ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ

ಕರ್ಣೀಯ ಮಾತೃಕೆಗಳು ಸರಳವಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಆಧಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.
ನಮಗೆ ರೇಖೀಯ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡೋಣ R n ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ A ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಪರೇಟರ್ A R n ಅನ್ನು ತನ್ನೊಳಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ A:R n → R n .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ A ಯ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಪರೇಟರ್ A ಅನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ. λ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ A ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಅಥವಾ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ.
1. ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಅದೇ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಎ λ ಅದೇ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಹೊಂದಿರುವ ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.
2. ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಸ್ λ 1, λ 2, ..., λ m ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಪರೇಟರ್ A ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.
3. ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು λ 1 = λ 2 = λ m = λ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ m ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, n ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿದ್ದರೆ , λ 1, λ 2, ..., λ n ವಿವಿಧ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಂತರ ಅವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು R n ಸ್ಥಳದ ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ A ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ರೂಪವನ್ನು ಅದರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ನಿರ್ವಾಹಕರು A ಯೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಂತರ .
ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ A ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ A ಯ ಐಜೆನ್ವ್ಯಾಲ್ಯೂಗಳು ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತವೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಆಧಾರವಿದೆಯೇ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಆಧಾರದಲ್ಲಿ (i = 1..n) ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ A ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರದ ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆಪರೇಟರ್ A ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮ

. (*)

(1)
ಎಲ್ಲಿ - ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಅದರ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ D ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 12. ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ A ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ R 3 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x 1, x 2, .., x n ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. , , . ಈ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಈ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
ಸಿಸ್ಟಂನಲ್ಲಿ λ = -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಅಥವಾ
ಏಕೆಂದರೆ , ನಂತರ ಎರಡು ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇವೆ.
x 1 ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರಲಿ ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ n - r = 3 - 2 = 1.
λ = -1 ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , ಇಲ್ಲಿ x 1 ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 1 = 1 ಅನ್ನು ಹಾಕುವುದು: .
ಇದೇ ರೀತಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ = 3 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: .
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ R 3 ನಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಕೇವಲ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಿಂದ R 3 ನಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 13. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ .
1. ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
1. ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ

.
ವೆಕ್ಟರ್ (1, 8, -1) ಒಂದು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ = -1.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
λ = -3 ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡು ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ x 1 = x 3 = 0. ಇಲ್ಲಿ x 2 ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 = 1. ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ (0 ,1,0) λ = -3 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
.
λ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಎರಡು. ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ.
x 3 ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಾವು (-3,-9,1) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ = 1 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

.
ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು R 3 ನಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ , , ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.
ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ A:R n → R n ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳಿಗೆ n ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಗುಣಾಕಾರ m ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ನಿಖರವಾಗಿ m ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ .
ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. 1. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ನೈಜವಾಗಿವೆ.
2. ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಉಪಕರಣದ ಅನೇಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್‌ನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9.3.ವೆಕ್ಟರ್ X ಎಂದು ಕರೆದರು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ λ, ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: ಎ X= λ X, ಅಂದರೆ, ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ X ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ ಎ, ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ λ . ಸಂಖ್ಯೆಯೇ λ ಎಂದು ಕರೆದರು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ.

ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (9.3) x` j = λx j ,ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

. (9.5)

ಈ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಕ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ). ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ:

ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ λ , ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

| A - λE | = 0, (9.6)

ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ A-λE. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಸಂಬಂಧಿ λ | A - λE| ಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1) ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವು ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪುರಾವೆ. (ನೋಡಿ (9.4)), ಆದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ, . ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ | A-λE| ಹೊಸ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ(ಅವು. ಮತ್ತು ij = a ji), ನಂತರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು (9.6) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1) ನೀವು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಆಧಾರವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ x 1, x 2, x 3 , ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ λ 1, λ 2, λ 3ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ, ನಂತರ ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ A ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(9.7) ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

2) ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

3) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಕೆಲವು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಕರ್ಣೀಯ ನೋಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ನಾವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ λ. (9.5) ನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ X (1) ={x 1, x 2, x 3) - ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನುಗುಣವಾದ λ 1 =-2, ನಂತರ

- ಸಹಕಾರಿ ಆದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು X (1) ={ಎ,0,-ಎ), ಇಲ್ಲಿ a ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ | X (1) |=1, X (1) =

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿ (9.5) λ 2 =3, ನಾವು ಎರಡನೇ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - X (2) ={y 1,y 2,y 3}:

, ಎಲ್ಲಿ X (2) ={ಬಿ,-ಬಿ, ಬಿ) ಅಥವಾ, ಒದಗಿಸಿದ | X (2) |=1, X (2) =

ಫಾರ್ λ 3 = 6 ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, X (3) ={ಸಿ,2c,c) ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ

x (3) = ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = ಕ್ರಿ.ಪೂ- 2bc + bc= 0. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉಪನ್ಯಾಸ 10.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕ. ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.1.ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಆಕಾರನಿಜವಾದ ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 2,..., x nಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಉಚಿತ ಪದ ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

(ಎನ್ = 2),

(ಎನ್ = 3). (10.1)

ಕೊನೆಯ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.2.ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅಂದರೆ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ನೈಜವಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎನ್ = 2).

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿಡಿ ಎರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: . ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

(10.2) ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.

2) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎನ್= 2).

ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ , ಏಕೆಂದರೆ ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಕಾಲಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪರಿಚಿತರು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುವುದರಿಂದ , ನಂತರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Δ ≠ 0, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X = ವೈ = z= 0. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಇದು Δ ≠ 0 ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ Δ ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. Δ ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಈಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು

ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ , X- ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್, ಅದರ ಎತ್ತರವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎ. .

ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು X

ಅಲ್ಲಿ λ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾವುದೇ λ ಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು λ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ, ಎ Xಅಂತಹ λ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಇ∙X = X, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ . ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಿಜವಾಗಿಯೂ .

ಆದ್ದರಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ x 1, x 2, x 3ವೆಕ್ಟರ್ X. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಇದು λ ಗೆ 3ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಮತ್ತು λ ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ X, ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು λ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ದಿ ಕಾನ್ಸೆಪ್ಟ್ ಆಫ್ ವೆಕ್ಟರ್

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದ್ದ, ಪ್ರದೇಶ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ತಾಪಮಾನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದ ಜೊತೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಕ್ತಿ, ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ ದೇಹವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವಿಭಾಗಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯೋಣ, ಅದರ ತುದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮೊದಲನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅಂತ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ- ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಾರಂಭ, ಬಿಅದರ ಅಂತ್ಯ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಜೊತೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬಾಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟಕಅಥವಾ ಉದ್ದವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚಿಸಿದ || ಅಥವಾ ||.

ನಾವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಶೂನ್ಯ ||=0.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ , ವಿರುದ್ಧ.

ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೋಪ್ಲಾನರ್.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ, ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸಾಗಿಸಬಹುದು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಇರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

   ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ λ ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೊಸ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ:

   ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ λ ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

   

   ಉದಾಹರಣೆಗೆ,ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

   ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

2. ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ.

   ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಿ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಓಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ನಂತರ ಎವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊತ್ತಈ ವಾಹಕಗಳ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

   

   ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮ, ವಾಹಕಗಳ ಒಂದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹಂತದಿಂದ ಮುಂದೂಡೋಣ ಓವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು . ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ OABC. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್, ಇದು ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ ಓ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

   

   ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

3. ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

   ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೊಲಿನಿಯರ್, ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ದವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. λ = –1: ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಎರಡನೆಯದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ V ಆಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ λ ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

M × V = λ × V,

ಇಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಆಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಧವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದೋಣ:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

ಅದನ್ನು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸೋಣ:

• ವಿ = -2;

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ 2 × 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 ಎಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ನ ಅಂಶ, ಮತ್ತು M22 ಎಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶ. ನಮ್ಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ, ಈ ಅಂಶಗಳು M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು V11 = –2, V21 = 1. ಈ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ (-2; 1) ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ (4; -2). ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು λ = -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ವಸ್ತು. ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಪದವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (-8; 4), ಮತ್ತು (16; -8), ಮತ್ತು (32, -16) ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ = -2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಇನ್ನೂ 2 ಬಾರಿ ಮೂಲದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ, ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, n × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ, n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿರುತ್ತವೆ. ನಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್‌ಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಐಜೆನ್‌ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ: ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮೊದಲು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು.

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡೂ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

ಮೊದಲು ನಾವು ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ λ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು, ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ λ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

ನಮ್ಮ ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಣಾಯಕ detA ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲವು sqrt(D) = 14, ಆದ್ದರಿಂದ λ1 = -2, λ2 = 12. ಈಗ ಪ್ರತಿ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಾವು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಾವು λ = -2 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, E ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

2x + 4y = 6x + 12y,

ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ X ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ Y ಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ - 4x = 8y. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು - 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು x = –2y ಪಡೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅಪರಿಚಿತರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ). y = 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ನಂತರ x = –2. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ V1 = (–2; 1) ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಲೇಖನದ ಆರಂಭಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ವಸ್ತುವೇ ನಾವು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ λ = 12 ಗಾಗಿ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = ವೈ.

ಈಗ ನಾವು x = 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ y = 3. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ V2 = (1; 3) ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು 12 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಇರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ಈಗ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

• ನಿರ್ಣಾಯಕ;
• ಜಾಡಿನ, ಅಂದರೆ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ;
• ಶ್ರೇಣಿ, ಅಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಲುಗಳು/ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾವನ್ನು "ಸಿ" ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆ

ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯೋಣ:

• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ: 2;
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್: 18;
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೇಸ್: 19;
• ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: c 2 - 19.00c + 18.00 (ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ);
• ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 18 (ಮೊದಲ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಮೌಲ್ಯ);
• ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 1 (ಎರಡನೇ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಮೌಲ್ಯ);
• ವೆಕ್ಟರ್ 1 ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• ವೆಕ್ಟರ್ 2 ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ 1: (1; 1);
• ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ 2: (-3.25; 1).

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಷಯಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ಭಯಾನಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ನಮ್ಮ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅಥವಾ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಇತರ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳಿವೆ; ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನ ಅಥವಾ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ.

www.siteಹುಡುಕಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸೈಟ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸರ್ವರ್ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಅನುಗುಣವಾದ ಇತರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುವುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಮೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ ಆನ್ಲೈನ್ಚೌಕಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕುವ ಕಾರ್ಯ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗುಣಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. www.siteಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಆನ್ಲೈನ್. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್- ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್‌ಗಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ, ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳ ಅರ್ಥ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ವೇಳೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣರಿವರ್ಸ್‌ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಅಥವಾ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಹುಡುಕಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಸರ್ವರ್ ಕೆಲವೇ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉತ್ತರ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣತರ್ಕಹೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ www.siteಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಅದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಂಕೇತಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪಡೆದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು www.site. ಬಹುಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ - ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೀವು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಹರಿಸಬೇಕು. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ನಿಮ್ಮ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಮ್ಮ ಸೈಟ್ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ. ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದೀರ್ಘ ತಪಾಸಣೆಗಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಸಮಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ www.siteಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅನುಕೂಲಕರ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ.