ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ನೇರ ರೇಖೆ y=3x+2 y=-12x^2+bx-10 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ b ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹಾದುಹೋಗುವ y=-12x^2+bx-10 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ x_0 ಆಗಿರಲಿ.

ಪಾಯಿಂಟ್ x_0 ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, y"(x_0)=-24x_0+b=3. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಅಂದರೆ, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x_0^2=1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ x_0=-1 ಅಥವಾ x_0=1. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x_0=-1, ನಂತರ b=3+24x_0=-21.

ಉತ್ತರ

ಸ್ಥಿತಿ

ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಮೂರು ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ). ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, F(9)-F(5) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ಇಲ್ಲಿ F(x) ಎಂಬುದು f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, F(9)-F(5) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು F(x) ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು y=0 , x=9 ಮತ್ತು x=5. ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ನಾವು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ 4 ಮತ್ತು 3 ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೇಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ." ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ಅಂಕಿ y=f"(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-4; 10). ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f"(x) ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂತಹ ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಆಕೃತಿಯಿಂದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದ - (5; 9) 4 ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ." ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ಅಂಕಿ y=f"(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-8; 7) ಮಧ್ಯಂತರ [-6; -2].

ಪರಿಹಾರ

f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f"(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಇರುತ್ತದೆ) ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (-5 ಮತ್ತು -4 ರ ನಡುವೆ) [ -6; -2 ] ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [-6; -2] ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ." ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-2; 8). ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಚಾರ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು). ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, 5 ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ." ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ನೇರ ರೇಖೆ y=-3x+4 y=-x^2+5x-7 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

x_0 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ y=-x^2+5x-7 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು y"(x_0) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ y"=-2x+5, ಇದರರ್ಥ y" (x_0)=-2x_0+5. ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ y=-3x+4 ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು -3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x_0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಂದರೆ =- 2x_0 +5=-3.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x_0 = 4.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ." ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು -6, -1, 1, 4 ಅನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಯಾವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ? ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

(Fig.1)

ಚಿತ್ರ 1. ಉತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
2. ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
3. ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4. ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು OX ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ (Fig. 2) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ [-3; 5] ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2. ಉತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್

ಪರಿಹಾರ: ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ -3 ನಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ (Fig. 3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ [-11; 3].

ಚಿತ್ರ 3. ಉತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್

ಪರಿಹಾರ: ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಧನಾತ್ಮಕದಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ - ಪಾಯಿಂಟ್ -10 ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ -1 ನಲ್ಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ (Fig. 3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ [-11; -1].

ಪರಿಹಾರ: ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕೇವಲ -7 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ (Fig. 3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮುಂದೆ, ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಶಿಕ್ಷಕರ ಸಹಾಯದಿಂದ) ಬರಬೇಕು. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಂತವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಲ್ಲದೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ವಾದಿಸಲು (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು) ಸಮರ್ಥರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ), ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ 10 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ನಕಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ).
y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ [–6; 6].
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ y = f"(x), ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ y = f(x);
2) y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉದ್ದ;
3) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;
4) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಟ ಬಿಂದು y = f(x);
5) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಸ್ಥಾಯಿ) ಪಾಯಿಂಟ್, ಇದು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಲ್ಲ;
6) y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ;
7) ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ, ಇದರಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ [–2; 2];
8) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
9) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ 60 ° ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ;
10) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ abscissa, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಓದುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್‌ಗಳ ವೇದಿಕೆಯ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಲೇಖನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. "CyberForum.ru" ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು, ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಚರ್ಚೆ, ವೆಬ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ವಿಜ್ಞಾನ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗೃಹೋಪಯೋಗಿ ವಸ್ತುಗಳು, ವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಹಾರ, ಮನರಂಜನೆ, ಜನರು ಮತ್ತು ಸಮಾಜ, ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಮತ್ತು ಕಲೆ, ಮನೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕತೆ, ಕಾರುಗಳಂತಹ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ವೇದಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. , ಮೋಟಾರ್ ಸೈಕಲ್ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು. ವೇದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಉಚಿತ ಸಹಾಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅದು ಇಲ್ಲಿ ಇದೆ: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ [–6; 5]. ಚಿತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:
a) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = f (x);
b) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ y = f"(x).
ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
1) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು y = f(x);
2) y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;
3) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ abscissa, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ;
4) y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ).
ಉತ್ತರಗಳು:
a) 1) -3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
ಬಿ) 1) -2; 4.6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಬಹುದು: ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತನ್ನ ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು 4-5 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪಾಠಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಉದ್ದೇಶಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಮ್ಮ ಪಾಲುದಾರರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

11 ನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಕೆಲಸವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ವಿಪರೀತ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಈ ವಿಷಯದ ಉತ್ತಮ ಜ್ಞಾನವು ಹಲವಾರು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ವೃತ್ತಿಪರ ತರಬೇತಿಯಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಆಧುನಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅವಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ - ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆಯೇ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ.

Shkolkovo ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಪದವೀಧರರ ಸಮಗ್ರ ಸಿದ್ಧತೆಯು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ - ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ವಿಷಯದ ಲೆಕ್ಸಿಕಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿ. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ನೀವು ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಮೊದಲು "ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ" ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಬರೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಓದಬಹುದು.

ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ. ಅನುಭವಿ ಶಿಕ್ಷಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಓದುವುದು, ವೀಡಿಯೊ ವೀಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ನೇರ ತರಬೇತಿ - ಸೈಟ್ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ವೆಬ್‌ನಾರ್‌ಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ನೀವು ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, "ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್" ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ - ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಷ್ಟದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

"ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟರ್" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನೈಜ ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ತೀಚಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಿರಂತರವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.