ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡೇಟಾ

ಹುಡುಕಿ: 1) aA - bB,

ಪರಿಹಾರ: 1) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ..

2. ಇದ್ದರೆ A*B ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ

ಉತ್ತರ:

3. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ಮೈನರ್ M 31 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮೈನರ್ M 31 ಎಂಬುದು A ನಿಂದ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ

ಸಾಲು 3 ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ 1 ಅಳಿಸಿದ ನಂತರ. ಹುಡುಕಿ

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ (ಸಾಲು 1 ರಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ)

ಈಗ ನಾವು ಸಾಲು 1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ: M 31 = 0, detA = 0

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಿ.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ

ನೀವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರ: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

ನಾವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಗುಣಿಸಿ (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ಮತ್ತು 3 ನೇ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ:

1 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಗುಣಿಸಿ (k = -2 / 2 = -1 ) ಮತ್ತು 2 ನೇ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ:

ಈಗ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ

1 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪರಿಹಾರ ಒಂದೇ.

ಉತ್ತರ: (2; -5; 3)

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

ಪರಿಹಾರ: ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (-11) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (13) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 1 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (-5) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (11) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (-7) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 4 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (5) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 4 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಉಳಿದವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ ಮೈನರ್ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಸಂಭವನೀಯ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ (ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ rang(A) = 2.

ಈ ಚಿಕ್ಕದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಜ್ಞಾತ x 1, x 2 ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ x 1, x 2 ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ (ಮೂಲ), ಮತ್ತು x 3, x 4, x 5 ಉಚಿತ.

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

(ಎನ್-ಆರ್) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n=5, r=2, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು 3 ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಸಾಲುಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲು, ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ 3 ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ 3 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ x 3 , x 4 , x 5 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಮತ್ತು x 1 , x 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಸಾಕು.

ಸರಳವಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR ನಿರ್ಧಾರ: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR ನಿರ್ಧಾರ: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR ನಿರ್ಧಾರ: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. ನೀಡಲಾಗಿದೆ: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. ಹುಡುಕಿ: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

ಪರಿಹಾರ: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

ಉತ್ತರ: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ:

.

ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ಧಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ
, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ
ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಏಕತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ

ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹಲವಾರು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದೆ. ಮೊದಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು XVIII ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. 1750 ರಲ್ಲಿ, ಜಿ. ಕ್ರೇಮರ್ (1704-1752) ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಮೇಲೆ ತನ್ನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. 1809 ರಲ್ಲಿ, ಗೌಸ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಹೊಸ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ, ಅಥವಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ (ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ) ರೂಪದ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (1) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
(ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ).

(1)

ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. X 1

(2)

ನಾವು ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎಂದು ಊಹಿಸಿ

,

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಂತರ
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಹಂತಗಳು:

(3)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜಂಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (1) ರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನಿಂದ (3) ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ, ಮತ್ತು (3) ರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು - ಹಿಂದಕ್ಕೆ .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ : ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ

.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

.

ಕ್ರಮವಾಗಿ (-2), (-3), (-2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 2,3,4 ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

.

2 ಮತ್ತು 3 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಲು 2 ಗೆ ಸಾಲು 4 ಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ :

.

4 ನೇ ಸಾಲಿನ 3 ಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸಿ
:

.

ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ
, ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ

ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

,
,
,
.

ಉದಾಹರಣೆ 2ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ
, ಎ
.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನಗಳು :

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ ಎಂ 0 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (4) ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6.12.ವಾಹಕಗಳು ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್(ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ FNR) ವೇಳೆ

1) ವಾಹಕಗಳು ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ (ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ);

2) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆ.

ವೇಳೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆಕೆಲವು f.n.r. ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕೆ 1× ಜೊತೆಗೆ 1 + ಕೆ 2× ಜೊತೆಗೆ 2 + … + ಕೆಪಿ× p ಜೊತೆಗೆಇಡೀ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ 0 ಪರಿಹಾರಗಳು (4), ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ (4).

ಪ್ರಮೇಯ 6.6.ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮಾರ್ಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

ನಿರ್ಮಿಸಲು ( ಎನ್ – ಆರ್) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಆದರೆ ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು;

ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಎಂ 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 6.5.ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಐದು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ( ಎನ್= 5), ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ ( ಆರ್= 2), ಮೂರು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ( ಎನ್ – ಆರ್), ಅಂದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್ ಮೂರು ಪರಿಹಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ X 1 ಮತ್ತು X 3 - ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರು, X 2 , X 4 , X 5 - ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರು

ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು X 2 , X 4 , X 5 ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಇಮೂರನೇ ಆದೇಶ. ಆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , ಜೊತೆಗೆ 3 ರೂಪ f.n.r. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ನಂತರ ಈ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂ 0 = {ಕೆ 1× ಜೊತೆಗೆ 1 + ಕೆ 2× ಜೊತೆಗೆ 2 + ಕೆ 3× ಜೊತೆಗೆ 3 , ಕೆ 1 , ಕೆ 2 , ಕೆ 3 ಓ ಆರ್).

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ

1) ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ;

2) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ;

3) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ | ಎ| = 0).

ಉದಾಹರಣೆ 6.6. ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಎರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: = = 1×(–1) 1+1 × = – ಎ- 4. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಯಾವಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ = –4.

ಉತ್ತರ: –4.

7. ಅಂಕಗಣಿತ ಎನ್- ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎನ್ಅಜ್ಞಾತ. ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1. ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಅಂಕಗಣಿತದ ವೆಕ್ಟರ್ಆರ್ಡರ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅರ್ಥ ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್), ಅಲ್ಲಿ ಎ iಓ ಆರ್, i = 1, 2, …, ಎನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಆಯಾಮವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a iಅವನನ್ನು ಕರೆದರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಎ= (1, –8, 7, 4, ) ಐದು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ ಎನ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.2.ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್) ಮತ್ತು ಬಿ= (b 1, b 2, ..., b ಎನ್) ಅದೇ ಆಯಾಮದ ಸಮಾನಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a ಎನ್= ಬಿ ಎನ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.3.ಮೊತ್ತಎರಡು ಎನ್- ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳು ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್) ಮತ್ತು ಬಿ= (b 1, b 2, ..., b ಎನ್) ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ + ಬಿ= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ..., a ಎನ್+b ಎನ್).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.4. ಕೆಲಸನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್) ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ× ಎ = (ಕೆ×ಎ 1, ಕೆ×ಎ 2,…, ಕೆ×ಎ ಎನ್)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.5.ವೆಕ್ಟರ್ ಸುಮಾರು= (0, 0, ..., 0) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ(ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ-ವೆಕ್ಟರ್).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳು (ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ: ಎ, ಬಿ, ಸಿ Î ಆರ್ ಎನ್, " ಕೆ, ಎಲ್ಒಆರ್:

1) ಎ + ಬಿ = ಬಿ + ಎ;

2) ಎ + (ಬಿ+ ಸಿ) = (ಎ + ಬಿ) + ಸಿ;

3) ಎ + ಸುಮಾರು = ಎ;

4) ಎ+ (–ಎ) = ಸುಮಾರು;

5) 1× ಎ = ಎ, 1 О ಆರ್;

6) ಕೆ×( ಎಲ್× ಎ) = ಎಲ್×( ಕೆ× ಎ) = (ಎಲ್× ಕೆ)× ಎ;

7) (ಕೆ + ಎಲ್)× ಎ = ಕೆ× ಎ + ಎಲ್× ಎ;

8) ಕೆ×( ಎ + ಬಿ) = ಕೆ× ಎ + ಕೆ× ಬಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.6.ಬಹಳಷ್ಟು ಆರ್ ಎನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಹಲವಾರು ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ; ಅಕ್ಷರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಜಂಟಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (1)

2. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ (1) ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). ಅದು ತಿರುಗಿದರೆ , ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದರೆ , ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ).

ಎ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆರ್ಎ.

ಹುಡುಕಲು ಆರ್ಎ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ, ಇತ್ಯಾದಿ ಆದೇಶಗಳ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಅವರನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಕಿರಿಯರು.

M1=1≠0 (1 ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ).

ಗಡಿರೇಖೆ M1ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್. . ನಾವು ಗಡಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ M1ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್..gif" width="37" height="20 src=">. ಈಗ ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಗಡಿ M2′ಎರಡನೇ ಆದೇಶ.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: (ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ)

(ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ).

ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ rA=2, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಆಗಿದೆ ಎ.

ಬಿ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಕಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ M2′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಡಿ (ನಮಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ಮಾತ್ರ ಇದೆ).

. ಇದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ M3′′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ಏಕೆಂದರೆ M2′- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೈನರ್ ಆಧಾರ ಎವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (2) , ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (3) , ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (2) (ಇದಕ್ಕಾಗಿ M2′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ) ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿದೆ.

(3)

ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ( x2 ಮತ್ತು x4 ) ಅದಕ್ಕೇ ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (4) ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನಾವು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ (4) ಮೊದಲು ಮೌಲ್ಯಗಳು x2=1 , x4=0 , ಮತ್ತು ನಂತರ - x2=0 , x4=1 .

ನಲ್ಲಿ x2=1 , x4=0 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದೆ ಒಂದೇ ವಿಷಯ ಪರಿಹಾರ (ಇದನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು). ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಳ ನಿರ್ಧಾರ ಇರುತ್ತದೆ x1= -1 , x3=0 . ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x2 ಮತ್ತು x4 , ನಾವು ನೀಡಿದ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2) : .

ಈಗ ನಾವು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ (4) x2=0 , x4=1 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಕ್ರೇಮರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2) : .

ಪರಿಹಾರಗಳು β1 , β2 ಮತ್ತು ಮೇಕಪ್ ಮಾಡಿ ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (2) . ನಂತರ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ಇಲ್ಲಿ C1 , C2 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

4. ಒಂದನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ(1) . ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ 3 , ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬದಲಿಗೆ (1) ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (5) , ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (1) .

(5)

ನಾವು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಬಲಗೈಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ x2ಮತ್ತು x4.

(6)

ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ನೀಡೋಣ x2 ಮತ್ತು x4 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x2=2 , x4=1 ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ (6) . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂ2′0) ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಕ್ರಾಮರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x1=3 , x3=3 . ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x2 ಮತ್ತು x4 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ(1)α1=(3,2,3,1).

5. ಈಗ ಅದು ಬರೆಯಲು ಉಳಿದಿದೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ α(1) : ಇದು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಖಾಸಗಿ ನಿರ್ಧಾರಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

ಇದರರ್ಥ: (7)

6. ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಾ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು (1) , ನಮಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಬೇಕು (7) ಬದಲಿಯಾಗಿ (1) . ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತಾಗಿದ್ದರೆ ( C1 ಮತ್ತು C2 ನಾಶಪಡಿಸಬೇಕು), ನಂತರ ಪರಿಹಾರವು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (7) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

ಎಲ್ಲಿ -1=-1. ನಮಗೊಂದು ಗುರುತು ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (1) .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ "ಭಾಗಶಃ ಪರಿಶೀಲನೆ" ಅನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಬಹುದು: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ (1) ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ಅಂದರೆ, ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ (1) ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (5) ) ನೀವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ (1) ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ (ಆದರೆ ಅಂತಹ ಚೆಕ್ ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭರವಸೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ!). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ (7) ಹಾಕಿದರು C2=- 1 , C1=1, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ಅಂದರೆ –1=–1. ನಮಗೊಂದು ಗುರುತು ಸಿಕ್ಕಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (1) , ಉಚಿತವಾದವುಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ.ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಉದಾಹರಣೆ 1, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ ಎಮತ್ತು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ಈಗ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ (1) , ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆ (9) ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರನ್ನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ಆಯ್ಕೆ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ಆಯ್ಕೆ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ಆಯ್ಕೆ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ಆಯ್ಕೆ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ :

ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ) ಪರಿಹಾರ. ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.2.ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. ಒಂದು ಚದರ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.6.ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, l=3 ಅಥವಾ l=2 ಆಗಿರುವಾಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಅಲ್ಲ. l=3 ಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು 1 ಆಗಿದೆ. ನಂತರ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿ ವೈ=ಎಮತ್ತು z=ಬಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x=b-a, ಅಂದರೆ

l=2 ಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು 2 ಆಗಿದೆ. ನಂತರ, ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು:

ನಾವು ಸರಳೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x=z/4, y=z/2. ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು z=4ಎ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಆಸ್ತಿ : X ಕಾಲಮ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ 1 ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ 2 - ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು AX = 0, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಎ X 1+ಬಿ X 2 ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ರಿಂದ AX 1 = 0 ಮತ್ತು AX 2 = 0 , ನಂತರ ಎ(ಎ X 1+ಬಿ X 2) = ಎ AX 1+ಬಿ AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಇರುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಇ 1 , ಇ 2 , ಇ ಕೆ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ಧಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎನ್ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್, ನಂತರ ಕೆ = ಎನ್-ಆರ್.

ಉದಾಹರಣೆ 5.7.ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಉಪಸ್ಥಳವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ - ಆರ್= 5 - 2 = 3. ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

.

ನಂತರ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಟ್ಟು (ಉಳಿದವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ನಾವು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು, ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ), ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಳೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು X 3 = ಎ, X 4 = ಬಿ, X 5 = ಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

, .

ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ಎ= 1, b=c= 0, ನಾವು ಮೊದಲ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ಬಿ= 1, a = c= 0, ನಾವು ಎರಡನೇ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ಸಿ= 1, a = b= 0, ನಾವು ಮೂರನೇ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

X = aE 1 + ಬಿಇ 2 + ಸಿಇ 3. ಎ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ AX=Bಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವರ ಸಂಬಂಧ AX = 0.

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ AX = 0 ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವಕಾಶ ವೈ 0 ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. AY 0 = ಬಿ, ಮತ್ತು ವೈಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. AY=B. ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಎ(ವೈ-ವೈ 0) = 0, ಅಂದರೆ. ವೈ-ವೈ 0 ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ AX=0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೈ-ವೈ 0 = X, ಅಥವಾ Y=Y 0 + X. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು AX = B ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ 1 + ಬಿ 2 . ನಂತರ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು X = X ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು 1 + X 2 , ಅಲ್ಲಿ AX 1 = ಬಿ 1 ಮತ್ತು AX 2 = ಬಿ 2. ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಬೀಜಗಣಿತ, ಭೇದಾತ್ಮಕ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ತತ್ವಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯೋ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ - ಒವರ್ಲೆ ತತ್ವ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.