ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ನಮಗೆ ಎದುರಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಅಥವಾ dy = f(x)dx. ಅವಳ ಪರಿಹಾರ:
ಮತ್ತು ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ವೈ, ಇದು ರೂಪದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ
ಈ ಸಂಬಂಧವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ X, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ವೈಮತ್ತು ಆದೇಶದವರೆಗೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎನ್ಸೇರಿದಂತೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುನ್ನತ ಆದೇಶವನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (9.1) .
ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
- ಮೊದಲ ಆದೇಶ,
ಎರಡನೇ ಆದೇಶ
- ಐದನೇ ಆದೇಶ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ . ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇಳೆ ವೈಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ , ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ .
ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ
ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎನ್ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು 
ಮತ್ತು ತೋರುತ್ತಿದೆ
ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆದರೆ ಅದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ x, yಮತ್ತು ಎನ್ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಮತಿಸದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವೈ -
ನಂತರ ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (9.1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು (ಸಂಕಲನಗಳು) ಪಡೆಯಲು, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಬೇಕು.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕುಟುಂಬವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎನ್-ನೇ ಆದೇಶ - ಇಂದ ಎನ್ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎನ್-ನೇ ಆದೇಶ, ತೃಪ್ತಿಕರ ಎನ್ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು:
ಇದರ ಮೂಲಕ n ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು c 1, c 2,..., c n ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಅಥವಾ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 3.46. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ.ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು C ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಉದಾಹರಣೆ 3.47. 100 ಆರ್ ಸಂಚಯಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಹಣದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ. ಯೊ ಹಣದ ಆರಂಭಿಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು Yx - ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ Xವರ್ಷಗಳು. ವರ್ಷಕ್ಕೊಮ್ಮೆ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ
ಅಲ್ಲಿ x = 0, 1, 2, 3,.... ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ
ಅಲ್ಲಿ x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಎನ್ವರ್ಷಕ್ಕೊಮ್ಮೆ ಮತ್ತು x ವೇಳೆಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., ನಂತರ
1/n = h ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ, ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ಸಮಾನತೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಅನಿಯಮಿತ ವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎನ್(ನಲ್ಲಿ 
) ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಡ್ಡಿಯ ನಿರಂತರ ಸಂಚಯದೊಂದಿಗೆ ಹಣದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗೆ ನಿರಂತರ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ Xಹಣ ಪೂರೈಕೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. Y x ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, X- ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ಆರ್- ನಿರಂತರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಎಲ್ಲಿ 
, ಅಥವಾ 
, ಇಲ್ಲಿ P ಇ ಸಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ Y(0) = Yo, ನಾವು P: Yo = Pe o, ಎಲ್ಲಿಂದ, Yo = P. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಎರಡನೇ ಆರ್ಥಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸ್ಥೂಲ ಆರ್ಥಿಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದಾಯ ಅಥವಾ ಔಟ್‌ಪುಟ್ Y ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.48. ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಆದಾಯ Y ಅನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಿ:
ಮತ್ತು ಸರ್ಕಾರಿ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿನ ಕೊರತೆಯು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ Y ಆದಾಯಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರಲಿ q. ಖರ್ಚು ಕೊರತೆಯು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಾಲದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ D:
ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು Y = Yo ಮತ್ತು D = d ನಲ್ಲಿ t = 0. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ Y= Yoe kt. Y ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು dD/dt = qYoe kt ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
D = (q/ k) Yoe kt +С, ಅಲ್ಲಿ С = const, ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು Do = (q/ k)Yo + C ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಾಲವು ಅದೇ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಕೆ, ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಆದಾಯದಂತೆಯೇ.
ನಾವು ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಎನ್ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಇವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ
ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎನ್ಬಾರಿ ಏಕೀಕರಣಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆ 3.49. y """ = cos x ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. (9.1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ:
ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. f(x) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, (9.2) ಅನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅಸಮಂಜಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು (9.2) ಅದರ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ y(x)ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:
ಗುಣಾಂಕಗಳು р o (x), р 1 (x),..., р n (x) ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ (9.2)
(9.4) ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ .
ಫಾರ್ (9.4) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ನಾವು p o = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ (9.5) ಬರೆಯಬಹುದು
ನಾವು y = e kx ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (9.6) ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ k ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (9.6) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
(9.7) ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಕೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್ಮತ್ತು ಎನ್ಬೇರುಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಎರಡೂ ಇರಬಹುದು. k 1 , k 2 ,..., k n ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ 
- ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು (9.7), ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
(9.9)
ಅದರ ತಾರತಮ್ಯ D = p 2 - 4q, D ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ.
1. D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, k 1 ಮತ್ತು k 2 (9.9) ಮೂಲಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಪರಿಹಾರ.ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ: k 2 + 9 = 0, ಎಲ್ಲಿಂದ k = ± 3i, a = 0, b = 3, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
ಸರಕುಗಳ ದಾಸ್ತಾನುಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಬ್-ಮಾದರಿಯ ಆರ್ಥಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ P ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ದಾಸ್ತಾನು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 10 ನೋಡಿ). ಪೂರೈಕೆ ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆ ಬೆಲೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ
a ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ದರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಬೆಲೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಸಮತೋಲನ ಬೆಲೆ. ವಿಚಲನ 
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ
(9.10)
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
ಪದವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ. ಸೂಚಿಸೋಣ 
. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು k 1,2 = ± i w, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು (9.10) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಅಲ್ಲಿ C ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು 
.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಾರದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ X, ಇದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
.
ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
y = F(x) + C,
ಎಲ್ಲಿ F(x)- ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ f(x)ಈ ಮಧ್ಯೇ, ಇದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ X, ಎ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ Xಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. X, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಯ ವೈ, ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.
ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ y(x 0) = y 0, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ y = F(x) + C, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಇನ್ನೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ C = C 0, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ C = C 0ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ F(x 0) + C = y 0, ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
y = F(x) + C 0.
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಪರಿಹಾರ:
ನಾವು ನೀಡಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಅದು., 
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ 
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವು ವಾದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ X.
ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ODE ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ:
.
.
ನಂತರ, ಬದಲಿ C = 2 ODE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ 
ಸಮೀಕರಣದ 2 ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು f(x). ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x)ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ Xಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ X.
ವಾದದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ X ∈ Xಕಾರ್ಯಗಳು f(x)ಮತ್ತು g(x)ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ Xಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ವೈ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ .
ಕೆಲವು ವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ X ∈ Xಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ODE ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಉಳಿದವರೆಲ್ಲರಿಗೂ Xಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ Xಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಉದಾಹರಣೆ 1.
ODE ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 
.
ಪರಿಹಾರ.
ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಾದದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ln(x+3)ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ X > -3 . ಇದರರ್ಥ ನೀಡಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ X > -3 . ಈ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x+3ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು 2 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ODE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು x + 3.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
.
ಮುಂದೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: 
. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದೋಣ:
.
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು , ಜೊತೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ನಾವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
,
ಎಲ್ಲಿ .
ಮುಂದೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, a ಎಂಬುದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ:
.
ಮುಂದೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸರಳವಾದ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿದ್ದರೆ:
,
ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
.
ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
;
.
ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆದಾಗ:
.
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
,
ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರ
;
.
ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
;
.
ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ:
;
.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು .
ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು .
ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.
2) ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ.
ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:
.
;
.
ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
.
3) ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ (ಲಾಗ್ರೇಂಜ್).
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
,
ಒಂದು ಸ್ಥಿರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:
.
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ:
;
.
ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
.
ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ರಿಕಾಟಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ
ರಿಕಾಟಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:
,
ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ; ; .
ಮುಂದೆ, ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ:
ಇದನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:
,
ಎಲ್ಲಿ .
ರಿಕಾಟಿ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
ರಿಕಾಟಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ >>>
ಜಾಕೋಬಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ:
.
ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
.
ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ:
.
ನಂತರ
.
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅನುಕ್ರಮ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ:
;
;
;
.
ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಅಂಶ
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಲ್ಲ.
y" ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಮೊದಲು ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು. ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.
ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬಹುದಾದರೆ:
,
ನಂತರ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
;
;
;
. ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ
ಅಥವಾ .
ಮುಂದೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:
;
.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
ಅಥವಾ
ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:
;
.
y ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಕ್ಲೈರಾಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ವಿ.ವಿ. ಸ್ಟೆಪನೋವ್, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೋರ್ಸ್, "LKI", 2015.
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಟರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಅದ್ಭುತವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನದ ಇತಿಹಾಸದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಅವರ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಅವರು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಅವರು ಸಂದೇಶವನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಇಂದು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು: "ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ." ಇದು ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷೆಯಂತೆ ತೋರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ನಿಜ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಅವರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ರಚನೆಗೆ ಭಾರಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಈಗಾಗಲೇ 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಅವರು ಈಗ ಹಿರಿಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೈಲಿಗಲ್ಲು ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಅವರು "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ - ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು?
ಅನೇಕ ಜನರು ಒಂದು ನುಡಿಗಟ್ಟುಗೆ ಹೆದರುತ್ತಾರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಸರಿನಿಂದ ತೋರುವಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮೊದಲು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು. ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ
ಶಾಲೆಯಿಂದಲೂ ಅನೇಕ ಜನರು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (x ಅಥವಾ y) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು dy (y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು dx (x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಮುಂದಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಬಹುಶಃ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ದರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಪರಸ್ಪರ ಕನಿಷ್ಠ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತವಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಆದರೆ ಈ ದೂರದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವರು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು, ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: f(x)"=df/dx.
ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಇವೆ:
- ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: (a+b)"=a"+b" ಮತ್ತು (a-b)"=a"-b".
- ಎರಡನೆಯ ಆಸ್ತಿ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: (a*b)"=a"*b+a*b".
- ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.
ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ ಇವೆ. ನಾವು x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ z ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು y ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬೇಕು.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಖರವಾದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ವಿಧದ ಸಮಗ್ರತೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾದವುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x ಮೇಲೆ ಎಫ್ ಕೆಲವು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ F(x)"=f(x) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗಗಳು
ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ಡಿಫರ್ಸ್" ಅನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ODE ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಉಪಜಾತಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ. ಮುಂದೆ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವಿರಿ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಮೊದಲ ಆದೇಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಏಕೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ? ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಸರಳವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಇವುಗಳು ಬಹುಶಃ ಸರಳವಾದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: y"=f(x)*f(y). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಮಗೆ ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: y"=dy/dx. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: dy/dx=f(x)*f(y). ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗಬಹುದು: ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ dy ಇರುವ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: dy/f(y)=f(x)dx, ಇದನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ.
ಯಾವುದೇ "ಡಿಫ್ಯೂರ್" ಗೆ ಪರಿಹಾರವು y ಮೇಲೆ x ಅವಲಂಬನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಸೋಣ:
ಈಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ln(y) = -2*cos(x) + C
ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು "y" ಅನ್ನು "x" ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ನಮ್ಮ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y(n/2)=e. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು 1.
ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: y"=z(x,y) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಲಗೈ ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಅವಲಂಬನೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. : x ನಲ್ಲಿ z ಮತ್ತು y ನಲ್ಲಿ z. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ , ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು x=k*x ಮತ್ತು y=k*y ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ k ಅನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿದರೆ , ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು ಮುಂದೆ ನೋಡುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಾವು ಹೇಳೋಣ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ: y=t(x)*x, ಇಲ್ಲಿ t ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: y"=t"(x)*x+t. ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ t ಮತ್ತು x ನೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ t (x). ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಬದಲಿಯಾಗಿ y=t(x)*x ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು x ಮೇಲೆ y ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: x*y"=y-x*e y/x .
ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: y=t(x)*x ಮತ್ತು y"=t"(x)*x+t(x). ಸರಳೀಕರಣದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t"(x)*x=-e t. ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: e -t =ln(C*x). ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಬದಲಿಸುವುದು t y/x ನೊಂದಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, y =t*x, ನಂತರ t=y/x), ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: e -y/x =ln(x*C).
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶಾಲವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಅವು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: y" + g(x)*y=z(x) z(x) ಮತ್ತು g(x) ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಮತ್ತು ಈಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: y" - y*x=x 2 .
ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎರಡನ್ನೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.
ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಅದು ಭಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿದ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ln|y|=x 2/2 + C;
y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.
ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ C 1 ಅನ್ನು v(x) ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .
ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಮುಂದುವರೆಸೋಣ:
v"*e x2/2 = x 2 .
ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:
dv/dx=x 2 /e x2/2 ;
dv = x 2 *e - x2/2 dx.
ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಮ್ಮ ಲೇಖನದ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯಬಹುದು. ಇದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಳಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ: ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ. ಯಾವ ವಿಧಾನವು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ: y=k*n. ಇಲ್ಲಿ k ಮತ್ತು n ಕೆಲವು x-ಅವಲಂಬಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: y"=k"*n+k*n". ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
ಗುಂಪುಗಾರಿಕೆ:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
ಈಗ ನಾವು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈಗ, ನಾವು ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:
ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:
ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ln(n)=x 2/2. ನಂತರ, ನಾವು n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ:
ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
k"*e x2/2 =x 2 .
ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
dk=x 2 /e x2/2.
ನಾವು ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ನೋಡುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಭಕ್ಷಕ ಮತ್ತು ಬೇಟೆಯಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ವಸಾಹತುಗಳ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು?
ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ. ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಥವಾ ಇಂಜಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಏನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ತದನಂತರ ಮಗ ಅಥವಾ ಮಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?" ನಿಮ್ಮನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಥವಾ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈಗ "ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?" ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಜನರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಭಯಪಡುವ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂತೋಷವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಳಪೆ ಕೌಶಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.
dx ಅನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದೆಂದು ತಿಳಿದಾಗ ಕೆಲವರು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದೆ (ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ) dy/dx ಭಾಗವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಓದಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯು ಅವರಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ ನೀವು ಇನ್ನೇನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು?
ವಿಶೇಷ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುಳುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವಲ್ಲದ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ. ನಂತರ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು.
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶ್ರಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತವು ನಮಗೆ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಮನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕೈಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಇರುತ್ತಾನೆ.