ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಯಾವುದು? ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ:

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಮೊಂಡಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮ.ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು

ಪರಿಹಾರ.ಬಯಸಿದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್

16. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ, ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಸಮತಲಕ್ಕೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಲಂಬವಾದ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

§ 69. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (§ 32) ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು φ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2, ಮತ್ತು ψ ಮೂಲಕ - ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು.

ನಂತರ ವೇಳೆ

ψ 90 ° (ಚಿತ್ರ 206.6), ನಂತರ φ = 180 ° - ψ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ cos φ = |cos ψ| ನಿಜ. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (1) § 20 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಿ

ನಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ φ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ) ಅಂಗೀಕೃತವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಈ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಬಳಸಿ.

17. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು, ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿ:

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ , , , ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ . ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ , , , .

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ

, ,

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ , , , .

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ

, ,

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ , , , .

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ. ವಾಹಕಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

, ,

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ:

ಈ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು .

ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಮೂಲೆ ನಾವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಯಾವ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಕೊಲಿನಿಯರ್.

ಪರಿಹಾರ. ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ 8. ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವ.

ಪರಿಹಾರ. ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: . ಅದು, .

ಉದಾಹರಣೆ 9. ಹುಡುಕಿ , ವೇಳೆ , , .

ಪರಿಹಾರ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 10. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು , ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು - ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು 120 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: , ,

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: .

5 ಬಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 21.ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

1) ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ. .

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

2) ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (;), ಅಂದರೆ. ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು .

3) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ತುದಿಯಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು , , ಬಲಗೈ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ).

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ವಾಹಕಗಳ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೊದಲು, ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಭಾಗ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರ

ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಸೂತ್ರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಐದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅಥವಾ ಬ್ರಾಡಿಸ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು:

ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬಹುದು ಅಥವಾ ನೀವು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಬ್ರಾಡಿಸ್ ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು 116 ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು 70 ನಿಮಿಷಗಳು, ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ 116.57 ಡಿಗ್ರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಅವು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಯಾವ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ. ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನೀವು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು ಅದು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಿದ್ದರೂ ಸಹ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; ಅವುಗಳ ಅಂಶದ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಅವರಿಗೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

0 ಮತ್ತು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬರೆಯುವ ನಿರ್ಧಾರ, ಅಂದರೆ, ಬಯಸಿದ ಕೋನವು 0 ಅಥವಾ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ತರ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 0 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಹಕಗಳು

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ-ದಿಕ್ಕಿನ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ನೀವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಒಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ದಿಕ್ಕನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಘಟಕ.

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿ! ನನಗೆ ಸೂತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ((
ವೆಕ್ಟರ್ a (8; 10; 4) ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ (5; -20; -10)

ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಟಿಟೊವ್

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ನೀವು a ಮತ್ತು b ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. ನಾವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
ಮುಂದೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:
|ಎ| = ಮೂಲ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ಮೂಲ (8^2 + 10^2 + 4^2) = ಮೂಲ (64 + 100 + 16) = 180 ರ ಮೂಲ = 6 ಬೇರುಗಳು 5
|b| = ಮೂಲ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = ಮೂಲ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = ಮೂಲ (25 + 400 + 100) = ಮೂಲ 525 = 21 ರ 5 ಬೇರುಗಳು.
ನಾವು ಈ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 105 ರಲ್ಲಿ 30 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು -200/(105 ರ 30 ಬೇರುಗಳು) ಅಥವಾ
- (105 ರ 4 ಬೇರುಗಳು) / 63. ಇದು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೋನವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
f = ಆರ್ಕೋಸ್(-105 ರ 4 ಬೇರುಗಳು) / 63.
ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸಿದರೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು

ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಟ್ಕಾಚೆವ್

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ. ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕೋನವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ.
ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯೋಣ.
ವಾಹಕಗಳು a(x1;y1) ಮತ್ತು b(x2;y2) ನೀಡಲಿ
ನಂತರ

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

ನಾವು ಮಾತನಡೊಣ.
ವಾಹಕಗಳ a*b-ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದರ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಚರ್ಚಿಸೋಣ:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೋನವು 1 ಅಥವಾ 4 ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಸೈನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಸೈನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

ಅಷ್ಟೆ)))) ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅದೃಷ್ಟ)))

ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಲೆವಿಶ್ಚೇವ್

ನೇರವಾಗಿ ಪಾಪ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ.
ಸೂತ್ರದ ಜೊತೆಗೆ:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
ಇದೂ ಕೂಡ ಇದೆ:
||=|ಎ|*|ಬಿ|*ಪಾಪ ಎ
ಅಂದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್‌ನಿಂದ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ನಾನು ಬಲವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಠವು ವಿಷಯದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ನಾನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ.. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ; ಅವು ಉಪಯುಕ್ತ ಬೋನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ - ಅಭ್ಯಾಸವು ನೀವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಸದಿಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ. ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ; ಇತರ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ವಿಷಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೇರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯ. ಯೋಗ್ಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಹಿತಿ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಮ್ಮೆ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ; ನನ್ನನ್ನು ನಂಬಿರಿ, ಲೇಖಕರು ಗಣಿತದಿಂದ ಚಿಕಟಿಲೋ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಗಣಿತದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಎರಡೂ =) ಹೆಚ್ಚು ತಯಾರಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕಾಣೆಯಾದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು "ಪಡೆಯಬಹುದು"; ನಿಮಗಾಗಿ ನಾನು ನಿರುಪದ್ರವ ಕೌಂಟ್ ಡ್ರಾಕುಲಾ =)

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಬಾಗಿಲು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭೇಟಿಯಾದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ ನೋಡೋಣ ...

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಮೊದಲು ಸುಮಾರು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಏನೆಂದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ. ಉಚಿತ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು . ನೀವು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸಿದರೆ, ಅನೇಕರು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಿದೆ. ನಿಮಗೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ; ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಜನವಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೆಲವು ನಂತರದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ನನ್ನನ್ನು ನಿಂದಿಸಬಹುದಾದ ಮುಂದುವರಿದ ಸೈಟ್ ಸಂದರ್ಶಕರಿಗೆ ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಯ್ದಿರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

0 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ (0 ರಿಂದ ರೇಡಿಯನ್ಸ್) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಅಥವಾ

(ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ).

ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೋನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ NUMBER ಆಗಿದೆ:

ಈಗ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹುದ್ದೆ:ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು NUMBER ಆಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಬೆಚ್ಚಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ . ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಉತ್ತರ:

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಗೋಪುರದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವು ಬಾರಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಷ್ಟೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ನಂತರ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಭೌತಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಸೂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ). ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಜೌಲ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, .

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ , ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆ ಏನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ: . ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ: ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಳಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು , ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1) ವೇಳೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮಸಾಲೆಯುಕ್ತ: (0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿಂದ, ಸೂತ್ರವು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ: .

2) ವೇಳೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೊಂಡಾದ: (90 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ: . ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ: ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳು, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ: (180 ಡಿಗ್ರಿ). ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ಸಂವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಹ ನಿಜ:

1) ವೇಳೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಹ-ದಿಕ್ಕುಗಳಾಗಿವೆ.

2) ವೇಳೆ , ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಮಂದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿವೆ.

ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

3) ವೇಳೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ನೇರ: (90 ಡಿಗ್ರಿ), ನಂತರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ವೇಳೆ , ನಂತರ . ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಗಣಿತ ಸಂಕೇತ:

! ಸೂಚನೆ : ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮೂಲಗಳು: ಎರಡು ಬದಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ", "ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬಾಣಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - "ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಅದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ." ಮೂಲಕ, ಒನ್-ವೇ ಫಾಲೋ ಐಕಾನ್‌ನಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಐಕಾನ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಅದು ಮಾತ್ರ, "ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ," ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: , ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಣಿಯು ಪ್ಯಾಂಥರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಐಕಾನ್ ಬದಲಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದುಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಐಕಾನ್ ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: - ಅಂತಹ ನಮೂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ .

ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ವೆಕ್ಟರ್ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜ:

1) - ಪರಿವರ್ತಕ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು.

2) - ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಸರಳವಾಗಿ, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು.

3) - ಸಹಾಯಕ ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅನಗತ್ಯವಾದ ಕಸ ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ: . ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿಯು ನಿಜವಲ್ಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್. ಇದು ಕೂಡ ನಿಜವಲ್ಲ ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ, ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾಣುವ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ಹೇಗಾದರೂ ಇದು ಏನು? ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಪಾರ್ಸ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ , ಆದರೆ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬೇರೆ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

(2) ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಅಸಭ್ಯವಾದ ನಾಲಿಗೆ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅಥವಾ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ =) ಮೂಲಕ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ.

(3) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: . ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: .

(4) ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

(5) ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಫಾರ್ಮುಲಾವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ: . ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ .

(6) ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ , ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕೈಗೊಳ್ಳಿ.

ಉತ್ತರ:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ .

ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಹೊಸ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾನು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

(1) ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತೇವೆ.

(2) ನಾವು ಉದ್ದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: , ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ve ವೆಕ್ಟರ್ "ve" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

(3) ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದು ಹೇಗೆ. ಬಯಸುವವರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು: - ನಿಯಮಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯವರೆಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

(4) ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - "ಘಟಕಗಳು".

ಉದಾಹರಣೆ 6

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ನಾವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹಿಂಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ . ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಡಭಾಗದ ಛೇದಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

ಈ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವೇನು? ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಸಂಖ್ಯೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ? ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದರರ್ಥ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ: , ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ: .

ಉದಾಹರಣೆ 7

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು - ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾನು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಳೆ , ಅದು:

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಇದು ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೂ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೆಲವು ಬೃಹದಾಕಾರದ ಕರಡಿಗಳು , ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸುಮಾರು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಹ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - ರೇಡಿಯನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳು. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ "ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು", ನಾನು ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ (ಸ್ಥಿತಿಗೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ).

ಈಗ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 7*

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, .

ಬಹು-ಹಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ.
ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

1) ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು , ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ .

2) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3, 4 ನೋಡಿ).

3) ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 5, 6 ನೋಡಿ).

4) ಪರಿಹಾರದ ಅಂತ್ಯವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿದೆ , ಅಂದರೆ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗವು ಅದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಇದು ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ,
ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 14

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ವೇಳೆ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಎಣಿಸಬೇಡಿ , ಆದರೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಹೊರಗೆ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ.

ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಚೋದನಕಾರಿ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 15

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ , ವೇಳೆ

ಪರಿಹಾರ:ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ವಿಧಾನವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ಉದ್ದ :

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಲ್ಲ!

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ:
ನಿಲ್ಲಿಸು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬೇಕಲ್ಲವೇ? ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಿಂತ 5 ಪಟ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ದಿಕ್ಕು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಘಟಕಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:
- ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ".

ಹೀಗೆ:

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಈಗ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಮತ್ತು , ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 16

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ (ಶೃಂಗದ ಕೋನ).

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಹಸಿರು ಚಾಪದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಶಾಲೆಯ ಹೆಸರನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: - ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಸರಾಸರಿಪತ್ರ - ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನದ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: .

ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ನಾನು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ಓದುಗರು "ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

"ಕೆಟ್ಟ" ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂತಿಮವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೋರಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರೋಟ್ರಾಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಮಾನಿಟರ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹಾನಿ ಮಾಡಬೇಡಿ =)

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದರು(ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ), ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ: ಮತ್ತು ಕೋನದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ: , ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆನಂದಿಸಿದವರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 17

ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸೋಣ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ನಾವು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಲಂಬವಾಗಿವೆಕ್ಟರ್ಗೆ (ಹಸಿರು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಸಾಲುಗಳು). ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ವಿಭಾಗ (ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ವೆಕ್ಟರ್ನ "ನೆರಳು" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವಿಭಾಗದ LENGTH ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ NUMBER ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: , "ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದುಯೋಜನೆ, "ಸಣ್ಣ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆನ್ ಆಗಿದೆಇದು ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "ವೆಕ್ಟರ್ "ಎ" ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಮೇಲೆ."

ವೆಕ್ಟರ್ "be" "ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ" ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ "a" ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ದಿಕ್ಕಿಗೆ, ಸರಳವಾಗಿ - ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ. ಮೂವತ್ತನೇ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ “a” ಅನ್ನು ಮುಂದೂಡಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ “be” ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನ ವೇಳೆವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮಸಾಲೆಯುಕ್ತ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ನಂತರ

ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ನಂತರ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಕೋನ ವೇಳೆವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೊಂಡಾದ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬಾಣವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ), ನಂತರ (ಅದೇ ಉದ್ದ, ಆದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ).

ನಾವು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಯೋಜಿಸೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ: ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ A (x1, y1) B ಜೊತೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x2, y2). ಮೂಲೆಅವುಗಳ ನಡುವೆ θ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನ θ ನ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್, ಅಂದರೆ (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). ಈಗ ನೀವು ಇದರಿಂದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು (A,B)=x1*x2+y1*y2 ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳು) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ವಾಹಕಗಳುತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು A ಮತ್ತು B ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಂತ 2 ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಕೋನದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಅಂದರೆ, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). ಈಗ, ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ವಾಹಕಗಳುನೀವು ಬ್ರಾಡಿಸ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಇದರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: θ=arccos(cos(θ)).

ವಾಹಕಗಳು A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (x1, y1, z1) ಮತ್ತು (x2, y2, z2) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಇನ್ನೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಸೈನ್: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು.

ಮೂಲಗಳು:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಎರಡೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರವನ್ನು ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ ಈ ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಅನೇಕ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಹ-ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಮೀರಬಾರದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ (ಹಂತವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ, ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್. ಮುಂದಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು (ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ) ನೆನಪಿಡಿ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಹಂತಕ್ಕಾಗಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ವಾಹಕಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿ. ಡಿವಿಡೆಂಡ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪದದ ಏಕೈಕ ನೋಟವು ಅರ್ಜಿದಾರರ ಪದವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮೂರನೇ ಘಟಕ. ಅಂತೆಯೇ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, z ಘಟಕವನ್ನು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ನಂತರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಹಂತಕ್ಕಾಗಿ ಚಿತ್ರ 6 ನೋಡಿ).

ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x1; y1) ಮತ್ತು b ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x2; y2) ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: ab = x1x2 + y1y2. ಈ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ab = x1x2 + y1y2. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ab = |a|*|b|*cos α, ಅಲ್ಲಿ α ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

ಬ್ರಾಡಿಸ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು α ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಸೂಚನೆ

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

ಪ್ಲೇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಮತಲವು ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಅದರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿದೆ. ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ α, β, γ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡೂ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ನ ಛೇದಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳು α ಮತ್ತು β ಅನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ a ಮತ್ತು ಎರಡು ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳು α ಮತ್ತು β ಒಂದು ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನದಿಂದ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳು ತಮ್ಮ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ವಿಮಾನಗಳು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ಅಂಚು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲ ಕೋನದಂತೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅದರ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು O ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡರಲ್ಲೂ, ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು a ಬಿಂದು O ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ AOB ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ a ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ V = (a, b, c) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ A x + B y + C z = 0 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ A, B ಮತ್ತು C ಸಾಮಾನ್ಯ N ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ α ವೆಕ್ಟರ್ V ಮತ್ತು N ನಡುವೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: cos α = (a + b + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. arccosine:α = arsсos ((a + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

ಉದಾಹರಣೆ: ಹುಡುಕಿ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿನಡುವೆ ವೆಕ್ಟರ್(5, -3, 8) ಮತ್ತು ವಿಮಾನ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ 2 x – 5 y + 3 z = 0. ಪರಿಹಾರ: ಸಮತಲದ N = (2, -5, 3) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಒಂದು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ - ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ. ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಕೊಸೈನ್ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ಕೋನವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್‌ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಬಿಂದು (X₁,Y₁,Z₁) ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುವುದು, ಎರಡನೆಯದು - (X₂,Y₂,Z₂), ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು γ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡವು: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) ಮತ್ತು √(X₂² + Y₂² + Z). ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X + Y₂² + Z₂² )).

ವರ್ಗದ ಮೊತ್ತ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಾಪಮತ್ತು ಸಹ ಪಾಪನಿಂದ ಕೋನಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಾಪವರ್ಗ ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ವರ್ಗಮೂಲ, ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² )*√ (x₂² + y₂² + z₂²)) = ² (1 - (x₁*x₂ + y₁*y₂ + z₁*z₂) ² / ((x₁² + y₲²₲) + z₂²))) .

ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು

ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರ

ಉದಾಹರಣೆ

n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

0 ಮತ್ತು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಹಕಗಳು

ಒಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ದಿಕ್ಕನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಘಟಕ.

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ (ಇನ್ನು ಮುಂದೆ SP ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆತ್ಮೀಯ ಸ್ನೇಹಿತರೆ! ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು "ವೆಕ್ಟರ್ಸ್" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು. ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ SP ನಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ (ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಈಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ "ಮುಳುಗುವಿಕೆ":

ಎಚ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅದರ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆಅದರ ಮೂಲದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು:

*ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ (ಮಾಡ್ಯುಲಸ್) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು !!!

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ:

ಇದು 0 ರಿಂದ 180 0 ವರೆಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ(ಅಥವಾ 0 ರಿಂದ ಪೈ ವರೆಗಿನ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ).

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಕೆಲವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

1. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ (0 0 ರಿಂದ 90 0 ವರೆಗೆ), ಆಗ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

2. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಮೊಂಡಾಗಿದ್ದರೆ (90 0 ರಿಂದ 180 0 ವರೆಗೆ), ಆಗ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

*ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

180 o ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಕೊಸೈನ್ ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ,ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ!

90 o ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವಾಗ, ಕೊಸೈನ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ SP ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು (ಪರಿಣಾಮ, ತೀರ್ಮಾನ) ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಕ್ತ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ.

ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ: ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಆದ್ದರಿಂದ, SP ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು:

ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

27724 a ಮತ್ತು b ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ