ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳು

ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವೇಳೆ ಎನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಒಂದು ಎನ್ , ನಂತರ ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ :

ಎ 1 , ಎ 2 , ಎ 3 , . . . , ಒಂದು ಎನ್ , . . . .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಾದದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಎ 1 ಎಂದು ಕರೆದರು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅವಧಿ , ಸಂಖ್ಯೆ ಎ 2 — ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡನೇ ಅವಧಿ , ಸಂಖ್ಯೆ ಎ 3 — ಮೂರನೆಯದು ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಎನ್ ಎಂದು ಕರೆದರು ಅನುಕ್ರಮದ n ನೇ ಸದಸ್ಯ , ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ — ಅವನ ಸಂಖ್ಯೆ .

ಇಬ್ಬರು ಪಕ್ಕದ ಸದಸ್ಯರಿಂದ ಒಂದು ಎನ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಎನ್ +1 ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯ ಒಂದು ಎನ್ +1 ಎಂದು ಕರೆದರು ನಂತರದ ( ಕಡೆಗೆ ಒಂದು ಎನ್ ), ಎ ಒಂದು ಎನ್ — ಹಿಂದಿನ ( ಕಡೆಗೆ ಒಂದು ಎನ್ +1 ).

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು , ಅಂದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸೂತ್ರ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಧನಾತ್ಮಕ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಬಹುದು

ಒಂದು ಎನ್= 2n- 1,

ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯದ ಅನುಕ್ರಮ 1 ಮತ್ತು -1 - ಸೂತ್ರ

ಬಿಎನ್ = (-1)ಎನ್ +1 . ◄

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಹಿಂದಿನ (ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಸದಸ್ಯರ ಮೂಲಕ, ಕೆಲವರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ 1 = 1 , ಎ ಒಂದು ಎನ್ +1 = ಒಂದು ಎನ್ + 5

ಎ 1 = 1,

ಎ 2 = ಎ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ಎ 3 = ಎ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ಎ 4 = ಎ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ಎ 5 = ಎ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ಒಂದು ವೇಳೆ a 1= 1, a 2 = 1, ಒಂದು ಎನ್ +2 = ಒಂದು ಎನ್ + ಒಂದು ಎನ್ +1 , ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಏಳು ಪದಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

ಒಂದು 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

ಒಂದು 5 = a 3 + ಒಂದು 4 = 2 + 3 = 5,

ಎ 6 = ಎ 4 + ಎ 5 = 3 + 5 = 8,

ಎ 7 = ಎ 5 + ಎ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಆಗಿರಬಹುದು ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ .

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಿಮ , ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ , ಅದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ಅಂತಿಮ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ. ◄

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ , ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ , ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2ಎನ್, . . . - ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ಎನ್, . . . - ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು. ◄

ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅಂಶಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮ .

ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತಿವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎ 1 , ಎ 2 , ಎ 3 , . . . , ಒಂದು ಎನ್, . . .

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಎನ್ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ಎನ್ +1 = ಒಂದು ಎನ್ + ಡಿ,

ಎಲ್ಲಿ ಡಿ - ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಂತರದ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

a 2 - ಎ 1 = a 3 - ಎ 2 = . . . = ಒಂದು ಎನ್ +1 - ಒಂದು ಎನ್ = ಡಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಡಿ ಎಂದು ಕರೆದರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ 1 = 3, ಡಿ = 4 , ನಂತರ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + ಡಿ = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + ಡಿ= 7 + 4 = 11,

ಒಂದು 4 = a 3 + ಡಿ= 11 + 4 = 15,

ಎ 5 = ಎ 4 + ಡಿ= 15 + 4 = 19. ◄

ಮೊದಲ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಎ 1 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ ಅವಳು ಎನ್

ಒಂದು ಎನ್ = a 1 + (ಎನ್- 1)ಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೂವತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ಡಿ = 3,

ಒಂದು 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ಒಂದು n-1 = a 1 + (ಎನ್- 2)d,

ಒಂದು ಎನ್= a 1 + (ಎನ್- 1)d,

ಒಂದು ಎನ್ +1 = ಎ 1 + nd,

ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a, b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇತರ ಎರಡರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಒಂದು ಎನ್ = 2ಎನ್- 7 , ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಒಂದು ಎನ್ = 2ಎನ್- 7,

ಒಂದು n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ಎನ್- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ಎನ್- 5.

ಆದ್ದರಿಂದ,

◄

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎನ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕೇವಲ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎ 1 , ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕೆ

ಒಂದು ಎನ್ = ಒಂದು ಕೆ + (ಎನ್- ಕೆ)ಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಫಾರ್ ಎ 5 ಬರೆಯಬಹುದು

ಒಂದು 5 = a 1 + 4ಡಿ,

ಒಂದು 5 = a 2 + 3ಡಿ,

ಒಂದು 5 = a 3 + 2ಡಿ,

ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + ಡಿ. ◄

ಒಂದು ಎನ್ = ಒಂದು ಎನ್-ಕೆ + ಕೆಡಿ,

ಒಂದು ಎನ್ = ಒಂದು n+k - ಕೆಡಿ,

ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

ಎರಡನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯ, ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಾನ ಅಂತರದ ಸದಸ್ಯರ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ

1) ಎ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ಎ 9 + ಎ 11 )/2;

2) 28 = ಒಂದು 10 = a 3 + 7ಡಿ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ಒಂದು 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ಏಕೆಂದರೆ

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ಎಸ್ ಎನ್= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ಒಂದು ಎನ್,

ಪ್ರಥಮ ಎನ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ತೀವ್ರ ಪದಗಳ ಅರ್ಧ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬೇಕಾದರೆ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಒಂದು ಕೆ, ಒಂದು ಕೆ +1 , . . . , ಒಂದು ಎನ್,

ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರವು ಅದರ ರಚನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ಎಸ್ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ಎಸ್ 10 - ಎಸ್ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಎ 1 , ಒಂದು ಎನ್, ಡಿ, ಎನ್ಮತ್ತುಎಸ್ ಎನ್ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮೂರು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇತರ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ:

• ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ > 0 , ನಂತರ ಅದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ < 0 , ನಂತರ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ = 0 , ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿ 1 , ಬಿ 2 , ಬಿ 3 , . . . , ಬಿ ಎನ್, . . .

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಎನ್ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:

ಬಿ ಎನ್ +1 = ಬಿ ಎನ್ · q,

ಎಲ್ಲಿ q ≠ 0 - ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಂತರದ ಪದದ ಅನುಪಾತವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಬಿ 2 / ಬಿ 1 = ಬಿ 3 / ಬಿ 2 = . . . = ಬಿ ಎನ್ +1 / ಬಿ ಎನ್ = q.

ಸಂಖ್ಯೆ q ಎಂದು ಕರೆದರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ 1 = 1, q = -3 , ನಂತರ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಬಿ 1 = 1,

ಬಿ 2 = ಬಿ 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ಬಿ 3 = ಬಿ 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ಬಿ 4 = ಬಿ 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ಬಿ 5 = ಬಿ 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ಬಿ 1 ಮತ್ತು ಛೇದ q ಅವಳು ಎನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಬಿ ಎನ್ = ಬಿ 1 · qn -1 .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಏಳನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 1, 2, 4, . . .

ಬಿ 1 = 1, q = 2,

ಬಿ 7 = ಬಿ 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ಬಿ 1 · qn -2 ,

ಬಿ ಎನ್ = ಬಿ 1 · qn -1 ,

ಬಿ ಎನ್ +1 = ಬಿ 1 · qn,

ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

ಬಿ ಎನ್ 2 = ಬಿ ಎನ್ -1 · ಬಿ ಎನ್ +1 ,

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದು, ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ (ಅನುಪಾತ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೊಂದಿದೆ:

a, b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವರ್ಗವು ಇತರ ಎರಡರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇತರ ಎರಡರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಸೂತ್ರವು ನೀಡಿದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಬಿ ಎನ್= -3 2 ಎನ್ , ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಬಿ ಎನ್= -3 2 ಎನ್,

ಬಿ ಎನ್ -1 = -3 2 ಎನ್ -1 ,

ಬಿ ಎನ್ +1 = -3 2 ಎನ್ +1 .

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಬಿ ಎನ್ 2 = (-3 2 ಎನ್) 2 = (-3 2 ಎನ್ -1 ) · (-3 · 2 ಎನ್ +1 ) = ಬಿ ಎನ್ -1 · ಬಿ ಎನ್ +1 ,

ಇದು ಬಯಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ◄

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎನ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕೇವಲ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಬಿ 1 , ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರೂ ಸಹ ಬಿ ಕೆ , ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಕು

ಬಿ ಎನ್ = ಬಿ ಕೆ · qn - ಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಫಾರ್ ಬಿ 5 ಬರೆಯಬಹುದು

ಬಿ 5 = ಬಿ 1 · q 4 ,

ಬಿ 5 = ಬಿ 2 · q 3,

ಬಿ 5 = ಬಿ 3 · q 2,

ಬಿ 5 = ಬಿ 4 · q. ◄

ಬಿ ಎನ್ = ಬಿ ಕೆ · qn - ಕೆ,

ಬಿ ಎನ್ = ಬಿ ಎನ್ - ಕೆ · q ಕೆ,

ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

ಬಿ ಎನ್ 2 = ಬಿ ಎನ್ - ಕೆ· ಬಿ ಎನ್ + ಕೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದದ ವರ್ಗವು, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಬಿ ಎಂ· ಬಿ ಎನ್= ಬಿ ಕೆ· ಬಿ ಎಲ್,

ಮೀ+ ಎನ್= ಕೆ+ ಎಲ್.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ

1) ಬಿ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ಬಿ 5 · ಬಿ 7 ;

2) 1024 = ಬಿ 11 = ಬಿ 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ಬಿ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ಬಿ 4 · ಬಿ 8 ;

4) ಬಿ 2 · ಬಿ 7 = ಬಿ 4 · ಬಿ 5 , ಏಕೆಂದರೆ

ಬಿ 2 · ಬಿ 7 = 2 · 64 = 128,

ಬಿ 4 · ಬಿ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ಎಸ್ ಎನ್= ಬಿ 1 + ಬಿ 2 + ಬಿ 3 + . . . + ಬಿ ಎನ್

ಪ್ರಥಮ ಎನ್ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು q ≠ 0 ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ q = 1 - ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ

ಎಸ್ ಎನ್= ಎನ್ಬಿ 1

ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬೇಕಾದರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಬಿ ಕೆ, ಬಿ ಕೆ +1 , . . . , ಬಿ ಎನ್,

ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ಎಸ್ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ಎಸ್ 10 - ಎಸ್ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬಿ 1 , ಬಿ ಎನ್, q, ಎನ್ಮತ್ತು ಎಸ್ ಎನ್ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮೂರು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇತರ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಬಿ 1 ಮತ್ತು ಛೇದ q ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು :

• ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಿ 1 > 0 ಮತ್ತು q> 1;

ಬಿ 1 < 0 ಮತ್ತು 0 < q< 1;

• ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಿ 1 > 0 ಮತ್ತು 0 < q< 1;

ಬಿ 1 < 0 ಮತ್ತು q> 1.

ಒಂದು ವೇಳೆ q< 0 , ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ: ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಪದಗಳು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪದಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಎನ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

Pn= ಬಿ 1 · ಬಿ 2 · ಬಿ 3 · . . . · ಬಿ ಎನ್ = (ಬಿ 1 · ಬಿ ಎನ್) ಎನ್ / 2 .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು ಛೇದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 1 , ಅದು

|q| < 1 .

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ

1 < q< 0 .

ಅಂತಹ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ತಲುಪುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ ಎನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಎನ್ . ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಎ 1 , ಎ 2 , ಎ 3 , . . . ಡಿ , ಅದು

ಬಿ ಎ 1 , ಬಿ ಎ 2 , ಬಿ ಎ 3 , . . . ಬಿ ಡಿ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

1, 3, 5, . . . - ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ 2 ಮತ್ತು

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ 7 2 . ◄

ಬಿ 1 , ಬಿ 2 , ಬಿ 3 , . . . - ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ q , ಅದು

ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ 1, ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ 2, ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ 3, . . . - ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಲಾಗ್ ಎq .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

2, 12, 72, . . . - ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ 6 ಮತ್ತು

ಎಲ್ಜಿ 2, ಎಲ್ಜಿ 12, ಎಲ್ಜಿ 72, . . . - ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಲ್ಜಿ 6 . ◄

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ನಮಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗಲಿರುವ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಯಶಸ್ವಿ ಡೇಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ.)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೇನು? ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ನಾವು ಎಂದಿನಂತೆ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರವಾಸವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಮೆಣಸು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ನಂತರ 100,000, 1,000,000 ಮತ್ತು ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಮಾನಸಿಕ ಪ್ರಯತ್ನವಿಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಸರಿ?)

ಸರಿ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ನಾನು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

1, 2, 4, 8, 16, …

ಸಂಖ್ಯೆ 16 ಮತ್ತು ಹೆಸರನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ ಎಂಟನೆಯದುಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯ? ಅದು 128 ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ತುಂಬಾ ಒಳ್ಳೆಯದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅರ್ಧ ಯುದ್ಧವು ತಿಳುವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿದೆ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳುಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬೆಳೆಯಬಹುದು.)

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಸಂವೇದನೆಗಳಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು.

ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ #1

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ.ಪ್ರಗತಿಯೂ ಹಾಗೆಯೇ. ಅಲಂಕಾರಿಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ.ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಹೌದು ...

ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ #2

ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಟ್ರಿಕಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇಲ್ಲಿದೆ: ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿ... ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಹೌದು! ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ (ಯಾವುದೇ!) ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ.ಯಾವಾಗಲೂ!

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಹತ್ತು. ನೀವು ಯಾವ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಅದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹತ್ತು ಬಾರಿ.

ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಎರಡು: ಪ್ರತಿ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎರಡು ಬಾರಿ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಗೆ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ - ಗುಣಾಕಾರಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಯು ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ. ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.)

ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ #3

ಈ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯನು ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತಾನೆ.ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಅನಗತ್ಯವೆಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲ ಪದವಿದೆ, ನೂರು ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದು ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ - ಮಾದರಿ (ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ) ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ತರ್ಕವಿಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದು.

ಅಷ್ಟೇ. ಅದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಂತವಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.

ಆದರೆ ಈಗ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಯಾವುದು, ಅಲ್ಲವೇ?

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸುವುದು?

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ! ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಸಹ ಪತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ "ಎ", ಜ್ಯಾಮಿತೀಯಕ್ಕಾಗಿ - ಅಕ್ಷರ "ಬಿ". ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಂದಿನಂತೆ, ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ. ಅಲ್ಪವಿರಾಮ ಅಥವಾ ಅರ್ಧವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗೆ:

ಬಿ 1,ಬಿ 2 , ಬಿ 3 , ಬಿ 4 , ಬಿ 5 , ಬಿ 6 , …

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: (ಬಿ ಎನ್) .

ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:

(ಬಿ ಎನ್), ಎನ್=30 .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಪದನಾಮವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಕ್ಷರ ಮಾತ್ರ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಹೌದು.) ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವು ಅದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ನುಡಿಗಟ್ಟುಗಳು ನಿಮಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, "ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ. ಆದರೆ ನಾನು ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಹರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಪದಗುಚ್ಛಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪದಗಳು: "ಅದರ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ".

ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಈ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯನಾದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ ಬಿ 1 ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ? ಪ್ರತಿ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಎರಡನೇ ಪದವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ?ಮೂರು ಬಾರಿ ಹೇಳೋಣವೇ? ನೋಡೋಣ... ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು (ಅಂದರೆ 0) 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ... ಸೊನ್ನೆ! ಮೂರನೇ ಸದಸ್ಯರ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಹಾಗೆಯೇ ಶೂನ್ಯ! ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯೂ ಶೂನ್ಯ! ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ…

ನಾವು ಕೇವಲ ಬಾಗಲ್ಗಳ ಚೀಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಸೊನ್ನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ:

0, 0, 0, 0, …

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವು ಜೀವನಕ್ಕೆ ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ... ಇದರೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಯಾವ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು? ಏನೂ ಇಲ್ಲ...

ಕೆಳಗಿನ ಕೀವರ್ಡ್‌ಗಳು: "ಅದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ."

ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ. ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ.

ಪೇರಳೆಗಳನ್ನು ಶೆಲ್ ಮಾಡುವಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಎಷ್ಟು ಬಾರಿಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಅವಧಿ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಂತೆಯೇ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕಾದ ಪ್ರಮುಖ ಪದವು ಪದವಾಗಿದೆ "ಹೆಚ್ಚು". ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ ಗುಣಾಕಾರಈ ಬಹಳ ಛೇದಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ.

ನಾನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಹೇಳೋಣ ಎರಡನೇಡಿಕ್, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ ಪ್ರಥಮಸದಸ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿಇದು ಛೇದಕ್ಕೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಹತ್ತನೇಡಿಕ್, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ ಒಂಬತ್ತನೇಸದಸ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿಇದು ಛೇದಕ್ಕೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾರಾದರೂ! ಸಂಪೂರ್ಣ, ಭಾಗಶಃ, ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ - ಎಲ್ಲವೂ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ "ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ" ಪದವು ನಮಗೆ ಹೇಳುವುದು ಇದನ್ನೇ. ಈ ಪದವು ಇಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಬೇಕು - ಅದರ ನಂತರ ಇನ್ನಷ್ಟು.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪತ್ರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ q.

ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು q? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ! ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು - "ಪ್ರಗತಿ ಛೇದ". ಛೇದ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಹೌದು...) ಆದರೂ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯ qಕರೆಯಬೇಕು ಖಾಸಗಿಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ಹೋಲುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ. ಆದರೆ ನಾವು ಕರೆ ಮಾಡಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡೆವು ಛೇದಕ. ಮತ್ತು ನಾವು ಚಕ್ರವನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ qಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ:

2, 6, 18, 54, …

ಎಲ್ಲವೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ. ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಯಾವುದಾದರುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 18. ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ, 6 ಗಂಟೆಗೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

q = 18/6 = 3

ಅಷ್ಟೇ. ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗೆ, ಛೇದವು ಮೂರು.

ಈಗ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ qಮತ್ತೊಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು:

1, -2, 4, -8, 16, …

ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ. ಸದಸ್ಯರು ಸ್ವತಃ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಯಾವುದಾದರುಅನುಕ್ರಮದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 16) ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ(ಅಂದರೆ -8).

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಡಿ = 16/(-8) = -2

ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ.) ಈ ಬಾರಿ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಮೈನಸ್ ಎರಡು. ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.)

ಈಗ ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

ಮತ್ತೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಋಣಾತ್ಮಕ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೂ ಆಗಿರಲಿ), ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1/9) ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (1/3). ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಸಹಜವಾಗಿ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಷ್ಟೆ.) ಇಲ್ಲಿ ಛೇದವು ಭಾಗಶಃ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು: q = 1/3.

ಈ "ಪ್ರಗತಿ" ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯವೇನು?

3, 3, 3, 3, 3, …

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ q = 1 . ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದೇ ಸದಸ್ಯರು.) ಆದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಲ್ಲ. ಘನ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಗಳಂತೆಯೇ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು - ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಾಗಶಃ, ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ - ಯಾವುದಾದರೂ! ಇದು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು. ಏಕೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೇ?

ಸರಿ, ನಾವು ಛೇದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ qಶೂನ್ಯ.) ನಾವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೊಂದೋಣ ಬಿ 1 = 2 , ಎ q = 0 . ಹಾಗಾದರೆ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಿ 2 = ಬಿ 1 · q= 2 0 = 0

ಮೂರನೇ ಸದಸ್ಯರ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಬಿ 3 = ಬಿ 2 · q= 0 0 = 0

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ನಡವಳಿಕೆ.

ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿತ್ತು: ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಡಿಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಮೂರನೆಯದು ಇಲ್ಲ.)

ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ!)

ಪದಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ: ಅವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ತಮ್ಮನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ಮತ್ತು ನಂತರ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಎಸೆಯುತ್ತವೆ! ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ವೈವಿಧ್ಯತೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಹೌದು ...

ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ?) ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಛೇದವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ( q >0)

ಧನಾತ್ಮಕ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಹೋಗಬಹುದು ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ(ಅಂದರೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ) ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಹೋಗಬಹುದು ಮೈನಸ್ ಅನಂತ(ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರಗತಿಯ ಈ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿರುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(ಬಿ ಎನ್): 1, 2, 4, 8, 16, …

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕಸಂಖ್ಯೆ +2 (ಅಂದರೆ q = 2 ) ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತಾರೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ. ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ...

ಮತ್ತು ಈಗ ಪ್ರಗತಿ ಇಲ್ಲಿದೆ:

(ಬಿ ಎನ್): -1, -2, -4, -8, -16, …

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕಸಂಖ್ಯೆ +2. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ: ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಯೋಚಿಸೋಣ: ಈ ಎರಡು ಪ್ರಗತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಹೊಂದಿವೆ? ಅದು ಸರಿ, ಛೇದಕ! ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ q = +2 . ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ.ಎರಡು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಡವಳಿಕೆಈ ಎರಡು ಪ್ರಗತಿಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ! ಏಕೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೇ? ಹೌದು! ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ!ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅವರು ರಾಗವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.) ನೀವೇ ನೋಡಿ.

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದ ಧನಾತ್ಮಕ(+1) ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಧನಾತ್ಮಕಛೇದಕ q = +2 , ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ ಧನಾತ್ಮಕ.

ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಅವಧಿ ಋಣಾತ್ಮಕ(-1) ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳು, ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಧನಾತ್ಮಕ q = +2 , ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕ.ಏಕೆಂದರೆ "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್" ಯಾವಾಗಲೂ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಹೌದು.)

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಛೇದದಿಂದq, ಆದರೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರಿಂದ, ಹೌದು.)

ನೆನಪಿಡಿ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿ 1 ಮತ್ತು ಛೇದq .

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಪರಿಚಿತ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

(ಬಿ ಎನ್): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಆಗಿದೆ! ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಸಹ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ - ಭಾಗಶಃ: q = +1/2 . ಅಥವಾ +0,5 . ಇದಲ್ಲದೆ (ಪ್ರಮುಖ!) ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ:q = 1/2<1.

ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಏಕೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ? ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ? ನೋಡೋಣ:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಗಮನಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ: ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು ಕಡಿಮೆಹಿಂದಿನದು ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಬಾರಿ.ಅಥವಾ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಪದ ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನ 1/2 ಬಾರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಗತಿ ಛೇದ q = 1/2 . ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಹೌದು...

ಏನು ಹೆಚ್ಚುಈ ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದೇ? ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಯೇ? ಅನಿಯಮಿತ, ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದೇ? ಇಲ್ಲ! ಅವರು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಅವು ಬೇಗನೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ನಿಧಾನವಾಗಿ. ಮತ್ತು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಉಳಿದಿರುವಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ. ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ. ಮತ್ತು ಅವರು ಸ್ವತಃ ಏನು ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ? ನೀವು ಊಹಿಸಲಿಲ್ಲವೇ? ಹೌದು! ಅವರು ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ!) ಇದಲ್ಲದೆ, ಗಮನ ಕೊಡಿ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಬಂದವರು ಎಂದಿಗೂ ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ!ಮಾತ್ರ ಅವನನ್ನು ಅನಂತ ಹತ್ತಿರ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ. ಇದು ಅತೀ ಮುಖ್ಯವಾದುದು.)

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

(ಬಿ ಎನ್): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

ಇಲ್ಲಿ ಬಿ 1 = -1 , ಎ q = 1/2 . ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಈಗ ಮಾತ್ರ ನಿಯಮಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆಯಿಂದ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಉಳಿಯುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕ.)

ಅಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ಅದರ ನಿಯಮಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿ(ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಬದಿಯಿಂದ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ), ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು.ಈ ಪ್ರಗತಿಯು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠ .)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕಛೇದಗಳು ದೊಡ್ಡವುಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕವುಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಘಟಕವನ್ನು ಛೇದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ...)

ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ:

ಧನಾತ್ಮಕಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (q>1), ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು:

ಎ) ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ (ಒಂದು ವೇಳೆಬಿ 1 >0);

ಬಿ) ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು (ಒಂದು ವೇಳೆಬಿ 1 <0).

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದನವಾಗಿದ್ದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ (0< q<1), то члены прогрессии:

a) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಹತ್ತಿರ ಮೇಲೆ(ಒಂದು ವೇಳೆಬಿ 1 >0);

ಬಿ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ ಕೆಳಗಿನಿಂದ(ಒಂದು ವೇಳೆಬಿ 1 <0).

ಈಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಛೇದ.

ಛೇದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ( q <0)

ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ದೂರ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆ, ನಿಖರವಾಗಿ, ಶಾಗ್ಗಿ ಅಜ್ಜಿ?!) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿರಲಿ ಬಿ 1 = 1 , ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ q = -2.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(ಬಿ ಎನ್): 1, -2, 4, -8, 16, …

ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.) ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ-2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೆಸ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು (ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ, ಐದನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಧನಾತ್ಮಕ, ಮತ್ತು ಸಮ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ (ಎರಡನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ) - ಋಣಾತ್ಮಕ.ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ಲಸ್-ಮೈನಸ್-ಪ್ಲಸ್-ಮೈನಸ್... ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಚಿಹ್ನೆ ಪರ್ಯಾಯ.

ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ? ಆದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಇಲ್ಲ.) ಹೌದು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ)ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾರೆ (ಆದ್ದರಿಂದ "ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ" ಹೆಸರು). ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಶಾಖಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಶೀತಕ್ಕೆ ಎಸೆಯುತ್ತಾರೆ. ಒಂದೋ "ಪ್ಲಸ್" ಅಥವಾ "ಮೈನಸ್". ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿ ಅಲೆಯುತ್ತಿದೆ... ಮೇಲಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಗೂ ಏರಿಳಿತಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ, ಹೌದು.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಕಾಂಕ್ಷೆಗಳು ಎಲ್ಲೋ ಹೋಗುತ್ತಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಇಲ್ಲಿ ಸಂ.ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ, ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ - ಎಲ್ಲಿಯೂ ಇಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಒಂದರ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಛೇದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ಇರಲಿ ಬಿ 1 = 1 , ಎ q = -1/2.

ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(ಬಿ ಎನ್): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! ಆದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ನಿಯಮಗಳು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯಿದೆ.) ಈ ಬಾರಿ ಮಾತ್ರ ನಮ್ಮ ನಿಯಮಗಳು ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಹಿಂಜರಿಯುತ್ತಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳುಪಾಲಿಸಬೇಕಾದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿವೆ.)

ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆ, ಪರ್ಯಾಯ.

ಈ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಏಕೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ? ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯ!ಈ ಟ್ರಿಕ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಹೌದು.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪರ್ಯಾಯ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಅದರ ಛೇದವು 100% ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ.)

ಮೂಲಕ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಛೇದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಯಾವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ(ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸದಸ್ಯರು ಇರುತ್ತಾರೆ.

ನೆನಪಿಡಿ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದನವಾಗಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ , ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರ್ಯಾಯ.

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸದಸ್ಯರು ಸ್ವತಃ:

ಎ) ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿಮಾಡ್ಯೂಲೋ, ವೇಳೆq<-1;

b) ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸಿದರೆ -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

ಅಷ್ಟೇ. ಎಲ್ಲಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ.)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳ ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ: "ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ", "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಒಲವು", "ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ"... ಪರವಾಗಿಲ್ಲ.) ಈ ಮಾತಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು (ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು) ಕೇವಲ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಚಯ ನಡವಳಿಕೆವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಪ್ರಗತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಏಕೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು? ಅವಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಾಳೆ ಎಂಬುದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಸೊನ್ನೆಯ ಕಡೆಗೆ, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಪ್ಲಸ್, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಮೈನಸ್... ಅದು ನಮಗೆ ಏನು ಮಾಡುತ್ತದೆ?

ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ನಿಮಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ (ಯಾವುದಾದರೂ, ಕೇವಲ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲ!) ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಈ ಅಥವಾ ಆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಊಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ - ಅದು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರಲಿ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿರಲಿ (ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ), ಅಥವಾ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಲವು ತೋರದಿರಲಿ... ಗಣಿತದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಇಡೀ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ - ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ.ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ - ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ.ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯ! ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಹೋಗಿ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.)

ಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳು) ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದುಅವರು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.)

ಇದಲ್ಲದೆ, ಅನುಕ್ರಮಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಯ ಸಂಶೋಧನೆ.ಅತ್ಯಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ. ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ, ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ) ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ! ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ಸಂದೇಹವಿದೆಯೇ? ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನನ್ನ ಮಾತುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.)

ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ?

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ.)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲೆಡೆ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕವಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ವಿವಿಧ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಂ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಸಂತತಿಯನ್ನು 2 ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾಗಳಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ, 4 ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂತತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಪೀಳಿಗೆಯು 8 ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ 16 ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾಗಳು, 32, 64 ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ, ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ.)

ಅಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ಕೀಟಗಳು - ಗಿಡಹೇನುಗಳು ಮತ್ತು ನೊಣಗಳು - ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೊಲಗಳು ಕೂಡ.)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ, ದೈನಂದಿನ ಜೀವನಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ.ಈ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಠೇವಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣ.ಅದು ಏನು?

ನೀವೇ ಇನ್ನೂ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಚಿಕ್ಕವರು. ನೀವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಪೋಷಕರು ಈಗಾಗಲೇ ವಯಸ್ಕರು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಜನರು. ಅವರು ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ, ತಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ರೊಟ್ಟಿಗಾಗಿ ಹಣವನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹಣವನ್ನು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾರೆ, ಉಳಿತಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.)

ನಿಮ್ಮ ತಂದೆ ಟರ್ಕಿಯಲ್ಲಿ ಕುಟುಂಬ ರಜೆಗಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಣವನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಗೆ ವಾರ್ಷಿಕ 10% ರಂತೆ 50,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ.ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಏನನ್ನೂ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಠೇವಣಿ ಮರುಪೂರಣ ಅಥವಾ ಖಾತೆಯಿಂದ ಹಣವನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅವನು ಎಷ್ಟು ಲಾಭ ಗಳಿಸುತ್ತಾನೆ?

ಸರಿ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಾರ್ಷಿಕ 10% ಏನೆಂದು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎಂದು ಅರ್ಥ ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿಬ್ಯಾಂಕ್ ಆರಂಭಿಕ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ 10% ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದರಿಂದ? ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಂದ ಆರಂಭಿಕ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತ.

ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ನಾವು ಖಾತೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಆರಂಭಿಕ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತವು 50,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ 100%), ನಂತರ ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಡ್ಡಿ ಇರುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, 110%! 50,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಿಂದ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 50,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ 110% ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

50000 · 1.1 = 55000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು.

ಮೌಲ್ಯದ 110% ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರೆ ಆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 1.1 ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ? ಇದು ಏಕೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಐದನೇ ಮತ್ತು ಆರನೇ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ - ಶೇಕಡಾವಾರು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ.)

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ವರ್ಷದ ಹೆಚ್ಚಳವು 5,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಹಣ ಇರುತ್ತದೆ? 60,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು? ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ (ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್), ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಬಡ್ಡಿ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಟ್ರಿಕ್ ಏನೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಬಡ್ಡಿ ಸಂಚಯದೊಂದಿಗೆ, ಇದೇ ಆಸಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೊಸ ಮೊತ್ತದಿಂದ!ಒಬ್ಬರಿಂದ ಈಗಾಗಲೇಖಾತೆಯಲ್ಲಿದೆ ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ.ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಗೆ ಸಂಚಿತ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, ಹೊಸ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತದೆ! ಅಂದರೆ, ಅವರು ಒಟ್ಟಾರೆ ಖಾತೆಯ ಪೂರ್ಣ ಭಾಗವಾಗುತ್ತಾರೆ. ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡವಾಳ.ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು - ಆಸಕ್ತಿಯ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣ.

ಇದು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ.ಅಥವಾ ಬಡ್ಡಿಯ ಶೇಕಡಾವಾರು.) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಅವರ ಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ.ಮತ್ತು ಮೂಲದಿಂದ ಅಲ್ಲ ...

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಎರಡು ವರ್ಷಗಳು, ನಾವು ಖಾತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತದ 110% ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ.ಅಂದರೆ, ಈಗಾಗಲೇ 55,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಿಂದ.

ನಾವು 55,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ 110% ಅನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

55000 · 1.1 = 60500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು.

ಇದರರ್ಥ ಎರಡನೇ ವರ್ಷದ ಶೇಕಡಾವಾರು ಹೆಚ್ಚಳವು 5,500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ - 10,500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು.

ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿನ ಮೊತ್ತವು 60,500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ 110% ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅದು ಮತ್ತೆ 110% ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದಿಂದ (ಕಳೆದ ವರ್ಷ)ಮೊತ್ತಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

60500 · 1.1 = 66550 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿತ್ತೀಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವರ್ಷದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ? ಏಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಅಲ್ಲ? ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ ಬಿ 1 = 50000 , ಮತ್ತು ಛೇದ q = 1,1 . ಪ್ರತಿ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ 1.1 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.)

ಮತ್ತು ಅವರ 50,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳು ಮೂರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಅವರ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವಾಗ ನಿಮ್ಮ ತಂದೆ ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಡ್ಡಿ ಬೋನಸ್‌ಗಳನ್ನು "ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ"?

ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

66550 - 50000 = 16550 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು

ಹೆಚ್ಚು ಅಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ. ಆದರೆ ಆರಂಭಿಕ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು. ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದರೆ ಏನು? 50 ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ 200 ಸಾವಿರ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ? ನಂತರ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವು 66,200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೀವು ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ). ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ತುಂಬಾ ಒಳ್ಳೆಯದು.) ಕೊಡುಗೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅಷ್ಟೇ...

ತೀರ್ಮಾನ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಆರಂಭಿಕ ಠೇವಣಿ, ಬಡ್ಡಿ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಬಡ್ಡಿ ಬಂಡವಾಳದೊಂದಿಗೆ ಠೇವಣಿಗಳನ್ನು ಬ್ಯಾಂಕುಗಳು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಐದು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಹೇಳೋಣ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಇನ್ಫ್ಲುಯೆನ್ಸ, ದಡಾರ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಭಯಾನಕ ಕಾಯಿಲೆಗಳಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಕೆಟ್ಟ ರೋಗಗಳು (2000 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ SARS ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಯುಗದಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇಗ್) ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಹರಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಗಳ ಪ್ರಮಾಣ, ಹೌದು...) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರಣದಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಛೇದ (q>1) - ಬಹಳ ಬೇಗನೆ ಬೆಳೆಯುವ ವಸ್ತು! ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ: ಒಂದು ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದಿಂದ ಎರಡು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡು - ನಾಲ್ಕು, ನಾಲ್ಕು - ಎಂಟು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ... ಯಾವುದೇ ಸೋಂಕಿನ ಹರಡುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

ಎಂದಿನಂತೆ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ.

1. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಪದವು 6, ಮತ್ತು ಛೇದವು -0.5 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ಆದರೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಈ ಪ್ರಗತಿ:

ಬಿ 2 = 6

ಜೊತೆಗೆ ನಮಗೂ ಗೊತ್ತು ಪ್ರಗತಿ ಛೇದ:

q = -0.5

ಮತ್ತು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮೊದಲ, ಮೂರನೇಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನೇರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಆರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ:

ಬಿ 1, 6,ಬಿ 3 , ಬಿ 4 , …

ಈಗ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರನೇ ಅವಧಿ ಬಿ 3? ಮಾಡಬಹುದು! ನಿಮಗೆ ಮತ್ತು ನನಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ (ನೇರವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಮೂರನೇ ಅವಧಿ (ಬಿ 3)ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (ಬಿ 2 ) ವಿ "q"ಒಮ್ಮೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

b 3 =ಬಿ 2 · q

ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಆರನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಿ 2ಮತ್ತು -0.5 ಬದಲಿಗೆ qಮತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ ...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

ಹೀಗೆ. ಮೂರನೇ ಅವಧಿಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ: ನಮ್ಮ ಛೇದಕ q- ಋಣಾತ್ಮಕ. ಮತ್ತು ಪ್ಲಸ್ ಅನ್ನು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೈನಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.)

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮುಂದಿನ, ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಿ 4 =ಬಿ 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪ್ಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಐದನೇ ಅವಧಿಯು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಮೈನಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆರನೆಯದು ಪ್ಲಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಪದಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ:

ಬಿ 1; 6; -3; 1.5; ...

ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಬಿ 1ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕಾರ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭಾಗಿಸಿ.

ನಾವು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಷ್ಟೆ.) ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

-12; 6; -3; 1,5; …

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಹಾರದ ತತ್ವವು ನಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಯಾವುದಾದರುಸದಸ್ಯ ಮತ್ತು ಛೇದಕಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ - ನಾವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.) ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ/ವಿಭಾಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೆನಪಿಡಿ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಸದಸ್ಯ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಣಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆ, ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, OGE ಯ ನೈಜ ಆವೃತ್ತಿಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ? ಈ ಬಾರಿ ಮೊದಲ ಅವಧಿ ಇಲ್ಲ, ಛೇದವಿಲ್ಲ q, ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ... ಏನೋ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ಹೌದು! ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ!

ಹಾಗಾಗಿ ನಮಗೆ ಭಯವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ. ನಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಮುಖ್ಯವಾದ (ಮೊದಲ ಪದ, ಛೇದ, ಪದ ಸಂಖ್ಯೆ) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಸದಸ್ಯತ್ವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ, ಹೌದು... ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ಇವೆ ಸತತವಾಗಿಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಪದದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.) ಎರಡು ಇವೆಯೇ ನೆರೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು?ತಿನ್ನು! ಇವು 6 ಮತ್ತು 1.2. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಪ್ರಗತಿ ಛೇದ.ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 1.2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.ಆರಕ್ಕೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X= 150·0.2 = 30

ಉತ್ತರ: X = 30 .

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಛೇದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿರುವವರು, ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ! ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ... ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಯವಾಗಿ ನಿಧಾನಗೊಳಿಸುತ್ತೀರಿ.

ಈಗ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ. ಈಗ ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಲು ಹೋಗುತ್ತದೆ! ಅದರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1.2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ. ಈಗ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

3. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

...; 150; X; 6; ...

x ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ, ಎರಡು ಮಾತ್ರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಖ್ಯಾತನಾವು ಈಗ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಮಾಣ qಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆಯೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ!

ಅಜ್ಞಾತ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ " X"ನೇರವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ! ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ.

ಹೌದು ಹೌದು! ಅಜ್ಞಾತ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಸರಿ!

ಒಂದೆಡೆ, X ಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

X= 150·q

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದೇ X ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಮಗೆ ಎಲ್ಲ ಹಕ್ಕಿದೆ ಮುಂದೆಸದಸ್ಯ, ಆರು ಮೂಲಕ! ಆರನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಹೀಗೆ:

X = 6/ q

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈಗ ನಾವು ಈ ಎರಡೂ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಅದೇಪರಿಮಾಣ (x), ಆದರೆ ಎರಡು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುವುದು q, ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

q2 = 1/25

ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

q = ± 1/5 = ± 0.2

ಅಯ್ಯೋ! ಛೇದವು ದ್ವಿಗುಣವಾಯಿತು! +0.2 ಮತ್ತು -0.2. ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಕೊನೆ?

ಶಾಂತ! ಹೌದು, ಸಮಸ್ಯೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೊಂದಿದೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳು!ಅದರಲ್ಲಿ ತಪ್ಪೇನಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೀವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ನಿಮಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಇಲ್ಲಿಯೂ ಅದೇ ಕಥೆ.)

ಫಾರ್ q = +0.2ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X = 150 0.2 = 30

ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ q = -0,2 ತಿನ್ನುವೆ:

X = 150·(-0.2) = -30

ನಾವು ಎರಡು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: X = 30; X = -30.

ಈ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಮತ್ತು ಏನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎರಡು ಪ್ರಗತಿಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು!

ಇವುಗಳಂತೆ:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

ಎರಡೂ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ.) ಉತ್ತರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಜನೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನೀವು ಏಕೆ ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಿ? ಆರರ ನಂತರ ಬರುವ ಪ್ರಗತಿಯ (1,2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸದಸ್ಯರ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಿಂದಾಗಿ. ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ (n-1) ನೇ ಮತ್ತು ನಂತರದ (n+1) ನೇ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಿಂತಿರುವ n ನೇ ಪದದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ - ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ನೊಂದಿಗೆ.

ಆದರೆ ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯಿದೆ. ಪದಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ: "ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಗತಿ"ಅಥವಾ "ಧನಾತ್ಮಕ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿ"ಮತ್ತು ಹೀಗೆ... ಈ ಪದಗಳೇ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವಾಗ ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆ, ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸುಳಿವಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೌದು, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳು.)

ಈಗ ನಾವೇ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

4. ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

4 ; 6; 9; …

5. ಪರ್ಯಾಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

…; 5; X ; 45; …

ಪತ್ರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ X .

6. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

625; -250; 100; …

7. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಪದವು -360 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಐದನೇ ಪದವು 23.04 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರಗಳು (ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ): -15; 900; ಇಲ್ಲ; 2.56.

ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬಂದರೆ ಅಭಿನಂದನೆಗಳು!

ಯಾವುದೋ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಎಲ್ಲೋ ಎರಡು ಉತ್ತರವಿದೆಯೇ? ನಿಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ!

ಕೊನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ನೇರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ನೀವು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು. ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.)

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ. ಅದು ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅಥವಾ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆಯೇ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಹೇಗಾದರೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಯಾವುದಾದರುಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ ಅವನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ.ಅನೇಕ, ಹಲವು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸದೆ q. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಒಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ!) ವಿವರಗಳು ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿವೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

7 28 112 448 1792...

ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಸರಣಿಯು ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

a z +1 =a z ·q, ಇಲ್ಲಿ z ಎಂಬುದು ಆಯ್ದ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅದರಂತೆ, z ∈ N.

ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅವಧಿಯು 9 ನೇ ತರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

0.25 0.125 0.0625...

ಈ ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು:

q ಅಥವಾ b z ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು. ಅಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು.

ಅಂತೆಯೇ, ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕೊನೆಯದನ್ನು q ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು. ಇದರ ನಂತರ, ನಂತರದ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ.

ವೈವಿಧ್ಯಗಳು

q ಮತ್ತು a 1 ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

• 1 ಮತ್ತು q ಎರಡೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: a 1 =3, q=2 - ಎರಡೂ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.

ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

3 6 12 24 48 ...

• ಒಂದು ವೇಳೆ |q| ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು, q ಕಡಿಮೆ.

ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

6 2 2/3 ... - ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

• ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕ್ಯೂ<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ಉದಾಹರಣೆ: a 1 = -3, q = -2 - ಎರಡೂ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

3, 6, -12, 24,...

ಸೂತ್ರಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಅನುಕೂಲಕರ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಹಲವು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ:

• ಝಡ್-ಟರ್ಮ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ. ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:q = 3, ಎ 1 = 4. ಪ್ರಗತಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ:ಎ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ಪ್ರಮಾಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ z. ವರೆಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಒಂದು zಒಳಗೊಂಡಂತೆ.

ರಿಂದ (1-q) ಛೇದದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ (1 - q)≠ 0, ಆದ್ದರಿಂದ q 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ: q=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯು ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು:ಎ 1 = 2, q= -2. S5 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಎಸ್ 5 = 22 - ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

• ಒಂದು ವೇಳೆ ಮೊತ್ತ |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ಉದಾಹರಣೆ:ಎ 1 = 2 , q= 0.5. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಎಸ್ z = 2 · = 4

ಎಸ್ z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

• ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿ. ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆz, ನಂತರ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ:

ಒಂದು z 2 = ಒಂದು z -1 · ಎz+1

• ಅಲ್ಲದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಈ ಅಂಶದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು z 2 = ಒಂದು z - ಟಿ 2 + ಒಂದು z + ಟಿ 2 , ಎಲ್ಲಿಟಿ- ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ.

• ಅಂಶಗಳುq ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಒಮ್ಮೆ.
• ಪ್ರಗತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಸಹ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಒಂದು, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, 9 ನೇ ತರಗತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು.

• ಷರತ್ತುಗಳು:ಎ 1 = 3, ಎ 3 = 48. ಹುಡುಕಿq.

ಪರಿಹಾರ: ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆq ಒಮ್ಮೆ.ಛೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಆದ್ದರಿಂದ,ಎ 3 = q 2 · ಎ 1

ಬದಲಿ ಮಾಡುವಾಗq= 4

• ಷರತ್ತುಗಳು:ಎ 2 = 6, ಎ 3 = 12. ಎಸ್ 6 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಅಂಶವಾದ q ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ.

ಎ 3 = q· ಎ 2 , ಆದ್ದರಿಂದ,q= 2

a 2 = q · ಎ 1,ಅದಕ್ಕೇ a 1 = 3

ಎಸ್ 6 = 189

• · ಎ 1 = 10, q= -2. ಪ್ರಗತಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಕು.

a 4 = q 3· a 1 = -80

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಉದಾಹರಣೆ:

• ಬ್ಯಾಂಕ್ ಕ್ಲೈಂಟ್ 10,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಇರಿಸಿದೆ, ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಕ್ಲೈಂಟ್ ಅದರಲ್ಲಿ 6% ಅನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 4 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಹಣ ಇರುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ: ಆರಂಭಿಕ ಮೊತ್ತವು 10 ಸಾವಿರ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಹೂಡಿಕೆಯ ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಖಾತೆಯು 10,000 + 10,000 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ · 0.06 = 10000 1.06

ಅದರಂತೆ, ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಮೊತ್ತವು 1.06 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ 4 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿನ ನಿಧಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರಗತಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು, ಇದು ಮೊದಲ ಅಂಶವು 10 ಸಾವಿರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು 1.06 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

ಮೊತ್ತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಬಹುದು:

ಎ 1 = 4, q= 2, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಎಸ್ 5.

ಪರಿಹಾರ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ತಿಳಿದಿದೆ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಸ್ 5 = 124

• ಎ 2 = 6, ಎ 3 = 18. ಮೊದಲ ಆರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಜಿಯೋಮ್ನಲ್ಲಿ. ಪ್ರಗತಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ q ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲುಎ 1 ಮತ್ತು ಛೇದq.

ಎ 2 · q = ಎ 3

q = 3

ಅಂತೆಯೇ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕುಎ 1 , ತಿಳಿಯುವುದುಎ 2 ಮತ್ತುq.

ಎ 1 · q = ಎ 2

a 1 =2

ಎಸ್ 6 = 728.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ, 9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರಭಾವಿಸುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದ ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3, 6, 12, 24, ... ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು 3 (ಮೊದಲ ಅಂಶ) ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನೀವು 6 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ನೀವು 6 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ 12, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ AI ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ i ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಗತಿಯ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: an = bn-1 * a1, ಇಲ್ಲಿ b ಎಂಬುದು ಛೇದವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ: n = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ b1-1 = 1, ಮತ್ತು ನಾವು a1 = a1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. n = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ an = b * a1, ಮತ್ತು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. n ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ

ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಯಾವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿ ಛೇದವು ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಆಗಿರಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ:

• b > 1. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸರಣಿ ಇದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1, 2, 4, 8, ... ಅಂಶ a1 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
• b = 1. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಣಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, -4, -4, -4.

ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಕಾರದ ಛೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು, ಅದರ ಮೊದಲ n ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀವೇ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೊದಲ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ

ಅದು ಏನು ಎಂಬುದರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ, Sn ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಅನ್ನು ಮೀರದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಏರಿದಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, b∞ => 0 ವೇಳೆ -1

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (1 - ಬಿ) ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಛೇದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ, ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆ S∞ ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶ a1 ರ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಅಜ್ಞಾತ ಅಂಶಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು 2, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶ 3. ಅದರ 7 ನೇ ಮತ್ತು 10 ನೇ ಪದಗಳು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಏಳು ಆರಂಭಿಕ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ನೇರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು an = bn-1 * a1 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. 7 ನೇ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a7 = b6 * a1, ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a7 = 26 * 3 = 192. ನಾವು 10 ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: a10 = 29 * 3 = 1536.

ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ 7 ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಪ್ರಗತಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

-2 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ bn-1 * 4 ನ ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ, ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಣಿಯ 5 ರಿಂದ 10 ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು 2 ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವಿಷಯದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡನ್ನೂ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿಧಾನ 1. ಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನೀವು ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು, ತದನಂತರ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. ಈಗ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 4 ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾದ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ 5 ನೇ ಈಗಾಗಲೇ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

ವಿಧಾನ 2. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ಎಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯ m ಮತ್ತು n ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ವಿಧಾನ 1 ರಲ್ಲಿನಂತೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಮೊತ್ತದ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ನೀವು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಛೇದ ಎಂದರೇನು?

a1 = 2, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅದರ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವು 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಸರಣಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: S∞ = a1 / (1 - b). ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ: b = 1 - a1 / S∞. ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ಅಥವಾ -0.333 (3). ಈ ರೀತಿಯ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ b 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹೋಗಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, |-1 / 3|

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ 2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ನೇ 30 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 10 ನೇ 60 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಡೇಟಾದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಕ್ಕೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a5 = b4 * a1 ಮತ್ತು a10 = b9 * a1. ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಐದನೇ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಛೇದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ, b = 1.148698. ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಗತಿ bn ನ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ bn-1 * 17.2304966 = an, ಅಲ್ಲಿ b = 1.148698.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಸಕ್ತಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

3 ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

• ವೇಗವುಳ್ಳ ಅಕಿಲ್ಸ್ ನಿಧಾನ ಆಮೆಯೊಂದಿಗೆ ಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಝೆನೋಸ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ನೀವು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಪ್ರತಿ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಗೋಧಿ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, 1 ನೇ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ನೀವು 1 ಧಾನ್ಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, 2 ನೇ - 2, 3 ನೇ - 3, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳನ್ನು ತುಂಬಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 18446744073709551615 ಧಾನ್ಯಗಳು!
• "ಟವರ್ ಆಫ್ ಹನೋಯಿ" ಆಟದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರಾಡ್‌ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳನ್ನು ಸರಿಸಲು, 2n - 1 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ, ಬಳಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ನೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ.

ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ

ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಗೆ

ಒಬ್ಬರು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ (ಸಹ ಅನಂತ) ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು

ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ S, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು).

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (91.1) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಪ್ರಮೇಯ 89 ರಿಂದ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

(ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಿರಂತರ ಅಂಶವನ್ನು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮಾನತೆ (92.1) ಅನ್ನು ಸಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 72). ಈ ಚೌಕವನ್ನು ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಆಯತವು 2 ಮತ್ತು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಈ ಆಯತದ ಬಲ ಅರ್ಧವನ್ನು ಸಮತಲವಾದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 72 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ). ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾ, ನಾವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಚೌಕವನ್ನು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ (ತೆಳುವಾಗುತ್ತಿರುವ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ).

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಂತ ಮುಂದುವರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಚೌಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ - 1 ಮತ್ತು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು. ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಅನಂತ ಇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೊತ್ತ

ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ, ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕೆಳಗಿನ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ, ಎ) ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (92.2) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಬೌ) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು (92.2) ಬಳಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ

ಸಿ) ಈ ಪ್ರಗತಿಯು ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 5 ರಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1. ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು 3/5 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 13/27 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಪರ್ಯಾಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಮೊದಲನೆಯದು 35 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 560 ರಿಂದ ನಾಲ್ಕನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿ

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ

ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಇದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆ ಯಾವಾಗ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.