Наоѓањето на изводот на даден е имплицитно. Деривати од повисок ред на имплицитно дадена функција

Нека функцијата е имплицитно одредена со помош на равенката
(1) .
И нека оваа равенка, за одредена вредност, има единствено решение. Нека функцијата е диференцијабилна функција во точката , и
.
Потоа, на оваа вредност, постои дериват, кој се одредува со формулата:
(2) .

Доказ

За да го докажете тоа, земете ја функцијата како сложена функција на променливата:
.
Да го примениме правилото за диференцијација на сложена функција и да го најдеме изводот во однос на променлива од левата и десната страна на равенката
(3) :
.
Бидејќи изводот на константа е нула и тогаш
(4) ;
.

Формулата е докажана.

Деривати од повисок ред

Ајде да ја преработиме равенката (4) користејќи различни ознаки:
(4) .
Во исто време, и се сложени функции на променливата:
;
.
Зависноста се одредува со равенката (1):
(1) .

Го наоѓаме изводот во однос на променлива од левата и десната страна на равенката (4).
Според формулата за извод на сложена функција, имаме:
;
.
Според формулата за дериват на производот:

.
Користејќи ја формулата за изводен збир:

.

Бидејќи дериватот на десната страна на равенката (4) е еднаков на нула, тогаш
(5) .
Заменувајќи го дериватот овде, ја добиваме вредноста на изводот од втор ред во имплицитна форма.

Диференцирајќи ја равенката (5) на сличен начин, добиваме равенка која содржи извод од трет ред:
.
Заменувајќи ги тука пронајдените вредности на дериватите од прв и втор ред, ја наоѓаме вредноста на дериватот од трет ред.

Продолжувајќи со диференцијација, може да се најде дериват од кој било ред.

Примери

Пример 1

Најдете го изводот од прв ред на функцијата дадена имплицитно со равенката:
(P1) .

Решение по формула 2

Го наоѓаме дериватот користејќи ја формулата (2):
(2) .

Ајде да ги преместиме сите променливи на левата страна така што равенката ќе ја добие формата .
.
Од тука.

Го наоѓаме изводот во однос на , сметајќи го константен.
;
;
;
.

Го наоѓаме изводот во однос на променливата, земајќи ја предвид променливата константа.
;
;
;
.

Користејќи ја формулата (2) наоѓаме:
.

Можеме да го поедноставиме резултатот ако забележиме дека според првобитната равенка (А.1), . Ајде да замениме:
.
Помножете ги броителот и именителот со:
.

Втор начин решение

Ајде да го решиме овој пример на вториот начин. За да го направите ова, ќе го најдеме изводот во однос на променливата на левата и десната страна на првобитната равенка (A1).

Аплицираме:
.
Ја применуваме формулата за дериватна фракција:
;
.
Ја применуваме формулата за извод на сложена функција:
.
Дозволете ни да ја разликуваме првобитната равенка (А1).
(P1) ;
;
.
Ги множиме и ги групираме поимите.
;
.

Да го замениме (од равенката (А1)):
.
Помножете се со:
.

Одговори

Пример 2

Најдете го изводот од втор ред на функцијата дадена имплицитно користејќи ја равенката:
(А2.1) .

Решение

Ја разликуваме првобитната равенка во однос на променливата, имајќи предвид дека таа е функција од:
;
.
Ја применуваме формулата за извод на сложена функција.
.

Да ја диференцираме оригиналната равенка (А2.1):
;
.
Од првобитната равенка (А2.1) произлегува дека . Ајде да замениме:
.
Отворете ги заградите и групирајте ги членовите:
;
(A2.2) .
Го наоѓаме дериватот од прв ред:
(A2.3) .

За да го најдеме изводот од втор ред, ја диференцираме равенката (A2.2).
;
;
;
.
Да го замениме изразот за изводот од прв ред (A2.3):
.
Помножете се со:

;
.
Оттука го наоѓаме изводот од втор ред.

Одговори

Пример 3

Најдете го изводот од трет ред на функцијата дадена имплицитно користејќи ја равенката:
(A3.1) .

Решение

Ја разликуваме првобитната равенка во однос на променливата, под претпоставка дека е функција од .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Да ја диференцираме равенката (A3.2) во однос на променливата .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Да ја диференцираме равенката (А3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Од равенките (А3.2), (А3.3) и (А3.4) ги наоѓаме вредностите на дериватите на .
;
;
.

Прво, да погледнеме имплицитна функција на една променлива. Се одредува со равенката (1), која го поврзува секој x од одреден регион X со одредено y. Тогаш на X со оваа равенка се определува функцијата y=f(x). Ја викаат имплицитнаили имплицитно дадена. Ако равенката (1) може да се реши во однос на y, т.е. добие форма y=f(x), а потоа одредувањето на имплицитната функција станува експлицитна.Сепак, не е секогаш можно да се реши равенката, и во овој случај не е секогаш јасно дали имплицитната функција y=f(x), дефинирана со равенката (1) во некое соседство на точката (x 0 , y 0 ), воопшто постои.

На пример, равенката
тој е нерешлив релативен и нејасно е дали дефинира имплицитна функција во некое соседство на точката (1,0), на пример. Забележете дека постојат равенки кои не дефинираат никаква функција (x 2 +y 2 +1=0).

Следната теорема се покажува како вистинита:

Теорема„Постоење и диференцијабилност на имплицитна функција“ (без доказ)

Нека е дадена равенката
(1) и функција
, ги задоволува условите:

Потоа:

. (2)

Геометриски, теоремата вели дека во соседството на точка
, каде што се исполнети условите на теоремата, имплицитната функција дефинирана со равенката (1) може да се специфицира експлицитно y=f(x), бидејќи За секоја x вредност има единствена y. Дури и да не можеме да најдеме израз за функцијата во експлицитна форма, сигурни сме дека во некое соседство на точката M 0 тоа во принцип е веќе возможно.

Да го погледнеме истиот пример:
. Ајде да ги провериме условите:

1)
,
- и функцијата и нејзините изводи се непрекинати во соседството на точката (1,0) (како збир и производ на непрекинати).

2)
.

3)
. Ова значи дека имплицитната функција y = f(x) постои во соседството на точката (1,0). Не можеме да го запишеме експлицитно, но сепак можеме да го најдеме неговиот дериват, кој дури ќе биде континуиран:

Ајде сега да размислиме имплицитна функција на неколку променливи. Нека е дадена равенката

. (2)

Ако на секој пар вредности (x, y) од одреден регион равенката (2) асоцира една специфична вредност z, тогаш се вели дека оваа равенка имплицитно дефинира една вредносна функција од две променливи
.

Валидна е и соодветната теорема за постоење и диференцијација на имплицитна функција од неколку променливи.

Теорема 2: Нека е дадена равенката
(2) и функција
ги задоволува условите:

Пример:
. Оваа равенка го дефинира z како имплицитна функција со две вредности од x и y
. Ако ги провериме условите на теоремата во близина на точка, на пример, (0,0,1), ќе видиме дека се исполнети сите услови:

Ова значи дека имплицитна функција со една вредност постои во соседството на точката (0,0,1): Веднаш можеме да кажеме дека ова е
, дефинирајќи ја горната хемисфера.

Постојат континуирани парцијални деривати
Патем, тие излегуваат исти ако ја диференцираме имплицитната функција изразена експлицитно директно.

Слични се дефиницијата и теоремата за постоење и диференцијација на имплицитна функција на повеќе аргументи.

Извод на функција назначена имплицитно

Или, накратко, изводот на имплицитна функција. Што е имплицитна функција? Бидејќи моите лекции се практични, се трудам да избегнувам дефиниции и теореми, но би било соодветно да го направам тоа овде. Што е сепак функција?

Функција на една променливае правило според кое секоја вредност на независната променлива одговара на една и само една вредност на функцијата.

Променливата се нарекува независната променливаили аргумент.
Променливата се нарекува зависна променливаили функција.

Грубо кажано, буквата „Y“ во овој случај е функцијата.

Досега ги разгледавме функциите дефинирани во експлицитнаформа. Што значи тоа? Ајде да спроведеме дебрифинг користејќи конкретни примери.

Размислете за функцијата

Гледаме дека лево имаме осамена „игра“ (функција), а десно - само „Х“. Односно функцијата експлицитноизразена преку независната променлива.

Ајде да погледнеме друга функција:

Тука се мешаат променливите. Згора на тоа невозможно со какви било средстваизразете „Y“ само преку „X“. Кои се овие методи? Пренесување поими од дел на дел со промена на знакот, нивно поместување надвор од загради, фрлање фактори според правилото за пропорција итн. Препишете ја еднаквоста и обидете се експлицитно да го изразите „y“: . Можете да ја извртувате и вртите равенката со часови, но нема да успеете.

Да ве запознаам: – пример имплицитна функција.

Во текот на математичката анализа беше докажано дека имплицитната функција постои(сепак, не секогаш), има график (исто како „нормална“ функција). Имплицитната функција е сосема иста постоипрв дериват, втор извод итн. Како што велат, се почитуваат сите права на сексуалните малцинства.

И во оваа лекција ќе научиме како да го најдеме изводот на функцијата дефинирана имплицитно. Не е толку тешко! Сите правила за диференцијација и табелата со деривати на елементарните функции остануваат во сила. Разликата е во еден необичен момент, кој ќе го разгледаме токму сега.

Да, и ќе ви ја кажам добрата вест - задачите дискутирани подолу се изведуваат според прилично строг и јасен алгоритам без камен пред три патеки.

Пример 1

1) Во првата фаза, прицврстуваме потези на двата дела:

2) Ги користиме правилата за линеарност на изводот (првите две правила од лекцијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија):

3) Директна диференцијација.
Како да се разликува е сосема јасно. Што да се прави каде што има „игри“ под ударите?

- само до степен на срам, изводот на функцијата е еднаков на неговиот извод: .

Како да се разликува
Еве го имаме комплексна функција. Зошто? Се чини дека под синусот има само една буква „Y“. Но, факт е дека има само една буква „y“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(види дефиниција на почетокот на лекцијата). Така, синусот е надворешна функција и е внатрешна функција. Го користиме правилото за диференцијација на сложена функција :

Производот го разликуваме според вообичаеното правило :

Ве молиме имајте предвид дека - е исто така сложена функција, секоја „игра со ѕвона и свирки“ е сложена функција:

Самото решение треба да изгледа вака:

Ако има загради, тогаш проширете ги:

4) На левата страна ги собираме поимите што содржат „Y“ со прост. Преместете сè друго на десната страна:

5) На левата страна го вадиме дериватот од загради:

6) И според правилото за пропорција, ги спуштаме овие загради во именителот на десната страна:

Дериватот е пронајден. Подготвени.

Интересно е да се забележи дека секоја функција може да се препише имплицитно. На пример, функцијата може да се препише вака: . И диференцирајте го користејќи го штотуку дискутираниот алгоритам. Всушност, фразите „имплицитна функција“ и „имплицитна функција“ се разликуваат во една семантичка нијанса. Фразата „имплицитно одредена функција“ е поопшта и поточна, – оваа функција е имплицитно наведена, но тука можете да ја изразите „играта“ и експлицитно да ја претставите функцијата. Фразата „имплицитна функција“ се однесува на „класичната“ имплицитна функција кога „играта“ не може да се изрази.

Второ решение

Внимание!Можете да се запознаете со вториот метод само ако знаете како самоуверено да пронајдете парцијални деривати. Калкулус почетници и кукли, ве молам не читајте и прескокнете ја оваа точка, инаку главата ќе ти биде целосен хаос.

Ајде да го најдеме изводот на имплицитната функција користејќи го вториот метод.

Ги преместуваме сите термини на левата страна:

И разгледајте ја функцијата од две променливи:

Тогаш нашиот дериват може да се најде со помош на формулата
Ајде да ги најдеме парцијалните деривати:

Така:

Второто решение ви овозможува да извршите проверка. Но, не е препорачливо да ја напишат конечната верзија на задачата, бидејќи парцијалните изводи се совладуваат подоцна, а студентот што ја проучува темата „Дериват на функција од една променлива“ сè уште не треба да знае делумни изводи.

Ајде да погледнеме уште неколку примери.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Додадете потези на двата дела:

Ние користиме правила за линеарност:

Наоѓање деривати:

Отворање на сите загради:

Ги поместуваме сите членови c на левата страна, а остатокот на десната страна:

На левата страна го ставаме надвор од загради:

Конечниот одговор:

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата.

Не е невообичаено дропките да се појават по диференцијацијата. Во такви случаи, треба да се ослободите од фракции. Ајде да погледнеме уште два примери.

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Ги затвораме двата дела под потези и го користиме правилото за линеарност:

Или накратко - дериват на имплицитна функција. Што е имплицитна функција? Бидејќи моите лекции се практични, се трудам да избегнувам дефиниции и теореми, но би било соодветно да го направам тоа овде. Што е сепак функција?

Една променлива функција е правило кое вели дека за секоја вредност на независната променлива има една и само една вредност на функцијата.

Грубо кажано, буквата „Y“ во овој случај е функцијата.

Размислете за функцијата

Ајде да погледнеме друга функција:

Да ве запознаам: - пример имплицитна функција.

Пример 1

1) Во првата фаза, прицврстуваме потези на двата дела:

Само до степен на срам изводот на функцијата е еднаков на неговиот извод: .

Како да се разликува

Еве го имаме комплексна функција. Зошто? Се чини дека под синусот има само една буква „Y“. Но, факт е дека има само една буква „y“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(види дефиниција на почетокот на лекцијата). Така, синусот е надворешна функција и е внатрешна функција. Го користиме правилото за диференцирање на сложена функција :

Производот го разликуваме според вообичаеното правило :

Самото решение треба да изгледа вака:

Ако има загради, тогаш проширете ги:

4) На левата страна ги собираме поимите што содржат „Y“ со прост. Преместете сè друго на десната страна:

5) На левата страна го вадиме дериватот од загради:

6) И според правилото за пропорција, ги спуштаме овие загради во именителот на десната страна:

Дериватот е пронајден. Подготвени.

Интересно е да се забележи дека секоја функција може да се препише имплицитно. На пример, функцијата може да се препише вака: . И диференцирајте го користејќи го штотуку дискутираниот алгоритам. Всушност, фразите „имплицитна функција“ и „имплицитна функција“ се разликуваат во една семантичка нијанса. Фразата „имплицитно одредена функција“ е поопшта и поточна, - оваа функција е имплицитно наведена, но тука можете да ја изразите „играта“ и експлицитно да ја претставите функцијата. Фразата „имплицитна функција“ се однесува на „класичната“ имплицитна функција кога „y“ не може да се изрази.

Второ решение

Внимание!Можете да се запознаете со вториот метод само ако знаете како самоуверено да пронајдете делумни деривати. Почетници и почетници во изучувањето на математичка анализа, ве молиме не читајте и прескокнувајте ја оваа точка, инаку главата ќе ви биде целосен хаос.

Ајде да го најдеме изводот на имплицитната функција користејќи го вториот метод.

Ги преместуваме сите термини на левата страна:

И разгледајте ја функцијата од две променливи:

Тогаш нашиот дериват може да се најде со помош на формулата

Ајде да ги најдеме парцијалните деривати:

Така:

Ајде да погледнеме уште неколку примери.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Додадете потези на двата дела:

Ние користиме правила за линеарност:

Наоѓање деривати:

Отворање на сите загради:

Ги преместуваме сите термини со на левата страна, а остатокот - на десната страна:

На левата страна го ставаме надвор од загради:

Конечниот одговор:

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата.

Ќе научиме да наоѓаме деривати на функции наведени имплицитно, односно специфицирани со одредени равенки што ги поврзуваат променливите xИ y. Примери на функции наведени имплицитно:

Изводите на функциите наведени имплицитно, или изводите на имплицитните функции, се наоѓаат многу едноставно. Сега да го погледнеме соодветното правило и пример, а потоа да дознаеме зошто е тоа потребно воопшто.

За да го пронајдете изводот на функцијата назначена имплицитно, треба да ги разликувате двете страни на равенката во однос на x. Оние термини во кои е присутен само X ќе се претворат во вообичаен извод на функцијата од X. И термините со играта мора да се разликуваат користејќи го правилото за диференцијација на сложени функции, бидејќи играта е функција на X. Сосема едноставно кажано, добиениот извод на членот со x треба да резултира со: изводот на функцијата од y помножен со изводот од y. На пример, изводот на член ќе биде напишан како , изводот на член ќе биде напишан како . Следно, од сето ова, треба да го изразите овој „потез на играта“ и ќе се добие саканиот дериват на функцијата наведена имплицитно. Да го погледнеме ова со пример.

Пример 1.

Решение. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x, под претпоставка дека i е функција од x:

Од тука го добиваме изводот што е потребен во задачата:

Сега нешто за двосмисленото својство на функциите наведени имплицитно, и зошто се потребни посебни правила за нивна диференцијација. Во некои случаи, можете да бидете сигурни дека замената на изразот во однос на x во дадена равенка (види примери погоре) наместо игра, води до фактот дека оваа равенка се претвора во идентитет. Значи. Горенаведената равенка имплицитно ги дефинира следните функции:

Откако ќе го замениме изразот за квадрат игра преку x во оригиналната равенка, го добиваме идентитетот:

Изразите што ги заменивме се добиени со решавање на равенката за играта.

Кога би ја разграничиле соодветната експлицитна функција

тогаш ќе го добиеме одговорот како во примерот 1 - од функцијата наведена имплицитно:

Но, не секоја функција наведена имплицитно може да биде претставена во формата y = ѓ(x) . Така, на пример, имплицитно наведените функции

не се изразуваат преку елементарни функции, односно овие равенки не можат да се решат во однос на играта. Затоа, постои правило за диференцирање на функцијата наведена имплицитно, кое веќе го проучувавме и понатаму доследно ќе го применуваме во други примери.

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Го изразуваме простиот и - на излезот - изводот на функцијата назначена имплицитно:

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Решение. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x:

Пример 4.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Решение. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x:

Го изразуваме и добиваме изводот:

Пример 5.Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно:

Решение. Ги поместуваме членовите од десната страна на равенката на левата страна и оставаме нула на десната страна. Ги разликуваме двете страни на равенката во однос на x.