ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳು. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ: ಅವಧಿ, ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

(ಲ್ಯಾಟ್. ವೈಶಾಲ್ಯ- ಪರಿಮಾಣ) ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಆಂದೋಲನದ ದೇಹದ ದೊಡ್ಡ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.

ಲೋಲಕಕ್ಕೆ, ಇದು ಚೆಂಡನ್ನು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದೂರಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂತರವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ). ಸಣ್ಣ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ, ಅಂತಹ ದೂರವನ್ನು ಆರ್ಕ್ 01 ಅಥವಾ 02 ರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಉದ್ದದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಮೀಟರ್‌ಗಳು, ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆಂದೋಲನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ, ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಸೈನುಸೈಡಲ್ ಕರ್ವ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ.

ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ- ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯ ಅವಧಿಯಾಗಿದ್ದು, ಆಂದೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸಮಯದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮರಳುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ ( ಟಿ) ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಂದೋಲನ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಮಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೋಲಕದ ಬಾಬ್ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಇದು ಬಗ್ಗೆದೂರದ ಎಡ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಬಗ್ಗೆಮತ್ತೆ ಬಲಕ್ಕೆ.

ಆಂದೋಲನದ ಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ದೇಹವು ಹೀಗೆ ನಾಲ್ಕು ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಮಯದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸೆಕೆಂಡುಗಳು, ನಿಮಿಷಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಆಂದೋಲನಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ).

"ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಂದೋಲನದ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ನಂತರ ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಿಸುಮಾರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್ ತೇವಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲನಗಳು.

ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ.

ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ- ಇದು ಸಮಯದ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್‌ಗೆ ಮಾಡಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 ಸೆ.

ಆವರ್ತನದ SI ಘಟಕವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಹರ್ಟ್ಜ್(Hz) ಜರ್ಮನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಿ. ಹರ್ಟ್ಜ್ (1857-1894) ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ. ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ ( v) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 Hz, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಒಂದು ಆಂದೋಲನವಿದೆ. ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಅವಧಿಯು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ:

ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಆವರ್ತಕ, ಅಥವಾ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆವರ್ತನ ω . ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ vಮತ್ತು ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ ಟಿಅನುಪಾತಗಳು:

.

ಆವರ್ತ ಆವರ್ತನಪ್ರತಿ ನಡೆಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 2πಸೆಕೆಂಡುಗಳು

ಆಸಿಲೇಟರಿ ಚಲನೆ- ದೇಹದ ಆವರ್ತಕ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆ, ಸಮನ್ವಯ, ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸಮಯದ ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ದೇಹವನ್ನು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ, ದೇಹವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು ಒಲವು ತೋರುವ ಶಕ್ತಿಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಂಪನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ x ಎನ್ನುವುದು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದೇಹದ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.

ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಎ ದೇಹದ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ T - ಒಂದು ಆಂದೋಲನದ ಸಮಯ:

ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ

ಸಮಯದ ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್‌ಗೆ ದೇಹವು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವೇಗವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಭವಿಸುವ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ x(t) ಎನ್ನುವುದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸ್ಥಳಾಂತರವಾಗಿದೆ, A ಎಂಬುದು ವೈಶಾಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ω ಎಂಬುದು ಆಂದೋಲನಗಳ ಚಕ್ರ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ.

ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದೇಹದ ವಿಚಲನವನ್ನು ನೀವು ಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಆಂದೋಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ x = x (t) - ಸಮಯಕ್ಕೆ ದೇಹದ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅವಲಂಬನೆ. ಉಚಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ, ಇದು ಸೈನ್ ತರಂಗ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ತರಂಗವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರವು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ x, ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು V x ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ವೇಗವರ್ಧನೆ a x.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳಾಂತರ x ನಲ್ಲಿ, ಆಂದೋಲನದ ದೇಹದ ವೇಗ V ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೇಗವರ್ಧನೆ a, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೇಗವರ್ಧಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕಂಪನ ಚಲನೆಯ ಶಕ್ತಿ

ಆಂದೋಲನದ ದೇಹದ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಅದರ ಚಲನ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘರ್ಷಣೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಗರಿಷ್ಟ x = A ಅನ್ನು ತಲುಪುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ವೇಗ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಂದೋಲನದ ದೇಹದ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಅದರ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹಾದುಹೋದಾಗ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: x = 0, E p = 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಂದೋಲನದ ದೇಹದ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ

1. ಗಣಿತ ಲೋಲಕತೂಕವಿಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ದಾರದ ಮೇಲೆ ಅಮಾನತುಗೊಂಡ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವನ್ನು ದಾರದ ಒತ್ತಡದಿಂದ ಸರಿದೂಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಶಕ್ತಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸರಿದೂಗಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಲವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ:

ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ, ಸ್ಥಳಾಂತರ x l ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದಾಗ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಬಹುತೇಕ ಸಮತಲ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ MAB ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಪ a = x/l, ನಂತರ x ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಲ R ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು R ಬಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಳಾಂತರ x ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

2. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಲವು ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಲೋಲಕಗಳ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ ಬಲಕ್ಕಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸೋಣ:

mg/l ಎಂಬುದು k ನ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಫಾರ್ಮುಲಾದಲ್ಲಿ k ಅನ್ನು mg/l ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

ನಾವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಯು ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಯವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಚಲನದ ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಥ್ರೆಡ್ನ ಒತ್ತಡದ ಬಲದಿಂದ ಮತ್ತು ಹೊರೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದಾಗಿ ಅವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 6.25 ಮೀ ಉದ್ದದ ಲೋಲಕವು 3.14 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ದಾರದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ:

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು 25 m/s 2 ಆಗಿದೆ.

ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು "ವಿಷಯ 4. "ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್. ಆಂದೋಲನಗಳು ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳು."

• ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಅಲೆಗಳು. ತರಂಗಾಂತರ

  ಪಾಠಗಳು: 3 ನಿಯೋಜನೆಗಳು: 9 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು: 1

• ಶಬ್ದ ತರಂಗಗಳು. ಧ್ವನಿ ವೇಗ - ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಂಪನಗಳು ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳು. ಧ್ವನಿ 9 ನೇ ತರಗತಿ

ಗಣಿತ ಲೋಲಕ

ಪರಿಚಯ

ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ

ತೀರ್ಮಾನಗಳು

ಸಾಹಿತ್ಯ

ಪರಿಚಯ

ಕ್ಯಾಥೆಡ್ರಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರ್ಥನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಕಂಚಿನ ಗೊಂಚಲುಗಳ ತೂಗಾಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವೀಕ್ಷಿಸಿದನು ಎಂಬ ದಂತಕಥೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಈಗ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗೊಂಚಲು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಸಮಯವನ್ನು ನಂತರ ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಗಡಿಯಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಉದ್ದಗಳ ಸರಪಳಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದ ಗೊಂಚಲುಗಳ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ಅವನು ತನ್ನ ನಾಡಿ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸಿದನು.

ಗಡಿಯಾರಗಳ ವೇಗವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಲೋಲಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಲೋಲಕವು ಆಂದೋಲನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಭೂವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪರಿಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಲೋಲಕವು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಜಿವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಭೂಮಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಗೋಳವಲ್ಲ. ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಲೋಹದ ಅದಿರುಗಳಂತಹ ದಟ್ಟವಾದ ಬಂಡೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯ ಜಿಅಸಹಜವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು. ನಿಖರವಾದ ಅಳತೆಗಳು ಜಿಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಂತಹ ನಿಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಭಾರವಾದ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಲಂಬ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೋಲಕ) ಅಥವಾ ಗೋಳದ (ಗೋಳಾಕಾರದ ಲೋಲಕ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಅಂದಾಜಿಗೆ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಥ್ರೆಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದ ಸಣ್ಣ ಹೊರೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಎಲ್ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ ಬಗ್ಗೆ(ಚಿತ್ರ 1). ನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂ(ಲೋಲಕ) ವಿಚಲನ ಕೋನ j ತ್ರಿಜ್ಯ ಓಂಲಂಬದಿಂದ. ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದು ಎಂ t ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ j ಕಡೆಗೆ, ನಾವು ಚಲನೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ

ಮೆ.ವ್ಯಾ=ಎಫ್+ಎನ್, (1)
ಎಲ್ಲಿ ಎಫ್ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎನ್- ಸಂವಹನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ.

ಚಿತ್ರ 1

ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಆವೇಗದ ಸಮಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಎಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (1) ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಸ್ಥಿರ ಮೃದುವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಟಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,
ಎಲ್ಲಿ ಮೀಲೋಲಕದ ಸಮೂಹವಿದೆ.

ರಿಂದ ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

.
ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಮೀಮತ್ತು ನಂಬಿಕೆ

, (3)
ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಹೊಂದುತ್ತೇವೆ:

,

,

,

. (4)
ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕವನ್ನು ಲಂಬದಿಂದ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಲಿ ಜಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

ನಲ್ಲಿ ಟಿ= 0, . (5)
ಶಕ್ತಿಯ ಸಮಗ್ರತೆಯಿಂದ:

, (6)
ಎಲ್ಲಿ ವಿ- ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ, ಮತ್ತು ಗಂಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೋನ jЈj 0 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ ಗಂಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನ j 0 ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (j 0 Ј1); ನಂತರ ಕೋನ j ಸಹ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು sinj»j ಅನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣ (4) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

. (7)
ಸಮೀಕರಣ (7) ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ

, (8)
ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಥವಾ ಎಮತ್ತು ಇ ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ( ಟಿ) ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳು (ಅವಧಿ - ಅದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರಳುವ ಅವಧಿ)

ಮತ್ತು

,
ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಪವು 2p ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ w ಟಿ=2p ಯು

(9)

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (5) ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

. (10)
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (5) ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ (8) ಮತ್ತು (10) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

j 0 = ಎ, 0 = ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಬಿ,

ಆ. ಬಿ=0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಷರತ್ತುಗಳ (5) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

j = j 0 cos wt. (ಹನ್ನೊಂದು)

ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ (4). ಏಕೆಂದರೆ

,
ನಂತರ (4) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಡಿ j ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

. (12)
ನಾವು ಇಲ್ಲಿ j 0 ಲೋಲಕದ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಚಲನದ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ; ನಂತರ j = j 0 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ ಸಿ= w 2 cosj 0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ (12) ನೀಡುತ್ತದೆ:

, (13)
ಅಲ್ಲಿ w ಅನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (3).

ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶಕ್ತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು

, (14)
ಚಲಿಸುವ ಕೆಲಸ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂ 0 ಎಂಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿ ಎಫ್, ನಮ್ಮ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ v 0 =0, ಮತ್ತು (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ).

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (13) ಲೋಲಕವು ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಕೋನ j +j 0 ಮತ್ತು -j 0 (|j|Јj 0, ರಿಂದ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಲೋಲಕವು ಆಂದೋಲನದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಮಯವನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಟಿಲೋಲಕವು ಲಂಬವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಒ.ಎ.ಅದು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ನಂತರ ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ನಲ್ಲಿ ಟಿ=0, j=0. (15)

ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತಿನ್ನುವೆ ; ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ (13), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.
ಇಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

. (16)

, ,
ಅದು

.
ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (16) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ದಾರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ: ದಾರದ ಉದ್ದವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ, ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಕ್ಕಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕಾನೂನುಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ:

1 ಕಾನೂನು. ಲೋಲಕದ ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಲೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ಕೆಜಿ ಮತ್ತು 100 ಕೆಜಿ), ನಂತರ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಲೋಡ್‌ಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ತುಂಬಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಹೊರೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

2 ನೇ ಕಾನೂನು. ಲೋಲಕವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಆದರೆ ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಅದು ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವವರೆಗೆ, ಅವುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಐಸೋಕ್ರೊನಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಲೋಡ್ m ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ mg ಮತ್ತು ಥ್ರೆಡ್ Fynp ನ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. 0X ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೇಲ್ಮುಖ ಚಲನೆಯ ಪಥಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ. ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ OX ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ

ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಸಂತ ಲೋಲಕದ ಆವರ್ತಕ ಆವರ್ತನವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೋಡಬಹುದು:

ನಂತರ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಲೋಲಕದ ಉದ್ದದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ l. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ). ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ, ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ನಡುವಿನ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತದ ಅಂಶವು 2p ಆಗಿದೆ

ಸಹ ಇದೆ:

ವಸಂತ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ

ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ

ತಿರುಚುವ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ

ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ದೇಹದ ಒಂದು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಲೋಲಕಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮತಲ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ತೂಕದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 119).

ಲೋಲಕದ ಸ್ಥಾನವು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅದರ ವಿಚಲನದ ಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೋನದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ:

ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ (ಕಾನೂನು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕೋನ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ಮೇಲೆ.

ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವಾಗಿದೆ, ಇದು (ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ - ಅಧ್ಯಾಯ 2, § 3) ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ತೂಕವಿಲ್ಲದ ರಾಡ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವ ಸಮತಲ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 120). ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಇದರಿಂದಾಗಿ xy ಪ್ಲೇನ್ ದೇಹದ C ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ (Fig. 119) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಲೋಲಕದ ಸ್ವಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅದರ ಮೂಲಕ ಅದರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೋಲಕದ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಲೋಲಕದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಕ್ರಿಯ ಶಕ್ತಿಯು ಅದರ ತೂಕವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕ್ಷಣವು ತೂಕದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ:

ಲೋಲಕದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ C ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಭೌತಿಕ ಒಂದರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಕ್ಕೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತೂಕವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅಕ್ಷದಿಂದ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಅಂತರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಅಂತಿಮ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (16.8) ಮತ್ತು (16.9) ಹೋಲಿಸಿ, ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು

ನಂತರ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಗಳ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಅದೇ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ).

ಅನುಗುಣವಾದ ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಚಲಿಸಲು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉದ್ದವನ್ನು ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸರಳವಾದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲ್ಪಟ್ಟ ಏಕೈಕ ಬಲವು ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಲ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಹೊಂದಿದೆ.

ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (16.10) ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ Cu ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಂಬಂಧಿಗಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈ ಸಂಬಂಧವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (16.10).

ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಗಳ ಬೆಂಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿರ್ಣಯ

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಲೋಲಕಗಳ ಬೆಂಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಬೆಂಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (16.5). ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಕ್ರಿಯ ಬಲದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಕ್ಷಣಗಳು ಹೀಗಿರುತ್ತವೆ:

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಂತರ ಬೆಂಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ:

ದೇಹದ ಜಡತ್ವದ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಬೆಂಬಲಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ b ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗ с ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (16.9) ಮತ್ತು (16.4) ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (16.12) ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಬೆಂಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (16.12) ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು (16.12) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (16.13) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (16.9) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೆಂಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಥ್ರೆಡ್ I (Fig. 120) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು (16.13) ಥ್ರೆಡ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕಡೆಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿ, ರೂಪದ ಬೆಂಬಲದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 120):

ಇಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನಾವು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು:

ಕೊನೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನ

ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಡೆಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (16.11) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕು. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಚಲಿಸುವಾಗ, ಲೋಲಕವು ಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೋಲಕದಿಂದ ಕೋನೀಯ ವೇಗವು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕೋನವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಸಮಯ ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆ, ಅಂದರೆ ಲೋಲಕವು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (16.11). ಅಂತಹ ಚಲನೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆರಂಭಿಕ ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ (16.14) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ವಿಚಲನದ ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಕೋನದಲ್ಲಿ, ಲೋಲಕದ ಅಂತಹ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಈಗ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹಾಗೆ ಇರಲಿ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಎರಡು ಕೋನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಲಿ

ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು 0 ರಿಂದ ವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (16.11) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಮೀರಿದರೆ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಲೋಲಕವು ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಕೋನವು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಲೋಲಕದ ಕೋನೀಯ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ ಮತ್ತು ಕೋನವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ಚಿಹ್ನೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರದ ಮುಂದೆ ಚಿಹ್ನೆ (16.11) ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕದ ಕೋನೀಯ ವೇಗವು ಮತ್ತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ ಮತ್ತು ಕೋನವು ಮತ್ತೆ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಲೋಲಕವು ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯ

ಲೋಲಕವು ಆಂದೋಲನಗೊಂಡಾಗ, ಲಂಬದಿಂದ ಅದರ ವಿಚಲನದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಲೋಲಕದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಥವಾ ಅದರ ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದದ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲೋಲಕವನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ವಿಚಲಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಿಲ್ಲದೆ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದಾಗ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಆದ್ದರಿಂದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಂತಿಮ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಲೋಲಕದ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಲೋಲಕದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸಮಯವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆಗ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದರ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (16.15) ವಿಲೋಮವು ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ:

ಇದು ಜಾಕೋಬಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ

ಲೋಲಕದ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಂದೋಲನಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವನ್ನು ಅದರ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು T ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ T ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ

0 ರಿಂದ ಬದಲಾಗುವಾಗ 0 ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ,

ಆದ್ದರಿಂದ

ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ).

ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಮತ್ತು .

ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರಗಳು

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಸಣ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ (ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ 20 ° ಮೀರಬಾರದು), ನೀವು ಹಾಕಬಹುದು

ನಂತರ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ: