ಸಾರಾಂಶ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ

ಕೊಪಿವ್ಸ್ಕಯಾ ಗ್ರಾಮೀಣ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು 10 ಮಾರ್ಗಗಳು

ಮುಖ್ಯಸ್ಥ: ಪತ್ರಿಕೀವಾ ಗಲಿನಾ ಅನಾಟೊಲಿಯೆವ್ನಾ,

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ

s.ಕೊಪಿಯೆವೊ, 2007

1. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇತಿಹಾಸ

1.1 ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.2 ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು

1.3 ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.4 ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.5 ಯುರೋಪ್ XIII - XVII ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1.6 ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ

2. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ತೀರ್ಮಾನ

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇತಿಹಾಸ

1.1 ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವರ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

1.2 ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ನ ಅಂಕಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಕೌಶಲ್ಯದಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 11."ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 20 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ 96 ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ"

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 100 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ ಅವರ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು, ಅಂದರೆ. 10+x, ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. 10 ರ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2x .

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ಇಲ್ಲಿಂದ x = 2. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ 12 , ಇತರೆ 8 . ಪರಿಹಾರ x = -2ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು.

ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಧ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ; ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅವನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ (1).

1.3 ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

499 ರಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟರಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಂ" ಎಂಬ ಖಗೋಳ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (7 ನೇ ಶತಮಾನ), ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು:

ಆಹ್ 2+ ಬಿ x = c, a > 0. (1)

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1), ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎ, ಋಣಾತ್ಮಕವೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಆಳ್ವಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ, ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದವು. ಹಳೆಯ ಭಾರತೀಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ: "ಸೂರ್ಯನು ತನ್ನ ತೇಜಸ್ಸಿನಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬ ಕಲಿತ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಭೆಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಬ್ಬರ ವೈಭವವನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾನೆ." ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾವ್ಯಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

XII ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರ.

ಕಾರ್ಯ 13.

"ಮಂಗಗಳ ಚುರುಕಾದ ಹಿಂಡು ಮತ್ತು ಬಳ್ಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಹನ್ನೆರಡು ...

ಪವರ್ ತಿಂದು, ಮಜಾ ಮಾಡಿದೆ. ಅವರು ನೆಗೆಯುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ನೇತಾಡುತ್ತಿದ್ದರು ...

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟನೆಯ ಭಾಗ ಒಂದು ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕೋತಿಗಳು ಇದ್ದವು,

ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿನಲ್ಲಿ ಆನಂದಿಸಿ. ನೀವು ಹೇಳಿ, ಈ ಹಿಂಡಿನಲ್ಲಿ?

ಭಾಸ್ಕರನ ಪರಿಹಾರವು ಅವರು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಎರಡು-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

ಸಮಸ್ಯೆ 13 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು:

( X /8) 2 + 12 = X

ಭಾಸ್ಕರರು ಇದರ ನೆಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:

x 2 - 64x = -768

ಮತ್ತು, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಅವನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತಾನೆ 32 2 , ನಂತರ ಪಡೆಯುವುದು:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರಂಥವು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು 6 ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ:

1) "ಚೌಕಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ. ಕೊಡಲಿ 2 + ಸಿ = ಬಿ X.

2) "ಚೌಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ. ಕೊಡಲಿ 2 = ಸೆ.

3) "ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ. ಆಹ್ = ರು.

4) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ. ಕೊಡಲಿ 2 + ಸಿ = ಬಿ X.

5) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ. ಆಹ್ 2+ bx = ರು.

6) "ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ. bx + ಸಿ \u003d ಕೊಡಲಿ 2.

ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿ, 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ, ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಬಹುಶಃ ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ 14."ಚದರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 21 10 ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ" (x 2 + 21 = 10x ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಊಹಿಸಿ).

ಲೇಖಕರ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ: ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ, ನೀವು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, 5 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ 21 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, 4 ಉಳಿದಿದೆ. 4 ರ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನೀವು 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. 5 ರಿಂದ 2 ಕಳೆಯಿರಿ, ನೀವು 3 ಪಡೆಯಿರಿ, ಇದು ಬಯಸಿದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ 2 ರಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅದು 7 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಅಲ್ - ಖೋರೆಜ್ಮಿ ನಮಗೆ ಬಂದ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ 1.5 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು XIII - XVII ಶತಮಾನಗಳು

ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅವರು 1202 ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ "ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಬ್ಯಾಕಸ್" ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಈ ಬೃಹತ್ ಕೃತಿ, ಇಸ್ಲಾಂ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್ ಎರಡೂ ದೇಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಅವರ ಪುಸ್ತಕವು ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಜರ್ಮನಿ, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಯುರೋಪಿಯನ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಜ್ಞಾನದ ಹರಡುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. "ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಬ್ಯಾಕಸ್" ನಿಂದ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳು 16 ನೇ - 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ XVIII.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

x 2+ bx = ಜೊತೆ,

ಗುಣಾಂಕಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಬಿ , ಜೊತೆಗೆ 1544 ರಲ್ಲಿ M. ಸ್ಟೀಫೆಲ್ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು.

ವಿಯೆಟಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟಾ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. XVII ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ನೋಟವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

1.6 ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಯೆಟಾ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವರು 1591 ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಿದರು: “ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ + ಡಿಗುಣಿಸಿದಾಗ ಎ - ಎ 2 , ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿಡಿ, ನಂತರ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ATಮತ್ತು ಸಮಾನ ಡಿ ».

ವಿಯೆಟಾವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಆದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸ್ವರದಂತೆ, ಅವನಿಗೆ ಅಪರಿಚಿತ (ನಮ್ಮ X), ಸ್ವರಗಳು AT, ಡಿ- ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಅರ್ಥ: ವೇಳೆ

(a + ಬಿ )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + ಬಿ )x + ಎ ಬಿ = 0,

x 1 = a, x 2 = ಬಿ .

ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, ವಿಯೆಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಯೆಟಾದ ಸಂಕೇತವು ಇನ್ನೂ ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಅವರು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವರು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ.

2. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭವ್ಯವಾದ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಲೆಯಿಂದ (ಗ್ರೇಡ್ 8) ಪದವಿಯವರೆಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಟಾಟರ್ಸ್ತಾನ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯ

ಪುರಸಭೆಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ

"ಉಸಾದ್ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ

ಟಾಟರ್ಸ್ತಾನ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ವೈಸೊಕೊಗೊರ್ಸ್ಕಿ ಪುರಸಭೆಯ ಜಿಲ್ಲೆ

ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯ:

"ಕಥೆ ಸಂಭವಚೌಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು»

ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದವರು: ಆಂಡ್ರೀವಾ ಎಕಟೆರಿನಾ,

8 ಬಿ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಲಹೆಗಾರ:

ಪೊಝಾರ್ಸ್ಕಯಾ ಟಟಯಾನಾ ಲಿಯೊನಿಡೋವ್ನಾ,

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ

ಪರಿಚಯ

ವರ್ತಮಾನಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಲು ಯಾರು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ

ಹಿಂದಿನ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ,

ಅವನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಜಿ.ವಿ. ಲೀಬ್ನಿಜ್

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಪದವಿ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮೀಕರಣ, ಜನರು II ಸಹಸ್ರಮಾನದ BC ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತದ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ, ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಜನರು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಗುರಿಈ ಅಧ್ಯಯನ - ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು.

ಈ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತು:ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯ:ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸ.

ವಿಷಯದ ಪ್ರಸ್ತುತತೆ :

ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಜನರು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ನಾನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ.
ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿ ಇಲ್ಲ.

ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳು:

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಸಾಹಿತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ.
ವೀಕ್ಷಣೆ, ಹೋಲಿಕೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

ಕೆಲಸದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಈ ವಸ್ತುವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಐಚ್ಛಿಕ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಮಿಲಿಟರಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಭೂಕಂಪಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಸ್ವತಃ.

x 2 - x \u003d 14.5

ಈ ಅವಧಿಯ ಮಣ್ಣಿನ ಮಾತ್ರೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಉದಾಹರಣೆ.

"ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 1000 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಚೌಕದ ಬದಿಯು ಇನ್ನೊಂದು ಚೌಕದ ಬದಿಯು ಮೈನಸ್ 10 ಆಗಿದೆ. ಚೌಕಗಳ ಬದಿಗಳು ಯಾವುವು?"

ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿನ ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ವದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಹಂತಗಳ ಸರಳವಾದ ಎಣಿಕೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ:

“ಚೌಕ 10; ಇದು 100 ನೀಡುತ್ತದೆ; 1000 ರಿಂದ 100 ಕಳೆಯಿರಿ; ಇದು 900" ನೀಡುತ್ತದೆಇತ್ಯಾದಿ

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಒಗಟುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವರು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್, ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷ ಅಥವಾ ಮರಣದ ದಿನಾಂಕವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಬದುಕಿರಬಹುದಾದ ಅವಧಿ ಅರ್ಧ ಸಹಸ್ರಮಾನ! ಈತ ಕ್ರಿ.ಶ.3ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಜೀವಿಸಿದ್ದನೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ವಾಸಿಸುವ ಸ್ಥಳವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ - ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾ, ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಪಂಚದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಚಿಂತನೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖವಾದವು ಅಂಕಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 13 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಇಂದಿಗೂ ಉಳಿದುಕೊಂಡಿವೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕೆಲಸ: "ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 20 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ 96 ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ"

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

12x2+x=1
630x2 +73x=6.

ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೂ, ಭಾರತವು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ, ವ್ಯಾಕರಣ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿತ್ತು.

ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಅವರು ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಾಪಕರು, ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಗ್ರೀಕರಿಗಿಂತ ಮುಂದೆ ಹೋದರು.

499 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಿಯಂ" ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟ. ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (7ನೇ ಶತಮಾನ), ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದರು: ax 2 +bx=c, a>0.

ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಆಳ್ವಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ, ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದವು
ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ. ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ: "ಸೂರ್ಯನು ತನ್ನ ತೇಜಸ್ಸಿನಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳನ್ನು ಮೀರಿಸುವಂತೆಯೇ, ಒಬ್ಬ ವಿದ್ವಾಂಸನು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಭೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಬ್ಬರ ವೈಭವವನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುತ್ತಾನೆ."

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾವ್ಯಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.
XII ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರ:

« ಕೋತಿಗಳ ಫ್ರಿಸ್ಕಿ ಹಿಂಡು,

ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿನ್ನುವುದು, ಆನಂದಿಸುವುದು.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟನೇ ಭಾಗವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ,

ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿನಲ್ಲಿ ಆನಂದಿಸಿ.

ಮತ್ತು ಬಳ್ಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಹನ್ನೆರಡು ...

ಅವರು ನೆಗೆಯುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ನೇತಾಡುತ್ತಿದ್ದರು ...

ಎಷ್ಟು ಮಂಗಗಳಿದ್ದವು

ನೀವು ಹೇಳಿ, ಈ ಹಿಂಡಿನಲ್ಲಿ?

ಭಾಸ್ಕರನ ಪರಿಹಾರವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಎರಡು-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವರು ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣ

ಭಾಸ್ಕರ ಅವರು x 2 - 64x \u003d -768 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, 32 2 ಅನ್ನು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ನಂತರ ಪಡೆಯುವುದು:

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 =16, x 2 =48.

ಚೈನಾದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (1ನೇ ಸಹಸ್ರಮಾನ BC).

ನಮಗೆ ಬಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಚೀನೀ ಲಿಖಿತ ಸ್ಮಾರಕಗಳು ಶಾಂಗ್ ಯುಗಕ್ಕೆ (XVIII-XII ಶತಮಾನಗಳು BC) ಹಿಂದಿನದು. ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ XIV ಶತಮಾನದ ಅದೃಷ್ಟ ಹೇಳುವ ಮೂಳೆಗಳ ಮೇಲೆ. ಕ್ರಿ.ಪೂ e., ಹೆನಾನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನದ ನಿಜವಾದ ಹೂಬಿಡುವಿಕೆಯು XII ಶತಮಾನದ ನಂತರ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಕ್ರಿ.ಪೂ ಇ. ಚೀನಾವನ್ನು ಝೌ ಅಲೆಮಾರಿಗಳು ವಶಪಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಈ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಚೀನೀ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಅದ್ಭುತ ಎತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪಿತು. ಮೊದಲ ನಿಖರವಾದ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಚಕ್ರವರ್ತಿ ಕಿನ್ ಶಿ ಹುವಾಂಗ್ (ಶಿ ಹುವಾಂಗ್ಡಿ) ಅವರ "ಪುಸ್ತಕಗಳ ನಿರ್ನಾಮ" ಆರಂಭಿಕ ಪುಸ್ತಕಗಳು ನಮ್ಮನ್ನು ತಲುಪಲು ಅನುಮತಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವು ನಂತರದ ಕೃತಿಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದವು.

"ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಇನ್ ನೈನ್ ಬುಕ್ಸ್" ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನಾದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಗಣಿತದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಹಾನ್ ರಾಜವಂಶದ (206 BC - 7 AD) ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನಾದ ಗಮನಾರ್ಹ ಸ್ಮಾರಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರೀಮಂತ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಚೀನೀ ಕಾರ್ಯ: “10 ಚಿ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಜಲಾಶಯವಿದೆ. ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ರೀಡ್ಸ್ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಇದು 1 ಚಿ ನೀರಿನ ಮೇಲೆ ಚಾಚಿಕೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ರೀಡ್ ಅನ್ನು ದಡಕ್ಕೆ ಎಳೆದರೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆ: ನೀರಿನ ಆಳ ಎಷ್ಟು ಮತ್ತು ರೀಡ್ಸ್ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

ಉತ್ತರ: 12ಚಿ; 13ಗಂ.

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

"ನಾನು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಲ್ಮುಕಾಬಲದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಜನರಿಗೆ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ." ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಮುಹಮ್ಮದ್ ಬಿನ್ ಮೂಸಾ.

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (ಉಜ್ಬೇಕಿಸ್ತಾನ್) ಅವರ “ಪುಸ್ತಕ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟೇಶನ್ ಅಂಡ್ ಕಾಂಟ್ರಾಡಿಕ್ಷನ್” (“ಅಲ್-ಕಿತಾಬ್ ಅಲ್ ಮುಖ್ತಾಸರ್ ಫಿ ಹಿಸಾಬ್ ಅಲ್-ಜಬ್ರ್ ವಾ-ಲ್-ಮುಕಾಬಲಾ”) ಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಅದರ ಹೆಸರಿನಿಂದ “ಬೀಜಗಣಿತ” ಎಂಬ ಪದವು ಬಂದಿದೆ. . ಈ ಗ್ರಂಥವು ನಮಗೆ ಬಂದ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅವರ ಗ್ರಂಥದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ 1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆರು ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾನೆ:

1) "ಚೌಕಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 = bx. (ಉದಾಹರಣೆ:)

2) “ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ”, ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 \u003d s. (ಉದಾಹರಣೆ :)

3) "ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ \u003d ಸಿ. (ಉದಾಹರಣೆ:)

4) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 + ಸಿ = ಬಿಎಕ್ಸ್. (ಉದಾಹರಣೆ:)

5) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 + bx \u003d c.

6) “ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ”, ಅಂದರೆ bx + c == ax 2. (ಉದಾಹರಣೆ:)

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಗೆ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು, ವ್ಯವಕಲನಗಳಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್-ಜಬರ್ ಮತ್ತು ಅಲ್-ಮುಕಾಬಾಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಲೇಖಕರು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ನಿರ್ಧಾರವು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ, 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಪರಿಹಾರ, ಬಹುಶಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

"ಚದರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 21 10 ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ"(x 2 + 21 = 10x ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಊಹಿಸಿ).

ಲೇಖಕರ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: “ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ, ನೀವು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, 5 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ 21 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, 4 ಉಳಿದಿದೆ. 4 ರ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನೀವು 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. 5 ರಿಂದ 2 ಕಳೆಯಿರಿ, ನೀವು 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಬಯಸಿದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ 2 ರಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅದು 7 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ: "ಒಂದು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಹತ್ತು ಬೇರುಗಳು 39ಕ್ಕೆ ಸಮ." X 2 + 10X= 39 (IX ಶತಮಾನ). ಅವರ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: “ನಿಯಮ ಇದು: ನೀವು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಐದು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅದನ್ನು ಮೂವತ್ತೊಂಬತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ, ಅದು ಅರವತ್ತನಾಲ್ಕು. ಇದರಿಂದ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಎಂಟು ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಅಂದರೆ. ಐದು, ಮೂರು ಇರುತ್ತದೆ: ಇದು ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಚೌಕದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ "

ಯುರೋಪ್ XII-XVII ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ರೂಪಗಳನ್ನು ಮೊದಲು 1202 ರಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ "ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಬ್ಯಾಕಸ್" ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಫಿಬೊನಾಚಿ. ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಜರ್ಮನಿ, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಯುರೋಪಿಯನ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಹರಡುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. ಈ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು 14-17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು x 2 + bx \u003d c ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು b, c ಅನ್ನು 1544 ರಲ್ಲಿ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ M. ಸ್ಟೀಫೆಲ್ ರೂಪಿಸಿದರು.

ವಿಯೆಟಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟಾ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. XVII ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭವ್ಯವಾದ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ದೂರದ ಪೂರ್ವಜರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ದೂರದ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯ ಬಹಳ ಇತ್ತು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಮಿಲಿಟರಿ ವ್ಯವಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳ ಅಂಗೀಕಾರವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತವೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

ಬಾಷ್ಮಾಕೋವಾ I. G. ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಮತ್ತು ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಮಾಸ್ಕೋ: ನೌಕಾ, 1972.
ಬೆರೆಜ್ಕಿನಾ ಇ.ಐ. ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನಾದ ಗಣಿತ - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1980
ಪಿಚುರಿನ್ ಎಲ್.ಎಫ್. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪುಟಗಳ ಹಿಂದೆ: ಪುಸ್ತಕ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ

7-9 ಜೀವಕೋಶಗಳು. ಮಧ್ಯಮ ಶಾಲೆ - ಎಂ.: ಜ್ಞಾನೋದಯ, 1990

ಗ್ಲೇಜರ್ G. I. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ VII - VIII ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸ. ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ. - ಎಂ.: ಜ್ಞಾನೋದಯ, 1982.

ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಮೊದಲನೆಯದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯು ಮಿಲಿಟರಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಭೂಕಂಪಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ. ನಮ್ಮ ನಂಬಿಕೆಗಿಂತ ಸುಮಾರು 2000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವರ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು: ನಿಯಮಗಳು. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳು ಪಾಕವಿಧಾನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬಂದವು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಚನೆಯಿಲ್ಲ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯಾದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿದರು “ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 20 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ” ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ: ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 100. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವರ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. 10+X, ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. 10-X. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 2X ಆದ್ದರಿಂದ X=2 ಆಗಿದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 12, ಇನ್ನೊಂದು 8. ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ಗೆ X = -2 ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಸಮೀಕರಣ: ಅಥವಾ ಬೇರೆ:

ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟರಿಂದ 499 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಂ" ಎಂಬ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದರು: ax ² +bx=c, a>0 ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟನೇ ಭಾಗವು ಒಂದು ಚೌಕದಲ್ಲಿ ನಾನು ತೆರವುಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೋಜು ಮಾಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಲಿಯಾನಾಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹನ್ನೆರಡು ... ಅವರು ನೇತಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ... ಈ ಹಿಂಡಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕೋತಿಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಿ?. ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣ: ಬಾಸ್ಕರ ನೆಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ, 0 12 ನೇ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಫ್ರಿಸ್ಕಿ ಕೋತಿಗಳ ಹಿಂಡು ತಮ್ಮ ಮನಃಪೂರ್ತಿ ತಿನ್ನುವ ನಂತರ, ಅವರು ಮೋಜು ಮಾಡಿದರು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟನೇ ಭಾಗವು ಒಂದು ಚೌಕದಲ್ಲಿ ನಾನು ತೆರವುಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೋಜು ಮಾಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಲಿಯಾನಾಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹನ್ನೆರಡು ... ಅವರು ನೇತಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ... ಈ ಹಿಂಡಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕೋತಿಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಿ?. ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣ: ಬಾಸ್ಕರ ನೆಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ, ">

ಪ್ರಾಚೀನ ಏಷ್ಯಾದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮಧ್ಯ ಏಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದರು: "ನಿಯಮ ಇದು: ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ, x = 2x 5, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಐದು ಪಡೆಯಿರಿ, ಈ ಸಮಾನದಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಅದಕ್ಕೆ, ಅದು ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ, 5 5=25 ಇದನ್ನು ಮೂವತ್ತೊಂಬತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ, ಇದು ಅರವತ್ತನಾಲ್ಕು ಆಗಿರುತ್ತದೆ, 64 ಇದರ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಎಂಟು, 8 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ , ಅಂದರೆ ಐದು, 8-5 ಉಳಿಯುತ್ತದೆ 3 ಇದು ನೀವು ಹುಡುಕಿದ ಚೌಕದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ." ಎರಡನೇ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಎರಡನೇ ಮೂಲವು ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. x x = 39

ಯುರೋಪ್ XIII-XVII ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. x2 + in + c = 0 ಎಂಬ ಏಕ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಯೂರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ 1544 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟೀಫೆಲ್ ಮಾತ್ರ ರೂಪಿಸಿದರು.ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು 1202 ರಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಹೇಳಿದರು. ವಿಯೆಟಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟಾ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಯೆಟಾವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, A, ಯಾವುದೇ ಸ್ವರದಂತೆ, ಅಜ್ಞಾತ (ನಮ್ಮ x) ಎಂದರ್ಥ, ಆದರೆ B, D ಸ್ವರಗಳು ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಅರ್ಥ: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು x 2 +px + q \u003d 0 ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು -p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು q ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಆಗಿದೆ, x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಉಚಿತ ಅವಧಿಗೆ).

ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು: A(x)·B(x)=0, ಇಲ್ಲಿ A(x) ಮತ್ತು B(x) x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಉದ್ದೇಶ: ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು; ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು; ಗುಂಪು ವಿಧಾನ. ಮಾರ್ಗಗಳು: ಉದಾಹರಣೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು: D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, D ಆಗಿದ್ದರೆ 0, D"> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, D"> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, D" ಶೀರ್ಷಿಕೆ="(!LANG: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬೇರುಗಳು: D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, D ಆಗಿದ್ದರೆ"> title="ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು: D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, D ಆಗಿದ್ದರೆ"> !}

X 1 ಮತ್ತು x 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯ X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10 ಬಳಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ X 1 + X 2 \u003d - 3, ಅಂದರೆ ಮೂಲವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ - ಋಣಾತ್ಮಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

0, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ "ಶೀರ್ಷಿಕೆ =" (!LANG: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2x 2 - 11x +15 = 0. ಗುಣಾಂಕ 2 ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದ y 2 - 11y +30 = 0. D> 0 ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ. ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ" class="link_thumb"> 14 !}ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2x x +15 \u003d 0. ಗುಣಾಂಕ 2 ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದ y y +30 \u003d 0. D> 0 ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5 ; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2, 5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. "ವರ್ಗಾವಣೆ" ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ 0, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ "\u003e 0, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5 ; 3. "ವರ್ಗಾವಣೆ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು> 0, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ "ಶೀರ್ಷಿಕೆ =" (!LANG: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2x 2 - 11x +15 = 0. ಗುಣಾಂಕ 2 ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದ y 2 - 11y +30 = 0. D> 0 ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ. ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ"> title="ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. ಗುಣಾಂಕ 2 ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ: 5; 6, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 2.5; 3. ಉತ್ತರ: 2.5; 3. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ"> !}

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a + b + c \u003d 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಬೇರುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡನೆಯದು ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a + c \u003d b, ನಂತರ ಒಂದು ಬೇರುಗಳು (-1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಉದಾಹರಣೆ: 137x x - 157 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು a = 137 , b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, ಉತ್ತರ: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, ಉತ್ತರ: 1;

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ: X Y X 01 Y012 ಉತ್ತರ: ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 1)y=x2 2)y=x+1

ನೊಮೊಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಇದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿ ಮರೆತುಹೋಗುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪುಟ 83 ರಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ "ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು" ಬ್ರಾಡಿಸ್ V.M. ಕೋಷ್ಟಕ XXII. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೊಮೊಗ್ರಾಮ್ ಈ ನೊಮೊಗ್ರಾಮ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನೊಮೊಗ್ರಾಮ್ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದಾಗ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದರು: ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಚೌಕವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ

ತೀರ್ಮಾನ ಈ ನಿರ್ಧಾರ ವಿಧಾನಗಳು ಗಮನಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ; ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ತ್ವರಿತ ಪರಿಹಾರದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ;

ಪರಿಚಯ

ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ. ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಜನರು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಿಂದ (ಸಾರಿಗೆ, ಕೃಷಿ, ಉದ್ಯಮ, ಸಂವಹನ, ಇತ್ಯಾದಿ) ವಿವಿಧ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ರಚನೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುವಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವ, ಆಳವಾಗಿಸುವ, ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಾಧನವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಆಧುನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯವು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ದೊಡ್ಡ ಆಳ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಶ್ರೀಮಂತಿಕೆ, ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಿಂಧುತ್ವದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಸಾಧಾರಣ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು "ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಅನುಭವವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಿಗೆ, ಈ ವಿಷಯದ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು, ಐತಿಹಾಸಿಕತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತತೆವಿಷಯವು "ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಐತಿಹಾಸಿಕತೆಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ವಸ್ತುಗಳ ಕೊರತೆ.

ಸಂಶೋಧನಾ ಸಮಸ್ಯೆ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಲು ಐತಿಹಾಸಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು.

ಉದ್ದೇಶ: ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಚಾರಗಳ ರಚನೆ, "ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಐತಿಹಾಸಿಕತೆಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಠಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಯ್ಕೆ.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತು: ಐತಿಹಾಸಿಕತೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರೇಡ್ 8 ರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯ: ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುವ ಪಾಠಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.

ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಸಂಶೋಧನಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕುರಿತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಹಿತ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ;

ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಕೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ;

ಐತಿಹಾಸಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪಾಠಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳು:

"ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಾಹಿತ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ;

"ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವೀಕ್ಷಣೆ;

ವಸ್ತುಗಳ ಆಯ್ಕೆ: ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ವಿಷಯದ ಪಾಠಗಳು.

§ 1. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬಯಸಿದದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ 4000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಮಿಲಿಟರಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಭೂಕಂಪಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾಯಿತು. ಗಣಿತ ಸ್ವತಃ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು 2000 BC ಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವರ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು:

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಈ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಬಂದರು ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳು ಪಾಕವಿಧಾನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬಂದವು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಚನೆಯಿಲ್ಲ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 2. "ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು 20 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ."

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 100 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ ಅವರ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು, ಅಂದರೆ.
. ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ:

ಇಲ್ಲಿಂದ
. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 12, ಇನ್ನೊಂದು 8. ಪರಿಹಾರ
ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು.

ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವೆಂದು ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು:

ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

499 ರಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟರಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ ಆರ್ಯಭಟ್ಟಂ ಎಂಬ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (7 ನೇ ಶತಮಾನ), ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು:

(1)

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1) ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಆಳ್ವಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಾರತದಲ್ಲಿ, ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದವು. ಹಳೆಯ ಭಾರತೀಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ: "ಸೂರ್ಯನು ತನ್ನ ತೇಜಸ್ಸಿನಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಲಿತ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಭೆಗಳಲ್ಲಿ ವೈಭವವನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುತ್ತಾನೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾನೆ." ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾವ್ಯಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

XII ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರ.

ಭಾಸ್ಕರ ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಎರಡು-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೇಖಕರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು:

ಭಾಸ್ಕರರು ಇದರ ನೆಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:

ಮತ್ತು, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಅವನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 322 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾನೆ, ನಂತರ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ:

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರಂಥವು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು 6 ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ:

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಗೆ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು, ವ್ಯವಕಲನಗಳಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್-ಜಬರ್ ಮತ್ತು ಅಲ್-ಮುಕಾಬಾಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಲೇಖಕರು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ನಿರ್ಧಾರವು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ, 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಪರಿಹಾರ, ಬಹುಶಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. “ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 21 10 ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ "(ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎಂದರ್ಥ
).

ಪರಿಹಾರ: ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಭಾಗಿಸಿ, ನೀವು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, 5 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ 21 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, 4 ಉಳಿದಿದೆ ಬಯಸಿದ ಮೂಲ. ಅಥವಾ 2 ರಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅದು 7 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಅವರ ಗ್ರಂಥವು ನಮಗೆ ಬಂದ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುXII- XVIIಒಳಗೆ

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಜರ್ಮನಿ, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಯುರೋಪಿಯನ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಹರಡುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. ಈ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು 14-17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ
ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ b, c, ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ 1544 ರಲ್ಲಿ M. ಸ್ಟೀಫೆಲ್ನಿಂದ ರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು.

ವಿಯೆಟಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟಾ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. XVII ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲವು ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಪಂಚದ ವಿಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ, ಸುಮೇರಿಯನ್, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಲಿಪಿಕಾರರು-ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು (XX-VI ಶತಮಾನಗಳು BC) ಪರಿಹರಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಸ್ವಭಾವದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಗಲೂ, ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ನಮ್ಮ ಆಧುನಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ನಂತರ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಆಧುನಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಪಠ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು.

ಈ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮತ್ತೊಂದು ಯುಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು, ಮೊದಲು ಅರಬ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು (VI-X ಶತಮಾನಗಳು AD), ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರು, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತ, ಪದಗಳ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪದಗಳ ವರ್ಗಾವಣೆ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣ. ತದನಂತರ ನವೋದಯದ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ, ಸುದೀರ್ಘ ಹುಡುಕಾಟದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವರು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆ, ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರಿಚಯ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. 16 ನೇ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ- 17 ನೇ ಶತಮಾನಗಳು. ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಷಯ, ವಿಧಾನ, ಅನ್ವಯದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಈಗಾಗಲೇ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ಅದರ ಮುಂದಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದವರೆಗೆ, ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು, ಅನ್ವಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಮತ್ತು ವಿಶಾಲತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ.

a) ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮೊದಲನೆಯದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಮಿಲಿಟರಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಭೂಕಂಪಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವತಃ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಮಾರು 2000 BC ಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವರ ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

"ಅಂಕಗಣಿತ" ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಇಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು 96 ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 100 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ ಮೊತ್ತ, ಅಂದರೆ .10 + x. ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ 10 - x. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 2x ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ:

(10+x)(10-x)=96,

ಅಥವಾ

100 -x 2 = 96.

ಆದ್ದರಿಂದ x = 2. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 12, ಇನ್ನೊಂದು 8. ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ಗೆ x = - 2 ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು.

499 ರಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಬಹಟ್ಟರಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಯಂ" ಎಂಬ ಖಗೋಳ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (7ನೇ ಶತಮಾನ), ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು.

ಓಹ್ 2 + ಬಿx = c, a > 0

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು , ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎ, ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಆಳ್ವಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

XII ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರ.

ಕಾರ್ಯ 3.

ಸಮಸ್ಯೆ 3 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು:

ಭಾಸ್ಕರರು ಇದರ ನೆಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:

x 2 - 64x = - 768

ಮತ್ತು, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 32 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪಡೆಯುವುದು:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

ಸಿ) ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

"ಚೌಕಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 = ಬಿಎಕ್ಸ್.
"ಚೌಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 = ಸಿ.
"ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ = ಸಿ.
"ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 + c \u003d bx.
"ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 + bx \u003d c.
“ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ”, ಅಂದರೆ bx + c == ax 2.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಗೆ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು, ವ್ಯವಕಲನಗಳಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್-ಜಬರ್ ಮತ್ತು ಅಲ್-ಮುಕಾಬಾಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೇಖಕರು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ನಿರ್ಧಾರವು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ, 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಪರಿಹಾರ, ಬಹುಶಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. “ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 21 10 ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ "(ಅಂದರೆ x 2 + 21 \u003d 10x ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ).

d) ಯುರೋಪ್ XIII-XVII ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು 1202 ರಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಬರೆದ "ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಬಾಕಸ್" ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಸ್ಲಾಂ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್ ಎರಡೂ ದೇಶಗಳ ಗಣಿತದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಈ ಬೃಹತ್ ಕೃತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಅವರ ಪುಸ್ತಕವು ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಜರ್ಮನಿ, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಯುರೋಪಿಯನ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಜ್ಞಾನದ ಹರಡುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಬ್ಯಾಕಸ್‌ನಿಂದ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳು 16-17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ XVIII.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ

x 2 + bx \u003d c,

ಗುಣಾಂಕಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಬಿ, ಜೊತೆಗೆ 1544 ರಲ್ಲಿ M. ಸ್ಟೀಫೆಲ್ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು.

ವಿಯೆಟಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಯೆಟಾ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. XVII ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲವು ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಪಂಚದ ವಿಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ, ಸುಮೇರಿಯನ್, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಲಿಪಿಕಾರರು-ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು (XX-VI ಶತಮಾನಗಳು BC) ಪರಿಹರಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಸ್ವಭಾವದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಗಲೂ ಸಹ, ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಕೆಲವು ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಪರಿಮಾಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಿದವು, ನಮ್ಮ ಆಧುನಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ನಂತರ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಆಧುನಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಪಠ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು.

ಈ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮತ್ತೊಂದು ಯುಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು, ಮೊದಲು ಅರಬ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು (VI-X ಶತಮಾನಗಳು AD), ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರು, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತ, ಪದಗಳ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪದಗಳ ವರ್ಗಾವಣೆ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣ. ತದನಂತರ ನವೋದಯದ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ, ಸುದೀರ್ಘ ಹುಡುಕಾಟದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವರು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆ, ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರಿಚಯ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. 16 ನೇ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ- 17 ನೇ ಶತಮಾನಗಳು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಷಯ, ವಿಧಾನ, ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಈಗಾಗಲೇ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ಅದರ ಮುಂದಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದವರೆಗೆ, ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು, ಅನ್ವಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಮತ್ತು ವಿಶಾಲತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಅದರ ಸಂಭವ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.