Волуменот на пирамида со основа на рамностран триаголник. Волумен на триаголна пирамида

Една од наједноставните волуметриски фигури е триаголна пирамида, бидејќи се состои од најмал број на лица од кои може да се формира фигура во просторот. Во оваа статија, ќе ги разгледаме формулите со кои можете да го најдете волуменот на триаголна правилна пирамида.

триаголна пирамида

Според општата дефиниција, пирамидата е многуаголник, чиишто темиња се поврзани со една точка која не се наоѓа во рамнината на овој многуаголник. Ако вториот е триаголник, тогаш целата фигура се нарекува триаголна пирамида.

Разгледуваната пирамида се состои од основа (триаголник) и три странични лица (триаголници). Точката каде што се поврзани трите странични лица се нарекува теме на фигурата. Нормално отфрлено на основата од ова теме е висината на пирамидата. Ако точката на пресек на нормалната со основата се совпаѓа со точката на пресек на медијаните на триаголникот во основата, тогаш тие зборуваат за правилна пирамида. Во спротивно, ќе биде наведнат.

Како што беше кажано, основата на триаголната пирамида може да биде општ триаголник. Меѓутоа, ако е рамностран, а самата пирамида е права, тогаш зборуваат за правилната тридимензионална фигура.

Секој има 4 лица, 6 рабови и 4 темиња. Ако должините на сите рабови се еднакви, тогаш таквата фигура се нарекува тетраедар.

општ тип

Пред да запишеме правилна триаголна пирамида, даваме израз за оваа физичка големина за пирамида од општ тип. Овој израз изгледа вака:

Овде S o е плоштината на основата, h е висината на фигурата. Оваа еднаквост ќе важи за секој тип на основа на пирамидалниот многуаголник, како и за конусот. Ако во основата има триаголник со должина на страна a и висина h o спуштени до него, тогаш формулата за волумен ќе биде напишана на следниов начин:

Формули за волумен на правилна триаголна пирамида

Триаголник има рамностран триаголник во основата. Познато е дека висината на овој триаголник е поврзана со должината на неговата страна со еднаквоста:

Заменувајќи го овој израз во формулата за волумен на триаголна пирамида, напишана во претходниот пасус, добиваме:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Волуменот на правилна пирамида со триаголна основа е функција од должината на страната на основата и висината на фигурата.

Бидејќи секој правилен многуаголник може да биде впишан во круг чиј радиус уникатно ја одредува должината на страната на многуаголникот, тогаш оваа формула може да се напише во однос на соодветниот радиус r:

Оваа формула е лесно да се добие од претходната, имајќи предвид дека радиусот r на ограничениот круг низ должината на страната a на триаголникот се одредува со изразот:

Задача за одредување на волуменот на тетраедар

Дозволете ни да покажеме како да ги користиме горенаведените формули при решавање на конкретни геометриски проблеми.

Познато е дека тетраедарот има должина на работ од 7 cm.Најдете го волуменот на правилна триаголна пирамида-тетраедар.

Потсетиме дека тетраедарот е правилна триаголна пирамида во која сите основи се еднакви една со друга. За да ја користите формулата за волуменот на редовна триаголна пирамида, треба да пресметате две количини:

должината на страната на триаголникот;
висина на фигурата.

Првата вредност е позната од состојбата на проблемот:

За да ја одредите висината, разгледајте ја фигурата прикажана на сликата.

Означениот триаголник ABC е правоаголен триаголник каде аголот ABC е 90o. AC страната е хипотенузата, чија должина е a. Со едноставно геометриско расудување, може да се покаже дека страната BC има должина:

Забележете дека должината BC е радиусот на ограничениот круг околу триаголникот.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Сега можете да ги замените h и a во соодветната формула за волумен:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Така, ја добивме формулата за волумен на тетраедар. Се гледа дека волуменот зависи само од должината на реброто. Ако ја замениме вредноста од состојбата на проблемот во изразот, тогаш го добиваме одговорот:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Ако ја споредиме оваа вредност со волуменот на коцка која има ист раб, добиваме дека волуменот на тетраедар е 8,5 пати помал. Тоа укажува дека тетраедарот е компактна фигура, која се реализира во некои природни материи. На пример, молекулата на метанот е тетраедар, а секој јаглероден атом во дијамантот е поврзан со четири други атоми за да формира тетраедар.

Проблем со хомотетички пирамиди

Ајде да решиме еден чуден геометриски проблем. Да претпоставиме дека има триаголна правилна пирамида со одреден волумен V 1 . За колку пати треба да се намали големината на оваа бројка за да се добие пирамидална хомотетична за неа со волумен три пати помал од оригиналниот?

Да почнеме да го решаваме проблемот со пишување на формулата за оригиналната правилна пирамида:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Нека волуменот на фигурата што го бара условот на задачата се добие со множење на неговите параметри со коефициентот k. Ние имаме:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Бидејќи односот на волумените на бројките е познат од условот, ја добиваме вредноста на коефициентот k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Забележете дека ќе добиевме слична вредност на коефициентот k за произволен тип на пирамида, а не само за правилна триаголна.

За да го пронајдете волуменот на пирамидата, треба да знаете неколку формули. Ајде да ги разгледаме.

Како да се најде волуменот на пирамидата - 1 пат

Волуменот на пирамидата може да се најде со помош на висината и површината на нејзината основа. V = 1/3*S*h. Така, на пример, ако висината на пирамидата е 10 см, а површината на нејзината основа е 25 см 2, тогаш волуменот ќе биде еднаков на V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Како да се најде волуменот на пирамидата - втор метод

Ако во основата на пирамидата лежи правилен многуаголник, тогаш неговиот волумен може да се најде со следнава формула: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), каде што a е страната на многуаголникот што лежи на основа, а n е бројот на неговите страни. На пример: Основата е правилен шестоаголник, односно n = 6. Бидејќи е правилна, сите негови страни се еднакви, односно сите a се еднакви. Да речеме a = 10 и h - 15. Ги внесуваме броевите во формулата и добиваме приближен одговор - 1299 cm 3

Како да се најде волуменот на пирамидата - 3-ти начин

Ако рамностран триаголник лежи во основата на пирамидата, тогаш неговиот волумен може да се најде со следнава формула: V = ha 2 /4√3, каде што a е страната на рамностран триаголник. На пример: висината на пирамидата е 10 см, страната на основата е 5 см Волуменот ќе биде еднаков на V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Обично, што се случило во именителот не се пресметува и се остава во иста форма. Можете исто така да ги помножите и броителот и именителот со 4√3 за да добиете 1000√3/48. Намалувајќи добиваме 125√ 3/6 cm 3.

Како да се најде волуменот на пирамидата - 4-ти начин

Ако квадрат лежи во основата на пирамидата, тогаш неговиот волумен може да се најде со следнава формула: V = 1/3*h*a 2, каде што a се страните на квадратот. На пример: висина - 5 см, страна на плоштадот - 3 см. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 см 3

Како да се најде волуменот на пирамидата - 5-ти пат

Ако пирамидата е тетраедар, односно сите нејзини лица се рамностран триаголник, можете да го најдете волуменот на пирамидата користејќи ја следната формула: V = a 3 √2/12, каде што a е раб на тетраедарот. На пример: раб на тетраедар \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Што е пирамида?

Како изгледа таа?

Гледате: на пирамидата подолу (тие велат " во основата"") некој многуаголник, и сите темиња на овој многуаголник се поврзани со некоја точка во просторот (оваа точка се нарекува " теме»).

Целата оваа структура има странични лица, странични ребраи основни ребра. Уште еднаш, ајде да нацртаме пирамида заедно со сите овие имиња:

Некои пирамиди можеби изгледаат многу чудно, но сепак се пирамиди.

Еве, на пример, доста „коси“ пирамида.

И малку повеќе за имињата: ако има триаголник во основата на пирамидата, тогаш пирамидата се нарекува триаголна;

Во исто време, точката каде што падна висина, се нарекува висинска основа. Забележете дека во „кривите“ пирамиди висинаможе да биде дури и надвор од пирамидата. Како ова:

И нема ништо страшно во ова. Изгледа како тап триаголник.

Правилна пирамида.

Многу тешки зборови? Ајде да дешифрираме: „ Во основата - точно“- ова е разбирливо. И сега запомнете дека правилен многуаголник има центар - точка што е центар на и , и .

Па, а зборовите „врвот е проектиран во центарот на основата“ значат дека основата на висината паѓа точно во центарот на основата. Погледнете колку мазно и слатко изгледа десна пирамида.

Шестоаголна: во основата - правилен шестоаголник, темето е проектирано во центарот на основата.

четириаголна: во основата - квадрат, врвот е проектиран до пресечната точка на дијагоналите на овој квадрат.

триаголен: во основата е правилен триаголник, темето е проектирано до пресечната точка на висините (тие се и средни и симетрали) на овој триаголник.

Високо важни својства на обична пирамида:

Во десната пирамида

сите странични рабови се еднакви.
сите странични страни се рамнокраки триаголници и сите овие триаголници се еднакви.

Волумен на пирамидата

Главната формула за волуменот на пирамидата:

Од каде точно дојде? Ова не е толку едноставно, и на почетокот само треба да запомните дека пирамидата и конусот имаат волумен во формулата, но цилиндерот нема.

Сега да го пресметаме обемот на најпопуларните пирамиди.

Нека страната на основата е еднаква, а страничниот раб еднаков. Треба да најдам и.

Ова е плоштина на правоаголен триаголник.

Да се потсетиме како да ја бараме оваа област. Ја користиме формулата за површина:

Имаме „“ - ова, и „“ - и ова, а.

Сега да најдеме.

Според Питагоровата теорема за

Што е важно? Ова е радиусот на ограничениот круг во, бидејќи пирамидаточноа оттука и центарот.

Бидејќи - точката на пресек и медијаната исто така.

(Питагорова теорема за)

Замена во формулата за.

Ајде да приклучиме сè во формулата за јачина на звук:

Внимание:ако имате редовен тетраедар (т.е.), тогаш формулата е:

Нека страната на основата е еднаква, а страничниот раб еднаков.

Нема потреба да барате овде; бидејќи во основата е квадрат и затоа.

Ајде да најдеме. Според Питагоровата теорема за

Дали знаеме? За малку. Погледнете:

(ова го видовме со прегледување).

Замена во формулата за:

И сега ја заменуваме формулата за волумен.

Нека страната на основата е еднаква, а страничниот раб.

Како да се најде? Види, шестоаголник се состои од точно шест идентични правилни триаголници. Веќе ја баравме плоштината на правилен триаголник при пресметување на волуменот на правилна триаголна пирамида, тука ја користиме пронајдената формула.

Сега да го најдеме (ова).

Според Питагоровата теорема за

Но, што е важно тоа? Едноставно е затоа што (и сите други исто така) се точни.

Заменуваме:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПИРАМИДА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИОТ

Пирамида е полиедар кој се состои од кој било рамен многуаголник (), точка што не лежи во рамнината на основата (врвот на пирамидата) и сите сегменти што го поврзуваат врвот на пирамидата со точките на основата (странични рабови ).

Нормално падна од врвот на пирамидата до рамнината на основата.

Правилна пирамида- пирамида, која има правилен многуаголник во основата, а врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата.

Својство на обична пирамида:

Во редовна пирамида, сите странични рабови се еднакви.
Сите странични лица се рамнокраки триаголници и сите овие триаголници се еднакви.

Волуменот на пирамидата:

Па, темата заврши. Ако ги читате овие редови, тогаш сте многу кул.

Затоа што само 5% од луѓето се способни да совладаат нешто сами. И ако сте прочитале до крај, тогаш сте во 5%!

Сега најважното нешто.

Ја сфативте теоријата на оваа тема. И, повторувам, тоа е ... едноставно е супер! Веќе сте подобри од огромното мнозинство ваши врсници.

Проблемот е што ова можеби не е доволно ...

За што?

За успешно полагање на испитот, за прием во институтот по буџет и НАЈВАЖНО доживотно.

Нема да ве убедам во ништо, само едно ќе кажам...

Луѓето кои добиле добро образование заработуваат многу повеќе од оние кои не го добиле. Ова е статистика.

Но, ова не е главната работа.

Главната работа е што тие се ПОСРЕЌНИ (има такви студии). Можеби затоа што пред нив се отвораат многу повеќе можности и животот станува посветол? Не знам...

Но, размислете сами...

Што е потребно за да бидете сигурни дека ќе бидете подобри од другите на испитот и на крајот ќе бидете ... посреќни?

ПОЛНЕТЕ ЈА РАКАТА, РЕШАВАЈТЕ ПРОБЛЕМИ НА ОВАА ТЕМА.

На испитот нема да ве прашаат теорија.

Ќе ви треба решавајте ги проблемите на време.

И, ако не сте ги решиле (МНОГУ!), дефинитивно ќе направите глупава грешка некаде или едноставно нема да ја направите на време.

Тоа е како во спортот - треба да повторувате многу пати за да победите сигурно.

Најдете колекција каде и да посакате нужно со решенија, детална анализаи одлучи, одлучува, одлучува!

Можете да ги користите нашите задачи (не се потребни) и ние секако ги препорачуваме.

За да добиете рака со помош на нашите задачи, треба да помогнете да го продолжите животниот век на учебникот YouClever што моментално го читате.

Како? Постојат две опции:

Отклучете го пристапот до сите скриени задачи во оваа статија - 299 рубли.
Отклучете го пристапот до сите скриени задачи во сите 99 статии од упатството - 499 рубли.

Да, имаме 99 такви статии во учебникот и веднаш може да се отвори пристап до сите задачи и сите скриени текстови во нив.

Пристап до сите скриени задачи е обезбеден за целиот животен век на страницата.

Во заклучок...

Ако не ви се допаѓаат нашите задачи, најдете други. Само не застанувај со теорија.

„Разбрано“ и „Знам да решавам“ се сосема различни вештини. Ви требаат и двете.

Најдете проблеми и решавајте!

Пирамидата е полиедар со многуаголник во основата. Сите лица, пак, формираат триаголници кои се спојуваат на едно теме. Пирамидите се триаголни, четириаголни итн. За да одредите која пирамида е пред вас, доволно е да го изброите бројот на агли во нејзината основа. Дефиницијата за „висина на пирамидата“ многу често се среќава во геометриските проблеми во училишната програма. Во написот ќе се обидеме да разгледаме различни начини да го најдеме.

Делови од пирамидата

Секоја пирамида се состои од следниве елементи:

странични лица кои имаат три агли и се спојуваат на врвот;
апотема ја претставува висината што се спушта од нејзиниот врв;
врвот на пирамидата е точка што ги поврзува страничните рабови, но не лежи во рамнината на основата;
основа е многуаголник кој не содржи теме;
висината на пирамидата е отсечка што го пресекува врвот на пирамидата и формира прав агол со нејзината основа.

Како да се најде висината на пирамидата ако е познат нејзиниот волумен

Преку формулата V \u003d (S * h) / 3 (во формулата V е волуменот, S е основната област, h е висината на пирамидата), откриваме дека h \u003d (3 * V) / S . За да го консолидираме материјалот, веднаш да го решиме проблемот. Триаголната основа е 50 cm 2 додека нејзиниот волумен е 125 cm 3 . Висината на триаголната пирамида е непозната, која треба да ја најдеме. Сè е едноставно овде: ги вметнуваме податоците во нашата формула. Добиваме h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Како да се најде висината на пирамидата ако се познати должината на дијагоналата и нејзиниот раб

Како што се сеќаваме, висината на пирамидата формира прав агол со нејзината основа. И ова значи дека висината, работ и половина од дијагоналата заедно формираат Многумина, се разбира, се сеќаваат на Питагоровата теорема. Знаејќи две димензии, нема да биде тешко да се најде третата вредност. Потсетете се на добро познатата теорема a² = b² + c², каде што a е хипотенузата, а во нашиот случај работ на пирамидата; б - првиот крак или половина од дијагоналата и c - соодветно, вториот крак или висината на пирамидата. Од оваа формула, c² = a² - b².

Сега проблемот: во правилна пирамида, дијагоналата е 20 см, додека должината на работ е 30 см. Треба да ја пронајдете висината. Решаваме: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Оттука c \u003d √ 500 \u003d околу 22,4.

Како да ја пронајдете висината на скратена пирамида

Тоа е многуаголник кој има пресек паралелен на неговата основа. Висината на скратената пирамида е сегментот што ги поврзува нејзините две основи. Висината може да се најде кај правилна пирамида ако се познати должините на дијагоналите на двете основи, како и на работ на пирамидата. Нека дијагоналата на поголемата основа е d1, додека дијагоналата на помалата основа е d2, а работ има должина l. За да ја пронајдете висината, можете да ги спуштите висините од двете горните спротивни точки на дијаграмот до неговата основа. Гледаме дека имаме два правоаголни триаголници, останува да ги најдеме должините на нивните нозе. За да го направите ова, одземете ја помалата дијагонала од поголемата дијагонала и поделете со 2. Така ќе најдеме една крак: a \u003d (d1-d2) / 2. После тоа, според Питагоровата теорема, останува само да го најдеме вториот крак, кој е висината на пирамидата.

Сега да ја погледнеме целата оваа работа во пракса. Имаме задача пред нас. Скратената пирамида има квадрат во основата, дијагоналната должина на поголемата основа е 10 cm, додека помалата е 6 cm, а работ е 4 cm Потребно е да се најде висината. За почеток, наоѓаме една нога: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Едната нога е 2 cm, а хипотенузата е 4 cm. Излегува дека втората нога или висина ќе биде 16- 4 \u003d 12, односно h \u003d √12 = околу 3,5 см.

Зборот „пирамида“ неволно се поврзува со величествените џинови во Египет, верно чувајќи го мирот на фараоните. Можеби затоа пирамидата непогрешливо ја препознаваат сите, дури и децата.

Сепак, да се обидеме да му дадеме геометриска дефиниција. Да замислиме неколку точки (A1, A2,..., An) на рамнината и уште една (E) што не му припаѓа. Значи, ако точката E (горе) е поврзана со темињата на многуаголникот формиран од точките A1, A2, ..., Ap (основа), ќе добиете полиедар, кој се нарекува пирамида. Очигледно, многуаголникот во основата на пирамидата може да има било кој број темиња, а во зависност од нивниот број, пирамидата може да се нарече триаголна и четириаголна, петаголна итн.

Ако внимателно ја погледнете пирамидата, ќе ви стане јасно зошто и таа е поинаку дефинирана - како геометриска фигура со многуаголник во основата, и триаголници обединети со заедничко теме како странични лица.

Бидејќи пирамидата е просторна фигура, тогаш има и таква квантитативна карактеристика, бидејќи се пресметува од добро познатата еднаква третина од производот на основата на пирамидата и нејзината висина:

Волуменот на пирамидата, при изведување на формулата, првично се пресметува за триаголна, земајќи како основа константен сооднос што ја поврзува оваа вредност со волуменот на триаголна призма со иста основа и висина, што, како што се испоставува , е три пати поголем од овој волумен.

И бидејќи секоја пирамида е поделена на триаголни, а нејзиниот волумен не зависи од конструкциите извршени во доказот, валидноста на горната формула за волумен е очигледна.

Помеѓу сите пирамиди се издвојуваат вистинските во кои лежи основата, а што се однесува до тоа, таа треба да „заврши“ во центарот на основата.

Во случај на неправилен многуаголник во основата, за да се пресмета површината на основата, ќе ви требаат:

скрши го на триаголници и квадрати;

пресметајте ја областа на секоја од нив;

додадете ги примените податоци.

Во случај на правилен многуаголник во основата на пирамидата, неговата плоштина се пресметува со помош на готови формули, така што обемот на правилна пирамида се пресметува многу едноставно.

На пример, за да се пресмета волуменот на четириаголна пирамида, ако е правилна, должината на страната на правилен четириаголник (квадрат) во основата е квадрат и, множејќи се со висината на пирамидата, добиениот производ се дели со три.

Волуменот на пирамидата може да се пресмета со помош на други параметри:

како третина од производот на радиусот на топката впишана во пирамидата и површината на нејзината вкупна површина;

како две третини од производот на растојанието помеѓу два произволно земени вкрстени рабови и областа на паралелограмот што ги формира средните точки на преостанатите четири рабови.

Волуменот на пирамидата исто така се пресметува едноставно во случај кога нејзината висина се совпаѓа со еден од страничните рабови, односно во случај на правоаголна пирамида.

Зборувајќи за пирамидите, не може да се игнорираат скратените пирамиди добиени со сечење на пирамидата со рамнина паралелна со основата. Нивниот волумен е речиси еднаков на разликата помеѓу волумените на целата пирамида и отсечениот врв.

Првиот том на пирамидата, иако не сосема во својата модерна форма, но еднаков на 1/3 од волуменот на призмата што ни е позната, го најде Демокрит. Архимед го нарекол својот метод на броење „без доказ“, бидејќи Демокрит се приближил до пирамидата како да е фигура составена од бескрајно тенки, слични плочи.

Векторската алгебра, исто така, „се осврна“ на прашањето за наоѓање на волуменот на пирамидата, користејќи ги координатите на нејзините темиња за ова. Пирамидата изградена на тројката вектори a,b,c е еднаква на една шестина од модулот на мешаниот производ на дадените вектори.