Формула за аритметичка прогресија n број. Аритметички и геометриски прогресии

Аритметичка прогресијаименува низа од броеви (поими на прогресија)

Во кој секој нареден член се разликува од претходниот со нов поим, кој уште се нарекува разлика во чекор или прогресија.

Така, со одредување на чекорот на прогресија и неговиот прв член, можете да најдете кој било од неговите елементи користејќи ја формулата

Својства на аритметичка прогресија

1) Секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот број, е аритметичка средина на претходните и следните членови на прогресијата

Вистина е и обратното. Ако аритметичката средина на соседните непарни (парни) членови на прогресијата е еднаква на членот што стои меѓу нив, тогаш оваа низа од броеви е аритметичка прогресија. Користејќи ја оваа изјава, многу е лесно да се провери која било низа.

Исто така, според својството на аритметичка прогресија, горната формула може да се генерализира на следново

Ова е лесно да се потврди ако ги напишете условите десно од знакот за еднаквост

Често се користи во пракса за да се поедностават пресметките во проблемите.

2) Збирот на првите n членови на аритметичка прогресија се пресметува со помош на формулата

Добро запомнете ја формулата за збир на аритметичка прогресија таа е незаменлива во пресметките и доста често се среќава во едноставни животни ситуации.

3) Ако треба да го пронајдете не целиот збир, туку дел од низата почнувајќи од неговиот k-ти член, тогаш следнава формула за сума ќе ви биде корисна

4) Од практичен интерес е да се најде збир од n членови на аритметичка прогресија почнувајќи од k-тиот број. За да го направите ова, користете ја формулата

Со ова се заокружува теоретскиот материјал и се преминува на решавање на заедничките проблеми во пракса.

Пример 1. Најдете го четириесеттиот член на аритметичката прогресија 4;7;...

Решение:

Според состојбата што ја имаме

Ајде да го одредиме чекорот на прогресија

Користејќи добро позната формула, го наоѓаме четириесеттиот член на прогресијата

Пример 2. Аритметичка прогресија е дадена со нејзиниот трет и седми член. Најдете го првиот член од прогресијата и збирот од десет.

Решение:

Да ги запишеме дадените елементи на прогресијата користејќи ги формулите

Ја одземаме првата од втората равенка, како резултат на тоа го наоѓаме чекорот на прогресија

Пронајдената вредност ја заменуваме со која било од равенките за да го најдеме првиот член од аритметичката прогресија

Го пресметуваме збирот на првите десет члена од прогресијата

Без да користиме сложени пресметки, ги најдовме сите потребни количини.

Пример 3. Аритметичка прогресија е дадена со именителот и еден од неговите членови. Најдете го првиот член од прогресијата, збирот на неговите 50 членови почнувајќи од 50 и збирот на првите 100.

Решение:

Да ја запишеме формулата за стотиот елемент од прогресијата

и најди го првиот

Врз основа на првиот, го наоѓаме 50-тиот член на прогресијата

Наоѓање на збирот на делот од прогресијата

и збирот на првите 100

Износот на прогресијата е 250.

Пример 4.

Најдете го бројот на членовите на аритметичката прогресија ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Да ги напишеме равенките во однос на првиот член и чекорот на прогресијата и да ги одредиме

Добиените вредности ги заменуваме во формулата за збир за да го одредиме бројот на поими во збирот

Ние спроведуваме поедноставувања

и реши ја квадратната равенка

Од двете пронајдени вредности, само бројот 8 одговара на условите на проблемот. Така, збирот на првите осум члена од прогресијата е 111.

Пример 5.

Решете ја равенката

1+3+5+...+x=307.

Решение: Оваа равенка е збир на аритметичка прогресија. Ајде да го напишеме неговиот прв член и да ја најдеме разликата во прогресијата

При изучувањето на алгебрата во средно училиште (9-то одделение), една од важните теми е изучувањето на нумеричките низи, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, неопходно е да се дефинира прогресијата за која станува збор, како и да се дадат основните формули кои подоцна ќе се користат при решавање на проблемите.

Познато е дека во некоја алгебарска прогресија првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа во седмиот член.

Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Да ги замениме познатите податоци од условот во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. Од овој израз можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така, го одговоривме првиот дел од задачата.

За да ја вратите низата до седмиот член, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d итн. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример бр. 3: изготвување прогресија

Да го искомплицираме проблемот уште повеќе. Сега треба да одговориме на прашањето како да најдеме аритметичка прогресија. Може да се даде следниов пример: дадени се два броја, на пример - 4 и 5. Потребно е да се создаде алгебарска прогресија така што меѓу нив ќе се постават уште три члена.

Пред да започнете да го решавате овој проблем, треба да разберете какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три члена, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, преминуваме на проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n-тиот член ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Она што го добивме овде не е цел бројна вредност на разликата, туку е рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.

Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме термините што недостасуваат од прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, што се совпаѓа со условите на проблемот.

Пример бр. 4: прв рок на прогресија

Да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решенија. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега да разгледаме проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што е 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде со кој број започнува оваа низа.

Досега користените формули претпоставуваат познавање на 1 и d. Во изјавата за проблемот, ништо не се знае за овие бројки. Сепак, ќе запишеме изрази за секој поим за кои информации се достапни: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (а 1 и г). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.

Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка и потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1. На пример, прво: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако се сомневате во добиениот резултат, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-от термин на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малата грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.

Пример бр. 5: износ

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?

Благодарение на развојот на компјутерската технологија, можно е да се реши овој проблем, односно да се додадат сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом лицето ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако обрнете внимание дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е еднаква на 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се забележи дека овој проблем е наречен „Гаус“ затоа што на почетокот на 18 век познатиот Германец, сè уште имал само 10 години, можел да го реши во својата глава за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако ги соберете броевите на краевите на низата во парови, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор доволно е да се помножи 50 со 101.

Пример бр. 6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колку ќе биде еднаков збирот на членовите од 8 до 14. .

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа последователно собирање. Бидејќи има неколку термини, овој метод не е доста трудоинтензивен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со помош на втор метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збирот на алгебарската прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два израза за збирот:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n > m, очигледно е дека вториот збир го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата меѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), ќе го добиеме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавање на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што треба да најдете и дури потоа да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и поделете го целокупниот проблем на посебни подзадачи (во овој случај, прво најдете ги поимите a n и a m).

Доколку се сомневате во добиениот резултат, се препорачува да го проверите, како што беше направено во некои од дадените примери. Дознавме како да најдеме аритметичка прогресија. Ако го сфатите тоа, не е толку тешко.

Онлајн калкулатор.
Решавање аритметичка прогресија.
Дадени: a n , d, n
Најдете: а 1

Оваа математичка програма наоѓа \(a_1\) на аритметичка прогресија базирана на броевите одредени од корисникот \(a_n, d\) и \(n\).
Броевите \(a_n\) и \(d\) можат да се наведат не само како цели броеви, туку и како дропки. Згора на тоа, фракциониот број може да се внесе во форма на децимална дропка (\(2,5\)) и во форма на обична дропка (\(-5\frac(2)(7)\)).

Програмата не само што дава одговор на проблемот, туку го прикажува и процесот на изнаоѓање решение.

Овој онлајн калкулатор може да биде корисен за средношколците во средните училишта кога се подготвуваат за тестови и испити, кога го тестираат знаењето пред обединетиот државен испит, како и за родителите за контрола на решавањето на многу проблеми од математиката и алгебрата. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да ја завршите домашната задача по математика или алгебра што е можно побрзо? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин, можете да спроведете сопствена обука и/или обука на вашите помлади браќа или сестри, додека нивото на образование во областа на решавање проблеми се зголемува.

Доколку не сте запознаени со правилата за внесување броеви, ви препорачуваме да се запознаете со нив.

Правила за внесување броеви

Броевите \(a_n\) и \(d\) можат да се наведат не само како цели броеви, туку и како дропки.
Бројот \(n\) може да биде само позитивен цел број.

Правила за внесување децимални дропки.
Цел број и дробни делови во децималните дропки може да се одделат или со точка или со запирка.
На пример, можете да внесете децимални фракции како 2,5 или како 2,5

Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.

Именителот не може да биде негативен.

Кога се внесува нумеричка дропка, броителот се одвојува од именителот со знак за делење: /
Влез:
Резултат: \(-\frac(2)(3)\)

Целиот дел е одделен од дропот со знакот за амперсенд: &
Влез:
Резултат: \(-1\frac(2)(3)\)

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Редоследот на броеви

Во секојдневната практика често се користи нумерирање на разни предмети за да се означи редоследот по кој се наредени. На пример, куќите на секоја улица се нумерирани. Во библиотеката, претплатите на читателите се нумерирани, а потоа подредени по редослед на доделените броеви во посебни картички.

Во штедилница, користејќи го бројот на личната сметка на депонентот, можете лесно да ја најдете оваа сметка и да видите каков депозит има на неа. Нека сметката бр. 1 содржи депозит од a1 рубли, сметката бр. 2 содржи депозит од a2 рубли итн. броена низа
a 1, a 2, a 3, ..., a N
каде N е бројот на сите сметки. Овде, секој природен број n од 1 до N е поврзан со број a n.

Студирал и по математика секвенци со бесконечен број:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Се нарекува бројот a 1 првиот член од низата, број а 2 - вториот член од низата, број а 3 - трет член од низатаитн.
Се повикува бројот a n n-ти (n-ти) член на низата, а природниот број n е негов број.

На пример, во низата квадрати на природни броеви 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... и 1 = 1 е првиот член од низата; и n = n 2 е n-тиот член од низата; a n+1 = (n + 1) 2 е (n + 1)-тиот (n плус првиот) член од низата. Често низата може да се специфицира со формулата на нејзиниот n-ти член. На пример, формулата \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ја дефинира низата \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3), \ \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n), \dots \)

Аритметичка прогресија

Должината на годината е приближно 365 дена. Попрецизна вредност е \(365\frac(1)(4)\) дена, така што на секои четири години се акумулира грешка од еден ден.

За да се земе предвид оваа грешка, на секоја четврта година се додава ден, а продолжената година се нарекува престапна.

На пример, во третиот милениум, престапни години се годините 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Во оваа низа, секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, додаден на истиот број 4. Таквите низи се нарекуваат аритметички прогресии.

Дефиниција.
Се нарекува бројната низа a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... аритметичка прогресија, ако за сите природни n еднаквоста
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
каде што d е некој број.

Од оваа формула произлегува дека a n+1 - a n = d. Бројот d се нарекува разлика аритметичка прогресија.

По дефиниција за аритметичка прогресија имаме:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
каде
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), каде што \(n>1 \)

Така, секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на аритметичката средина на неговите два соседни члена. Ова го објаснува името „аритметичка“ прогресија.

Забележете дека ако се дадени a 1 и d, тогаш преостанатите членови од аритметичката прогресија може да се пресметаат со помош на рекурентната формула a n+1 = a n + d. На овој начин не е тешко да се пресметаат првите неколку членови на прогресијата, но, на пример, 100 веќе ќе бара многу пресметки. Обично, формулата за n-ти термин се користи за ова. По дефиниција за аритметичка прогресија
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
итн.
Воопшто,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
бидејќи n-тиот член на аритметичката прогресија се добива од првиот член со собирање (n-1) пократко од бројот d.
Оваа формула се нарекува формула за n-ти член на аритметичка прогресија.

Збир на првите n членови на аритметичка прогресија

Најдете го збирот на сите природни броеви од 1 до 100.
Ајде да ја напишеме оваа сума на два начина:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Да ги додадеме овие еднаквости по поим:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Оваа сума има 100 термини
Затоа, 2S = 101 * 100, па оттука и S = ​​101 * 50 = 5050.

Сега да разгледаме произволна аритметичка прогресија
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Нека S n е збирот на првите n членови од оваа прогресија:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Потоа збирот на првите n членови на аритметичка прогресија е еднаков на
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Бидејќи \(a_n=a_1+(n-1)d\), тогаш заменувајќи n во оваа формула, добиваме друга формула за наоѓање збир од првите n членови на аритметичка прогресија:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Или аритметиката е тип на подредена нумеричка низа, чии својства се изучуваат во училишен курс за алгебра. Оваа статија детално го разгледува прашањето како да се најде збирот на аритметичка прогресија.

Каков вид на прогресија е ова?

Пред да преминете на прашањето (како да се најде збирот на аритметичка прогресија), вреди да се разбере за што зборуваме.

Секоја низа од реални броеви што се добива со собирање (одземање) некоја вредност од секој претходен број се нарекува алгебарска (аритметичка) прогресија. Оваа дефиниција, кога е преведена на математички јазик, ја има формата:

Еве i е серискиот број на елементот од редот a i. Така, знаејќи само еден почетен број, можете лесно да ја вратите целата серија. Параметарот d во формулата се нарекува прогресивна разлика.

Лесно може да се покаже дека за серијата на броеви што се разгледуваат важи следнава еднаквост:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Односно, за да ја пронајдете вредноста на n-тиот елемент по редослед, треба да ја додадете разликата d на првиот елемент a 1 n-1 пати.

Колку изнесува збирот на аритметичка прогресија: формула

Пред да ја дадете формулата за наведената сума, вреди да се разгледа едноставен посебен случај. Со оглед на прогресијата на природните броеви од 1 до 10, треба да го пронајдете нивниот збир. Бидејќи има малку поими во прогресијата (10), можно е директно да се реши проблемот, односно да се сумираат сите елементи по ред.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Вреди да се разгледа една интересна работа: бидејќи секој член се разликува од следниот со иста вредност d = 1, тогаш парното собирање на првиот со десеттиот, вториот со деветтиот и така натаму ќе го даде истиот резултат. Навистина:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Како што можете да видите, има само 5 од овие збирови, односно точно два пати помалку од бројот на елементи на серијата. Потоа множејќи го бројот на збирови (5) со резултатот од секоја сума (11), ќе дојдете до резултатот добиен во првиот пример.

Ако ги генерализираме овие аргументи, можеме да го напишеме следниот израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Овој израз покажува дека воопшто не е потребно да се сумираат сите елементи по ред, доволно е да се знае вредноста на првиот a 1 и последниот a n, како и вкупниот број на членовите n.

Се верува дека Гаус првпат размислувал за оваа еднаквост кога барал решение за проблем даден од неговиот учител во училиштето: збир на првите 100 цели броеви.

Збир на елементи од m до n: формула

Формулата дадена во претходниот пасус одговара на прашањето како да се најде збир на аритметичка прогресија (првите елементи), но често во проблемите е неопходно да се сумираат низа броеви во средината на прогресијата. Како да се направи тоа?

Најлесен начин да се одговори на ова прашање е со разгледување на следниов пример: нека биде неопходно да се најде збирот на членовите од m-тиот до n-тиот. За да го решите проблемот, треба да ја прикажете дадената отсечка од m до n на прогресијата во форма на нова бројна серија. Во ова претставување, m-тиот член a m ќе биде првиот, а a n ќе биде нумериран n-(m-1). Во овој случај, со примена на стандардната формула за збирот, ќе се добие следниот израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за користење формули

Знаејќи како да го пронајдете збирот на аритметичка прогресија, вреди да се разгледа едноставен пример за користење на горенаведените формули.

Подолу е нумеричка низа, треба да го најдете збирот на неговите членови, почнувајќи од 5-ти и завршувајќи со 12-ти:

Дадените бројки покажуваат дека разликата d е еднаква на 3. Користејќи го изразот за n-тиот елемент, можете да ги најдете вредностите на 5-тиот и 12-тиот член на прогресијата. Излегува:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Знаејќи ги вредностите на броевите на краевите на алгебарската прогресија што се разгледува, како и знаејќи кои броеви во серијата ги зафаќаат, можете да ја користите формулата за збирот добиен во претходниот пасус. Ќе испадне:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Вреди да се напомене дека оваа вредност може да се добие поинаку: прво пронајдете го збирот на првите 12 елементи користејќи ја стандардната формула, потоа пресметајте го збирот на првите 4 елементи користејќи ја истата формула, а потоа одземете го вториот од првиот збир.

I. V. Јаковлев | Математички материјали | MathUs.ru

Аритметичка прогресија

Аритметичката прогресија е посебен вид низа. Затоа, пред да ја дефинираме аритметичката (а потоа и геометриската) прогресија, треба накратко да разговараме за важниот концепт на броена низа.

Последователија

Замислете уред на екранот на кој одредени броеви се прикажуваат еден по друг. Да речеме 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ова збир на броеви е токму пример за низа.

Дефиниција. Броевната низа е збир на броеви во кои на секој број може да му се додели единствен број (т.е. поврзан со еден природен број)1. Бројот n се нарекува n-ти член од низата.

Значи, во примерот погоре, првиот број е 2, ова е првиот член на низата, кој може да се означи со a1; број пет има број 6 е петтиот член од низата, кој може да се означи со a5. Општо земено, n-тиот член од низата се означува со an (или bn, cn, итн.).

Многу погодна ситуација е кога n-тиот член од низата може да се специфицира со некоја формула. На пример, формулата an = 2n 3 ја одредува низата: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n ја одредува низата: 1; 1; 1; 1; : : :

Не секој збир на броеви е низа. Така, сегментот не е низа; содржи „премногу“ броеви што треба да се пренумерираат. Множеството R од сите реални броеви исто така не е низа. Овие факти се докажани во текот на математичката анализа.

Аритметичка прогресија: основни дефиниции

Сега сме подготвени да дефинираме аритметичка прогресија.

Дефиниција. Аритметичка прогресија е низа во која секој член (почнувајќи од вториот) е еднаков на збирот на претходниот член и некој фиксен број (наречен разлика на аритметичката прогресија).

На пример, низа 2; 5; 8; единаесет; : : : е аритметичка прогресија со прв член 2 и разлика 3. Низа 7; 2; 3; 8; : : : е аритметичка прогресија со прв член 7 и разлика 5. Низа 3; 3; 3; : : : е аритметичка прогресија со разлика еднаква на нула.

Еквивалентна дефиниција: низата an се нарекува аритметичка прогресија ако разликата an+1 an е константна вредност (независна од n).

Аритметичката прогресија се нарекува зголемување ако нејзината разлика е позитивна, а се намалува ако нејзината разлика е негативна.

1 Но, еве една поконцизна дефиниција: низа е функција дефинирана на множеството природни броеви. На пример, низа од реални броеви е функција f: N ! Р.

Стандардно, низите се сметаат за бесконечни, односно содржат бесконечен број броеви. Но, никој не ни пречи да ги разгледаме конечните низи; всушност, секое конечно множество броеви може да се нарече конечна низа. На пример, завршната низа е 1; 2; 3; 4; 5 се состои од пет броеви.

Формула за n-ти член на аритметичка прогресија

Лесно е да се разбере дека аритметичката прогресија е целосно одредена од два броја: првиот член и разликата. Затоа, се поставува прашањето: како, знаејќи го првиот член и разликата, да се најде произволен член на аритметичка прогресија?

Не е тешко да се добие потребната формула за n-ти член на аритметичка прогресија. Нека ан

Задача 1. Во аритметичка прогресија 2; 5; 8; единаесет; : : : најдете ја формулата за n-тиот член и пресметајте го стотиот член.

Решение. Според формулата (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Својство и знак на аритметичка прогресија

Својство на аритметичка прогресија. Во аритметичка прогресија и за било кој

Со други зборови, секој член на аритметичка прогресија (почнувајќи од втората) е аритметичка средина на нејзините соседни членови.

што е она што се бараше.

Поопшто, аритметичката прогресија а ја задоволува еднаквоста

a n = a n k+ a n+k

за кое било n > 2 и било кое природно k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Излегува дека формулата (2) служи не само како неопходен туку и како доволен услов за низата да биде аритметичка прогресија.

Знак за аритметичка прогресија. Ако еднаквоста (2) важи за сите n > 2, тогаш низата an е аритметичка прогресија.

Доказ. Ајде да ја преработиме формулата (2) на следниов начин:

a na n 1= a n+1a n:

Од ова можеме да видиме дека разликата an+1 an не зависи од n, а тоа точно значи дека низата an е аритметичка прогресија.

Својството и знакот на аритметичка прогресија може да се формулираат во форма на една изјава; За погодност, ќе го направиме ова за три броја (ова е ситуацијата што често се јавува во проблеми).

Карактеризација на аритметичка прогресија. Три броја a, b, c формираат аритметичка прогресија ако и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (МСУ, Економски факултет, 2007) Три броја 8x, 3 x2 и 4 во наведениот редослед формираат аритметичка прогресија што се намалува. Најдете x и означете ја разликата на оваа прогресија.

Решение. Според својството на аритметичка прогресија имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ако x = 1, тогаш добиваме опаѓачка прогресија од 8, 2, 4 со разлика од 6. Ако x = 5, тогаш добиваме растечка прогресија од 40, 22, 4; овој случај не е соодветен.

Одговор: x = 1, разликата е 6.

Збир на првите n членови на аритметичка прогресија

Легендата вели дека еден ден наставникот им рекол на децата да го најдат збирот на броевите од 1 до 100 и тивко седнале да читаат весник. Меѓутоа, за неколку минути едно момче рече дека го решил проблемот. Ова беше 9-годишниот Карл Фридрих Гаус, подоцна еден од најголемите математичари во историјата.

Идејата на малиот Гаус беше следнава. Нека

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Ајде да ја напишеме оваа сума во обратен редослед:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и додадете ги овие две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Секој член во загради е еднаков на 101, а има вкупно 100 такви поими

2S = 101 100 = 10100;

Ја користиме оваа идеја за да ја изведеме формулата за сума

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Корисна модификација на формулата (3) се добива ако ја замениме формулата од n-тиот член an = a1 + (n 1)d во неа:

Задача 3. Најдете го збирот на сите позитивни трицифрени броеви деливи со 13.

Решение. Трицифрените броеви кои се множители на 13 формираат аритметичка прогресија при што првиот член е 104, а разликата е 13; N-тиот член од оваа прогресија има форма:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Ајде да дознаеме колку поими содржи нашата прогресија. За да го направите ова, да ја решиме нееднаквоста:

на 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Значи, има 69 членови во нашата прогресија. Користејќи ја формулата (4) ја наоѓаме потребната количина:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2