ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಹಲವಾರು ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ; ಅಕ್ಷರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಗೌಸ್ನ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರೇಮರ್ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡುವುದು ಎಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (1)

2. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ (1) ಒಗ್ಗಟ್ಟಿಗಾಗಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). ಅದು ತಿರುಗಿದರೆ , ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದರೆ , ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ).

ಎ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆರ್ಎ.

ಹುಡುಕಲು ಆರ್ಎ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ, ಇತ್ಯಾದಿ ಆದೇಶಗಳ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಅವರನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಕಿರಿಯರು.

M1=1≠0 (ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಿಂದ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ).

ನಾವು ಗಡಿ M1ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್. . ನಾವು ಗಡಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ M1ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್..gif" width="37" height="20 src=">. ಈಗ ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಗಡಿ M2′ಎರಡನೇ ಆದೇಶ.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: (ಮೊದಲ ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ)

(ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ).

ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ rA=2, a ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಆಗಿದೆ ಎ.

ಬಿ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಕಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ M2′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಗಡಿ (ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ).

. ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ M3′′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ಏಕೆಂದರೆ M2′- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೈನರ್ ಆಧಾರ ಎವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (2) , ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (3) , ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (2) (ಇದಕ್ಕಾಗಿ M2′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ) ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿದೆ.

(3)

ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ ( x2 ಮತ್ತು x4 ) ಅದಕ್ಕೇ ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (4) ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನಾವು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ (4) ಮೊದಲು ಮೌಲ್ಯಗಳು x2=1 , x4=0 , ಮತ್ತು ನಂತರ - x2=0 , x4=1 .

ನಲ್ಲಿ x2=1 , x4=0 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದೆ ಒಂದೇ ವಿಷಯ ಪರಿಹಾರ (ಇದನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಇತರ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು). ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಳ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ x1= -1 , x3=0 . ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x2 ಮತ್ತು x4 , ನಾವು ಸೇರಿಸಿದ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2) : .

ಈಗ ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ (4) x2=0 , x4=1 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಕ್ರೇಮರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2) : .

ಪರಿಹಾರಗಳು β1 , β2 ಮತ್ತು ಮೇಕಪ್ ಮಾಡಿ ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (2) . ನಂತರ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ಇಲ್ಲಿ C1 , C2 - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

4. ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ(1) . ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ 3 , ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬದಲಿಗೆ (1) ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (5) , ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (1) .

(5)

ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ x2ಮತ್ತು x4.

(6)

ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ನೀಡೋಣ x2 ಮತ್ತು x4 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x2=2 , x4=1 ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹಾಕಿ (6) . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರಿಂದ M2′0) ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಕ್ರಾಮರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x1=3 , x3=3 . ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x2 ಮತ್ತು x4 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ(1)α1=(3,2,3,1).

5. ಈಗ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ α(1) : ಇದು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

ಇದರರ್ಥ: (7)

6. ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಾ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು (1) , ನಮಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಬೇಕು (7) ಬದಲಿಯಾಗಿ (1) . ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾದರೆ ( C1 ಮತ್ತು C2 ನಾಶಪಡಿಸಬೇಕು), ನಂತರ ಪರಿಹಾರವು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (7) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮಾತ್ರ (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

ಎಲ್ಲಿ –1=–1. ನಮಗೊಂದು ಗುರುತು ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (1) .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಚೆಕ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ "ಭಾಗಶಃ ಚೆಕ್" ಅನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಬಹುದು: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ (1) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬದಲಿಸಿ (ಅಂದರೆ, ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (1) , ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (5) ) ನೀವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಬಹುತೇಕ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರ (1) ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ (ಆದರೆ ಅಂತಹ ಚೆಕ್ ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭರವಸೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ!). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ (7) ಹಾಕಿದರು C2=- 1 , C1=1, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ಅಂದರೆ –1=–1. ನಮಗೊಂದು ಗುರುತು ಸಿಕ್ಕಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (1) , ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಮೂಲಭೂತ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ.ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಉದಾಹರಣೆ 1, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ ಎಮತ್ತು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ಈಗ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ (1) , ಇವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ) ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆ (9) ನಾವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ಆಯ್ಕೆ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ಆಯ್ಕೆ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ಆಯ್ಕೆ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ಆಯ್ಕೆ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

ಅವಕಾಶ ಎಂ 0 - ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (4) ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6.12.ವಾಹಕಗಳು ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್(ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ FNR), ವೇಳೆ

1) ವಾಹಕಗಳು ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ (ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ);

2) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆ.

ವೇಳೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , …, p ಜೊತೆಗೆ- ಯಾವುದೇ f.n.r., ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೆ 1× ಜೊತೆಗೆ 1 + ಕೆ 2× ಜೊತೆಗೆ 2 + … + ಕೆ ಪಿ× p ಜೊತೆಗೆನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ 0 ಪರಿಹಾರಗಳು (4), ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ (4).

ಪ್ರಮೇಯ 6.6.ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮಾರ್ಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

ನಿರ್ಮಿಸಲು ( ಎನ್ – ಆರ್) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಆದರೆ ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು;

ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಎಂ 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 6.5.ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಐದು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ ( ಎನ್= 5), ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ ( ಆರ್= 2), ಮೂರು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ ( ಎನ್ – ಆರ್), ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ ಮೂರು ಪರಿಹಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ X 1 ಮತ್ತು X 3 - ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರು, X 2 , X 4 , X 5 - ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರು

ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು X 2 , X 4 , X 5 ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಇಮೂರನೇ ಆದೇಶ. ಆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಜೊತೆಗೆ 1 ,ಜೊತೆಗೆ 2 , ಜೊತೆಗೆ 3 ರೂಪ f.n.r. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ. ನಂತರ ಈ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂ 0 = {ಕೆ 1× ಜೊತೆಗೆ 1 + ಕೆ 2× ಜೊತೆಗೆ 2 + ಕೆ 3× ಜೊತೆಗೆ 3 , ಕೆ 1 , ಕೆ 2 , ಕೆ 3 ಓ ಆರ್).

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ

1) ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ;

2) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ;

3) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ | ಎ| = 0).

ಉದಾಹರಣೆ 6.6. ಯಾವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಎರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: = = 1×(–1) 1+1 × = – ಎ- 4. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ = –4.

ಉತ್ತರ: –4.

7. ಅಂಕಗಣಿತ ಎನ್- ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎನ್ಅಜ್ಞಾತ. ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1. ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಅಂಕಗಣಿತದ ವೆಕ್ಟರ್ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅರ್ಥ ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್), ಅಲ್ಲಿ ಎ iಓ ಆರ್, i = 1, 2, …, ಎನ್- ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಆಯಾಮವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a iಅವನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಎ= (1, –8, 7, 4, ) - ಐದು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್.

ಎಲ್ಲಾ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ Rn.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.2.ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್) ಮತ್ತು ಬಿ= (b 1, b 2, ..., b ಎನ್) ಅದೇ ಆಯಾಮದ ಸಮಾನಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a ಎನ್= ಬಿ ಎನ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.3.ಮೊತ್ತಎರಡು ಎನ್- ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳು ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್) ಮತ್ತು ಬಿ= (b 1, b 2, ..., b ಎನ್) ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ + ಬಿ= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a ಎನ್+b ಎನ್).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.4. ಕೆಲಸನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆವೆಕ್ಟರ್ ಗೆ ಎ= (a 1, a 2, ..., a ಎನ್) ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ× ಎ = (ಕೆ×ಎ 1, ಕೆ×ಎ 2,…, ಕೆ×ಎ ಎನ್)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.5.ವೆಕ್ಟರ್ ಓ= (0, 0, ..., 0) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ(ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳು (ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ: " ಎ, ಬಿ, ಸಿ Î Rn, " ಕೆ, ಎಲ್ಓ ಆರ್:

1) ಎ + ಬಿ = ಬಿ + ಎ;

2) ಎ + (ಬಿ+ ಸಿ) = (ಎ + ಬಿ) + ಸಿ;

3) ಎ + ಓ = ಎ;

4) ಎ+ (–ಎ) = ಓ;

5) 1× ಎ = ಎ, 1 О ಆರ್;

6) ಕೆ×( ಎಲ್× ಎ) = ಎಲ್×( ಕೆ× ಎ) = (ಎಲ್× ಕೆ)× ಎ;

7) (ಕೆ + ಎಲ್)× ಎ = ಕೆ× ಎ + ಎಲ್× ಎ;

8) ಕೆ×( ಎ + ಬಿ) = ಕೆ× ಎ + ಕೆ× ಬಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.6.ಒಂದು ಗೊಂಚಲು Rnವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಂಶಗಳು ಈ ಲೇಖನದ ಕಾರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಲೇಖನದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಚನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು

• ನಿಮ್ಮ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿ,
• ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವಿಧಾನದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ,
• ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಲೇಖನದ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ). ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹಲವಾರು SLAE ಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. SLAE ಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (ಅವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ) ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ. ನಾವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು SLAE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ SLAE ಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಪದನಾಮಗಳು.

ನಾವು p ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ (p n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, - ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಕೆಲವು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), - ಉಚಿತ ಪದಗಳು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ).

ಈ ರೀತಿಯ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ SLAE ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸು.

IN ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,
ಎಲ್ಲಿ - ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು (n+1) ನೇ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಳಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ,

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಹ ಒಂದು ಗುರುತಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ.

SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಶ್ಚಿತ; ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಆಗ - ಅನಿಶ್ಚಿತ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ SLAE ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ SLAE ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಥವಾ ಅವರು ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಅವರು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು. ನಾವು ಈ ವಿಧಾನಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಾಗಿವೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸೋಣ.

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, .

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು - ಬದಲಿ ಮೂಲಕ A ಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು 1 ನೇ, 2 ನೇ, ..., ನೇಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಣಕ್ಕೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಕಣ:

ಈ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ . ಕ್ರೇಮರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ .

ಪರಿಹಾರ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕ್ರೇಮರ್ನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅಗತ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ) :

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು :

ಉತ್ತರ:

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ (ಅದನ್ನು ಅನನುಕೂಲತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದಾದರೆ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಆಯಾಮ n ನಿಂದ n ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದೆ. ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಏಕೆಂದರೆ

ನಂತರ SLAE ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್‌ಗೆ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ಉತ್ತರ:

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೂರನೇ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಚೌಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ n ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.
ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲನೆಯದು, x 1 ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಂತರ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಕೇವಲ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x n ವರೆಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, x n ಅನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, x n-1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, x 1 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ.

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು .

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು x 1 ಅನ್ನು ಇತರ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು . ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, x n ನ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n-1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ .

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

ಈಗ ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 2 ಅನ್ನು ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ; ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು x 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಉಳಿದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ p ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ n:

ಅಂತಹ SLAEಗಳು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚದರ ಮತ್ತು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ.

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು, ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. SLAE ಯಾವಾಗ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ:
n ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗಿನ p ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲು (p n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ , ಶ್ರೇಣಿ(A)=Rank(T).

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಪರಿಹಾರ.

. ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಇದು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕನು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವನಾಗಿದ್ದಾನೆ

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, Rang(A), ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಆದರೆ ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ.

ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದರ ಕ್ರಮವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗಾಗಿ ಹಲವಾರು ಆಧಾರದ ಮೈನರ್‌ಗಳು ಇರಬಹುದು; ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಇರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ .

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಮೂಲವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.

n ನಿಂದ p ಆದೇಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು r ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲು (ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲು (ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳ ರಚನೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧಾರ ಚಿಕ್ಕದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ?

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೈನರ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಅದರ ಕ್ರಮವು r ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆಧಾರವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ SLAE ಮೂಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇನ್ನೂ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅನಗತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ r ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.

.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಇದು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಚಿಕ್ಕವರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ ಇದು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಶ್ರೇಣಿ(A)=Rank(T)=2.

ಆಧಾರವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ . ಇದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:


ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ:


ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:


ಉತ್ತರ:

x 1 = 1, x 2 = 2.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ SLAE ಯಲ್ಲಿನ r ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳ ಆರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಎನ್ - ಆರ್ ತುಣುಕುಗಳಿವೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಚಿತ.

ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ನಂಬುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ r ಮುಖ್ಯ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲಕ ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಅದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ 1 1 = 1 ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಮೈನರ್ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್‌ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:


ಈ ರೀತಿ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಡಿರೇಖೆಯ ಮೈನರ್‌ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:


ಹೀಗಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಮೂರು. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಮೈನರ್ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ:


ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:


ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ x 2 ಮತ್ತು x 5 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ , ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, SLAE ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ


ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:


ಆದ್ದರಿಂದ, .

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಉತ್ತರ:

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಆಧಾರದ ಮೈನರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸದ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮವು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸದೆಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು SLAE ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಸಾಮರಸ್ಯ ಎರಡರ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಮೊದಲು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ n ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ p ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (n - r) ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ಸ್ತಂಭಾಕಾರದಂತೆ ಸೂಚಿಸಿದರೆ 1 ರಿಂದ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ n) , ನಂತರ ಈ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು C 1, C 2, ..., C (n-r) ಜೊತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೆ, .

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಒರೊಸ್ಲಾವ್) ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂಬ ಪದದ ಅರ್ಥವೇನು?

ಅರ್ಥ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಸೂತ್ರವು ಮೂಲ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ C 1, C 2, ..., C (n-r) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಈ ಏಕರೂಪದ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಏಕರೂಪದ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ 1,0,0,...,0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದು X (1) ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ - ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ 0,1,0,0,...,0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು X (2) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು 0.0,…,0.1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು X (n-r) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ SLAE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 0,0,...,0 ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ 1 1 = 9 ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಂದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರ ಮೂಲಕ ಹೋಗೋಣ:

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ . ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ:

ಮೂಲ SLAE ಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು:

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಈ SLAE ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ SLAE ನಾಲ್ಕು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಕ್ರಮವು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X (1) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ x 2 = 1, x 4 = 0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು SLAE ಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವರ್ಡ್ ಫೈಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಸೂಚನೆಗಳು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ:

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ m=n ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಈ ಸೆಟ್ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿ r ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, (n-r) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
2. ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅವಲಂಬಿತ (ಮೂಲ) ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ.
3. ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ದಾಟುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಇತರರ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ (ಮೈನರ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ).
4. ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು r ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ r ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.
5. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಚಿತವಾದವುಗಳ ಮೂಲಕ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
6. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
7. rang = n ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (a 1, a 2,...,a m), ಆಧಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ 1 =(0,0,1,-1), ಮತ್ತು 2 =(1,1,2,0), ಮತ್ತು 3 =(1,1,1,1), ಮತ್ತು 4 =(3,2,1 ,4), ಮತ್ತು 5 =(2,1,0,3).
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ:

.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಿರಿ
, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ
ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಪರಿಹಾರವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಒಂದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹಲವಾರು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೊದಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. 1750 ರಲ್ಲಿ, ಜಿ. ಕ್ರೇಮರ್ (1704-1752) ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಮೇಲೆ ತನ್ನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. 1809 ರಲ್ಲಿ, ಗೌಸ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಹೊಸ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ, ಅಥವಾ ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ (ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ) ರೂಪದ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (1) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
(ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ).

(1)

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಇರುವುದಿಲ್ಲ X 1

(2)

ನಾವು ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ, ಎಂದು ಊಹಿಸಿ

,

ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಂತರ
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಹಂತ:

(3)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆ (1) ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜಂಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (1) ರ ಶ್ರೇಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನಿಂದ (3) ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ, ಮತ್ತು (3) ರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು - ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ : ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ

.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

.

ಕ್ರಮವಾಗಿ (-2), (-3), (-2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 2,3,4 ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:

.

2 ಮತ್ತು 3 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಲು 2 ಗೆ ಸಾಲು 4 ಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ :

.

4 ನೇ ಸಾಲಿನ 3 ಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸಿ
:

.

ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ
ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ

ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

,
,
,
.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ:

.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ
, ಎ
.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನಗಳು :

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರಮದಾಯಕ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.