ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು. ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ: ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು

ಈ ಲೇಖನವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತದೆ: ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ; ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವು A x + B y + C \u003d 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ A, B, C ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (A ಮತ್ತು B ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು A, B, C ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗೆ A x + B y + C = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. A x + B y + C = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0, y 0) ಇರಲಿ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು A x + B y + C = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಹೀಗೆ: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಂದ, ನಾವು A ನಂತೆ ಕಾಣುವ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ಇದು A x + B y + C = 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಮೀಕರಣ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ n → = (A, B) ಮತ್ತು M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . ಹೀಗಾಗಿ, M (x, y) ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ n → = (A, B) ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು n → = (A, B) ಮತ್ತು M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣ A x + B y + C \u003d 0 ಅದೇ ಸಾಲನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

1. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಡಿಗ್ರಿ A x + B y + C = 0 ನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ; ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0 , y 0) ಈ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ n → = (A , B) .

ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ M (x , y) ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿ - ರೇಖೆಯ ತೇಲುವ ಬಿಂದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳು n → = (A , B) ಮತ್ತು M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ, C: C = - A x 0 - B y 0 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ A x + B y + C = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಇಡೀ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಹಾಗೆ ಕಾಣುವ ಸಮೀಕರಣ A x + B y + C = 0 - ಇದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿಓ ಎಕ್ಸ್ ವೈ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸ್ಥಿರ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ A ಮತ್ತು B ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು A x + B y + ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. C = 0

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

2 x + 3 y - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ n → = (2 , 3) ​​. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಹ ವಾದಿಸಬಹುದು: ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ 2 x + 3 y - 2 = 0 ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ λ ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ- A x + B y + C \u003d 0 ರೇಖೆಯ ಅಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇದರಲ್ಲಿ A, B, C ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಅಪೂರ್ಣ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.

1. ಯಾವಾಗ A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು B y + C \u003d 0 ಆಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು O x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y ನಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. - ಸಿ ಬಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, A x + B y + C \u003d 0 ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು A \u003d 0, B ≠ 0, ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು (x, y) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. - ಸಿ ಬಿ.
2. A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು y \u003d 0 ಆಗುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವು x-ಆಕ್ಸಿಸ್ O x ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.
3. ಯಾವಾಗ A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ A x + C \u003d 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು y- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು x \u003d 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು O y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
5. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು A x + B y \u003d 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (0 , 0) A x + B y = 0 ಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ A · 0 + B · 0 = 0 .

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು y- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ 2 7, - 11 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

Y- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು A x + C \u003d 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ A ≠ 0. ಸ್ಥಿತಿಯು ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ A x + C = 0 , ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ:

A 2 7 + C = 0

A ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಅದರಿಂದ C ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A = 7 . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. A ಮತ್ತು C ಎರಡರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು A x + C = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ: 7 x - 2 = 0

ಉತ್ತರ: 7 x - 2 = 0

ಉದಾಹರಣೆ 2

ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ನೀಡಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು O x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ (0 , 3) ​​ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ B y + С = 0 ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0, 3), ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, B y + С = 0 ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: В · 3 + С = 0. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಬಿ ಹೊಂದಿಸೋಣ. B \u003d 1 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ B · 3 + C \u003d 0 ನಿಂದ ನಾವು C: C \u003d - 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. B ಮತ್ತು C ಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: y - 3 = 0.

ಉತ್ತರ: y - 3 = 0 .

ಸಮತಲದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು M 0 (x 0, y 0) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆ ನಿಜ: A x 0 + B y 0 + C = 0 . ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0, y 0) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ n → \u003d (A, B) .

ನಾವು ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದು M 0 (- 3, 4) ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ n → = (1 , - 2) . ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. ನಂತರ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಿತ್ತು. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು A x + B y + C = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ಈಗ ನಾವು ಸಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (- 3, 4) ಅನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ x - 2 · y + C = 0 , ಅಂದರೆ. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. ಆದ್ದರಿಂದ C = 11. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x - 2 · y + 11 = 0 .

ಉತ್ತರ: x - 2 y + 11 = 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 2 3 x - y - 1 2 = 0 ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು - 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

M 0 ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪದನಾಮವನ್ನು x 0 ಮತ್ತು y 0 ಎಂದು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು x 0 \u003d - 3 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

ಉತ್ತರ: - 5 2

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಿವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, A x + B y + C = 0 ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ x - x 1 a x = y - y 1 a y .

A ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು B y ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ A ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A x + C A = - B y .

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: x + C A - B = y A .

B ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ A x ಪದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಇತರರನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A x \u003d - B y - C. ನಾವು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ - ಬಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ, ನಂತರ: A x \u003d - B y + C B.

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: x - B = y + C B A .

ಸಹಜವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 5

3 y - 4 = 0 ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 3 y - 4 = 0 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: 0 x ಪದವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ; ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ - ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ 3; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ: x - 3 = y - 4 3 0 . ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಉತ್ತರ: x - 3 = y - 4 3 0.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಮೊದಲು, ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು 2 x - 5 y - 1 = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡೋಣ:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ಈಗ λ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

ಉತ್ತರ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = k x + b ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ B ≠ 0 ಆಗ ಮಾತ್ರ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಪದವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಬಿ ವೈ , ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: B y = - A x - C . ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಿ ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ, ಅದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: y = - A B x - C B .

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 2 x + 7 y = 0 . ನೀವು ಆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಪರಿಹಾರ

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಅಗತ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

ಉತ್ತರ: y = - 2 7 x

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, x a + y b \u003d 1 ರೂಪದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಸಾಕು. ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು - С ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಛೇದಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ಉದಾಹರಣೆ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

1 2 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ -1/2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

ಉತ್ತರ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಿಮ್ಮುಖ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x = y

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನಿಂದ ಹಾದುಹೋಗಲು, ಮೊದಲು ಅಂಗೀಕೃತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ಉದಾಹರಣೆ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡೋಣ:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

ಅಂಗೀಕೃತದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

ಉತ್ತರ: y - 4 = 0

ಉದಾಹರಣೆ 10

x 3 + y 1 2 = 1 ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

ಉತ್ತರ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು

ಮೇಲೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (4 , 1) ಅನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ನಾವು ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಈಗ ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

ಉತ್ತರ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು x - 2 3 = y + 4 5 ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ x - 2 3 = y + 4 5 ಸಾಲಿನ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ n → = (3 , 5) . ನೇರ ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ O (0, 0) ಮೂಲಕ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ಉತ್ತರ: 3 x + 5 y = 0 .

ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಲಿ. ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಲ್ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತಾರೆ:

.

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀ , ಎನ್ಮತ್ತು ಪನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀ , ಎನ್ಮತ್ತು ಪಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಾಗಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ:

,

ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಝ್ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳೆರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಝ್, ಅಂದರೆ ವಿಮಾನಗಳು yOz .

ಉದಾಹರಣೆ 1ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಓಝ್ .

ಪರಿಹಾರ. ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಓಝ್. ಅಕ್ಷದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಓಝ್, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ, ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ x=y= 0, ನಾವು 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ z- 8 = 0 ಅಥವಾ z= 2. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಓಝ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (0; 0; 2) . ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ನೀಡಿದ ವಿಮಾನ.

ಈಗ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎ= (0; 0; 2) ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ:

ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ

.

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಉಲ್ಲೇಖದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ರಿಂದ , ನಂತರ ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಓಹ್ .

ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯಂತೆ ನೇರವಾಗಿ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ಸಮತಲಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂದರೆ, ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೀಡಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅಥವಾ, ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು, ನೀವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ yOzಮತ್ತು xOz .

ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದು yOz abscissa ಹೊಂದಿದೆ X= 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುವುದು X= 0 , ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಳ ನಿರ್ಧಾರ ವೈ = 2 , z= 6 ಜೊತೆಗೆ X= 0 ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎ(0; 2; 6) ಬಯಸಿದ ಸಾಲಿನ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಂತರ ಊಹಿಸಿ ವೈ= 0 , ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅವಳ ನಿರ್ಧಾರ X = -2 , z= 0 ಜೊತೆಗೆ ವೈ= 0 ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ(-2; 0; 0) ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನ xOz .

ಈಗ ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎ(0; 2; 6) ಮತ್ತು ಬಿ (-2; 0; 0) :

,

ಅಥವಾ ಛೇದಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ:

,

ಸರಳ ರೇಖೆಯು M 1 (x 1; y 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2; y 2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ. M 1 ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು y- y 1 \u003d ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ (x - x 1), (10.6)

ಎಲ್ಲಿ ಕೆ - ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯು M 2 (x 2 y 2) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (10.6): y 2 -y 1 \u003d ಕೆ (x 2 -x 1).

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಕೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (10.6), ನಾವು M 1 ಮತ್ತು M 2 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ

x 1 \u003d x 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, M 1 (x 1, y I) ಮತ್ತು M 2 (x 2, y 2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯು y- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ x = x 1 .

y 2 \u003d y I ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y \u003d y 1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಸರಳ ರೇಖೆ M 1 M 2 x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು M 1 (a; 0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು Oy ಅಕ್ಷವನ್ನು - M 2 (0; b) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ಆ.
. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಯಾವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ n = (A; B) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು Mo (x O; y o) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ M (x; y) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ M 0 M (x - x 0; y - y o) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (Fig. 1 ನೋಡಿ). n ಮತ್ತು M o M ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಅಂದರೆ,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

ಸಮೀಕರಣ (10.8) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ .

ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ n = (A; B) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (10.8) ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಆಹ್ + ವು + ಸಿ = 0 , (10.9)

ಅಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, C \u003d -Ax o - Vu o - ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ. ಸಮೀಕರಣ (10.9) ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ(Fig.2 ನೋಡಿ).

Fig.1 Fig.2

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

,

ಎಲ್ಲಿ
ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು
- ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವೃತ್ತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು

ವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಆರ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ
:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಾಲನ್ನು ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇದು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ
, foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದು
.

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ
ಜಿ ದೇಎ ಪ್ರಮುಖ ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸಿಸ್ನ ಉದ್ದ;ಬಿ ಮೈನರ್ ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸಿಸ್ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎ(X 1 , ವೈ 1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ,

ವೈ - ವೈ 1 = ಕೆ(X - X 1). (1)

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎ(X 1 , ವೈ 1), ಇದನ್ನು ಕಿರಣದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ: ಎ(X 1 , ವೈ 1) ಮತ್ತು ಬಿ(X 2 , ವೈ 2) ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ

3. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಮತ್ತು ಬಿಮೊದಲ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾದ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಇದು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಬಿ. ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ

ವೈ = ಕೆ 1 X + ಬಿ 1 ,

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಬಹುದು

ಆಹ್ + ವು + ಸಿ = 0,

ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು A, B ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ರೇಖೆಯು Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು Oy ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ (A, B) Ax + By + C = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. (3, -1) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ A(1, 2) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. A = 3 ಮತ್ತು B = -1 ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ: 3x - y + C = 0. ಗುಣಾಂಕ C ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ನೀಡಿದ ಬಿಂದು A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3 - 2 + C = 0, ಆದ್ದರಿಂದ, C = -1 . ಒಟ್ಟು: ಬಯಸಿದ ಸಮೀಕರಣ: 3x - y - 1 \u003d 0.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

M 1 (x 1, y 1, z 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2, y 2, z 2) ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ, ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಯಾವುದೇ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

x 1 ≠ x 2 ಮತ್ತು x = x 1 ಆಗಿದ್ದರೆ x 1 = x 2.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ = ಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರು ಅಂಶನೇರ.

ಉದಾಹರಣೆ. A(1, 2) ಮತ್ತು B(3, 4) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಒಟ್ಟು Ax + Wu + C = 0 ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ:

ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ , ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕೆ.

ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ (α 1, α 2), ಎ α 1 + ಬಿ α 2 = 0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಘಟಕಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆಹ್ + ವು + ಸಿ = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ (1, -1) ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A (1, 2) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ: Ax + By + C = 0. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

1 * A + (-1) * B = 0, ಅಂದರೆ. ಎ = ಬಿ.

ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: Ax + Ay + C = 0, ಅಥವಾ x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 ನಾವು C / A = -3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಬಯಸಿದ ಸಮೀಕರಣ:

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ Ah + Wu + C = 0 C≠0, ಆಗ, –C ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಅಥವಾ

ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎ x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಿ- ಓಯ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ.

ಉದಾಹರಣೆ. x - y + 1 = 0 ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

Ax + Vy + C = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ , ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶ, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆ ± ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ಉದಾಹರಣೆ. 12x - 5y - 65 = 0 ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ: (5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)

; cos φ = 12/13; ಪಾಪ φ= -5/13; ಪು=5.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವು 8 ಸೆಂ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A (-2, -3) ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , ನಂತರ ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

k 1 = k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. k 1 = -1/ k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ Ax + Vy + C \u003d 0 ಮತ್ತು A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. С 1 = λС ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (x 1, y 1) ಮತ್ತು y \u003d kx + b ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಪ್ರಮೇಯ. M(x 0, y 0) ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, Ax + Vy + C \u003d 0 ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

.

ಪುರಾವೆ. M 1 (x 1, y 1) ಬಿಂದುವು M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಬೀಳುವ ಲಂಬದ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M ಮತ್ತು M 1 ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ:

(1)

x 1 ಮತ್ತು y 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು:

ಸಿಸ್ಟಂನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ಬೈ 0 + C = 0,

ನಂತರ, ಪರಿಹರಿಸುವ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ಕೆ 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

ಉದಾಹರಣೆ. 3x - 5y + 7 = 0 ಮತ್ತು 10x + 6y - 3 = 0 ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. C ಶೃಂಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. AB ಬದಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವು: Ax + By + C = 0 ಅಥವಾ y = kx + b. ಕೆ = . ನಂತರ y = . ಏಕೆಂದರೆ ಎತ್ತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ C ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ: ಎಲ್ಲಿಂದ b = 17. ಒಟ್ಟು: .

ಉತ್ತರ: 3x + 2y - 34 = 0.