ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ನ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್)

ಉಳಿದ ಓದುಗರಿಗೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಶಾಲಾ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಪುನಃ ತುಂಬಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ - ಇದು ಸರಳವೇ? … ಕಾಯಬೇಡ =)

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಷರತ್ತನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, "a" ನ ಮೌಲ್ಯವು "be" ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬಹುದು.

ನಾನು ಹೇಳಲೇಬೇಕು, ಸಾಕಷ್ಟು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿ ... "ಶಾಲೆ" ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂಗೀಕೃತ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೋಲುವಂತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಒಗಟು ಇನ್ನೂ ನಮಗಾಗಿ ಕಾಯಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ತಲೆಯ ಹಿಂಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಕ್ರಾಚ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯಾವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ? ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಹರಡೋಣ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ….

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತಮ ಪ್ರಗತಿ! ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಈ ಸಾಲಿನ ಕಂಠರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಜವಾದ ಮೆಚ್ಚುಗೆಯೊಂದಿಗೆ ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನೀವು "ಒಂದು" ಪಡೆಯಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು 20 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ:

ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕಡಿತವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು:

ನಾವು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಏಕೆ ಉತ್ತಮ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಎಡಭಾಗದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ: ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಅನ್ನು 4 ಮತ್ತು 5 ಎರಡರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ದುಃಖ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳುಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಶ್ರಮದ ಫಲವನ್ನು ಬಳಸೋಣ - ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ... ನಾನು ಯುಟೋಪಿಯನ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ತರಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲು ಮುಗಿದ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳು:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೋನದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವುದು.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ಇದು ಮುಗಿದಿದೆ! ಅವಳು ಅತ್ಯಂತ. ಅನೇಕ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ "ಅದರ ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ" ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಈ ಸಾಲಿನ ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಕೆಳಗಿನ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಏನು ಸ್ನಾನ ಮಾಡಬೇಕು:

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಶೃಂಗವು ತಿಳಿದಿದೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಸಮೀಕರಣ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಮೇಲಿನ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಳಗಿನ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾವು "ಅದೇ ಬ್ರಷ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೇತಕ್ಕಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎನ್ನುವುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಮನಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್, ನೇರ ರೇಖೆ ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯಿನಿ (ಒಂದು "es" ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ)ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು. ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ "pe" ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ಇದು ಫೋಕಸ್‌ನಿಂದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಮನವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗಿಂತ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು (ಫೋಕಸ್‌ನಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ) ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಿಂದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ):

ಅಭಿನಂದನೆಗಳು! ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹಲವರು ಇಂದು ನಿಜವಾದ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉಚ್ಚಾರಣೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಶಾಖೆಗಳು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ "ಹರಡುತ್ತವೆ", ಅಕ್ಷವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. "ಪಿಇ" ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅವು ಕುಗ್ಗಲು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ

ಯಾವುದೇ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಅದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಾಠದ ಅಂತಿಮ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ಗೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಕೊಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ನಾನು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇನೆ.

! ಸೂಚನೆ : ಹಿಂದಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಂತೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲೇಖಕನು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಓದುಗರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಮತ್ತು ಪಾಠ:
"ಹೈಪರ್ಬೋಲ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಕಾರ್ಯ ಆಸ್ತಿ"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ, ಸಲಹೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ. ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 8 ಗಾಗಿ ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಸ್ಟೋರ್ "ಇಂಟೆಗ್ರಲ್" ನಲ್ಲಿ ಬೋಧನಾ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್ಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. 7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳು
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. 7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳು"

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ $y=\frac(1)(x)$.
ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಹೈಪರ್ಬೋಲ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವನ್ನೂ ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಗೆಳೆಯರೇ, $y=x$ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್ ಹೇಗೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ. $y=x$ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅತಿಕ್ರಮಿಸಿದರೆ, ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇದರರ್ಥ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತಿ.

ನಾವು $y=\frac(1)(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಹೆಚ್ಚು $k$, ಮತ್ತಷ್ಟು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ $k$, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $y=\frac(10)(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ "ವಿಶಾಲ" ಆಯಿತು, ಮೂಲದಿಂದ ದೂರ ಸರಿಯಿತು.
ಆದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ $k$ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏನು? $y=-f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ x-ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ $y=f(x)$ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು "ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿ" ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು $y=-\frac(1)(x)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳೋಣ.
$y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದ್ದು, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ (ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ವಾರ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ $k>0$ ($k

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು $y=\frac(k)(x)$, $k
1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್: $х=0$ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
2. $x 0$ ಗೆ $y>0$.
3. $(-∞;0)$ ಮತ್ತು $(0;+∞)$ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
4. ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.
5. ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ.
6. $(-∞;0)U(0;+∞)$ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $х=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
7. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಛೇದಿಸದ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ ಆಗಿದೆ.
ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಫಾರ್ಮುಲಾ y = k/x, ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಕೆಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ 0 . ಅಂದರೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶೃಂಗಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಎಂದಿಗೂ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ- ಇದು ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಆಸ್ತಿ:ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಮೂಲದಿಂದ ಬೆಳಕು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಎರಡನೇ ಶಾಖೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಕಿರಣಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳು ಎರಡನೇ ಗಮನದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಫ್1 ಮತ್ತು ಎಫ್2 ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಫೋಸಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು X ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಕೋನ ∠F1XF2 ದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಅನುಪಾತವು ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

3. ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಹೊಂದಿದೆ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಸುತ್ತಲೂ 180 ° ಕೋನದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ.

4. ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ನೈಜ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಕ್ಷ ಓಹ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ). ಇತರ ಅಕ್ಷವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಧಿಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷ OU) ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಶಾಖೆಗಳಿವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಅದರ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ.

2) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

3) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (11.3) ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

4) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಇ> 1.

5) ದೂರ ಅನುಪಾತ ಆರ್ ಐಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಿಂದ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲು ಎಫ್ ಐದೂರಕ್ಕೆ ಡಿ ಐಈ ಹಂತದಿಂದ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

42. ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಫ್ 1 ಮತ್ತು ಎಫ್ಈ ವಿಮಾನದ 2, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಂತ್ರಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಅದೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

|ಆರ್ 1 - ಆರ್ 2 | = 2ಎ, ಎಲ್ಲಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಬಿ² = ಸಿ² - ಎ², ಇಲ್ಲಿಂದ ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು

- ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ. (11.3)

ಫೋಕಸ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ದೂರದ ಅನುಪಾತವು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 11.6.ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇ = ಸಿ / ಎ.

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 11.7.ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯಿನಿ ಡಿ ಐಗಮನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಫ್ ಐ, ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಫ್ ಐಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ OUಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಓಹ್ದೂರದಲ್ಲಿ a / eಮೂಲದಿಂದ.

43. ಸಂಯೋಜಿತ, ಕ್ಷೀಣಗೊಂಡ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಪ್ರಕರಣ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ)

ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಬದಲಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು. ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಆರಂಭಿಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ 90 ° ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲ; ಎರಡೂ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು . ಎರಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಆದರೆ ಮರುಜೋಡಿಸಲಾದ ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತ .

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ

ಲೇಖನದ ಎರಡನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಎರಡು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಮರ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ - ಅತಿಶಯೋಕ್ತಿಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ನೀವು ಸರ್ಚ್ ಇಂಜಿನ್‌ನಿಂದ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವಿಷಯವನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು ಇನ್ನೂ ಸಮಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಪಾಠದ ಮೊದಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಜೊತೆಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಉಳಿದ ಓದುಗರಿಗೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಶಾಲಾ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಪುನಃ ತುಂಬಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ - ಇದು ಸರಳವೇ? … ಕಾಯಬೇಡ =)

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಷರತ್ತನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, "a" ನ ಮೌಲ್ಯವು "be" ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬಹುದು.

ನಾನು ಹೇಳಲೇಬೇಕು, ಸಾಕಷ್ಟು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿ ... "ಶಾಲೆ" ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂಗೀಕೃತ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೋಲುವಂತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಒಗಟು ಇನ್ನೂ ನಮಗಾಗಿ ಕಾಯಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ತಲೆಯ ಹಿಂಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಕ್ರಾಚ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯಾವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ? ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಹರಡೋಣ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ….

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಎರಡು ಹೊಂದಿದೆ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಉತ್ತಮ ಪ್ರಗತಿ! ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಈ ಸಾಲಿನ ಕಂಠರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಜವಾದ ಮೆಚ್ಚುಗೆಯೊಂದಿಗೆ ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನೀವು "ಒಂದು" ಪಡೆಯಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು 20 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ:

ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕಡಿತವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು:

ನಾವು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಏಕೆ ಉತ್ತಮ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಎಡಭಾಗದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ: ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಅನ್ನು 4 ಮತ್ತು 5 ಎರಡರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ದುಃಖ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳುಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಶ್ರಮದ ಫಲವನ್ನು ಬಳಸೋಣ - ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ... ನಾನು ಯುಟೋಪಿಯನ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತೆ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ತರಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲು ಮುಗಿದ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳು:

1) ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ನೇರ . ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: . ಈ ಐಟಂ ಅಗತ್ಯವಿದೆ!ಇದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು ಅವುಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೀರಿ "ಕ್ರಾಲ್ ಔಟ್" ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ತಪ್ಪು.

2) ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು, ಇದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ . ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: ವೇಳೆ , ಆಗ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ತಿರುಗುತ್ತದೆ , ಅಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ . ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

3) ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2-3 ಸಾಕು. ಅಂಗೀಕೃತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 1 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಕು. ತಂತ್ರವು ನಿರ್ಮಾಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಕರಡು ಮೇಲಿನ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:
- ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮೇಲಿನ ಆರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು);
- ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೆಳಗಿನ ಆರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದು ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

4) ಡ್ರಾಯಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ , ಶೃಂಗಗಳು , ಇತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ವಾರ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಂಕಗಳು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧದಿಂದ ತಾಂತ್ರಿಕ ತೊಂದರೆ ಉಂಟಾಗಬಹುದು ಇಳಿಜಾರು ಅಂಶ, ಆದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಎಂದು ಕರೆದರು ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷಅತಿಶಯ,
ಅದರ ಉದ್ದ - ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ;
ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆದರು ನಿಜವಾದ ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸಿಸ್ಅತಿಶಯೋಕ್ತಿ;
ಸಂಖ್ಯೆ – ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ: , ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಚಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫೋಸಿ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ನಲ್ಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಎರಡು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಂತ್ರಗಳು. ನಾನು ಅದನ್ನು ಹೇಳಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಯಾರಾದರೂ ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ: ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಗಮನ ಬಿಂದುಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಹ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಎರಡು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, foci ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದವನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ: .

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಆಗ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ದೂರಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ: .
ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಫೋಕಸ್‌ಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ .

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಾಗಿ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲೆ ಹೋಗೋಣ. ಫೋಸಿಯಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಶಾಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನೀಲಿ ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಸರಿಸಿ - ನಾವು ಎಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಘಟಕ(ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ) ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಎಡ ಶಾಖೆಗೆ "ಎಸೆದರೆ" ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದರೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಉದ್ದದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಬಲ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ (ಏಕೆಂದರೆ ವಿಭಾಗವು ವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ). ಎಡ ಶಾಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು .

ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಯಾವುದರಿಂದ ಏನನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಶೃಂಗದ ಮೇಲೆ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಇರಿಸಿ. ನಂತರ:, ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಂಬುದು ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದು, ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸೂಚಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಫೋಸಿಯನ್ನು F 1 ಮತ್ತು F 2 ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2s ಮೂಲಕ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ 2a ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ನೀಡಲಿ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

ಅಲ್ಲಿ b \u003d √ (c 2 - a 2). ರೂಪದ (I) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ . 18). ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ದಾಟುತ್ತದೆ; ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಜೂರದ ಮೇಲೆ. 18 ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶೃಂಗಗಳು A" ಮತ್ತು A ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

2a ಮತ್ತು 2b ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಆಯತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಕ್ಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮುಖ್ಯ ಆಯತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮುಖ್ಯ ಆಯತದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಉದ್ದ 2a ಮತ್ತು 2b ನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಆಯತದ ಕರ್ಣಗಳು (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ; ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

y = b/a x, y = - b/a x

ಸಮೀಕರಣ

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ; ಸಮೀಕರಣ (1) ನಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಯವರೆಗಿನ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ನಿರಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 2b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನವಾದ ಅರ್ಧ ತೋಳುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ (a \u003d b) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಸಮಬಾಹು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ

x 2 - y 2 \u003d a 2 ಅಥವಾ - x 2 + y 2 \u003d a 2.

ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಅದರ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ε > 1. M(x; y) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F 1 M ಮತ್ತು F 2 M (ಚಿತ್ರ 18 ನೋಡಿ) ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

ಎಡ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ - ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ (1), ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಲುಗಳು

x = -a/ε, x = a/ε

ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಕರು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ (ಚಿತ್ರ 18 ನೋಡಿ). ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ಮೂಲಕ ನೀಡಿದರೆ, ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

x = -b/ε, x = b/ε

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: r ಎಂಬುದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, d ಎಂಬುದು ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಫೋಕಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ, ನಂತರ ಅನುಪಾತ r/d ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯ:

515. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ, ಅದರ ಫೋಸಿಗಳು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ, ತಿಳಿಯುವುದು:

1) ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳು 2a = 10 ಮತ್ತು 2b = 8;

2) foci 2с = 10 ಮತ್ತು ಅಕ್ಷ 2b = 8 ನಡುವಿನ ಅಂತರ;

3) foci 2с = 6 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 3/2 ನಡುವಿನ ಅಂತರ;

4) ಅಕ್ಷ 2a = 16 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 5/4;

5) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು y = ± 4/3x ಮತ್ತು foci 2c = 20 ನಡುವಿನ ಅಂತರ;

6) ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 22 2/13 ಮತ್ತು foci ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2c = 26 ಆಗಿದೆ; 39

7) ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 32/5 ಮತ್ತು ಅಕ್ಷ 2b = 6;

8) ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 8/3 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 3/2;

9) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು y = ± 3/4 x ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 12 4/5 ಆಗಿದೆ.

516. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ y-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ:

1) ಅದರ ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್‌ಗಳು a = 6, b = 18 (ಎ ಅಕ್ಷರವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ);

2) foci 2с = 10 ಮತ್ತು ಎಕ್ಸಿಟ್ರಿಟಿ ε = 5/3 ನಡುವಿನ ಅಂತರ; ಓಹ್ ನಾನು. 12

3) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು y = ± 12/5x ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 48 ಆಗಿದೆ;

4) ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 7 1/7 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 7/5;

5) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು y = ± 4/3x ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 6 2/5 ಆಗಿದೆ.

517. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1) x 2/9 - y 2/4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 \u003d 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ 16x 2 - 9y 2 = 144. ಹುಡುಕಿ: 1) ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್ a ಮತ್ತು b; 2) ತಂತ್ರಗಳು; 3) ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ; 4) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು; 5) ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

519. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ 16x 2 - 9y 2 = -144 ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ: 1) ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ; 2) ತಂತ್ರಗಳು; 3) ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ; 4) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು; 5) ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

520. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/4 - y 2/9 = 1 ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ 9x + 2y - 24 = 0 ನ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

521. ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಯಾವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1) y \u003d + 2 / 3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4 / 3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿ M 1 (l0; - √5) ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. M 1 ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಇರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

523. ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (-5; 9/4) ಗಿಲರ್‌ಬಾಲ್ x 2 /16 - y 2 /9 = 1 ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, M 1 ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

524. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ε = 2 ನ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಅದರ ಬಿಂದು M ನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ, ಕೆಲವು ಗಮನದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, 16. ಈ ಫೋಕಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಿಂದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

525. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 3, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು 4. ಈ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

526. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ε = 2 ನ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ, ಫೋಕಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು F(12; 0). ನೀಡಿರುವ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ 13 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ರಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

527. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ε = 3/2 ನ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ, ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು x = -8 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಡಿರುವ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ 10 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ರಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

528. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, ಬಲ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ದೂರವು 4.5 ಆಗಿದೆ.

529. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/9 - y 2 /16 = 1 ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಎಡ ಫೋಕಸ್ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು 7 ಆಗಿದೆ.

530. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /144 - y 2 /25 = 1 ನ ಎಡ ಫೋಕಸ್ ಮೂಲಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅದರ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಈ ಲಂಬವಾದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಫೋಸಿಯಿಂದ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

531. ಒಂದು ದಿಕ್ಸೂಚಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/16 - y 2 /25 = 1 ನ ಫೋಸಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ (ನಿರ್ದೇಶನ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲ್ ಯೂನಿಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ).

532. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರ ಫೋಸಿಯು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ, ನೀಡಿದರೆ:

1) ಅಂಕಗಳು M 1 (6; -1) ಮತ್ತು M 2 (-8; 2√2) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು;

2) ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (-5; 3) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = √2;

3) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (9/2;-l) ಮತ್ತು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳ ಸಮೀಕರಣ y = ± 2.3x;

4) ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (-3; 5.2) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x = ± 4/3;

5) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು y = ±-3/4x ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x = ± 16/5

533. ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

534. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗವು 60 ° ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಫೋಸಿಯಿಂದ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

535. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಫೋಸಿಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ x 2 /25 + y 2 /9 = 1 ನ ಫೋಸಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

536. x 2 /100 + y 2 /64 = 1 ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

537. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ನ ಫೋಕಸ್‌ನಿಂದ ಅದರ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

538. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಎರಡು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಉತ್ಪನ್ನವು 2 b 2 / (a ​​2 + b 2) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

539. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆಯುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ab/2 ಗೆ.

540. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕೇಂದ್ರ C (x 0; y 0) ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ: 1) ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ; 2) Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ.

541. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ C, ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸಿಸ್, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

1) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 54y - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಯಾವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7- 3 / 2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

543. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ:

1) ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 24 ಮತ್ತು foci F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) foci F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 3.6 ಆಗಿದೆ;

3) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° ಮತ್ತು ಫೋಸಿಗಳು F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 5/4, ಫೋಕಸ್ F (5; 0) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ 5x - 16 = 0 ನ ಸಮೀಕರಣವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

545. ಅದರ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಇ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ - ಫೋಕಸ್ F (0; 13) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ 13y - 144 = 0 ನ ಸಮೀಕರಣ.

546. ಪಾಯಿಂಟ್ A (-3; - 5) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಮನವು F (-2; -3), ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು x + 1 = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ .

547. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = √5, ಫೋಕಸ್ F(2;-3) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ Zx - y + 3 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

548. ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (1; 2) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಮನವು F(-2; 2), ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು 2x - y - 1 = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ.

549. ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 - y 2 = a 2 ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

550. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕೇಂದ್ರ, ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. 2x - y - 10 = 0 ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /20 - y 2 /5 = 1 ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

552. 4x - 3y - 16 = 0 ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /25 - y 2 /16 = 1 ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

553. 2x - y + 1 = 0 ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/9 - y 2/4 = 1 ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

554. ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೆಯು ಹೇಗೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಅದು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆಯೇ, ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಹೊರಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2 / 12 - y 2 / 3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. y = 5/2x + m ನೇರ ರೇಖೆಯ m ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

1) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/9 - y 2/36 = 1 ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; 2) ಅವಳನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ;

3) ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಹೊರಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

556. y \u003d kx + m ರೇಖೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

557. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ಅದರ ಬಿಂದು Af, (*,; #i) ಗೆ ರಚಿಸಿ.

558. ಅದೇ ವ್ಯಾಸದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

559. 4x + Zy - 7 \u003d 0 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

560. 10x - 3y + 9 = 0 ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /16 - y 2 /64 = 1 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

561. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 ಗೆ 2x + 4y - 5 = 0 ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು d ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

562. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /24- y 2 /18 = 1 ನಲ್ಲಿ, Zx + 2y + 1 = O ರೇಖೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ M 1 ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು M x ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಸಾಲಿಗೆ d ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

563. A (- 1; -7) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 - y 2 = 16 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

564. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/8 - y 2/32 = 1 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು C (1; -10) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (1; -10) ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

565. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/3 - y 2 / 5 = 1 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು P (1; -5) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು P ನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ ದೂರ d ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

566. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು A(√6; 3) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 9x + 2y - 15 == 0 ರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

567. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಬರೆಯಿರಿ: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

568. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು x 2/3 - y 2 /5 = 1 ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /12 - y 2 /3 = 1 ಆಯತದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದರ ಬದಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಿರಿ .

569. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: P - ಅಕ್ಷದ ಆಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು, Q - ಅದೇ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅಕ್ಷರೇಖೆ. OP OQ = a 2 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

570. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಫೋಸಿಯು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

571. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ಗೆ ಫೋಸಿಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು b 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

572. 2x - y - 4 == 0 ರೇಖೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳು F 1 (-3; 0) ಮತ್ತು F 2 (3; 0) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

573. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ, ಅದರ ಫೋಸಿಗಳು ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಸಮೀಕರಣವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ 15x + 16y - 36 = 0 ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2a = 8 ಆಗಿದ್ದರೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

574. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ M ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ F 1 M, F 2 M ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು F 1 MF 2 ಕೋನದೊಳಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. X^

575. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/5 - y 2/4 = 1 ಕೋನದಲ್ಲಿ α(π) ಬಲ ಫೋಕಸ್ ನಿಂದ

576. ಸಾಮಾನ್ಯ ಫೋಸಿ ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಲಂಬ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

577. ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದ ಗುಣಾಂಕವು 4/3 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೋಚನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/16 - y 2/9 = 1 ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಕಾರ್ಯ 509 ನೋಡಿ.

578. ಓಯ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದ ಗುಣಾಂಕವು 4/5 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೋಚನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/25 - y 2/9 = 1 ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

579. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2 - y 2 \u003d 9 ಸಮತಲದ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಯ್ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸತತ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಕ್ರಮವಾಗಿ 2/3 ಮತ್ತು 5/3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

580. ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದ ಗುಣಾಂಕ q ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ - x 2/25 - y 2/36 = 1 ಅನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/25 - y 2/16 = 1 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

581. Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದ ಗುಣಾಂಕ q ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/4 - y 2/9 = 1 ಅನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/16 - y 2/9 = 1 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

582. ಆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಯ್ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸತತ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು q 1 ಮತ್ತು q 2 ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/49 - y 2/16 = 1 ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x 2/25 ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - y 2/64 = 1.