ವಿವರವಾದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

I. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.1. ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ X, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ ವೈಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುರುತಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು y = 5 ln x ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬದಲಿ ವೈ"ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ y = 5 ln x– ಕಾರ್ಯವು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

2. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y" - 5y" +6y = 0. ಕಾರ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ, .

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , - ಗುರುತನ್ನು.

ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದುಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮದಂತೆ ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಾದ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

xdx + ydy = 0, ವೇಳೆ ವೈ= 4 ನಲ್ಲಿ X = 3.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಯಾವುದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ .

- ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ವೈ = 4 ನಲ್ಲಿ X ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ = 3 ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 2 +y 2 = 5 2 .

ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

2. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ C ಯ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೇರ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

ನೀವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆ y" = f(x,y)ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು y(x 0) = y 0, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು y" = f(x,y), ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು, y(x 0) = y 0, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು y" = f(x,y)ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ y(x 0) = y 0, ಸಮೀಕರಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ y" = f(x,y)ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ M 0 (x 0,y 0).

II. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

2.1. ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ F(x,y,y") = 0.

ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣ y" = f(x,y)ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅದು 3x=3x

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ C ಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y(1)=1ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು x = 1, y = 1ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ C=0.

ಹೀಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. C=0- ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ.

2.2 ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ: y"=f(x)g(y)ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಮೂಲಕ, ಅಲ್ಲಿ f(x)ಮತ್ತು g(y)- ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಅವರಿಗೆ ವೈ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ , ಸಮೀಕರಣ y"=f(x)g(y)ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ವೈಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, "Eq ನಲ್ಲಿ. y"=f(x)g(yಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ."

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮೂಲಕ X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ G(y) = F(x) + Cಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜಿ(ವೈ)ಮತ್ತು F(x)- ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು f(x), ಸಿಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.

ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y" = xy

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೈ"ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

2yy" = 1- 3x 2, ವೇಳೆ y 0 = 3ನಲ್ಲಿ x 0 = 1

ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಇಲ್ಲಿಂದ

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು x 0 = 1, y 0 = 3ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ 9=1-1+ಸಿ, ಅಂದರೆ ಸಿ = 9.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಇರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ M(2;-3)ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಪರಿಹಾರ. ಷರತ್ತು ಪ್ರಕಾರ

ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, x = 2ಮತ್ತು y = - 3ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

2.3 ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ y" = f(x)y + g(x)

ಎಲ್ಲಿ f(x)ಮತ್ತು g(x)- ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಒಂದು ವೇಳೆ g(x)=0ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: y" = f(x)y

ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ y" = f(x)y + g(x)ಭಿನ್ನಜಾತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y" = f(x)yಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಅಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಳೆ ಸಿ =0,ನಂತರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ y = 0ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ y" = kyಎಲ್ಲಿ ಕೆಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: .

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y" = f(x)y + g(x)ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ,

ಆ. ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ y" = kx + b,

ಎಲ್ಲಿ ಕೆಮತ್ತು ಬಿ- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y" + 2y +3 = 0

ಪರಿಹಾರ. ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ y" = -2y - 3ಎಲ್ಲಿ k = -2, b= -3ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2.4 ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು y" = f(x)y + g(x)ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ y=uv, ಎಲ್ಲಿ ಯುಮತ್ತು v- ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ X. ಈ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

y" = f(x)y + g(x)

1. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ y=uv.

2. ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ y" = u"v + uv"

3. ಬದಲಿ ವೈಮತ್ತು ವೈ"ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ಅಥವಾ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಿ ಯುಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ:

5. ಬ್ರಾಕೆಟ್ನಿಂದ, ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಎಲ್ಲಿ . .

6. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ vಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (ಹಂತ 4 ರಿಂದ):

ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:

7. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ: , ಅಂದರೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y" = -2y +3 = 0ಒಂದು ವೇಳೆ y =1ನಲ್ಲಿ x = 0

ಪರಿಹಾರ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ y=uv,.y" = u"v + uv"

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ವೈಮತ್ತು ವೈ"ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಯು ಆವರಣದ ಹೊರಗೆ

ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ v = v(x)

ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ v:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ vನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ:

ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ u = u (x,c) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ y = 1ನಲ್ಲಿ x = 0:

III. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

3.1. ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: F(x,y,y",y") = 0

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2.

3.2. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y" + py" +qy = 0, ಎಲ್ಲಿ ಪಮತ್ತು q- ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

1. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ: y" + py" +qy = 0.

2. ಸೂಚಿಸುವ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ ವೈ"ಮೂಲಕ ಆರ್ 2, ವೈ"ಮೂಲಕ ಆರ್, ವೈ 1 ರಲ್ಲಿ: r 2 + pr +q = 0

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ನಮ್ಮ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸೇವೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನೀವು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಏಕರೂಪದ, ಏಕರೂಪದ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ರೇಖಾತ್ಮಕ, ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಕ್ರಮ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನೀವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅನೇಕ ಜನರು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ: ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಏಕೆ ಅಗತ್ಯ? ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ವೈದ್ಯಕೀಯ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನಿಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಯೋಜನಗಳು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಸೇವೆ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸೇವೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು "ಪರಿಹಾರ" ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ಸೇವೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನೀವು 100% ಖಚಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಸೇವೆಯೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, y ಕಾರ್ಯವು x ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪದನಾಮವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y(t) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಸೇವೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ y t ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಯು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮ್ಮ ಕಡೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು "ಪರಿಹಾರ" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ನಮೂದಿಸುವಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಪಾಸ್ಟ್ರಫಿಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಕೆಲವೇ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಿದ್ಧ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ. ನಮ್ಮ ಸೇವೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಚಿತವಾಗಿದೆ. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ y ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗವು y ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು; ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು y ನ ಕಾರ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ y ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸದಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ. ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮೊದಲ ಪದವಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ಮತ್ತು a1(x) ಗಳು x ನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ, n ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸೇವೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದೇಶ. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ y=f(x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು y(x0)=y0 ನೀಡಿದರೆ, ಇದನ್ನು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y0 ಮತ್ತು x0 ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ C ಯ ಈ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (DE). ಈ ಎರಡು ಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಯಭೀತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನಿಷೇಧಿಸುವ ಮತ್ತು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. Uuuuu... ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನಾನು ಇದನ್ನೆಲ್ಲ ಹೇಗೆ ಬದುಕಲಿ?!

ಈ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಮತ್ತು ಈ ವರ್ತನೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಇದು ಸರಳ ಮತ್ತು ವಿನೋದಮಯವಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಏನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ? ಪ್ರಸರಣಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಏಕೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮರಾಗಿರಬೇಕು. ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಏಕೀಕರಣ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿಷಯವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ! ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಉತ್ತಮ. ಏಕೆ? ನೀವು ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಅಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸುಹುಡುಕಲು ಕಲಿಯಿರಿ.

95% ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು 3 ವಿಧದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ: ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡೋಣ; ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವವರಿಗೆ, ಪಾಠಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಓದಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೂ ಅಪರೂಪದ ರೀತಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ: ಒಟ್ಟು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು. ಕೊನೆಯ ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದವುಗಳು ಒಟ್ಟು ಭೇದಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ ನಾನು ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ - ಭಾಗಶಃ ಏಕೀಕರಣ.

ನಿಮಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ದಿನಗಳು ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅತಿ ವೇಗದ ತಯಾರಿಗಾಗಿಇದೆ ಬ್ಲಿಟ್ಜ್ ಕೋರ್ಸ್ pdf ರೂಪದಲ್ಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಗ್ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ - ಹೋಗೋಣ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಅವು ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ: . ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ಇದು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಮಕ್ಕಳ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ: . ಕೇವಲ ವಿನೋದಕ್ಕಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಬದಲಿಸೋಣ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ!

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಮೊದಲ ಆದೇಶಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
1) ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್;
2) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಕಾರ್ಯ);
3) ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ: .

ಕೆಲವು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "x" ಮತ್ತು/ಅಥವಾ "y" ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲ - ಪ್ರಮುಖನಿಯಂತ್ರಣ ಕೊಠಡಿಗೆ ಹೋಗಲು ಆಗಿತ್ತುಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ, ಮತ್ತು ಇರಲಿಲ್ಲಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು -, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಏನು ಅಂದರೆ ?ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, ಇದು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ), ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪೂರ್ಣ ಮದ್ದುಗುಂಡು. ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಪರಿಹಾರ?

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನೇಕರು ಬಹುಶಃ ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ ಮತ್ತು ಅನಗತ್ಯವೆಂದು ತೋರುವ ತೊಡಕಿನ ಪದನಾಮವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಯಮಗಳು!

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರ?ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿನಾವು ಹೊರಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಕೇವಲ "ಗ್ರೀಕರು", ಎ ಬಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿಸಂಘಟಿಸಿ ಕೇವಲ "ಎಕ್ಸ್". ಅಸ್ಥಿರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು "ಶಾಲಾ" ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅವುಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡುವುದು, ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಗುಣಕಗಳು ಮತ್ತು ಹಗೆತನದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "Y" ಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - "X" ಮಾತ್ರ.

ಮುಂದಿನ ಹಂತ - ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣ. ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿವೆ:

ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬರೆದರೆ ಸಾಕು (ಸ್ಥಿರ + ಸ್ಥಿರ ಇನ್ನೂ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ “y” ಅನ್ನು “x” ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿರೂಪ. ಸೂಚ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ ಇದೆಯೇ? ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ.

ದಯವಿಟ್ಟು, ಮೊದಲ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಏಕೀಕರಣದ ನಂತರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ!) ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಹ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ..

ಅದು, ಬದಲಾಗಿನಮೂದುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಇದು ಏಕೆ ಅಗತ್ಯ? ಮತ್ತು "ಆಟ" ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು . ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಈಗ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ: .

ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸುಲಭ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳುಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಕುಟುಂಬ.

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಮರ್ಶೆಯ ನಂತರ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ನಿಷ್ಕಪಟ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ:

1)ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಬಹುದೇ?ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ ಏಕರೂಪದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ವಿವಿಧ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಳವಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

2) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ?ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗದ "ಅಲಂಕಾರಿಕ" ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬರಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ; ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ DE ಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಿಸುಮಾರು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ಗ್ಯಾರಂಟಿ... ...ಉಫ್, lurkmore.ಇದೀಗ ಬಹಳಷ್ಟು ಓದಲು, ನಾನು ಬಹುತೇಕ "ಇತರ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ" ಸೇರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

3) ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ . ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ, ಅಂದರೆ, "y" ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು?ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: . ಸರಿ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿ "ಗ್ರೀಕ್" ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು?! ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ವಿಕಾರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ.

4) ... ಬಹುಶಃ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಕು. ನಾವು ಎದುರಿಸಿದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ, ಆದರೆ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿಯ ಹಿಮಪಾತದೊಂದಿಗೆ "ಡಮ್ಮೀಸ್" ಅನ್ನು ಆವರಿಸದಿರಲು, ಮುಂದಿನ ಪಾಠದವರೆಗೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇನೆ.

ನಾವು ಅವಸರ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ DE. ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಮೊದಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ "x" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಹುಡುಗರು ಎಡಕ್ಕೆ, ಹುಡುಗಿಯರು ಬಲಕ್ಕೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ನಕ್ಷತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇನೆ, ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಅದು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ ("y" ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ). ಶಾಲೆಯ ಹಳೆಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: . ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಸೂಚಕದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರವು ಹೇಗಾದರೂ ಅನ್ಕೋಷರ್ ಆಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೂಮಿಗೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರವಾಗಿ, ಇದು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಮರುವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸೋಣ:

"ಕೆಡವುವುದು" ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ ಎರಡನೇ ತಂತ್ರ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: . ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ತಮ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದು ಕೂಡ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವೇನು? ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಅಂತಹಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಇದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಬಹುಶಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು "Y" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:



ಅದು,

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿನ್ಯಾಸ ಆವೃತ್ತಿ:

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರದ ಕಂಡುಬಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
- ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಮೊದಲು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು? "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ:
- ಹೌದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನಾವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮಾಡಬಹುದು. ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು, ತೀರ್ಪಿನ ದಿನ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ. ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಹೋಗಲು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಇಲ್ಲ - ನೀವು ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಎಡಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ; ನಾವು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದುಹಿಂದಿನ ವರ್ಷ:

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನನ್ನ ಮೊದಲ ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಿಫಾರಸಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ). ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು "ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ಅದನ್ನು ಬಹಳ ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ ಅನಾಗರಿಕವಾಗಿ ಹದಗೆಟ್ಟಿದೆ:

"ಆಟ" ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಆದರೆ ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೂರನೇ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಲಹೆ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿನೀವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ದೂರವಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಬೇಕು. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸರಳವಾಗಿ ಭಯಾನಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ - ದೊಡ್ಡ ಬೇರುಗಳು, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕಸದೊಂದಿಗೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರನ್ನು ಮೆಚ್ಚಿಸಲು ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ;-)

ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ:

! ಸೂಚನೆ: ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:

ನಾವು ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ:

ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:
1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು;
2) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಲ್ಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡಿ), ನೀವು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ;
2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಿದ್ದವಾಗಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿವೆ:

(ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ನೀಡಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು "Y" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ವಿನ್ಯಾಸ:

ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಮೊದಲಿಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
- ಎಲ್ಲವೂ ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಈಗ ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ: - ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ :

ನಾವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ತಪಾಸಣೆಯ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ: ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ DE ಗೆ ನಾವು ಪಡೆದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ.

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಯಾವ ತೊಂದರೆಗಳು ಕಾಯುತ್ತಿವೆ?

1) ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ "ಟೀಪಾಟ್" ಗೆ). ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: . ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು: ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ: . ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

2) ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ತೊಂದರೆಗಳು. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನ್ಯೂನತೆಗಳಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ನಂತರ ಇದು ಅನೇಕ ಡಿಫ್ಯೂಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, "ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಸಮಗ್ರತೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ" ಎಂಬ ತರ್ಕವು ಸಂಗ್ರಹಣೆಗಳು ಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಕೈಪಿಡಿಗಳ ಸಂಕಲನಕಾರರಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.

3) ಸ್ಥಿರದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹರಿಕಾರನಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: . ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸ್ಥಿರವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು: . ಹೌದು, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ತೊಂದರೆ ಎಂದರೆ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿರ್ಧಾರದ ದಾಖಲೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಯಾವ ರೀತಿಯ ಧರ್ಮದ್ರೋಹಿ? ಅಲ್ಲಿಯೇ ತಪ್ಪುಗಳಿವೆ! ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೌದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಉತ್ತರವು ಅಸಹ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ತಪ್ಪು ಇದೆ - ಅದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಆದರೆ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ "ಮೈನಸ್ ಸಿಇ" ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಇದು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು!), ಆದ್ದರಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾನು ಅಸಡ್ಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದರಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಏನೂ ಬರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ (ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ):

ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

DE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
,

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಸುಳಿವು ಎಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಈ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಪಾಸ್ಟ್ರಫಿಯ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಸಾಕು ಮತ್ತು "ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸು" ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ WolframAlpha ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಚಿತ. ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ನೀವು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ

ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯ ವೈವೇರಿಯೇಬಲ್ ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಪದನಾಮವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y(t) ಎಂದು ನೀವು ಬರೆದರೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅದನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ ವೈವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಟಿ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರದ: ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ, ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳು, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪರಿಹಾರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆಯೇ, ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ).

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಸ್ y ಮತ್ತು x ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬದಲಿ ಮಾಡಬೇಕು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಆದರೆ ನಾವು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

ಸಮೀಕರಣ (1) ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (2) ಮೂರನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (5) ಮೊದಲ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎನ್ನೇ ಆದೇಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎನ್-ನೇ ಆದೇಶ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳು, ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಾರದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಲ್ಲ, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (2) - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (4) - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (5) - ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕೇವಲ ಸಮೀಕರಣವು (3) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y = f(x), ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಅದು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಅದು ಏನು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ . ಅದರಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎನ್ th ಆದೇಶವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಅಂದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ.

,

.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ -

ನೀಡಿದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ.

ಈಗ ನಿಗದಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ

.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ . ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಸಿ. ಇದು ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ವೈ = 3, X= 1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಸರಳವಾದವುಗಳು ಸಹ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಉತ್ತಮ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

.

ವೇರಿಯಬಲ್ (ಬದಲಿ) ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಆಗಿರಲಿ.

ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ dxಮತ್ತು ಈಗ - ಗಮನ - ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ರಿಂದ Xಮತ್ತು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ("ಸೇಬು" ಎಂಬುದು ವರ್ಗಮೂಲದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಅದೇ ವಿಷಯ, "ಒಂದು-ಅರ್ಧ" ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು, ಮತ್ತು "ಕೊಚ್ಚಿದ ಮಾಂಸ" ಎಂಬುದು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ):

ನಾವು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಇದು ಈ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಅಂದರೆ ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ X. ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮರೆತುಹೋಗದ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಶಾಲೆಯಿಂದ ಅನುಪಾತದ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.