Unified State Exam koulutustehtävät johdannaisista. Johdannaisten soveltaminen tenttitehtävissä

Derivaatan geometrinen merkitys X Y 0 tangentti α k – suoran kulmakerroin (tangentti) Derivaatan geometrinen merkitys: jos funktion y = f(x) kuvaajaan voidaan piirtää tangentti pisteessä, jossa on abskissa , ei-rinnakkainen y-akselin kanssa, niin se ilmaisee tangentin kulmakertoimen eli e. Siitä lähtien suoran yhtäläisyys on totta

X y Jos α 0. Jos α > 90°, niin k 90°, sitten k 90°, sitten k 90°, sitten k 90°, sitten k title="х y Jos α 0. Jos α > 90°, sitten k

X y Tehtävä 1. Kuvassa on funktion y = f(x) käyrä ja tämän graafin tangentti piirrettynä pisteeseen, jossa on abskissa -1. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x =

Y x x0x Kuvassa on funktion y = f(x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x 0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x 0. Vastaus: -0,25

Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla (-6;6). Etsi funktion f(x) kasvuvälit. Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa. B =...

Funktion johdannainen on yksi koulun opetussuunnitelman vaikeista aiheista. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisella ja selkeällä tavalla, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen kurinalaisuuteen esityksessä. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeammin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Sillä on suurin muutosnopeus, eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Kaavio näyttää kaiken kerralla, eikö niin? Kostjan tulot yli kaksinkertaistuivat kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matveyn tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus eli johdannainen, - erilainen. Matveyn tulojohdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti arvioimme helposti funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme tämän?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kaavio nousee (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n muuttuessa? On selvää, että samalla funktiolla eri kohdissa voi olla erilaisia ​​derivaattaarvoja - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Funktion derivaatta on merkitty .

Näytämme sinulle, kuinka se löytyy kaavion avulla.

Jonkin funktion kaavio on piirretty. Otetaan piste, jossa on abskissa. Piirretään tangentti funktion kuvaajalle tässä vaiheessa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktiokaavio nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kulman tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti, joka on piirretty funktion kuvaajaan tässä pisteessä.

Huomaa, että tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on yksi yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään se. Muistamme, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan graafin avulla tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​ongelmia löytyy usein matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta numeron alla.

On toinen tärkeä suhde. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistakaamme tämä kaava. Se ilmaisee derivaatan geometrisen merkityksen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla ja pienentyä toisilla ja eri nopeuksilla. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Pisteeseen piirretyn kaavion tangentti muodostaa terävän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Tämä tarkoittaa, että pisteen derivaatta on positiivinen.

Siinä vaiheessa toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Mitä maksimi- ja minimipisteissä tapahtuu? Näemme, että pisteissä (maksimipiste) ja (minimipiste) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste - maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan etumerkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös nolla, mutta sen etumerkki muuttuu “miinus”:sta “plussiksi”.

Johtopäätös: derivaatan avulla voimme saada selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio pienenee.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja vaihtaa etumerkin "plus":sta "miinus".

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin "miinus" -merkistä "plussiksi".

Kirjoita nämä johtopäätökset taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

On mahdollista, että funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä vaiheessa maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä on ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se pysyy positiivisena sellaisena kuin se oli.

Käy myös niin, että maksimi- tai minimipisteessä derivaatta ei ole olemassa. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee

Takaisin eteenpäin

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tyyppi: toistoa ja yleistämistä.

Oppitunnin muoto: oppitunti-konsultaatio.

Oppitunnin tavoitteet:

• koulutuksellinen: toistaa ja yleistää teoreettista tietämystä aiheista: "Dirivaatan geometrinen merkitys" ja "Dirivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen"; harkita kaikentyyppisiä B8-ongelmia, joita kohdataan matematiikan yhtenäisessä valtionkokeessa; tarjota opiskelijoille mahdollisuus testata tietojaan ratkaisemalla ongelmia itsenäisesti; opettaa täyttämään kokeen vastauslomake;
• kehittymässä: edistää viestinnän kehitystä tieteellisen tiedon, semanttisen muistin ja vapaaehtoisen huomion menetelmänä; sellaisten avaintaitojen muodostuminen, kuten vertailu, rinnakkain asettaminen, esineiden luokittelu, sopivien opetustehtävän ratkaisutapojen määrittäminen annettujen algoritmien perusteella, kyky toimia itsenäisesti epävarmuustilanteissa, seurata ja arvioida omaa toimintaansa, löytää ja poistaa syitä vaikeuksista;
• koulutuksellinen: kehittää opiskelijoiden kommunikatiivisia valmiuksia (viestintäkulttuuria, kykyä työskennellä ryhmässä); edistää itsekoulutuksen tarpeen kehittymistä.

Tekniikat: kehityskasvatus, ICT.

Opetusmenetelmät: sanallinen, visuaalinen, käytännöllinen, ongelmallinen.

Työmuodot: yksilö, etuosa, ryhmä.

Opetus- ja metodologinen tuki:

1. Algebra ja matemaattisen analyysin alku 11. luokka: oppikirja. Yleissivistävää koulutusta varten Instituutiot: perus- ja profiili. tasot / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); toimittanut A. B. Zhizhchenko. – 4. painos – M.: Koulutus, 2011.

2. Unified State Exam: 3000 tehtävää matematiikan vastauksilla. Kaikki ryhmän B/A.L tehtävät. Semenov, I.V. Yashchenko ja muut; toimittanut A.L. Semjonova, I.V. Jaštšenko. – M.: Kustantaja "Exam", 2011.

3. Avaa tehtäväpankki.

Varusteet ja materiaalit oppitunnille: projektori, näyttö, PC jokaiselle opiskelijalle, johon on asennettu esitys, muistion tuloste kaikille opiskelijoille (Liite 1) ja tulostaulukko ( Liite 2) .

Alustava valmistautuminen oppitunnille: kotitehtävänä oppilaita pyydetään toistamaan oppikirjan teoreettinen aineisto aiheista: "Dirivaatan geometrinen merkitys", "Dirivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen"; Luokka on jaettu ryhmiin (4 henkilöä kussakin), joissa kussakin on eri tasoisia opiskelijoita.

Oppitunnin selitys: Tämä oppitunti opetetaan 11. luokalla toisto- ja valmisteluvaiheessa yhtenäiseen valtionkokeeseen. Oppitunti on suunnattu teoreettisen materiaalin toistamiseen ja yleistämiseen, soveltamiseen tenttitehtävien ratkaisemiseen. Oppitunnin kesto - 1,5 tuntia .

Tätä oppituntia ei ole liitetty oppikirjaan, joten se voidaan opettaa minkä tahansa opetusmateriaalin parissa. Tämä oppitunti voidaan myös jakaa kahteen erilliseen oppituntiin ja opettaa viimeisiksi oppitunteiksi käsitellyistä aiheista.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

II. Tavoitteiden asettaminen oppitunti.

III. Toisto aiheesta "Johdannaisten geometrinen merkitys".

Suullinen frontaalinen työskentely projektorilla (diat nro 3-7)

Työskentely ryhmässä: ongelmien ratkaiseminen vihjeillä, vastauksilla, opettajakonsultoinnin kanssa (diat nro 8-17)

IV. Itsenäinen työ 1.

Opiskelijat työskentelevät yksilöllisesti PC:llä (diat nro 18-26) ja syöttävät vastauksensa arviointilomakkeelle. Tarvittaessa voit kääntyä opettajan puoleen, mutta tällöin opiskelija menettää 0,5 pistettä. Jos opiskelija suorittaa työn aikaisemmin, hän voi valita lisätehtäviä kokoelmasta, s. 242, 306-324 (lisätehtävät arvioidaan erikseen).

V. Keskinäinen todentaminen.

Oppilaat vaihtavat arviointiarkkeja, tarkistavat ystävän työt ja jakavat pisteitä (dia nro 27)

VI. Tiedon korjaus.

VII. Toisto aiheesta "Divannan soveltaminen funktioiden tutkimukseen"

Suun edessä työskentely projektorilla (diat nro 28-30)

Työskentely ryhmässä: ongelmien ratkaiseminen vihjeillä, vastauksilla, opettajakonsultoinnin kanssa (diat nro 31-33)

VIII. Itsenäinen työskentely 2.

Opiskelijat työskentelevät yksilöllisesti PC:llä (diat nro 34-46) ja syöttävät vastauksensa vastauslomakkeeseen. Tarvittaessa voit kääntyä opettajan puoleen, mutta tällöin opiskelija menettää 0,5 pistettä. Jos opiskelija suorittaa työn aikaisemmin, hän voi valita lisätehtäviä kokoelmasta, s. 243-305 (lisätehtävät arvioidaan erikseen).

IX. Vertaisarviointi.

Oppilaat vaihtavat arviointiarkkeja, tarkistavat ystävänsä työt ja jakavat pisteitä (dia nro 47).

X. Tiedon korjaus.

Oppilaat työskentelevät uudelleen ryhmissä, keskustelevat ratkaisusta ja korjaavat virheet.

XI. Yhteenveto.

Jokainen oppilas laskee pisteensä ja laittaa arvosanan pistetaulukkoon.

Oppilaat toimittavat opettajalle arviointilomakkeen ja ratkaisut lisäongelmiin.

Jokainen opiskelija saa muistion (dia nro 53-54).

XII. Heijastus.

Opiskelijoita pyydetään arvioimaan tietojaan valitsemalla yksi lauseista:

• Onnistuin!!!
• Meidän on ratkaistava vielä pari esimerkkiä.
• No, kuka tämän matematiikan keksi!

XIII. Kotitehtävät.

Kotitehtäviä varten oppilaita pyydetään valitsemaan tehtäviä kokoelmasta, s. 242-334, sekä avoimesta tehtäväpankista.

Kuvitellaan suoraa tietä, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuoraan tietä pitkin ja pystysuunnassa, tielinja on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:

Akseli on tietty nollakorkeus; elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.

Kun kuljemme eteenpäin tällaista tietä pitkin, liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liike abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liike ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Millainen arvo tämä voisi olla? Se on hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Todellakin, eri tienosuuksilla eteenpäin (x-akselia pitkin) yhden kilometrin verran nousemme tai laskemme eri metrimäärän suhteessa merenpintaan (y-akselia pitkin).

Merkitään edistystä (lue "delta x").

Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on määrän muutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, suuruusmuutos.

Tärkeää: lauseke on yksi kokonaisuus, yksi muuttuja. Älä koskaan erota ”deltaa” x:stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.

Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien viivaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Varmasti,. Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.

Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirryttyään löysimme itsemme korkeudesta, niin silloin. Jos päätepiste on alempi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.

Palataan "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka näyttää kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa, kun siirrytään eteenpäin yhden etäisyyden yksikön verran:

Oletetaan, että jollain tieosuudella kilometri eteenpäin ajettaessa tie nousee kilometriä ylöspäin. Tällöin kaltevuus tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie putoaisi km eteenpäin kulkiessaan m? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.

Katsotaanpa nyt mäen huipulta. Jos otat osuuden alkua puoli kilometriä ennen huippua ja lopun puoli kilometriä sen jälkeen, huomaat, että korkeus on melkein sama.

Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Kilometreillä paljon voi muuttua. On tarpeen harkita pienempiä alueita, jotta jyrkkyys voidaan arvioida paremmin ja tarkemmin. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen liikkuessasi yhden metrin, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos keskellä tietä on pylväs, voimme vain ohittaa sen. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!

Tosielämässä etäisyyksien mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti keksittiin äärettömän pieni, eli absoluuttinen arvo on pienempi kuin mikä tahansa numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Ja niin edelleen. Jos haluamme kirjoittaa, että määrä on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että voit jakaa sillä.

Infinitesimaalin vastainen käsite on äärettömän suuri (). Olet luultavasti jo törmännyt siihen, kun työskentelit eriarvoisuuksien parissa: tämä luku on modulo suurempi kuin mikään luku, jonka voit kuvitella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä suuremman luvun. Ja äärettömyys on vielä suurempi kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuri ja äärettömän pieni ovat toistensa käänteisiä, eli at ja päinvastoin: at.

Nyt palataan tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömälle pienelle segmentille, eli:

Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä korkeuden muutos on myös äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että ääretön pieni ei tarkoita yhtä kuin nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat täysin tavallisen luvun, esimerkiksi . Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kertaa suurempi kuin toinen.

Mitä varten tämä kaikki on? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa autoralliin, mutta opetamme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.

Johdannaisen käsite

Funktion derivaatta on funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde argumentin äärettömän pienelle lisäykselle.

Vähitellen matematiikassa he kutsuvat muutosta. Sitä, missä määrin argumentti () muuttuu, kun se liikkuu akselia pitkin, kutsutaan argumentin lisäys Kutsutaan kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut liikkuessa eteenpäin akselia pitkin etäisyyden verran funktion lisäys ja on nimetty.

Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain alkuluvulla oikeassa yläkulmassa: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:

Kuten analogisesti tien kanssa, tässä kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.

Voiko derivaatta olla yhtä suuri kuin nolla? Varmasti. Jos esimerkiksi ajetaan tasaisella vaakasuoralla tiellä, jyrkkyys on nolla. Ja se on totta, korkeus ei muutu ollenkaan. Näin on derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:

koska tällaisen funktion inkrementti on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa.

Muistetaanpa esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.

Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituudesta tulee äärettömän pieni. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (se ei pyri, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen

Tämä voidaan ymmärtää näin: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa pituuttamme merkityksettömästi.

On myös puhtaasti algebrallinen selitys: kärjen vasemmalla puolella funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten aiemmin havaitsimme, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisten ja positiivisten arvojen välillä on oltava. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.

Sama pätee kouruun (alue, jossa vasemmanpuoleinen toiminto pienenee ja oikealla kasvaa):

Hieman lisää lisäyksistä.

Joten vaihdamme argumentin suuruuteen. Mistä arvosta muutetaan? Mitä siitä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.

Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisäämme koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Mihin argumentti menee, niin myös funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:

Harjoittele lisäysten etsimistä:

1. Etsi funktion inkrementti pisteessä, jossa argumentin inkrementti on yhtä suuri.
2. Sama koskee funktiota tietyssä pisteessä.

Ratkaisut:

Eri kohdissa samalla argumentin lisäyksellä funktion inkrementti on erilainen. Tämä tarkoittaa, että derivaatta kussakin pisteessä on erilainen (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys on erilainen eri kohdissa). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:

Virtatoiminto.

Tehofunktio on funktio, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).

Lisäksi - missä tahansa määrin: .

Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:

Etsitään sen derivaatta kohdasta. Muistakaamme johdannaisen määritelmä:

Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?

Lisäys on tämä. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Siksi:

Johdannainen on yhtä suuri kuin:

Johdannainen on yhtä suuri kuin:

b) Tarkastellaan nyt neliöfunktiota (): .

Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:

Joten keksimme toisen säännön:

c) Jatkamme loogista sarjaa: .

Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoilla: avaa ensimmäinen hakasulke käyttämällä kaavaa summan kuution lyhennettyä kertolaskua varten tai kerro koko lauseke käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista menetelmistä.

Sain siis seuraavan:

Ja muistellaanpa se taas. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:

Saamme: .

d) Samanlaiset säännöt voidaan saada suurille tehoille:

e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää potenssifunktiolle, jolla on mielivaltainen eksponentti, ei edes kokonaisluku:

Sääntö voidaan muotoilla sanoilla: "tutkinto tuodaan eteenpäin kertoimena ja vähennetään sitten ."

Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:

1. (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);

Trigonometriset funktiot.

Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:

Ilmaisulla.

Opit todistuksen instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne sinun on läpäistävä Unified State Exam hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:

Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kuvaajan piste leikataan pois. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on. Tämä on "tarkoituksena".

Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimen avulla. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä Unified State -kokeessa.

Joten kokeillaan: ;

Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!

jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdelukua on.

a) Harkitse funktiota. Kuten tavallista, etsitään sen lisäys:

Käännetään sinien ero tuloksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""): .

Nyt johdannainen:

Tehdään korvaava: . Sitten infinitesimaalille se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:

Ja nyt muistamme sen ilmaisulla. Ja myös, entä jos äärettömän pieni määrä voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).

Joten saamme seuraavan säännön: sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:

Nämä ovat perusjohdannaisia ​​("taulukko"). Tässä ne ovat yhdessä listassa:

Myöhemmin lisäämme niihin muutaman, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.

Harjoitella:

1. Etsi funktion derivaatta pisteessä;
2. Etsi funktion derivaatta.

Ratkaisut:

Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.

Matematiikassa on funktio, jonka derivaatta mille tahansa arvolle on sama kuin itse funktion arvo samaan aikaan. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio

Tämän funktion kanta - vakio - on ääretön desimaaliluku, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.

Eli sääntö:

Erittäin helppo muistaa.

No, älkäämme menkö pitkälle, katsotaanpa heti käänteisfunktiota. Mikä funktio on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme perusta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi", ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mihin se vastaa? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Eksponentiaalinen ja luonnollinen logaritmi ovat ainutlaatuisen yksinkertaisia ​​funktioita derivaatan näkökulmasta. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on erilainen derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.

Erottamisen säännöt

Mitä säännöt? Taas uusi termi, taas?!...

Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.

Siinä kaikki. Mitä muuta tätä prosessia voi kutsua yhdellä sanalla? Ei derivaatta... Matemaatikot kutsuvat differentiaalia funktion samaksi inkrementiksi at. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaattamerkistä.

Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Olkoon se yksinkertaisempaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden derivaatat:

1. jossain kohdassa;
2. jossain kohdassa;
3. jossain kohdassa;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: otetaan käyttöön uusi toiminto ja etsitään sen lisäys:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktioiden ja derivaatat;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalisen funktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponentteja (oletko unohtanut mitä se on?).

Eli missä on joku luku.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:

Tätä varten käytämme yksinkertaista sääntöä: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy samana, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden derivaatat:

Vastaukset:

Logaritmisen funktion derivaatta

Se on samanlainen täällä: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää mielivaltaisen logaritmin, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on vähennettävä tämä logaritmi kantaan. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt kirjoitamme sen sijaan:

Nimittäjä on yksinkertaisesti vakio (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen saadaan hyvin yksinkertaisesti:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei juuri koskaan löydy Unified State Examinationista, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arctangentti. Näitä funktioita voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi tuntuu vaikealta, lue aihe "Logaritmit" niin selviät), mutta matemaattisesta näkökulmasta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetinhihna: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Tuloksena on yhdistelmäesine: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukan, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet käänteisessä järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: etsitään ensin luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten meille annetaan numero (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliöit sen minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi suoritamme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toiminnon ensimmäisestä tuloksella.

Voimme helposti tehdä samat vaiheet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliöit sen, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinin: . On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.

Toisin sanoen, monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Ensimmäisessä esimerkissä .

Toinen esimerkki: (sama asia). .

Viimeksi tekemämme toiminta on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottaminen on hyvin samanlaista kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

Muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaapatukkamme ja etsimme johdannaista. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäiseen esimerkkiin verrattuna se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Näyttää yksinkertaiselta, eikö?

Tarkastellaanpa esimerkeillä:

JOHDANNAIS. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Johdannainen funktiosta- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen, kun argumentti on äärettömän pieni:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaattamerkistä:

Summan johdannainen:

Tuotteen johdannainen:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion ja löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion ja löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestyksekkäästä Unified State Exam -kokeen läpäisystä, korkeakouluun pääsystä budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 RUR

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!

Suora y=3x+2 on tangentti funktion y=-12x^2+bx-10 kuvaajalle. Etsi b, koska tangentin pisteen abskissa on pienempi kuin nolla.

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=-12x^2+bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin jyrkkyys, eli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu samanaikaisesti molempiin tangentin kuvaajaan. funktio ja tangentti, eli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saadaan yhtälöjärjestelmä \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissaehdon mukaan tangenttipisteet ovat pienempiä kuin nolla, joten x_0=-1, sitten b=3+24x_0=-21.

Vastaus

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta segmentistä). Laske kuvion avulla F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaataista.

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=9 ja x=5. Kaaviosta päätämme, että esitetty kaareva puolisuunnikkaan kanta on 4 ja 3 ja korkeus 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y=f"(x) - funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervalliin (-4; 10). Etsi pienenevän funktion f(x) välit. Vastauksessasi, ilmoittaa niistä suurimman pituuden.

Ratkaisu

Kuten tiedetään, funktio f(x) pienenee niillä aikaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä derivaatta f"(x) on pienempi kuin nolla. Ottaen huomioon, että on tarpeen löytää niistä suurimman pituus, on kolme tällaista väliä luonnollisesti erottuu kuviosta: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Suurimman niistä - (5; 9) pituus on 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y=f"(x) - funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty välissä (-8; 7). Selvitä funktion f(x) maksimipisteiden lukumäärä, joka kuuluu intervalli [-6; -2].

Ratkaisu

Kaavio osoittaa, että funktion f(x) derivaatta f"(x) muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin (tällaisissa pisteissä on maksimi) tasan yhdessä pisteessä (välillä -5 ja -4) väliltä [ -6; -2 ] Siksi välissä [-6; -2] on täsmälleen yksi maksimipiste.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritelty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin 0.

Ratkaisu

Derivaatan yhtäläisyys pisteessä nollaan tarkoittaa, että tähän pisteeseen piirretyn funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme pisteet, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, on 5 ääripistettä.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Suora y=-3x+4 on yhdensuuntainen funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi tangenttipisteen abskissa.

Ratkaisu

Funktion y=-x^2+5x-7 kaavion suoran kulmakerroin mielivaltaisessa pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin y"(x_0). Mutta y"=-2x+5, mikä tarkoittaa y:tä" (x_0)=-2x_0+5. Ehdossa määritetyn suoran y=-3x+4 kulmakerroin on yhtä suuri kuin -3. Rinnakkaisilla viivoilla on samat jyrkkyyskertoimet, joten löydämme arvon x_0, jolla =- 2x_0 +5=-3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) käyrä ja pisteet -6, -1, 1, 4 on merkitty abskissalle. Missä näistä pisteistä derivaatta on pienin? Mainitse tämä kohta vastauksessasi.