vaihtoehto - murtolukujen vertailu vähentämällä desimaaliin.

Vaihtoehto 4. Murtolukujen vertailu jakoa käyttämällä.

Kyllä kyllä. Ja niin se on myös mahdollista. Logiikka on yksinkertainen: kun jaamme suuremman luvun pienemmällä, saamme vastauksessa ykköstä suuremman luvun, ja jos jaamme pienemmän luvun suuremmalla, niin vastaus osuu väliin välillä -.

Muista tämä sääntö ottamalla vertailuun mitä tahansa kaksi alkulukua, esimerkiksi ja. Tiedätkö mitä muuta? Jaetaan nyt sillä. Vastauksemme on. Näin ollen teoria on oikea. Jos jaamme sillä, saatavamme on vähemmän kuin yksi, mikä puolestaan ​​vahvistaa sen, mikä on itse asiassa vähemmän.

Yritetään soveltaa tätä sääntöä tavallisiin murtolukuihin. Vertailla:

Jaa ensimmäinen murto toisella:

Lyhennetään koko ajan.

Tulos on pienempi, joten osinko on pienempi kuin jakaja, eli:

Olemme analysoineet kaikki mahdolliset vaihtoehdot jakeiden vertailuun. Kuten näet, niitä on 5:

• vähentäminen yhteiseksi nimittäjäksi;
• pelkistys yhteiseksi osoittajaksi;
• vähennys desimaalimurtoluvun muotoon;
• vähennyslasku;
• jako.

Oletko valmis harjoittelemaan? Vertaa murtolukuja parhaalla tavalla:

Verrataanpa vastauksia:

1. (- muunna desimaaliksi)
2. (jaa yksi murto toisella ja vähennä osoittajalla ja nimittäjällä)
3. (valitse koko osa ja vertaa murtolukuja saman osoittajan periaatteen mukaisesti)
4. (jaa murtoluku toisella ja vähennä osoittajalla ja nimittäjällä).

2. Tutkintojen vertailu

Kuvittele nyt, että meidän ei tarvitse verrata vain numeroita, vaan lausekkeita, joissa on aste ().

Tietysti voit helposti laittaa kyltin:

Loppujen lopuksi, jos korvaamme asteen kertolaskulla, saamme:

Tästä pienestä ja primitiivisestä esimerkistä seuraa sääntö:

Yritä nyt vertailla seuraavia: . Voit myös helposti laittaa kyltin:

Koska jos korvaamme eksponentioinnin kertolaskulla...

Yleensä ymmärrät kaiken, eikä se ole ollenkaan vaikeaa.

Vaikeuksia syntyy vain, kun verrattaessa tutkinnoilla on erilaiset perusteet ja indikaattorit. Tässä tapauksessa on yritettävä saada yhteinen perusta. Esimerkiksi:

Tietenkin tiedät, että tämä, vastaavasti, ilmaisu saa muodon:

Avataan sulut ja verrataan mitä tapahtuu:

Hieman erikoistapaus on, kun tutkinnon kanta () on pienempi kuin yksi.

Jos, niin kaksi astetta tai enemmän, se, jonka indikaattori on pienempi.

Yritetään todistaa tämä sääntö. Päästää.

Esittelemme jonkin luonnollisen luvun erotuksena välillä ja.

Loogista, eikö?

Kiinnitämme nyt huomiota tilaan - .

Vastaavasti: . Tämän seurauksena,.

Esimerkiksi:

Kuten ymmärrät, harkitsimme tapausta, jossa valtuuksien perusteet ovat samat. Katsotaan nyt milloin kanta on välillä -, mutta eksponentit ovat yhtä suuret. Täällä kaikki on hyvin yksinkertaista.

Muistetaan kuinka verrata tätä esimerkkiin:

Laskit tietysti nopeasti:

Siksi, kun kohtaat samanlaisia ​​ongelmia vertailua varten, pidä mielessä jokin yksinkertainen samankaltainen esimerkki, jonka voit nopeasti laskea, ja aseta tämän esimerkin perusteella merkit monimutkaisempaan.

Kun suoritat muunnoksia, muista, että jos kerrot, lisäät, vähennät tai jaat, kaikki toiminnot on tehtävä sekä vasemmalla että oikealla puolella (jos kerrot, sinun on kerrottava molemmat).

Lisäksi on aikoja, jolloin manipulointi on yksinkertaisesti kannattamatonta. Sinun on esimerkiksi verrattava. Tässä tapauksessa ei ole niin vaikeaa nostaa potenssiin ja järjestää merkki tämän perusteella:

Harjoitellaan. Vertaa tutkintoja:

Oletko valmis vertaamaan vastauksia? Näin minä tein:

1. - sama kuin
2. - sama kuin
3. - sama kuin
4. - sama kuin

3. Lukujen vertailu juurilla

Aloitetaan siitä, mitä ovat juuret? Muistatko tämän merkinnän?

Reaaliluvun juuri on luku, jolle pätee yhtäläisyys.

Juuret Pariton aste on olemassa negatiivisille ja positiivisille luvuille, ja jopa juuret- Vain positiivista.

Juuren arvo on usein ääretön desimaali, mikä vaikeuttaa sen tarkkaa laskemista, joten on tärkeää pystyä vertailemaan juuria.

Jos unohdit mitä se on ja minkä kanssa sitä syödään -. Jos muistat kaiken, opettelemme vertaamaan juuria askel askeleelta.

Oletetaan, että meidän on verrattava:

Vertaaksesi näitä kahta juuria, sinun ei tarvitse tehdä laskelmia, vain analysoida "juuren" käsitettä. Ymmärsitkö mistä puhun? Kyllä, tästä: muuten se voidaan kirjoittaa jonkin luvun kolmanneksi potenssiksi, joka on yhtä suuri kuin juurilauseke.

Mitä vielä? tai? Tätä voi tietysti verrata ilman vaikeuksia. Mitä suuremman luvun nostamme potenssiin, sitä suurempi arvo on.

Niin. Otetaan sääntö.

Jos juurien eksponentit ovat samat (meidän tapauksessamme tämä on), niin on tarpeen verrata juurilausekkeita (ja) - mitä suurempi juurinumero, sitä suurempi on juuren arvo yhtäläisillä indikaattoreilla.

Vaikea muistaa? Pidä sitten vain esimerkki mielessä ja. Sitä enemmän?

Juurien eksponentit ovat samat, koska juuri on neliö. Yhden luvun () juurilauseke on suurempi kuin toisen (), mikä tarkoittaa, että sääntö on todella totta.

Mutta entä jos radikaalilausekkeet ovat samat, mutta juurten asteet ovat erilaisia? Esimerkiksi: .

On myös aivan selvää, että suuremman asteen juuria poimittaessa saadaan pienempi luku. Otetaan esimerkiksi:

Merkitse ensimmäisen juuren arvo nimellä ja toisen - as, sitten:

Voit helposti nähdä, että näissä yhtälöissä pitäisi olla enemmän, joten:

Jos juurilausekkeet ovat samat(meidän tapauksessamme), ja juurien eksponentit ovat erilaisia(meidän tapauksessamme tämä on ja), sitten on tarpeen verrata eksponenttia(ja) - mitä suurempi eksponentti, sitä pienempi on annettu lauseke.

Kokeile vertailla seuraavia juuria:

Verrataanko tuloksia?

Olemme hoitaneet tämän onnistuneesti :). Toinen kysymys herää: entä jos olemme kaikki erilaisia? Ja aste ja radikaali ilmaisu? Kaikki ei ole niin vaikeaa, meidän on vain ... "päästä eroon" juuresta. Kyllä kyllä. Päästä eroon.)

Jos meillä on eri asteet ja radikaalilausekkeet, meidän täytyy löytää pienin yhteinen kerrannainen (lue osio aiheesta) juurieksponenteille ja nostaa molemmat lausekkeet potenssiin, joka on yhtä suuri kuin pienin yhteinen kerrannainen.

Että olemme kaikki sanoissa ja sanoissa. Tässä on esimerkki:

1. Tarkastelemme juurten indikaattoreita - ja. Niiden pienin yhteinen kerrannainen on .
2. Nostetaan molemmat lausekkeet potenssiin:
3. Muunnetaan lauseke ja laajennetaan sulkuja (lisätietoja luvussa):
4. Mietitään mitä olemme tehneet ja laitetaan kyltti:

4. Logaritmien vertailu

Joten hitaasti mutta varmasti lähestyimme kysymystä logaritmien vertailusta. Jos et muista, millainen eläin tämä on, suosittelen lukemaan ensin teoria osiosta. Lukea? Vastaa sitten joihinkin tärkeisiin kysymyksiin:

1. Mikä on logaritmin argumentti ja mikä on sen kanta?
2. Mikä määrittää, kasvaako vai pieneneekö funktio?

Jos muistat kaiken ja opit sen hyvin - aloitetaan!

Jotta voit verrata logaritmeja keskenään, sinun on tiedettävä vain 3 temppua:

• vähennys samalle pohjalle;
• samaan argumenttiin heittäminen;
• verrattuna kolmanteen numeroon.

Kiinnitä ensin huomiota logaritmin kantaan. Muista, että jos se on pienempi, funktio pienenee, ja jos se on suurempi, se kasvaa. Tähän arviomme perustuvat.

Harkitse logaritmien vertaamista, jotka on jo pelkistetty samaan kantaan tai argumenttiin.

Aluksi yksinkertaistetaan ongelmaa: lasketaan mukaan vertaillut logaritmit yhtäläiset perusteet. Sitten:

1. Funktio, kun se kasvaa aikavälillä from, tarkoittaa määritelmän mukaan sitten ("suora vertailu").
2. Esimerkki:- perusteet ovat samat, vastaavasti vertaamme argumentteja: , siksi:
3. Funktio at, pienenee aikavälillä from, mikä tarkoittaa määritelmän mukaan sitten ("käänteinen vertailu"). - kantaluvut ovat samat, vastaavasti vertaamme argumentteja: , logaritmien etumerkki on kuitenkin "käänteinen", koska funktio pienenee: .

Harkitse nyt tapauksia, joissa perusteet ovat erilaiset, mutta argumentit ovat samat.

1. Pohja on isompi.
   • . Tässä tapauksessa käytämme "käänteistä vertailua". Esimerkiksi: - argumentit ovat samat ja. Vertaamme emäksiä: logaritmien etumerkki on kuitenkin "käänteinen":
2. Pohja a on siinä välissä.
   • . Tässä tapauksessa käytämme "suoraa vertailua". Esimerkiksi:
   • . Tässä tapauksessa käytämme "käänteistä vertailua". Esimerkiksi:

Kirjoitetaan kaikki yleiseen taulukkomuotoon:

Vastaavasti, kuten jo ymmärsit, logaritmeja vertaillessamme meidän on saatava samaan kantaan tai argumenttiin, että tulemme samaan kantaan käyttämällä kaavaa, jolla siirrytään yhdestä kannasta toiseen.

Voit myös verrata logaritmeja kolmanteen numeroon ja sen perusteella päätellä mikä on vähemmän ja mikä enemmän. Mieti esimerkiksi, kuinka näitä kahta logaritmia verrataan?

Pieni vihje - vertailua varten logaritmi auttaa sinua paljon, jonka argumentti on sama.

Ajattelitko? Päätetään yhdessä.

Voimme helposti verrata näitä kahta logaritmia kanssasi:

Etkö tiedä miten? Katso edellä. Purimme sen vain osiin. Mikä merkki siellä tulee olemaan? Oikein:

Olen samaa mieltä?

Verrataan keskenään:

Sinun pitäisi saada seuraavat:

Yhdistä nyt kaikki johtopäätöksemme yhdeksi. Tapahtui?

5. Trigonometristen lausekkeiden vertailu.

Mikä on sini, kosini, tangentti, kotangentti? Mitä varten yksikköympyrä on tarkoitettu ja miten siitä saadaan selville trigonometristen funktioiden arvo? Jos et tiedä vastauksia näihin kysymyksiin, suosittelen lämpimästi tämän aiheen teorian lukemista. Ja jos tiedät, trigonometristen lausekkeiden vertaaminen toisiinsa ei ole vaikeaa sinulle!

Päivitelläänpä vähän muistiamme. Piirretään yksikkötrigonometrinen ympyrä ja siihen kirjoitettu kolmio. Onnistuitko? Merkitse nyt, millä puolella meillä on kosini ja millä sini, käyttämällä kolmion sivuja. (Tietenkin muistat, että sini on vastakkaisen puolen suhde hypotenuusaan ja viereisen kosini?). Oletko piirtänyt? Erinomainen! Viimeinen silaus - laita ylös, missä se on, missä ja niin edelleen. Laita alas? Huh) Vertaa mitä tapahtui minulle ja sinulle.

Huh huh! Aloitetaan nyt vertailu!

Oletetaan, että meidän on verrattava ja . Piirrä nämä kulmat käyttämällä vihjeitä laatikoihin (joihin olemme merkinneet minne) asettamalla pisteet yksikköympyrään. Onnistuitko? Niin minä tein.

Lasketaan nyt kohtisuoraa ympyrään merkityistä pisteistä akselille... Kumpi? Mikä akseli näyttää sinien arvon? Oikein,. Tässä on mitä sinun pitäisi saada:

Kun katsot tätä lukua, kumpi on suurempi: vai? Tietenkin, koska piste on pisteen yläpuolella.

Samalla tavalla vertaamme kosinien arvoa. Laskemme vain kohtisuoran akselille ... Oikea, . Vastaavasti katsomme, mikä piste on oikealla (hyvin tai korkeampi, kuten sinien tapauksessa), silloin arvo on suurempi.

Tiedät varmaan jo tangenttien vertailun, eikö niin? Sinun tarvitsee vain tietää, mikä on tangentti. Joten mikä on tangentti?) Se on oikein, sinin ja kosinin suhde.

Tangenttien vertaamiseksi piirrämme myös kulman, kuten edellisessä tapauksessa. Oletetaan, että meidän on verrattava:

Oletko piirtänyt? Nyt merkitsemme myös sinin arvot koordinaattiakselille. Huomioitu? Ja nyt osoita kosinin arvot koordinaattiviivalle. Tapahtui? Verrataan:

Analysoi nyt kirjoittamaasi. - jaamme suuren segmentin pieneen. Vastaus on arvo, joka on täsmälleen suurempi kuin yksi. Eikö?

Ja kun jaetaan pieni isolla. Vastaus on luku, joka on täsmälleen pienempi kuin yksi.

Joten kumman trigonometrisen lausekkeen arvo on suurempi?

Oikein:

Kuten nyt ymmärrät, kotangenttien vertailu on sama, vain päinvastoin: tarkastellaan, kuinka kosinin ja sinin määrittävät segmentit liittyvät toisiinsa.

Yritä itse verrata seuraavia trigonometrisiä lausekkeita:

Esimerkkejä.

Vastaukset.

LUKUJEN VERTAILU. KESKITASO.

Kumpi luvuista on suurempi: vai? Vastaus on ilmeinen. Ja nyt: vai? Ei enää niin ilmeistä, eihän? Ja niin: vai?

Usein sinun on tiedettävä, mikä numeerisista lausekkeista on suurempi. Esimerkiksi, kun ratkaiset epäyhtälöä, laita pisteet akselille oikeaan järjestykseen.

Nyt opetan sinua vertaamaan tällaisia ​​lukuja.

Jos sinun on verrattava lukuja ja laita niiden väliin merkki (johdettu latinalaisesta sanasta Versus tai lyhennetty vs. - vastaan):. Tämä merkki korvaa tuntemattoman epäyhtälömerkin (). Lisäksi suoritamme identtisiä muunnoksia, kunnes käy selväksi, mikä merkki tulee laittaa numeroiden väliin.

Lukujen vertailun ydin on seuraava: käsittelemme merkkiä ikään kuin se olisi jonkinlainen epätasa-arvomerkki. Ja lausekkeella voimme tehdä kaiken, mitä tavallisesti teemme epätasa-arvon kanssa:

• lisää mikä tahansa luku molempiin osiin (ja vähennä tietysti myös)
• "siirrä kaikki yhteen suuntaan", eli vähennä yksi verratuista lausekkeista molemmista osista. Vähennetyn lausekkeen tilalle jää: .
• kerro tai jaa samalla luvulla. Jos tämä luku on negatiivinen, epäyhtälömerkki käännetään: .
• Nosta molemmat puolet samalle teholle. Jos tämä teho on tasainen, sinun on varmistettava, että molemmilla osilla on sama merkki; jos molemmat osat ovat positiivisia, etumerkki ei muutu, kun se nostetaan potenssiin, ja jos ne ovat negatiivisia, se muuttuu päinvastaiseksi.
• ota saman asteen juuri molemmista osista. Jos erotamme parillisen asteen juuren, sinun on ensin varmistettava, että molemmat lausekkeet eivät ole negatiivisia.
• muut vastaavat muunnokset.

Tärkeää: on toivottavaa tehdä muunnoksia siten, että epäyhtälömerkki ei muutu! Toisin sanoen muunnosten aikana ei ole toivottavaa kertoa negatiivisella luvulla, ja on mahdotonta neliöinti, jos yksi osa on negatiivinen.

Katsotaanpa muutamia tyypillisiä tilanteita.

1. Eksponentointi.

Esimerkki.

Kumpi on enemmän: vai?

Ratkaisu.

Koska epäyhtälön molemmat puolet ovat positiivisia, päästään eroon juurista:

Esimerkki.

Kumpi on enemmän: vai?

Ratkaisu.

Tässäkin voidaan neliöinti, mutta tämä vain auttaa meitä pääsemään eroon neliöjuuresta. Tässä on tarpeen nostaa niin, että molemmat juuret katoavat. Tämä tarkoittaa, että tämän asteen eksponentin on oltava jaollinen sekä (ensimmäisen juuren asteella) että jaolla. Tämä luku on, joten nostamme sen potenssiin:

2. Kertominen konjugaatilla.

Esimerkki.

Kumpi on enemmän: vai?

Ratkaisu.

Kerro ja jaa jokainen ero konjugaattisummalla:

Ilmeisesti oikeanpuoleinen nimittäjä on suurempi kuin vasemmanpuoleinen nimittäjä. Siksi oikea murto-osa on pienempi kuin vasen:

3. Vähennys

Muistakaamme se.

Esimerkki.

Kumpi on enemmän: vai?

Ratkaisu.

Tietysti voisimme neliöidä kaiken, ryhmitellä uudelleen ja neliöidä uudelleen. Mutta voit tehdä jotain älykkäämpää:

Voidaan nähdä, että jokainen termi vasemmalla on pienempi kuin jokainen termi oikealla.

Vastaavasti kaikkien vasemman puolen termien summa on pienempi kuin oikean puolen kaikkien termien summa.

Mutta ole varovainen! Meiltä kysyttiin lisää...

Oikea puoli on suurempi.

Esimerkki.

Vertaa numeroita ja.

Ratkaisu.

Muista trigonometrian kaavat:

Tarkastetaan, missä neljänneksissä pisteet ovat ja makaa trigonometrisellä ympyrällä.

4. Jako.

Tässä käytetään myös yksinkertaista sääntöä: .

Tai kanssa, eli.

Kun merkki muuttuu: .

Esimerkki.

Tee vertailu: .

Ratkaisu.

5. Vertaa lukuja kolmanteen numeroon

Jos ja, niin (transitiivisuuslaki).

Esimerkki.

Vertailla.

Ratkaisu.

Ei verrata lukuja keskenään, vaan numeroihin.

Se on selvää.

Toisaalta, .

Esimerkki.

Kumpi on enemmän: vai?

Ratkaisu.

Molemmat luvut ovat suurempia, mutta pienempiä. Valitse luku siten, että se on suurempi kuin yksi mutta pienempi kuin toinen. Esimerkiksi, . Tarkistetaan:

6. Mitä tehdä logaritmeilla?

Ei mitään erityistä. Miten päästä eroon logaritmeista, kuvataan yksityiskohtaisesti aiheessa. Perussäännöt ovat:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Vasenoikeanuoli (\rm( ))\vasen[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Voimme myös lisätä säännön logaritmeista, joilla on eri kanta ja sama argumentti:

Se voidaan selittää seuraavasti: mitä suurempi pohja, sitä vähemmän sitä on nostettava saadakseen samanlaisen. Jos kanta on pienempi, niin päinvastoin, koska vastaava funktio on monotonisesti pienenevä.

Esimerkki.

Vertaa numeroita: i.

Ratkaisu.

Yllä olevien sääntöjen mukaan:

Ja nyt edistynyt kaava.

Logaritmien vertailun sääntö voidaan kirjoittaa myös lyhyemmin:

Esimerkki.

Kumpi on enemmän: vai?

Ratkaisu.

Esimerkki.

Vertaa kumpi luvuista on suurempi: .

Ratkaisu.

LUKUJEN VERTAILU. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

1. Eksponentointi

Jos epäyhtälön molemmat puolet ovat positiivisia, ne voidaan neliöidä päästäkseen eroon juuresta

2. Kertominen konjugaatilla

Konjugaatti on kerroin, joka täydentää lausekkeen neliöiden erotuksen kaavaa: - konjugaatti puolesta ja päinvastoin, koska .

3. Vähennys

4. Jako

klo tai se on

Kun merkki muuttuu:

5. Vertailu kolmanteen numeroon

Jos ja sitten

6. Logaritmien vertailu

Perussäännöt.

Määritelmä 1. Jos kaksi numeroa 1) a ja b kun jaetaan s anna sama loppuosa r, niin tällaisia ​​lukuja kutsutaan tasaetäisyyksiksi tai vertailukelpoinen modulossa s.

lausunto 1. Päästää s joku positiivinen luku. Sitten mikä tahansa numero a aina ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla voidaan esittää muodossa

Mutta nämä numerot saa kysymällä r yhtä kuin 0, 1, 2,..., s-1. Näin ollen sp+r=a ottaa kaikki mahdolliset kokonaisluvut.

Osoittakaamme, että tämä esitys on ainutlaatuinen. Teeskennetäänpä sitä s voidaan esittää kahdella tavalla a=sp+r ja a=s 1 s+r yksi . Sitten

(2)

Koska r 1 ottaa yhden luvuista 0,1, ..., s−1, sitten itseisarvo r 1 −r Vähemmän s. Mutta kohdasta (2) seuraa se r 1 −r useita s. Näin ollen r 1 =r ja s 1 =s.

Määrä r nimeltään miinus numeroita a modulo s(toisin sanoen numero r kutsutaan luvun jaon jäännökseksi a päällä s).

lausunto 2. Jos kaksi numeroa a ja b vertailukelpoinen modulo s, sitten a-b jaettuna s.

Todella. Jos kaksi numeroa a ja b vertailukelpoinen modulo s, sitten jaettuna s on sama loppu s. Sitten

jaettuna s, koska yhtälön (3) oikea puoli on jaettu s.

lausunto 3. Jos kahden luvun ero on jaollinen s, niin nämä luvut ovat vertailukelpoisia modulo s.

Todiste. Merkitse r ja r 1 loput divisioonasta a ja b päällä s. Sitten

Esimerkit 25≡39 (mod 7), -18≡14 (mod 4).

Ensimmäisestä esimerkistä seuraa, että 25 jaettuna 7:llä antaa saman jäännöksen kuin 39. Todellakin, 25=3 7+4 (loput 4). 39=3 7+4 (loput 4). Kun harkitset toista esimerkkiä, muista, että jäännöksen on oltava ei-negatiivinen luku, joka on pienempi kuin moduuli (eli 4). Sitten voidaan kirjoittaa: −18=−5 4+2 (jäännös 2), 14=3 4+2 (loput 2). Siksi −18 jaettuna 4:llä jättää jäännöksen 2 ja 14, kun se jaetaan 4:llä, jää jäännökseksi 2.

Modulo-vertailujen ominaisuudet

Omaisuus 1. Kenelle tahansa a ja s aina

vertailu ei aina ole välttämätöntä

missä λ on lukujen suurin yhteinen jakaja m ja s.

Todiste. Päästää λ lukujen suurin yhteinen jakaja m ja s. Sitten

Koska m(a-b) jaettuna k, sitten

Näin ollen

ja m on yksi luvun jakajista s, sitten

missä h = pqs.

Huomaa, että voimme sallia vertailut negatiivisissa moduuleissa, ts. vertailu a≡b mod( s) tarkoittaa tässä tapauksessa eroa a-b jaettuna s. Kaikki vertailujen ominaisuudet pysyvät voimassa negatiivisille moduuleille.