ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಾಠ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ಪಾಠ "ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ

ಸವೆಲಿವಾ ಎಕಟೆರಿನಾ

ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಾಗದವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡೌನ್‌ಲೋಡ್:

ಮುನ್ನೋಟ:

ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ

ರಾಜ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ

ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ. 618

ಕೋರ್ಸ್: ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭಗಳು

ಯೋಜನೆಯ ಕೆಲಸದ ವಿಷಯ

"ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್"

ಕೆಲಸ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ: Savelyeva E, 11B ವರ್ಗ

ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕ : ಮಕರೋವಾ T.P., ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ, GOU ಸೆಕೆಂಡರಿ ಸ್ಕೂಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ 618

1. ಪರಿಚಯ.

2.ವಿಭಾಜಕತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ.

3. ಸರಣಿಯ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

4. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆಗೆ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

5. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

6. ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ.

ಪರಿಚಯ

ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರವು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅನುಗಮನದ ವಿಧಾನಗಳು. ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಕ್ಕೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ತಾರ್ಕಿಕತೆ, ಇದರ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಹಂತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಗತಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಮನುಷ್ಯನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾನೆ, ತನ್ನ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಕೃತಿಯು ಅವನನ್ನು ಅನುಗಮನದಿಂದ ಯೋಚಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಬೆಳೆದಿದ್ದರೂ, ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ.ಆದರೆ ಅನುಗಮನದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ತತ್ವದ ಅನ್ವಯವು ಇತರ ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳ ಶಾಲಾ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯಮ, ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಅಮೂರ್ತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಾಧನವೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಬಳಕೆಯ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನದ ಮಹತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಎ.ಎನ್. "ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಪ್ರಬುದ್ಧತೆಯ ಉತ್ತಮ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಅದರ ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ವಿಧಾನವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ ಅದರ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು (ತತ್ವ) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ 1. ಅವರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ "ನಾನು ಹೇಗೆ ಗಣಿತಜ್ಞನಾಗಿದ್ದೇನೆ" ಎ.ಎನ್. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: "ನಾನು ಐದು ಅಥವಾ ಆರನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ನಾನು ಗಣಿತದ "ಆವಿಷ್ಕಾರ" ದ ಸಂತೋಷವನ್ನು ಮೊದಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ.

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಶಾಲೆಯು "ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ವಾಲೋಸ್" ಪತ್ರಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು. ಅದರಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು...”

ಈ ಜರ್ನಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಖಾಸಗಿ ಅವಲೋಕನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಈ ಆಂಶಿಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ನಂತರ ಬಹುಶಃ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡ ಊಹೆಯೇ ಸೂತ್ರ

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಜ n = 1, 2, 3, ...

ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಎರಡು ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಫಾರ್ n = 1 (ಮತ್ತು n = ಗೆ ಸಹ 2, 3, 4) ಬಯಸಿದ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ p = k, ಮತ್ತು ಅದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2.

ಇದರರ್ಥ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ n: n = ಗಾಗಿ 1 ಇದು ನಿಜ (ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ - ಫಾರ್ n = 2, n ಗೆ ಎಲ್ಲಿಂದ = 3 (ಅದೇ, ಎರಡನೆಯ ಸಂಗತಿಯಿಂದಾಗಿ), ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಂಶ 1 ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ (ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ

(ನಾಮಮಾತ್ರ) ಛೇದ: ಯಾವುದಾದರೂ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ p> 3 ನಾವು ಘಟಕವನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಪ ಈ ಪ್ರಕಾರದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳು.

ಪರಿಹಾರ, ನಾವು ಮೊದಲು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ n = 3; ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣಗೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಹ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿಗೆ + 1. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಛೇದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಆಗ ನಾವು ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಕಾರದ + 1 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಛೇದಗಳು (ಮೊತ್ತದಿಂದ ಘಟಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿಗೆ ನಿಯಮಗಳು) ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿಟಿ - ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ(ಗೆ + 1) ನೇ ಭಾಗ, ನಾವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೊನೆಯದು, ಎರಡಾಗಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು

ಆದ್ದರಿಂದ

ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಉಳಿದಿವೆಟಿ ದೊಡ್ಡ ಛೇದವಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು t + 1 > t, ಮತ್ತು

t(t + 1) > t.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ:

1. n = ಜೊತೆಗೆ 3 ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ;

1. ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆಗೆ,
   ಆಗ ಅದು ಕೂಡ ನಿಜಕೆ + 1.

ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮೂರರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯು ಏಕತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಇದು ಯಾವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್? ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು 4, 5, 7 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಊಹಿಸಿ.)

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಆಧಾರದ ಇಂಡಕ್ಷನ್, ಎರಡನೇ -ಅನುಗಮನದ ಜಂಕ್ಷನ್ಅಥವಾ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಎರಡನೆಯ ಹಂತವು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಹೇಳಿಕೆಯು ಯಾವಾಗ ನಿಜವಾಗಿದೆ n = k) ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನ (ಹೇಳಿಕೆಯು ಯಾವಾಗ ನಿಜವಾಗಿದೆ n = k + 1). n ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್.ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಯೋಜನೆ (ತಂತ್ರ), ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಕೆಲವರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) ನಿಜವೆಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆ ಎರಡೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ತತ್ವ,ಯಾವುದರ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವು ಆಧರಿಸಿದೆ."ಇಂಡಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆಪ್ರವೇಶ (ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ), ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏಕ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಇದು ಅರಿವಿನ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಹಂತಗಳ ಪರಿಚಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ 1654 ರಲ್ಲಿ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಅವರ "ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ದಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ತ್ರಿಕೋನ" ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. D. Polya B. Pascal ಅನ್ನು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಚದರ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ:

“ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆಯು [ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರ] ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ನಾನು ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಲೆಮ್ಮಾಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮೊದಲ ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುತ್ತದೆ - ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. [ನಲ್ಲಿಪ = 1 ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ...]

ಎರಡನೆಯ ಲೆಮ್ಮಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ: ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ [ಅನಿಯಂತ್ರಿತ r ಗೆ], ನಂತರ ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. n + 1].

ಈ ಎರಡು ಲೆಮ್ಮಾಗಳಿಂದ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಪ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಲೆಮ್ಮಾದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆಪ = 1; ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಲೆಮ್ಮಾದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆಪ = 2; ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎರಡನೇ ಲೆಮ್ಮಾದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ n = 3 ಮತ್ತು ಆಡ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಮ್."

ಸಮಸ್ಯೆ 3. ಹನೋಯಿ ಪಝಲ್ನ ಗೋಪುರಗಳು ಮೂರು ರಾಡ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ರಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಪಿರಮಿಡ್ ಇದೆ (ಚಿತ್ರ 1), ವಿವಿಧ ವ್ಯಾಸದ ಹಲವಾರು ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 1

ಈ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಇತರ ರಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಚಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಉಂಗುರವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮೇಲೆ ಇಡಬಾರದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಪರಿಹಾರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇಪ ವಿವಿಧ ವ್ಯಾಸದ ಉಂಗುರಗಳು, ಒಂದು ರಾಡ್‌ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ, ಆಟದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ? ಈಗ ನಾವು, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆಪ), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

1. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಯಾವಾಗ n = 1 ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ರಾಡ್‌ಗೆ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸರಿಸಬಹುದು.
2. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳನ್ನು ಉಂಗುರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಪು = ಕೆ.
   ಆಗ ನಾವು ಪೈರ ಮಿಡ್ಕಾವನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ n = k + 1.

ನಿಂದ ಪಿರಮಿಡ್ ಉಂಗುರಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ(ಗೆ + 1) -ನೇ ಉಂಗುರ, ನಾವು ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ರಾಡ್‌ಗೆ ಸರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಚಲನರಹಿತ(ಗೆ + 1) ನೇ ಉಂಗುರವು ಚಲನೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ತಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಚಲಿಸಿದ ನಂತರಗೆ ಉಂಗುರಗಳು, ಈ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಸರಿಸೋಣ(ಗೆ + 1) ಉಳಿದ ರಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ ನೇ ಉಂಗುರ. ತದನಂತರ ಮತ್ತೆ ನಾವು ಅನುಗಮನದ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಚಲನೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆಗೆ ಉಂಗುರಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಮಲಗಿರುವ ರಾಡ್‌ಗೆ ಸರಿಸಿ(ಗೆ + 1) ನೇ ಉಂಗುರ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಚಲಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆಗೆ ಉಂಗುರಗಳು, ನಂತರ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಚಲಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಗೆ + 1 ಉಂಗುರಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ n ಉಂಗುರಗಳು, ಅಲ್ಲಿ n > 1.

ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ವಿವಿಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 4 . n ಸಹಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

n=1 ನಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವಾಗ: - ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 2k ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು n=1 ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಇದು n ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಆಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3. ಸಂಖ್ಯೆ Z ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 3 + 3 - 26n - 27 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕದೊಂದಿಗೆ n ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 26 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಪರಿಹಾರ. 3 ಎಂಬ ಸಹಾಯಕ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ 3n+3 - 1 ಅನ್ನು 26 ರಿಂದ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದು n > 0.

1. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. n = 0 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 3 3 - 1 = 26-26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. 3 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 3n+3 - 1 ಅನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ n = k, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ n = k + 1. ರಿಂದ 3

ನಂತರ ಅನುಗಮನದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ 3k + 6 - 1 ಅನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ.

1. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ n = 1 ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜ: 3 ರಿಂದ 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣಪು = ಕೆ
   ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3 3k + 3 - 26k - 27 ಅನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ 2 ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ, ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ n = k + 1,
   ಅಂದರೆ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆ

26 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಸುಳಿವು ಇಲ್ಲದೆ. ಕೊನೆಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು 2 . ಮೊದಲನೆಯದು ಏಕೆಂದರೆ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ; ಎರಡನೆಯದು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದಿಂದ, ಬಯಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸರಣಿಯ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯ.

ಕಾರ್ಯ 5. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

N ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರಿಹಾರ.

n=1 ಆಗಿರುವಾಗ, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಮೊದಲ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

n=k ಗೆ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, n=k ಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಇದು n=k+1 ಗಾಗಿಯೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು k ನ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಕೂಡ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 6. ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: 1,1. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು 1, 2, 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು 1, 3, 2, 3, 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, 4, 3 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. , 5, 2, 5, 3, 4, 1. ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು 100 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು?

ಪರಿಹಾರ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ 100 ಮಾಡಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಬಹಳ ಶ್ರಮದಾಯಕ ಮತ್ತು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು S ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ n ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ. ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

ಇದರ ಮೊತ್ತವು S 4 82 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ಮೊತ್ತವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಿ. ಮೊತ್ತವು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ. ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಅದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಳೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಭಾಗಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1, 3, 2, 3, 1 ರಿಂದ ನಾವು 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಳೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಎರಡು ತೀವ್ರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಈಗ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಸ ಮೊತ್ತವು 3S - 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕಾಣೆಯಾದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು 2 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ). ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸ್ 5 = 3S 4 - 2 = 244, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರ ಯಾವುದು? ಇದು ಎರಡು ಘಟಕಗಳ ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಮೊತ್ತವು ಮೂರು (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಾವು ಈಗ ನೋಡುವಂತೆ, ಇನ್ನೂ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈಗ ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ n = 0, 1, 2, 3).

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ

ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ S k + 1 = Z k + 1 + 1.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ನೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ 100 + 1.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೊದಲು ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಕಾರ್ಯ 7. ವೇಳೆ ಸಾಬೀತು= 2, x 2 = 3 ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ p> 3 ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ

x p = 3x p - 1 - 2x p - 2,

ಅದು

2 p - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ(x ಪು) ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು, ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅನುಗಮನವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಹಿಂದಿನವುಗಳ ಮೂಲಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಮರುಕಳಿಸುವ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (ಅದರ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ) ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಇದು ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಯಾವಾಗ n = 1 ಮತ್ತು n = 2.V ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ n = k - 1 ಮತ್ತು n = k ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ

ನಂತರ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ n = k + 1. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಕಾರ್ಯ 8. ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

k > 2 ಗಾಗಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಲೆಟ್ ಎನ್ - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆಪ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಯಾವಾಗ n = ಒಂದು ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಹೇಳಿಕೆ 1 ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಪ, ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣಅಡಿ, ಉನ್ನತವಲ್ಲಪ; ಹೀಗಾಗಿ, F t p ಮತ್ತು F t +1 > p.

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಸಂಖ್ಯೆಎನ್-ಎಫ್ ಟಿ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 5 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಮೊತ್ತ 8 ರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಎಫ್ ಟಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆ n = 8 + F t ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯ 9. (ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ.)ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x > -1, x 0, ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n > ಗಾಗಿ 2 ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ

(1 + x) n > 1 + xn.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

1. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ n = 2. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣಪು = ಕೆ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜ, ಅಂದರೆ

(1 + x) k > 1 + xk,

ಎಲ್ಲಿ k > 2. ಅದನ್ನು n = k + 1 ಗಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)>(1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು n > 2.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಅವರು ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಊಹೆ) ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಹೇಳಲಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಮರೆಮಾಚಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಯಾವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನಲ್ಲಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 10. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ n > 1.

ಪರಿಹಾರ, ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು: 1+

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ನಮಗೆ ಉಳಿದಿದೆ

ನಾವು ಅನುಗಮನದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ನಮಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಹತಾಶ ವಿಷಯ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವಾಗ ಎನ್ = 1 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅನುಗಮನದ ಹಂತವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ

ತದನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಬೋಧಪ್ರದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದ್ದರೂ, ಅನುಗಮನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಲವಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ನೇರವಾದ ಅನ್ವಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಗುರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಯಿತುಆವಿಷ್ಕಾರಕರ ವಿರೋಧಾಭಾಸ.ವಿರೋಧಾಭಾಸವೇನೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಯೋಜನೆಗಳು ವಿಷಯದ ಸಾರವನ್ನು ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಶಸ್ಸಿನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 11. 2 ಮೀ + ಎನ್ - 2 ಮೀ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕಕ್ಕಾಗಿಮಾದರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದುಡಬಲ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್(ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಒಳಗೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್).

ನಾವು ಅನುಗಮನದ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆಪ.

1. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರಕಾರ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್.ಯಾವಾಗ n = 1 ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ 2 ಟಿ ~ 1 > ಟಿ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಟಿ.

ಎ) ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಕಾರ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್ಯಾವಾಗ t = 1 ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ
ಸಮಾನತೆ, ಇದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

b) ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಕಾರ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತಯಾವಾಗ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ t = ಕೆ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜ, ಅಂದರೆ 2 ಕೆ ~ 1 > ಕೆ. ನಂತರ ವರೆಗೆ
ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ t = k + 1.
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೊತೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ 2 ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಟಿ.

2. ಐಟಂ ಪ್ರಕಾರ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ.ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸೋಣಟಿ. ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ n = I ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ t), ಅಂದರೆ, 2 t +1 ~ 2 > t1, ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ n = l + 1.
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕಕ್ಕಾಗಿಮಾದರಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ (ಮೂಲಕಪ) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜವಾಗಿದೆಪ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿಟಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆಮಾದರಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 12. m, n ಮತ್ತು k ಅನ್ನು ಬಿಡಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು t > p. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು:

ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿಗೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, t ಮತ್ತು p ಪರ್ಯಾಯ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಸಹಾಯಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಲೆಮ್ಮಾ. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕಕ್ಕಾಗಿ t ಮತ್ತು p (t > p) ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) X ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ

ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಮ್ಮಾ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣಎ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಮೂಲಕಬಿ ಕೆ. ಎ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಡಿಯಲ್ಲಿಗೆ. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆಗೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಯಾವಾಗ ಕೆ = 1 ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ

y[t> y/n , ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ t > p. ಯಾವಾಗ ಕೆ = 2 ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾದ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x = 0.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಕೆಲವರಿಗೆ, ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ k ಅಸಮಾನತೆ a > b k ನ್ಯಾಯೋಚಿತ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸಾಬೀತಾದ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 13. (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ.)ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ...,ಒಂದು p ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ

ಪರಿಹಾರ. n = 2 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ (ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ) ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಕಾಶ n= 2, ಕೆ = 1, 2, 3, ... ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿಗೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಆಧಾರವು ನಡೆಯುತ್ತದೆ n = 2, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣಪ = 2. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು):

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗಮನದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ

ಹೀಗಾಗಿ, k ನಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆಪು 9 ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದು.

ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲುಪ ನಾವು "ಕೆಳಮುಖ ಇಂಡಕ್ಷನ್" ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಲ್ಲದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಪ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ(ಪ - 1 ನೇ ದಿನ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಮಾಡಲಾದ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆಪ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಅಂದರೆ, a g + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1)A. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದುಪ - 1, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆಪ, ತದನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರುಪ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ(ಪ - 1) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈಗ ಕಾಟಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆಪ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು n = 2, 3, 4, ...

ಸಮಸ್ಯೆ 14. (ಡಿ. ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿ.) ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಗಾಗಿ ಅದರ ಕೋನಗಳು = CAB, = CBA ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ

ಪರಿಹಾರ. ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು commensurable, ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ) ಈ ಕೋನಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ = p, = (p, q ಎಂಬುದು ಕಾಪ್ರಿಮ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು).

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ p = p + q ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು..

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. p + q = 2 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: p = 1 ಮತ್ತು q = 1. ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ: ಅವು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. p + q = 2, 3, ..., ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. k - 1, ಅಲ್ಲಿ k > 2. ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ p + q = k.

ಎಬಿಸಿ ಬಿಡಿ - ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ> 2. ನಂತರ AC ಮತ್ತು BC ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ: ಅವಕಾಶಎಸಿ > ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಈಗ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣಎಬಿಸಿ; ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

AC = DC ಮತ್ತು AD = AB + BD, ಆದ್ದರಿಂದ,

2AC > AB + BD (1)

ಈಗ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಬಿಡಿಸಿ, ಅವರ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

DСВ = (q - р), ВDC = ಪು.

ಅಕ್ಕಿ. 2

ಈ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗಮನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

2AC+BD>

ಆದ್ದರಿಂದ

ಅದೇ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದವಿಬಿಎಸ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ

ಹಿಂದಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಗಮನದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. a ಮತ್ತು p ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗಲೂ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ತತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ - ನಿರಂತರತೆಯ ತತ್ವ.

ಸಮಸ್ಯೆ 15. ಹಲವಾರು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ವಿಮಾನವನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ನೀವು ಈ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಿಳಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣಗಳು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಕ್ಕದ ಭಾಗಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ n = 4).

ಚಿತ್ರ 3

ಪರಿಹಾರ. ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಕಾಶಪ - ನಮ್ಮ ವಿಮಾನವನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n > 1.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್. ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆ ಇದ್ದರೆ(ಪ = 1), ನಂತರ ಅದು ಸಮತಲವನ್ನು ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ. ಅನುಗಮನದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ಹೊಸ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಎರಡನೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ(ಪ= 2), ನಂತರ ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಮೂರನೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಕೆಲವು "ಹಳೆಯ" ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗಡಿಯ ಹೊಸ ವಿಭಾಗಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 4).

ಅಕ್ಕಿ. 4

ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ:ಒಂದು ಕಡೆಹೊಸ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ನಾವು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಬಿಳಿ ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ; ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ನೇರ ರೇಖೆಯ (ಚಿತ್ರ 5) ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ಪುನಃ ಬಣ್ಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಈ ಹೊಸ ಬಣ್ಣವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಚಿತ್ರಿಸಿದ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಎಳೆದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 5

ನಾವು ಈಗ ಅನುಗಮನದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಪು = ಕೆಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಗೆನೇರವಾಗಿ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಇದರಿಂದ ಪಕ್ಕದ ಭಾಗಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಬಣ್ಣವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣಪ= ಗೆ+ 1 ನೇರ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಮೂರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣಗೆನೇರ ನಂತರ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ "ನಕ್ಷೆ" ಬಯಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು. ಈಗ ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ(ಗೆ+ 1) ನೇ ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಈಗ(ಗೆ+ 1) -ನೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಹಳೆಯ" ಭಾಗಗಳು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದಂತೆ, ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ16. ಮರುಭೂಮಿಯ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ದೊಡ್ಡ ಪೂರೈಕೆ ಇದೆ ಮತ್ತು ಕಾರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇಂಧನ ತುಂಬಿದಾಗ, 50 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದು. ಅನಿಯಮಿತ ಪ್ರಮಾಣದ ಡಬ್ಬಿಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನ ಗ್ಯಾಸ್ ಟ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಅನ್ನು ಸುರಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಮರುಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಶೇಖರಣೆಗಾಗಿ ಬಿಡಬಹುದು. ಕಾರು 50 ಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಲ್ಲದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಕ್ಯಾನ್‌ಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಕ್ಯಾನ್‌ಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದು.

ಪರಿಹಾರ.ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣಪ,ಕಾರು ಓಡಿಸಬಹುದು ಎಂದುಪಮರುಭೂಮಿಯ ಅಂಚಿನಿಂದ ಕಿಲೋಮೀಟರ್. ನಲ್ಲಿಪ= 50 ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೋಗುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆಪು = ಕೆ+ 1 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆಪು = ಕೆನೀವು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಓಡಿಸಬಹುದು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದ ನಂತರಗೆಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗಳು, ಹಿಂದಿರುಗುವ ಪ್ರಯಾಣಕ್ಕೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು (ಶೇಖರಣೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು). ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವುದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (ಸಂಶೋಧಕರ ವಿರೋಧಾಭಾಸ). ನೀವು ಓಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಪಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗಳು, ಆದರೆ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್‌ನ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಪೂರೈಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಲುಪಮರುಭೂಮಿಯ ಅಂಚಿನಿಂದ ಕಿಲೋಮೀಟರ್, ಸಾರಿಗೆಯ ಅಂತ್ಯದ ನಂತರ ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಆಗಮಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್.ಒಂದು ಯೂನಿಟ್ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ 1 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಯಾಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಯೂನಿಟ್ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂಚಿನಿಂದ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಶೇಖರಣಾ ಸೌಲಭ್ಯದಲ್ಲಿ 48 ಯೂನಿಟ್ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಹೊಸ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಶೇಖರಣಾ ಸೌಲಭ್ಯಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಪ್ರವಾಸಗಳಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರದ ಸ್ಟಾಕ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, 48 ಘಟಕಗಳ ಮೀಸಲು ರಚಿಸಲು, ನಾವು 50 ಯೂನಿಟ್ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಅನ್ನು ಸೇವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ.ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಪ= ಗೆಮರುಭೂಮಿಯ ಅಂಚಿನಿಂದ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಅನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಆಗ ದೂರದಲ್ಲಿ ಶೇಖರಣಾ ಸೌಲಭ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣಪು = ಕೆ+ 1 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೀಸಲು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾರಿಗೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಶೇಖರಣಾ ಸೌಲಭ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿಪ= ಗೆಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಅನಿಯಮಿತ ಪೂರೈಕೆ ಇದೆ, ನಂತರ (ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬೇಸ್ ಪ್ರಕಾರ) ನಾವು ಹಲವಾರು ಪ್ರವಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದುಪು = ಕೆ+ 1 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿಪ= ಗೆಅಗತ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರದ 4- 1 ಸ್ಟಾಕ್.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವು ಈಗ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾನು ಈ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದೆ ನನ್ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇವು ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಮನರಂಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವಂತಹವುಗಳು. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮನರಂಜನೆಯ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಜನರನ್ನು ಗಣಿತದ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹಕ್ಕೆ ಆಕರ್ಷಿಸಬಹುದು. ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಯಾವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ನಾನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1.ವುಲೆಂಕಿನ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್. ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ. ಎಂ., ಜ್ಞಾನೋದಯ,

1976.-48 ಪು.

2. ಗೊಲೊವಿನಾ L.I., ಯಗ್ಲೋಮ್ I.M. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್. - ಎಂ.: ರಾಜ್ಯ. ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ ಲೀಟರ್. - 1956 - S.I00. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕೈಪಿಡಿ / ಎಡ್. ಯಾಕೋವ್ಲೆವಾ ಜಿ.ಎನ್. ವಿಜ್ಞಾನ. -1981. - ಪು.47-51.

3.ಗೋಲೋವಿನಾ L.I., ಯಗ್ಲೋಮ್ I.M. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್. -
ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1961. - (ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಜನಪ್ರಿಯ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು.)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schvartsburg, O.S.Ivashev-Musatov, B.E.Weitz. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / "ಜ್ಞಾನೋದಯ" 1975.

5.ಆರ್. ಕೊರಂಟ್, ಜಿ. ರಾಬಿನ್ಸ್ "ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು?" ಅಧ್ಯಾಯ 1, § 2

6.ಪೋಪಾ ಡಿ. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತೋರಿಕೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆ. - ಎಂ,: ನೌಕಾ, 1975.

7.ಪೋಪಾ ಡಿ. ಗಣಿತದ ಅನ್ವೇಷಣೆ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1976.

8. ರುಬಾನೋವ್ I.S. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ / ಗಣಿತ ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಲಿಸುವುದು. - ಎನ್ಎಲ್. - 1996. - P.14-20.

9. ಸೋಮಿನ್ಸ್ಕಿ I.S., ಗೊಲೊವಿನಾ L.I., ಯಗ್ಲೋಮ್ IM. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೇಲೆ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1977. - (ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಜನಪ್ರಿಯ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು.)

10.ಸೊಲೊಮಿನ್ಸ್ಕಿ I.S. ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ. - ಎಂ.: ವಿಜ್ಞಾನ.

63 ಸೆ.

11.ಸೊಲೊಮಿನ್ಸ್ಕಿ I.S., ಗೊಲೊವಿನಾ L.I., ಯಗ್ಲೋಮ್ I.M. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬಗ್ಗೆ. - ಎಂ.: ವಿಜ್ಞಾನ. - 1967. - ಪಿ.7-59.

12.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ

ಪರಿಚಯ

ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ

1. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್
2. ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ತತ್ವ
3. ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ
4. ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
5. ಸಮಾನತೆಗಳು
6. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು
7. ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ತೀರ್ಮಾನ

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ

ಪರಿಚಯ

ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರವು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅನುಗಮನದ ವಿಧಾನಗಳು. ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಕ್ಕೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ತಾರ್ಕಿಕತೆ, ಇದರ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಹಂತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಗತಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಮನುಷ್ಯನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾನೆ, ತನ್ನ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಕೃತಿಯು ಅವನನ್ನು ಅನುಗಮನದಿಂದ ಯೋಚಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಬೆಳೆದಿದ್ದರೂ, ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಸರಿ, ಆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಪಾಠಗಳು ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವನು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಐದು ಪದಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ, ಐದು ಪ್ರಾಚೀನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವನಿಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ A ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಆದರೆ ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ

ಅದರ ಮೂಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, "ಇಂಡಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕತೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಲವಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಳ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್. ಅಂತಹ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

4 ರೊಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಸಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ಈ ಒಂಬತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸರಳ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಂತರ ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳು (ಅಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ).

ಅಪೂರ್ಣ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗುವವರೆಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಊಹೆಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಯ ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೊಸ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಬಲ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಮೊದಲ n ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1+3+5+7+9=25=5 2

ಈ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನವು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ಆ. ಮೊದಲ n ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು n 2 ಆಗಿದೆ

ಸಹಜವಾಗಿ, ಮಾಡಿದ ಅವಲೋಕನವು ನೀಡಿದ ಸೂತ್ರದ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ. ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ರೀತಿಯ ತೊಂದರೆಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವಿಶೇಷ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ.

ನೀವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು n 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು). n ನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ನೇರ ಪರಿಶೀಲನೆ ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಮೊದಲು n=1 ಗಾಗಿ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ನಂತರ ಅವರು k ನ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, n=k ಗಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವು n=k+1 ಗಾಗಿ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು n=1 ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ n=1+1=2 ಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. n=2 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವು n=2+ ಗಾಗಿ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ

1=3. ಇದು n=4, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ n ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಏನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ತತ್ವ.

ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ ಇದ್ದರೆ A(ಎನ್), ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಎನ್, ನಿಜಎನ್=1 ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಎನ್= ಕೆ (ಎಲ್ಲಿಕೆ-ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ), ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಇದು ನಿಜ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಎನ್= ಕೆ+1, ನಂತರ ಊಹೆ A(ಎನ್) ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸರಿಎನ್.

ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ n>p ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ p ಸ್ಥಿರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ ಇದ್ದರೆ A(ಎನ್) ನಿಜಎನ್= ಪ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ (ಕೆ) Þ A(ಕೆ+1) ಯಾರಿಗಾದರೂಕೆ> ಪ, ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ A(ಎನ್) ಯಾರಿಗಾದರೂ ನಿಜಎನ್> ಪ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು n=1 ಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎ (1) ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಆಧಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಸ್ಟೆಪ್ ಎಂಬ ಪುರಾವೆಯ ಭಾಗ ಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅವರು n=k (ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆ) ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ n=k+1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ. A(k)ÞA(k+1) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1) ನಾವು n=1=1 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಹೇಳಿಕೆಯು n=1 ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎ (1) ನಿಜ.

2) A(k)ÞA(k+1) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

k ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯು n=k ಗಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

ನಂತರ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮುಂದಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n=k+1 ಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಏನು

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

ಆದ್ದರಿಂದ, A(k)ÞA(k+1). ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಯಾವುದೇ nÎN ಗೆ ಊಹೆ A(n) ನಿಜ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n +1 -1)/(x-1), ಇಲ್ಲಿ x¹1

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ಆದ್ದರಿಂದ, n=1 ಗೆ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ; ಎ (1) ನಿಜ.

2) k ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು n=k ಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k +1 -1)/(x-1).

ಆಗ ಸಮಾನತೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k +1 =(x k +2 -1)/(x-1).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k +1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k +1 =

=(x k +1 -1)/(x-1)+x k +1 =(x k +2 -1)/(x-1).

ಆದ್ದರಿಂದ, A(k)ÞA(k+1). ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಪೀನ n-gon ನ ಕರ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n(n-3)/2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=3 ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಮತ್ತು 3 ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ

 A 3 =3(3-3)/2=0 ಕರ್ಣಗಳು;

ಎ 2 ಎ(3) ನಿಜ.

2) ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ

ಒಂದು ಪೀನ ಕೆ-ಗಾನ್ ಹೊಂದಿದೆ-

A 1 x A k =k(k-3)/2 ಕರ್ಣಗಳು.

ಮತ್ತು k ನಾವು ಅದನ್ನು ಪೀನದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

(k+1)-gon ಸಂಖ್ಯೆ

ಕರ್ಣಗಳು A k +1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k +1 ಒಂದು ಪೀನ (k+1)-gon ಆಗಿರಲಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಕರ್ಣ A 1 A k ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಈ (k+1)-gon ನ ಒಟ್ಟು ಕರ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು k-gon A 1 A 2 ...A k ನಲ್ಲಿರುವ ಕರ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ k-2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅಂದರೆ. A k +1 ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ (k+1)-gon ನ ಕರ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕರ್ಣ A 1 A k ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಹೀಗಾಗಿ,

 k +1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

ಆದ್ದರಿಂದ, A(k)ÞA(k+1). ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದಿಂದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪೀನ n-gon ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಆಗಿರಲಿ

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

ಇದರರ್ಥ n=1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

2) n=k ಎಂದು ಊಹಿಸಿ

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

X k +1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k +1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

ನಾವು n=k+1 ಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಅನ್ನು ಬಿಡಿ.

ನಂತರ X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

2) n=k ಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

X k =k 2 (k+1) 2/4.

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಹೇಳಿಕೆಯು n=k+1 ಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ಅಲ್ಲಿ n>2.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=2 ಗಾಗಿ ಗುರುತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

ಆ. ಇದು ನಿಜ.

2) n=k ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´...´((k 3 +1)/(k 3 -1)))'(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

ನಾವು n=k+1 ಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ n>2 ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಆಗಿರಲಿ

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) ನಂತರ n=k ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1 ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಗುರುತು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್.

1) n=1 ಗಾಗಿ ಗುರುತು ನಿಜ 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಗುರುತು ಸರಿ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

(11 n+2 +12 2n+1) ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 133 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಆಗಿರಲಿ

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23´133.

ಆದರೆ (23´133) ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 133 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ n=1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ; ಎ (1) ನಿಜ.

2) (11 k+2 +12 2k+1) ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 133 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

(11 k+3 +12 2k+3) ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 133 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 11 k +3 +12 2l+3 =11´11 k+2 +12 2 ´12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 133 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 133 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವು 133 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, A(k)ÞA(k+1). ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಯಾವುದೇ n 7 n -1 ಕ್ಕೆ ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ X 1 =7 1 -1=6 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ n=1 ಆಗಿರುವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

2) n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

7 k -1 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ 7 k -1 ಅನ್ನು ಊಹೆಯಿಂದ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪದವು 6 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ 7 n -1 ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗೆ 6 ರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗೆ 3 3n-1 +2 4n-3 ಅನ್ನು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಆಗಿರಲಿ

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ n=1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

2) n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

X k =3 3k-1 +2 4k-3 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ´3 3k-1 +2 4 ´2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3 k -1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ 3 3 k-1 +2 4k-3 ಅನ್ನು ಊಹೆಯಿಂದ 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಎರಡನೆಯದು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ 11. ಇದರರ್ಥ ಮೊತ್ತ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗೆ 11 2n -1 ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=1 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ 11 2 -1=120 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ n=1 ಆಗಿರುವಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

2) n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

11 2 k -1 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು: ಮೊದಲನೆಯದು 6 ರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 120, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗಾಗಿ 3 3 n+3 -26n-27 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 26 2 (676) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು ನಾವು 3 3 n+3 -1 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. ಯಾವಾಗ n=0

3 3 -1=26 ಅನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ

1. n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

3 3k+3 -1 ಅನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು

1. ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

n=k+1 ಗೆ ಸರಿ.

3 3 k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3l+3 +(3 3 k +3 -1) -26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ

ಈಗ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ.

1) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ n=1 ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

3 3+3 -26-27=676

2) n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3 3 k+3 -26k-27 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 26 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು 26 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು; ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು 26 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 26 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 14

n>2 ಮತ್ತು x>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

(1+x) n >1+n´x.

ಪರಿಹಾರ: 1) n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ರಿಂದ

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

ಆದ್ದರಿಂದ A(2) ನಿಜ.

2) A(k)ÞA(k+1), k> 2 ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. A(k) ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ

(1+x) k >1+k´x. (3)

ಆಗ A(k+1) ಕೂಡ ನಿಜ, ಅಂದರೆ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (3) ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1+x ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

stva; ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

ಆದ್ದರಿಂದ, A(k)ÞA(k+1). ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 15

ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 for a> 0.

ಪರಿಹಾರ: 1) ಯಾವಾಗ m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

2) m=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) m=k+1 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

ನಾವು m=k+1 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ m ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 16

n>6 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ

1. n=7 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

3 7/2 7 =2187/128>14=2´7

ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ.

1. n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

3) n=k+1 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 ರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 17

n>2 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

1+(1/2 2)+(1/3 2)+...+(1/n 2)

ಪರಿಹಾರ: 1) n=3 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180

1. n=k ಗಾಗಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) ಅಲ್ಲದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

n=k+1 ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆ

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)Ûk(k+2)

ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾನು ಈ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದೆ ನನ್ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ.

ಇವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಮನರಂಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವಂತಹವುಗಳು. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮನರಂಜನೆಯ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಜನರನ್ನು ಗಣಿತದ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹಕ್ಕೆ ಆಕರ್ಷಿಸಬಹುದು. ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಯಾವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ನಾನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಗಣಿತ:

ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ವಿಜಿ ಬೋಲ್ಟ್ಯಾನ್ಸ್ಕಿ, ಯುವಿ ಸಿಡೋರೊವ್, ಎಂಐ ಶಾಬುನಿನ್. ಪಾಟ್‌ಪುರಿ LLC 1996.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭಗಳು

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / I.T. ಡೆಮಿಡೋವ್, A.N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, S.I. ಶ್ವಾರ್ಟ್ಸ್ಬರ್ಗ್, O.S. ಇವಾಶೆವ್-ಮುಸಾಟೊವ್, B.E. ವೈಟ್ಜ್. "ಜ್ಞಾನೋದಯ" 1975.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ವಿವರಣೆ: Badanin A. S., Sizova M. Yu. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ // ಯುವ ವಿಜ್ಞಾನಿ. 2015. ಸಂ. 2. P. 84-86..04.2019).

ಗಣಿತದ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ: ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಗಮನ ನೀಡುತ್ತವೆ; ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉದಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅನೇಕ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಅನುಗಮನದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು: ಎಲ್. ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಕೆ. ಗೌಸ್ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಂಬುವ ಮೊದಲು ಸಾವಿರಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು "ಅಂತಿಮ" ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದ ಊಹೆಗಳು ಎಷ್ಟು ಮೋಸಗೊಳಿಸಬಲ್ಲವು ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರು. ಪರಿಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಅನುಗಮನವಾಗಿ ಚಲಿಸಲು, ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅವರು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಇತರ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ("ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಮೇಲೆ" ಟ್ರೀಟೈಸ್).

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ n ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1):

ಅಕ್ಕಿ. 1. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಯೋಜನೆ

1. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಆಧಾರ . ಹೇಳಿಕೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ಅವರು ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ.

2. ಅನುಗಮನದ ಕಲ್ಪನೆ . k ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

3. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪರಿವರ್ತನೆ . k+1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

4. ತೀರ್ಮಾನ . ಅಂತಹ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಂಖ್ಯೆ 5 19 ರ ಗುಣಕ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ:

1) n = 1 ಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: ಸಂಖ್ಯೆ = 19 19 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ.

2) ಈ ಸೂತ್ರವು n = k ಗಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು 19 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ.

ಇದು 19 ರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಊಹೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ 19 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು (2); ಎರಡನೆಯ ಪದವನ್ನು 19 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು 19 ರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಮೂರು ಸತತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆ:

ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: “ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 9 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ.

1) ಈ ಸೂತ್ರವು n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 9 ರ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

2) n = k ಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಲಿ, ಅಂದರೆ k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 ಎಂಬುದು 9 ರ ಗುಣಕ.

3) n = k + 1 ಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 9 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

4) ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, n ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಾಕ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 2n+1 +2 n+2 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆ:

1) ಈ ಸೂತ್ರವು n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35 ಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ, 35 7 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ.

2) n = k ಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಲಿ, ಅಂದರೆ 3 2 k +1 +2 k +2 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

3) n = k + 1 ಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2 .T. k. (3 2 k +1 +2 k +2) 9 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 7 2 k +2 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

4) ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, n ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಾಕ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಪುರಾವೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು; ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳಬಹುದು; 4 ಮೂಲಭೂತ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಕು. ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನಾನುಕೂಲಗಳೂ ಇವೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರಷ್ಯಾದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎ.ಎನ್. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದರು: “ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಬುದ್ಧತೆಯ ಉತ್ತಮ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತಜ್ಞನಿಗೆ ಅವಶ್ಯಕ."

ಸಾಹಿತ್ಯ:

1. ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಎನ್ ಯಾ ಇಂಡಕ್ಷನ್. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1976. - 48 ಪು.

2. Genkin L. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಕುರಿತು. - ಎಂ., 1962. - 36 ಪು.

3. Solominsky I. S. ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1974. - 63 ಪು.

4. Sharygin I.F. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಐಚ್ಛಿಕ ಕೋರ್ಸ್: ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ: 10 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶಾಲೆಯ ಸರಾಸರಿ - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1989. - 252 ಪು.

5. ಶೆನ್ ಎ. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್. - ಎಂ.: MTsNMO, 2007. - 32 ಪು.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನ

ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ಪದವು ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಎಂದರ್ಥ, ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನಗಳು, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳು, ಅಂದರೆ ಅನುಗಮನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ಣಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂರ್ಯ ಪೂರ್ವದಿಂದ ಉದಯಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಪ್ರತಿದಿನ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾಳೆ ಅದು ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಆಕಾಶದಾದ್ಯಂತ ಸೂರ್ಯನ ಚಲನೆಯ ಕಾರಣದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆ ನಾವು ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಚಲನೆಯು ಸ್ವತಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಭೂಗೋಳವು ನಿಜವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ). ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಈ ಅನುಗಮನದ ತೀರ್ಮಾನವು ನಾವು ನಾಳೆ ಮಾಡುವ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಗಮನದ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಪಾತ್ರ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅವರು ಆ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಇದರಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಕಡಿತದ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಚಲನೆಯ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಈ ಕಾನೂನುಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಆಳವಾದ ಚಿಂತನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕೆಪ್ಲರ್‌ನ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು, ಅವರು ಡ್ಯಾನಿಶ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಟೈಕೋ ಅವರ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಬ್ರಾಹೆ. ಅವಲೋಕನ ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮಾಡಿದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಚಲಿಸುವ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಬಗ್ಗೆ ಮೈಕೆಲ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ನಂತರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಂಡಕ್ಷನ್‌ನ ಪಾತ್ರವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಅಭ್ಯಾಸವು ಬಾಗಿದ ಅಥವಾ ಮುರಿದ ಮಾರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ಯಾವಾಗಲೂ ನೇರವಾದ ಮಾರ್ಗವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ ನಂತರ, ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ A, B ಮತ್ತು C, ಅಸಮಾನತೆ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸೈನಿಕರು, ಹಡಗುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ರಚನೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದಲೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಾರದು: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬಹಳಷ್ಟು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಆ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಅನುಪಯುಕ್ತವಾದವುಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಯಾವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ನಿಜವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಹ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ

ಅಂಕಗಣಿತ, ಬೀಜಗಣಿತ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹಲವು ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ A(n) ವಾಕ್ಯಗಳ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ A (n) ನ ಸತ್ಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ A(n) ಅನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರತಿಪಾದನೆ A(n) n=1 ಕ್ಕೆ ಸರಿ.

n=k ಗೆ A(n) ಸರಿ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ (ಇಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದು ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯ n=k+1 ಗೆ ಸರಿ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗಾಗಿ A(n) ವಾಕ್ಯದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು A(1) ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, A(k) ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಬೇಕು. A(k +1) ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು k ಯ ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, A (n) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು n ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಗುರುತುಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ

ವಿಭಜನೆ

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ವಿವಿಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. n ಸಹಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

n=1 ನಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವಾಗ: - ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ರಿಂದ, 2k ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸಹ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು n=1 ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .ಇದರರ್ಥ ಇದು n ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ವಾಕ್ಯದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

A(n)=(ಸಂಖ್ಯೆ 5 19 ರ ಗುಣಕ), n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಹೇಳಿಕೆ A(1)=(19 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ) ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ n=k ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

A(k)=(ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 19 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು) ನಿಜ. ನಂತರ, ರಿಂದ

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, A(k+1) ಕೂಡ ನಿಜ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, A(k) ನಿಜ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದಾಗಿ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು 19 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು; ಎರಡನೆಯ ಪದವನ್ನು 19 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇದು 19 ರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, n ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ A(n) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಗೆ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಸಾರಾಂಶ ಸರಣಿ

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

, n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರಿಹಾರ.

n=1 ಆಗಿರುವಾಗ, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಮೊದಲ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

n=k ಗೆ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

.

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, n=k ಗೆ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಇದು n=k+1 ಗಾಗಿಯೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು k ನ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಕೂಡ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. .

ಯಾವಾಗ n=1 ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ . ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಅವಕಾಶ .

.

ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ . ನಂತರ

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ.

ಯಾವಾಗ n=1 ಊಹೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ .

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n>1 ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೂಲಕ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, n=2 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವರಿಗೆ ಕೆ. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , .

ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು , ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , ಅಂದರೆ .

ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಗಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ . ಆದರೆ ಇದರ ಅರ್ಥವೂ ಇದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ತಾರ್ಕಿಕ ದೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹೇಳಿಕೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ.

ಪುರಾವೆ.

. (1)

ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯು n=k+1 ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕೆಗೆ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ (1) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ 2 ಸೇರಿಸೋಣ. ನಾವು ನ್ಯಾಯಯುತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ . ಹೇಳಿಕೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ , ಇಲ್ಲಿ >-1, , n ಎಂಬುದು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

n=2 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ರಿಂದ .

ಅಸಮಾನತೆಯು n=k ಗೆ ನಿಜವಾಗಲಿ, ಅಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ.

. (1)

ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯು n=k+1 ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

. (2)

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ

, (3)

ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ (1) ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (3) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: . ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ, ನಾವು ನ್ಯಾಯಯುತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2).

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

(1)

ಅಲ್ಲಿ , n ಎಂಬುದು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

n=2 ಅಸಮಾನತೆಗೆ (1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

. (2)

ಅಂದಿನಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ

. (3)

ಅಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೂ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ (3) ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (2) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು n=2 ಅಸಮಾನತೆಗೆ (1) ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆ (1) n=k ಗೆ ನಿಜವಾಗಲಿ, ಅಲ್ಲಿ k ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ.

. (4)

ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ (1) n=k+1 ಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

(5)

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (4) a+b ನಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನ್ಯಾಯಯುತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

. (6)

ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (5), ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು

, (7)

ಅಥವಾ, ಅದೇ ಏನು,

. (8)

ಅಸಮಾನತೆ (8) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

. (9)

ವೇಳೆ , ನಂತರ , ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (9) ನಾವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವೇಳೆ , ನಂತರ , ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (9) ನಾವು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆ (9) ನಿಜ.

n=k ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯ (1) ಸಿಂಧುತ್ವವು n=k+1 ಗಾಗಿ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ

ಕಾರ್ಯಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನದ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

n=2 ಸರಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ 2ಎನ್ - ಒಂದು ಚೌಕವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ; ಅವನ ಕಡೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು, ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಸಾಮಾನ್ಯ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿ , ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂವತ್ತೆರಡು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ . ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಕೆತ್ತನೆಯ ಬದಿಯು 2 ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದುಎನ್ - ಯಾವುದೇ ಸಮಾನಕ್ಕೆ ಚೌಕ

. (1)

ನಿಯಮಿತ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರ (1) ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ

,

ಎಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಸೂತ್ರ (1) ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಎಷ್ಟು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು n-gon (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೀನವಲ್ಲ) ಅದರ ವಿಭಜಿತ ಕರ್ಣಗಳಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ.

ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕರ್ಣವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ); ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಎರಡು.

ಪ್ರತಿ ಕೆ-ಗೊನ್, ಅಲ್ಲಿ ಕೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 1 ಎ 2 ...ಎ ಎನ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ.

ಎ ಎನ್

ಎ 1 ಎ 2

A 1 A k ಈ ವಿಭಜನೆಯ ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಲಿ; ಇದು n-gon A 1 A 2 ...A n ಅನ್ನು k-gon A 1 A 2 ...A k ಮತ್ತು (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. .ಎ ಎನ್ . ಮಾಡಿದ ಊಹೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಸಂಯೋಜಿತ ಕರ್ಣಗಳಿಂದ ಪೀನ n-gon ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ P(n) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: P(3)=1.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಎಲ್ಲಾ k ಗಾಗಿ P(k) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 1 ಎ 2 ...ಎ ಎನ್ . ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಬದಿ ಎ 1 ಎ 2 ವಿಭಜನಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಒಂದು ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರನೇ ಶೃಂಗವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದು. 3, ಎ 4, ..., ಎ ಎನ್ . ಈ ಶೃಂಗವು ಪಾಯಿಂಟ್ A ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ n-gon ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 3 , (n-1) -gon A ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 ಎ 3 ಎ 4 …ಎ ಎನ್ , ಅಂದರೆ P(n-1) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಶೃಂಗವು A ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4 , (n-2)-gon A ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 ಎ 4 ಎ 5 …ಎ ಎನ್ , ಅಂದರೆ ಸಮಾನ P(n-2)=P(n-2)P(3); ಎ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 5 , P(n-3)P(4) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ (n-3)-gon A ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಗಳು 1 ಎ 5 ...ಎ ಎನ್ ಚತುರ್ಭುಜ A ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು 2 ಎ 3 ಎ 4 ಎ 5 , ಇತ್ಯಾದಿ ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸತತವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

ಇತ್ಯಾದಿ

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಇರಲಿ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ಜಾಲವನ್ನು ನಾವು ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಂತೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವಿಭಾಗಗಳು - ನಕ್ಷೆಯ ಗಡಿಗಳು, ಅದನ್ನು ಗಡಿಗಳಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಸಮತಲದ ಭಾಗಗಳು - ನಕ್ಷೆಯ ದೇಶಗಳು.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ ಅದು ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ದೇಶಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ n ವಲಯಗಳಿವೆ. ಈ ವಲಯಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ, ಅವರು ರೂಪಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

n=1 ಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

n ವಲಯಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಗೆ ನಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ n+1 ವಲಯಗಳು ಇರಲಿ. ಈ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ, ಮಾಡಿದ ಊಹೆಯ ಕಾರಣದಿಂದ, ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು ಬಿಳಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ನಿಜವಾದ ಜ್ಞಾನವು ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ "ಸರಿಯಾದ ತಾರ್ಕಿಕ" ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕೂಡ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದರು. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ - ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ನಿಂದ ಬಹು (ಇಂಡಕ್ಷನ್) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ (ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಕ್ಷ್ಯದ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಸಂಯೋಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್

"ಇಂಡಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಶಃ "ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ" ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹತ್ತಿರವಾದ ಅಧ್ಯಯನದ ನಂತರ, ಪದದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ - in- (ಒಳಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಒಳಗೆ ಇರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು -ಡಕ್ಷನ್ - ಪರಿಚಯ. ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ - ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಪಡೆದ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಂದ ಪೂರ್ಣ ರೂಪವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಪೂರ್ಣ - ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ತೀರ್ಮಾನಗಳು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಘಟಕಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಪರ್ಕದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪುರಾವೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮೂರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ:

• ಮೊದಲನೆಯದು ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಸ್ಥಾನದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: f = 1, ಇಂಡಕ್ಷನ್;
• ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಾನವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, f=h ಒಂದು ಅನುಗಮನದ ಕಲ್ಪನೆ;
• ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಸರಿಯಾದತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ f=h+1 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಥಾನದ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ - ಇದು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪರಿವರ್ತನೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್‌ನ ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕಲ್ಲು ಬಿದ್ದರೆ (ಆಧಾರ), ನಂತರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಲ್ಲುಗಳು ಬೀಳುತ್ತವೆ (ಪರಿವರ್ತನೆ) ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ತಮಾಷೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಎರಡೂ

ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಜೋಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು "ಶಿಷ್ಟ ಸರತಿ" ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

• ನಡವಳಿಕೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಪುರುಷನು ಮಹಿಳೆಯ ಮುಂದೆ ತಿರುವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವಳು ಮುಂದೆ ಹೋಗಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ). ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯವನು ಒಬ್ಬ ಮನುಷ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದವರೆಲ್ಲರೂ ಮನುಷ್ಯರೇ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ "ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಹಾರಾಟ" ಸಮಸ್ಯೆ:

• ಮಿನಿಬಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ವಾಹನದೊಳಗೆ ಕಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ (ಆಧಾರ) ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದು ನಿಜ. ಆದರೆ ಮಿನಿಬಸ್ ಎಷ್ಟು ತುಂಬಿದ್ದರೂ, 1 ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ (ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತ).

ಪರಿಚಿತ ವಲಯಗಳು

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸ್ಥಿತಿ: ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ h ವಲಯಗಳಿವೆ. ಅಂಕಿಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ, ಅವರು ರೂಪಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ: h=1 ಎಂದಾಗ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ h+1 ವಲಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೇಳಿಕೆಯು ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ h+1 ವಲಯಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಟ್ಟು ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು ಬಿಳಿ) ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅಳಿಸಲಾದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶದ ಬಣ್ಣವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ). ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಬಣ್ಣಿಸಲಾದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಯಾವುದೇ h ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. h=1 ಆಗಿರಲಿ, ಇದರರ್ಥ:

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

h=1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

2. h=d ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. h=d+1 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

ಹೀಗಾಗಿ, h=d+1 ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ

ಸ್ಥಿತಿ: h ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 7 h -1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

1. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ h=1 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

R 1 =7 1 -1=6 (ಅಂದರೆ ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, h=1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ;

2. h=d ಮತ್ತು 7 d -1 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ;

3. h=d+1 ಗಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಪುರಾವೆಯು ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಬಿಂದುವಿನ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪದವು 6 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ h ಗೆ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 7 h -1 ಅನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಪಿನಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳು

ಬಳಸಿದ ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯಿಂದಾಗಿ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದಾಗ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ತಪ್ಪಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ

ಸ್ಥಿತಿ: ಯಾವುದೇ ಕಲ್ಲುಗಳ ರಾಶಿಯು ರಾಶಿಯಲ್ಲ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

1. h=1 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರಾಶಿಯಲ್ಲಿ 1 ಕಲ್ಲು ಇದೆ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಆಧಾರ);

2. ಕಲ್ಲುಗಳ ರಾಶಿಯು ರಾಶಿಯಲ್ಲ (ಊಹೆ) ಎಂಬುದು h=d ಗಾಗಿ ನಿಜವಾಗಲಿ;

3. h=d+1 ಎಂದು ಬಿಡಿ, ಇದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಸೆಟ್ ರಾಶಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ h ಗೆ ಊಹೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನವು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ತಪ್ಪು ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಕಲ್ಲುಗಳು ರಾಶಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ. ಇಂತಹ ಲೋಪವನ್ನು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅವಸರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳು

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ "ಕೈ ಕೈ ಹಿಡಿದು ನಡೆಯುತ್ತಾರೆ." ತರ್ಕ ಮತ್ತು ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಭಾಗಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ.

ತರ್ಕದ ಕಾನೂನಿನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅನುಗಮನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸತ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆವರಣದ ಸತ್ಯತೆಯು ಫಲಿತಾಂಶದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ತೋರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ದೃಢೀಕರಿಸಬೇಕು. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ:

ಎಸ್ಟೋನಿಯಾದಲ್ಲಿ ಬರ, ಲಾಟ್ವಿಯಾದಲ್ಲಿ ಬರ, ಲಿಥುವೇನಿಯಾದಲ್ಲಿ ಬರ.

ಎಸ್ಟೋನಿಯಾ, ಲಾಟ್ವಿಯಾ ಮತ್ತು ಲಿಥುವೇನಿಯಾ ಬಾಲ್ಟಿಕ್ ರಾಜ್ಯಗಳು. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಲ್ಟಿಕ್ ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬರಗಾಲವಿದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿ ಅಥವಾ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಸತ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಆವರಣದ ಸತ್ಯವು ಅದೇ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸತ್ಯವು ಕಡಿತದ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ: ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಬಂಧನೆಗಳು ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಅದೇ ಗಣಿತ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪೂಜ್ಯ ಯುಗವು ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಭೇದಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿದೆ - ಇದು ವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳು.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ನಿಷ್ಠುರ ಮನೋಭಾವದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಅಧ್ಯಯನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನಗಳು, ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳು, ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಭಾವಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಂಭವನೀಯ ಊಹೆಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಅನುಗಮನದ ತೀರ್ಮಾನವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಗಮನಾರ್ಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನದ ನಿಶ್ಚಿತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸತ್ಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳಿವೆ (ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ):

1. ಇಂಡಕ್ಷನ್-ಆಯ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಆಯ್ಕೆ);
2. ಇಂಡಕ್ಷನ್ - ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆ (ನಿರ್ಮೂಲನೆ).

ಮೊದಲ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅದರ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ವರ್ಗದ (ಉಪವರ್ಗಗಳು) ಮಾದರಿಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ (ಸೂಕ್ಷ್ಮ) ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ: ಬೆಳ್ಳಿ (ಅಥವಾ ಬೆಳ್ಳಿಯ ಲವಣಗಳು) ನೀರನ್ನು ಶುದ್ಧೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಮಾನವು ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಒಂದು ರೀತಿಯ ದೃಢೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಣೆಗಳ ಆಯ್ಕೆ - ಆಯ್ಕೆ).

ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ, ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನುಸರಣೆ, ಅವಶ್ಯಕತೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕಡಿತ

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡಿದಾಗ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲು ಸಾಕ್ರಟೀಸ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ ಹೆಚ್ಚು ಅಂದಾಜು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ನಿಘಂಟಿನಲ್ಲಿ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ, ಆದರೆ ಅಪೂರ್ಣ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಅರಿಸ್ಟಾಟಿಲಿಯನ್ ಸಿಲೋಜಿಸಂನ ಕಿರುಕುಳದ ನಂತರ, ಅನುಗಮನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಫಲಪ್ರದ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಬೇಕನ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್‌ನ ಪಿತಾಮಹ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವನ ಸಮಕಾಲೀನರು ಬೇಡಿಕೆಯಂತೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ವಿಫಲರಾದರು.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಜೆ. ಮಿಲ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ನಾಲ್ಕು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅನುಗಮನದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು: ಒಪ್ಪಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉಳಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು. ಇಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವಿಧಾನಗಳು, ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ, ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವಾಗಿರುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ.

ಬೇಕನ್ ಮತ್ತು ಮಿಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅಸಂಗತತೆಯ ಅರಿವು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಇಂಡಕ್ಷನ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕೆಲವು ವಿಪರೀತಗಳಿವೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪರಿಣಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಾಯಿತು.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಕೆಲವು ವಿಷಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ವಾಸ ಮತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗಮನದ ಆಧಾರದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಿಖರತೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕಡಿತದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಕಾನೂನಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ದಿನಾಂಕದಂದು, ನ್ಯೂಟನ್ ಅದನ್ನು 4 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಖರತೆಯನ್ನು 0.0001 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೂ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಅದೇ ಅನುಗಮನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಡೆಸಲಾಯಿತು.

ಆಧುನಿಕ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವು ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನುಭವ ಅಥವಾ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆ, ಆದರೆ "ಶುದ್ಧ" ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆ, ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಹೊಸ ಜ್ಞಾನವನ್ನು (ಅಥವಾ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು) ಪಡೆಯುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಯಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಆವರಣವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಔಟ್ಪುಟ್ ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅನುಗಮನದ ವಿಧಾನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮರೆಮಾಡಬಾರದು. ಅನುಭವದ ಸಾಧನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಸೇರಿದಂತೆ).

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕಡಿತವನ್ನು ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸಲು ವಿಧಾನಗಳಾಗಿ ದೀರ್ಘಕಾಲ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ: ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಸೂಚಕಗಳ ನೆರವೇರಿಕೆ (ಲಾಭ, ಸವಕಳಿ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಮತ್ತು ಉದ್ಯಮದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು; ಸತ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಉದ್ಯಮ ಪ್ರಚಾರ ನೀತಿಯ ರಚನೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು "ಶೆವರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಪ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಚೌಕಟ್ಟು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಅಪಾಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ.

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕಡಿತದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಆಹಾರ (ಗ್ರಾಹಕ ಬುಟ್ಟಿಯಿಂದ) ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೆಚ್ಚದ ಬಗ್ಗೆ (ಇಂಡಕ್ಷನ್) ಯೋಚಿಸಲು ಗ್ರಾಹಕರನ್ನು ತಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಲೆಗಳ ಸಂಗತಿಯಿಂದ, ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸರಕುಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಸರಕುಗಳ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ (ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ) ಬೆಲೆ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ನಿರ್ವಹಣಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿ, ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕರು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತಾರೆ. ಉದ್ಯಮದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸತ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ಮಾಹಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅನುಗಮನದ-ನಿರ್ಣಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ:

• ಕಂಪನಿಯ ಲಾಭವು 30% ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ;
  ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಕಂಪನಿಯು ತನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ;
  ಬೇರೆ ಏನೂ ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ;
• ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಕಂಪನಿಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ನೀತಿಯು ಲಾಭದಲ್ಲಿ 30% ರಷ್ಟು ಕಡಿತವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿತು;
• ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದೇ ಉತ್ಪಾದನಾ ನೀತಿಯನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಸಮರ್ಪಕ ಬಳಕೆಯು ಉದ್ಯಮದ ನಾಶಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯು ವರ್ಣರಂಜಿತ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಷನ್

ಒಂದು ವಿಧಾನ ಇರುವುದರಿಂದ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಸರಿಯಾಗಿ ಸಂಘಟಿತ ಚಿಂತನೆಯೂ ಇದೆ (ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು). ಮನೋವಿಜ್ಞಾನವು ಮಾನಸಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಅವುಗಳ ರಚನೆ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ಸಂಬಂಧಗಳು, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ, ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ "ಡಡಕ್ಟಿವ್" ಚಿಂತನೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇಂಟರ್ನೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೈಕಾಲಜಿ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ-ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ವಿಧಾನದ ಸಮಗ್ರತೆಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥನೆ ಇಲ್ಲ. ವೃತ್ತಿಪರ ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಪುಗಳ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆ: ನನ್ನ ತಾಯಿ ಮೋಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಮಹಿಳೆಯರು ಮೋಸಗಾರರು. ಜೀವನದಿಂದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಇನ್ನಷ್ಟು "ತಪ್ಪಾದ" ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

• ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಳಪೆ ದರ್ಜೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಸಮರ್ಥನಾಗುತ್ತಾನೆ;
• ಅವನು ಮೂರ್ಖ;
• ಅವನು ಬುದ್ಧಿವಂತ;
• ನಾನು ಏನು ಬೇಕಾದರು ಮಾಡಬಲ್ಲೆ;

ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಅತ್ಯಲ್ಪ ಆವರಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಇತರ ಮೌಲ್ಯದ ತೀರ್ಪುಗಳು.

ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು: ವ್ಯಕ್ತಿಯ ತೀರ್ಪಿನ ದೋಷವು ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ, ಮಾನಸಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸಕನಿಗೆ ಕೆಲಸದ ಗಡಿಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ತಜ್ಞರ ನೇಮಕಾತಿಯಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್‌ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

"ರೋಗಿಗೆ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವು ಯಾವುದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಪಾಯಕಾರಿ ಎಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಈ ಬಣ್ಣದ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತನ್ನ ಜೀವನದಿಂದ ಹೊರಗಿಟ್ಟನು - ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು. ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಆರಾಮದಾಯಕ ವಾಸ್ತವ್ಯಕ್ಕೆ ಹಲವು ಅವಕಾಶಗಳಿವೆ. ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಕೆಂಪು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬಣ್ಣದ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ - ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ. ರೋಗಿಯು ಒತ್ತಡದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ತನ್ನನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಅವನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಭಾವನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳ "ಉಬ್ಬರವಿಳಿತ" ಅನುಭವಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅದು ಇತರರಿಗೆ ಅಪಾಯವನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಜ್ಞಾಹೀನ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು "ಸ್ಥಿರ ಕಲ್ಪನೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಆರೋಗ್ಯಕರ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಮಾನಸಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಸಂಘಟನೆಯ ಕೊರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಗೀಳಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮನೋವೈದ್ಯರು ಅಂತಹ ರೋಗಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

"ಕಾನೂನಿನ ಅಜ್ಞಾನವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರಿಣಾಮಗಳಿಂದ (ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಪುಗಳ) ವಿನಾಯಿತಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಪ್ರೇರಣೆಯ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಚಿಂತನೆಯ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಜನರು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಶಿಫಾರಸುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಮೊದಲ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ರೂಪವನ್ನು "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯು ಮನಸ್ಸಿನ "ಶಿಸ್ತು" ಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಚಿಂತನೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಬ್ಬರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು (ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯೋಚಿಸುವವರು ತಮ್ಮನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ). ಈ ಶಿಫಾರಸು "ಸಂಕಟ" ವನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯ ಖಜಾನೆಗಳಿಗೆ (ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳು, ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗಳು, ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಉಪಕ್ರಮಗಳು, ಪ್ರಯಾಣ, ಇತ್ಯಾದಿ) ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ.

"ಮಾನಸಿಕ ಇಂಡಕ್ಷನ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಗ್ಗೆ ವಿಶೇಷ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಈ ಪದವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇಂಟರ್ನೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳು ಈ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಜೀವನದಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು" ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸಲಹೆ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮಾನಸಿಕ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆ ಅಥವಾ ತೀವ್ರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು. ಮಾನವ ಮನಸ್ಸು. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲದರಿಂದ, ಸುಳ್ಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸತ್ಯ) ಆವರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ "ಹೊಸ ಪದ" ವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಯತ್ನವು ತಪ್ಪಾದ (ಅಥವಾ ಆತುರದ) ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯೋಗಕಾರನನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

1960 ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಉಲ್ಲೇಖವು (ಸ್ಥಳ, ಪ್ರಯೋಗಕಾರರ ಹೆಸರುಗಳು, ವಿಷಯಗಳ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರಯೋಗದ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸದೆ) ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ, ಮನವರಿಕೆಯಾಗದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಗಗಳನ್ನು ಬೈಪಾಸ್ ಮಾಡುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮೆದುಳು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ" ಎಂಬ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಸಾವಯವವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ), ಹೇಳಿಕೆಯ ಲೇಖಕರ ಮೋಸ ಮತ್ತು ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ

ವಿಜ್ಞಾನ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರಾಣಿ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಡಿಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೀಸಲುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಏನೂ ಅಲ್ಲ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಅಸಮರ್ಥ (ಚಿಂತನೆಯಿಲ್ಲದ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ) ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸಾಮೂಹಿಕ ಪ್ರಜ್ಞೆಯಲ್ಲಿ, ಕಡಿತದ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಷರ್ಲಾಕ್ ಹೋಮ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅವರು ತಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಸರಿಯಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

ಲೇಖನವು ವಿವಿಧ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ.