សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយតារាងចំហៀងខាងស្តាំពិសេស។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរ

រចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃប្រភេទនេះមានទម្រង់៖ កន្លែងណា ទំ, q- ចំនួនថេរ (ដែលអាចមានទាំងពិត និងស្មុគស្មាញ)។ សម្រាប់សមីការបែបនេះនីមួយៗ គេអាចសរសេរពាក្យដែលត្រូវគ្នា។ សមីការដូចគ្នា។: ទ្រឹស្តីបទ៖ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous គឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅ y 0 (x) នៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ y 1 (x) នៃសមីការមិនដូចគ្នា៖ ខាងក្រោមនេះ យើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តពីរសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonhomogeneous ។ វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលថេរ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទូទៅ y 0 នៃសមីការ homogeneous ដែលជាប់ទាក់ទងត្រូវបានគេដឹង បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើ វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលថេរ. សូមឱ្យដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលំដាប់ទីពីរមានទម្រង់៖ ជំនួសឱ្យអចិន្រ្តៃយ៍ គ 1 និង គ 2 យើងនឹងពិចារណាមុខងារជំនួយ គ 1 (x) និង គ 2 (x) យើងនឹងស្វែងរកមុខងារទាំងនេះ ដំណោះស្រាយ បំពេញសមីការ inhomogeneous ជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំ f(x) មុខងារមិនស្គាល់ គ 1 (x) និង គ 2 (x) ត្រូវបានកំណត់ពីប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។ ផ្នែកខាងស្តាំ f(x) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នាគឺច្រើនតែជាពហុនាម អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឬត្រីកោណមាត្រ ឬបន្សំមួយចំនួននៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ក្នុងករណីនេះវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយដោយប្រើ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនច្បាស់លាស់. យើងសង្កត់ធ្ងន់ថាវិធីសាស្រ្តនេះដំណើរការសម្រាប់តែថ្នាក់មានកំណត់នៃមុខងារនៅផ្នែកខាងស្តាំដូចជា ក្នុងករណីទាំងពីរជម្រើសនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវតែឆ្លើយតបទៅនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានេះ។ ក្នុងករណីទី 1 ប្រសិនបើលេខ α នៅក្នុងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្របគ្នានឹងឫសនៃសមីការលក្ខណៈ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយពិសេសនឹងមានកត្តាបន្ថែម x សកន្លែងណា ស- ពហុគុណនៃឫស α នៅក្នុងសមីការលក្ខណៈ។ ក្នុងករណីទី 2 ប្រសិនបើលេខ α + βiស្របពេលជាមួយនឹងឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នឹងមានកត្តាបន្ថែម x. មេគុណដែលមិនស្គាល់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយការជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញសម្រាប់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃដើម។ គោលការណ៍​ជាន់​ខ្ពស់​ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ inhomogeneous គឺ ចំនួនទឹកប្រាក់មុខងារជាច្រើននៃទម្រង់ បន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក៏នឹងជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលត្រូវបានសាងសង់ដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់ពាក្យនីមួយៗនៅផ្នែកខាងស្តាំ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល y"" + y= បាប(២ x). ដំណោះស្រាយ។ ដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។ y"" + y= 0. ក្នុងករណីនេះឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈគឺជាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ៖ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការមិនដូចគ្នាម្តងទៀត។ យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាតាមទម្រង់ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃថេរ។ មុខងារ គ 1 (x) និង គ 2 (x) អាចរកបានពីប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖ យើងបង្ហាញពីដេរីវេ គ 1 " (x) ពីសមីការទីមួយ៖ ជំនួសសមីការទីពីរ យើងរកឃើញដេរីវេ គ 2 " (x): ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ ការរួមបញ្ចូលកន្សោមសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ គ 1 " (x) និង គ 2 " (x), យើង​ទទួល​បាន: កន្លែងណា ក 1 , ក 2 - ថេរនៃការរួមបញ្ចូល។ ឥឡូវនេះយើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ គ 1 (x) និង គ 2 (x) ចូលទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ y 1 (x) ហើយសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ y"" + y" −6y = 36x. ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ f(x)= ពូថៅ + ខ. ដូច្នេះ យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់ និស្សន្ទវត្ថុគឺ៖ ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល យើងទទួលបាន៖ សមីការចុងក្រោយគឺជាអត្តសញ្ញាណ ពោលគឺវាមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា xដូច្នេះ យើងធ្វើមេគុណនៃពាក្យដែលមានអំណាចដូចគ្នា។ xនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំ៖ ពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលយើងរកឃើញ៖ ក = −6, ខ= −1 ។ ជាលទ្ធផលដំណោះស្រាយពិសេសត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។ ចូរយើងគណនាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈជំនួយ៖ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់៖ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous ដើមត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត

អាំងតេក្រាលទូទៅនៃ DE ។

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ប៉ុន្តែអ្វីដែលគួរឱ្យអស់សំណើចនោះគឺថា ចម្លើយត្រូវបានដឹងរួចហើយ៖ កាន់តែច្បាស់ យើងក៏ត្រូវតែបន្ថែមថេរៈ អាំងតេក្រាលទូទៅគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរបំពាន។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous ។ មេរៀននេះគឺមានគោលបំណងសម្រាប់សិស្សានុសិស្សដែលចេះច្រើន ឬតិចរួចហើយនៅក្នុងប្រធានបទនេះ។ ប្រសិនបើអ្នកទើបតែចាប់ផ្តើមស្គាល់ឧបករណ៍បញ្ជាពីចម្ងាយ ឧ. ប្រសិនបើអ្នកជា ចានឆាំង ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចាប់ផ្តើមមេរៀនដំបូង៖ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ. ហើយ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​បាន​បញ្ចប់​ហើយ សូម​បោះបង់​ការ​យល់​ឃើញ​ដែល​អាច​កើត​ឡើង​ដែល​ថា​វិធី​សាស្រ្ដ​គឺ​ពិបាក។ ដោយសារតែគាត់សាមញ្ញ។

តើ​វិធី​នៃ​ការ​បំរែបំរួល​នៃ​ថេរ​ដែល​បំពាន​ត្រូវ​ប្រើ​ក្នុង​ករណី​អ្វីខ្លះ?

1) វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយ DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1. ដោយសារសមីការមានលំដាប់ទីមួយ ដូច្នេះថេរ (ថេរ) ក៏ជាលេខមួយ។

2) វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយមួយចំនួន សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរ. នៅទីនេះចំនួនថេរពីរ (ថេរ) ខុសគ្នា។

វាសមហេតុផលក្នុងការសន្មតថាមេរៀននឹងមានពីរកថាខណ្ឌ ... ។ ខ្ញុំបានសរសេរសំណើនេះ ហើយប្រហែល 10 នាទី ខ្ញុំកំពុងគិតយ៉ាងឈឺចាប់ថា តើអ្វីទៅដែលឆ្លាតផ្សេងទៀតដើម្បីបន្ថែមសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរដោយរលូនទៅកាន់ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនមិនមានគំនិតបន្ទាប់ពីថ្ងៃឈប់សម្រាកទេទោះបីជាវាហាក់ដូចជាខ្ញុំមិនបានបំពានអ្វីក៏ដោយ។ ដូច្នេះ​សូម​ចូល​ទៅ​កថាខណ្ឌ​ទីមួយ។

វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលថេរដោយបំពាន សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ

មុននឹងពិចារណាលើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត វាជាការចង់ស្គាល់អត្ថបទ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ. នៅក្នុងមេរៀននោះ យើងបានអនុវត្ត វិធីដំបូងដើម្បីដោះស្រាយ DE inhomogeneous នៃលំដាប់ទី 1 ។ ដំណោះស្រាយដំបូងនេះ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តជំនួសឬ វិធីសាស្រ្ត Bernoulli(មិនត្រូវច្រឡំជាមួយ សមីការ Bernoulli!!!)

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណា វិធីទីពីរដើម្បីដោះស្រាយ- វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពាន។ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍តែបីប៉ុណ្ណោះ ហើយខ្ញុំនឹងយកវាចេញពីមេរៀនខាងលើ។ ហេតុអ្វីក៏តិចម្ល៉េះ? ព្រោះតាមពិត ដំណោះស្រាយក្នុងវិធីទី ២ នឹងមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងដំណោះស្រាយក្នុងវិធីទី១។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តត្រូវបានគេប្រើតិចជាងវិធីសាស្ត្រជំនួស។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (Diffur ពីឧទាហរណ៍លេខ 2 នៃមេរៀន DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1)

ដំណោះស្រាយ៖សមីការនេះគឺមិនដូចគ្នាបេះបិទ និងមានទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

នៅដំណាក់កាលទី 1 វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញជាងនេះ៖ នោះគឺយើងកំណត់ផ្នែកខាងស្តាំឡើងវិញដោយឆោតល្ងង់ - ជំនួសឱ្យយើងសរសេរលេខសូន្យ។ សមីការដែលខ្ញុំនឹងហៅ សមីការជំនួយ.

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការជំនួយខាងក្រោម៖

មុនយើង សមីការដែលអាចបំបែកបាន។ដំណោះស្រាយដែល (ខ្ញុំសង្ឃឹមថា) លែងពិបាកសម្រាប់អ្នក៖

ដូច្នេះ៖ គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការជំនួយ។

នៅលើជំហានទីពីរ ជំនួសថេរនៃមួយចំនួន នៅឡើយមុខងារមិនស្គាល់ដែលអាស្រ័យលើ "x"៖

ដូច្នេះឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្ត - យើងផ្លាស់ប្តូរថេរ។ ម៉្យាងទៀត ថេរអាចជាមុខងារមួយចំនួនដែលយើងត្រូវស្វែងរកឥឡូវនេះ។

អេ ដើមសមីការមិនដូចគ្នា យើងនឹងធ្វើការជំនួស៖

ជំនួសក្នុងសមីការ៖

ពេលគ្រប់គ្រង - ល័ក្ខខ័ណ្ឌទាំងពីរនៅខាងឆ្វេងលុបចោល. ប្រសិនបើរឿងនេះមិនកើតឡើងទេអ្នកគួរតែរកមើលកំហុសខាងលើ។

ជាលទ្ធផលនៃការជំនួស សមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានត្រូវបានទទួល។ ញែកអថេរនិងរួមបញ្ចូល។

ពិតជាសំណាងមែន និទស្សន្តក៏ថយចុះដែរ៖

យើងបន្ថែមថេរ "ធម្មតា" ទៅមុខងារដែលបានរកឃើញ៖

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយ យើងរំលឹកអ្នកជំនួសរបស់យើង៖

មុខងារទើបតែរកឃើញ!

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ប្រសិនបើអ្នកបោះពុម្ពដំណោះស្រាយទាំងពីរ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញយ៉ាងងាយស្រួលថានៅក្នុងករណីទាំងពីរនេះ យើងបានរកឃើញអាំងតេក្រាលដូចគ្នា។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺនៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ។

ឥឡូវ​មាន​អ្វី​ស្មុគស្មាញ​ជាង​នេះ ខ្ញុំ​ក៏​នឹង​ធ្វើ​អត្ថាធិប្បាយ​លើ​ឧទាហរណ៍​ទីពីរ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (Diffur ពីឧទាហរណ៍លេខ 8 នៃមេរៀន DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1)

ដំណោះស្រាយ៖ចូរនាំសមីការទៅជាទម្រង់៖

កំណត់ផ្នែកខាងស្តាំទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការជំនួយ៖

អថេរដាច់ដោយឡែក និងរួមបញ្ចូល៖ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការជំនួយ៖

នៅក្នុងសមីការ inhomogeneous យើងនឹងធ្វើការជំនួស៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល:

ជំនួស និងចូលទៅក្នុងសមីការ inhomogeneous ដើម៖

ពាក្យ​ពីរ​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​លុប​ចោល ដែល​មាន​ន័យ​ថា​យើង​ដើរ​លើ​ផ្លូវ​ត្រូវ៖

យើងរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ អក្សរដ៏ឈ្ងុយឆ្ងាញ់ពីរូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងដំណោះស្រាយរួចហើយ ដូច្នេះយើងប្រើឧទាហរណ៍អក្សរ "a" និង "be"៖

នៅទីបំផុត៖

ឥឡូវនេះសូមមើលការជំនួស:

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរបំពាន សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីពីរ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ

ជារឿយៗគេបានឮមតិថា វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្តសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីពីរមិនមែនជារឿងងាយស្រួលនោះទេ។ ប៉ុន្តែខ្ញុំស្មានដូចខាងក្រោម៖ ភាគច្រើនទំនងជាវិធីសាស្ត្រនេះហាក់ដូចជាពិបាកសម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ព្រោះវាមិនមែនជារឿងធម្មតានោះទេ។ ប៉ុន្តែការពិតមិនមានការលំបាកពិសេសទេ - ដំណើរនៃការសម្រេចចិត្តគឺច្បាស់លាស់ តម្លាភាព និងអាចយល់បាន។ និងស្រស់ស្អាត។

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្ត វាគឺជាការចង់ឱ្យអាចដោះស្រាយសមីការ inhomogeneous នៃលំដាប់ទីពីរដោយជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយយោងទៅតាមទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទ។ Inhomogeneous DE នៃលំដាប់ទី 2. យើងចាំថាសមីការលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នាលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរមានទម្រង់៖

វិធីសាស្ត្រជ្រើសរើស ដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងមេរៀនខាងលើ ដំណើរការតែក្នុងចំនួនកំណត់នៃករណីប៉ុណ្ណោះ នៅពេលដែលពហុនាម និទស្សន្ត ស៊ីនុស កូស៊ីនុស នៅខាងស្តាំ។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលត្រូវធ្វើនៅពេលដែលនៅខាងស្តាំឧទាហរណ៍ ប្រភាគ លោការីត តង់សង់? ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះវិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរមកជួយសង្គ្រោះ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ

ដំណោះស្រាយ៖មានប្រភាគនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះ ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាវិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយមិនដំណើរការទេ។ យើងប្រើវិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត។

គ្មានអ្វីបង្ហាញពីព្យុះផ្គររន្ទះទេ ការចាប់ផ្តើមនៃដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់៖

ចូរយើងស្វែងរក ការសម្រេចចិត្តទូទៅដែលត្រូវគ្នា។ ដូចគ្នាសមីការ៖

យើងចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ៖ - ឫសស្មុគស្មាញផ្សំត្រូវបានទទួល ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

យកចិត្តទុកដាក់លើកំណត់ត្រានៃដំណោះស្រាយទូទៅ - ប្រសិនបើមានតង្កៀបបន្ទាប់មកបើកវា។

ឥឡូវនេះ យើងធ្វើល្បិចស្ទើរតែដូចគ្នាទៅនឹងសមីការលំដាប់ទីមួយ៖ យើងផ្លាស់ប្តូរចំនួនថេរ ដោយជំនួសពួកវាដោយមុខងារមិនស្គាល់។ នោះគឺ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ inhomogeneousយើងនឹងស្វែងរកសមីការក្នុងទម្រង់៖

កន្លែងណា - នៅឡើយមុខងារមិនស្គាល់។

វាមើលទៅដូចជាកន្លែងចាក់សំរាម ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងនឹងតម្រៀបអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង។

ដេរីវេនៃមុខងារដើរតួជាមិនស្គាល់។ គោលដៅរបស់យើងគឺស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរកឃើញត្រូវតែបំពេញទាំងសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។

តើ "ហ្គេម" មកពីណា? សត្វស្វានាំពួកគេ។ យើងមើលដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបានពីមុន ហើយសរសេរ៖

ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដោះស្រាយជាមួយផ្នែកខាងឆ្វេង។ តើមានអ្វីនៅខាងស្តាំ?

គឺជាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើម ក្នុងករណីនេះ៖

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីសំណួរនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ទ្រឹស្ដីនឹងត្រូវបានពិចារណារួមជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីបកស្រាយពាក្យដែលមិនអាចយល់បាន ចាំបាច់ត្រូវយោងទៅលើប្រធានបទនៃនិយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ (LDE) នៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃទម្រង់ y "" + p y " + q y \u003d f (x) ដែល p និង q ជាលេខបំពាន ហើយមុខងារដែលមានស្រាប់ f (x) គឺ បន្តនៅលើចន្លោះពេលរួមបញ្ចូល x ។

ចូរយើងឆ្លងទៅការបង្កើតទ្រឹស្តីបទដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ LIDE ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ទ្រឹស្តីបទដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ LDNU

ដំណោះស្រាយទូទៅដែលមានទីតាំងនៅចន្លោះ x នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃទម្រង់ y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ។ . . + f 0 (x) y = f (x) ជាមួយនឹងមេគុណនៃការរួមបញ្ចូលជាបន្តបន្ទាប់នៅលើ x ចន្លោះពេល f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) និងអនុគមន៍បន្ត f (x) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅ y 0 ដែលត្រូវគ្នានឹង LODE និងដំណោះស្រាយពិសេសមួយចំនួន y ~ ដែលសមីការមិនដូចគ្នាដើមគឺ y = y 0 + យ ~ ។

នេះបង្ហាញថាដំណោះស្រាយនៃសមីការលំដាប់ទីពីរបែបនេះមានទម្រង់ y = y 0 + y ~ ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក y 0 ត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងអត្ថបទស្តីពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ បន្ទាប់ពីនោះ គេគួរតែបន្តទៅនិយមន័យនៃ y ~ ។

ជម្រើសនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះ LIDE អាស្រ័យលើប្រភេទនៃមុខងារដែលមាន f (x) ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីគ្នានូវដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

នៅពេល f (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ nth f (x) = P n (x) វាដូចខាងក្រោមថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃ LIDE ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តនៃទម្រង់ y ~ = Q n (x ) x γ ដែល Q n ( x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n r គឺជាចំនួនឫសសូន្យនៃសមីការលក្ខណៈ។ តម្លៃនៃ y ~ គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) បន្ទាប់មកមេគុណដែលមាន ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយពហុនាម
Q n (x) យើងរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ពីសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ។

ដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការឆ្លងទៅដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ y "" - 2 y " = x 2 + 1 ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ គឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅដែលត្រូវគ្នានឹងសមីការ y 0 ឬដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ inhomogeneous y ~ នោះគឺ y = y 0 + y ~ ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ LNDE ហើយបន្ទាប់មកជាក់លាក់មួយ។

ចូរបន្តទៅការស្វែងរក y 0 ។ ការសរសេរសមីការលក្ខណៈនឹងជួយស្វែងរកឫសគល់។ យើងទទួលបាននោះ។

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

យើងបានរកឃើញថាឫសគឺខុសគ្នានិងពិតប្រាកដ។ ដូច្នេះយើងសរសេរ

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x ។

តោះស្វែងរក y ~ ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរបន្ទាប់មកឫសមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ y ​​~ នឹងត្រូវបាន

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x ដែលតម្លៃ \u200b\u200bof A, B, C យកមេគុណដែលមិនបានកំណត់។

ចូររកពួកវាពីសមភាពនៃទម្រង់ y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា៖

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " − 6 A x 2 − 4 B x − 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B − 6 A x 2 − 4 B x − 2 C = x 2 + 1 − 6 A x 2 + x (6 A − 4 B) + 2 B − 2 C = x 2 + 1

សមីការមេគុណដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា x យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃកន្សោមលីនេអ៊ែរ - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 ។ នៅពេលដោះស្រាយតាមវិធីណាមួយ យើងរកឃើញមេគុណ ហើយសរសេរ៖ A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 និង y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x ។

ធាតុនេះត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរដើមជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់តម្លៃ គ១និង គ២ដោយផ្អែកលើសមភាពនៃទម្រង់ y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ។

យើងទទួលបានវា៖

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y” (0) = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x − 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 − 3 4

យើងធ្វើការជាមួយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការនៃទម្រង់ C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ដែល C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 ។

ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Cauchy យើងមាននោះ។

y = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

ចម្លើយ៖ 3 2 + 1 2 អ៊ី 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

នៅពេលដែលអនុគមន៍ f (x) ត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃពហុនាមដែលមានដឺក្រេ n និងនិទស្សន្ត f (x) = P n (x) e a x បន្ទាប់មកពីទីនេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃ LIDE លំដាប់ទីពីរនឹងត្រូវបាន សមីការនៃទម្រង់ y ~ = e a x Q n ( x) · x γ ដែល Q n (x) គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ n ហើយ r គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈស្មើនឹង α ។

មេគុណដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Q n (x) ត្រូវបានរកឃើញដោយសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

ដំណោះស្រាយ

សមីការទូទៅ y = y 0 + y ~ ។ សមីការដែលបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវនឹង LOD y "" - 2 y " = 0 ។ ឧទាហរណ៍មុនបង្ហាញថាឫសរបស់វា k1 = 0និង k 2 = 2 និង y 0 = C 1 + C 2 e 2 x យោងតាមសមីការលក្ខណៈ។

គេអាចមើលឃើញថាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺ x 2 + 1 · e x ។ ពីទីនេះ LNDE ត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈ y ~ = e a x Q n (x) x γ ដែល Q n (x) ដែលជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ ដែល α = 1 និង r = 0 ពីព្រោះសមីការលក្ខណៈមិនមាន មានឫសស្មើនឹង 1 ។ ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​ទទួល​បាន​នោះ។

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C ។

A, B, C គឺជាមេគុណដែលមិនស្គាល់ ដែលអាចរកឃើញដោយសមភាព y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ។

យល់

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - − 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ − A x 2 − B x + 2 A − C = 1 x 2 + 0 x + 1

យើងគណនាសូចនាករសម្រាប់មេគុណដូចគ្នា និងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ពីទីនេះយើងរកឃើញ A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = − 3

ចម្លើយ៖គេអាចមើលឃើញថា y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x − x 2 + 0 x − 3 = − e x x 2 + 3 គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយរបស់ LIDE ហើយ y = y 0 + y = C 1 e 2 x − e x · x 2 + 3

នៅពេលដែលអនុគមន៍ត្រូវបានសរសេរជា f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , និង ក ១និង ក្នុង ១គឺជាលេខ បន្ទាប់មកសមីការនៃទម្រង់ y ~ = A cos β x + B sin β x x γ ដែល A និង B ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមេគុណមិនកំណត់ ហើយ r ចំនួននៃឫស conjugate ស្មុគ្រស្មាញដែលទាក់ទងនឹងសមីការលក្ខណៈ ស្មើនឹង ± i β ។ ក្នុងករណីនេះការស្វែងរកមេគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ។

ដំណោះស្រាយ

មុននឹងសរសេរសមីការលក្ខណៈ យើងរកឃើញ y 0 ។ បន្ទាប់មក

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

យើងមានឫសផ្សំស្មុគ្រស្មាញមួយគូ។ តោះផ្លាស់ប្តូរ និងទទួលបាន៖

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ឫសពីសមីការលក្ខណៈត្រូវបានចាត់ទុកថាជាគូផ្សំ ± 2 i បន្ទាប់មក f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ។ នេះបង្ហាញថាការស្វែងរក y ~ នឹងត្រូវបានធ្វើឡើងពី y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x ។ មេគុណ A និង B នឹងត្រូវបានស្វែងរកពីសមភាពនៃទម្រង់ y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ។

តោះបំប្លែង៖

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x))" = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x − 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (− 4 A cos (2 x) − 4 B sin (2 x)) x − 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

បន្ទាប់មកគេមើលឃើញថា

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (− 4 A cos (2 x) − 4 B sin (2 x)) x − 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ − 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើមេគុណនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃទម្រង់៖

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = − 3 4 B = 1 4

េដយ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = − 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x ។

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LIDE ដើមនៃលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាជា

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + − 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

នៅពេល f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) បន្ទាប់មក y ~ = e a x (L m (x) sin ( β x) + N m ( x ) cos (β x) x γ យើងមានថា r គឺជាចំនួននៃគូស្មុគ្រស្មាញនៃឫសដែលទាក់ទងទៅនឹងសមីការលក្ខណៈ ស្មើនឹង α ± i β ដែល P n (x), Q k (x), L m ( x) និង N m (x)គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n, k, m, ដែល m = m a x (n, k). ការស្វែងរកមេគុណ L m (x)និង N m (x)ត្រូវបានផលិតដោយផ្អែកលើសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ 4

រកដំណោះស្រាយទូទៅ y "" + 3 y " + 2 y = − e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x − 5) cos (5 x)) ។

ដំណោះស្រាយ

វាច្បាស់ណាស់ពីលក្ខខណ្ឌនោះ។

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x − 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

បន្ទាប់មក m = m a x (n, k) = 1 ។ យើងរកឃើញ y 0 ដោយដំបូងសរសេរសមីការលក្ខណៈនៃទម្រង់៖

k 2 − 3 k + 2 = 0 D = 3 2 − 4 1 2 = 1 k 1 = 3 − 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

យើងបានរកឃើញថាឫសគឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា។ ដូច្នេះ y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x ។ បន្ទាប់មក ចាំបាច់ត្រូវរកមើលដំណោះស្រាយទូទៅដោយផ្អែកលើសមីការមិនដូចគ្នា y ~ នៃទម្រង់

y ~ = e α x ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) x γ = = e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

វាត្រូវបានគេដឹងថា A, B, C គឺជាមេគុណ, r = 0, ដោយសារតែមិនមានគូនៃឫស conjugate ទាក់ទងទៅនឹងសមីការលក្ខណៈជាមួយ α ± i β = 3 ± 5 · i ។ មេគុណទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញពីសមភាពលទ្ធផល៖

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = − e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x − 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" − 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + ឃ) sin (5 x))) = − e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x − 5) cos (5 x))

ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ និងពាក្យស្រដៀងគ្នាផ្តល់ឱ្យ

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (− 3 A + 23 B − 10 C − 15 D) cos (5 x)) = = − e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

បន្ទាប់ពីធ្វើមេគុណស្មើគ្នា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃទម្រង់

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

ពីទាំងអស់វាធ្វើតាមនោះ។

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + ( x +1) sin(5x))

ចម្លើយ៖ឥឡូវនេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល៖

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ LDNU

ប្រភេទផ្សេងទៀតនៃមុខងារ f (x) សម្រាប់ដំណោះស្រាយផ្តល់សម្រាប់ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ៖

• ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នាដែល y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 ដែលជាកន្លែងដែល y ១និង y2គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់ឯករាជ្យនៃ LODE, ពី ១និង ពី 2ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអថេរបំពាន;
• ការទទួលយកជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• និយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍តាមរយៈប្រព័ន្ធនៃទម្រង់ C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) y 2 (x) = 0 C 1" (x) + y 1" (x) ) + C 2 "(x) y 2" (x) = f (x) និងការស្វែងរកមុខងារ C 1 (x)និង C 2 (x) តាមរយៈការរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ y ​​"" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ។

ដំណោះស្រាយ

យើងបន្តទៅការសរសេរសមីការលក្ខណៈ ដោយបានសរសេរពីមុន y 0, y "" + 36 y = 0 ។ ចូរយើងសរសេរនិងដោះស្រាយ៖

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = − 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

យើងមានថាកំណត់ត្រានៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងយកទម្រង់ y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការឆ្លងទៅនិយមន័យនៃអនុគមន៍ដេរីវេ C 1 (x)និង C2(x)យោងតាមប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ៖

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (cos (6 x))" + C 2" (x) ( sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 "(x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 អ៊ី 6 x

ការសម្រេចចិត្តត្រូវតែធ្វើឡើងទាក់ទងនឹង C 1 "(x)និង C2" (x)ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តណាមួយ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរ៖

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

សមីការនីមួយៗត្រូវតែរួមបញ្ចូល។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការលទ្ធផល៖

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) − 2 x − 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) − 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = − 1 6 sin (6 x) cos (6 x) − x − 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 អ៊ី 6 x sin (6 x) + C ៤

វាដូចខាងក្រោមថាដំណោះស្រាយទូទៅនឹងមានទម្រង់:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) − 2 x − 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) − 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + − 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x − 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = − 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

ចម្លើយ៖ y = y 0 + y ~ = − 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរ (LNDE-2) ជាមួយនឹងមេគុណថេរ (PC)

CLDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ $p$ និង $q$ មានទម្រង់ $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ដែល $f\left( x \right)$ គឺជាមុខងារបន្ត។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរខាងក្រោមគឺពិតទាក់ទងនឹង LNDE ទី 2 ជាមួយកុំព្យូទ័រ។

សន្មតថាមុខងារមួយចំនួន $U$ គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយតាមអំពើចិត្តនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា ចូរយើងសន្មតថាមុខងារមួយចំនួន $Y$ គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅ (OR) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$។ បន្ទាប់មក OR នៃ LHDE-2 គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយឯកជន និងទូទៅដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ពោលគឺ $y=U+Y$។

ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃលំដាប់ទី 2 LIDE គឺជាផលបូកនៃមុខងារ នោះគឺជា $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. ..+f_(r) \left(x\right)$ បន្ទាប់មកដំបូងអ្នកអាចរកឃើញ PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ ដែលត្រូវគ្នា នៃមុខងារ $f_(1) \left(x\right),f_(2)\left(x\right),...,f_(r)\left(x\right)$ ហើយបន្ទាប់ពីនោះសរសេរ LNDE-2 PD ជា $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $។

ដំណោះស្រាយនៃការបញ្ជាទិញទី 2 LNDE ជាមួយកុំព្យូទ័រ

ជាក់ស្តែង ទម្រង់នៃ PD $U$ មួយ ឬមួយផ្សេងទៀតនៃ LNDE-2 ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺអាស្រ័យលើទម្រង់ជាក់លាក់នៃផ្នែកខាងស្តាំរបស់វា $f\left(x\right)$។ ករណីសាមញ្ញបំផុតនៃការស្វែងរក PD នៃ LNDE-2 ត្រូវបានរៀបចំជាក្បួនបួនខាងក្រោម។

ច្បាប់លេខ 1 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDE-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ដែល $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $ នោះគឺវាត្រូវបានគេហៅថា a ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ $n$ ។ បន្ទាប់មក PR $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r)$, where $Q_(n) \left(x\right)$ គឺជាមួយផ្សេងទៀត ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រដូចគ្នានឹង $P_(n) \left(x\right)$, និង $r$ គឺជាចំនួនឫសសូន្យនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នា។ មេគុណនៃពហុនាម $Q_(n) \left(x\right)$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ (NC)។

ច្បាប់លេខ 2 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDE-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ដែល $P_(n) \left(x\right)$ គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ $n$។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ដែល $Q_(n ) \ left(x\right)$ គឺជាពហុនាមមួយទៀតនៃដឺក្រេដូចគ្នានឹង $P_(n) \left(x\right)$ ហើយ $r$ គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នា ស្មើនឹង $\alpha $ ។ មេគុណនៃពហុនាម $Q_(n) \left(x\right)$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ NK ។

ច្បាប់លេខ 3 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDE-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin left(\beta \cdot x \right) $ ដែល $a$, $b$ និង $\beta$ គឺជាលេខដែលគេស្គាល់។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $ ដែល $A$ និង $B$ ជាមេគុណមិនស្គាល់ ហើយ $r$ គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នានឹង $i\cdot \ បេតា $ ។ មេគុណ $A$ និង $B$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ NDT ។

ច្បាប់លេខ 4 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDE-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ដែល $P_(n) \left(x\right)$ គឺ ពហុនាមនៃដឺក្រេ $n$ និង $P_(m) \left(x\right)$ គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ $m$។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ដែល $Q_(s) \left(x\right) $ និង $ R_(s) \left(x\right)$ គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ $s$ លេខ $s$ គឺជាចំនួនអតិបរមានៃចំនួនពីរ $n$ និង $m$ ហើយ $r$ គឺជាចំនួននៃ ឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នា ស្មើនឹង $\alpha +i\cdot \beta $ ។ មេគុណនៃពហុនាម $Q_(s) \left(x\right)$ និង $R_(s) \left(x\right)$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ NK ។

វិធីសាស្រ្ត NK មាននៅក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ខាងក្រោម។ ដើម្បីស្វែងរកមេគុណដែលមិនស្គាល់នៃពហុនាមដែលជាផ្នែកមួយនៃដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា LNDE-2 វាចាំបាច់៖

• ជំនួស PD $U$ ដែលសរសេរជាទម្រង់ទូទៅ ទៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ LNDE-2;
• នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ LNDE-2 អនុវត្តភាពសាមញ្ញ និងលក្ខខណ្ឌក្រុមដែលមានថាមពលដូចគ្នា $x$;
• នៅក្នុងអត្តសញ្ញាណលទ្ធផល ស្មើមេគុណនៃពាក្យដែលមានអំណាចដូចគ្នា $x$ នៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។
• ដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរសម្រាប់មេគុណមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍ ១

កិច្ចការ៖ ស្វែងរក OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $។ រកផងដែរ PR ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង $y=6$ សម្រាប់ $x=0$ និង $y"=1$ សម្រាប់ $x=0$។

សរសេរ LODA-2 ដែលត្រូវគ្នា៖ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$ ។

សមីការលក្ខណៈ៖ $k^(2) -3\cdot k-18=0$ ។ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ៖ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$ ។ ឫសទាំងនេះគឺពិតប្រាកដ និងប្លែកពីគេ។ ដូច្នេះ OR នៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់៖ $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $ ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDE-2 នេះមានទម្រង់ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $។ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាមេគុណនៃនិទស្សន្តនៃនិទស្សន្ត $\alpha =3$ ។ មេគុណនេះមិនស្របគ្នានឹងឫសគល់ណាមួយនៃសមីការលក្ខណៈទេ។ ដូច្នេះ PR នៃ LNDE-2 នេះមានទម្រង់ $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $។

យើងនឹងស្វែងរកមេគុណ $A$, $B$ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ NK ។

យើងរកឃើញដេរីវេដំបូងនៃ CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(("))\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot ឆ្វេង( e^(3\cdot x) \right)^((")) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

យើងរកឃើញដេរីវេទីពីរនៃ CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x)\right)^((")) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

យើងជំនួសមុខងារ $U""$, $U"$ និង $U$ ជំនួសឱ្យ $y""$, $y"$ និង $y$ ទៅក្នុង LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x)) ក្នុងពេលតែមួយ ចាប់តាំងពីនិទស្សន្ត $e^(3\cdot x)$ ត្រូវបានរួមបញ្ចូល ជាកត្តានៅក្នុងសមាសធាតុទាំងអស់ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានលុបចោល។

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

យើងអនុវត្តសកម្មភាពនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពលទ្ធផល៖

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

យើងប្រើវិធីសាស្ត្រ NC ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមិនស្គាល់ពីរ៖

$-18 \cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះគឺ៖ $A=-2$, $B=-1$។

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x)$ សម្រាប់បញ្ហារបស់យើងមើលទៅដូចនេះ: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $ ។

OR $y=Y+U$ សម្រាប់បញ្ហារបស់យើងមើលទៅដូចនេះ៖ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \\ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ។

ដើម្បីស្វែងរក PD ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញដេរីវេ $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

យើងជំនួសដោយ $y$ និង $y"$ លក្ខខណ្ឌដំបូង $y=6$ សម្រាប់ $x=0$ និង $y"=1$ សម្រាប់ $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

យើងដោះស្រាយវា។ យើងរកឃើញ $C_(1) $ ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ហើយ $C_(2) $ ត្រូវបានកំណត់ពីសមីការទីមួយ៖

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc)(7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc)(1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ដូច្នេះ PD នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះគឺ៖ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $ ។

ការបង្រៀននិយាយអំពី LNDE - សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ។ រចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅ ដំណោះស្រាយនៃ LNDE ដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ដំណោះស្រាយនៃ LNDE ដែលមានមេគុណថេរ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃទម្រង់ពិសេសមួយត្រូវបានពិចារណា។ បញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការសិក្សាអំពីលំយោលដោយបង្ខំក្នុងរូបវិទ្យា វិស្វកម្មអគ្គិសនី និងអេឡិចត្រូនិច និងទ្រឹស្តីនៃការគ្រប់គ្រងដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

1. រចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 2 ។

ដំបូងពិចារណាសមីការមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់តាមអំពើចិត្ត៖

ដោយកំណត់ចំណាំ យើងអាចសរសេរបាន៖

ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងសន្មត់ថា មេគុណ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះគឺបន្តនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរនៅក្នុងដែនមួយចំនួនគឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយរបស់វា និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា។

ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យ Y ជាដំណោះស្រាយមួយចំនួននៃសមីការមិនដូចគ្នា

បន្ទាប់មក ការជំនួសដំណោះស្រាយនេះទៅក្នុងសមីការដើម យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ
- ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។
. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាអាចត្រូវបានសរសេរជា៖

ជាពិសេស សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនស្មើគ្នានៃលំដាប់ទី ២ រចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់៖

កន្លែងណា
គឺជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និង
- ដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយនៃសមីការ inhomogeneous ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា លីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា ហើយស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការមិនដូចគ្នានេះ។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានរកឃើញដោយការជ្រើសរើស។ វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនឹងត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងសំណួរខាងក្រោម។

2. វិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួល

នៅក្នុងការអនុវត្តវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាក្នុងទម្រង់៖

បន្ទាប់មកកំណត់មេគុណ គ ខ្ញុំមុខងារពី X, ដំណោះស្រាយនៃសមីការ inhomogeneous ត្រូវបានស្វែងរក:

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាដើម្បីស្វែងរកមុខងារ គ ខ្ញុំ (x) អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយសមីការ

យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ inhomogeneous នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ៖

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ៖

ពីទំនាក់ទំនងយើងរកឃើញមុខងារ អូ)

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញ B(x)

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous៖

ចម្លើយចុងក្រោយ៖

និយាយជាទូទៅ វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្តគឺសមរម្យសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដែលមិនស្មើគ្នា។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី ការស្វែងរកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលទាក់ទងគ្នាអាចជាកិច្ចការដ៏លំបាកមួយ វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានប្រើជាចម្បងសម្រាប់សមីការមិនដូចគ្នាជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

3. សមីការជាមួយផ្នែកខាងស្តាំនៃទម្រង់ពិសេសមួយ។

វាហាក់ដូចជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីតំណាងឱ្យទម្រង់នៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយអាស្រ័យលើទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ inhomogeneous ។

មានករណីដូចខាងក្រោមៈ

I. ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរ មានទម្រង់៖

តើពហុនាមដឺក្រេនៅឯណា ម.

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់៖

នៅទីនេះ សំណួរ(x) គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រដូចគ្នានឹង ទំ(x) ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមេគុណដែលមិនបានកំណត់ និង r- ចំនួនដែលបង្ហាញពីចំនួនដង  គឺជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នាបេះបិទ។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយសមីការ
.

យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការ inhomogeneous ដើម។

ចូរយើងប្រៀបធៀបផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការជាមួយនឹងទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។

យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់៖
កន្លែងណា

ទាំងនោះ។

ឥឡូវនេះយើងកំណត់មេគុណដែលមិនស្គាល់ ប៉ុន្តែនិង អេ.

ចូរយើងជំនួសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់ទូទៅទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃដើម។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយឯកជន៖

បន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរ៖

II. ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរ មានទម្រង់៖

នៅទីនេះ រ 1 (X)និង រ 2 (X)គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ ម 1 និង ម 2 រៀងៗខ្លួន។

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការ inhomogeneous នឹងមានទម្រង់៖

លេខណា rបង្ហាញចំនួនដង
គឺជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និង សំណួរ 1 (x) និង សំណួរ 2 (x) - ពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រភាគច្រើន មកន្លែងណា ម- ដឺក្រេធំបំផុត ម 1 និង ម 2 .

តារាងសង្ខេបនៃប្រភេទនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់

សម្រាប់ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃផ្នែកត្រឹមត្រូវ។

ចំណាំថាប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃកន្សោមនៃទម្រង់ដែលបានពិចារណាខាងលើ នោះដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃដំណោះស្រាយនៃសមីការជំនួយ ដែលនីមួយៗមានផ្នែកខាងស្តាំដែលត្រូវគ្នានឹងកន្សោមដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងបន្សំ។

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើសមីការមើលទៅដូចនេះ៖
បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការនេះនឹងត្រូវបាន
កន្លែងណា នៅ 1 និង នៅ 2 គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការជំនួយ

និង

ដើម្បីជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើតាមវិធីផ្សេង។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយសមីការ

យើងតំណាងឱ្យផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- អំពើបាប x).

យើងចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ៖

យើងទទួលបាន: I.e.

សរុប៖

ទាំងនោះ។ ដំណោះស្រាយពិសេសដែលចង់បានមានទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous:

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នា។

ឧទាហរណ៍ ១..ដោះស្រាយសមីការ

ចូរយើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា៖

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ inhomogeneous ក្នុងទម្រង់៖

ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់។

ជំនួសសមីការដើម យើងទទួលបាន៖

ដំណោះស្រាយពិសេសមើលទៅដូចនេះ៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ៖

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយសមីការ

សមីការលក្ខណៈ៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា៖

ដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការ inhomogeneous៖
.

យើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការមិនដូចគ្នាដើម៖

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា៖