Cramer-matriisilause. Cramerin sääntö

Samalla määrällä yhtälöitä kuin tuntemattomien lukumäärällä matriisin päädeterminantilla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, järjestelmän kertoimet (tällaisille yhtälöille on ratkaisu ja niitä on vain yksi).

Cramerin lause.

Kun neliöjärjestelmän matriisin determinantti on nollasta poikkeava, se tarkoittaa, että järjestelmä on johdonmukainen ja sillä on yksi ratkaisu ja se voidaan löytää Cramerin kaavat:

missä Δ - systeemimatriisin determinantti,

Δ i on järjestelmämatriisin determinantti, jossa sen sijaan i Sarake sisältää oikeanpuoleisen sarakkeen.

Kun järjestelmän determinantti on nolla, se tarkoittaa, että järjestelmästä voi tulla yhteistyökykyinen tai yhteensopimaton.

Tätä menetelmää käytetään yleensä pienissä järjestelmissä, joissa on laajat laskelmat ja jos on tarpeen määrittää jokin tuntemattomista. Menetelmän monimutkaisuus johtuu siitä, että on laskettava monia determinantteja.

Cramer-menetelmän kuvaus.

On olemassa yhtälöjärjestelmä:

Kolmen yhtälön järjestelmä voidaan ratkaista käyttämällä Cramer-menetelmää, jota käsiteltiin edellä 2 yhtälöjärjestelmän osalta.

Muodostetaan determinantti tuntemattomien kertoimista:

Se tulee olemaan järjestelmän määräävä tekijä. Kun D≠0, mikä tarkoittaa, että järjestelmä on johdonmukainen. Luodaan nyt 3 lisädeterminantia:

,,

Ratkaisemme järjestelmän Cramerin kaavat:

Esimerkkejä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramerin menetelmällä.

Esimerkki 1.

Annettu järjestelmä:

Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä.

Ensin sinun on laskettava järjestelmämatriisin determinantti:

Koska Δ≠0, mikä tarkoittaa, että Cramerin lauseesta systeemi on johdonmukainen ja sillä on yksi ratkaisu. Laskemme lisädeterminantteja. Determinantti Δ1 saadaan determinantista Δ korvaamalla sen ensimmäinen sarake vapaiden kertoimien sarakkeella. Saamme:

Samalla tavalla saadaan determinantti Δ 2 järjestelmämatriisin determinantista korvaamalla toinen sarake vapaiden kertoimien sarakkeella:

menetelmät Kramer Ja Gauss- yksi suosituimmista ratkaisumenetelmistä SLAU. Lisäksi joissakin tapauksissa on suositeltavaa käyttää erityisiä menetelmiä. Istunto on päättynyt, ja nyt on aika toistaa tai hallita ne tyhjästä. Tänään tarkastelemme ratkaisua Cramerin menetelmällä. Loppujen lopuksi lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen Cramer-menetelmällä on erittäin hyödyllinen taito.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on yhtälöjärjestelmä, jonka muoto on:

Arvo asetettu x , jossa järjestelmän yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi, kutsutaan järjestelmän ratkaisuksi, a Ja b ovat todellisia kertoimia. Yksinkertainen järjestelmä, joka koostuu kahdesta yhtälöstä, joissa on kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista päässäsi tai ilmaisemalla toinen muuttuja toisen suhteen. Mutta SLAE:ssä voi olla paljon enemmän kuin kaksi muuttujaa (x:tä), eivätkä yksinkertaiset koulukäsittelyt riitä. Mitä tehdä? Ratkaise esimerkiksi SLAE:t Cramerin menetelmällä!

Joten anna järjestelmän koostua n yhtälöt kanssa n tuntematon.

Tällainen järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen matriisimuotoon

Tässä A – järjestelmän päämatriisi, X Ja B , vastaavasti tuntemattomien muuttujien sarakematriisit ja vapaat termit.

SLAE:n ratkaiseminen Cramerin menetelmällä

Jos päämatriisin determinantti ei ole nolla (matriisi on ei-singulaarinen), järjestelmä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä.

Cramerin menetelmän mukaan ratkaisu löydetään kaavoilla:

Tässä delta on päämatriisin determinantti, ja delta x nth – päämatriisin determinantista saatu determinantti korvaamalla n:s sarake vapaiden termien sarakkeella.

Tämä on Cramer-menetelmän koko ydin. Korvaa yllä olevilla kaavoilla löydetyt arvot x haluttuun järjestelmään, olemme vakuuttuneita ratkaisumme oikeellisuudesta (tai päinvastoin). Auttaaksemme sinua ymmärtämään olemuksen nopeasti, annamme alla esimerkin yksityiskohtaisesta SLAE-ratkaisusta Cramerin menetelmällä:

Vaikka et onnistuisikaan ensimmäisellä kerralla, älä lannistu! Pienellä harjoituksella alat murskata SLAU:ita kuin pähkinöitä. Lisäksi nyt on aivan turhaa kurkata muistikirjaa, ratkaista hankalia laskelmia ja kirjoittaa ydin ylös. Voit helposti ratkaista SLAE:t Cramerin menetelmällä verkossa, vain korvaamalla kertoimet valmiiseen muotoon. Voit kokeilla verkkoratkaisulaskuria esimerkiksi Cramerin menetelmällä tällä sivustolla.

Ja jos järjestelmä osoittautuu itsepäiseksi eikä anna periksi, voit aina kääntyä kirjoittajien puoleen saadaksesi apua esimerkiksi. Jos järjestelmässä on vähintään 100 tuntematonta, ratkaisemme sen varmasti oikein ja ajallaan!

Olkoon lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtä monta yhtälöä kuin riippumattomia muuttujia, ts. näyttää

Tällaisia ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä kutsutaan neliöllisiksi. Determinanttia, joka koostuu järjestelmän riippumattomien muuttujien kertoimista (1.5), kutsutaan järjestelmän päädeterminantiksi. Merkitsemme sitä kreikkalaisella D-kirjaimella.

. (1.6)

Jos päädeterminantti sisältää mielivaltaisen ( j th) sarake, korvaa ilmaisten järjestelmän ehtojen sarakkeella (1.5), niin saat n ylimääräiset karsinnat:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerin sääntö Lineaaristen yhtälöiden toisen asteen järjestelmien ratkaiseminen on seuraava. Jos järjestelmän (1.5) päädeterminantti D on eri kuin nolla, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löytyy kaavojen avulla:

(1.8)

Esimerkki 1.5. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä

.

Lasketaan järjestelmän päädeterminantti:

D¹0:sta lähtien järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löytyy kaavojen (1.8) avulla:

Täten,

Toimet matriiseilla

1. Matriisin kertominen luvulla. Toiminta matriisin kertomiseksi luvulla määritellään seuraavasti.

2. Jotta voit kertoa matriisin luvulla, sinun on kerrottava kaikki sen elementit tällä luvulla. Tuo on

. (1.9)

Esimerkki 1.6. .

Matriisin lisäys.

Tämä operaatio otetaan käyttöön vain saman järjestyksen matriiseille.

Kahden matriisin lisäämiseksi on tarpeen lisätä toisen matriisin vastaavat elementit yhden matriisin elementteihin:

(1.10)
Matriisilisäyksen operaatiolla on assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden ominaisuuksia.

Esimerkki 1.7. .

Matriisin kertolasku.

Jos matriisin sarakkeiden määrä A on sama kuin matriisirivien lukumäärä SISÄÄN, niin tällaisille matriiseille otetaan käyttöön kertolasku:

2

Näin ollen, kun kerrotaan matriisia A mitat m´ n matriisiin SISÄÄN mitat n´ k saamme matriisin KANSSA mitat m´ k. Tässä tapauksessa matriisielementit KANSSA lasketaan seuraavilla kaavoilla:

Ongelma 1.8. Etsi, jos mahdollista, matriisien tulo AB Ja B.A.:

Ratkaisu. 1) Työn löytämiseksi AB, tarvitset matriisirivejä A kerrotaan matriisin sarakkeilla B:

2) Työ B.A. ei ole olemassa, koska matriisin sarakkeiden määrä B ei vastaa matriisirivien määrää A.

Käänteinen matriisi. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä

Matriisi A- 1:tä kutsutaan neliömatriisin käänteiseksi A, jos tasa-arvo täyttyy:

mistä läpi minä tarkoittaa samaa kertaluokkaa olevaa identiteettimatriisia kuin matriisi A:

.

Jotta neliömatriisilla olisi käänteisarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että sen determinantti on eri kuin nolla. Käänteinen matriisi löydetään kaavalla:

, (1.13)

Missä A ij- algebralliset lisäykset elementteihin a ij matriiseja A(huomaa, että algebralliset lisäykset matriisin riveihin A sijaitsevat käänteismatriisissa vastaavien sarakkeiden muodossa).

Esimerkki 1.9. Etsi käänteismatriisi A- 1 matriisiin

.

Löydämme käänteisen matriisin kaavan (1.13) avulla, joka tapauksessa n= 3 on muotoa:

.

Etsitään det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Koska alkuperäisen matriisin determinantti on nollasta poikkeava, käänteinen matriisi on olemassa.

1) Etsi algebralliset komplementit A ij:

Käänteisen matriisin löytämisen helpottamiseksi olemme sijoittaneet algebralliset lisäykset alkuperäisen matriisin riveihin vastaaviin sarakkeisiin.

Saatuista algebrallisista summauksista muodostetaan uusi matriisi ja jaetaan se determinantilla det A. Siten saamme käänteisen matriisin:

Lineaaristen yhtälöiden neliölliset järjestelmät, joissa on nollasta poikkeava päädeterminantti, voidaan ratkaista käyttämällä käänteismatriisia. Tätä varten järjestelmä (1.5) kirjoitetaan matriisimuodossa:

Missä

Kerrotaan tasa-arvon molemmat puolet (1.14) vasemmalta A- 1, saamme ratkaisun järjestelmään:

, missä

Siten neliöjärjestelmän ratkaisun löytämiseksi sinun on löydettävä järjestelmän päämatriisin käänteismatriisi ja kerrottava se oikealla vapaiden termien sarakematriisilla.

Ongelma 1.10. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

käyttämällä käänteismatriisia.

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmä matriisimuotoon: ,

Missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien sarake ja - vapaiden termien sarake. Koska järjestelmän päätekijä , sitten järjestelmän päämatriisi A on käänteinen matriisi A-1. Käänteisen matriisin löytäminen A-1 , laskemme algebralliset komplementit matriisin kaikille elementeille A:

Saatuista luvuista muodostetaan matriisi (ja algebralliset lisäykset matriisin riveihin A kirjoita se asianmukaisiin sarakkeisiin) ja jaa se determinantilla D. Näin ollen olemme löytäneet käänteisen matriisin:

Löydämme ratkaisun järjestelmään kaavalla (1.15):

Täten,

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen tavallisella Jordanin eliminaatiomenetelmällä

Olkoon mielivaltainen (ei välttämättä toisen asteen) lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

(1.16)

Järjestelmään on löydettävä ratkaisu, ts. sellainen muuttujajoukko, joka täyttää järjestelmän (1.16) kaikki yhtälöt. Yleisessä tapauksessa järjestelmällä (1.16) voi olla paitsi yksi ratkaisu, myös lukemattomia ratkaisuja. Sillä ei ehkä myöskään ole ratkaisuja ollenkaan.

Tällaisten ongelmien ratkaisemisessa käytetään tunnettua koulukurssimenetelmää tuntemattomien eliminoimiseksi, jota kutsutaan myös tavalliseksi Jordanin eliminointimenetelmäksi. Tämän menetelmän ydin on, että yhdessä järjestelmän (1.16) yhtälöistä yksi muuttujista ilmaistaan ​​muiden muuttujien avulla. Tämä muuttuja korvataan sitten muilla järjestelmän yhtälöillä. Tuloksena on järjestelmä, joka sisältää yhden yhtälön ja yhden muuttujan vähemmän kuin alkuperäinen järjestelmä. Yhtälö, josta muuttuja ilmaistiin, muistetaan.

Tätä prosessia toistetaan, kunnes järjestelmään jää viimeinen yhtälö. Tuntemattomien eliminointiprosessin kautta joistakin yhtälöistä voi tulla todellisia identiteettejä, esim. Tällaiset yhtälöt suljetaan pois järjestelmästä, koska ne täyttyvät kaikille muuttujien arvoille eivätkä siksi vaikuta järjestelmän ratkaisuun. Jos tuntemattomien eliminointiprosessissa ainakin yhdestä yhtälöstä tulee yhtälö, jota ei voida täyttää millekään muuttujien arvolle (esimerkiksi), niin päätellään, että järjestelmällä ei ole ratkaisua.

Jos ratkaisun aikana ei esiinny ristiriitaisia ​​yhtälöitä, niin yksi sen jäljellä olevista muuttujista löytyy viimeisestä yhtälöstä. Jos viimeisessä yhtälössä on jäljellä vain yksi muuttuja, se ilmaistaan ​​numerona. Jos muut muuttujat jäävät viimeiseen yhtälöön, ne katsotaan parametreiksi ja niiden kautta ilmaistu muuttuja on näiden parametrien funktio. Sitten tapahtuu niin kutsuttu "käänteinen liike". Löytynyt muuttuja korvataan viimeksi muistettuun yhtälöön ja löydetään toinen muuttuja. Sitten kaksi löydettyä muuttujaa korvataan toiseksi viimeiseen muistiin tallennettuun yhtälöön ja löydetään kolmas muuttuja ja niin edelleen ensimmäiseen muistiin tallennettuun yhtälöön asti.

Tuloksena saamme ratkaisun järjestelmään. Tämä ratkaisu on ainutlaatuinen, jos löydetyt muuttujat ovat numeroita. Jos ensimmäinen löydetty muuttuja ja sitten kaikki muut riippuvat parametreista, järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja (jokainen parametrijoukko vastaa uutta ratkaisua). Kaavoja, joiden avulla voit löytää ratkaisun järjestelmään tietyn parametrijoukon mukaan, kutsutaan järjestelmän yleiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1.11.

x

Ensimmäisen yhtälön muistamisen jälkeen ja tuomalla samanlaiset termit toiseen ja kolmanteen yhtälöön, pääsemme järjestelmään:

Ilmaistaan y toisesta yhtälöstä ja korvaa se ensimmäisellä yhtälöllä:

Muistakaamme toinen yhtälö, ja ensimmäisestä löydämme z:

Työskentelemme taaksepäin, löydämme jatkuvasti y Ja z. Tätä varten korvaamme ensin viimeksi muistettuun yhtälöön, josta löydämme y:

.

Sitten korvaamme sen ensimmäiseen muistiin tallennettuun yhtälöön mistä löydämme sen x:

Ongelma 1.12. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä eliminoimalla tuntemattomat:

. (1.17)

Ratkaisu. Ilmaistaan ​​muuttuja ensimmäisestä yhtälöstä x ja korvaa se toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

.

Muistakaamme ensimmäinen yhtälö

Tässä järjestelmässä ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat ristiriidassa keskenään. Todellakin ilmaistaan y , saamme, että 14 = 17. Tämä yhtäläisyys ei päde millekään muuttujien arvolle x, y, Ja z. Tästä johtuen järjestelmä (1.17) on epäjohdonmukainen, ts. ei ole ratkaisua.

Pyydämme lukijoita tarkistamaan itse, että alkuperäisen järjestelmän päädeterminantti (1.17) on nolla.

Tarkastellaan järjestelmää, joka eroaa järjestelmästä (1.17) vain yhdellä vapaalla termillä.

Ongelma 1.13. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä eliminoimalla tuntemattomat:

. (1.18)

Ratkaisu. Kuten aiemmin, ilmaisemme muuttujan ensimmäisestä yhtälöstä x ja korvaa se toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

.

Muistakaamme ensimmäinen yhtälö ja esitä samanlaiset termit toisessa ja kolmannessa yhtälössä. Pääsemme järjestelmään:

Ilmaisee y ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla se toisella yhtälöllä , saamme identiteetin 14 = 14, joka ei vaikuta järjestelmän ratkaisuun ja siksi se voidaan sulkea pois järjestelmästä.

Viimeksi muistetussa tasa-arvossa muuttuja z pidämme sitä parametrina. Me uskomme. Sitten

Korvataan y Ja z ensimmäiseen muistettuun tasa-arvoon ja löytö x:

.

Siten järjestelmällä (1.18) on ääretön määrä ratkaisuja ja mikä tahansa ratkaisu löytyy kaavojen (1.19) avulla valitsemalla parametrille mielivaltainen arvo t:

(1.19)
Joten järjestelmän ratkaisut ovat esimerkiksi seuraavat muuttujajoukot (1; 2; 0), (2; 26; 14) jne. Kaavat (1.19) ilmaisevat järjestelmän (1.18) yleisen (mitä tahansa) ratkaisun ).

Siinä tapauksessa, että alkuperäisessä järjestelmässä (1.16) on riittävän suuri määrä yhtälöitä ja tuntemattomia, esitetty tavallinen Jordanin eliminointimenetelmä vaikuttaa hankalalta. Se ei kuitenkaan ole. Riittää, kun johdetaan algoritmi systeemikertoimien uudelleenlaskemiseksi yhdessä vaiheessa yleisessä muodossa ja formalisoidaan ongelman ratkaisu erityisten Jordan-taulukoiden muodossa.

Olkoon lineaaristen muotojen (yhtälöiden) järjestelmä:

, (1.20)
Missä x j- riippumattomat (haetut) muuttujat, a ij- vakiokertoimet
(minä = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Järjestelmän oikeat osat y i (minä = 1, 2,…, m) voivat olla joko muuttujia (riippuvaisia) tai vakioita. Tähän järjestelmään on löydettävä ratkaisuja poistamalla tuntemattomat.

Tarkastellaan seuraavaa operaatiota, jota kutsutaan tästä eteenpäin "yhdeksi askeleeksi tavallisista Jordanin eliminoinnista". mielivaltaisesta ( r th) yhtäläisyys ilmaisemme mielivaltaisen muuttujan ( xs) ja korvata kaikki muut yhtäläisyydet. Tämä on tietysti mahdollista vain, jos a rs¹ 0. Kerroin a rs jota kutsutaan ratkaisevaksi (joskus ohjaavaksi tai pääelementiksi).

Saamme seuraavan järjestelmän:

. (1.21)

From s- järjestelmän yhtäläisyys (1.21), löydämme sen jälkeen muuttujan xs(kun muut muuttujat on löydetty). S-. rivi muistetaan ja jätetään sen jälkeen pois järjestelmästä. Jäljelle jäävä järjestelmä sisältää yhden yhtälön ja yhden vähemmän riippumattoman muuttujan kuin alkuperäinen järjestelmä.

Lasketaan tuloksena olevan järjestelmän (1.21) kertoimet alkuperäisen järjestelmän (1.20) kertoimien kautta. Aloitetaan r yhtälö, joka muuttujan ilmaisemisen jälkeen xs jäljellä olevien muuttujien kautta se näyttää tältä:

Näin ollen uudet kertoimet r yhtälöt lasketaan seuraavilla kaavoilla:

(1.23)
Lasketaan nyt uudet kertoimet b ij(i¹ r) mielivaltaisesta yhtälöstä. Korvataan tätä varten muuttuja, joka ilmaistaan ​​(1.22) xs V i järjestelmän yhtälö (1.20):

Kun tuomme samanlaiset ehdot, saamme:

(1.24)
Yhtälöstä (1.24) saadaan kaavat, joilla lasketaan järjestelmän (1.21) jäljellä olevat kertoimet (poikkeuksena r yhtälö):

(1.25)
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien muunnos tavallisen Jordanin eliminoinnin menetelmällä esitetään taulukoiden (matriisien) muodossa. Näitä pöytiä kutsutaan "Jordan-taulukoiksi".

Siten ongelma (1.20) liittyy seuraavaan Jordan-taulukkoon:

Taulukko 1.1

Jordan-taulukko 1.1 sisältää vasemman otsikkosarakkeen, johon kirjoitetaan järjestelmän oikeat osat (1.20), ja ylemmän otsikkorivin, jolle kirjoitetaan riippumattomat muuttujat.

Muut taulukon elementit muodostavat järjestelmän (1.20) kertoimien päämatriisin. Jos kerrot matriisin A ylimmän otsikkorivin elementeistä koostuvaan matriisiin saat matriisin, joka koostuu vasemman otsikkosarakkeen elementeistä. Eli pohjimmiltaan Jordan-taulukko on matriisimuoto, jolla kirjoitetaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä: . Järjestelmä (1.21) vastaa seuraavaa Jordan-taulukkoa:

Taulukko 1.2

Salliva elementti a rs Korostamme ne lihavoituna. Muista, että Jordanin eliminoinnin yhden vaiheen toteuttamiseksi ratkaisevan elementin on oltava nollasta poikkeava. Aktivointielementin sisältävää taulukon riviä kutsutaan sallivaksi riviksi. Enable-elementin sisältävää saraketta kutsutaan enable-sarakkeeksi. Kun siirrytään tietystä taulukosta seuraavaan taulukkoon, yksi muuttuja ( xs) siirretään taulukon yläotsikkoriviltä vasempaan otsikkosarakkeeseen ja päinvastoin johonkin järjestelmän vapaista jäsenistä ( y r) siirtyy taulukon vasemmasta otsikkosarakkeesta ylimmälle otsikkoriville.

Kuvataan algoritmi kertoimien uudelleenlaskemiseksi siirryttäessä Jordan-taulukosta (1.1) taulukkoon (1.2), mikä seuraa kaavoista (1.23) ja (1.25).

1. Ratkaiseva elementti korvataan käänteisellä numerolla:

2. Ratkaisumerkkijonon muut elementit jaetaan ratkaisevaan elementtiin ja vaihdataan etumerkki päinvastaiseksi:

3. Tarkkuussarakkeen muut elementit on jaettu resoluutioelementtiin:

4. Alkiot, jotka eivät sisälly sallittuun riviin ja sallivaan sarakkeeseen, lasketaan uudelleen käyttämällä kaavoja:

Viimeinen kaava on helppo muistaa, jos huomaat, että osat muodostavat murto-osan , ovat risteyksessä i- voi ja r rivit ja j th ja s sarakkeet (selvittävä rivi, ratkaiseva sarake sekä rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa uudelleen laskettu elementti sijaitsee). Tarkemmin sanottuna, kun opettelet ulkoa kaavan voit käyttää seuraavaa kaaviota:

Kun suoritat Jordan-poikkeuksien ensimmäistä vaihetta, voit valita minkä tahansa sarakkeissa olevan taulukon 1.3 elementin ratkaisevaksi elementiksi x 1 ,…, x 5 (kaikki määritetyt elementit eivät ole nollia). Älä vain valitse aktivointielementtiä viimeisestä sarakkeesta, koska sinun on löydettävä riippumattomia muuttujia x 1 ,…, x 5. Valitsemme esimerkiksi kertoimen 1 muuttujan kanssa x 3 taulukon 1.3 kolmannella rivillä (aktivoiva elementti on lihavoitu). Kun siirrytään taulukkoon 1.4, muuttuja x Yläotsikkorivin 3 vaihdetaan vasemman otsikkosarakkeen (kolmas rivi) vakiolla 0. Tässä tapauksessa muuttuja x 3 ilmaistaan ​​muiden muuttujien kautta.

merkkijono x 3 (taulukko 1.4) voidaan ennalta muistamisen jälkeen jättää pois taulukosta 1.4. Kolmas sarake, jonka otsikkorivillä on nolla, on myös jätetty pois taulukosta 1.4. Asia on, että riippumatta tietyn sarakkeen kertoimista b i 3 kunkin yhtälön 0 kaikki vastaavat termit b i 3 järjestelmää on yhtä suuri kuin nolla. Siksi näitä kertoimia ei tarvitse laskea. Yhden muuttujan poistaminen x 3 ja muistaen yhden yhtälöistä, pääsemme taulukkoa 1.4 vastaavaan järjestelmään (viiva yliviivattuina x 3). Taulukossa 1.4 valitseminen ratkaisevaksi elementiksi b 14 = -5, siirry taulukkoon 1.5. Muista taulukon 1.5 ensimmäinen rivi ja sulje se pois taulukosta neljännen sarakkeen kanssa (nolla yläosassa).

Taulukko 1.5 Taulukko 1.6

Viimeisestä taulukosta 1.7 löydämme: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Korvaamalla johdonmukaisesti jo löydetyt muuttujat muistetuille riveille, löydämme jäljellä olevat muuttujat:

Järjestelmällä on siis äärettömän monta ratkaisua. Muuttuva x 5, mielivaltaisia ​​arvoja voidaan määrittää. Tämä muuttuja toimii parametrina x 5 = t. Todistimme järjestelmän yhteensopivuuden ja löysimme sen yleisen ratkaisun:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametrin antaminen t eri arvot, saamme äärettömän määrän ratkaisuja alkuperäiseen järjestelmään. Joten esimerkiksi järjestelmän ratkaisu on seuraava muuttujien joukko (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Tämän kappaleen hallitsemiseksi sinun on kyettävä paljastamaan determinantit "kaksi kertaa kaksi" ja "kolme kolmella". Jos olet huono karsintojen kanssa, ota oppitunti Kuinka determinantti lasketaan?

Ensin tarkastellaan lähemmin Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Minkä vuoksi? – Loppujen lopuksi yksinkertaisin järjestelmä voidaan ratkaista koulumenetelmällä, lukujaksolta lisäämisellä!

Tosiasia on, että vaikka joskus, tällainen tehtävä tapahtuu - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä käytetään monimutkaisemmassa tapauksessa - kolmen yhtälön järjestelmässä, jossa on kolme tuntematonta.

Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka kannattaa ratkaista Cramerin säännöllä!

Harkitse yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin, sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.

Gaussin menetelmä.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurien löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
Ja

Käytännössä yllä olevat tarkenteet voidaan merkitä myös latinalaisella kirjaimella.

Löydämme yhtälön juuret käyttämällä kaavoja:
,

Esimerkki 7

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalimurto ja pilkku. Pilkku on melko harvinainen vieras matematiikan käytännön tehtävissä, otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.

Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa päädyt todennäköisesti kauheisiin hienoihin murtolukuihin, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää yksinkertaisesti kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, ​​mutta samat murtoluvut syntyvät myös tässä.

Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.

;

;

Vastaus: ,

Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.

Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan ​​valmiilla kaavoilla, mutta yksi varoitus on kuitenkin olemassa. Kun käytät tätä menetelmää, pakollinen Osa tehtävän suunnittelusta on seuraava fragmentti: "Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen kunnioittamatta jättämisestä.

Ei olisi tarpeetonta tarkistaa, mikä voidaan kätevästi suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot järjestelmän jokaisen yhtälön vasemmalle puolelle. Tämän seurauksena pienellä virheellä sinun pitäisi saada numeroita, jotka ovat oikealla puolella.

Esimerkki 8

Esitä vastaus tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee tarkistus.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (esimerkki lopullisesta suunnittelusta ja vastauksesta oppitunnin lopussa).

Siirrytään tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta:

Löydämme järjestelmän päätekijän:

Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gaussin menetelmää.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia:
, ,

Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla:

Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta; vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päädeterminantin sarakkeita pitkin.

Esimerkki 9

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Ratkaisu: Ratkaistaan ​​järjestelmä Cramerin kaavoilla.

, mikä tarkoittaa, että järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: .

Itse asiassa tässäkään ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, koska ratkaisu noudattaa valmiita kaavoja. Mutta on pari kommenttia.

Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos sinulla ei ole tietokonetta käsilläsi, toimi näin:

1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" osan, sinun on heti tarkistettava Onko ehto kirjoitettu oikein?. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä laajennusta toisella rivillä (sarake).

2) Jos tarkistuksen tuloksena ei havaita virheitä, niin todennäköisesti tehtävän ehdoissa oli kirjoitusvirhe. Työskentele tässä tapauksessa rauhallisesti ja HUOLELLISESTI tehtävä loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadimme sen puhtaalle arkille päätöksen jälkeen. Murto-osan vastauksen tarkistaminen on tietysti epämiellyttävä tehtävä, mutta se on aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa antaa miinuksen kaikesta paskasta, kuten . Murtolukujen käsittely kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.

Jos sinulla on tietokone käsillä, käytä tarkistamiseen automaattista ohjelmaa, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on kannattavinta käyttää ohjelmaa heti (jopa ennen ratkaisun aloittamista); näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim.

Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä:
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nolilla sen rivin (sarakkeen) mukaan, jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.

Esimerkki 10

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (näyte lopullisesta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).

Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta, Cramerin kaavat kirjoitetaan samanlaisten periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin oppitunnilla Determinanttien ominaisuudet. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.

Järjestelmän ratkaiseminen käänteismatriisin avulla

Käänteismatriisimenetelmä on pohjimmiltaan erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).

Tämän osan opiskelemiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään matriisin käänteisarvo ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit toimitetaan selityksen edetessä.

Esimerkki 11

Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä

Ratkaisu: Kirjoitetaan järjestelmä matriisimuotoon:
, Missä

Katso yhtälö- ja matriisijärjestelmä. Luulen, että kaikki ymmärtävät periaatteen, jolla kirjoitamme elementtejä matriiseihin. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

Katsotaanpa ensin determinanttia:

Tässä determinantti on laajennettu ensimmäisellä rivillä.

Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan ​​tuntemattomien eliminointimenetelmällä (Gaussin menetelmä).

Nyt meidän täytyy laskea 9 alaikäistä ja kirjoittaa ne alaikäisten matriisiin

Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on sen rivin numero, jolla elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee:

Toisin sanoen kaksoisalaindeksi ilmaisee, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella ja esimerkiksi elementti on 3 rivillä, 2 sarakkeella

Ratkaisun aikana on parempi kuvata alaikäisten laskenta yksityiskohtaisesti, vaikka jollain kokemuksella voit tottua laskemaan niitä virheellisesti suullisesti.