s ಇಲ್ಲದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಪರಿಹಾರಗಳು, ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ನಾವು ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ " ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು? ಅವರ ಪ್ರಕಾರಗಳು

ಮೊದಲು ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಇದರ ನಂತರ, ನೀವು ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ a x 2 +b x+c=0, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಹೇಳೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಎರಡನೇ ಪದವಿ.

ಹೇಳಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು a·x 2 +b·x+c=0, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ a ಅನ್ನು ಮೊದಲ, ಅಥವಾ ಅತ್ಯಧಿಕ ಅಥವಾ x 2 ನ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, b ಎಂಬುದು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ, ಅಥವಾ x ನ ಗುಣಾಂಕ, ಮತ್ತು c ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 x 2 -2 x -3=0 ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 5 ಆಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವು −2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದವು -3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಮತ್ತು/ಅಥವಾ c ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕಿರು ರೂಪವು 5 x 2 +(-2 ) ಬದಲಿಗೆ 5 x 2 -2 x-3=0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ·x+(-3)=0 .

a ಮತ್ತು/ಅಥವಾ b ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ಅಥವಾ −1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅಂತಹ ಬರವಣಿಗೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y 2 -y+3=0 ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು y ನ ಗುಣಾಂಕವು −1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮುಟ್ಟದ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x 2 -3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, ಇತ್ಯಾದಿ. - ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. A 5 x 2 -x−1=0, ಇತ್ಯಾದಿ. - ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದರಂತೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೇಗೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

3 x 2 +12 x−7=0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ಇದು ಒಂದೇ, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ಮತ್ತು ನಂತರ (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, ಎಲ್ಲಿಂದ . ಈ ರೀತಿ ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು a≠0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ a x 2 + b x + c = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a = 0 ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ b x + c = 0 ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು a x 2 +b x+c=0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ, ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು b, c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ.

ಅದರ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಚರ್ಚೆಗಳಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಂಕ b ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +0·x+c=0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು a·x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. c=0, ಅಂದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +b·x+0=0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು a·x 2 +b·x=0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು b=0 ಮತ್ತು c=0 ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು a·x 2 =0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಎಡ-ಬದಿಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಉಚಿತ ಪದ ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಹೆಸರು - ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ x 2 +x+1=0 ಮತ್ತು -2 x 2 -5 x+0.2=0 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , -x 2 -5 x=0 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಅದು ಇದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮೂರು ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

a·x 2 =0, ಗುಣಾಂಕಗಳು b=0 ಮತ್ತು c=0 ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
a x 2 +c=0 ಯಾವಾಗ b=0 ;
ಮತ್ತು a·x 2 +b·x=0 ಯಾವಾಗ c=0.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

a x 2 =0

ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಮತ್ತು c ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ x 2 =0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ. a·x 2 =0 ಸಮೀಕರಣವು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲದಿಂದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x 2 =0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 0 2 =0. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ p 2 >0 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ p≠0 ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆ p 2 =0 ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 =0 ಒಂದೇ ಮೂಲ x=0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ -4 x 2 =0. ಇದು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲವು x=0 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

ಗುಣಾಂಕ b ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು c≠0 ಆಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ, ಅಂದರೆ x 2 +c=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x 2 +c=0 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು:

c ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x 2 =-c ನೀಡುತ್ತದೆ,
ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು c ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=1 ಮತ್ತು c=2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ) ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=-2 ಮತ್ತು c=6, ನಂತರ ), ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ , ಏಕೆಂದರೆ ಷರತ್ತು c≠0. ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾವಾಗ , ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ, ರಿಂದ . ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಎಂದು ಘೋಷಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚಿಸಲಾದ x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲ x 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು x ಬದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ x 1 2 -x 2 2 =0 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು x 1 -x 2 =0 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 1 +x 2 =0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, x 2 =x 1 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 2 =-x 1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು x 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,
ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು , ವೇಳೆ .

a·x 2 +c=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

9 x 2 +7=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು 9 x 2 =-7 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು 9 x 2 +7 = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ -x 2 +9=0. ನಾವು ಒಂಬತ್ತನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ: -x 2 =-9. ಈಗ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು x 2 = 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ . ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು −x 2 +9=0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=3 ಅಥವಾ x=-3.

a x 2 +b x=0

c=0 ಗಾಗಿ ಕೊನೆಯ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. x 2 + b x = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಮಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ x ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಕು. ಇದು ನಮಗೆ ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x·(a·x+b)=0 ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು x=0 ಮತ್ತು a·x+b=0 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x=−b/a ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +b·x=0 x=0 ಮತ್ತು x=−b/a ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು x=0 ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು x=0 ಮತ್ತು .

ಅಗತ್ಯ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:

x=0, .

ತಾರತಮ್ಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಒಂದು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ:, ಎಲ್ಲಿ D=b 2 -4 a c- ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ. ಪ್ರವೇಶವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ನಾವು a·x 2 +b·x+c=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ: . ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.
ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ .
ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು a·x 2 +b·x+c=0 ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ;
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲವು ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ;
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅಥವಾ , ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ , ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಛೇದ 4·a 2 ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ b 2 −4·a·c. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ b 2 -4 a c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯಮತ್ತು ಪತ್ರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಿ. ಇಲ್ಲಿಂದ ತಾರತಮ್ಯದ ಸಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು - ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು.

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: . ಮತ್ತು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
D=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ, ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಂದ ನಂತರ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳು ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ D=b 2 −4·a·c ಸೂತ್ರದಿಂದ ತಾರತಮ್ಯ D ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಟ್ನ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕಬೇರುಗಳು, ನಾವು ಪಡೆದ ಅದೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಮೇಲಿನ ತರ್ಕವು ನಮಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು a x 2 +b x+c=0, ನಿಮಗೆ ಇವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು D=b 2 −4·a·c, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;
ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ;
D=0 ವೇಳೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ; ಅದು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಹೋಗಬಹುದು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅವರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

x 2 +2·x−6=0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a=1, b=2 ಮತ್ತು c=−6. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದ a, b ಮತ್ತು c ಅನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 ರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಗುಣಕವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆಭಾಗದ ಕಡಿತದ ನಂತರ:

ಉತ್ತರ:

ಮುಂದಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ −4 x 2 +28 x−49=0 .

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ,

ಉತ್ತರ:

x=3.5.

ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5·y 2 +6·y+2=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: a=5, b=6 ಮತ್ತು c=2. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ D=b 2 −4·a·c=6 2 -4·5·2=36−40=−4. ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು:

ಉತ್ತರ:

ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು: .

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸೋಣ.

ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೂಟ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಫಾರ್ಮುಲಾ, ಅಲ್ಲಿ D=b 2 -4·a·c ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು x ಗಾಗಿ ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ a ನೊಂದಿಗೆ 2·n ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಾಂಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ 14· ln5=2·7·ln5 ). ಅವಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕೋಣ.

ನಾವು x 2 +2 n x+c=0 ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ n 2 -a c ಅನ್ನು D 1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು D " ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2 n ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. , ಅಲ್ಲಿ D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, ಅಥವಾ D 1 =D/4 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ 1 ತಾರತಮ್ಯದ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಡಿ 1 ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಡಿ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಡಿ 1 ಚಿಹ್ನೆಯು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2·n ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

D 1 =n 2 -a·c ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
ಡಿ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 =0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;
D 1 >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5 x 2 -6 x -32=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು 2·(−3) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ಇಲ್ಲಿ a=5, n=-3 ಮತ್ತು c=−32 ನಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯ: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ಅದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ: "ಈ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ 1100 x 2 -400 x-600=0 ಗಿಂತ 11 x 2 -4 x−6=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ 1100 x 2 -400 x -600=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 x 2 −42 x+48=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ 2 x 2 -7 x+8=0 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಛೇದದಿಂದ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು LCM(6, 3, 1)=6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸರಳವಾದ ರೂಪ x 2 +4·x−18=0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಗುಣಾಂಕದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಲು) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ -2 x 2 -3 x+7=0 ಪರಿಹಾರ 2 x 2 +3 x−7=0 ಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪ ಮತ್ತು . ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7/3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 22 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. /3.

ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: .

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ. ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 11 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2009. - 215 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01155-2.

ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = o ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a, b ಮತ್ತು c ಅಜ್ಞಾತ x ಗೆ ನಿಜವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ a ≠ o, ಮತ್ತು b ಮತ್ತು c ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, c = o, b ≠ o ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬಹುತೇಕ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ a ≠ o, b ಮತ್ತು c ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಮೌಲ್ಯವು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸೋಣ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಹ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳು o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ.
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. 2x 2 -9x-5 = ಓಹ್, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
D = 81+40 = 121,
D ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಬೇರುಗಳಿವೆ, x 1 = (9+√121):4 = 5, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ x 2 = (9-√121):4 = -o.5. ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವು ಸರಿಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಂತ-ಹಂತದ ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿದೆ

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅದರಲ್ಲಿ ≠ o ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಇರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಕೊಡಲಿ 2 +ಇನ್ = ಒ. ಉಚಿತ ಪದ, ಗುಣಾಂಕ c x 0, ಇಲ್ಲಿ ≠ o ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ನೆನಪಿರಲಿ.
x(ax+b) = o, ಇದು x = o ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ ax+b = o ಆಗಿರಬಹುದು.
2 ನೆಯದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು x = -в/а ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು x 1 = 0 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, x 2 = -b/a ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರ.
ಈಗ x ನ ಗುಣಾಂಕವು o ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು c ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (≠) o.
x 2 +c = o. ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ c ಅನ್ನು ಸರಿಸೋಣ, ನಾವು x 2 = -с ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. -c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ (c ‹ o) ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
x 1 ನಂತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ √(-c) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, x 2 -√(-c). ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆ: b = c = o, ಅಂದರೆ, ಕೊಡಲಿ 2 = o. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, x = o.

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, x ನ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
k = o.5b ಅನ್ನು ಬಿಡಿ. ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
D/4 = k 2 - ac, ಬೇರುಗಳನ್ನು x 1,2 = (-k±√(D/4))/a ಗಾಗಿ D › o ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
x = -k/a ನಲ್ಲಿ D = o.
D ‹ o ಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, x ವರ್ಗದ ಗುಣಾಂಕವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ x 2 + рх + q = o ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳು ಅವರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ, x 2 -4x-9 = 0. D ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀಡಲಾದವುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು -p ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವು ಮೈನಸ್ (ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದರ್ಥ), ಮತ್ತು ಅದೇ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇರುತ್ತದೆ ಉಚಿತ ಪದವಾದ q ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭ ಎಂದು ನೋಡಿ. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ (ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ), ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ: ಮೊತ್ತ x 1 + x 2 -b/a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನ x 1 · x 2 c/a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉಚಿತ ಪದದ ಮೊತ್ತ c ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ a ಗುಣಾಂಕ b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭ), ಮೊದಲನೆಯದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ -1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು -c/a, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀವೇ ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಪೈನಷ್ಟು ಸುಲಭ. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದು

x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು o ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು 1 ಮತ್ತು c/a. ಉದಾಹರಣೆ, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

ವಿವಿಧ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಪದದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ಬೀಜಗಳಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು "ಕ್ಲಿಕ್" ಮಾಡಲು ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ.

ಈ ಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ:
- ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು
- ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ).

ಇದಲ್ಲದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $81x^2-16x-1=0$ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ ಅಲ್ಲ: $x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05$

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸುವಾಗ, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಪೋಷಕರಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ನೀವು ಬೋಧಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರರು ಅಥವಾ ಸಹೋದರಿಯರ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ನೀವು ನಡೆಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಅವಧಿ ಅಥವಾ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು: 2.5x - 3.5x^2

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾತ್ರ ಭಾಗದ ಅಂಶ, ಛೇದ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಛೇದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವನ್ನು ವಿಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಛೇದದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: /
ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಆಂಪರ್ಸಂಡ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: &
ಇನ್‌ಪುಟ್: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ಫಲಿತಾಂಶ: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ ನೀವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದೇ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು.
ನೀವು AdBlock ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿರಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ.

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ JavaScript ಅನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು JavaScript ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು.
ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸೂಚನೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಜನರು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.
ದಯಮಾಡಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ ಸೆಕೆಂಡ್...

ನೀನೇನಾದರೂ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಮರೆಯಬೇಡ ಯಾವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿನೀವು ಏನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಆಟಗಳು, ಒಗಟುಗಳು, ಎಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು:

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳು. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು
$-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
ತೋರುತ್ತಿದೆ
$ax^2+bx+c=0, $
ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, a, b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a = -1, b = 6 ಮತ್ತು c = 1.4, ಎರಡನೆಯದು a = 8, b = -7 ಮತ್ತು c = 0, ಮೂರನೇ a = 1, b = 0 ಮತ್ತು c = 4/9. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ax 2 +bx+c=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $a \neq 0 $.

ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ b ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ.

ax 2 +bx+c=0 ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, $a\neq 0$, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

x 2 ರ ಗುಣಾಂಕವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಿ 2 +bx+c=0 ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು b ಅಥವಾ c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಹೀಗಾಗಿ, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ b=0, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ c=0, ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ b=0 ಮತ್ತು c=0.

ಮೂರು ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ:
1) ಕೊಡಲಿ 2 +c=0, ಅಲ್ಲಿ $c \neq 0 $;
2) ಕೊಡಲಿ 2 +bx=0, ಅಲ್ಲಿ $b \neq 0 $;
3) ಕೊಡಲಿ 2 =0.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

$c \neq 0 $ ಗಾಗಿ ax 2 +c=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

$c \neq 0 $, ನಂತರ $-\frac(c)(a) \neq 0 $

$-\frac(c)(a)>0$, ಆಗ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

$-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು \(b \neq 0 $ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (ಅರೇ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

ಇದರರ್ಥ $b \neq 0 $ ಗಾಗಿ ax 2 +bx=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕೊಡಲಿ 2 =0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ಮೂಲ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊಡಲಿ 2 +bx+c=0 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \ರೈಟ್‌ಟಾರೋ \ಎಡ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ax 2 +bx+c=0 (ಲ್ಯಾಟಿನ್‌ನಲ್ಲಿ "ತಾರತಮ್ಯ" - ತಾರತಮ್ಯಕಾರ). ಇದನ್ನು ಡಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
$D = b^2-4ac$

ಈಗ, ತಾರತಮ್ಯದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, ಅಲ್ಲಿ $D= b^2-4ac $

ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:
1) D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
2) D=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ $x=-\frac(b)(2a)$.
3) D ಆಗಿದ್ದರೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (D > 0 ಗೆ), ಒಂದು ಮೂಲ (D = 0 ಗಾಗಿ) ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (D ಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸೂತ್ರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:
1) ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ;
2) ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ; ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊಡಲಿ 2 -7x+10=0 ಬೇರುಗಳು 2 ಮತ್ತು 5. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು 10 ಆಗಿದೆ. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಚಿಹ್ನೆ, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಮೂಲಗಳು x 2 +px+q=0 ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

"ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾರ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ, ಅದರ ಜೊತೆಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ದೃಶ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ a x 2 + b x + c = 0, ಎಲ್ಲಿ X- ವೇರಿಯೇಬಲ್, a , b ಮತ್ತು ಸಿ- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಎಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ನೀಡಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b ಮತ್ತು ಸಿಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ a x 2 + b x + c = 0, ಗುಣಾಂಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎ x 2 ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ, ಅಥವಾ ಹಿರಿಯ, ಅಥವಾ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, b - ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ, ಅಥವಾ ಗುಣಾಂಕ X, ಎ ಸಿಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 6, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ − 2 , ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ − 11 . ಗುಣಾಂಕಗಳು ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ ಬಿಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ರೂಪದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ಆದರೆ ಅಲ್ಲ 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

ನಾವು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ: ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಬಿಸಮಾನ 1 ಅಥವಾ − 1 , ನಂತರ ಅವರು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿರಬಹುದು, ಇದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y 2 - y + 7 = 0ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ − 1 .

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿದೆ.

9 x 2 - x - 2 = 0- ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 .

ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ (ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರ) ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣವು ನೀಡಲಾದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಗಣನೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

6 x 2 + 18 x - 7 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ . ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೇಲಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0.ಇಲ್ಲಿಂದ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . ಹೀಗಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ. ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ a ≠ 0. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿತಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ a x 2 + b x + c = 0ರಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಚೌಕವಾಗಿತ್ತು a = 0ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ b x + c = 0.

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಬಿಮತ್ತು ಸಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಜಂಟಿಯಾಗಿ), ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ- ಅಂತಹ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ a x 2 + b x + c = 0,ಅಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ ಬಿಮತ್ತು ಸಿ(ಅಥವಾ ಎರಡೂ) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ- ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಏಕೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.

b = 0 ಆಗಿರುವಾಗ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ a x 2 + 0 x + c = 0, ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ a x 2 + c = 0. ನಲ್ಲಿ c = 0ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ a x 2 + b x + 0 = 0, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a x 2 + b x = 0. ನಲ್ಲಿ b = 0ಮತ್ತು c = 0ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ a x 2 = 0. ನಾವು ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಎಡ-ಬದಿಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಪದ ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸತ್ಯವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಿತು - ಅಪೂರ್ಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 + 3 x + 4 = 0 ಮತ್ತು - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

a x 2 = 0, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ b = 0ಮತ್ತು c = 0;
a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 ನಲ್ಲಿ c = 0.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

a x 2 =0 ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಬಿಮತ್ತು ಸಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಸಮೀಕರಣ a x 2 = 0ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು x 2 = 0, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ x 2 = 0ಇದು ಶೂನ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ 0 2 = 0 . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪ,ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಲ್ಲ, ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಪು 2 > 0, ಅದು ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಪು ≠ 0ಸಮಾನತೆ ಪು 2 = 0ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x 2 = 0 ಒಂದೇ ಮೂಲವಿದೆ x = 0.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ − 3 x 2 = 0. ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x 2 = 0, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲ x = 0, ನಂತರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಶೂನ್ಯ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನದು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ b = 0, c ≠ 0, ಅಂದರೆ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು a x 2 + c = 0. ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಪದವನ್ನು ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧದ ಕಡೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ:

ವರ್ಗಾವಣೆ ಸಿಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ a x 2 = - c;
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಎ, ನಾವು x = - c a ನೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ; ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸತ್ಯವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವುದರಿಂದ ಎಮತ್ತು ಸಿಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ - c a ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ: ಇದು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ a = 1ಮತ್ತು c = 2, ನಂತರ - c a = - 2 1 = - 2) ಅಥವಾ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ a = - 2ಮತ್ತು c = 6, ನಂತರ - ಸಿ a = - 6 - 2 = 3); ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿ ≠ 0. ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸೋಣ - ಸಿ ಎ< 0 и - c a > 0 .

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ - ಸಿ ಎ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа ಪಸಮಾನತೆ p 2 = - c a ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಯಾವಾಗ ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - c a > 0: ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಮತ್ತು x 2 = - c a ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆ - c a, ರಿಂದ - c a 2 = - c a ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ - - c a ಸಮೀಕರಣದ x 2 = - c a: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, - - c a 2 = - c a ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಇದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲೆ ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ x 1ಮತ್ತು − x 1. x 2 = - c a ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ x 2, ಇದು ಬೇರುಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ x 1ಮತ್ತು − x 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ Xಅದರ ಬೇರುಗಳು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫಾರ್ x 1ಮತ್ತು − x 1ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: x 1 2 = - c a , ಮತ್ತು x 2- x 2 2 = - c a . ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಒಂದು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಪದದಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ: x 1 2 - x 2 2 = 0. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x 1 - x 2 = 0ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 1 + x 2 = 0, ಅದೇ ಆಗಿದೆ x 2 = x 1ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 2 = - x 1. ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು x 2ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ x 1ಮತ್ತು − x 1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು x = - c a ಮತ್ತು x = - - c a ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ a x 2 + c = 0 x 2 = - c a ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು:

ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ - ಸಿ a< 0 ;
x = - c a ಮತ್ತು x = - - c a for - c a > 0 ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ a x 2 + c = 0.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ 9 x 2 + 7 = 0.ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ 9 x 2 = - 7.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಭಾಗಿಸೋಣ 9 , ನಾವು x 2 = - 7 9 ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ 9 x 2 + 7 = 0ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಸಮೀಕರಣ 9 x 2 + 7 = 0ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ - x 2 + 36 = 0.

ಪರಿಹಾರ

36 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ: - x 2 = - 36.
ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ − 1 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 2 = 36. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು x = 36 ಅಥವಾ x = - 36
ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ - x 2 + 36 = 0ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=6ಅಥವಾ x = - 6.

ಉತ್ತರ: x=6ಅಥವಾ x = - 6.

a x 2 +b x=0 ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ, ಯಾವಾಗ c = 0. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು a x 2 + b x = 0, ನಾವು ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸೋಣ X. ಈ ಹಂತವು ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ x (a x + b) = 0. ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x = 0ಮತ್ತು a x + b = 0. ಸಮೀಕರಣ a x + b = 0ರೇಖೀಯ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲ: x = - b a.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ a x 2 + b x = 0ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ x = 0ಮತ್ತು x = - b a.

ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ Xಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಹೊರಗೆ ನಾವು x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x = 0ಮತ್ತು 2 3 x - 2 2 7 = 0. ಈಗ ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ಅಥವಾ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ಅಥವಾ x = 3 3 7

ಉತ್ತರ: x = 0, x = 3 3 7.

ತಾರತಮ್ಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಒಂದು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8

x = - b ± D 2 · a, ಅಲ್ಲಿ D = b 2 - 4 a c- ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ.

x = - b ± D 2 · a ಎಂದು ಬರೆಯುವುದು ಎಂದರೆ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸೋಣ a x 2 + b x + c = 0. ನಾವು ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ:

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಎ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ಸಿ ಎ
ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
ಈಗ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ a x 2 + b x + c = 0.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ (ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು). ಈಗಾಗಲೇ ಪಡೆದ ಅನುಭವವು x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

b 2 - 4 a c 4 a 2 ಜೊತೆಗೆ< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವು x + b 2 · a 2 = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x + b 2 · a = 0.

ಇಲ್ಲಿಂದ ಕೇವಲ ರೂಟ್ x = - b 2 · a ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ;

b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ಅಥವಾ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ಇದು x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ಅಥವಾ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ಅಂದರೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

x + b 2 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ) b ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, (ಛೇದ 4 ಮತ್ತು 2ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆ b 2 - 4 a c. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ b 2 - 4 a cಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು D ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಅದರ ಪದನಾಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ತಾರತಮ್ಯದ ಸಾರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು - ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು - ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ತಾರತಮ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

ನಾವು ನಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ರೂಪಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9

ನಲ್ಲಿ ಡಿ< 0 ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ;
ನಲ್ಲಿ D=0ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x = - b 2 · a ;
ನಲ್ಲಿ ಡಿ > 0ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ಅಥವಾ x = - b 2 · a - D 4 · a 2. ರಾಡಿಕಲ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. ಮತ್ತು, ನಾವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆದಾಗ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಂದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, ತಾರತಮ್ಯ ಡಿಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ D = b 2 - 4 a c.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಎರಡೂ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಮ್ಮನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ನಾವು ಪಡೆದ ಅದೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪಾಲು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ ಹುಡುಕುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ನಂತರ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ), ತದನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯ.

ಮೇಲಿನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು a x 2 + b x + c = 0, ಅಗತ್ಯ:

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ D = b 2 - 4 a cತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
ಡಿ ನಲ್ಲಿ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
D = 0 ಗಾಗಿ, x = - b 2 · a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
D > 0 ಗಾಗಿ, x = - b ± D 2 · a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನೀವು x = - b ± D 2 · a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು x = - b 2 · a ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ತಾರತಮ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು x 2 + 2 x - 6 = 0.

ಪರಿಹಾರ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: a = 1, b = 2 ಮತ್ತು c = - 6. ಮುಂದೆ ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು a, b ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು D > 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನಾವು x = - b ± D 2 · a ಎಂಬ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x = - 2 ± 28 2 · 1. ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಂತರ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ಅಥವಾ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ಅಥವಾ x = - 1 - 7

ಉತ್ತರ: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

ಪರಿಹಾರ

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: D = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. ತಾರತಮ್ಯದ ಈ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು x = - b 2 · a ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

ಉತ್ತರ: x = 3.5.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು: a = 5, b = 6 ಮತ್ತು c = 2. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ಅಥವಾ x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ಅಥವಾ x = - 3 5 - 1 5 · i.

ಉತ್ತರ:ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಉತ್ತರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೂಟ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ

x = - b ± D 2 ಅಥವಾ ರೂಪ 2 · n ನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 3 ಅಥವಾ 14 ln 5 = 2 7 ln 5). ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸೋಣ. ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಡಿ = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ n 2 - a · c ಅನ್ನು D 1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು D " ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಂತರ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2 · n ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

x = - n ± D 1 a, ಅಲ್ಲಿ D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, ಅಥವಾ D 1 = D 4 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ 1 ತಾರತಮ್ಯದ ಕಾಲು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಡಿ 1 ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಡಿ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಡಿ 1 ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 11

ಹೀಗಾಗಿ, 2 n ನ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

D 1 = n 2 - a · c ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
ಡಿ 1 ನಲ್ಲಿ< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
ಯಾವಾಗ D 1 = 0, x = - n a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;
D 1 > 0 ಗಾಗಿ, x = - n ± D 1 a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

5 x 2 - 6 x - 32 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು 2 · (- 3) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ನೀಡಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a = 5, n = - 3 ಮತ್ತು c = - 32.

ತಾರತಮ್ಯದ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: D 1 = n 2 - a · c = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ಅಥವಾ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ಅಥವಾ x = - 2

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 3 1 5 ಅಥವಾ x = - 2 .

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1200 x 2 - 4 x - 7 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 ಗಿಂತ ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ನಾವು 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವು ಸಾಧ್ಯ. ನಂತರ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ GCD ಅನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 x 2 - 7 x + 8 = 0 ಪಡೆಯೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೀರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 ಅನ್ನು LCM (6, 3, 1) = 6 ನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ x 2 + 4 x ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. - 18 = 0 .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು − 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, ನೀವು ಅದರ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿ 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 ಗೆ ಹೋಗಬಹುದು.

ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ, x = - b ± D 2 · a, ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಇತರ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ:

x 1 + x 2 = - b a ಮತ್ತು x 2 = c a.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7 3 ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 22 3 ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ನೀವು ಹಲವಾರು ಇತರ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಕೇವಲ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ, ಸರಳ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ. ರೂಪಕ್ಕೆ:

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ

ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಾರತಮ್ಯ . ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು

ನಾವು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೀವಿ ಕೇವಲ a, b ಮತ್ತು c. ಆ. ನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ. ಅದನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಇರಿಸಿ

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು a, b ಮತ್ತು cನಾವು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅವರಚಿಹ್ನೆಗಳು!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ:

ಎ =1; ಬಿ = 3; ಸಿ = -4.

ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇದು ಉತ್ತರ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳೆಂದರೆ ಚಿಹ್ನೆ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲ a, bಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ. ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಪರ್ಯಾಯದೊಂದಿಗೆ

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಸೂತ್ರದ ವಿವರವಾದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಇಲ್ಲಿ ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡಿ!

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಎ = -6; ಬಿ = -5; ಸಿ = -1

ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರವಾಗಿ, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ:

ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ಗಮನಿಸಿ.

ಮೊದಲ ನೇಮಕಾತಿ. ಮೊದಲು ಸೋಮಾರಿಯಾಗಬೇಡ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು.

ಇದರ ಅರ್ಥ ಏನು?

ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ! ನೀವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ a, b ಮತ್ತು c.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಮೊದಲು, X ವರ್ಗ, ನಂತರ ಚೌಕವಿಲ್ಲದೆ, ನಂತರ ಉಚಿತ ಪದ. ಹೀಗೆ:

ಮೈನಸ್ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ಹೇಗೆ? ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ಈಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಗಿಸಬಹುದು.

ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನೀವು ಈಗ 2 ಮತ್ತು -1 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಎರಡನೇ ಸ್ವಾಗತ.ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ! ಮೂಲಕ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ.

ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ

x 2 +bx+c=0,

ನಂತರx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =-ಬಿ

ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ a≠1:

x 2 +ಬಿx+ಸಿ=0,

ಇಡೀ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಉ:

→ →

ಎಲ್ಲಿ x 1ಮತ್ತು X 2 - ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು.

ಮೂರನೇ ಸ್ವಾಗತ. ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಿ! ಗುಣಿಸಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ.

ತೀರ್ಮಾನ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಲಹೆಗಳು:

1. ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಿ.

2. X ವರ್ಗದ ಮುಂದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ

-1 ರಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

3. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ

ಅಂಶ.

4. x ವರ್ಗವು ಶುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು