Аналитички модели на системи за редици. Squeak: Моделирање системи за редици

Во текот на изминатите децении, во различни области на националната економија, се појави потребата за решавање на веројатност проблеми поврзани со работата на системите за редици. Примери за такви системи се телефонски централи, поправки, малопродажни објекти, билетарници итн. Работата на секој систем на редици е да го сервисира протокот на барања што влегуваат во него (повици на претплатници, клиенти кои доаѓаат во продавницата, барања за извршување на работа во работилницата итн.).
Математичката дисциплина која ги проучува моделите на реални системи за редици се нарекува теорија на редици. Задачата на теоријата на редици е да ја утврди зависноста на добиените показатели за перформанси на системот за редици (веројатноста дека барањето ќе биде услужено; математичкото очекување на бројот на услужени барања итн.) од влезните индикатори (бројот на уреди во системот, параметри на дојдовниот тек на барања, итн.) можно е да се воспостават такви зависности во форма на формула само за едноставни системи за редици. Проучувањето на реалните системи се врши со имитација или моделирање на нивната работа на компјутер со помош на методот на статистичко тестирање.
Системот на редици се смета за одреден ако:
1) дојдовниот тек на барања или, со други зборови, законот за дистрибуција кој ги карактеризира временските моменти кога барањата влегуваат во системот. Основната причина за барањата се нарекува извор. Во продолжение, ќе се согласиме да претпоставиме дека изворот има неограничен број барања и дека барањата се хомогени, односно се разликуваат само во моментите на нивното појавување во системот;
2) сервисен систем кој се состои од уред за складирање и сервисна единица. Вториот претставува еден или повеќе уреди за сервисирање, кои понатаму ќе ги нарекуваме уреди. Секое барање мора да пристигне до еден од уредите за да биде сервисирано. Можеби барањата ќе треба да почекаат додека уредите не станат достапни. Во овој случај, барањата се наоѓаат во заостанати, формирајќи една или повеќе редици. Да претпоставиме дека трансферот на барање од единицата за складирање до сервисниот јазол се случува веднаш;
3) времето за сервисирање на барање од секој уред, кое е случајна променлива и се карактеризира со одреден закон за распределба;
4) дисциплина на чекање, односно збир на правила со кои се регулира бројот на барања лоцирани во истиот временски момент во системот. Систем во кој барањето се одбива кога сите сервери се зафатени се нарекува систем без чекање. Ако барањето ги најде сите уреди зафатени, се става во ред и чека
додека еден од уредите не стане достапен, таквиот систем се нарекува чист систем на чекање. Системот во кој барањето што ги наоѓа сите уреди зафатени се става во ред само ако бројот на барања во системот не надминува одредено ниво (во спротивно побарувачката се губи) се нарекува мешан систем на редици;
5) услужна дисциплина, односно збир на правила според кои се избира барање од редот за услуга. Следниве правила најчесто се користат во пракса:
- апликациите се прифаќаат за доставување по принципот прв дојден, прв услужен;
- пријавите се прифаќаат за доставување според минималното време за добивање на одбивање;
- апликациите се прифаќаат за доставување по случаен редослед во согласност со наведените веројатности;
6) дисциплина во редица, т.е. збир на правила според кои барањето дава предност на една или друга редица (ако има неколку од нив) и се наоѓа во избраната редица. На пример, дојдовното барање може да се случи во најкратката редица; во оваа редица може да биде последен што се наоѓа (таквата редица се нарекува нарачана), или може да оди на сервис надвор од редот. Можни се и други опции.

Симулациско моделирање на системи за редици

1 Надворешен дизајн

2 Внатрешен дизајн - дизајн на поединечни елементи
системи

3 Формирање на имплементации на случаен тек на барања

5 Пример за QS моделирање
Размислете за следниов систем:
1 Барањата пристигнуваат по случаен избор, со
временскиот интервал Q помеѓу било кои две последователни барања има експоненцијален закон со параметарот јас,односно функцијата на дистрибуција ја има формата
>0. (11) Сервисниот систем се состои од идентични, нумерирани уреди.
3 Време Т за bsl - случајна променлива со униформа закон за распределба на сегментот.
4 Систем без чекање, т.е. барањето што ги наоѓа сите уреди зафатени го напушта системот.
5 Сервисната дисциплина е следна: ако во моментот на пристигнување на k-тото барање првиот сервер е бесплатен, тогаш тој започнува со сервисирање на барањето; ако овој уред е зафатен, а вториот е бесплатен, тогаш барањето го сервисира вториот уред итн.
Потребно е да се проценат математичките очекувања за бројот на барања упатени од системот во времето T и одбиени.
За почетниот момент на пресметка го избираме моментот на пристигнување на првата побарувачка Т1=0. Да ја воведеме следната нотација: Tk е моментот на пристигнување на kth побарувачката; ti е моментот на завршување на сервисирањето на барањето од страна на i-тиот уред, i=1, 2, 3, ...,s.
Да претпоставиме дека во времето T 1 сите уреди се бесплатни.
Првата побарувачка пристигнува на уредот 1. Времето на услугата за овој уред има униформа дистрибуција низ сегментот. Затоа, ја наоѓаме специфичната вредност на tobsl за ова време користејќи ја формулата
(12)
каде r е вредноста на случајната променлива R, рамномерно распределена на сегментот. Уредот 1 ќе биде зафатен за време t околу bsl. Затоа, моментот на времето t 1 на крајот на сервисирањето на барањето од уредот 1 треба да се смета за еднаков на: t 1 = T1+ t o bsl.
Потоа треба да додадете едно на бројачот на упатени барања и да продолжите да го разгледувате следното барање.
Да претпоставиме дека k барањата се веќе разгледани. Да го одредиме моментот T k+1 на пристигнувањето на (k+1)-тото барање. За да го направите ова, ја наоѓаме вредноста t на временскиот интервал помеѓу последователните барања. Бидејќи овој интервал има експоненцијален закон, тогаш
12
x = - Во r (13)
| Ll
каде r е следната вредност на случајната променлива R. Тогаш моментот на пристигнување на (k+1)то барање: T k +1 = Tk+ T.
Дали првиот уред е бесплатен во овој момент? За да одговорите на ова прашање треба да ја проверите состојбата ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, тогаш првиот уред во моментот T k +1 е зафатен. Во овој случај, проверуваме дали вториот уред е бесплатен. Ако условот I 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, потоа ја проверуваме состојбата 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, тогаш во моментот T k +1 сите уреди се зафатени. Во овој случај, додаваме еден на бројачот за неуспех и преминуваме на следното барање. Секој пат, откако ќе се пресмета T k +1, потребно е да се провери состојбата за крајот на имплементацијата: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Со повторување на таков тест n пати (со користење на различни r) и просек на експерименталните резултати, ги одредуваме проценките на математичките очекувања за бројот на услужени барања и бројот на одбиени барања:
(14)
(Џи
n j =1
каде што (n obsl) j и (n otk) j се вредностите на n obsl и n otk во j-тиот експеримент.
13

Список на користени извори
1 Емелијанов А.А. Симулациско моделирање на економски процеси [Текст]: Учебник. прирачник за универзитети / А.А. Емељанов, Е.А. Власова, Р.В. Мисла. - М.: Финансии и статистика, 2002. - 368 стр.
2 Бусленко, Н.П. Моделирање на сложени системи [Текст]/ Н.П. Бусленко - М.: Наука, 1978. - 399 стр.
3 Совети Б.Ја. Моделирање на системи [Текст]: Учебник. за универзитети / B.Ya. Советов, С.А. Јаковлев. -М. : Повисоко училиште, 1985. - 271 стр.
4 Совети Б.Ја. Моделирање на системи [Текст]: Лабораториска практична работа: Проц. прирачник за универзитети во специјалитетот: „Систем за автоматска обработка и контрола на информации“. / B.Ya. Советов, С.А. Јаковлев. -М. : Повисоко училиште, 1989. - 80 стр.
5 Максимеј И.В. Симулациско моделирање на компјутер [Текст]/ Maksimey, I.V. -М: РАДИО И КОМУНИКАЦИЈА, 1988. - 231 стр.
6 Венцел Е.С. Теорија на веројатност [Текст]: учебник. за универзитети / Е.С. Вент гол.- М.: Повисоко. училиште, 2001. - 575 стр.
7 Гмурман, В.Е. Теорија на веројатност и математичка статистика [Текст]: учебник. додаток / В.Е. Гмурман.- М.: Повисоко. училиште, 2001. - 479 стр.
Додаток А
(задолжително)
Приближни теми за пресметка и графичка работа
1 Има само еден лекар кој работи во собата за итни случаи. Времетраење на третманот на пациентот
а временските интервали помеѓу приемите на пациентите се случајни променливи распределени според законот Поасон. Според сериозноста на повредите, пациентите се поделени во три категории; приемот на пациент од која било категорија е случаен настан со подеднакво веројатна распределба. Докторот најпрво се занимава со пациенти со најтешки повреди (по редослед на нивниот прием), потоа, доколку ги нема, со умерено тешки, па дури потоа со пациенти со полесни повреди. Моделирајте го процесот и проценете ги просечните времиња на чекање во редот за пациенти од секоја категорија.
2 Градскиот возен парк има две зони за поправка. Првата служи за поправки со кратко и средно времетраење, втората - средно и долго. Како што се случуваат дефекти, возилата се доставуваат до возниот парк; временскиот интервал помеѓу испораките е случајна Поасонова променлива. Времетраењето на поправката е случајна променлива со нормален закон за распределба. Моделирајте го опишаниот систем. Проценете го просечното време на чекање во редот за возила што бараат краткорочни, среднорочни и долгорочни поправки, соодветно.
3. Направете симулација на опишаниот процес и утврдете ја веројатноста за застој на контролорот - благајник, должината на редот, просечниот број на клиенти на мини-маркетот, просечното време на чекање за услуга, просечното време на клиентите во мини-маркетот и да ја оцени неговата работа.
4 АТС прима барања за разговори на долги релации. Протокот на клиенти е Поасон. Во просек на час се добиваат 13 апликации. Најдете го просечниот број на примени апликации дневно, просечното време помеѓу појавувањето на апликациите. Телефонската централа доживува дефекти ако прими повеќе од 50 барања за половина час. Најдете ја веројатноста за дефект на станицата.
5 Сервисната станица добива наједноставно
тековни барања со интензитет од 1 автомобил на 2 часа Во редот во дворот не може да има повеќе од 3 коли. Просечното време за поправка е 2 часа. Проценете ги перформансите на CMO и изгответе препораки за подобрување на услугата.
6 Еден ткајач служи група разбои, спроведувајќи краткорочна интервенција по потреба, чие времетраење е случајна променлива. Симулирајте ја опишаната ситуација. Која е веројатноста за застој на две машини одеднаш? Колку долго е просечното време на работа на една машина?
7 На долга телефонска централа, два телефонски оператори опслужуваат заедничка редица на нарачки. Следната нарачка ја опслужува телефонскиот оператор кој прв стана достапен. Ако и двете се зафатени во моментот на примена на нарачката, повикот ќе биде откажан. Моделирајте го процесот, земајќи ги предвид влезните текови како Поасон.
8 Во собата за итни случаи работат двајца лекари. Времетраењето на третманот е болно
а временските интервали помеѓу приемите на пациентите се случајни променливи распределени според законот Поасон. Според сериозноста на повредите, пациентите се поделени во три категории; приемот на пациент од која било категорија е случаен настан со подеднакво веројатна распределба. Докторот најпрво се занимава со пациенти со најтешки повреди (по редослед на нивниот прием), потоа, доколку ги нема, со умерено тешки, па дури потоа со пациенти со полесни повреди. Моделирајте го процесот и проценете ги просечните времиња на чекање во редот за пациенти од секоја категорија.
9 На далечната телефонска централа опслужувале два телефонски оператори
креирајте општа редица на нарачки. Следната нарачка ја опслужува тој телефонски оператор,
која прва се ослободила. Ако и двајцата се зафатени во моментот на пристигнување на нарачката, се формира редица. Моделирајте го процесот, земајќи ги предвид влезните текови како Поасон.
10 Во системот за пренос на податоци, пакетите со податоци се разменуваат помеѓу јазлите A и B преку дуплекс комуникациски канал. Пакетите пристигнуваат до точките на системот од претплатниците со временски интервали помеѓу нив од 10 ± 3 ms. Преносот на пакетот трае 10 ms. Точките имаат тампон регистри кои можат да складираат два пакети, вклучувајќи го и оној што се пренесува. Ако пакетот пристигне кога регистрите се зафатени, системските точки имаат пристап до сателитска полудуплекс комуникациска линија, која ги пренесува пакетите со податоци за 10 ± 5 ms. Кога сателитската линија е зафатена, пакетот се отфрла. Моделирајте ја размената на информации во систем за пренос на податоци за 1 минута. Одредете ја фреквенцијата на повиците до сателитската линија и нејзиното оптоварување. Во случај на можни неуспеси, определете го волуменот на тампон-регистрите неопходни за функционирање на системот без дефекти.
11 Нека се користи вообичаениот систем на телефонска централа со еден влез: ако претплатникот е зафатен, тогаш редот не е формиран и треба повторно да се јавите. Симулирајте ја ситуацијата: тројца претплатници се обидуваат да му се јават на сопственикот на истиот број и, доколку успее, разговараат со него некое време (по случаен избор). Која е веројатноста дека некој што се обидува да се јави нема да може да го стори тоа во одредено време Т.
12 Трговско друштво планира да ги исполнува нарачките за набавка на стоки по телефон, за што е потребно да се постави соодветна мини-PBX со повеќе телефонски сетови. Ако нарачката пристигне кога сите линии се зафатени, клиентот е одбиен. Ако во моментот на прием на изглед барем една линија е бесплатна, тогаш се префрла на оваа линија и се врши нарачка. Интензитетот на дојдовниот проток на апликации е 30 нарачки на час. Просечното време на обработка на апликацијата е 5 минути. Одредете го оптималниот број на сервисни канали за да обезбедите стационарна работа на QS.
13 Продавницата за самопослужување има 6 контролори - касиери. Дојдовниот проток на клиенти го почитува законот на Поасон со интензитет од 120 луѓе/час. Една касиерка може да опслужува 40 луѓе на час. Определете ја веројатноста касиерот да е неактивен, просечниот број клиенти во редот, просечното време на чекање, просечниот број на зафатени касиери. Оценете ја работата на QS.
14 Продавница за самопослужување добива проток на Поасон со интензитет од 200 клиенти на час. Во текот на денот ги опслужуваат 3 благајнички контролори со интензитет од 90 клиенти на час. Интензитетот на дојдовниот проток на клиенти за време на шпицот се зголемува на 400 клиенти на час, а за време на падот достигнува 100 клиенти на час. Определете ја веројатноста да се формира редица во продавницата и просечната должина на редот во текот на денот, како и потребниот број на касиери за време на шпиц и вон шпиц, обезбедувајќи иста должина на редот и веројатноста за нејзино формирање како во номиналниот режим.
15 Просечниот број на клиенти кои пристигнуваат во платежниот центар во продавница за самопослужување е 100 луѓе/час. Касиерката може да опслужува 60 луѓе на час. Моделирајте го процесот и одредете колку касиери се потребни за да се осигура дека веројатноста за редица не надминува 0,6.
16 Симулирајте редица во продавница со еден продавач според рамномерните закони за дистрибуција на случајни променливи: пристигнување на клиенти и времетраење на услугата (со одреден фиксен сет на параметри). Добијте стабилни карактеристики: просечни вредности на чекање во ред од страна на купувачот и време на мирување на продавачот додека се чека доаѓањето на купувачите. Проценете ја нивната веродостојност.
17 Симулирајте редица во продавница со еден продавач според законите на Поасон за дистрибуција на случајни променливи: пристигнување на клиенти и времетраење на услугата (со одредено фиксно збир на параметри). Добијте стабилни карактеристики: просечни вредности на чекање во ред од страна на купувачот и време на мирување на продавачот додека се чека доаѓањето на купувачите. Проценете ја нивната веродостојност.
18 Направете модел на бензинска пумпа. Најдете индикатори за квалитет на услугата билети. Одредете го бројот на бројачи за да не се зголеми редот.
19 Просечниот број на клиенти кои пристигнуваат во платниот центар на продавница за самопослужување е 60 луѓе на час. Касиерката може да опслужува 35 луѓе на час. Моделирајте го процесот и одредете колку касиери се потребни за да се осигура дека веројатноста за редица не надминува 0,6.
20 Развијте модел на автобуска линија со n постојки. Определете ги индикаторите за изведба за користење на QS.

Московскиот државен технички универзитет

именувана по Н.Е. Бауман (огранок во Калуга)

Катедра за виша математика

Работа на курсот

по предметот „Оперативно истражување“

Симулациско моделирање на систем за редици

Работна задача: Создадете модел за симулација и пресметајте ги индикаторите за изведба на системот за редици (QS) со следните карактеристики:

Број на сервисни канали n; максимална должина на редот t;

Протокот на апликации кои влегуваат во системот е наједноставен со просечен интензитет λ и експоненцијален закон за временска распределба помеѓу приемот на апликациите;

Протокот на барања упатени во системот е наједноставен со просечен интензитет µ и експоненцијален закон за распределба на време на услуга.

Споредете ги пронајдените вредности на индикаторот со резултатите. добиен со нумеричко решавање на Колмогоровата равенка за веројатностите на системските состојби. Вредностите на параметрите QS се дадени во табелата.

Вовед

Поглавје 1. Главни карактеристики на CMO и индикатори за нивната ефикасност

1.1 Концептот на Марков случаен процес

1.2 Пренос на настани

1.3 Колмогоровски равенки

1.4 Конечни веројатности и графикон на QS состојби

1.5 Индикатори за успешност на QS

1.6 Основни концепти на симулационо моделирање

1.7 Изработка на симулациски модели

Поглавје 2. Аналитичко моделирање на QS

2.1 График на системска состојба и Колмогоровски равенки

2.2 Пресметка на индикатори за ефикасност на системот врз основа на конечни веројатности

Поглавје 3. Симулациско моделирање на QS

3.1 Алгоритам на методот на симулација QS (пристап чекор-по-чекор)

3.2 Програма на текови

3.3 Пресметка на индикаторите за ефикасност на QS врз основа на резултатите од неговото симулационо моделирање

3.4 Статистичка обработка на резултатите и нивна споредба со резултатите од аналитичкото моделирање

Заклучок

Литература

Анекс 1

Кога се истражуваат операциите, често се среќаваат системи дизајнирани за повеќекратна употреба при решавање слични проблеми. Процесите што се јавуваат се нарекуваат сервисни процеси, а системите се нарекуваат системи на редици (QS).

Секој QS се состои од одреден број на сервисни единици (инструменти, уреди, точки, станици), кои се нарекуваат сервисни канали. Каналите можат да бидат комуникациски линии, работни места, компјутери, продавачи итн. Врз основа на бројот на канали, QS системите се поделени на едноканални и повеќеканални.

Апликациите обично ги прима QS не редовно, туку случајно, формирајќи таканаречен случаен тек на апликации (барања). Услугата на апликациите исто така продолжува одредено време по случаен избор. Случајната природа на протокот на апликации и времето на услугата доведува до фактот дека QS е нерамномерно вчитан: во некои временски периоди се акумулира многу голем број апликации (тие или остануваат на ред или го оставаат QS неискористен), додека во други периоди QS работи со недоволно оптоварување или е неактивен.

Предмет на теоријата на редици е изградбата на математички модели кои ги поврзуваат дадените услови за работа на QS (бројот на канали, нивната продуктивност, природата на протокот на барања итн.) со индикаторите за перформанси на QS, опишувајќи ја неговата способност да се справат со протокот на барања.

Следниве се користат како индикатори за ефективноста на QS:

Апсолутен системски капацитет (А), т.е. просечен број на услужени апликации по единица време;

Релативен капацитет (Q), т.е. просечниот удел на примени апликации сервисирани од системот;

Веројатност за неуспех на услугата за барање (

Просечен број на зафатени канали (k);

Просечен број на апликации до CMO (

Просечно време кога апликацијата останува во системот (

Просечен број на апликации во редот (

Просечно време што апликацијата го поминува во редица (

Просечен број на услужени апликации по единица време;

Просечно време на чекање за услуга;

Веројатноста дека бројот на апликации во редот ќе надмине одредена вредност итн.

QS е поделен на 2 главни типа: QS со неуспеси и QS со чекање (редица). Во QS со одбивања, апликацијата примена во време кога сите канали се зафатени добива одбивање, го напушта QS и не учествува во понатамошниот процес на услуга (на пример, апликација за телефонски разговор во време кога сите канали се зафатен, добива одбивање и го остава QS непоставен) . Во QS на чекање, барањето што пристигнува во време кога сите канали се зафатени не заминува, туку останува во ред за сервис.

Еден од методите за пресметување на индикаторите за ефикасност на QS е методот на симулација. Практичната употреба на компјутерската симулација вклучува изградба на соодветен математички модел кој ги зема предвид факторите на несигурност, динамичките карактеристики и целиот комплекс на односи помеѓу елементите на системот што се проучува. Симулациското моделирање на работата на системот започнува со одредена специфична почетна состојба. Поради имплементација на различни настани од случаен карактер, системот на моделот преминува во следните моменти во неговите други можни состојби. Овој еволутивен процес продолжува до последниот момент од планскиот период, т.е. до последната точка на симулацијата.

Нека има некој систем кој ја менува својата состојба случајно со текот на времето. Во овој случај велат дека во системот се случува случаен процес.

Процесот се нарекува процес на дискретна состојба ако неговите состојби

Процесот на операција QS е случаен процес со дискретни состојби и континуирано време.

Случаен процес се нарекува Марков или случаен процес без последователен ефект ако за кој било момент од времето

1.2 Пренос на настани

Тек на настани е низа од хомогени настани кои следат еден по друг во случајни времиња.

Протокот се карактеризира со интензитет λ - фреквенција на појава на настани или просечен број на настани што влегуваат во QS по единица време.

Текот на настаните се нарекува редовен ако настаните следат еден по друг во одредени еднакви временски интервали.

Текот на настани се нарекува стационарен ако неговите веројатни карактеристики не зависат од времето. Особено, интензитетот на стационарниот проток е константна вредност:

Текот на настани се нарекува обичен ако веројатноста за појава е во мал временски период

Тек на настани се нарекува проток без последователен ефект ако за кои било два временски периоди кои не се преклопуваат

ВОВЕД

ПОГЛАВЈЕ I. ФОРМУЛИРАЊЕ НА ПРОБЛЕМИ СО УСЛУГАТА ВО РЕДОТ

1.1 Општ концепт на теоријата на редици

1.2 Моделирање на системи за редици

1.3 Графикони на состојби на QS

1.4 Случајни процеси

Поглавје II. РАВЕНКИ КОИ ГИ ОПИШУВААТ СИСТЕМИТЕ НА РЕДИТЕ

2.1 Колмогоровски равенки

2.2 Процеси на „раѓање - смрт“

2.3 Економско и математичко формулирање на задачи на редици

Поглавје III. МОДЕЛИ НА СИСТЕМИ ЗА РЕД

3.1 Едноканален QS со одбивање на услуга

3.2 Повеќеканален QS со одбивање на услуга

3.3 Модел на повеќефазен систем за туристичка услуга

3.4 Едноканален QS со ограничена должина на редот

3.5 Едноканален QS со неограничена редица

3.6 Повеќеканален QS со ограничена должина на редот

3,7 Повеќеканален QS со неограничена редица

3.8 Анализа на системот на редици во супермаркет

ЗАКЛУЧОК

Вовед

Во моментов, се појави голема количина литература посветена директно на теоријата на редот, развојот на нејзините математички аспекти, како и различни области на нејзината примена - воена, медицинска, транспортна, трговија, авијација итн.

Теоријата на редици се заснова на теоријата на веројатност и математичка статистика. Почетниот развој на теоријата на редици е поврзан со името на данскиот научник А.К. Ерланг (1878-1929), со своите дела од областа на проектирањето и работењето на телефонските централи.

Теоријата на редици е област на применета математика која се занимава со анализа на процесите во системите за производство, услуги и управување во кои хомогени настани се повторуваат многу пати, на пример, во претпријатијата за услуги на потрошувачи; во системи за примање, обработка и пренос на информации; автоматски производствени линии итн. Голем придонес во развојот на оваа теорија дадоа руските математичари А.Ја. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Венцел и сор.

Предмет на теоријата на редици е да се воспостават зависности помеѓу природата на протокот на барања, бројот на сервисни канали, перформансите на поединечен канал и ефективната услуга со цел да се најдат најдобри начини за управување со овие процеси. Проблемите на теоријата на редици се од оптимизациска природа и на крајот го вклучуваат економскиот аспект на определување системска опција која ќе обезбеди минимум вкупни трошоци од чекање за услуга, губење време и ресурси за услуга и прекин на сервисните канали.

Во комерцијалните активности, примената на теоријата на редици сè уште не ја нашла саканата дистрибуција.

Ова главно се должи на тешкотијата за поставување задачи, потребата за длабоко разбирање на содржината на комерцијалните активности, како и сигурни и точни алатки кои овозможуваат да се пресметаат различни опции за последиците од менаџерските одлуки во комерцијалните активности.

Поглавје Јас . Поставување задачи за редици

1.1 Општ концепт на теоријата на редици

Природата на масовните услуги, во различни области, е многу суптилна и сложена. Комерцијалната активност е поврзана со извршување на многу операции во фазите на движење, на пример, масата на стоки од сферата на производство до сферата на потрошувачка. Такви операции се товарење на стоки, транспорт, истовар, складирање, преработка, пакување и продажба. Покрај ваквите основни операции, процесот на движење на стоката е проследен и со голем број на прелиминарни, подготвителни, придружни, паралелни и последователни операции со платежни документи, контејнери, пари, автомобили, клиенти итн.

Наведените фрагменти од комерцијалната активност се карактеризираат со масовно пристигнување на стоки, пари и посетители во случајни времиња, потоа нивно последователно сервисирање (задоволување на барања, барања, апликации) со извршување на соодветни операции, чие време на извршување е исто така случајно. Сето ова создава нерамномерност во работата, доведува до недоволно оптоварување, прекини и преоптоварувања во комерцијалните операции. Редиците предизвикуваат многу проблеми, на пример, за посетителите во кафулињата, кантините, рестораните или возачите на автомобили во стоковните складишта кои чекаат истовар, утовар или документација. Во овој поглед, се јавуваат задачите за анализа на постоечките опции за извршување на целиот сет на операции, на пример, продажниот под во супермаркет, ресторан или во работилници за производство на сопствени производи заради проценка на нивната работа, идентификување слаби алки. и резерви за конечно развивање препораки насочени кон зголемување на ефикасноста на комерцијалните активности.

Дополнително, се јавуваат и други задачи поврзани со создавање, организација и планирање на нова економична, рационална опција за извршување на многу операции во рамките на трговскиот кат, слаткарница, сите нивоа на услуга во ресторан, кафуле, менза, оддел за планирање, сметководство, кадровски оддел итн.

Задачите за организирање масовни услуги се јавуваат во скоро сите сфери на човековата активност, на пример, продавачите кои им служат на клиентите во продавници, им служат на посетителите во јавните угостителски објекти, им служат на клиентите во претпријатијата за услуги за потрошувачи, обезбедуваат телефонски разговори на телефонска централа, обезбедуваат медицинска нега на пациенти во клиника, итн. Во сите горенаведени примери се јавува потреба од задоволување на потребите на голем број потрошувачи.

Наведените проблеми може успешно да се решат со помош на методи и модели на теорија на редици (QST) специјално создадени за овие цели. Оваа теорија објаснува дека е неопходно да се опслужува некого или нешто, што е дефинирано со концептот „барање за услуга (побарувачка)“, а сервисните операции ги извршува некој или нешто наречено сервисни канали (јазли). Улогата на барањата во комерцијалните активности ја имаат стоката, посетителите, парите, ревизорите, документите, а улогата на сервисните канали ја имаат продавачите, администраторите, готвачите, слаткарите, келнерите, касиерите, експертите за стока, натоварувачите, комерцијалната опрема итн. Важно е да се забележи дека во едно олицетворение, на пример, готвачот во процесот на подготвување јадења е сервисен канал, а во друг тој делува како барање за услуга, на пример, до раководителот на производството да прими стока.

Апликациите, поради огромниот број на потврди за сервисирање, формираат текови кои се нарекуваат дојдовни пред да се извршат операциите за сервисирање, а по евентуално чекање за почеток на сервисирањето, т.е. времето на мирување во редицата услуга тече во каналите, а потоа се формира појдовен проток на барања. Општо земено, комбинацијата на елементи на дојдовниот тек на барања, редица, канали за услуги и појдовниот тек на барања го формира наједноставниот едноканален систем за редици - QS.

Систем се подразбира како збир на меѓусебно поврзани системи. делови (елементи) кои намерно комуницираат. Примери за такви едноставни QS во комерцијалните активности се места за примање и преработка на стоки, платежни центри за клиенти во продавници, кафулиња, кантини, работни места за економисти, сметководители, трговци, готвачи итн.

Постапката за сервисирање се смета за завршена кога барањето за услуга го напушта системот. Времетраењето на временскиот интервал потребен за спроведување на услугата процедура зависи главно од природата на барањето за услуга, состојбата на самиот сервисен систем и сервисниот канал.

Навистина, должината на престојот на купувачот во супермаркет зависи, од една страна, од личните квалитети на купувачот, неговите барања, од опсегот на стоки што тој ќе ги купи, а од друга страна, од формата. на услужна организација и сервисен персонал што може значително да влијае на престојот на купувачот.во супермаркет и интензитетот на услугата. На пример, совладувањето на „слепиот“ метод на работа на каса од страна на касиери-контролори овозможи да се зголеми пропусната моќ на платежните јазли за 1,3 пати и да се заштеди времето поминато на населби со клиенти на секоја каса за повеќе од 1,5 часа. дневно. Воведувањето на единствен центар за плаќање во супермаркет обезбедува опипливи придобивки за купувачот. Така, ако со традиционалниот начин на плаќање времето за сервисирање на еден клиент беше во просек 1,5 минути, тогаш со воведувањето на единечна исплата тоа беше 67 секунди. Од нив, 44 секунди се трошат за купување во делот и 23 секунди директно за плаќање за набавки. Ако купувачот изврши неколку набавки во различни делови, тогаш губењето на време се намалува при купување две набавки за 1,4 пати, три за 1,9, пет за 2,9 пати.

Под сервисирање барања подразбираме процес на задоволување на потреба. Услугите се различни по природа. Меѓутоа, во сите примери, примените барања бараат сервисирање од некој уред. Во некои случаи, услугата ја врши едно лице (услуга на купувачот од еден продавач, во некои - од група луѓе (услуга на пациент од медицинска комисија во клиника), а во некои случаи - од технички уреди (продажба на газирана вода, сендвичи со автомати) Збир на средства што ги бара услугата се нарекува сервисен канал.

Ако сервисните канали се способни да задоволат идентични барања, тогаш сервисните канали се нарекуваат хомогени. Збир на хомогени сервисни канали се нарекува сервисен систем.

Системот за редици прима голем број барања по случаен избор, чие времетраење на услугата е исто така случајна променлива. Секвенцијалното пристигнување на апликациите во услужниот систем се нарекува дојдовен тек на апликации, а низата апликации што го напуштаат услужниот систем се нарекува појдовен тек.

Случајната природа на распределбата на времетраењето на сервисните операции, заедно со случајната природа на приемот на барањата за услуга, доведува до фактот дека во каналите на услугата се јавува случаен процес, кој „може да се нарече (по аналогија со влезен тек на барања) тек на барања за услуги или едноставно тек на услуга.

Забележете дека апликациите што влегуваат во системот за услуги може да го напуштат без да се сервисираат. На пример, ако клиентот не го најде саканиот производ во продавница, тој ја напушта продавницата без да биде услужен. Купувачот може да ја напушти продавницата и доколку саканиот производ е достапен, но има долга редица, а купувачот нема време.

Теоријата на редици се занимава со проучување на процеси поврзани со редици и развој на методи за решавање на типични проблеми со редици.

При проучување на ефикасноста на услужниот систем, важна улога играат различните начини на лоцирање на сервисните канали во системот.

Со паралелно уредување на сервисни канали, барање може да се услужи од кој било слободен канал. Пример за таков сервисен систем е платен центар во продавници за самопослужување, каде што бројот на сервисни канали се совпаѓа со бројот на касиери-контролори.

Во пракса, едно барање често се сервисира последователно од неколку сервисни канали. Во овој случај, следниот сервисен канал започнува со работа на сервисирање на барањето откако претходниот канал ќе ја заврши својата работа. Во такви системи, процесот на услуга е повеќефазен; сервисирањето на барање преку еден канал се нарекува фаза на услуга. На пример, ако продавницата за самопослужување има одделенија со продавачи, тогаш клиентите прво ги опслужуваат продавачите, а потоа и благајниците-контролори.

Организацијата на услужниот систем зависи од волјата на личноста. Во теоријата на редици, квалитетот на функционирањето на системот не се подразбира како тоа колку добро се извршува услугата, туку колку е целосно оптоварен услужниот систем, дали каналите за услуги се неактивен или дали се формира редица.

Во комерцијалните активности, апликациите што влегуваат во системот на редици исто така поставуваат високи барања за квалитетот на услугата како целина, што вклучува не само листа на карактеристики кои историски се развиле и се разгледуваат директно во теоријата на редот, туку и дополнителни карактеристики карактеристични за спецификите на комерцијалната активност, вклучително особено, индивидуалните процедури за одржување, барањата за чие ниво сега се значително зголемени. Во овој поглед, неопходно е да се земат предвид и индикаторите за комерцијална активност.

Изведбата на сервисниот систем се карактеризира со следните показатели. Како што се времето на чекање за почеток на услугата, должината на редот, можноста да се добие одбивање на услугата, можноста за застој на сервисните канали, цената на услугата и, на крајот, задоволството од квалитетот на услугата, што исто така вклучува индикатори за комерцијална активност. За да се подобри квалитетот на работењето на системот за услуги, неопходно е да се одреди како да се дистрибуираат дојдовните барања помеѓу сервисните канали, колку сервисни канали треба да бидат достапни, како да се организираат или групираат каналите за услуги или уредите за услуги за да се подобрат деловните перформанси. За да се решат овие проблеми, постои ефективен метод за моделирање кој вклучува и комбинира достигнувања од различни науки, вклучително и математиката.

1.2 Моделирање на системи за редици

Транзициите на QS од една во друга состојба се случуваат под влијание на многу специфични настани - прием на апликации и нивно сервисирање. Редоследот на настани што се случуваат еден по друг во случајни времиња го формира таканаречениот тек на настани. Примери за такви текови во комерцијалните активности се текови од различна природа - стоки, пари, документи, транспорт, клиенти, купувачи, телефонски повици, преговори. Однесувањето на системот обично се одредува не од еден, туку од неколку текови на настани. На пример, услугите на клиентите во продавницата се одредуваат според протокот на клиенти и протокот на услуга; во овие текови, моментите кога се појавуваат клиентите, времето на чекање во ред и времето поминато за опслужување на секој клиент се случајни.

Во овој случај, главната карактеристична карактеристика на тековите е веројатната распределба на времето помеѓу соседните настани. Постојат различни струи кои се разликуваат по нивните карактеристики.

Текот на настани се нарекува редовен ако настаните следат еден по друг во однапред одредени и строго дефинирани интервали. Овој тек е идеален и многу ретко се среќава во пракса. Почесто има неправилни текови кои немаат својство на правилност.

Протокот на настани се нарекува стационарен ако веројатноста за кој било број настани да паднат во временски интервал зависи само од должината на овој интервал и не зависи од тоа колку далеку се наоѓа овој интервал од почетокот на времето. Стационарноста на протокот значи дека неговите веројатни карактеристики се независни од времето; особено, интензитетот на таквиот тек е просечниот број на настани по единица време и останува константна вредност. Во пракса, тековите обично може да се сметаат за стационарни само во одреден ограничен временски период. Вообичаено, протокот на клиенти, на пример, во продавница, значително се менува во текот на работниот ден. Сепак, можно е да се идентификуваат одредени временски интервали во кои овој проток може да се смета како стационарен, со постојан интензитет.

Тек на настани се нарекува проток без последици ако бројот на настани што спаѓаат во еден од произволно избраните временски интервали не зависи од бројот на настани што спаѓаат во друг, исто така произволно избран интервал, под услов овие интервали да не се сечат еден со друг. . Во тек без последици, настаните се случуваат во последователни времиња независно еден од друг. На пример, протокот на клиенти кои влегуваат во продавница може да се смета за проток без последици бидејќи причините што го одредиле доаѓањето на секој од нив не се поврзани со слични причини за други клиенти.

Текот на настани се нарекува обичен ако веројатноста два или повеќе настани да се случат одеднаш во многу краток временски период е занемарлива во споредба со веројатноста да се случи само еден настан. Во обичен тек, настаните се случуваат еден по еден, наместо два или повеќе пати. Ако протокот истовремено има својства на стационарност, обичност и отсуство на последици, тогаш таквиот тек се нарекува наједноставен (или Поасонов) тек на настани. Математичкиот опис на влијанието на таквиот тек врз системите се покажува како наједноставен. Затоа, особено, наједноставниот проток игра посебна улога меѓу другите постоечки текови.

Да разгледаме одреден временски интервал t на временската оска. Да претпоставиме дека веројатноста случаен настан да падне во овој интервал е p, а вкупниот број на можни настани е n. Во присуство на својството на обичниот тек на настани, веројатноста p треба да биде доволно мала вредност. а јас би требало да сум доволно голем број, бидејќи се разгледуваат масовни појави. Под овие услови, за да се пресмета веројатноста одреден број настани m да се случат во временски период t, можете да ја користите формулата Поасон:

P m, n = a m_e -a; (m=0,n),

каде што вредноста a = pr е просечниот број на настани што спаѓаат во временски период t, кој може да се одреди преку интензитетот на текот на настаните X на следниов начин: a= λ τ

Димензијата на интензитетот на протокот X е просечниот број на настани по единица време. Постои следнава врска помеѓу n и λ, p и τ:

каде што t е целиот временски период во кој се разгледува дејството на текот на настаните.

Неопходно е да се одреди распределбата на временскиот интервал Т помеѓу настаните во таков тек. Бидејќи ова е случајна променлива, ајде да ја најдеме нејзината дистрибутивна функција. Како што е познато од теоријата на веројатност, кумулативната дистрибутивна функција F(t) е веројатноста вредноста T да биде помала од времето t.

Според условот, ниту еден настан не треба да се случи во времето Т, а најмалку еден настан треба да се појави во временскиот интервал t. Оваа веројатност се пресметува со користење на веројатноста за спротивен настан во временскиот интервал (0; t), каде што не се случил настан, т.е. m= 0, тогаш

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

За мали ∆t, можно е да се добие приближна формула добиена со замена на функцијата e - Xt, со само два члена од проширувањето во моќи на ∆t, тогаш веројатноста барем еден настан да се случи во мал временски период ∆t е

П(Т<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Ја добиваме густината на распределбата на временскиот интервал помеѓу два последователни настани со диференцирање на F(t) во однос на времето,

f(t)= λe- λ t ,t≥0

Користејќи ја добиената функција за густина на дистрибуција, можете да ги добиете нумеричките карактеристики на случајната променлива Т: математичко очекување M (T), варијанса D (T) и стандардна девијација σ (T).

M(T)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/λ2; σ(T)=1/ λ .

Од тука можеме да го извлечеме следниот заклучок: просечниот временски интервал Т помеѓу кои било два соседни настани во наједноставниот тек е во просек еднаков на 1/λ, а неговата стандардна девијација е исто така еднаква на 1/λ, λ каде што е интензитетот на протокот, т.е. просечниот број на настани што се случуваат по единица време. Законот за распределба на случајна променлива со такви својства M(T) = T се нарекува експоненцијален (или експоненцијален), а вредноста λ е параметар на овој експоненцијален закон. Така, за наједноставниот тек, математичкото очекување на временскиот интервал помеѓу соседните настани е еднакво на неговото стандардно отстапување. Во овој случај, веројатноста дека бројот на примени барања за услуга во временски период t е еднаков на k е определена со законот на Поасон:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t,

каде што λ е интензитетот на протокот на барања, просечниот број на настани во QS по единица време, на пример [лице/мин.; триење/час; проверки/час; документ/ден; кг/час; т./година].

За таков тек на барања, времето помеѓу две соседни барања T се распределува експоненцијално со густината на веројатноста:

ƒ(t)= λe - λ t .

Случајното време на чекање во редот за почеток на услугата може да се смета и за експоненцијално распределено:

ƒ (t och)=V*e - v t och,

каде што v е интензитетот на протокот на премин во редица, определен од просечниот број на апликации што минуваат за услуга по единица време:

каде T och е просечното време на чекање за услуга во редот.

Излезниот тек на барања е поврзан со сервисниот тек во каналот, каде што времетраењето на услугата t obs е исто така случајна променлива и во многу случаи се покорува на законот за експоненцијална дистрибуција со густина на веројатност:

ƒ(t obs)=µ*e µ t obs,

каде µ е интензитетот на сервисниот тек, т.е. просечен број на услужени барања по единица време:

μ=1/ t obs [лице/мин; триење/час; проверки/час; документ/ден; кг/час; т./година],

каде t obs е просечното време за сервисирање барања.

Важна карактеристика на QS, комбинирајќи ги индикаторите λ и μ, е интензитетот на оптоварување: ρ= λ/µ, што го покажува степенот на координација на влезните и излезните текови на барањата на сервисниот канал и ја одредува стабилноста на редот систем.

Покрај концептот на наједноставниот тек на настани, често е неопходно да се користат концептите на струи од други видови. Тек на настани се нарекува Palm stream кога во овој поток временските интервали помеѓу последователните настани T 1, T 2, ..., T k ..., T n се независни, идентично распределени, случајни променливи, но за разлика од наједноставните поток, тие не се нужно распределени според експоненцијалниот закон. Наједноставниот тек е посебен случај на протокот на палма.

Важен посебен случај на Палмовиот тек е таканаречениот проток на Ерланг.

Овој проток се добива со „разредување“ на наједноставниот проток. Ова „разредување“ се врши со избирање настани од наједноставниот тек според одредено правило.

На пример, откако се согласивме да го земеме предвид само секој втор настан кој го формира наједноставниот тек, добиваме тек на Ерланг од втор ред. Ако го земеме само секој трет настан, тогаш се формира ерланг тек од трет ред итн.

Можно е да се добијат Erlang потоци од кој било kth ред. Очигледно, наједноставниот тек е Ерланг проток од прв ред.

Секое проучување на системот на редици започнува со проучување на она што треба да се сервира, според тоа, со проучување на дојдовниот тек на апликации и неговите карактеристики.

Бидејќи временските моменти t и временските интервали на прием на барања τ, потоа времетраењето на сервисните операции t obs и времето на чекање во редот t och, како и должината на редот l och се случајни променливи, тогаш, според тоа, карактеристиките на состојбата на QS се од веројатна природа и за да се опишат потребно е да се применат методи и модели на теоријата на редици.

Карактеристиките наведени погоре k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k се најчести за QS, кои обично се само некој дел од целната функција, бидејќи исто така е неопходно да се земат предвид показателите за комерцијалната активност.

1.3 Графикони на состојби на QS

Кога се анализираат случајни процеси со дискретни состојби и континуирано време, погодно е да се користи варијанта на шематски приказ на можните состојби на CMO (сл. 6.2.1) во форма на график со означување на неговите можни фиксни состојби . Состојбите на QS обично се прикажуваат или со правоаголници или кругови, а можните насоки на премини од една во друга состојба се ориентирани со стрелки што ги поврзуваат овие состојби. На пример, означениот графикон на состојбата на едноканален систем на случаен сервисен процес на киоск е прикажан на сл. 1.3.

Ориз. 1.3. Графикот на состојбата со ознака QS

Системот може да биде во една од трите состојби: S 0 - каналот е слободен, неактивен, S 1 - каналот е зафатен со сервисирање, S 2 - каналот е зафатен со сервисирање и едно барање е во редот. Преминот на системот од состојба S 0 во S l се случува под влијание на едноставен тек на барања со интензитет λ 01 , а од состојба S l во состојба S 0 системот се пренесува со сервисен тек со интензитет λ 01 . Графикот на состојбата на сервисниот систем со интензитетите на протокот наведени на стрелките се нарекува означен. Бидејќи присуството на систем во една или друга состојба е веројатност, веројатноста: p i (t) системот да биде во состојба S i во времето t се нарекува веројатност на i-тата состојба на QS и се одредува со бројот на дојдовни барања k за услуга.

Случајниот процес што се случува во системот е дека во случајни времиња t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n системот се наоѓа во една или друга претходно позната дискретна состојба последователно. Како ова. Случајна низа на настани се нарекува Марков синџир ако за секој чекор веројатноста за премин од една состојба S t во која било друга Sj не зависи од тоа кога и како системот преминал во состојба S t. Марков синџир е опишан користејќи ја веројатноста на состојбите и тие формираат целосна група на настани, па нивниот збир е еднаков на еден. Ако веројатноста за транзиција не зависи од бројот k, тогаш синџирот Марков се нарекува хомогена. Знаејќи ја почетната состојба на услужниот систем, може да се најдат веројатностите на состојбите за која било вредност на k-бројот на примени барања за услуга.

1.4 Случајни процеси

Преминот на QS од една состојба во друга се случува случајно и е случаен процес. Работењето на QS е случаен процес со дискретни состојби, бидејќи неговите можни состојби во времето можат однапред да се наведат. Згора на тоа, преминот од една во друга состојба се случува нагло, во случајни времиња, поради што се нарекува процес со континуирано време. Така, работата на QS е случаен процес со дискретни состојби и континуиран; време. На пример, во процесот на сервисирање на клиентите на големо во компанијата Кристал во Москва, сите можни состојби на протозои може однапред да се забележат. ЦМО, кои се вклучени во целиот циклус на комерцијални услуги од моментот на склучување договор за набавка на алкохолни пијалоци, плаќање, документација, пуштање и прием на производи, дополнително утовар и отстранување на готови производи од магацин.

Од многуте варијанти на случајни процеси, најраспространети во комерцијалната активност се оние процеси за кои во секое време карактеристиките на процесот во иднина зависат само од неговата состојба во сегашниот момент и не зависат од праисторијата - од минатото. . На пример, можноста за примање алкохолни производи од фабриката Кристал зависи од неговата достапност во магацинот на готовиот производ, т.е. неговата состојба во моментот, и не зависи од тоа кога и како другите купувачи ги добивале и ги одзеле овие производи во минатото.

Ваквите случајни процеси се нарекуваат процеси без последици, или Марков процеси, во кои, со оглед на фиксната сегашност, идната состојба на QS не зависи од минатото. Случаен процес што се јавува во системот се нарекува Марков случаен процес, или „процес без последици“, ако го има следново својство: за секој момент од времето t 0, веројатноста за која било состојба t > t 0 на системот Si , - во иднина (t>t Q ) зависи само од неговата состојба во сегашноста (на t = t 0) и не зависи од тоа кога и како системот дошол до оваа состојба, т.е. поради тоа како се развиваше процесот во минатото.

Марков случајните процеси се поделени во две класи: процеси со дискретни и континуирани состојби. Процес со дискретни состојби се јавува во системи кои имаат само некои фиксни состојби, меѓу кои се можни премини слични на скокови во одредени, претходно непознати моменти во времето. Да разгледаме пример за процес со дискретни состојби. Во канцеларијата на компанијата има два телефони. Следниве состојби се можни за овој сервисен систем: С-телефоните се бесплатни; S l - еден од телефоните е зафатен; S 2 - двата телефони се зафатени.

Процесот што се случува во овој систем е дека системот по случаен избор скока од една дискретна состојба во друга.

Процесите со континуирани состојби се карактеризираат со континуиран непречен премин од една во друга состојба. Овие процеси се потипични за технички уреди отколку за економски објекти, каде што обично можеме само приближно да зборуваме за континуитет на процесот (на пример, континуирана потрошувачка на залиха на стоки), додека всушност процесот секогаш има дискретна природа . Затоа, понатаму ќе ги разгледуваме само процесите со дискретни состојби.

Марков случајните процеси со дискретни состојби се поделени на процеси со дискретно време и процеси со континуирано време. Во првиот случај, премините од една во друга состојба се случуваат само во одредени, однапред фиксирани моменти во времето, додека во интервалите помеѓу овие моменти системот ја одржува својата состојба. Во вториот случај, транзицијата на системот од состојба во состојба може да се случи во секој случаен момент во времето.

Во пракса, процесите со континуирано време се многу почести, бидејќи транзициите на системот од една состојба во друга обично се случуваат не во некои фиксни моменти во времето, туку во случајни моменти во времето.

За да се опишат процесите со континуирано време, се користи модел во форма на таканаречен Марков синџир со дискретни состојби на системот или континуиран Марков синџир.

Поглавје II . Равенки кои ги опишуваат системите за редици

2.1 Колмогоровски равенки

Да разгледаме математички опис на Марков случаен процес со дискретни состојби на системот S o , S l , S 2 (види Сл. 6.2.1) и континуирано време. Сметаме дека сите транзиции на системот на редица од состојба S i во состојба Sj се случуваат под влијание на едноставни текови на настани со интензитети λ ij , а обратната транзиција под влијание на друг тек λ ij ,. Да ја воведеме ознаката pi како веројатност дека во моментот t системот е во состојба S i. За секој момент од времето t, фер е да се запише условот за нормализација - збирот на веројатностите на сите состојби е еднаков на 1:

Σp i (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1

Дозволете ни да го анализираме системот во времето t, одредувајќи мал временски прираст Δt и да ја најдеме веројатноста p 1 (t+ Δt) дека системот во времето (t+ Δt) ќе биде во состојба S 1, што може да се постигне на различни начини:

а) системот во моментот t со веројатност p 1 (t) бил во состојба S 1 и за мал прираст на време Δt никогаш не преминал во друга соседна состојба - ниту S 0 ниту bS 2 . Системот може да се отстрани од состојбата S 1 со вкупниот наједноставен проток со интензитет (λ 10 + λ 12), бидејќи суперпозицијата на наједноставните текови е и наједноставниот проток. Врз основа на ова, веројатноста за напуштање на состојбата S 1 за краток временски период Δt е приближно еднаква на (λ 10 + λ 12)* Δt. Тогаш веројатноста да не се напушти оваа состојба е еднаква на .Во согласност со ова, веројатноста дека системот ќе остане во состојба Si врз основа на теоремата за множење на веројатноста е еднаква на:

стр 1 (t);

б) системот бил во соседната состојба S o и за кратко време Δt преминал во состојба S o Преминот на системот се случува под влијание на протокот λ 01 со веројатност приближно еднаква на λ 01 Δt

Веројатноста дека системот ќе биде во состојба S 1 во оваа верзија е еднаква на p o (t)λ 01 Δt;

в) системот бил во состојба S 2 и во текот на времето Δt преминал во состојба S 1 под влијание на проток со интензитет λ 21 со веројатност приближно еднаква на λ 21 Δt. Веројатноста дека системот ќе биде во состојба S 1 е еднаква на p 2 (t) λ 21 Δt.

Применувајќи ја теоремата за собирање на веројатност за овие опции, го добиваме изразот:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

што може да се напише поинаку:

p 2 (t+Δt)-p 1 (t)/ Δt= p o (t)λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12).

Поминувајќи до границата на Δt-> 0, приближните еднаквости ќе се претворат во точни, а потоа го добиваме изводот од прв ред

dp 2 /dt= p 0 λ 01 + p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12) ,

што е диференцијална равенка.

Спроведувајќи го расудувањето на сличен начин за сите други состојби на системот, добиваме систем на диференцијални равенки, кои се нарекуваат равенки на А.Н. Колмогоров:

dp 0 /dt= p 1 λ 10,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 + p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12) ,

dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21.

Постојат општи правила за составување на равенките на Колмогоров.

Равенките на Колмогоров овозможуваат да се пресметаат сите веројатности на состојбите на QS S i во функција на времето p i (t). Во теоријата на случајни процеси, се покажува дека ако бројот на состојби на системот е конечен, и од секоја од нив е можно да се оди во која било друга состојба, тогаш постојат ограничувачки (конечни) веројатности на состојби кои укажуваат на просечна релативна вредност на времето кога системот останува во оваа состојба. Ако маргиналната веројатност на состојбата S 0 е еднаква на p 0 = 0,2, тогаш, според тоа, во просек 20% од времето, или 1/5 од работното време, системот е во состојба S o. На пример, во отсуство на барања за услуга k = 0, p 0 = 0,2,; Затоа, во просек, системот е во состојба S 2 часа дневно и е неактивен ако работниот ден е 10 часа.

Бидејќи ограничувачките веројатности на системот се константни, заменувајќи ги соодветните деривати во равенките на Колмогоров со нула вредности, добиваме систем од линеарни алгебарски равенки кои го опишуваат стационарниот режим на QS. Ваквиот систем на равенки се составува според означениот график на состојбите на QS според следните правила: лево од знакот за еднаквост во равенката е максималната веројатност p i на разгледуваната состојба Si помножена со вкупниот интензитет на сите протоци што излегуваат. (појдовни стрелки) на дадената состојба Si системот, а десно од знакот за еднаквост - збирот на производите на интензитетот на сите текови кои влегуваат (влезни стрелки) во состојбата на системот според веројатноста тие состојби од од кои потекнуваат овие текови. За да се реши таков систем, неопходно е да се додаде уште една равенка што ја одредува состојбата на нормализација, бидејќи збирот на веројатностите на сите состојби на QS е еднаков на 1: n

На пример, за QS што има означен график од три состојби S o , S 1 , S 2 Сл. 6.2.1, системот на равенки Колмогоров, составен врз основа на наведеното правило, ја има следната форма:

За состојбата S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

За состојбата S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

За состојбата S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p 0 + p 1 + p 2 = 1

dp 4 (t)/dt=λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t) ,

p 1 (t)+ p 2 (t)+ p 3 (t)+ p 4 (t)=1.

Мораме да додадеме почетни услови на овие равенки. На пример, ако на t = 0 системот S е во состојба S 1, тогаш почетните услови може да се напишат на следниов начин:

p 1 (0) = 1, p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0 .

Транзициите помеѓу состојбите на QS се случуваат под влијание на приемот на апликациите и нивното сервисирање. Веројатноста за транзиција ако текот на настаните е наједноставен се определува со веројатноста настанот да се случи во времето Δt, т.е. вредноста на елементот на транзициска веројатност λ ij Δt, каде што λ ij е интензитетот на текот на настаните што го пренесуваат системот од состојба i во состојба i (по соодветната стрелка на графикот на состојбата).

Ако сите текови на настани што го пренесуваат системот од една во друга состојба се наједноставни, тогаш процесот што се случува во системот ќе биде Марков случаен процес, т.е. процес без последици. Во овој случај, однесувањето на системот е прилично едноставно, одредено ако е познат интензитетот на сите овие наједноставни текови на настани. На пример, ако во еден систем се појави Марков случаен процес со континуирано време, тогаш со пишување на систем од равенки на Колмогоров за веројатности на состојби и интегрирање на овој систем под дадени почетни услови, ги добиваме сите веројатности на состојби во функција на времето:

p i (t), p 2 (t),…., p n (t) .

Во многу случаи во практиката излегува дека состојбите веројатности во функција на времето се однесуваат на таков начин што постои

lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n); t→∞

без оглед на видот на почетните услови. Во овој случај, тие велат дека постојат ограничувачки веројатности на состојбите на системот на t->∞ и е воспоставен одреден ограничувачки стационарен режим во системот. Во овој случај, системот случајно ги менува своите состојби, но секоја од овие состојби се јавува со одредена константна веројатност, одредена од просечното време кога системот останува во секоја од состојбите.

Можно е да се пресметаат ограничувачките веројатности на состојбата p i ако сите изводи во системот се еднакви на 0, бидејќи во равенките на Колмогоров на t-> ∞ исчезнува временската зависност. Тогаш системот на диференцијални равенки се претвора во систем на Обични линеарни алгебарски равенки, кој заедно со условот за нормализација ни овозможува да ги пресметаме сите ограничувачки веројатности на состојбите.

2.2 Процеси на „раѓање - смрт“

Меѓу хомогените Маркови процеси, постои класа на случајни процеси кои се широко користени во конструирањето математички модели во областа на демографијата, биологијата, медицината (епидемиологија), економијата и комерцијалната активност. Тоа се таканаречените процеси „раѓање-смрт“, Марков ги обработува со стохастички графикони на состојби од следната форма:

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Ориз. 2.1 Обележан графикон на процесот „раѓање-смрт“.

Овој графикон ја репродуцира добро познатата биолошка интерпретација: вредноста λ k ја одразува стапката на раѓање на нов претставник на одредена популација, на пример, зајаци, а моменталниот волумен на населението е еднаков на k; вредноста μ е стапка на смртност (продажба) на еден претставник од оваа популација ако моменталниот волумен на населението е еднаков на k. Особено, популацијата може да биде неограничена (бројот n на состојби на Марков процес е бесконечен, но може да се изброи), интензитетот λ може да биде еднаков на нула (популација без можност за повторно раѓање), на пример, кога зајаците престануваат да се размножуваат.

За Марков процес „раѓање-смрт“ опишан со стохастичкиот график прикажан на сл. 2.1, ја наоѓаме конечната дистрибуција. Користејќи ги правилата за составување равенки за конечен број n на ограничувачки веројатности на состојбата на системот S 1, S 2, S 3,… S k,…, S n, ќе ги составиме соодветните равенки за секоја состојба:

за состојбата S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;

за состојбата S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2, која, земајќи ја предвид претходната равенка за состојбата S 0, може да се трансформира во форма λ 1 p 1 = μ 1 стр 2.

Слично, можете да креирате равенки за преостанатите состојби на системот S 2, S 3,..., S k,..., S n. Како резултат, го добиваме следниот систем на равенки:

Со решавање на овој систем на равенки, може да се добијат изрази кои ги одредуваат конечните состојби на системот на редици:

Треба да се напомене дека формулите за определување на конечните веројатности на состојбите p 1, p 2, p 3,..., p n вклучуваат термини кои се дел од збирот на изразот што го одредува p 0. Броителите на овие поими ги содржат производите од сите интензитети што стојат на стрелките на графикот на состојби што водат од лево кон десно кон разгледуваната состојба S k, а именители се производите на сите интензитети што стојат на стрелките што водат од десно кон лево кон разгледуваната состојба S k, т.е. μ 0, μ 1, μ 2, μ 3,... μ k. Во овој поглед, да ги напишеме овие модели во покомпактна форма:

k=1,n

2.3 Економска и математичка формулација на задачите на редица

Правилната или најуспешната економска и математичка формулација на проблемот во голема мера ја одредува корисноста на препораките за подобрување на системите за редици во комерцијалните активности.

Во овој поглед, потребно е внимателно да се следи процесот во системот, да се пребаруваат и идентификуваат значајните врски, да се формулира проблем, да се истакне целта, да се утврдат индикаторите и да се истакнат економските критериуми за оценување на работата на QS. Во овој случај, најопшт, интегрален показател може да бидат трошоците, од една страна, на QS на комерцијалната активност како услужен систем, а од друга страна, трошоците за апликациите, кои можат да имаат различна природа во нивната физичка содржина.

К. Маркс на крајот гледаше на зголемувањето на ефикасноста во кое било поле на активност како заштеда на време и го виде ова како еден од најважните економски закони. Тој напиша дека заштедата на време, како и планираната распределба на работното време низ различните гранки на производството, останува првиот економски закон заснован на колективното производство. Овој закон се манифестира во сите сфери на општественото делување.

За стоките, вклучително и средствата кои влегуваат во комерцијалната сфера, критериумот за ефикасност е поврзан со времето и брзината на прометот на стоките и го одредува интензитетот на протокот на средства кон банката. Времето и брзината на оптек, како економски показатели за комерцијалната активност, ја карактеризираат ефикасноста на користењето на средствата вложени во залихите. Прометот на залихи ја одразува просечната брзина на продажба на просечниот залихи. Показателите за прометот и нивото на залихи се тесно поврзани со добро познатите модели. Така, можно е да се следи и воспостави врската помеѓу овие и другите показатели на комерцијалната активност со временските карактеристики.

Следствено, оперативната ефикасност на комерцијалното претпријатие или организација се состои од вкупното време поминато за извршување на поединечни сервисни операции, додека за населението, времето поминато на патување, посета на продавница, кантина, кафе, ресторан, чекање да започне услугата, запознавање со менито, избор на производи, пресметка итн. Спроведените студии за структурата на времето поминато од населението укажуваат дека значителен дел од него се троши нерационално. Забележете дека комерцијалната активност на крајот е насочена кон задоволување на човечките потреби. Затоа, напорите за моделирање на QS мора да вклучуваат временска анализа за секоја елементарна операција за одржување. Користејќи соодветни методи, треба да се креираат модели за поврзување на QS индикатори. Ова ја налага потребата да се поврзат најопштите и најпознатите економски показатели, како што се прометот, профитот, трошоците за дистрибуција, профитабилноста и други, во економските и математичките модели со дополнителна нова група на индикатори утврдени со спецификите на услужните системи и воведени според спецификите на теоријата на редици.

На пример, карактеристиките на QS индикаторите со дефекти се: време на чекање за апликации во редот T och =0, бидејќи по својата природа во такви системи постоењето на редица е невозможно, тогаш L och =0 и, според тоа, веројатноста на неговото формирање P och =0. Врз основа на бројот на барања k ќе се определи режимот на работа на системот и неговата состојба: со k=0 – канали во мирување, со 1 n – одржување и дефект. Показателите за таквите QS се веројатноста за одбивање на услугата P отпад, веројатноста за услуга P obs, просечното време на застој на каналот t pr, просечниот број на зафатени n h и слободни канали n st, просечната услуга t obs, апсолутна пропусната моќ А.

За QS со неограничено чекање, карактеристично е дека веројатноста за сервисирање на барање е P obs = 1, бидејќи должината на редот и времето на чекање за почеток на услугата не се ограничени, т.е. формално L och →∞ и T och →∞. Во системите се можни следните режими на работа: со k=0 се забележува застој на сервисните канали, со 1 n – услуга и редица. Индикатори за таквата ефикасност на таквите QS се просечниот број на апликации во редот L ох, просечниот број на апликации во системот k, просечното време на престој на апликацијата во системот T cm, апсолутната пропусната моќ А.

Во QS со чекање со ограничување на должината на редот, ако бројот на апликации во системот е k = 0, тогаш има прекин на каналите, со 1 n+m - услуга, редица и одбивање додека се чека услуга. Индикатори за ефективноста на таквите QS се веројатноста за одбивање на услугата P одбие - веројатност за услуга P obs, просечниот број на апликации во редот L och, просечниот број на апликации во системот L cm, просечното време на престој на апликација во системот T cm, апсолутната пропусната моќ А.

Така, листата на карактеристики на системите за редици може да се претстави на следниов начин: просечно време на услуга – t obs; просечно време на чекање во редица – T och; просечен престој во ЗМО – Т смо; просечна должина на редот - L och; просечен број на апликации во SMO- L smo; број на сервисни канали – n; интензитет на влезниот тек на апликации – λ; сервисен интензитет – μ; интензитет на оптоварување – ρ; фактор на оптоварување – α; релативна пропусност – Q; апсолутна пропусност – A; удел на застој во QS – P 0 ; удел на услужени апликации – R obs; удел на изгубени барања – P отворено, просечен број на зафатени канали – n з; просечен број на слободни канали - n St; фактор на оптоварување на каналот – Кз; просечно застој на каналите - t pr.

Треба да се напомене дека понекогаш е доволно да се користат до десет клучни индикатори за да се идентификуваат слабостите и да се развијат препораки за подобрување на QS.

Ова е често поврзано со решавање на прашања од координиран работен синџир или комплети QS.

На пример, во комерцијалните активности потребно е да се земат предвид и економските показатели на CMO: вкупни трошоци - C; трошоци за циркулација - C io, трошоци за потрошувачка - C ip, трошоци за сервисирање на една апликација - C 1, загуби поврзани со заминување на апликација - C y1, оперативни трошоци на каналот - C k, трошоци за прекин на каналот - C pr, капитални инвестиции - C cap, намалени годишни трошоци – C pr, тековни трошоци – C tek, CMO приход по единица време – D 1

Во процесот на поставување задачи, неопходно е да се откријат меѓусебните односи на индикаторите QS, кои според нивната основна припадност можат да се поделат во две групи: првата е поврзана со трошоците за ракување со ИО, кои се утврдени со бројот на канали окупирани од сервисирањето, трошоците за одржување на QS, интензитетот на услугата, степенот на оптоварување на каналот, нивната ефикасност во користењето, капацитетот на QS итн.; втората група индикатори се определува од трошоците на самите SIP апликации, добиени за услуга, кои го формираат дојдовниот тек, ја чувствуваат ефективноста на услугата и се поврзани со такви индикатори како должината на редот, времето на чекање за услугата, веројатноста за одбивање на услугата, времето на останување на апликацијата во сервисниот систем итн.

Овие групи индикатори се контрадикторни во смисла дека подобрувањето на индикаторите на една група, на пример, намалувањето на должината на редот или времето на чекање во ред со зголемување на бројот на сервисни канали (келнери, готвачи, носачи, касиери), е поврзано. со влошување на индикаторите на групата, бидејќи тоа може да доведе до зголемено застој на сервисните канали, трошоци за нивно одржување итн. Во врска со оваа формализирање на задачите на услугата, сосема е природно да се стремиме да изградиме QS на таков начин што ќе воспостави разумен компромис помеѓу извршувањето на самите барања и целосното користење на можностите на системот. За таа цел, неопходно е да се избере генерализиран, интегрален индикатор за ефективноста на QS, кој истовремено ги вклучува тврдењата и можностите на двете групи. Како таков показател, може да се избере критериум за економска ефикасност, вклучувајќи ги и циркулационите трошоци C io и трошоците за апликациите C ip, кои ќе имаат оптимална вредност со минимум вкупни трошоци C. Врз основа на тоа, објективната функција на проблемот може да се напише на следниов начин:

C= (C io + C ip) →мин

Бидејќи трошоците за циркулација ги вклучуваат трошоците поврзани со работата на QS - C ex и времето на прекин на сервисните канали - C pr, а трошоците за апликации вклучуваат загуби поврзани со заминување на несервисирани апликации - C nz, и со останување во редот - C ох, тогаш целната функција може да се преработи земајќи ги предвид овие индикатори на овој начин:

C=((C pr n st +C ex n h)+C och R obs λ(T och +t obs)+C од R отворено λ)→min.

Во зависност од поставената задача, променливи, односно контролирани, индикаторите можат да бидат: број на сервисни канали, организација на сервисни канали (паралелни, последователни, мешани), дисциплина на редот, приоритет на барања за сервисирање, взаемна помош помеѓу каналите итн. индикаторите во задачата се појавуваат како неуправувани, кои обично се првични податоци. Како критериум за ефикасност во целната функција, може да има и промет, профит или приход, на пример, профитабилност, тогаш оптималните вредности на контролираните индикатори на QS очигледно се наоѓаат веќе при максимизирање, како во претходната верзија. .

Во некои случаи, треба да користите друга опција за пишување на функцијата за цел:

C=(C ex n z +C pr (n-n z)+C отворено *P отворено *λ+C syst * n z )→min

На пример, нивото на култура на услуги на клиентите во претпријатијата може да се избере како општ критериум, а потоа целната функција може да се претстави со следниов модел:

K ob =[(Z pu *K y)+(Z pv *K v)+(Z pv *K d)+(Z pz *K z)+(Z заедно *K 0)+(Z kt *K kt )]*К mp,

каде што Zpu е значењето на индикаторот за одржливост на палетата на производи;

K y - коефициент на стабилност на палетата на производи;

Z pv – значењето на индикаторот за воведување на прогресивни методи на продажба на стоки;

К во – коефициент на воведување на прогресивни методи на продажба на стоки;

Zp – значење на индикаторот за дополнителна услуга;

K d - коефициент на дополнителна услуга;

Z pz - значењето на индикаторот за комплетирање на набавката;

Kz - стапка на завршување на купувањето;

3 - значењето на индикаторот за времето поминато на чекање за услуга;

K about – индикатор за времето поминато на чекање за услуга;

Z kt – значењето на индикаторот за квалитетот на работата на тимот;

Ккт – коефициент на квалитет на работата на тимот;

KMP е показател за култура на услуги според мислењето на клиентите;

За да го анализирате QS, можете да изберете други критериуми за проценка на ефективноста на QS. На пример, како таков критериум за системи со дефекти, може да се избере веројатноста за неуспех P неуспех, чија вредност не би ја надминала однапред одредената вредност. На пример, барањето R е отворено<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

По конструирањето на целната функција, неопходно е да се утврдат условите за решавање на проблемот, да се најдат ограничувања, да се постават почетните вредности на индикаторите, да се идентификуваат неконтролирани индикатори, да се изгради или да се избере збир на модели за односот на сите индикатори за анализираниот тип. на QS, со цел на крајот да се најдат оптималните вредности на контролираните индикатори, на пример, бројот на готвачи, келнери, касиери, натоварувачи, волумени на простор за складирање итн.

Поглавје III . Модели на системи за редици

3.1 Едноканален QS со одбивање на услуга

Дозволете ни да анализираме едноставен едноканален QS со сервисни неуспеси, кој прима Поасонов проток на барања со интензитет λ, а сервисирањето се случува под влијание на проток на Поасон со интензитет μ.

Операцијата на едноканален QS n=1 може да се претстави во форма на означен графикон за состојби (3.1).

Премините на QS од една состојба S 0 во друга S 1 се случуваат под влијание на влезниот тек на барања со интензитет λ, а обратната транзиција се случува под влијание на сервисниот тек со интензитет μ.

S 0 – сервисниот канал е бесплатен; S 1 - каналот е зафатен со услуга;

Ориз. 3.1 Обележан графикон на состојба на едноканален QS

Дозволете ни да го запишеме системот на Колмогоровски диференцијални равенки за веројатности на состојби според правилата наведени погоре:

Каде ја добиваме диференцијалната равенка за одредување на веројатноста p 0 (t) на состојбата S 0:

Оваа равенка може да се реши под почетни услови под претпоставка дека системот во моментот t=0 бил во состојба S 0 , тогаш p 0 (0)=1, p 1 (0)=0.

Во овој случај, решението за диференцијално израмнување ни овозможува да ја одредиме веројатноста дека каналот е слободен и не е зафатен од услугата:

Тогаш лесно е да се добие израз за веројатноста за одредување на веројатноста за зафатеност на каналот:

Веројатноста p 0 (t) се намалува со текот на времето и во границата додека t→∞ се стреми кон вредноста

и веројатноста p 1 (t) во исто време се зголемува од 0, тежнеејќи во границата како t→∞ до вредноста

Овие граници на веројатност може да се добијат директно од равенките на Колмогоров, обезбедени

Функциите p 0 (t) и p 1 (t) го одредуваат минливиот процес во едноканален QS и го опишуваат процесот на експоненцијален пристап на QS до неговата гранична состојба со временска константа карактеристика на системот што се разгледува.

Со доволна точност за вежбање, можеме да претпоставиме дека процесот на транзиција во QS завршува во време еднакво на 3τ.

Веројатноста p 0 (t) го одредува релативниот капацитет на QS, кој го одредува процентот на сервисирани апликации во однос на вкупниот број на дојдовни апликации по единица време.

Навистина, p 0 (t) е веројатноста дека барањето што ќе пристигне во времето t ќе биде прифатено за услуга. Севкупно, во просек пристигнуваат λ апликации по единица време, а λр 0 апликации се сервисираат.

Тогаш уделот на сервисираните апликации во однос на целиот тек на апликации ќе се определи според вредноста

Во границата на t→∞, практично веќе на t>3τ вредноста на релативната пропусност ќе биде еднаква на

Апсолутната пропусност, која го одредува бројот на услужени барања по единица време во лимитот на t→∞, е еднаков на:

Според тоа, процентот на одбиени апликации е, под истите ограничувачки услови:

а вкупниот број на несервирани пријави е еднаков на

Примери за едноканален QS со одбивање на услуги се: пулт за нарачки во продавница, контролна просторија на претпријатие за моторни транспортери, канцеларија за складирање, канцеларија за управување на трговска компанија, со која комуникацијата се воспоставува по телефон.

3.2 Повеќеканален QS со одбивање на услуга

Во комерцијалните активности, примери на повеќеканален QS се канцелариите на комерцијалните претпријатија со неколку телефонски канали; бесплатна помошна маса за достапност на најевтините автомобили во продавниците за автомобили во Москва има 7 телефонски броеви и, како што е познато, е многу е тешко да се јавите и да побарате помош.

Следствено, продавниците за автомобили ги губат клиентите, можноста да го зголемат бројот на продадени автомобили и приходите од продажба, прометот и профитот.

Туристичките компании кои продаваат туристички пакети имаат два, три, четири или повеќе канали, како што е Express-Line.

Да разгледаме повеќеканален QS со одбивања на услуги на Сл. 3.2, чиј влез е Поасонов тек на барања со интензитет λ.

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Ориз. 3.2. Обележан графикон на состојба на повеќеканален QS со дефекти

Текот на услугата во секој канал има интензитет μ. Врз основа на бројот на QS барања, се одредуваат неговите состојби S k, претставени во форма на означен график:

S 0 - сите канали се бесплатни k=0,

S 1 – само еден канал е окупиран, k=1,

S 2 – само два канали се зафатени, k=2,

S k – k каналите се зафатени,

S n – сите n канали се зафатени, k= n.

Состојбите на повеќеканалниот QS се менуваат нагло во случајни времиња. Преминот од една состојба, на пример S 0 во S 1, се случува под влијание на влезниот тек на барања со интензитет λ, и обратно - под влијание на протокот на барања за сервисирање со интензитет μ. За системот да премине од состојба S k во S k -1, не е важно кој канал се ослободува, затоа протокот на настани што го пренесува QS има интензитет kμ, според тоа, протокот на настани што го пренесува системот од S n до S n -1 има интензитет nμ . Така е формулиран класичниот Ерланг проблем, именуван по данскиот инженер, математичар и основач на теоријата на редици.

Случајниот процес што се случува во QS е посебен случај на процесот „раѓање-смрт“ и е опишан со систем на Ерланг диференцијални равенки, кои овозможуваат да се добијат изрази за ограничувачките веројатности на состојбата на системот што се разгледува, наречени Ерланг формули:

.

Со пресметување на сите веројатности на состојби на n-канален QS со дефекти p 0, p 1, p 2, ..., p k,..., p n, можете да ги најдете карактеристиките на сервисниот систем.

Веројатноста за одбивање на услугата се определува со веројатноста дојдовното барање за услуга да ги пронајде сите n канали зафатени, системот ќе биде во состојба S n:

k=n.

Во системите со дефекти, настаните за неуспех и одржување сочинуваат целосна група на настани, така што

P отворено + P obs = 1

Врз основа на ова, релативната пропусност се одредува со формулата

Q = P obs = 1-P отворено =1-P n

Апсолутниот капацитет на QS може да се определи со формулата

Веројатноста за услуга, или пропорцијата на услужени барања, го одредува релативниот капацитет на QS, кој може да се одреди со помош на друга формула:

Од овој израз можете да го одредите просечниот број на барања под услуга или, што е исто, просечниот број на канали окупирани од услугата

Стапката на зафатеност на каналите по услуга се одредува со односот на просечниот број на зафатени канали со нивниот вкупен број

Веројатноста каналите да бидат окупирани од услугата, која го зема предвид просечното време на зафатеност t зафатено и времето на мирување t pr канали, се одредува на следниов начин:

Од овој израз можете да го одредите просечното време на застој на каналите

Просечното време кога барањето останува во системот во стабилна состојба се одредува со формулата на Литл

T smo = n s /λ.

3.3 Модел на повеќефазен систем за туристичка услуга

Во реалниот живот, системот на туристички услуги изгледа многу покомплициран, па затоа е неопходно детално да се формулира проблемот, земајќи ги предвид барањата и барањата и на клиентите и на туристичките агенции.

За да се зголеми ефикасноста на туристичката агенција, неопходно е да се моделира целокупното однесување на потенцијалниот клиент од почетокот на работењето до неговото завршување. Структурата на врската помеѓу главните системи на редица всушност се состои од различни типови на QS (сл. 3.3).

Пребарај Избор Избор решение

Плаќање лет Егзодус

Ориз. 3.3 Модел на повеќефазен систем за туристичка услуга

Проблемот од гледна точка на масовно опслужување на туристите кои одат на одмор е да се одреди точното место за одмор (турнеја) што е соодветно на барањата на барателот, соодветно на неговите здравствени и финансиски можности и идеи за одмор воопшто. Во тоа може да му помогнат од туристички агенции, чие пребарување најчесто се врши од рекламните пораки на СМО р, потоа откако ќе избере компанија, добива консултации по телефон СМО т, по задоволителен разговор, пристигнува во туристичката агенција. и добива подетални консултации лично со референтот, потоа плаќа за патувањето и добива услуга од авиокомпанијата за летот CMO и на крајот услуга во CMO хотелот 0 0 . Понатамошниот развој на препораки за подобрување на работата на QS на компанијата е поврзан со промена на професионалната содржина на преговорите со клиентите преку телефон. За да го направите ова, потребно е да се продлабочи анализата поврзана со детализирањето на дијалогот помеѓу асистентот и клиентите, бидејќи не секој телефонски разговор води до склучување договор за купување ваучер. Формализацијата на услужната задача укажа на потребата да се формира целосна (неопходна и доволна) листа на карактеристики и нивните точни значења на предметот на комерцијална трансакција. Потоа овие карактеристики се рангираат, на пример со методот на спарени споредби, и се ставаат во дијалогот според степенот на нивната важност, на пример: сезона (зима), месец (јануари), клима (сув), температура на воздухот (+ 25 "C), влажност (40 %), географска локација (поблиску до екваторот), време на лет (до 5 часа), трансфер, земја (Египет), град (Хургада), море (црвено), температура на морската вода ( +23°C), хотелски ранг (4 ѕвезди, работна клима, гаранција за шампон во собата), оддалеченост од море (до 300 m), оддалеченост од продавници (во близина), оддалеченост од дискотеки и други извори на бучава ( подалеку, тишина додека спиете во хотелот), храна (шведска маса - појадок, вечера, фреквенција на менување на менито неделно), хотели (Принцови, Марлин-Ин, Час-палата), екскурзии (Каиро, Луксор, корални острови, нуркање), забавни претстави, спортски игри, цена на турата, начин на плаќање, содржина на осигурување, што да земете со себе, што да купите на лице место, гаранции, казни.

Постои уште еден многу значаен показател кој е корисен за клиентот, кој остроумниот читател е поканет да го воспостави самостојно. Потоа, користејќи го методот на парно споредување на наведените карактеристики x i, можете да формирате n x n споредбена матрица, чии елементи се пополнуваат последователно ред по ред според следново правило:

0, ако карактеристиката е помалку значајна,

и ij = 1, ако карактеристиката е еквивалентна,

2 ако карактеристиката е доминантна.

По ова, се одредуваат вредностите на збировите на проценките за секој индикатор на линијата S i =∑a ij, тежината на секоја карактеристика M i = S i /n 2 и, соодветно, интегралниот критериум, на врз основа на кои е можно да се избере туристичка агенција, турнеја или хотел, според формулата

F = ∑ M i * x i -» макс.

За да се отстранат можните грешки во оваа постапка, на пример, се воведува скала за оценување од 5 точки со градација на карактеристиките B i (x i) според принципот полошо (B i = 1 поен) - подобро (B i = 5 поени). На пример, колку е поскапа турнејата, толку е полоша, колку е поевтина, толку подобро. Врз основа на ова, целната функција ќе има различна форма:

F b = ∑ M i * B i * x i -> макс.

Така, можно е, врз основа на употребата на математички методи и модели, користејќи ги предностите на формализирањето, попрецизно и пообјективно да се формулира изјавата за задачите и значително да се подобри изведбата на QS во комерцијалните активности за постигнување на целите.

3.4 Едноканален QS со ограничена должина на редот

Во комерцијалните активности, QS со чекање (редување) е почест.

Да разгледаме едноставен едноканален QS со ограничена редица, во која бројот на места во редот m е фиксна вредност. Следствено, апликацијата добиена во време кога сите места во редот се зафатени не се прифаќа за услуга, не се приклучува на редот и го напушта системот.

Графикот на овој QS е прикажан на сл. 3.4 и се совпаѓа со графикот на сл. 2.1 што го опишува процесот на „раѓање-смрт“, со таа разлика што во присуство на само еден канал.

μ μμμ... μ

Ориз. 3.4. Обележан графикон на процесот на услуга „раѓање - смрт“; сите интензитети на тековите на услугата се еднакви

Состојбите на QS може да се претстават на следниов начин:

S 0 - сервисниот канал е бесплатен,

S, - каналот за услуги е зафатен, но нема редица,

S 2 - сервисниот канал е зафатен, има едно барање во редот,

S 3 - сервисниот канал е зафатен, има две барања во редот,

S m +1 - сервисниот канал е зафатен, сите m места во редот се зафатени, секое следно барање е одбиено.

За да го опишете случајниот QS процес, можете да ги користите претходно наведените правила и формули. Да напишеме изрази што ги одредуваат ограничувачките веројатности на состојбите:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 =ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p 0 = -1

Изразот за p 0 може да се напише поедноставно во овој случај, користејќи го фактот дека именителот содржи геометриска прогресија во однос на p, а потоа по соодветни трансформации добиваме:

ρ= (1- ρ )

Оваа формула важи за сите p освен 1, но ако p = 1, тогаш p 0 = 1/(t + 2), а сите други веројатности се исто така еднакви на 1/(t + 2). Ако претпоставиме m = 0, тогаш преминуваме од разгледување на едноканален QS со чекање на веќе разгледуваниот едноканален QS со одбивање на услугата. Навистина, изразот за маргиналната веројатност p 0 во случајот m = 0 има форма:

p o = μ / (λ+μ)

И во случај на λ = μ има вредност p 0 = 1 / 2.

Дозволете ни да ги одредиме главните карактеристики на едноканален QS со чекање: релативна и апсолутна пропусност, веројатност за неуспех, како и просечна должина на редот и просечно време на чекање за апликација во редот.

Апликацијата се отфрла ако пристигне во време кога QS е веќе во состојба S m +1 и затоа, сите места во редот се зафатени и еден канал служи. Затоа, веројатноста за неуспех се одредува со веројатноста појава

Состојби S m +1:

P отворено = p m +1 = ρ m +1 * p 0

Релативната пропусност, или уделот на услужените барања што пристигнуваат по единица време, се одредува со изразот

Q = 1- p отворено = 1- ρ m+1 * p 0

апсолутна пропусната моќ е:

Просечниот број на апликации L што стојат во редот за услуга се одредува со математичкото очекување на случајната променлива k - бројот на апликации што стојат во редот

Случајната променлива ги зема само следните целобројни вредности:

1 - има една апликација во редот,

2 - има две апликации во редот,

t-сите места во редот се зафатени

Веројатноста на овие вредности се одредуваат со соодветните веројатности на состојбите, почнувајќи од состојбата S 2. Законот за распределба на дискретна случајна променлива k е прикажан на следниов начин:

Математичкото очекување на оваа случајна променлива е:

L och = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

Во општиот случај, за p ≠1, оваа сума може да се трансформира, користејќи модели на геометриска прогресија, во попогодна форма:

Lp = p 2 * 1- p m * (m-m*p+1)* стр 0

Во специјалниот случај кога p = 1, кога сите веројатности p k се еднакви, можете да го користите изразот за збирот на членовите од серијата броеви

1+2+3+ m = м ( м +1)

Потоа ја добиваме формулата

L’ och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

Користејќи слично размислување и трансформации, може да се покаже дека просечното време на чекање за сервисирање на барање во редица се одредува со формулите на Литл

T och = L och /A (за p ≠ 1) и T 1 och = L’ och /A (за p = 1).

Овој резултат, кога ќе се покаже дека T och ~ 1/ λ, може да изгледа чудно: со зголемување на интензитетот на протокот на апликации, должината на редот изгледа се зголемува и просечното време на чекање се намалува. Сепак, треба да се има на ум дека, прво, вредноста на L och е функција од λ и μ и, второ, QS што се разгледува има ограничена должина на редот од не повеќе од m апликации.

Апликацијата добиена од QS во време кога сите канали се зафатени е одбиена и, според тоа, времето на неговото „чекување“ во QS е нула. Ова води во општиот случај (за p ≠ 1) до намалување на T со зголемување на λ, бидејќи процентот на таквите барања се зголемува со зголемување на λ.

Ако го напуштиме ограничувањето на должината на редот, т.е. тенденција m-> →∞, потоа случаи стр< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =р k *(1 - р)

За доволно голем k, веројатноста p k се стреми кон нула. Затоа, релативната пропусност ќе биде Q = 1, а апсолутната проток ќе биде еднаква на A -λ Q - λ, затоа, сите дојдовни барања се сервисираат, а просечната должина на редот ќе биде еднаква на:

Л ох = стр 2 1-стр

и просечното време на чекање според формулата на Литл

Т ох = Л ох /А

Во границата стр<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Како една од карактеристиките на QS, се користи просечното време T cm од престојот на барањето во QS, вклучувајќи го просечното време поминато во редица и просечното време на услуга. Оваа вредност се пресметува со помош на формулите на Литл: ако должината на редот е ограничена, просечниот број на апликации во редот е еднаков на:

L cm= м +1 ;2

Т смо= Л smo;на p ≠1

Тогаш просечното време кое барањето останува во системот на редици (и во редица и под услуга) е еднакво на:

Т смо= м +1 на p ≠1 2μ

3.5 Едноканален QS со неограничена редица

Во комерцијалните активности, на пример, комерцијалниот директор делува како едноканален CMO со неограничено чекање, бидејќи тој, по правило, е принуден да сервисира барања од различна природа: документи, телефонски разговори, состаноци и разговори со подредени, претставници на даночниот инспекторат, полицијата, стоковните експерти, пазарџиите, добавувачите на производи и да ги решаваат проблемите во стоковно-финансиската сфера со висок степен на финансиска одговорност, што е поврзано со задолжително исполнување на барањата кои понекогаш нетрпеливо го чекаат исполнувањето на нивните барања, и грешките при неправилно сервисирање, по правило, се многу економски значајни.

Истовремено, стоката што се увезува за продажба (услуга), додека е во магацин, формира редица за сервис (продажба).

Должината на редот е бројот на стоки наменети за продажба. Во оваа ситуација, продавачите дејствуваат како канали за сервисирање на стоки. Доколку бројот на стоки наменети за продажба е голем, тогаш во овој случај имаме работа со типичен случај на QS со чекање.

Да го разгледаме наједноставниот едноканален QS со чекање за сервис, кој добива Поасон проток на барања со интензитет λ и интензитет на услуга µ.

Покрај тоа, барањето добиено во време кога каналот е зафатен со сервисирање се става во ред и чека услуга.

Графикот на означената состојба на таков систем е прикажан на сл. 3.5

Бројот на можни состојби е бесконечен:

Каналот е бесплатен, нема редица, ;

Каналот е зафатен со услуга, нема редица, ;

Каналот е зафатен, едно барање во редица, ;

Каналот е зафатен, апликацијата е во редица.

Моделите за проценка на веројатноста на состојбите на QS со неограничена редица може да се добијат од формулите доделени за QS со неограничена редица со преминување на границата како m→∞:

Ориз. 3.5 Ставете график на едноканален QS со неограничена редица.

Треба да се напомене дека за QS со ограничена должина на редот во формулата

има геометриска прогресија со првиот член 1 и именителот . Таквата низа е збир од бесконечен број членови на . Оваа сума конвергира ако прогресијата, која се намалува бесконечно во , што го одредува режимот на работа на стабилна состојба на QS, со редот во може да порасне до бесконечност со текот на времето.

Бидејќи во разгледуваниот QS не постои ограничување за должината на редот, секое барање може да се услужи, затоа, според тоа, релативната пропусност, соодветно, и апсолутната пропусност

Веројатноста k апликации да бидат во редот е:

;

Просечен број на апликации во редица –

Просечен број на апликации во системот –

;

Просечно време кога апликацијата останува во системот –

;

Просечното време кога апликацијата останува во системот е

.

Ако во едноканален QS со чекање интензитетот на примените барања е поголем од интензитетот на услугата, тогаш редот постојано ќе се зголемува. Во овој поглед, најголем интерес има за анализата на стабилните QS системи кои работат во стационарен режим на .

3.6 Повеќеканален QS со ограничена должина на редот

Да разгледаме повеќеканален QS, чиј влез добива Поасон проток на барања со интензитет, а интензитетот на услугата на секој канал е , максималниот можен број на места во редот е ограничен со m. Дискретните состојби на QS се одредуваат според бројот на примени апликации од системот што може да се снимат.

Сите канали се бесплатни;

Само еден канал (било кој) е окупиран;

Само два канали (било кој) се зафатени;

Сите канали се зафатени.

Додека QS е во која било од овие состојби, нема редица. Откако ќе се зафатат сите сервисни канали, следните барања формираат редица, со што се одредува понатамошната состојба на системот:

Сите канали се зафатени и една апликација е во ред,

Сите канали се зафатени и две барања се во ред,

Сите канали и сите места во редот се зафатени,

График на состојби на n-канален QS со редица ограничена со m места на сл. 3.6

Ориз. 3.6 График на состојба на n-канален QS со ограничување на должината на редот m

Преминот на QS во состојба со голем број се одредува преку протокот на дојдовни барања со интензитет , додека според условот, во сервисирањето на овие барања учествуваат идентични канали со еднаков интензитет на проток на услуга за секој канал. Во овој случај, вкупниот интензитет на протокот на услугата се зголемува со поврзување на нови канали до состојба кога сите n канали се зафатени. Со појавувањето на редот, интензитетот на услугата дополнително се зголемува, бидејќи веќе ја достигна максималната вредност еднаква на .

Дозволете ни да запишеме изрази за ограничувачките веројатности на состојбите:

Изразот за може да се трансформира со помош на формулата за геометриска прогресија за збир на членови со именител:

Формирањето редица е можно кога новопримената апликација ќе ги пронајде барем барањата во системот, т.е. кога има барања во системот. Овие настани се независни, така што веројатноста дека сите канали се зафатени е еднаква на збирот на соодветните веројатности.Затоа, веројатноста да се формира редица е:

Веројатноста за одбивање на услугата се јавува кога сите канали и сите места во редот се зафатени:

Релативната пропусност ќе биде еднаква на:

Апсолутна пропусност -

Просечен број на зафатени канали –

Просечен број на канали во мирување –

Фактор на зафатеност (користење) на каналот –

Сооднос на прекин на каналот -

Просечен број на апликации во редици –

Ако, оваа формула има поинаква форма -

Просечното време на чекање во редица се одредува со формулите на Литл -

Просечното време што една апликација останува во QS, како и за едноканално QS, е поголемо од просечното време на чекање во редот за просечното време на услуга, еднакво на , бидејќи апликацијата секогаш се опслужува само од еден канал:

3,7 Повеќеканален QS со неограничена редица

Да разгледаме повеќеканален QS со чекање и неограничена должина на редот, кој прима проток на барања со интензитет и кој има интензитет на услуга на секој канал. Графикот на означената состојба е прикажан на Слика 3.7. Има бесконечен број состојби:

S - сите канали се бесплатни, k=0;

S - еден канал е зафатен, останатите се слободни, k=1;

S - два канали се зафатени, останатите се слободни, k=2;

S - сите n канали се зафатени, k=n, нема редица;

S - сите n канали се зафатени, едно барање е во редот, k=n+1,

S - сите n канали се зафатени, r апликациите се во редица, k=n+r,

Веројатностите на состојбите ги добиваме од формулите за повеќеканален QS со ограничена редица при преминување до границата на m. Треба да се забележи дека збирот на геометриската прогресија во изразот за p се разминува на нивото на оптоварување p/n>1, редицата ќе се зголемува на неодредено време, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Нема редица

Сл. 3.7 График на означена состојба на повеќеканален QS

со неограничена редица

за кои дефинираме изрази за ограничувачките веројатности на состојбите:

Бидејќи не може да има одбивање на услугата во такви системи, карактеристиките на пропусната моќ се еднакви на:

просечен број на апликации во редица –

просечно време на чекање во редица -

просечен број на апликации до CMO -

Веројатноста QS да е во состојба кога нема барања и не е зафатен ниту еден канал се определува со изразот

Оваа веројатност го одредува просечниот процент на прекин на сервисниот канал. Веројатност да бидете зафатени со сервисирање на k барања –

Врз основа на тоа, можно е да се одреди веројатноста или процентот на време дека сите канали се окупирани од услугата

Ако сите канали се веќе зафатени со сервисирање, тогаш веројатноста за состојбата се одредува со изразот

Веројатноста да се биде во ред е еднаква на веројатноста да се најдат сите канали веќе зафатени со услугата

Просечниот број на апликации во редот и услугата на чекање е:

Просечно време на чекање за апликација во редот според формулата на Литл: и во системот

просечен број на канали окупирани од услугата:

просечен број на бесплатни канали:

коефициент на зафатеност на каналот за услуги:

Важно е да се напомене дека параметарот го карактеризира степенот на координација на влезниот тек, на пример, клиентите во продавница со интензитетот на протокот на услуги. Процесот на услуга ќе биде стабилен ако, сепак, просечната должина на редот и просечното време на чекање за клиентите да започнат со услугата се зголемат во системот и, според тоа, системот за услуги ќе работи нестабилно.

3.8 Анализа на системот на редици во супермаркет

Една од важните задачи на комерцијалната активност е рационална организација на трговскиот и технолошкиот процес на масовни услуги, на пример во супермаркет. Конкретно, одредувањето на капацитетот на касата на малопродажните места не е лесна задача. Таквите економски и организациски индикатори како оптоварување на прометот по 1 m 2 малопродажен простор, пропусната моќ на претпријатието, времето поминато на клиентите во продавницата, како и показателите за нивото на технолошко решение на подот за тргување: односот на областите на зоните за самопослужување и платниот центар, коефициентите на областите за инсталација и изложба, на многу начини определени од пропусната моќ на касата. Во овој случај, капацитетот на две сервисни зони (фази): зоната за самопослужување и зоната на јазол за населување (сл. 4.1).

Интензитетот на протокот на дојдовни клиенти;

Интензитет на пристигнување на клиенти во областа за самопослужување;

Интензитетот на клиенти кои пристигнуваат во платежниот центар;

Интензитетот на протокот на услугата.

Сл.4.1. Модел на двофазен QS систем за тргување во супермаркет

Главната функција на центарот за порамнување е да обезбеди висока пропусност на клиентите во продажната област и да создаде удобна услуга за клиентите. Факторите кои влијаат на пропусната моќ на пресметковниот јазол може да се поделат во две групи:

1) економски и организациски фактори: системот на финансиска одговорност во супермаркетот; просечна цена и структура на едно купување;

2) организациона структура на касата;

3) техничко-технолошки фактори: видовите каси и фискални апарати што се користат; технологија за услуги на клиентите што ја користи касиерот; кореспонденција на капацитетот на касата со интензитетот на тековите на клиентите.

Од наведените групи фактори, најголемо влијание има организациската структура на касата и кореспонденцијата на капацитетот на касата со интензитетот на тековите на клиентите.

Ајде да ги разгледаме двете фази на системот за услуги:

1) избор на стоки од страна на клиентите во областа за самопослужување;

2) услуги на клиентите во областа на населбата. Дојдовниот проток на клиенти влегува во фазата на самопослужување, а купувачот самостојно ги избира производните единици што му се потребни, формирајќи ги во едно купување. Дополнително, времето на оваа фаза зависи од тоа како производните зони се меѓусебно лоцирани, каков фронт имаат, колку време троши купувачот при изборот на конкретен производ, каква е структурата за купување итн.

Појдовниот тек на клиенти од областа за самопослужување е истовремено и дојдовен тек во делот на касата, кој последователно вклучува чекање на купувачот во ред и потоа опслужување од благајната. Касата може да се смета како сервисен систем со загуби или како сервисен систем со чекање.

Сепак, ниту првиот ниту вториот разгледуван систем не ни дозволуваат навистина да го опишеме процесот на сервисирање во касата на супермаркет од следниве причини:

во првата опција, единицата за каса, чија моќност ќе биде дизајнирана за систем со загуби, бара значителни и капитални инвестиции и тековни трошоци за одржување на контролорите на касите;

во втората опција, единицата за каса, чија моќност ќе биде дизајнирана за систем со очекувања, доведува до големо губење време за клиентите кои чекаат услуга. Во исто време, за време на шпицот, делот за наплата се „прелева“ и редот на клиенти „се прелева“ во делот за самопослужување, што ги нарушува нормалните услови за другите клиенти да избираат стока.

Во овој поглед, препорачливо е втората фаза на услугата да се разгледа како систем со ограничена редица, меѓу систем со чекање и систем со загуби. Се претпоставува дека не повеќе од L може да биде во системот во исто време, а L=n+m, каде што n е бројот на клиенти кои се опслужени во касите, m е бројот на клиенти кои стојат во ред, и кој било m+1 апликацијата го остава системот неискористен.

Оваа состојба овозможува, од една страна, да се ограничи површината на делот за наплата, земајќи ја предвид максималната дозволена должина на редот, а од друга, да се воведе ограничување на времето кога клиентите чекаат за услуга на каса, т.е. земете ги предвид трошоците за потрошувачка на потрошувачите.

Валидноста на поставувањето на проблемот во оваа форма е потврдена со анкети за тековите на клиентите во супермаркетите, чии резултати се дадени во Табела. 4.1, чија анализа откри блиска врска помеѓу просечната долга редица на каса и бројот на клиенти кои не купувале.

Постои уште една важна карактеристика во организацијата на касата на супермаркет, што значително влијае на неговата пропусност: присуството на експресни каси (за едно или две набавки). Студијата за структурата на протокот на клиенти во супермаркетите по вид на готовинска услуга покажува дека протокот на промет е 12,9% (Табела 4.2).

За конечна конструкција на математички модел на процесот на услуга, земајќи ги предвид факторите наведени погоре, неопходно е да се одредат функциите на дистрибуција на случајните променливи, како и случајните процеси кои ги опишуваат дојдовните и излезните текови на клиентите:

1) функцијата за распределување на времето на клиентите за избор на стоки во областа за самопослужување;

2) функцијата на распределба на работното време на благајната за редовни фискални каси и експресни каси;

3) случаен процес кој го опишува дојдовниот проток на клиенти во првата фаза на услугата;

4) случаен процес кој го опишува дојдовниот тек во втората фаза на услугата за редовните каси и експресните фискални каси.

Удобно е да се користат модели за пресметување на карактеристиките на системот за редици ако дојдовниот тек на барања во системот за редици е едноставен проток на Поасон, а времето на услуга на барањата се дистрибуира според експоненцијален закон.

Студијата за протокот на клиенти во областа за наплата покажа дека може да се усвои проток на Поасон за тоа.

Функцијата за распределба на времето за сервисирање на клиентите од страна на касиерите е експоненцијална; оваа претпоставка не води до големи грешки.

Од несомнен интерес е анализата на карактеристиките на сервисирање на протокот на клиенти во касата на супермаркет, пресметана за три системи: со загуби, со чекање и мешан тип.

Пресметките на параметрите на процесот на услуги на клиентите на касата беа извршени за трговско претпријатие со продажна област од S = 650 врз основа на следните податоци.

Целта функција може да се запише во општата форма на поврзување (критериум) на приходите од продажба од карактеристиките на QS:

каде - касата се состои од =7 редовни каси и =2 експресни каси,

Интензитетот на услуги на клиентите во делот на редовните фискални каси е 0,823 луѓе/мин.

Интензитетот на оптоварување на фискалните каси во делот на редовните фискални каси е 6,65,

Интензитетот на услуги на клиентите во експресниот каса е 2,18 луѓе/мин.

Интензитетот на дојдовниот проток во областа на редовните каси е 5,47 луѓе/мин.

Интензитетот на оптоварување на фискалните каси во просторот за експресна каса е 1,63,

Интензитетот на дојдовниот проток во експресната каса е 3,55 луѓе/мин.

За моделот QS со ограничување на должината на редот во согласност со дизајнираната површина на касата, максималниот дозволен број клиенти кои стојат во ред на една каса се претпоставува дека е еднаков на m = 10 клиенти.

Треба да се напомене дека за да се добијат релативно мали апсолутни вредности на веројатноста за губење на апликациите и времето на чекање на клиентите на касата, мора да се исполнат следниве услови:

Табелата 6.6.3 ги прикажува резултатите од карактеристиките на квалитетот на функционирањето на QS во областа на пресметковниот јазол.

Пресметките се направени за најфреквентниот период од работниот ден од 17 до 21 часот. Токму во овој период, како што покажаа резултатите од истражувањето, отпаѓаат околу 50% од еднодневниот проток на купувачи.

Од податоците дадени во табелата. 4.3 следува дека доколку за пресметката е избрано следново:

1) модел со одбивања, тогаш 22,6% од протокот на клиенти опслужени со редовни фискални каси, и соодветно 33,6% од протокот на клиенти опслужени со експресни фискални каси, би морале да заминат без купување;

2) модел со очекување, тогаш не треба да има губење на нарачки во јазолот за порамнување;

Табела 4.3 Карактеристики на системот за чекање во редици за клиенти во делот за наплата

3) модел со ограничување на должината на редот, тогаш само 0,12% од протокот на клиенти опслужени од редовните фискални каси и 1,8% од протокот на клиенти опслужени со експресни фискални каси ќе го напуштат подот за тргување без да купуваат. Следствено, модел со ограничување на должината на редот овозможува попрецизен и пореален опис на процесот на сервисирање на клиентите во областа за наплата.

Од интерес е компаративна пресметка на капацитетот на единицата за каса и со и без експресни фискални каси. Во табелата Во табела 4.4 се прикажани карактеристиките на системот за услуги на каса за три стандардни големини на супермаркети, пресметани со помош на модели за продавници за самопослужување со ограничување на должината на редот за најфреквентниот период од работниот ден од 17 до 21 часот.

Анализата на податоците од оваа табела покажува дека не земајќи го предвид факторот „Структура на проток на клиенти по тип на готовинска услуга“ во фазата на технолошки дизајн може да доведе до зголемување на површината на платниот центар за 22-33 %, и оттука, соодветно, до намалување на монтажните и изложбените области на малопродажната и технолошката опрема и стоковната маса поставени на продажниот под.

Проблемот на одредување на капацитетот на касата е синџир на меѓусебно поврзани карактеристики. Така, зголемувањето на неговиот капацитет го намалува времето што клиентите чекаат за услуга, ја намалува веројатноста за губење на барањата и, следствено, губење на прометот. Заедно со ова, потребно е соодветно да се намали областа за самопослужување, предниот дел на трговската и технолошката опрема и залихите на стоки на продажниот под. Истовремено се зголемуваат и трошоците за платите на касиерите и опремата на дополнителните работни места. Затоа

потребно е да се извршат пресметки за оптимизација. Дозволете ни да ги разгледаме карактеристиките на системот за услуги во касата на супермаркет со малопродажна површина од 650 m2, пресметани со користење на модели QS со ограничена должина на редица за различни капацитети на неговата каса во Табела. 4.5.

Врз основа на анализа на податоците од табела. 4.5 можеме да заклучиме дека како што се зголемува бројот на каси, времето на чекање на клиентите во редот се зголемува, а потоа по одреден момент нагло опаѓа. Природата на промената во распоредот на чекање на клиентите е јасна ако истовремено ја земеме предвид промената на веројатноста за губење на побарувањето.Сосема е очигледно дека кога капацитетот на касата е премногу низок, повеќе од 85% од клиентите ќе оставете неуслужен, а останатите клиенти ќе бидат опслужени за многу кратко време. Колку е поголем капацитетот на касата, толку е поголема веројатноста дека клиентите ќе бидат изгубени додека чекаат услуга, што значи дека нивното време на чекање во редот соодветно ќе се зголеми. Потоа, очекувањата и веројатноста за загуби нагло ќе се намалат.

За супермаркет со продажна површина од 650, оваа граница за редовната каса се движи помеѓу 6 и 7 каси. Кај 7 фискални каси просечното време на чекање е 2,66 минути, а веројатноста за губење на апликациите е многу мала - 0,1%. Така, што ќе ви овозможи да ги добиете минималните вкупни трошоци за масовна услуга на клиентите.

Заклучок

Врз основа на анализа на податоците од табела. 4.5 можеме да заклучиме дека како што се зголемува бројот на каси, така се зголемува и времето на чекање на клиентите во редот. А потоа по одреден момент нагло паѓа. Природата на промената во распоредот на чекање на клиентите е јасна ако истовремено ја земеме предвид промената на веројатноста за губење на побарувањата.Сосема е очигледно дека кога капацитетот на касата е премногу низок, тогаш повеќе од 85% од клиентите ќе оставете неуслужен, а останатите клиенти ќе бидат опслужени за многу кратко време. Колку е поголема моќта на касата. Веројатноста за губење на побарувањата ќе се намали и, соодветно, толку е поголем бројот на клиенти кои ќе ја чекаат нивната услуга, што значи дека нивното време на чекање во ред соодветно ќе се зголеми. Штом пресметковниот јазол ќе го надмине својот оптимален капацитет, доцнењето и веројатноста за загуби нагло ќе се намалат.

За супермаркет со продажна површина од 650 кв. метри, оваа граница за површината на редовните фискални каси се движи помеѓу 6-8 фискални каси. Кај 7 фискални каси просечното време на чекање е 2,66 минути, а веројатноста за губење на апликациите е многу мала - 0,1%. Така, задачата е да се избере таков капацитет на касата што ќе овозможи минимални вкупни трошоци за масовна услуга на клиентите.

Во овој поглед, следната фаза на решавање на проблемот е оптимизирање на капацитетот на касата врз основа на употребата на различни типови QS модели, земајќи ги предвид вкупните трошоци и факторите наведени погоре.

Во практиката на човековата активност, големо место заземаат процесите на редици кои се јавуваат во системи наменети за повеќекратна употреба при решавање на слични проблеми. Таквите системи се нарекуваат системи на редици (QS). Примери за такви системи се телефонски системи, компјутерски системи, моторен транспорт, воздухопловство, системи за поправка, продавници, билетарници итн.

Секој систем се состои од одреден број на сервисни единици (инструменти, уреди, уреди, точки, станици), кои се нарекуваат сервисни канали.Според бројот на канали, QS системите се делат на едноканални и повеќеканални.Дијаграмот на едноканален систем на редици е претставен на Сл. 6.2.

Апликациите во системот обично не пристигнуваат редовно, туку случајно, формирајќи случаен тек на апликации (барања). Самото сервисирање на секое барање може да потрае или одредено време или, почесто, неодредено време. Случајната природа води до фактот дека QS е нерамномерно вчитан: во некои временски периоди се акумулира многу голем број апликации (тие или остануваат во ред или го оставаат QS непослужено), додека во други периоди QS работи со недоволно оптоварување или е неактивен .

Ориз. 6.2.

Целта на проучувањето на системите за редици е да се анализира квалитетот на нивното функционирање и да се идентификуваат можностите за негово подобрување. Покрај тоа, концептот на „квалитет на функционирање“ во секој поединечен случај ќе има свое специфично значење и ќе биде изразен во различни квантитативни индикатори. На пример, такви квантитативни показатели како што се големината на редот за услуга, просечно време на услуга, чекање за услуга или наоѓање барање во системот за сервисирање, време на прекин на сервисните уреди; уверување дека сите барања добиени од системот ќе бидат сервисирани.

Така, квалитетот на функционирањето на системот на редици не се подразбира како вистински квалитет на извршување на одредена работа за која е примено барање, туку како степен до кој е задоволена потребата за услуга.

Предмет на теоријата на редици е изградбата на математички модели кои ги поврзуваат дадените услови за работа на QS (бројот на канали, нивната продуктивност, природата на протокот на барања итн.) со индикаторите за перформанси на QS, опишувајќи ја неговата способност да се справат со протокот на барања.

Класификација на системи за редици

Првата карактеристика што ни овозможува да ги класифицираме задачите во редица е однесувањето на барањата добиени од системот за сервисирање во време кога сите машини се зафатени.

Во некои случаи, барањето што влегува во системот во време кога сите уреди се зафатени, не може да чека да се ослободат и го остава системот неискористен, т.е. барањето се губи за даден систем за сервирање. Ваквите системи за сервисирање се нарекуваат системи со загуби, а проблемите формулирани врз основа на нив се нарекуваат сервисни проблеми за системи со загуби.

Ако барањето, откако ќе влезе во системот, влезе во ред и чека уредот да стане достапен, тогаш таквите системи се нарекуваат системи со чекање, а соодветните задачи се нарекуваат задачи за одржување во системи со чекање. QS со чекање е поделен на различни типови во зависност од тоа како е организирана редицата: со ограничена или неограничена должина на редот, со ограничено време на чекање итн.

QS, исто така, се разликуваат по бројот на барања што можат истовремено да бидат во системот за сервисирање. Истакнете:

• 1) системи со ограничен проток на барања;
• 2) системи со неограничен проток на барања.

Во зависност од формите на внатрешна организација на услугата во системот, се разликуваат:

• 1) системи со нарачано одржување;
• 2) системи со нарушена услуга.

Важна фаза во проучувањето на QS е изборот на критериуми кои го карактеризираат процесот што се проучува. Изборот зависи од видот на проблемите што се проучуваат и од целта што ја следи решението.

Најчесто во практиката постојат системи во кои протокот на барања е блиску до наједноставниот, а времето на услугата го почитува законот за експоненцијална дистрибуција. Овие системи се најцелосно развиени во теоријата на редици.

Во претпријатието опкружување, типични задачи се оние со чекање, со конечен број на сервери, со ограничен проток на барања и со ненарачана услуга.

Претпоставките за природата на Поасон на протокот на барања и за експоненцијалната распределба на времето за услуга овозможуваат примена на Марков апарат во теоријата на редици. Процесот што се јавува во физички систем се нарекува Марков процес (или процес без последователен ефект) ако за секој момент во времето веројатноста за која било состојба на системот во иднина зависи само од состојбата на системот во сегашниот момент и не не зависи од тоа како системот дошол до оваа состојба.

Да разгледаме QS со конечни дискретни состојби (сл. 2). Дозволете ни да ја дефинираме состојбата како состојба на QS, што одговара на присуството на моментално окупирани канали. Во овој случај, системот може дискретно да ја менува својата состојба во соодветни дискретни моменти во времето. Кога едно барање ќе пристигне на влезот QS, системот ја менува состојбата на мирување,

и кога едно барање ќе го напушти системот и соодветното ослободување на еден канал - од до.

Ориз. 2. Дијаграм на состојби и транзиции на QS

Типичен пример за QS е телекомуникациски систем со неколку сервисни сервери. Апликацијата што пристигнува на влезот на таков QS може или да се сервисира, да се стави во редица или да биде одбиена услуга. Во овој поглед, QS се поделени на два главни типа: а) QS со дефекти; б) СМО со очекување.

Во системи со неуспеси, апликацијата добиена во време кога сите канали за услуга се зафатени веднаш се отфрла, го напушта системот и не учествува во понатамошниот процес на сервисирање.

Во системи со чекање, барањето што ги наоѓа сите канали зафатени не го напушта системот, туку влегува во редица и чека додека некој канал не стане слободен.

Карактеристики на класификација на системите за редици.

Во системите за редици, постојат три главни фази низ кои поминува секоја апликација:

1) појава на апликација на влезот во системот;

2) поминување на редот;

3) процесот на сервисирање, по што апликацијата го напушта системот.

Секоја фаза вклучува одредени карактеристики кои треба да се дискутираат пред да се изградат математички модели.

Влезни карактеристики:

1) бројот на апликации на влезот (големина на населението);

2) начинот на прием на барањата во системот на услуги;

3) однесување на клиентите.

Број на апликации на влезот. Бројот на потенцијални апликации (големина на популација) може да се смета или бесконечен (неограничено население) или конечен (ограничена популација). Ако бројот на примени апликации на влезот на системот од моментот кога процесот на услуга започнува до која било дадена временска точка е само мал дел од потенцијалниот број клиенти, влезната популација се смета за Неограничена. Примери на неограничени популации: автомобили кои минуваат низ контролни пунктови на автопати, купувачи во супермаркет итн. Повеќето модели за влез во редица сметаат за неограничени популации.

Ако бројот на апликации кои можат да влезат во системот е споредлив со бројот на апликации кои се веќе во системот за редици, популацијата се смета за ограничена. Пример за ограничена популација: компјутери кои припаѓаат на одредена организација и се испраќаат до сервис за сервисирање.

Начинот на прием на барања во системот за услуги. Барањата можат да влезат во системот за сервисирање во согласност со одреден распоред (на пример, еден пациент за преглед на стоматолог на секои 15 минути, еден автомобил на подвижна лента на секои 20 минути) или по случаен избор. Појавите на клиентите се сметаат за случајни ако се независни еден од друг и се дефинитивно непредвидливи. Често во проблемите со редици, бројот на појави по единица време може да се процени со помош на Поасонова распределба на веројатност. По дадена стапка на пристигнување (на пример, двајца клиенти на час или четири камиони во минута)

дискретната Поасон дистрибуција е опишана со следнава формула:

Каде P(x) -веројатност за прием Xапликации по единица време;

X -број на апликации по единица време;

L е просечниот број на апликации по единица време (стапка на прием на апликации);

E = 2,7182 - основата на природниот логаритам.

Соодветни вредности на веројатност P(x)може лесно да се одреди со помош на табелата за распределба на Поасон. Ако, на пример, просечната стапка на прием на апликации е два клиенти на час, тогаш веројатноста дека ниту една апликација нема да биде примена во системот во рок од еден час е 0,135, веројатноста за една апликација е околу 0,27, а веројатноста од два е исто така околу 0,27, три апликации може да се појават со веројатност од 0,18, четири - со веројатност од околу 0,09 итн. Веројатноста дека 9 или повеќе апликации ќе пристигнат во системот за еден час е блиску до нула.

Во пракса, веројатностите за појава на апликации, се разбира, не секогаш се покоруваат на распределбата на Поасон (можеби имаат некоја друга дистрибуција). Затоа, потребно е прелиминарно истражување за да се потврди дека распределбата на Поасон може да послужи како добра апроксимација.

Однесување на клиентите . Повеќето модели на редици се засноваат на претпоставката дека однесувањето на клиентите е стандардно, т.е. секој клиент што влегува во системот влегува во редица, чека услуга и не го напушта системот додека не се опслужи. Со други зборови, клиентот (лице или машина) кој се приклучува на редица чека додека не биде услужен и не ја напушта редицата или не се движи од една редица во друга.

Животот е многу покомплициран. Во пракса, клиентите можат да ја напуштат редот

бидејќи испадна предолг. Може да се појави друга ситуација: клиентите го чекаат својот ред, но поради некоја причина заминуваат неискористени. Овие случаи се исто така предмет на теоријата на редици.

Карактеристики на редица:

2) правило за сервисирање.

Должина на редот . Должината може или не може да биде ограничена. Должината на редот (редица) е ограничена ако поради некоја причина (на пример, поради физички ограничувања) не може да се зголемува на неодредено време. Ако редот ја достигне својата максимална големина, тогаш следното барање до системот не е дозволено и се случува одбивање. Должината на редот не е ограничена, Ако може да има било кој број на апликации во редот. На пример, редица автомобили на бензинска пумпа.

Правило за сервисирање . Повеќето реални системи го користат правилото „прв влезе, прв излезе“. (ФИФО -прв внатре, прв излезе). Во некои случаи, како на пример во собата за итни случаи во болница, може да се постават различни приоритети како додаток на ова правило . Критично болен пациент со срцев удар најверојатно ќе добие приоритетна нега во однос на пациент со скршен прст. Редоследот по кој се извршуваат компјутерските програми е уште еден пример за давање приоритет на одржувањето.