Формулата за волумен на правилна скратена пирамида. Формули за волумен за целосна и скратена пирамида
- 09.10.2014
Предзасилувачот прикажан на сликата е дизајниран за употреба со 4 типа извори на звук, како што се микрофон, ЦД-плеер, радио касетофон, итн. Во исто време, предзасилувачот има еден влез што може да ја промени чувствителноста од 50 mV на 500 mV . излезниот напон на засилувачот е 1000mV. Со поврзување на различни извори на сигнал при префрлување на прекинувачот SA1, секогаш ќе добиваме ...
- 20.09.2014
PSU е дизајниран за оптоварување со моќност од 15 ... 20 вати. Изворот е направен според шемата на пулсен високофреквентен конвертор со еден циклус. На транзисторот е составен осцилатор кој работи на фреквенција од 20 ... 40 kHz. Фреквенцијата се прилагодува со капацитетот C5. Елементите VD5, VD6 и C6 формираат коло за стартување на осцилатор. Во секундарното коло, после исправувачот на мостот, има конвенционален линеарен стабилизатор на микроспој, кој ви овозможува да имате ...
- 28.09.2014
Сликата покажува генератор на чип K174XA11, чија фреквенција се контролира со напон. Со промена на капацитетот C1 од 560 на 4700pF, може да се добие широк фреквентен опсег, додека фреквенцијата се прилагодува со промена на отпорот R4. На пример, авторот открил дека на C1 \u003d 560pF, фреквенцијата на генераторот може да се смени со помош на R4 од 600Hz на 200kHz, ...
- 03.10.2014
Единицата е дизајнирана да напојува моќен ULF, тој е дизајниран за излезен напон од ± 27V и така оптоварува до 3А на секоја рака. PSU е биполарен, направен на комплетни композитни транзистори KT825-KT827. Двата крака на стабилизаторот се направени според истата шема, но во другата рака (не е прикажана), поларитетот на кондензаторите се менува и се користат транзистори од другиот ...
Способноста да се пресмета волуменот на просторните фигури е важна за решавање на голем број практични проблеми во геометријата. Една од најчестите форми е пирамидата. Во оваа статија ќе ги разгледаме пирамидите, целосни и скратени.
Пирамида како тродимензионална фигура
Сите знаат за египетските пирамиди, па затоа имаат добра идеја за која бројка ќе се дискутира. Сепак, египетските камени структури се само посебен случај на огромна класа на пирамиди.
Геометрискиот објект што се разгледува во општиот случај е полигонална основа, чиешто теме е поврзано со одредена точка во просторот што не припаѓа на основната рамнина. Оваа дефиниција води до фигура која се состои од еден n-аголник и n триаголник.
Секоја пирамида се состои од n+1 лица, 2*n рабови и n+1 темиња. Бидејќи сликата што се разгледува е совршен полиедар, бројот на означени елементи се покорува на Ојлеровата равенка:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многуаголникот лоциран во основата го дава името на пирамидата, на пример, триаголен, петагонален итн. Збир на пирамиди со различни основи е прикажан на фотографијата подолу.
Точката во која се поврзани n триаголници на фигурата се нарекува врв на пирамидата. Ако една нормална е спуштена од неа до основата и ја пресекува во геометрискиот центар, тогаш таквата фигура ќе се нарече права линија. Ако овој услов не е исполнет, тогаш постои наклонета пирамида.
Права фигура, чија основа е формирана од рамностран (рамностран) n-аголник, се нарекува правилна.
Формула за волумен на пирамидата
За да го пресметаме волуменот на пирамидата, ја користиме интегралната пресметка. За да го направите ова, ние ја делиме фигурата со секантни рамнини паралелни на основата во бесконечен број тенки слоеви. На сликата подолу е прикажана четириаголна пирамида со висина h и должина на страна L, во која тенок пресечен слој е означен со четириаголник.
Површината на секој таков слој може да се пресмета со формулата:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Овде A 0 е областа на основата, z е вредноста на вертикалната координата. Може да се види дека ако z = 0, тогаш формулата ја дава вредноста A 0 .
За да ја добиете формулата за волуменот на пирамидата, треба да го пресметате интегралот на целата висина на фигурата, односно:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Заменувајќи ја зависноста A(z) и пресметувајќи го антидериватот, доаѓаме до изразот:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * ч.
Ја добивме формулата за волумен на пирамида. За да ја пронајдете вредноста на V, доволно е да ја помножите висината на фигурата со површината на основата, а потоа да го поделите резултатот за три.
Забележете дека добиениот израз е валиден за пресметување на волуменот на пирамида од произволен тип. Тоа е, може да биде наклонет, а неговата основа може да биде произволен n-аголник.
и неговиот волумен
Општата формула за волумен добиена во параграфот погоре може да се рафинира во случај на пирамида со правилна основа. Областа на таква основа се пресметува со следнава формула:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Овде L е должината на страната на правилен многуаголник со n темиња. Симболот пи е бројот пи.
Заменувајќи го изразот за A 0 во општата формула, го добиваме волуменот на правилна пирамида:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
На пример, за триаголна пирамида, оваа формула води до следниов израз:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
За редовна четириаголна пирамида, формулата за волумен ја има формата:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
Одредувањето на волумените на правилните пирамиди бара да се знае страната на нивната основа и висината на фигурата.
Скратена пирамида
Да претпоставиме дека земавме произволна пирамида и отсековме дел од нејзината странична површина што го содржи темето. Преостанатата фигура се нарекува скратена пирамида. Веќе се состои од две n-гонални основи и n трапезоиди кои ги поврзуваат. Ако рамнината за сечење била паралелна со основата на фигурата, тогаш се формира скратена пирамида со паралелни слични основи. Односно, должините на страните на едната од нив може да се добијат со множење на должините на другата со некој коефициент k.
На сликата погоре е прикажана скратена правилна.Се гледа дека нејзината горна основа, како и долната, е формирана од правилен шестоаголник.
Формулата што може да се изведе со користење на интегрална пресметка слична на горенаведената е:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Каде што A 0 и A 1 се областите на долната (голема) и горната (малата) основа, соодветно. Променливата h ја означува висината на скратената пирамида.
Волуменот на Кеопсовата пирамида
Љубопитно е да се реши проблемот со одредување на волуменот што го содржи најголемата египетска пирамида.
Во 1984 година, британските египтолози Марк Ленер и Џон Гудман ги утврдија точните димензии на Кеопсовата пирамида. Неговата првобитна висина била 146,50 метри (во моментов околу 137 метри). Просечната должина на секоја од четирите страни на структурата била 230.363 метри. Основата на пирамидата е квадратна со голема точност.
Да ги искористиме дадените бројки за да го одредиме обемот на овој каменен џин. Бидејќи пирамидата е правилна четириаголна, тогаш формулата е валидна за неа:
Приклучувајќи ги броевите, добиваме:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Волуменот на Кеопсовата пирамида е скоро 2,6 милиони m 3. За споредба, забележуваме дека олимпискиот базен има волумен од 2,5 илјади m 3. Односно, за да се наполни целата Кеопсова пирамида ќе бидат потребни повеќе од 1000 вакви базени!
- Ова е полиедар, кој е формиран од основата на пирамидата и дел паралелен со неа. Можеме да кажеме дека скратена пирамида е пирамида со отсечен врв. Оваа бројка има многу уникатни својства:
- Страничните лица на пирамидата се трапезоиди;
- Страничните ребра на правилна скратена пирамида се со иста должина и наклонети кон основата под ист агол;
- Основите се слични многуаголници;
- Во редовна скратена пирамида, лицата се идентични рамнокраки трапезоиди, чија површина е еднаква. Тие се исто така наклонети кон основата под еден агол.
Формулата за плоштината на страничната површина на скратена пирамида е збирот на површините на нејзините страни: 
Бидејќи страните на скратената пирамида се трапезоиди, ќе мора да ја користите формулата за да ги пресметате параметрите трапезоидна област. За редовна скратена пирамида, може да се примени друга формула за пресметување на површината. Бидејќи сите негови страни, лица и агли во основата се еднакви, можно е да се применат периметрите на основата и апотемата, а исто така да се изведе областа низ аголот во основата.
Ако според условите во правилна скратена пирамида се дадени апотемата (висина на страната) и должините на страните на основата, тогаш плоштината може да се пресмета преку полупроизводот од збирот на периметрите на основите и апотемата:
Ајде да погледнеме пример за пресметување на страничната површина на скратена пирамида.
Со оглед на правилна пентагонална пирамида. Апотема л\u003d 5 cm, должината на лицето во големата основа е а\u003d 6 cm, а лицето е на помалата основа б\u003d 4 см. Пресметајте ја плоштината на пресечената пирамида.
Прво, да ги најдеме периметрите на основите. Бидејќи ни е дадена пентагонална пирамида, разбираме дека основите се петоаголници. Тоа значи дека основите се фигура со пет идентични страни. Најдете го периметарот на поголемата основа:
На ист начин, го наоѓаме периметарот на помалата основа:
Сега можеме да ја пресметаме областа на редовна скратена пирамида. Ги заменуваме податоците во формулата:
Така, ја пресметавме плоштината на правилна скратена пирамида преку периметрите и апотемата.
Друг начин за пресметување на страничната површина на обична пирамида е формулата низ аглите во основата и областа на токму овие основи.
Ајде да погледнеме пример за пресметка. Запомнете дека оваа формула се однесува само на редовна скратена пирамида.
Нека се даде правилна четириаголна пирамида. Лицето на долната основа е a = 6 cm, а лицето на горниот b = 4 cm Диедралниот агол на основата е β = 60 °. Најдете ја страничната површина на правилна скратена пирамида.
Прво, да ја пресметаме површината на основите. Бидејќи пирамидата е правилна, сите лица на основите се еднакви една со друга. Имајќи предвид дека основата е четириаголник, разбираме дека ќе биде неопходно да се пресмета квадратна површина. Тоа е производ на ширина и должина, но на квадрат, овие вредности се исти. Најдете ја областа на поголемата основа: 
Сега ги користиме пронајдените вредности за да ја пресметаме површината на страничната површина. 
Знаејќи неколку едноставни формули, лесно ја пресметавме областа на страничниот трапез на скратена пирамида преку различни вредности.