ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ (ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆ)

1. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

1.1 ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಇನ್ನು ಮುಂದೆ SLAE ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) m ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು n ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a ij ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, b i ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ijಮತ್ತು ಬಿ ಐ(i=1,..., m; b=1,..., n) ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x 1,..., x n- ಅಜ್ಞಾತ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪದನಾಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ijಮೊದಲ ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ j ಎಂಬುದು ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. x n ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: AX=B.ಇಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;

A*X ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X (n ತುಣುಕುಗಳು) ನಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳಿರುವಷ್ಟು ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿವೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಆಗಿದೆ, ಇದು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ

1.2 ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು), ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ x1=c1, x2=c2,..., xn=cn ಮೌಲ್ಯಗಳ n ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಇವುಗಳ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ (ಸಮಾನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ರೂಪಾಂತರ, ಒಂದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x1=x2=x3=…=xn=0 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ

2.1 ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ - ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ(ಇದನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ). ಇದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಯಾವಾಗ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ (ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ) ರೂಪದ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಕೊನೆಯದು (ಮೂಲಕ) ಸಂಖ್ಯೆ) ಅಸ್ಥಿರ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

1. ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್.

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನೇರ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಿಕೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಲುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ಟಿಲು ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮರುಜೋಡಣೆಯ ನಂತರ ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಮೊದಲ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ದಾಟಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ-ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಕಾಲಮ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್), ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ಟಿಲು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನ) ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಗುಣಾಂಕಗಳು aii ಅನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ (ಪ್ರಮುಖ) ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ x1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ (ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ 11 ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅಂದರೆ. 0=0 ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ

ಇಲ್ಲಿಯೇ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

2. ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್.

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಮೂಲತತ್ವವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮೂಲವಲ್ಲದ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಅಥವಾ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಇದೆ) ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು "ಹಂತಗಳು" ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಆಧಾರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊನೆಯ (ಮೇಲ್ಭಾಗ) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ, ಅದರ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕ a11 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ (ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ, ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ).

2.2 ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು SLAE ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. 3ನೇ ಕ್ರಮದ SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸೋಣ

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

• ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ;
• ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೇಖನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅವಲೋಕನ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅಗತ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಸಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳು.

n ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ p ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (p n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ):

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ), ಮತ್ತು ಅವು ಉಚಿತ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ SLAU ನ ನಿರ್ಧಾರ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ.

SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಶ್ಚಿತ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಮನ್ವಯ ರೂಪ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ
.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಾಖಲೆಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ - SLAE ಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾಲಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು (n+1) ನೇ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಳಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ,

ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿಯಾಗದ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ನೀವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ

• ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ,
• ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,
• ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,

ನಂತರ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ (ಅಥವಾ, ಮೂಲದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ:

• ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು,
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ T ಯ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು,
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಈಗ ನಾವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? .

ಕೆಲವರು ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಮೊದಲನೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x 1 =1 ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x 2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x 2 = 2 ಅನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಇತರರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಾವು x 2 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 3 =3 ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಚಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಸರಿ?

ಇಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ (ಮೊದಲ x 1, ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 2) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ನಾವು ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, SLAU ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಇಲ್ಲ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಮುಂದೆ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾವು x 1 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಮುಖ್ಯ ಮಾತೃಕೆಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು , ನಂತರ ನೀವು x 1 ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು (ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ).

ನೀವು ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಿಸೋಣ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ರೂಪದ n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ n ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. , ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು .

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು x 1 ಅನ್ನು ಇತರ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು . ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, x n ನ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n-1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ .

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಗುಣಾಂಕ a 11 ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ. ಮತ್ತು :

ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ನಾವು x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಹೋಗೋಣ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು :

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ :

ನೀವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ,
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ,
ಎರಡನೆಯದರಿಂದ,
ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅದು ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಮೂರನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು :

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ :

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು

ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ಹಿಂದೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಇದು ಹಿಂದೆ ತಿರುಗುವ ಸಮಯ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕರ್ಣವಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು

ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೊನೆಯದರಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ:

ರಿವರ್ಸ್ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ , ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸೂಚನೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪದನಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (x 1, x 2, x 3 ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ x, y, z). ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ y ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಇದು ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ).

ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ,
ಉಪಾಂತ್ಯದಿಂದ


ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಉತ್ತರ:

X = 10, y = 5, z = -20.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಚದರ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ) ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ SLAE ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಹೋಗುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ). ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು"?

ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇವುಗಳು x 1, x 4 ಮತ್ತು x 5. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಿಖಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 4 ಮತ್ತು x 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

ಇದರ ನಂತರ, ನಮ್ಮ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಎಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಗಳು, ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

ಈಗ ನಾವು y ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿಡೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ SLAE ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ , ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಸಮಾನ (ಸಮಾನ) ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು;

ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು;

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ನೇರ ಚಲನೆ), ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಂತಹಂತವಾಗಿ , ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ರೂಪ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ರಿವರ್ಸ್) ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಕೊನೆಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರ ನಿರ್ಣಯ.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ
, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಇದರಿಂದ ಗುಣಾಂಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು.

ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ನಂತರ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇಲ್ಲಿ
- ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಉಚಿತ ಪದಗಳು.

ಅಂತೆಯೇ, ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಾಲ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಹಂತ ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಎಲ್ಲಿ ,
,…,- ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು
.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಗಳು
, ಅವರು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. ನಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ
ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೂಲಕ
ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಉಚಿತ . ನಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ
. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
. ಅಸ್ಥಿರ
, ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ (ಅವಲಂಬಿತ). ಫಲಿತಾಂಶವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಹುಡುಕಲು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಉಚಿತ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡುವುದು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಚದರವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ
.

ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ .

ಉದಾಹರಣೆ 2.1ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ
.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಬಲಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಣ .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನ ನೋಟಕ್ಕೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಕೆಳಗೆ ನಾವು "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ನಾವು ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (-1) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಹೋಗುವ ಬಾಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-3) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ; ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಹೋಗುವ ಬಾಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು (-4) ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ ಅದನ್ನು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು (-1) ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು (-8) ಭಾಗಿಸಿ. ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ , ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಹಕಾರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೊನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಕೊನೆಯ (ಮೂರನೇ) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ
. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ
.

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
ಮತ್ತು
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ


.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರ ವಿಧಾನವು (ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAE) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮುಂತಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಾಂತರವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಣ್ಣ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಅನುಕ್ರಮ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಪರಿಹಾರದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಕಂಡುಬರುವ ಮೊದಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ). ಪರಿಹಾರದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ರಾವಣದ ವಿಲೋಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ವಿವರಣೆ

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು SLAE ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್‌ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆರಂಭಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ:

$\begin(ಕೇಸ್) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)$

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & ... & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $b$ ಅನ್ನು ಅದರ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಾರ್ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾದ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಈಗ ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ:

$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \ ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)$ (1)

ಸಮೀಕರಣದ (1) ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳ ನಂತರ ಬರುತ್ತವೆ
2. $k$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕೆಲವು ಸಾಲು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಹಿಂದಿನ ಸಾಲು $k$ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ಕೊನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಹಲವಾರು ಸಾಲುಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆ,
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಒಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದು,
• ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವುದು,
• ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಲನ್ನು ಅಳಿಸಬೇಕು,
• ನೀವು ಅನವಶ್ಯಕ ಅನುಪಾತದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಲ್ಲವು.

ಸರಳ ಗಾಸಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ:

1. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾದಾಗ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ
2. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದದ್ದು, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಅಸಂಗತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ

ಈ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಸಂಗತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆ:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಸಮಾನತೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಒಂದು ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

$\begin(ಕೇಸ್) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(ಕೇಸ್)$

ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಕೋಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತರಲು, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು $-2$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$\begin(ಕೇಸ್) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(ಕೇಸ್)$

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು $x$ ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, ನಾವು $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮುಖ್ಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎಡ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ "=" ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಬಿಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬೇಕು.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)$

ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end(array)$

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ಆಧಾರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು $y_1$ ಮತ್ತು $y_3$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ($y_1$ ಗೆ - ಇದು ಮೊದಲು ಬರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು $y_3$ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ಇದು ಸೊನ್ನೆಗಳ ನಂತರ ಇದೆ).

ಆಧಾರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಂತೆ, ನಾವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಾವು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಸಿಸ್ಟಂನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಿಂದ $y_3$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

ಈಗ ನಾವು $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) ಸಿಸ್ಟಂನ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ $y_3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. + y_4 = 1$

$y_2$ ಮತ್ತು $y_4$ ಉಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು $y_1$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

ಪರಿಹಾರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಧಾನಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3 ರಿಂದ 3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಿದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

$\begin(ಕೇಸ್) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \ end(ಕೇಸ್)$

ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

ಈಗ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಇದರಿಂದ $1$ ಹೊರಗಿನ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 1 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನೀವು ಮಧ್ಯದಿಂದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು, $-1$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರಂತೆಯೇ ಬರೆಯಿರಿ, ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \ end(array) $

ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು $-1$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \ end(array)$

ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು $3$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \ end(array)$

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$\begin(ಕೇಸ್) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ end(ಕೇಸ್)$

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು $x_1$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 4 ರಿಂದ 4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅರೇ)$.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ $1$ ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಮೇಲಿನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end(array)$.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು $-2$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಸೇರಿಸಿ. 4 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು 1 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, $-3$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅರೇ)$

ಈಗ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಗೆ ನಾವು $4$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಲೈನ್ 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು $-1$ ರಿಂದ ಲೈನ್ 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end(array)$

ನಾವು ಲೈನ್ 2 ಅನ್ನು $-1$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೈನ್ 4 ಅನ್ನು $3$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೈನ್ 3 ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ಮತ್ತು 10 \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅರೇ)$

ಈಗ ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, $-5$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ end(array)$

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ end(ಕೇಸ್‌ಗಳು)$

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ತಂತ್ರ ( ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ) ಇದರ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳು. ಇದರ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ತೊಡಕಾಗಿದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕ್ರೇಮರ್ ನಿಯಮವು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ (ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ Xಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ 1. ನಂತರ, 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ X 3 ರಿಂದ 2 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ x n. ಇದರ ನಂತರ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ- ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x n; ಅದರ ನಂತರ, ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ x n-1, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಕೊನೆಯದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ Xಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 1.

ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಾಸಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಎಂದು ಕರೆದರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್,ಏಕೆಂದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೊತೆಗೆ, ಇದು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು (!) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಚೌಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ರೂಪ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.1.ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ನ 2 ನೇ, 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಮಗೆ 2 ನೇ ಸಾಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –4/7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 3 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸದಿರಲು, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನ 2 ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಘಟಕವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ

ಈಗ, ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪಡೆಯಲು, ನೀವು 3 ನೇ ಕಾಲಮ್ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 8/54 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಾಲ್ಕನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸದಿರಲು, ನಾವು 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಅಂಶವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಕಾಲಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು) ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ!

ಕೊನೆಯ ಸರಳೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X 3 = –1; ಮೂರನೆಯದರಿಂದ X 4 = –2, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ X 2 = 2 ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ X 1 = 1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಇದ್ದಾಗ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.2.ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಳೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದು 0=4 ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು, ಅಂದರೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಅವಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. à

ಉದಾಹರಣೆ 5.3.ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:

ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳೀಕರಣಗಳ ನಂತರ, ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉಳಿದಿವೆ, ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಜ್ಞಾತಗಳು, ಅಂದರೆ. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತ "ಹೆಚ್ಚುವರಿ". ಅವರು "ಅತಿಯಾದ" ಆಗಿರಲಿ, ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರ, ತಿನ್ನುವೆ X 3 ಮತ್ತು X 4. ನಂತರ

ನಂಬಿಕೆ X 3 = 2ಎಮತ್ತು X 4 = ಬಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X 2 = 1–ಎಮತ್ತು X 1 = 2ಬಿ–ಎ; ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ಎಮತ್ತು ಬಿವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಎ