ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಪದವಿ - ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಿಯಮಗಳು, ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ ವಿವರವಾದ ಸೂಚನೆಗಳಿವೆ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು - ಸಿದ್ಧಾಂತ

ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 3 = 3×3×3 = 27. ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿಜ. ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: a -n = 1/a n. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕು, ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು - ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
ಉತ್ತರ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
ಉತ್ತರ -4 -2 = 1/16.

ಆದರೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಉತ್ತರಗಳು ಏಕೆ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ? ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ (2, 4, 6, ಇತ್ಯಾದಿ) ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ಚಿಹ್ನೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೈನಸ್ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಹೇಗೆ

0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ಶಕ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

ಉದಾಹರಣೆ 3: 0.5 -2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
ಪರಿಹಾರ: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
ಉತ್ತರ: 0.5 -2 = 4

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮ):

• ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 0.5 ಅನ್ನು 1/2 ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.
  1/2 ಅನ್ನು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ. 1/(2) -2 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ 1/(2) 2, ನಾವು 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 4: 0.5 -3 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
ಪರಿಹಾರ: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

ಉದಾಹರಣೆ 5: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ -0.5 -3
ಪರಿಹಾರ: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
ಉತ್ತರ: -0.5 -3 = -8

4 ಮತ್ತು 5 ನೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಹಲವಾರು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

• 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ (ಉದಾಹರಣೆ 4) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಶಕ್ತಿಯು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ.
• 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಉದಾಹರಣೆ 5), ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಶಕ್ತಿಯು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿ, ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು - ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿ

ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: a -m/n, ಇಲ್ಲಿ a ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, m ಎಂಬುದು ಪದವಿಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, n ಎಂಬುದು ಪದವಿಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 8 -1/3

ಪರಿಹಾರ (ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮ):

• ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• ಛೇದವು ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ 8 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: a m/n = n √8 m.
• ಹೀಗಾಗಿ, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ನಾವು ಎಂಟು ಘನಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• ಉತ್ತರ: 8 -1/3 = 2

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ. ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 8 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಹಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಕ್ಕಾಗಿ ಕೈಪಿಡಿ ಮುರವಿನ್ ಜಿ.ಕೆ. ಅಲಿಮೋವ್ Sh.A ಅವರಿಂದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಕ್ಕಾಗಿ ಕೈಪಿಡಿ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ. $a^0=1$, $a≠0$.
ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2^(-2)$ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?
ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದ ಮೊದಲ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಚಕ್ರವನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಘಾತಾಂಕಗಳು ಕೂಡುತ್ತವೆ.
ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದನ್ನು ನೀಡಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಘಟಕವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

ಅಂತಹ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. $n$ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು $a≠0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿದೆ: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪ್ರಮುಖ ಗುರುತು: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಪರಿಹಾರ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
ಉತ್ತರ: $6\frac(1)(4)$.

ಉದಾಹರಣೆ 2.
ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ $\frac(1)(729)$.

ಪರಿಹಾರ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
ಆದರೆ 729 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 9 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರು ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. 729 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಿ.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
ಆರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ: $729=3^6$.
ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
ಉತ್ತರ: $3^(-6)$.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಆವರಣದೊಳಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರ $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^(-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
ಉತ್ತರ: $a$.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

ಪರಿಹಾರ.
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. ನಾವು ಭಾಗಿಸುವ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಧಿಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ ಘಾತವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಪದವಿಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು? ನಿಮಗೆ ಅವು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕು? ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನೀವು ಏಕೆ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು?

ಪದವಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು, ಅವುಗಳು ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು, ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿ.

ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಪದವಿಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕನಸುಗಳ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹತ್ತಿರ ತರುತ್ತದೆ.

ಹೋಗೋಣ... (ಹೋಗೋಣ!)

ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿ! ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಗಾಬಲ್ಡಿಗೂಕ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, CTRL+F5 (Windows ನಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ Cmd+R (Mac ನಲ್ಲಿ) ಒತ್ತಿರಿ.

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಘಾತೀಯತೆಯು ಕೂಡುವಿಕೆ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಅಥವಾ ಭಾಗಾಕಾರದಂತೆಯೇ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾನವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಎಲ್ಲವೂ ತಿಳಿದಿದೆ: ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಎಂಟು ಮಂದಿ ಇದ್ದಾರೆ. ಎಲ್ಲರ ಬಳಿ ಎರಡು ಬಾಟಲ್ ಕೋಲಾ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ಕೋಲಾ ಇದೆ? ಅದು ಸರಿ - 16 ಬಾಟಲಿಗಳು.

ಈಗ ಗುಣಾಕಾರ.

ಕೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: . ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕುತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಸೋಮಾರಿ ಜನರು. ಅವರು ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ "ಎಣಿಕೆ" ಮಾಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಾರೆ. ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎಂಟು ಜನರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಲಾ ಬಾಟಲಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎಂಬ ತಂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇದನ್ನು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಗವಾಗಿ, ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಣಿಸಲು, ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಧಾನವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದು! ಆದರೆ…

ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು, ಹೆಚ್ಚು ಸುಂದರವಾದದ್ದು:

ಸೋಮಾರಿಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇತರ ಯಾವ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಎಣಿಕೆಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತಂದಿದ್ದಾರೆ? ಬಲ - ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು

ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಐದು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಐದನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಎರಡರಿಂದ ಐದನೇ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ... ಮತ್ತು ಅವರು ತಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ - ವೇಗವಾಗಿ, ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ.

ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಇಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿರುವುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ನನ್ನನ್ನು ನಂಬಿರಿ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದವಿ ಎಂದು ಏಕೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಚೌಕಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - ಘನ? ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಬಹಳ ಒಳ್ಳೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಈಗ ನೀವು ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಳು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ.

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆ #1

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಒಂದು ಮೀಟರ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅಳತೆಯ ಚದರ ಪೂಲ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಪೂಲ್ ನಿಮ್ಮ ಡಚಾದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಬಿಸಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಈಜಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ... ಕೊಳಕ್ಕೆ ತಳವಿಲ್ಲ! ನೀವು ಕೊಳದ ಕೆಳಭಾಗವನ್ನು ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಎಷ್ಟು ಅಂಚುಗಳು ಬೇಕು? ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಕೊಳದ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಪೂಲ್‌ನ ಕೆಳಭಾಗವು ಮೀಟರ್‌ನಿಂದ ಮೀಟರ್ ಘನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ನೀವು ಒಂದು ಮೀಟರ್ನಿಂದ ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿಮಗೆ ತುಂಡುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಸುಲಭ ... ಆದರೆ ಅಂತಹ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ನೀವು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ್ದೀರಿ? ಟೈಲ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೆಂ ಸೆಂ. ನಂತರ ನೀವು ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೂಲ್ನ ಕೆಳಭಾಗದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು (ತುಣುಕುಗಳು) ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ().

ಪೂಲ್ ಕೆಳಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ನಾವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು "ಘಾತೀಯ" ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. (ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, ನೀವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ದೋಷಗಳಿವೆ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ, ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ).
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂವತ್ತರಿಂದ ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿ () ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ಮೂವತ್ತು ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಚೌಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಚೌಕವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೌಕವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆ #2

ನಿಮಗಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಚೌಕಗಳಿವೆ ಎಂದು ಎಣಿಸಿ... ಕೋಶಗಳ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಎಂಟನ್ನು ಎಂಟರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ... ಚದುರಂಗ ಫಲಕವು ಒಂದು ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಎಂಟು ವರ್ಗ ಮಾಡಬಹುದು. ನೀವು ಕೋಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. () ಆದ್ದರಿಂದ?

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆ #3

ಈಗ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿ. ಅದೇ ಕೊಳ. ಆದರೆ ಈ ಕೊಳಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ನೀರು ಸುರಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನೀವು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. (ಪರಿಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ದ್ರವಗಳನ್ನು ಘನ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ, ಸರಿ?) ಒಂದು ಪೂಲ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ: ಕೆಳಭಾಗವು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಆಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೀಟರ್‌ನಿಂದ ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಎಷ್ಟು ಘನಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನಿಮ್ಮ ಪೂಲ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳು ತೋರಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಿ! ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು... ಇಪ್ಪತ್ತೆರಡು, ಇಪ್ಪತ್ಮೂರು... ಎಷ್ಟು ಸಿಕ್ಕಿತು? ಕಳೆದುಹೋಗಿಲ್ಲವೇ? ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳಿನಿಂದ ಎಣಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇ? ಆದ್ದರಿಂದ! ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅವರು ಸೋಮಾರಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊಳದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅದರ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಬೇಕೆಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪೂಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಘನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ... ಸುಲಭ, ಸರಿ?

ಈಗ ಇದನ್ನೂ ಸರಳೀಕರಿಸಿದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಎಷ್ಟು ಸೋಮಾರಿಗಳು ಮತ್ತು ಕುತಂತ್ರಿಗಳು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಇಳಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು ... ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಪದವಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಒಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳಿನಿಂದ ಎಣಿಸಿದುದನ್ನು ಅವರು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: ಮೂರು ಘನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: .

ಉಳಿದಿರುವುದು ಅಷ್ಟೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ ಸೋಮಾರಿ ಮತ್ತು ಕುತಂತ್ರದ ಹೊರತು. ನೀವು ಕಷ್ಟಪಟ್ಟು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳಿನಿಂದ ಎಣಿಸಲು ನೀವು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು.

ಸರಿ, ಪದವಿಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವವರು ಮತ್ತು ಕುತಂತ್ರದ ಜನರು ತಮ್ಮ ಜೀವನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮಗಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಲು, ಜೀವನದಿಂದ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆ #4

ನೀವು ಮಿಲಿಯನ್ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ಪ್ರತಿ ವರ್ಷದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿ ಮಿಲಿಯನ್‌ಗೆ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ಗಳಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಪ್ರತಿ ವರ್ಷದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಡಬಲ್ಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಮಿಲಿಯನ್. ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಈಗ ಕುಳಿತು "ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳಿನಿಂದ ಎಣಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ", ನಂತರ ನೀವು ತುಂಬಾ ಶ್ರಮಶೀಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ... ಮೂರ್ಖರು. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಒಂದೆರಡು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೀರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಬುದ್ಧಿವಂತರು! ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ - ಎರಡು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ... ಎರಡನೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ - ಏನಾಯಿತು, ಇನ್ನೂ ಎರಡು, ಮೂರನೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ... ನಿಲ್ಲಿಸಿ! ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಐದನೇ ಶಕ್ತಿ ಮಿಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ! ಈಗ ನೀವು ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ ಎಣಿಸುವವನು ಈ ಮಿಲಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ ... ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಯೋಚಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆ #5

ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಮಿಲಿಯನ್ ಇದೆ. ಪ್ರತಿ ವರ್ಷದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿ ಮಿಲಿಯನ್‌ಗೆ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಗಳಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ ಅಲ್ಲವೇ? ಪ್ರತಿ ಮಿಲಿಯನ್ ಮೂರು ಪಟ್ಟು. ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಎಷ್ಟು ಹಣ ಇರುತ್ತದೆ? ಎಣಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ವರ್ಷ - ಗುಣಿಸಿ, ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ... ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ನೀರಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ: ಮೂರು ಬಾರಿ ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಇದು ಮಿಲಿಯನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರರಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಈಗ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪದವಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಮತ್ತಷ್ಟು ನೋಡೋಣ.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು... ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಂತೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ನೀವು ಏನು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ, ಘಾತ ಎಂದರೇನು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ "ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ" ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ನೆನಪಿಡುವ ಸುಲಭ...

ಸರಿ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಏನು ಅಂತಹ ಪದವಿ ಆಧಾರ? ಇನ್ನೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಇದು ಕೆಳಗೆ, ತಳದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉತ್ತಮ ಅಳತೆಗಾಗಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಸರಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು... ಬೇಸ್ "" ಮತ್ತು "" ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು "ಡಿಗ್ರಿ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ

ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಊಹಿಸಿರಬಹುದು: ಏಕೆಂದರೆ ಘಾತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೌದು, ಆದರೆ ಅದು ಏನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ? ಪ್ರಾಥಮಿಕ! ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವಾಗ ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ: ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು ... ನಾವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ: "ಮೈನಸ್ ಐದು," "ಮೈನಸ್ ಆರು," "ಮೈನಸ್ ಏಳು." ನಾವು ಸಹ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ: "ಮೂರನೇ ಒಂದು", ಅಥವಾ "ಶೂನ್ಯ ಪಾಯಿಂಟ್ ಐದು". ಇವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಇವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ?

"ಮೈನಸ್ ಐದು", "ಮೈನಸ್ ಆರು", "ಮೈನಸ್ ಏಳು" ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಅಂದರೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ - ಅದು ಏನೂ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ. ಋಣಾತ್ಮಕ ("ಮೈನಸ್") ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಥವೇನು? ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸಾಲಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು: ನಿಮ್ಮ ಫೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ರೂಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಆಪರೇಟರ್ ರೂಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿರುತ್ತೀರಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ಹೇಗೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡರು, ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಾ? ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಹಲವಾರು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಜರು ಉದ್ದ, ತೂಕ, ಪ್ರದೇಶ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಮತ್ತು ಅವರು ಬಂದರು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು... ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ, ಅಲ್ಲವೇ?

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಇದು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಸಾರಾಂಶ:

ನಾವು ಪದವಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಅದರ ಘಾತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ).

1. ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
2. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸುವುದು:
3. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸುವುದು:
.

ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ಆಸ್ತಿಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂದವು? ನಾನು ಈಗ ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ನೋಡೋಣ: ಅದು ಏನು ಮತ್ತು ?

ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ:

ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಗುಣಕಗಳಿವೆ?

ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಗುಣಕಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಇದು ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ: , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಉದಾಹರಣೆ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ:ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ನಮ್ಮ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿಅದೇ ಕಾರಣಗಳು ಇರಬೇಕು!
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ:

ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ!

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

2. ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ

ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದನ್ನು "ಆವರಣದಿಂದ ಸೂಚಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು" ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಇದನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ:

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: ನಾವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬರೆಯಲು ಬಯಸಿದ್ದೇವೆ?

ಆದರೆ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಯೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ

ಈ ಹಂತದವರೆಗೆ, ನಾವು ಘಾತಾಂಕ ಏನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಆದರೆ ಏನು ಆಧಾರವಾಗಿರಬೇಕು?

ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂಚಕಆಧಾರವಾಗಿರಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಬಹುದು, ಅವು ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಹ.

ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ("" ಅಥವಾ "") ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸೋಣ?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವೇ? ಎ? ? ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಎಷ್ಟು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದರೂ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ. ನಾವು 6 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: "ಮೈನಸ್ಗೆ ಮೈನಸ್ ಪ್ಲಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ." ಅಂದರೆ, ಅಥವಾ. ಆದರೆ ನಾವು ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ?

ಉತ್ತರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ? ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಘಾತವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ಉದಾಹರಣೆ 5) ಎಲ್ಲವೂ ತೋರುವಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಬೇಸ್ ಯಾವುದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ - ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸರಿ, ಬೇಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಆಧಾರವು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲವೇ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ರಿಂದ (ಏಕೆಂದರೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 6) ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ!

ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು 6 ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಪರಿಹಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ 6 ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ನಾವು ಎಂಟನೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? 7 ನೇ ತರಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಹಾಗಾದರೆ, ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಇದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ! ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಇದು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಏನು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ? ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ: ಛೇದದ ಸಮ ಮಟ್ಟವು ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಮಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಪದಗಳು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದವು. ಈ "ವಿದ್ಯಮಾನ" ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಆದರೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಸೂತ್ರ:

ಸಂಪೂರ್ಣನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವುಗಳ ವಿರುದ್ಧಗಳು (ಅಂದರೆ, "" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಮತ್ತು ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಹೊಸ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಮಾನವಾದ ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಇದು ಏಕೆ?

ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - . ಏನೂ ಬದಲಾಗದಂತೆ ನೀವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು? ಅದು ಸರಿ, ಆನ್. ಅರ್ಥ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು:

ನಿಯಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ:

ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಅನೇಕ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅಪವಾದಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಸಹ ಇದೆ - ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ (ಆಧಾರವಾಗಿ).

ಒಂದೆಡೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಪದವಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು - ನೀವು ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ಗುಣಿಸಿದರೂ ಸಹ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಹಾಗಾದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸತ್ಯ? ಗಣಿತಜ್ಞರು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳದಿರಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ನಿರಾಕರಿಸಿದರು. ಅಂದರೆ, ಈಗ ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.

ಮುಂದೆ ಸಾಗೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೊನೆಯ ಬಾರಿಯಂತೆ ಮಾಡೋಣ: ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:

ಈಗ ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು:(ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).

ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ:

I. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.

II. ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

III. ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಸರಿ, ಎಂದಿನಂತೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ:

ನನಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ನನಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಯಾನಕವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಿದ್ಧರಾಗಿರಬೇಕು! ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ!

"ಸೂಕ್ತ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಘಾತಾಂಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ.

ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು.

ಅದು ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು "ಭಾಗಶಃ ಪದವಿ", ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ "ಪದವಿಯಿಂದ ಪದವಿಗೆ":

ಪಡೆಯಲು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು?

ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಸಂಖ್ಯೆಯ () ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿದಾಗ ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ, ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲವು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ: .

ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು: .

ಈಗ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಅದು ಏನು? ಪವರ್-ಟು-ಪವರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಆದರೆ ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಬಹುದೇ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಯಾವುದೂ!

ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ!

ಇದರರ್ಥ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇತರ, ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ.

ಮತ್ತು ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ದಾಖಲೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಒಮ್ಮೆ, ನಂತರ ನೀವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ನಾವು ಸೂಚಕವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆದರೆ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ತೊಂದರೆಗೆ ಸಿಲುಕುತ್ತೇವೆ: (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ!).

ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಆಂಶಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲ ಘಾತ.

ಹಾಗಾದರೆ:

• - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ;
• - ಪೂರ್ಣಾಂಕ;

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು 5 ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ತರಬೇತಿಗಾಗಿ 5 ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಸರಿ, ಈಗ ಕಠಿಣ ಭಾಗ ಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ

ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ (ಅಂದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ).

ನೈಸರ್ಗಿಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ "ಚಿತ್ರ", "ಸಾದೃಶ್ಯ" ಅಥವಾ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ;

...ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ- ಇದು, ಅದು ಇದ್ದಂತೆ, ಒಮ್ಮೆ ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಇನ್ನೂ ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ - ಆದ್ದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ "ಖಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ" ಮಾತ್ರ , ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ;

...ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪದವಿ- ಇದು ಕೆಲವು "ರಿವರ್ಸ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ" ಸಂಭವಿಸಿದಂತೆ, ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲಕ, ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಘಾತವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ತೊಂದರೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ.

ನೀವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ! (ನೀವು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿತರೆ :))

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ:

1. ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಈಗ ಸೂಚಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅವನು ನಿಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ನೆನಪಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ,

ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

ಉತ್ತರ: .

2. ನಾವು ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಎರಡೂ ದಶಮಾಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡೂ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಉತ್ತರ: 16

3. ವಿಶೇಷ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಮುಂದುವರಿದ ಹಂತ

ಪದವಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಪದವಿಯು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ:

• — ಪದವಿ ಬೇಸ್;
• - ಘಾತ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ (n = 1, 2, 3,...)

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿ n ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವುದು:

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ (0, ±1, ±2,...)

ಘಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಸಂಖ್ಯೆ:

ನಿರ್ಮಾಣ ಶೂನ್ಯ ಪದವಿಗೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಕಡೆ, ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಇದು, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೇ ಪದವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದು.

ಘಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಸಂಖ್ಯೆ:

(ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).

ಸೊನ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ

• - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ;
• - ಪೂರ್ಣಾಂಕ;

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂದವು? ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ನೋಡೋಣ: ಏನು ಮತ್ತು?

ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ : ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : .

ಉದಾಹರಣೆ : ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಮ್ಮ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿಅದೇ ಕಾರಣಗಳು ಇರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ:

ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿ: ಈ ನಿಯಮ - ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ!

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ:

ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮರುಸಂಗ್ರಹಿಸೋಣ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದನ್ನು "ಆವರಣದಿಂದ ಸೂಚಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು" ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಇದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ: !

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: ನಾವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬರೆಯಲು ಬಯಸಿದ್ದೇವೆ? ಆದರೆ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಯೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ.

ಈ ಹಂತದವರೆಗೆ ನಾವು ಅದು ಹೇಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಪದವಿಗಳು. ಆದರೆ ಏನು ಆಧಾರವಾಗಿರಬೇಕು? ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂಚಕ ಆಧಾರವಾಗಿರಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಬಹುದು, ಅವು ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಹ. ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ("" ಅಥವಾ "") ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸೋಣ?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವೇ? ಎ? ?

ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಎಷ್ಟು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದರೂ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ. ನಾವು 6 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: "ಮೈನಸ್ಗೆ ಮೈನಸ್ ಪ್ಲಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ." ಅಂದರೆ, ಅಥವಾ. ಆದರೆ ನಾವು () ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - .

ಮತ್ತು ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತ: ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು:

1. ಸಹಪದವಿ, - ಸಂಖ್ಯೆ ಧನಾತ್ಮಕ.
2. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಬೆಸಪದವಿ, - ಸಂಖ್ಯೆ ಋಣಾತ್ಮಕ.
3. ಯಾವುದೇ ಪದವಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
4. ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಶೂನ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಉತ್ತರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ? ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಘಾತವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5) ಎಲ್ಲವೂ ತೋರುವಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಬೇಸ್ ಯಾವುದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ - ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಿ, ಬೇಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಆಧಾರವು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲವೇ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ರಿಂದ (ಏಕೆಂದರೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 6) ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು: ಅಥವಾ? ನಾವು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬೇಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ನಿಯಮ 2 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಫಲಿತಾಂಶವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೆ ನಾವು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲವೂ ಎಂದಿನಂತೆ - ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೊದಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ಪರಿಹಾರಗಳು :

ನಾವು ಎಂಟನೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? 7 ನೇ ತರಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಹಾಗಾದರೆ, ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಇದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ!

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಇದು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಏನು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ? ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಿಯಮ 3 ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಹೇಗೆ? ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ: ಛೇದದ ಸಮ ಮಟ್ಟವು ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಏನೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸರಿ? ಆದರೆ ಈಗ ಅದು ಈ ರೀತಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

ಮಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಪದಗಳು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದವು. ಈ "ವಿದ್ಯಮಾನ" ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ!ನಾವು ಇಷ್ಟಪಡದ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅನಾನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಸೂತ್ರ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಈಗ ಕೊನೆಯ ನಿಯಮ:

ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಂದಿನಂತೆ: ಪದವಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

ಸರಿ, ಈಗ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ. ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಅಕ್ಷರಗಳಿವೆ? ಗುಣಕಗಳ ಮೂಲಕ ಬಾರಿ - ಇದು ನಿಮಗೆ ಏನನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಗುಣಾಕಾರ: ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಇದ್ದವು. ಅಂದರೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ

ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಅಂದರೆ , ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ).

ನೈಸರ್ಗಿಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ "ಚಿತ್ರ", "ಸಾದೃಶ್ಯ" ಅಥವಾ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಅದು ಇದ್ದಂತೆ, ಒಮ್ಮೆ ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಇನ್ನೂ ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ - ಆದ್ದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ "ಖಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ", ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ; ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ - ಇದು ಕೆಲವು "ರಿವರ್ಸ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ" ಸಂಭವಿಸಿದಂತೆ, ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ (4-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾದಂತೆಯೇ). ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪದವಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಮೂಲಕ, ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಘಾತವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅಲ್ಲ. ಆದರೆ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ತೊಂದರೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ.

ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ನಾವು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಅದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾವು ನಮ್ಮ ಕೈಲಾದಷ್ಟು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ! :)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

1. ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಉತ್ತರ:.
2. ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಎರಡೂ ದಶಮಾಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡೂ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: .
3. ವಿಶೇಷ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ವಿಭಾಗದ ಸಾರಾಂಶ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ಪದವಿರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: , ಅಲ್ಲಿ:

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ

ಒಂದು ಪದವಿಯ ಘಾತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ).

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ

ಪದವಿ, ಇದರ ಘಾತವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ

ಒಂದು ಪದವಿಯ ಘಾತವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ ಅಥವಾ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪದವಿಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು.

• ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಹಪದವಿ, - ಸಂಖ್ಯೆ ಧನಾತ್ಮಕ.
• ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಬೆಸಪದವಿ, - ಸಂಖ್ಯೆ ಋಣಾತ್ಮಕ.
• ಯಾವುದೇ ಪದವಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
• ಶೂನ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನೀವು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ...

ನೀವು ಲೇಖನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟಿದ್ದೀರಾ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪದವಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಮ್ಮ ಅನುಭವದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ಬಹುಶಃ ನಿಮಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆ. ಅಥವಾ ಸಲಹೆಗಳು.

ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದೃಷ್ಟ!

ಈ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಏನು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ (ಎ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಕವಾಗಿ (ಎನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕ n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ನ ​​ಶಕ್ತಿಯು n ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ a ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದವಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಎನ್, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಾತಾಂಕವು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೂಲವು a ಆಗಿದ್ದರೆ, a ಯ ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a 1. a ಎಂಬುದು ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು 1 ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು a 1 = a.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪದವಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅನುಕೂಲಕರ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಾರ್ಮ್ನ ದಾಖಲೆ 8 8 8 8ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು 8 4 . ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಉತ್ಪನ್ನವು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಪದವಿ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಓದುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯು "a ಟು ದಿ ಪವರ್ ಆಫ್ n" ಆಗಿದೆ. ಅಥವಾ ನೀವು "ಎನ್ತ್ ಪವರ್ ಆಫ್ ಎ" ಅಥವಾ "ಆಂಥ್ ಪವರ್" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ 8 12 , ನಾವು "8 ರಿಂದ 12 ನೇ ಶಕ್ತಿ", "8 ರಿಂದ 12 ರ ಶಕ್ತಿ" ಅಥವಾ "8 ರ 12 ನೇ ಶಕ್ತಿ" ಎಂದು ಓದಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸ್ಥಾಪಿತ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಚದರ ಮತ್ತು ಘನ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 7 (7 2), ನಂತರ ನಾವು "7 ವರ್ಗ" ಅಥವಾ "ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರ ಚೌಕ" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಮೂರನೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ: 5 3 - ಇದು "ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರ ಘನ" ಅಥವಾ "5 ಘನ" ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು "ಎರಡನೇ / ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ" ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು; ಇದು ತಪ್ಪಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: ಫಾರ್ 5 7 ಐದು ಆಧಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಏಳು ಘಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಧಾರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ: ಪದವಿಗಾಗಿ (4 , 32) 9 ಆಧಾರವು ಭಾಗ 4, 32 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಒಂಬತ್ತು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆವರಣಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇಸ್‌ಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

ಆವರಣ ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅವರು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ನಮಗೆ ಎರಡು ನಮೂದುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: (− 2) 3 ಮತ್ತು − 2 3 . ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎರಡು ಮೈನಸ್ ಮೂರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಎರಡನೆಯದು ಪದವಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ 2 3 .

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾಗುಣಿತವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು - a^n(ಇಲ್ಲಿ a ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n ಘಾತವಾಗಿದೆ). ಅಂದರೆ, 4^9 ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ 4 9 . n ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 15 ^ (21) , (- 3 , 1) ^ (156) . ಆದರೆ ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ಎನ್ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ: ನೀವು ಕೇವಲ n ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಪದವಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ - ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲ. ನಾವು ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪದವಿಯು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಘಾತಾಂಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ, ಅವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಶೂನ್ಯ ಪದವಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮಾನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಅಂಶದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಸಮಾನತೆ a m: a n = a m - nಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ: m ಮತ್ತು n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, m< n , a ≠ 0 .

ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. m ಮತ್ತು n ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a n: a n = a n - n = a 0

ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ a n: a n = 1 ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದು ಎನ್ಮತ್ತು ಎ. ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪುರಾವೆಯು ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸ್ತಿ ಬೇಕು - ಸಮಾನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆಸ್ತಿ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a m · a n = a m + n .

n 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ a m · a 0 = a m(ಈ ಸಮಾನತೆಯು ನಮಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ a 0 = 1) ಆದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ 0 ಮೀ · 0 0 = 0 ಮೀ, n ನ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ 0 0 , ಅಂದರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೂಪದ ಸಂಕೇತ 0 0 ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಬಯಸಿದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ a 0 = 1ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (a m) n = a m nಪದವಿಯ ಆಧಾರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಘಾತಾಂಕ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: ಆದ್ದರಿಂದ, 5 0 - ಘಟಕ, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ 0 0 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಶೂನ್ಯ ಪದವಿಯ ನಂತರ, ನಾವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪದವಿ ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಬಳಸಿದ ಸಮಾನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅದೇ ಆಸ್ತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ: a m · a n = a m + n.

ನಾವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: m = - n, ನಂತರ a ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. ಇದು ಒಂದು n ಮತ್ತು ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ a−nನಾವು ಪರಸ್ಪರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಗೆ a ಭಿನ್ನರಾಶಿ 1 a n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿ ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಬೇಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎಂದು ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕ n ನೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ a ಅನ್ನು 1 a n ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, a - n = 1 a n ಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ a ≠ 0ಮತ್ತು n ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಚಿತ್ರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕ z ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ: a z = a z, e ಜೊತೆಗೆ l ಮತ್ತು z - ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ 1, z = 0 ಮತ್ತು ≠ 0, (z = 0 ಮತ್ತು a = 0 ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವು 0 0 ಆಗಿದೆ, 0 0 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ) 1 a z, ಮತ್ತು z ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ≠ 0 (z ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು a = 0 ನೀವು 0 z ಆಗಿದ್ದರೆ, egoz ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ)

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾವುವು?

ಘಾತವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಘಾತಾಂಕವು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗಲೂ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಅವುಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ). ಒಂದು ಭಾಗದ ಘಾತ m / n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು m ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು m n ನ ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಕೆಲವು ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಶಕ್ತಿಯು ಹೊಂದಲು, ಸಮಾನತೆ a m n n = a m n · n = a m ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು.

n ನೇ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a m n n = a m, m, n ಮತ್ತು a ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ m n ಅರ್ಥವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು m n = a m n ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯ ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು m n = a m n ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಮುಖ್ಯ ತೀರ್ಮಾನವು ಹೀಗಿದೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ದ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತ m / n ನೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ m ಗೆ a ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. m, n ಮತ್ತು a ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, m n ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ ಇದು ನಿಜ.

1. ನಾವು ಪದವಿಯ ತಳಹದಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬಹುದು: a ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಇದು m ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ - ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆ (m ≤ 0 ರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 0 ಮೀ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ಗಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತಾಂಕ m/n ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯು m ಗೆ ಏರಿಸಲಾದ n ನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಶೂನ್ಯ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ, ಈ ನಿಬಂಧನೆಯು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಘಾತವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಮೂಲ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಧನಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕ m/n ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

0 m n = 0 m n = 0 ಒದಗಿಸಿದ m ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದ್ದೇವೆ.

a m n ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ a ಮತ್ತು ಕೆಲವು m ನ ಕೆಲವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಿಯಾದ ನಮೂದುಗಳು (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, ಇದರಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ m n ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು. ನಂತರ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಡಿಗ್ರಿ a, ಅದರ ಘಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಿದೆ, ಡಿಗ್ರಿ a ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಘಾತದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಭಾಗವಿದೆ. ನಮಗೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿ ಏಕೆ ಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂತರ ನಾವು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು m · k n · k ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು m n ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು.

n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು m ನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, m n ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಮ ಡಿಗ್ರಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. m ನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, a ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಬೆಸ ಮೂಲವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಮೂದುನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ m/n ಎಂದರೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಭಾಗ, m ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಮತ್ತು n ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ m · k n · k ಪದವಿಯನ್ನು m n ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತ m / n ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ m n ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: - ಯಾವುದೇ ನೈಜ a, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ m ಮತ್ತು ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು n. ಉದಾಹರಣೆ: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ a, m ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು n ನ ಬೆಸ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ a, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಮತ್ತು n ಸಹ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ a, ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಮತ್ತು n ಸಹ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ಈಗ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ: ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಏಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ, 6/10 = 3/5. ನಂತರ ಅದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ಆದರೆ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , ಮತ್ತು (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

ಹೀಗಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಘಾತ m/n ನೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು 0 m n = 0 m n = 0 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎ a m n ಎಂಬ ಸಂಕೇತವು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕ ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯದ ಶಕ್ತಿ m/n 0 m n = 0 m n = 0 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸೂಚಕವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಘಾತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ನಂತರ ಘಾತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ನೈಜ ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾವುವು?

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಅವರ ಸೆಟ್ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಜವಾದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ a ಮತ್ತು ಅದರ ದಶಮಾಂಶ ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ a 0 , a 1 , a 2 , . . . . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = 1.67175331 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. . . , ನಂತರ

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

a 0, a 1, a 2, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. . . . ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದ್ದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ a = 3, ನಂತರ a a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753, . . . ಇತ್ಯಾದಿ

ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಬೇಸ್ a ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ: ಫಾರ್ಮ್ 3 1, 67175331 ರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ. . ಸಂಖ್ಯೆ 6, 27 ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕ a ಹೊಂದಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು a ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು a 0 , a 1 , a 2 , ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. . . , ಅಲ್ಲಿ a 0 , a 1 , a 2 , . . . ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ ದಶಮಾಂಶ ಅಂದಾಜುಗಳು a. 0 a = 0 ಆದ್ದರಿಂದ, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0 ನೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ತಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0 - 5, 0 - 2 π ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದ ಘಟಕವು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು 2 ರಲ್ಲಿ 1 2, 1 5 ಮತ್ತು 1 - 5 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಪದವಿ ಸೂತ್ರಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಇದೆ ಎನ್- ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎಯಾವಾಗ:

ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

1. ಅದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವುಗಳ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಮೀ·a n = a m + n .

2. ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

3. 2 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಟ್ಟವು ಈ ಅಂಶಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(abc...) n = a n · b n · c n ...

4. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(a/b) n = a n /b n .

5. ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ಘಾತಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(a m) n = a m n .

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರವು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

1. ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲವು ಈ ಅಂಶಗಳ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

2. ಅನುಪಾತದ ಮೂಲವು ಲಾಭಾಂಶದ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

3. ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಸಾಕು:

4. ನೀವು ಮೂಲದ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಎನ್ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎನ್ನೇ ಶಕ್ತಿಯು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

5. ನೀವು ಮೂಲ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಎನ್ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ ಎನ್ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ -ನೇ ಶಕ್ತಿ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದು ಘಾತವು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಘಾತಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಮೀ:a n =a m - nಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮೀ> ಎನ್, ಆದರೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೀ< ಎನ್.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೀ:a n =a m - nಯಾವಾಗ ನ್ಯಾಯವಾಯಿತು m=n, ಶೂನ್ಯ ಪದವಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಶೂನ್ಯ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.ಶೂನ್ಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಎಪದವಿಗೆ m/n, ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು ಎನ್ನೇ ಪದವಿ ಮೀ- ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎ.