ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು. ಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ: ಹುಡುಕುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಪುರಾವೆ:

ನಾವು ಮೊದಲು ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (1) n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಮತ್ತು (2)*ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವರಣವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಬಲಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸೋಣ, 3,4,5, ..., ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತು, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರೊಂದಿಗೆ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಆದ್ದರಿಂದ (3)*

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು (2) ಮತ್ತು (3) ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ: ಆದ್ದರಿಂದ, ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ (ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡ), ಅನುಕ್ರಮ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ.

x ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯು ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ನೈಜ x ಗೆ ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ . ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1. x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿರಲಿ: , x ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ ಎಲ್ಲಿದೆ. => =>

ವೇಳೆ , ನಂತರ ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಮಿತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮಾನದಂಡದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಮಧ್ಯಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ)

2. ಅವಕಾಶ. ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ - x = t, ನಂತರ

ಈ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ನಿಜವಾದ x ಗಾಗಿ.

ಪರಿಣಾಮಗಳು:

9 .) ಅನಂತಸೂಚಕಗಳ ಹೋಲಿಕೆ. ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅನಂತಶೈಲಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗದ ಪ್ರಮೇಯ.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ a( X) ಮತ್ತು ಬಿ( X) – ಬಿ.ಎಂ. ನಲ್ಲಿ X ® X 0 .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು.

1)a( X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಗಿಂತ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮ ಬಿ (X) ಒಂದು ವೇಳೆ

ಬರೆಯಿರಿ: a( X) = o(b( X)) .

2)a( X) ಮತ್ತುಬಿ( X)ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳು, ವೇಳೆ

ಅಲ್ಲಿ ಸಿÎℝ ಮತ್ತು ಸಿ¹ 0 .

ಬರೆಯಿರಿ: a( X) = ಓ(ಬಿ X)) .

3)ಎ( X) ಮತ್ತುಬಿ( X) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನ , ಒಂದು ವೇಳೆ

ಬರೆಯಿರಿ: a( X) ~ ಬಿ ( X).

4)ಎ( X) ಕೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ರಮದ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನಂತಬಿ( X), ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ a( X)ಮತ್ತು(ಬಿ X)) ಕೆ ಅದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ

ಅಲ್ಲಿ ಸಿÎℝ ಮತ್ತು ಸಿ¹ 0 .

ಪ್ರಮೇಯ 6 (ಅನಂತಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ).

ಅವಕಾಶ a( X), ಬಿ( X), ಎ 1 ( X), ಬಿ 1 ( X)– ಬಿ.ಎಂ. x ನಲ್ಲಿ ® X 0 . ಒಂದು ವೇಳೆ a( X~ a 1 ( X), ಬಿ( X) ~ ಬಿ 1 ( X),

ಅದು

ಪುರಾವೆ: ಅವಕಾಶ ( X~ a 1 ( X), ಬಿ( X) ~ ಬಿ 1 ( X), ನಂತರ

ಪ್ರಮೇಯ 7 (ಅನಂತದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗದ ಬಗ್ಗೆ).

ಅವಕಾಶ a( X)ಮತ್ತುಬಿ( X)– ಬಿ.ಎಂ. x ನಲ್ಲಿ ® X 0 , ಮತ್ತುಬಿ( X)– ಬಿ.ಎಂ. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶ a( X).

=, a ರಿಂದ b( X) - ಎ (ಎ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮ X), ನಂತರ, ಅಂದರೆ. ನಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ a( X) + ಬಿ( X) ~ a( X)

10) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ (ಎಪ್ಸಿಲಾನ್-ಡೆಲ್ಟಾ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಿತಿಗಳು) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ನಿರಂತರತೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆ. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಅವಕಾಶ f(X) ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ X 0 .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ X 0 ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು.

1) ಪ್ರಮೇಯ 5 §3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಸ್ಥಿತಿ (2) - ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

2) ಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: “ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ X 0, ನಂತರ ಮಿತಿಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು."

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 (ಇ-ಡಿ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ).

ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ X 0 ಒಂದು ವೇಳೆ"ಇ>0 $d>0 ಅಂತಹ, ಏನು

x ವೇಳೆОU( X 0 , d) (ಅಂದರೆ | X – X 0 | < d),

ನಂತರ ಎಫ್(X)ÎU( f(X 0), ಇ) (ಅಂದರೆ | f(X) – f(X 0) | < e).

ಅವಕಾಶ X, X 0 Î ಡಿ(f) (X 0 - ಸ್ಥಿರ, X -ಅನಿಯಂತ್ರಿತ)

ಸೂಚಿಸೋಣ: ಡಿ X= x - x 0 – ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ

ಡಿ f(X 0) = f(X) – f(X 0) – ಪಾಯಿಂಟ್‌ಎಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ 0

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ).

ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ರಂದು ಎಂದು ಕರೆದರು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ X 0 ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಅನಂತವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [ X 0 ; X 0 + ಡಿ) (ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ( X 0 - ಡಿ; X 0 ]).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ X 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಬಿಟ್ಟರು ), ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ

ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ f(X) ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ X 0 Û f(X) ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ X 0 ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ಎಂದು ಕರೆದರು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ನಿರಂತರ ಇ ( ಎ; ಬಿ) ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ [ಎ; ಬಿ] ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಎ; ಬಿ) ಮತ್ತು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಮುಖ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ(ಅಂದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಿ- ಎಡ).

11) ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು, ಅವುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X) ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ 0 , ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ f(X) ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 0 , ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ವತಃ X 0 ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳು f(X) .

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು.

1) f(X) ಬಿಂದುವಿನ ಅಪೂರ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು X 0 .

ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

2) Þ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ X 0 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದೆ f(X) ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ:

a) U( X 0, ಡಿ) ಓ ಡಿ(f), ಆದರೆ ಇದಕ್ಕಾಗಿ f(X) ಸಮಾನತೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ

ಬಿ) ಯು * ( X 0, ಡಿ) ಓ ಡಿ(f) .

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಪ್ರಕರಣ ಬಿ) ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ.

ಅವಕಾಶ X 0 - ಫಂಕ್ಷನ್ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ f(X) .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ಎಂದು ಕರೆದರು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ I ರೀತಿಯ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್(X)ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈ ಮಿತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ಎಂದು ಕರೆದರು ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ , ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಜಂಪ್ ಪಾಯಿಂಟ್ .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ಎಂದು ಕರೆದರು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ II ರೀತಿಯ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ(X)ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ¥ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

12) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು (ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ) ಮತ್ತು ಕೌಚಿ

ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ

f(x) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ

1)f(x) ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ

2) f(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಯಾವುದೇ x€ D(f) ಗೆ m≤f(x) ಆಗಿದ್ದರೆ m=f ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ x € D(f) ಗಾಗಿ m≥f(x) ಆಗಿದ್ದರೆ m=f ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ/ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

f(x 3)=f(x 4)=ಗರಿಷ್ಠ

ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು x f(a) ಮತ್ತು f(b) ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ f(x 0)= g ಎಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದು x 0 € ಇರುತ್ತದೆ

ಮೇಲಿನ ಲೇಖನದಿಂದ ನೀವು ಮಿತಿ ಏನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಏನು ತಿನ್ನುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು - ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕೆ? ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು; ಉತ್ಪನ್ನ ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು "A" ನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಮಿತಿ ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ನನ್ನ ವಿನ್ಯಾಸ ಶಿಫಾರಸುಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಈ ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ: ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳುಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕೈಪಿಡಿಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ - ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಆಫ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಶೇಷವೇನು? ಈ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೃತಜ್ಞರ ವಂಶಸ್ಥರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು, ಶಕ್ತಿಗಳ ರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಭಯಾನಕ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ನಾವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಹಲವಾರು ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, 95% ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಅರೆಕಾಲಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡು ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ: ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ, ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ಇವುಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು "ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ" ಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವಿಷಯವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸೀಲಿಂಗ್ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಿತಿಯಲ್ಲ.

ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ

ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: (ಸ್ಥಳೀಯ ಅಕ್ಷರ "ಅವನು" ಬದಲಿಗೆ ನಾನು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ "ಆಲ್ಫಾ" ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ).

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮ್ಮ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ (ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು) ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಶೂನ್ಯದ ಸೈನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯವೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ:

ಈ ಗಣಿತದ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ನಾನು ಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

- ಅದೇ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ.

ಆದರೆ ನೀವೇ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ! ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಯಾವುದನ್ನೂ ಮರುಹೊಂದಿಸದೆ ಅದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವೂ ಸಹ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
, , ,

ಇಲ್ಲಿ,,, , ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಒಳ್ಳೆಯದು - ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದು ಧರ್ಮದ್ರೋಹಿಯಾಗಿದೆ:

ಏಕೆ? ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರದ ಕಾರಣ, ಅದು ಐದಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಕ, ತ್ವರಿತ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಮಿತಿ ಏನು? ? ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ; ಉಚಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾದ ಪಾಸ್ ಪಡೆಯಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಎಂದಿಗೂ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಂ... ನಾನು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಆಲೋಚನೆಯು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬಂದಿತು - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, "ಉಚಿತ" ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ, ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಸಹಾಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ "ಎರಡು" ಮತ್ತು "ಮೂರು" ನಡುವೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಕೆಲವು ಸರಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಲು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆ ("ಬಹುಶಃ ಅವನು (ರು) ಇನ್ನೂ ಏನು ತಿಳಿದಿರಬಹುದು?!").

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನಾವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ (ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ):

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ. ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಇದು ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಛೇದದಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೃತಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವೇ ಸಂಘಟಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ರೇಖೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರಬಹುದು: "ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ , ಅಂದರೆ ನಾವು ಸಹ ಛೇದವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ."
ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂದರೆ, ಛೇದವನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೃತಕವಾಗಿ 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಏಳರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಮ್ಮ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಪರಿಚಿತ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ.
ಕೆಲಸವನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ರಚಿಸಿದಾಗ, ಸರಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಏನಾಯಿತು? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿ ತಿರುಗಿತು ಮತ್ತು ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು:

ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಈಗ ಉಳಿದಿದೆ:

ಬಹು-ಹಂತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಯಾರು ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಬಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳು .

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:

ನೀವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಬಯಸದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

“

ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ

“

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳುನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದೇ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ (ಗುಣಕಗಳು):

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ (ಇಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ), ಮತ್ತು ಅವು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ಪೇಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಲೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಸೆಳೆಯುವುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ - ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮೂಲಕ, ಅವರು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳುಪುಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು, ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು).

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಸೊನ್ನೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ (ಅದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ):

ಹೀಗಾಗಿ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಘಟಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯು ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (ಸೊನ್ನೆಯ ಕೊಸೈನ್, ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ)

ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ! ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮಿತಿಗಳು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸರಿಸೋಣ:

ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಆಯೋಜಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ:

ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮಿತಿಯನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉಳಿದಿರುವ ಸೈನ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳನ್ನು 1 ನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ನೀವು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಓದಬಹುದು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ:

ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ.

ಉಲ್ಲೇಖ: ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಿಯತಾಂಕವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಒಂದೇ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದು ಅನಂತತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದು ಪದವಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ನೀವು ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆ ಇದು.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ನಾವು ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ತತ್ವವನ್ನು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಪದವಿಯ ಆಧಾರವು ಘಾತವಾಗಿದೆ , ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ:

ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸಿದಂತೆ, ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯು ಬೆಳ್ಳಿಯ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ಆಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತರ್ಕಿಸಬಹುದು: ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ ಸಹ ಸಂಘಟಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬದಲಾಗದಂತೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕೆಲಸವನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಭಯಾನಕ ಪದವಿ ಉತ್ತಮ ಪತ್ರವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಗಮನ! ಈ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಹಳ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ.

ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಫಲಿತಾಂಶ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ. ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನಾವು ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಛೇದದಲ್ಲಿ , ಅಂದರೆ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಹ ಸಂಘಟಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ .

ಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವು ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + 1 x x = e ಆಗಿದೆ. ಬರವಣಿಗೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: ಲಿಮ್ x → 0 (1 + x) 1 x = ಇ.

ನಾವು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಫಾರ್ಮ್ 1 ∞ ನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಂತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏಕತೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಮಿತಿ ಲಿಮ್ x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಲಿಮ್ x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

ನಮ್ಮ ಉತ್ತರವು ಅನಂತತೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದಾಯಿತು. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

x → ∞ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ t → - ∞.

ಬದಲಿ ನಂತರ ನಾವು ಏನನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 =

ಉತ್ತರ:ಲಿಮ್ x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = ಇ - 1 2 .

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಲಿಮ್ x → ∞ x - 1 x + 1 x ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಅನಂತವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ಲಿಮ್ x → ∞ x - 1 x + 1 x = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ನಾವು ಮತ್ತೆ ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮುಂದೆ, ನಾವು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯದ ತಳದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

ಇದರ ನಂತರ, ಮಿತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಲಿಮ್ x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ; x → ∞ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ t → ∞.

ಅದರ ನಂತರ, ನಾವು ಮೂಲ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → → - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 = 1 - ∞ 2 · (1 + 0) - 1 = ಇ - 2

ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ನಾವು ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಉತ್ತರ:ಲಿಮ್ x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಮಿತಿ ಲಿಮ್ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಲಿಮ್ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x = 5 x 4 = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

ಅದರ ನಂತರ, ಎರಡನೇ ದೊಡ್ಡ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಲಿಮ್ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = ಲಿಮ್ x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 + 3 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

ನಾವು ಈಗ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ (ಆರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = ಲಿಮ್ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ಏನು:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

ಉತ್ತರ:ಲಿಮ್ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3.

ತೀರ್ಮಾನಗಳು

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ 1 ∞, ಅಂದರೆ. ಅನಂತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏಕತೆಯು ಶಕ್ತಿ-ಕಾನೂನು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಈಗ, ಶಾಂತ ಆತ್ಮದೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು.
ತೋರುತ್ತಿದೆ .

ವೇರಿಯಬಲ್ x ಬದಲಿಗೆ, ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ.

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಮಿತಿಯು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹವಾದದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೀವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಾಪವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಯೋಚಿಸಬೇಕು.

ನಮ್ಮ ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು x ಬದಲಿಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವೇ ಸಂಘಟಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸರಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 7x ಅನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಪರಿಚಿತ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ ಈಗಾಗಲೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು:

ಉತ್ತರ: 7/3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ತೋರುತ್ತಿದೆ , ಇಲ್ಲಿ e = 2.718281828... ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಬದಲಿಗೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರಬಹುದು, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಒಲವು .

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಿತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಯಾವಾಗಲೂ, ನಾವು ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ - ಬದಲಿಗೆ x ಬದಲಿಗೆ:

x ನಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ತಳವು , ಮತ್ತು ಘಾತವು 4x > ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಮ್ಮ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು 3x ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 1/3x ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ನಮ್ಮ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ:

ಅವರು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅದೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು!
ನೀವು ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅವರನ್ನು ಕೇಳಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ.
ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ನೀವು ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು.
ನಿಮ್ಮ ನಗರದಲ್ಲಿ ಅರ್ಹ ಬೋಧಕರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೀಡಲು ನಾವು ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಪಾಲುದಾರರು ನಿಮಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿ ಇಲ್ಲವೇ? - ನಿನ್ನಿಂದ ಸಾಧ್ಯ !

ನೀವು ನೋಟ್‌ಪ್ಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಲೋಗೋ (http://www.blocnot.ru) ನೊಂದಿಗೆ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನ: "ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ" ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ಮತ್ತು $ ^\infty $.

ಅಲ್ಲದೆ, ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಗಳು

ಸೂತ್ರಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( ಅಲ್ಲಿ ) e \ಅಂದಾಜು 2.718 $$

ಇದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಪರಿಣಾಮಗಳು, ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( ಅಲ್ಲಿ ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

ಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್ ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಬೇಸ್ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ತದನಂತರ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ನೇರ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಸಹ ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಿದ್ಧ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಕು.

ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಲೇಖನದಲ್ಲಿ: "ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ: ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು" ಸೂತ್ರ, ಅದರ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.