ការចែកចាយបន្តឯកសណ្ឋានក្នុង MS EXCEL ។ ច្បាប់ឯកសណ្ឋាន និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យបន្ត

បញ្ហានេះត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងលម្អិតជាយូរមកហើយ ហើយវិធីសាស្ត្រនៃកូអរដោណេរាងប៉ូលដែលស្នើឡើងដោយ George Box, Mervyn Muller និង George Marsaglia ក្នុងឆ្នាំ 1958 ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយបំផុត។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានអថេរចៃដន្យចែកចាយដោយឯករាជ្យមួយគូជាមួយនឹងមធ្យម 0 និងបំរែបំរួល 1 ដូចខាងក្រោម៖

ដែល Z 0 និង Z 1 ជាតម្លៃដែលចង់បាន s \u003d u 2 + v 2 ហើយ u និង v គឺជាអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើផ្នែក (-1, 1) ដែលជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលលក្ខខណ្ឌ 0 ពេញចិត្ត< s < 1.
មនុស្សជាច្រើនប្រើរូបមន្តទាំងនេះដោយមិនគិតសូម្បីតែ ហើយមនុស្សជាច្រើនក៏មិនសង្ស័យថាមានអត្ថិភាពរបស់ពួកគេដែរ ដោយសារពួកគេប្រើការអនុវត្តន៍ដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ ប៉ុន្តែ​មាន​អ្នក​ដែល​មាន​ចម្ងល់​ថា “តើ​រូបមន្ត​នេះ​មក​ពី​ណា? ហើយហេតុអ្វីបានជាអ្នកទទួលបានគូនៃតម្លៃក្នុងពេលតែមួយ? ខាងក្រោមនេះខ្ញុំនឹងព្យាយាមផ្តល់ចម្លើយច្បាស់លាស់ចំពោះសំណួរទាំងនេះ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកពីអ្វីដែលដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ និងអនុគមន៍ច្រាស។ ឧបមាថាមានអថេរចៃដន្យមួយចំនួន ការចែកចាយដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ f(x) ដែលមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

នេះមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យនេះនឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល (A, B) គឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃផ្ទៃស្រមោល។ ហើយជាលទ្ធផល ផ្ទៃនៃផ្ទៃស្រមោលទាំងមូលគួរតែស្មើនឹងការរួបរួម ព្រោះក្នុងករណីណាក៏ដោយ តម្លៃនៃអថេរចៃដន្យនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងដែននៃអនុគមន៍ f ។
មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យគឺជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ។ ហើយក្នុងករណីនេះ ទម្រង់ប្រហាក់ប្រហែលរបស់វានឹងមានដូចខាងក្រោម៖

នៅទីនេះអត្ថន័យគឺថាតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យនឹងមានតិចជាង A ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ B. ហើយជាលទ្ធផលមុខងារមិនដែលថយចុះទេហើយតម្លៃរបស់វាស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល។

អនុគមន៍​បញ្ច្រាស​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែល​ត្រឡប់​អាគុយម៉ង់​នៃ​អនុគមន៍​ដើម​វិញ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​ហុច​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​ដើម​ទៅ​ក្នុង​វា។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ x 2 បញ្ច្រាសនឹងជាអនុគមន៍ទាញយកឫស សម្រាប់ sin (x) វាគឺជា arcsin (x) ។ល។

ដោយសារ​ម៉ាស៊ីន​បង្កើត​លេខ​ចៃដន្យ​ភាគច្រើន​ផ្ដល់​តែ​ការ​ចែកចាយ​ឯកសណ្ឋាន​នៅ​លទ្ធផល​ វា​ច្រើនតែ​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​បំប្លែង​វា​ទៅ​លេខ​ផ្សេង។ ក្នុងករណីនេះចំពោះ Gaussian ធម្មតា:

មូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តទាំងអស់សម្រាប់បំប្លែងការចែកចាយឯកសណ្ឋានទៅជាការចែកចាយផ្សេងទៀតគឺវិធីសាស្ត្របំប្លែងបញ្ច្រាស។ វាដំណើរការដូចខាងក្រោម។ មុខងារមួយត្រូវបានរកឃើញដែលបញ្ច្រាសទៅនឹងមុខងារនៃការចែកចាយដែលត្រូវការ ហើយអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើផ្នែក (0, 1) ត្រូវបានបញ្ជូនទៅវាជាអាគុយម៉ង់មួយ។ នៅទិន្នផល យើងទទួលបានតម្លៃជាមួយនឹងការចែកចាយដែលត្រូវការ។ ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខាងក្រោមនេះជារូបភាព។

ដូច្នេះ ផ្នែកឯកសណ្ឋានគឺដូចដែលវាត្រូវបានលាបពណ៌ដោយអនុលោមតាមការបែងចែកថ្មី ដែលត្រូវបានព្យាករលើអ័ក្សផ្សេងទៀតតាមរយៈមុខងារបញ្ច្រាស។ ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាអាំងតេក្រាលនៃដង់ស៊ីតេនៃការបែងចែក Gaussian គឺមិនងាយស្រួលក្នុងការគណនាដូច្នេះអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រខាងលើត្រូវបោកប្រាស់។

មានការចែកចាយ chi-square (ការចែកចាយ Pearson) ដែលជាការចែកចាយផលបូកនៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យចៃដន្យ k ឯករាជ្យ។ ហើយក្នុងករណីដែល k = 2 ការចែកចាយនេះគឺអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

នេះមានន័យថាប្រសិនបើចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមានសំរបសំរួល X និង Y ចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតាបន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីបំប្លែងកូអរដោនេទាំងនេះទៅជាប្រព័ន្ធប៉ូល (r, θ) ការ៉េនៃកាំ (ចម្ងាយពីដើមដល់ចំណុច) នឹងត្រូវបានចែកចាយដោយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ចាប់តាំងពីការេនៃកាំគឺជាផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោណេ (យោងទៅតាមច្បាប់ពីតាហ្គោរ)។ ដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃចំណុចបែបនេះនៅលើយន្តហោះនឹងមើលទៅដូចនេះ:

ដោយសារវាស្មើគ្នានៅគ្រប់ទិសទាំងអស់ មុំ θ នឹងមានការចែកចាយឯកសណ្ឋានក្នុងចន្លោះពី 0 ទៅ 2π ។ ការសន្ទនាក៏ជាការពិតផងដែរ៖ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធប៉ូលប៉ូល ដោយប្រើអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរ (មុំចែកចាយស្មើៗគ្នា និងកាំដែលចែកចាយដោយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) នោះកូអរដោនេចតុកោណនៃចំណុចនេះនឹងក្លាយជាអថេរចៃដន្យធម្មតាឯករាជ្យ។ ហើយការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលពីការចែកចាយឯកសណ្ឋានគឺមានភាពងាយស្រួលជាងមុនក្នុងការទទួលបាន ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របំប្លែងបញ្ច្រាសដូចគ្នា។ នេះគឺជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រប៉ូល Box-Muller ។
ឥឡូវនេះយើងទទួលបានរូបមន្ត។

(1)

ដើម្បីទទួលបាន r និង θ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតអថេរចៃដន្យពីរដែលចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើផ្នែក (0, 1) (តោះហៅពួកវាថា u និង v) ការចែកចាយមួយនៃ (សូមនិយាយថា v) ត្រូវតែបំប្លែងទៅជាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលទៅ ទទួលបានកាំ។ មុខងារចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលមើលទៅដូចនេះ៖

មុខងារបញ្ច្រាសរបស់វា៖

ដោយសារការចែកចាយឯកសណ្ឋានមានលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ការបំប្លែងនឹងដំណើរការដូចគ្នាជាមួយនឹងមុខងារ

វាធ្វើតាមរូបមន្តចែកចាយ chi-square ដែល λ = 0.5 ។ យើងជំនួស λ, v ទៅក្នុងអនុគមន៍នេះ ហើយទទួលបានការ៉េនៃកាំ ហើយបន្ទាប់មកកាំខ្លួនវា៖

យើងទទួលបានមុំដោយលាតសន្ធឹងផ្នែកឯកតាទៅ 2π:

ឥឡូវនេះយើងជំនួស r និង θ ទៅជារូបមន្ត (1) ហើយទទួលបាន៖

(2)

រូបមន្តទាំងនេះរួចរាល់ក្នុងការប្រើប្រាស់។ X និង Y នឹងឯករាជ្យ ហើយចែកចាយជាធម្មតាជាមួយនឹងបំរែបំរួលនៃ 1 និងមធ្យមនៃ 0។ ដើម្បីទទួលបានការចែកចាយជាមួយនឹងលក្ខណៈផ្សេងទៀត វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណលទ្ធផលនៃអនុគមន៍ដោយគម្លាតស្តង់ដារ ហើយបន្ថែមមធ្យម។
ប៉ុន្តែវាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកម្ចាត់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដោយបញ្ជាក់មុំមិនដោយផ្ទាល់, ប៉ុន្តែដោយប្រយោលតាមរយៈកូអរដោនេចតុកោណនៃចំណុចចៃដន្យនៅក្នុងរង្វង់មួយ។ បន្ទាប់មក តាមរយៈកូអរដោនេទាំងនេះ វានឹងអាចគណនាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកាំ ហើយបន្ទាប់មករកកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសដោយបែងចែក x និង y ដោយវារៀងគ្នា។ តើវាដំណើរការដោយរបៀបណា និងហេតុអ្វី?
យើងជ្រើសរើសចំនុចចៃដន្យពីការចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងរង្វង់នៃកាំឯកតា ហើយបញ្ជាក់ការេនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចនេះដោយអក្សរ s:

ជម្រើស​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ឡើង​ដោយ​កំណត់​កូអរដោនេ​ចតុកោណ x និង y ចៃដន្យ​ចែកចាយ​ស្មើ​គ្នា​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល (-1, 1) និង​បោះបង់​ចំណុច​ដែល​មិន​មែន​ជា​របស់​រង្វង់ ព្រម​ទាំង​ចំណុច​កណ្តាល​ដែល​មុំ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​កាំ មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់។ នោះគឺលក្ខខណ្ឌ 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

យើងទទួលបានរូបមន្តដូចនៅដើមអត្ថបទ។ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺការបដិសេធនៃចំណុចដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងរង្វង់។ នោះគឺប្រើតែ 78.5% នៃអថេរចៃដន្យដែលបានបង្កើត។ នៅលើកុំព្យូទ័រចាស់ៗ កង្វះមុខងារត្រីកោណមាត្រនៅតែជាអត្ថប្រយោជន៍ដ៏ធំមួយ។ ឥឡូវនេះ នៅពេលដែលការណែនាំរបស់ខួរក្បាលមួយគណនាស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងពេលដំណាលគ្នា ខ្ញុំគិតថាវិធីសាស្ត្រទាំងនេះនៅតែអាចប្រកួតប្រជែងបាន។

ដោយផ្ទាល់ ខ្ញុំមានសំណួរពីរទៀត៖

• ហេតុអ្វីបានជាតម្លៃនៃ s ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នា?
• ហេតុអ្វីបានជាផលបូកនៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យធម្មតាពីរត្រូវបានចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល?

ប្រសិនបើការបំប្លែងស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានធ្វើសម្រាប់អថេរចៃដន្យធម្មតា នោះមុខងារដង់ស៊ីតេនៃការ៉េរបស់វានឹងប្រែទៅជាស្រដៀងទៅនឹងអ៊ីពែបូឡា។ ហើយការបន្ថែមការេចំនួនពីរនៃអថេរចៃដន្យធម្មតាគឺជាដំណើរការស្មុគ្រស្មាញច្រើនជាងមុនដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលទ្វេ។ ហើយការពិតដែលថាលទ្ធផលនឹងជាការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដោយផ្ទាល់ វានៅតែមានសម្រាប់ខ្ញុំដើម្បីពិនិត្យមើលវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រជាក់ស្តែង ឬទទួលយកវាជា axiom ។ ហើយសម្រាប់អ្នកដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងប្រធានបទឱ្យកាន់តែជិត ដោយទាញយកចំណេះដឹងពីសៀវភៅទាំងនេះ៖

• Wentzel E.S. ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ
• Knut D.E. សិល្បៈនៃការសរសេរកម្មវិធី ភាគ ២

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍អំពីការអនុវត្តម៉ាស៊ីនបង្កើតលេខចៃដន្យដែលចែកចាយជាធម្មតានៅក្នុង JavaScript៖

មុខងារ Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; ត្រឡប់ r * v * dev + mean; ));) g = new Gauss(); // បង្កើតវត្ថុ a = g.next(); // បង្កើត​តម្លៃ​មួយ​គូ ហើយ​ទទួល​បាន​តម្លៃ​ទីមួយ b = g.next(); // ទទួលបានទីពីរ c = g.next(); // បង្កើតតម្លៃគូម្តងទៀត ហើយទទួលបានតម្លៃទីមួយ
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រមធ្យម (ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា) និង dev (គម្លាតស្តង់ដារ) គឺស្រេចចិត្ត។ ខ្ញុំទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថាលោការីតគឺជាធម្មជាតិ។

មុខងារចែកចាយក្នុងករណីនេះយោងទៅតាម (5.7) នឹងមានទម្រង់៖

ដែល៖ m ជា​ការ​រំពឹង​ទុក​តាម​គណិតវិទ្យា s ជា​គម្លាត​ស្តង់ដារ។

ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា Gaussian បន្ទាប់ពីគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ Gauss ។ ការពិតដែលថាអថេរចៃដន្យមានការចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ: m,, ត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: N (m, s), ដែល: m = a = M ;

ជាញឹកញយ នៅក្នុងរូបមន្ត ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានតាងដោយ ក . ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ N(0,1) នោះវាត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃធម្មតាធម្មតា ឬស្តង់ដារ។ មុខងារចែកចាយសម្រាប់វាមានទម្រង់៖

ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតាដែលត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងធម្មតាឬខ្សែកោង Gaussian ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាព 5.4 ។

អង្ករ។ ៥.៤. ដង់ស៊ីតេចែកចាយធម្មតា។

ការកំណត់លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យដោយដង់ស៊ីតេរបស់វាត្រូវបានពិចារណាលើឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៦.

អថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានផ្តល់ដោយដង់ស៊ីតេចែកចាយ៖ .

កំណត់ប្រភេទនៃការចែកចាយ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M(X) និងបំរែបំរួល D(X)។

ការប្រៀបធៀបដង់ស៊ីតេចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយ (5.16) យើងអាចសន្និដ្ឋានថាច្បាប់ចែកចាយធម្មតាជាមួយ m = 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M(X)=4, បំរែបំរួល D(X)=9។

គម្លាតស្តង់ដារ s=3 ។

មុខងារ Laplace ដែលមានទម្រង់៖

គឺទាក់ទងទៅនឹងមុខងារចែកចាយធម្មតា (5.17) ដោយទំនាក់ទំនង៖

F 0 (x) \u003d F (x) + 0.5 ។

មុខងារ Laplace គឺសេស។

Ф(-x)=-Ф(x)។

តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍ Laplace Ф(х) ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​តារាង​និង​យក​ពី​តារាង​ដោយ​យោង​តាម​តម្លៃ​នៃ x (មើល​ឧបសម្ព័ន្ធ​ទី 1)។

ការចែកចាយធម្មតានៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងនៅក្នុងការពិពណ៌នានៃការពិត វារីករាលដាលយ៉ាងខ្លាំងនៅក្នុងបាតុភូតធម្មជាតិចៃដន្យ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ជាញឹកញាប់មានអថេរចៃដន្យដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងជាក់លាក់ជាលទ្ធផលនៃការបូកសរុបនៃពាក្យចៃដន្យជាច្រើន។ ជាពិសេសការវិភាគនៃកំហុសរង្វាស់បង្ហាញថាពួកគេគឺជាផលបូកនៃប្រភេទផ្សេងៗនៃកំហុស។ ការអនុវត្តបង្ហាញថាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសរង្វាស់គឺនៅជិតនឹងច្បាប់ធម្មតា។

ដោយប្រើមុខងារ Laplace មនុស្សម្នាក់អាចដោះស្រាយបញ្ហានៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងគម្លាតដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអថេរចៃដន្យធម្មតា។

ពិចារណាការចែកចាយបន្តឯកសណ្ឋាន។ ចូរយើងគណនាការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលតាមគណិតវិទ្យា។ ចូរយើងបង្កើតតម្លៃចៃដន្យដោយប្រើមុខងារ MS EXCELRAND() និងការបន្ថែមកញ្ចប់វិភាគ យើងនឹងវាយតម្លៃមធ្យម និងគម្លាតស្តង់ដារ។

ចែកចាយស្មើៗគ្នា។នៅចន្លោះពេល អថេរចៃដន្យមាន៖

តោះបង្កើតអារេនៃ 50 លេខពីជួរ)