ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, LNDE ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ LPDE ಯ ಪರಿಹಾರ, ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ LDDE ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ರೂಪದ ಬಲಭಾಗ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಲವಂತದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1. 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆ.

ನಾವು ಮೊದಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಸಂಕೇತವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. Y ಒಂದು ಅಸಮರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ, ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಕಾಶ
- ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
. ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ
ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು
- ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ.

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೇಗಾದರೂ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

2. ಬದಲಾವಣೆ ವಿಧಾನ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿವಿಧ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ನಂತರ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಸಿ iನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳು X, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗಿದೆ:

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಸಿ i (X) ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಓಹ್).

ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಬಿ(x)

ನಾವು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ; ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ವಿಶೇಷ ರೂಪದ ಬಲಭಾಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ:

I. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮೀ.

ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರ(X) - ಅದೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪ(X) , ಆದರೆ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಆರ್- ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆ  ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
.

ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಈಗ ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:
, ಎಲ್ಲಿ

ಆ.

ಈಗ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು IN.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ.

ಒಟ್ಟು, ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:

ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:

II. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಆರ್ 1 (X)ಮತ್ತು ಆರ್ 2 (X)- ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳು ಮೀ 1 ಮತ್ತು ಮೀ 2 ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಆರ್ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ
ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರ 1 (X) ಮತ್ತು ಪ್ರ 2 (X) - ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳು ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮೀ, ಎಲ್ಲಿ ಮೀ- ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಮೀ 1 ಮತ್ತು ಮೀ 2 .

ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಾರಾಂಶ ಕೋಷ್ಟಕ

ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ.

ಆ. ಸಮೀಕರಣವು ಇದ್ದರೆ:
, ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ
ಎಲ್ಲಿ ನಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ 2 - ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಮತ್ತು

ವಿವರಿಸಲು, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ f 1 (X) + f 2 (X) = X + (- ಪಾಪ X).

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಅಂದರೆ.

ಒಟ್ಟು:

ಆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:

ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1..ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ:

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ:
.

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆ ಈ ಪ್ರಕಾರದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಎಲ್ಲಿ ಪ, q- ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಇದು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು). ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ: ಪ್ರಮೇಯ: ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ವೈ 0 (X) ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ವೈ 1 (X) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ: ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ವೈಸಂಬಂಧಿತ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ 0 ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ನಿರಂತರ ಬದಲಾವಣೆ ವಿಧಾನ. ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ: ಶಾಶ್ವತ ಬದಲಿಗೆ ಸಿ 1 ಮತ್ತು ಸಿ 2 ನಾವು ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಿ 1 (X) ಮತ್ತು ಸಿ 2 (X) ನಾವು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಬಲಭಾಗದ ಜೊತೆ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದೆ f(X) ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಿ 1 (X) ಮತ್ತು ಸಿ 2 (X) ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕ ವಿಧಾನ ಬಲ ಭಾಗ f(X) ಒಂದು ಅಸಮರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೀಮಿತ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ರಚನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕು. ಪ್ರಕರಣ 1 ರಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ α ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ X ರು, ಎಲ್ಲಿ ರು- ಮೂಲ ಗುಣಾಕಾರ α ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ. ಪ್ರಕರಣ 2 ರಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ α + βiವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ X. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ತತ್ವ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೊತ್ತರೂಪದ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳು ನಂತರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದಕ್ಕೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y"" + y= ಪಾಪ (2 X). ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲು ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ y"" + y= 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿವೆ: ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತೆ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಿ 1 (X) ಮತ್ತು ಸಿ 2 (X) ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಸಿ 1 " (X) ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ: ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಿ 2 " (X): ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಸಿ 1 " (X) ಮತ್ತು ಸಿ 2 " (X), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎಲ್ಲಿ ಎ 1 , ಎ 2 - ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಈಗ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಸಿ 1 (X) ಮತ್ತು ಸಿ 2 (X) ಫಾರ್ಮುಲಾಗೆ ವೈ 1 (X) ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y"" + y" −6ವೈ = 36X. ಪರಿಹಾರ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ f(X)= ಕೊಡಲಿ + ಬಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ: ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಗುರುತು, ಅಂದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ X, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅದೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ Xಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ: ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಎ = −6, ಬಿ= -1. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈಗ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಸಹಾಯಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

DE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಆದರೆ ತಮಾಷೆಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಉತ್ತರವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ: , ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಕೂಡ ಸೇರಿಸಬೇಕು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಠವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ. ನೀವು ಟೀಪಾಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಪಾಠದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಮತ್ತು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಮುಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಿಧಾನವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯ ಪೂರ್ವಗ್ರಹವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

1) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ DE. ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದಿಂದ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರವೂ ಒಂದು.

2) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೆಲವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ಪಾಠವು ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ... ಹಾಗಾಗಿ ನಾನು ಈ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಮೃದುವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ನಾನು ಇತರ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಅಮೇಧ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದೆಂದು ಸುಮಾರು 10 ನಿಮಿಷಗಳ ಕಾಲ ನಾನು ನೋವಿನಿಂದ ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ರಜಾದಿನಗಳ ನಂತರ ನಾನು ಯಾವುದೇ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ನಾನು ಏನನ್ನೂ ದುರುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರವಾಗಿ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ಲೇಖನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಆ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದೆವು ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರಅಸಮಂಜಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ DE. ಈ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬದಲಿ ವಿಧಾನಅಥವಾ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ(ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಾರದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ!!!)

ಈಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ. ನಾನು ಕೇವಲ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಪಾಠದಿಂದ ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ಏಕೆ ಕಡಿಮೆ? ಏಕೆಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಿ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು)

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ - ಬದಲಿಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾನು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವು (ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ) ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಹೀಗಾಗಿ: - ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ"x" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ:

ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಧಾನದ ಹೆಸರು - ನಾವು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರವು ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಬಹುದು.

IN ಮೂಲಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:

ನಿಯಂತ್ರಣ ಬಿಂದು - ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬೇಕು.

ಬದಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎಂತಹ ಆಶೀರ್ವಾದ, ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಹ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ:

ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಾವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಬದಲಿ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಕಾರ್ಯವು ಇದೀಗ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ:

ನೀವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ.

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಾನು ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು)

ಪರಿಹಾರ:ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ:

ನಾವು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ:

ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ. ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಟೇಸ್ಟಿ ಪತ್ರವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "ಎ" ಮತ್ತು "ಬಿ" ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ಈಗ ಬದಲಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ:

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಸುಲಭದ ವಿಷಯವಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ನಾನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದ್ದೇನೆ. ಆದರೆ ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇನೆ: ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವಿಧಾನವು ಅನೇಕರಿಗೆ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ - ನಿರ್ಧಾರದ ಕೋರ್ಸ್ ಸ್ಪಷ್ಟ, ಪಾರದರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸುಂದರ.

ವಿಧಾನವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸಮಂಜಸ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ DE ಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮೇಲಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವು ಬಲಭಾಗವು ಬಹುಪದಗಳು, ಘಾತೀಯಗಳು, ಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಭಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ? ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಗುಡುಗು ಸಹಿತ ಯಾವುದೇ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಲ್ಲ; ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸೂಕ್ತ ಏಕರೂಪದಸಮೀಕರಣಗಳು:

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: - ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ದಾಖಲೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ - ಆವರಣ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.

ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು, ಏಕರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ - ಸದ್ಯಕ್ಕೆಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಇದು ಮನೆಯ ತ್ಯಾಜ್ಯದ ಡಂಪ್‌ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಜ್ಞಾತವು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

"ಗ್ರೀಕರು" ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತಾರೆ? ಕೊಕ್ಕರೆ ಅವರನ್ನು ತರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಪಡೆದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಎಡ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ?

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ಈ ಲೇಖನವು ನಿರಂತರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ನೀಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಪದಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

y "" + p · y " + q · y = f (x) ರೂಪದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (LDE) ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲಿ p ಮತ್ತು q ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

LNDE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಮೇಯ

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ರೂಪದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರ x ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. . . + f 0 (x) · y = f (x) x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ f (x) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y 0 ನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು LOD ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ y ~ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವು y = y 0 + ವೈ ~.

ಅಂತಹ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು y = y 0 + y ~ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ನಂತರ ನಾವು y ~ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು.

LPDE ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (x) ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

f (x) ಅನ್ನು n ನೇ ಡಿಗ್ರಿ f (x) = P n (x) ನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, LPDE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು y ~ = Q n (x) ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ) x γ, ಇಲ್ಲಿ Q n (x) ಪದವಿ n ನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, r ಎಂಬುದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಶೂನ್ಯ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. y ~ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ನಂತರ ಬಹುಪದದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು
Q n (x), ಸಮಾನತೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ನಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

ಪರಿಹಾರ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, y "" - 2 y " = x 2 + 1 ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣ y 0 ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ y ~, ಅಂದರೆ y = y 0 + y ~.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು LNDU ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದದ್ದು.

y 0 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗೋಣ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ನೈಜವೆಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬರೆಯೋಣ

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ~ . ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು y ~ ಗಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, ಅಲ್ಲಿ A, B, C ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x ನ ಅದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 ಮತ್ತು y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

ಈ ನಮೂದನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

ನಾವು C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

ಉತ್ತರ: 3 2 + 1 2 ಇ 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು n ಡಿಗ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಘಾತ f (x) = P n (x) · e a x , ನಂತರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LPDE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ, ಇಲ್ಲಿ Q n (x) n ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು r ಎಂಬುದು α ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

Q n (x) ಗೆ ಸೇರಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

ಉದಾಹರಣೆ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು y = y 0 + y ~ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು LOD y "" - 2 y " = 0 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು ಕೆ 1 = 0ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ k 2 = 2 ಮತ್ತು y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು x 2 + 1 · e x ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಂದ LPDE ಅನ್ನು y ~ = e a x · Q n (x) · x γ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ Q n (x) ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ α = 1 ಮತ್ತು r = 0, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C ಗಳು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅದನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

ಅದು ಸಿಕ್ಕಿತು

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ "" = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

ನಾವು ಅದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು A, B, C ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

ಉತ್ತರ: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ಎಂಬುದು LNDDE ಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ಎಂದು ಬರೆದಾಗ, ಮತ್ತು ಎ 1ಮತ್ತು IN 1ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ನಂತರ LPDE ಯ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, ಇಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು r ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು, ± i β ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಸಮಾನತೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೊದಲು, ನಾವು y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

ನಾವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಜೋಡಿ ± 2 i, ನಂತರ f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು y ~ ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x ನಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ A ಮತ್ತು B ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + ಬಿ ಸಿನ್ (2 x) y ~ "" = ((- 2 ಎ ಸಿನ್ (2 ಎಕ್ಸ್) + 2 ಬಿ ಕಾಸ್ (2 ಎಕ್ಸ್)) x + ಎ ಕಾಸ್ (2 ಎಕ್ಸ್) + ಬಿ ಸಿನ್ (2 ಎಕ್ಸ್)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

ಆಗ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

ಇದು y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ LDDE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

ಯಾವಾಗ f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), ನಂತರ y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ r ಎಂಬುದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, α ± i β ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ P n (x), Q k (x), ಎಲ್ ಮೀ (x) ಮತ್ತು Nm(x) n, k, m, m, ಅಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ m = m a x (n, k). ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು Lm(x)ಮತ್ತು Nm(x)ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

ನಂತರ m = m a x (n, k) = 1. ರೂಪದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಾವು y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. ಮುಂದೆ, ರೂಪದ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣ y ~ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ಪಾಪ (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ಪಾಪ (5 x))

A, B, C ಗುಣಾಂಕಗಳು, r = 0, ಏಕೆಂದರೆ α ± i β = 3 ± 5 · i ನೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ಪಾಪ (5 x)) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನೀಡುತ್ತದೆ

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · ಪಾಪ (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ಡಿ = 1

ಎಲ್ಲದರಿಂದಲೂ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ಪಾಪ (5 x))

ಉತ್ತರ:ಈಗ ನಾವು ನೀಡಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ಪಾಪ (5 x))

LDNU ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (x) ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಅನುಸರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅಲ್ಲಿ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, ಅಲ್ಲಿ ವೈ 1ಮತ್ತು ವೈ 2 LODE ನ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು;
• C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + y 1 " ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿರ್ಣಯ x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು C 1 (x)ಮತ್ತು ಸಿ 2 (x) ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಹಿಂದೆ y 0, y "" + 36 y = 0 ಎಂದು ಬರೆದ ನಂತರ ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = ಪಾಪ (6 x)

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ C 1 (x)ಮತ್ತು C2(x)ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ನಿರ್ಧಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಿದೆ C 1" (x)ಮತ್ತು C 2" (x)ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ಇ 6 x ಪಾಪ (6 x) + ಸಿ 4

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 ಪಾಪ (6 x)

ಉತ್ತರ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 ಪಾಪ (6 x)

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ