Заеднички множител на броеви. Како да се најде најмалиот заеднички множител на два броја

Математичките изрази и задачи бараат многу дополнителни знаења. NOC е еден од главните, особено често се користи во темата.Темата се изучува во средно училиште, иако не е особено тешко да се разбере материјалот, нема да биде тешко за човек кој е запознаен со моќите и табелата за множење да избере потребните бројки и пронајдете го резултатот.

Дефиниција

Заеднички множител е број кој може целосно да се подели на два броја во исто време (а и б). Најчесто овој број се добива со множење на оригиналните броеви a и b. Бројот мора да биде делив со двата броја одеднаш, без отстапувања.

NOC е кратко име, кое се зема од првите букви.

Начини да се добие број

За да го пронајдете LCM, методот на множење броеви не е секогаш погоден, тој е многу посоодветен за едноставни едноцифрени или двоцифрени броеви. Вообичаено е да се делат на фактори, колку е поголем бројот, толку повеќе фактори ќе има.

Пример #1

За наједноставниот пример, училиштата обично земаат едноставни, едноцифрени или двоцифрени броеви. На пример, треба да ја решите следната задача, да го пронајдете најмалиот заеднички множител од броевите 7 и 3, решението е прилично едноставно, само помножете ги. Како резултат на тоа, постои бројот 21, едноставно нема помал број.

Пример #2

Втората опција е многу потешка. Дадени се броевите 300 и 1260, наоѓањето на LCM е задолжително. За да се реши задачата, се претпоставуваат следните дејства:

Разложување на првиот и вториот број на наједноставни фактори. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Првата фаза е завршена.

Втората фаза вклучува работа со веќе добиените податоци. Секој од примените броеви мора да учествува во пресметката на конечниот резултат. За секој фактор, најголемиот број на појави се зема од оригиналните броеви. LCM е заеднички број, така што факторите од броевите мора да се повторат во него до последно, дури и оние што се присутни во еден пример. И двата почетни броја во својот состав ги имаат броевите 2, 3 и 5, во различни степени, 7 е само во еден случај.

За да го пресметате конечниот резултат, треба да го земете секој број во најголемата од нивните претставени моќи, во равенката. Останува само да се множи и да се добие одговорот, со точното пополнување, задачата се вклопува во два чекори без објаснување:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Тоа е целата задача, ако се обидете да го пресметате саканиот број со множење, тогаш одговорот дефинитивно нема да биде точен, бидејќи 300 * 1260 = 378.000.

Испитување:

6300 / 300 = 21 - точно;

6300 / 1260 = 5 е точно.

Точноста на резултатот се одредува со проверка - делење на LCM со двата оригинални броја, ако бројот е цел број во двата случаи, тогаш одговорот е точен.

Што значи НОК во математиката

Како што знаете, нема ниту една бескорисна функција во математиката, оваа не е исклучок. Најчеста цел на овој број е да ги доведе дропките до заеднички именител. Она што обично се изучува во 5-6 одделение од гимназијата. Дополнително е и заеднички делител за сите множители, доколку такви услови се во проблемот. Таквиот израз може да најде множител не само на два броја, туку и на многу поголем број - три, пет и така натаму. Колку повеќе броеви - толку повеќе дејства во задачата, но сложеноста на ова не се зголемува.

На пример, со оглед на броевите 250, 600 и 1500, треба да го најдете нивниот вкупен LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - овој пример детално ја опишува факторизацијата, без намалување.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се состави израз, потребно е да се споменат сите фактори, во овој случај се дадени 2, 5, 3 - за сите овие бројки потребно е да се одреди максималниот степен.

Внимание: сите множители мора да се доведат до целосно поедноставување, ако е можно, распаѓајќи до ниво на едноцифрени.

Испитување:

1) 3000 / 250 = 12 - точно;

2) 3000 / 600 = 5 - точно;

3) 3000 / 1500 = 2 е точно.

Овој метод не бара никакви трикови или способности на генијално ниво, сè е едноставно и јасно.

Друг начин

Во математиката многу е поврзано, многу може да се реши на два или повеќе начини, истото важи и за наоѓање на најмал заеднички множител, LCM. Следниот метод може да се користи во случај на едноставни двоцифрени и едноцифрени броеви. Се составува табела во која множителот се внесува вертикално, мултипликаторот хоризонтално, а производот е означен во пресечните ќелии на колоната. Табелата можете да ја рефлектирате со помош на линија, се зема број и резултатите од множењето на овој број со цели броеви се запишуваат по ред, од 1 до бесконечност, понекогаш се доволни 3-5 поени, се подложуваат вториот и следните броеви на истиот пресметковен процес. Сè се случува додека не се најде заеднички множител.

Со оглед на броевите 30, 35, 42, треба да го пронајдете LCM што ги поврзува сите броеви:

1) Множества од 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 итн.

2) Множење од 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 итн.

3) Множење од 42: 84, 126, 168, 210, 252 итн.

Забележливо е дека сите броеви се сосема различни, единствениот заеднички број меѓу нив е 210, па тоа ќе биде LCM. Меѓу процесите поврзани со оваа пресметка, постои и најголемиот заеднички делител, кој се пресметува според слични принципи и често се среќава во соседните проблеми. Разликата е мала, но доволно значајна, LCM вклучува пресметка на број кој е делив со сите дадени почетни вредности, а GCD ја претпоставува пресметката на најголемата вредност со која се делат почетните броеви.

Да почнеме да го проучуваме најмалиот заеднички множител на два или повеќе броеви. Во делот ќе дадеме дефиниција за поимот, ќе разгледаме теорема која воспоставува врска помеѓу најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител и ќе дадеме примери за решавање проблеми.

Заеднички множители - дефиниција, примери

Во оваа тема ќе не интересираат само заеднички множители на цели броеви освен нула.

Дефиниција 1

Заеднички множител на цели броевие цел број кој е повеќекратен од сите дадени броеви. Всушност, тоа е секој цел број што може да се подели со кој било од дадените броеви.

Дефиницијата за заеднички множители се однесува на два, три или повеќе цели броеви.

Пример 1

Според дефиницијата дадена погоре за бројот 12, заедничките множители се 3 и 2. Исто така, бројот 12 ќе биде заеднички множител на броевите 2, 3 и 4. Броевите 12 и -12 се заеднички множители на броевите ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Во исто време, заедничкиот множител за броевите 2 и 3 ќе бидат броевите 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и број од сите други.

Ако земеме броеви кои се деливи со првиот број на пар, а не се делат со вториот, тогаш таквите броеви нема да бидат заеднички множители. Значи, за броевите 2 и 3, броевите 16 , − 27 , 5009 , 27001 нема да бидат заеднички множители.

0 е заеднички множител на кое било множество цели броеви кои не се нула.

Ако се потсетиме на својството на деливост во однос на спротивни броеви, тогаш излегува дека некој цел број k ќе биде заеднички множител на овие броеви на ист начин како и бројот - k. Ова значи дека заедничките делители можат да бидат или позитивни или негативни.

Дали е можно да се најде LCM за сите броеви?

Заедничкиот множител може да се најде за сите цели броеви.

Пример 2

Да претпоставиме дека ни се дадени кцели броеви a 1 , a 2 , ... , a k. Бројот што го добиваме при множење на броевите a 1 a 2 … a kспоред својството на деливост ќе се подели со секој од факторите што биле вклучени во оригиналниот производ. Тоа значи дека производот на броевите a 1 , a 2 , ... , a kе најмалиот заеднички множител од овие броеви.

Колку заеднички множители можат да имаат овие цели броеви?

Група цели броеви може да има голем број на заеднички множители. Всушност, нивниот број е бесконечен.

Пример 3

Да претпоставиме дека имаме некој број k. Тогаш производот на броевите k · z , каде што z е цел број, ќе биде заеднички множител на броевите k и z . Имајќи предвид дека бројот на броеви е бесконечен, тогаш бројот на заеднички множители е бесконечен.

Најмалку заедничко повеќекратно (LCM) - дефиниција, симбол и примери

Потсетете се на концептот на најмал број од дадено збир на броеви, што го разгледавме во делот Споредба на цели броеви. Имајќи го на ум овој концепт, ја формулираме дефиницијата за најмалиот заеднички множител, кој има најголемо практично значење меѓу сите заеднички множители.

Дефиниција 2

Најмал заеднички множител на дадени цели броевие најмалку позитивен заеднички множител од овие броеви.

Најмалиот заеднички множител постои за кој било број на дадени броеви. Кратенката NOK е најчесто користена за означување на концепт во референтната литература. Скратен збор за најмалку вообичаено множество за броеви a 1 , a 2 , ... , a kќе изгледа како LCM (а 1 , а 2 , ... , а к).

Пример 4

Најмалиот заеднички множител на 6 и 7 е 42. Оние. LCM(6, 7) = 42. Најмалиот заеднички множител на четири броеви - 2, 12, 15 и 3 ќе биде еднаков на 60. Стенографскиот текст ќе биде LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Не за сите групи на дадени броеви, најмалиот заеднички множител е очигледен. Честопати треба да се пресмета.

Односот помеѓу NOC и NOD

Најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител се поврзани. Односот помеѓу концептите е воспоставен со теоремата.

Теорема 1

Најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви a и b е еднаков на производот на броевите a и b поделен со најголемиот заеднички делител на броевите a и b , односно LCM (a , b) = a b: gcd (a , б) .

Доказ 1

Да претпоставиме дека имаме некој број M кој е множител на броевите a и b. Ако бројот M е делив со a, има и цел број z , под кои еднаквоста M = a k. Според дефиницијата за деливост, ако М се дели и со б, па тогаш а кподелено со б.

Ако воведеме нова нотација за gcd (a , b) as г, тогаш можеме да ги искористиме еднаквостите a = a 1 dи b = b 1 · d. Во овој случај, двете еднаквости ќе бидат сопрости броеви.

Погоре веќе утврдивме а кподелено со б. Сега оваа состојба може да се напише на следниов начин:
а 1 ден кподелено со б 1 г, што е еквивалентно на условот а 1 кподелено со б 1според својствата на деливост.

Според својството на релативно простите броеви, ако а 1и б 1се меѓусебно прости броеви, а 1не се дели со б 1и покрај фактот дека а 1 кподелено со б 1, тогаш б 1треба да сподели к.

Во овој случај, би било соодветно да се претпостави дека има одреден број т, за што k = b 1 t, и оттогаш b1=b:d, тогаш k = b: d t.

Сега наместо кстави во еднаквост M = a kизразување на формата б: г т. Ова ни овозможува да дојдеме до еднаквост M = a b: d t. На t=1можеме да го добиеме најмалиот позитивен заеднички множител на a и b , еднакви а б: г, под услов броевите a и b позитивен.

Значи, докажавме дека LCM (a , b) = a b: GCD (а, б).

Воспоставувањето врска помеѓу LCM и GCD ви овозможува да го пронајдете најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител на два или повеќе дадени броеви.

Дефиниција 3

Теоремата има две важни последици:

  • множители на најмалиот заеднички множител на два броја се исти како заедничките множители на тие два броја;
  • најмалиот заеднички множител на сопростите позитивни броеви a и b е еднаков на нивниот производ.

Не е тешко да се поткрепат овие два факти. Секој заеднички множител на M броевите a и b се дефинира со еднаквоста M = LCM (a, b) t за некоја цел број t вредност. Бидејќи a и b се копромиум, тогаш gcd (a, b) = 1, според тоа, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Најмал заеднички множител на три или повеќе броеви

За да го пронајдете најмалиот заеднички множител на неколку броеви, мора последователно да го најдете LCM на два броја.

Теорема 2

Ајде да се преправаме дека a 1 , a 2 , ... , a kсе некои позитивни цели броеви. За да се пресмета LCM m kовие бројки, треба последователно да ги пресметаме m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k) .

Доказ 2

Првата последица од првата теорема дискутирана во оваа тема ќе ни помогне да ја докажеме исправноста на втората теорема. Расудувањето е изградено според следниот алгоритам:

  • заеднички множители на броеви а 1и а 2се совпаѓаат со множители на нивниот LCM, всушност, тие се совпаѓаат со множители на бројот m2;
  • заеднички множители на броеви а 1, а 2и а 3 m2и а 3 m 3;
  • заеднички множители на броеви a 1 , a 2 , ... , a kсе совпаѓаат со заеднички множители на броеви m k - 1и а к, значи, се совпаѓаат со множители на бројот m k;
  • поради фактот што најмалиот позитивен множител на бројот m kе самиот број m k, тогаш најмал заеднички множител на броевите a 1 , a 2 , ... , a kе m k.

Значи, ја докажавме теоремата.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter



















Назад напред

Внимание! Прегледот на слајдот е само за информативни цели и може да не го претставува целосниот обем на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Со концептите најголем заеднички делител (GCD) и најмал заеднички множител (LCM), средношколците се среќаваат во шесто одделение. Оваа тема е секогаш тешко да се совлада. Децата често ги збунуваат овие концепти, не разбираат зошто треба да се изучуваат. Неодамна, во научно-популарната литература има посебни изјави дека овој материјал треба да се исклучи од училишната програма. Мислам дека тоа не е сосема точно и потребно е да се проучува, ако не во училница, тогаш во воннаставно време во училницата од училишната компонента, бидејќи придонесува за развој на логичното размислување на учениците, зголемувајќи ја брзината на пресметковните операции и способноста да се решаваат проблеми користејќи убави методи.

Кога ја проучуваме темата „Собирање и одземање на дропки со различни именители“ ги учиме децата да најдат заеднички именител на два или повеќе броеви. На пример, треба да ги соберете дропките 1/3 и 1/5. Учениците можат лесно да најдат број кој е делив без остаток со 3 и 5. Овој број е 15. Навистина, ако броевите се мали, тогаш нивниот заеднички именител е лесно да се најде, добро знаејќи ја табелата за множење. Еден од момците забележува дека овој број е производ на броевите 3 и 5. Децата имаат мислење дека секогаш на овој начин можете да најдете заеднички именител за броевите. На пример, одземете ги дропките 7/18 и 5/24. Да го најдеме производот на броевите 18 и 24. Тоа е еднакво на 432. Веќе добивме голем број и ако треба да се направат дополнителни пресметки (особено за примери за сите дејства), тогаш веројатноста за грешка се зголемува. Но, пронајдениот најмал заеднички множител на броевите (LCM), кој во овој случај е еквивалентен на најмалиот заеднички именител (LCD) - бројот 72 - во голема мера ќе ги олесни пресметките и ќе доведе до побрзо решение на примерот, а со тоа ќе го спаси време наменето за завршување на оваа задача, што игра важна улога во извршувањето на завршниот тест, контролната работа, особено за време на финалната сертификација.

Кога ја проучувате темата „Намалување на дропките“, можете да се движите последователно со делење на броителот и именителот на дропката со ист природен број, користејќи ги знаците за деливост на броевите, со што на крајот ќе се добие нескратлива дропка. На пример, треба да ја намалите фракцијата 128/344. Броителот и именителот на дропката прво ги делиме со бројот 2, ја добиваме дропот 64/172. Уште еднаш, ги делиме броителот и именителот на добиената дропка со 2, ја добиваме дропот 32/86. Поделете ги уште еднаш броителот и именителот на дропката со 2, ја добиваме несведливата дропка 16/43. Но, намалувањето на дропката може да се направи многу полесно ако го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 128 и 344. GCD (128, 344) = 8. Поделувајќи го броителот и именителот на дропката со овој број, веднаш добиваме нескратлива дропка.

Покажете им на децата различни начини да најдат најголем заеднички делител (GCD) и најмал заеднички множител (LCM) на броеви. Во едноставни случаи, погодно е да се најде најголемиот заеднички делител (GCD) и најмалиот заеднички множител (LCM) на броеви со едноставно набројување. Како што бројките стануваат поголеми, може да се користат прости фактори. Учебникот за шесто одделение (автор Н.Ја. Виленкин) го прикажува следниов метод за наоѓање на најголемиот заеднички делител (GCD) на броевите. Ајде да ги разложиме броевите на прости множители:

  • 16 = 2*2*2*2
  • 120 = 2*2*2*3*5

Потоа, од факторите вклучени во проширувањето на еден од овие броеви, ги прецртуваме оние што не се вклучени во проширувањето на другиот број. Производот на преостанатите фактори ќе биде најголемиот заеднички делител на овие броеви. Во овој случај, оваа бројка е 8. Од сопственото искуство бев убеден дека за децата е поразбирливо ако ги подвлечеме истите фактори во проширувањата на броевите, а потоа во едно од проширувањата го наоѓаме производот на подвлечениот фактори. Ова е најголемиот заеднички делител на овие броеви. Во шесто одделение децата се активни и испитувачки. Можете да им ја поставите следнава задача: обидете се да го пронајдете најголемиот заеднички делител на броевите 343 и 287 на опишаниот начин. Не е веднаш јасно како да се пресметаат во прости множители. И тука можете да им кажете за прекрасниот метод измислен од античките Грци, кој ви овозможува да го барате најголемиот заеднички делител (GCD) без да се распаѓате на прости фактори. Овој метод за наоѓање на најголемиот заеднички делител првпат беше опишан во Евклидовите елементи. Тој се нарекува Евклид алгоритам. Се состои во следново: Прво, поделете го поголемиот број со помалиот. Ако има остаток, тогаш помалиот број поделете го со остатокот. Ако остатокот се добие повторно, тогаш првиот остаток поделете го со вториот. Така, продолжете да делите додека остатокот не биде нула. Последниот делител е најголемиот заеднички делител (GCD) од овие броеви.

Да се ​​вратиме на нашиот пример и, за јасност, да го напишеме решението во форма на табела.

Дивиденда Разделник Приватен Остаток
343 287 1 56
287 56 5 7
56 7 8 0

Значи gcd (344,287) = 7

И како да се најде најмалиот заеднички множител (LCM) од истите броеви? Дали постои начин за ова што не бара прелиминарно разложување на овие броеви на прости множители? Излегува дека постои, и тоа многу едноставно. Треба да ги помножиме овие броеви и да го поделиме производот со најголемиот заеднички делител (GCD) што го најдовме. Во овој пример, производот на броевите е 98441. Поделете го со 7 и добијте го бројот 14063. LCM(343,287) = 14063.

Една од најтешките теми во математиката е решавање на текстуални задачи. Неопходно е да им се покаже на учениците како користејќи ги концептите „Најголем заеднички делител (GCD)“ и „Најмалку заеднички множител (LCM)“ можете да ги решите проблемите што понекогаш е тешко да се решат на вообичаен начин. Тука е соодветно да се разгледаат заедно со учениците, заедно со задачите предложени од авторите на училишниот учебник, стари и забавни задачи кои ја развиваат љубопитноста кај децата и го зголемуваат интересот за изучување на оваа тема. Вештото поседување на овие концепти им овозможува на учениците да видат убаво решение за нестандарден проблем. И ако расположението на детето се зголемува по решавање на добар проблем, ова е знак за успешна работа.

Така, студијата на училиште за концепти како „Најголем заеднички делител (GCD)“ и „Најмалку заеднички множител (LCD)“ на броеви

Ви овозможува да заштедите време наменето за извршување на работата, што доведува до значително зголемување на обемот на завршени задачи;

Ја зголемува брзината и точноста на извршувањето на аритметичките операции, што доведува до значително намалување на бројот на дозволени грешки во пресметката;

Ви овозможува да најдете убави начини за решавање на нестандардни текстуални проблеми;

Ја развива љубопитноста на учениците, ги проширува нивните хоризонти;

Создава предуслови за образование на сестрана креативна личност.

Се вика најголемиот природен број со кој броевите a и b се делат без остаток најголемиот заеднички делителовие бројки. Означете GCD(a, b).

Размислете за наоѓање на GCD користејќи го примерот на два природни броја 18 и 60:

  • 1 Да ги разложиме броевите на прости множители:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
  • 2 Избришете ги од проширувањето на првиот број сите фактори кои не се вклучени во проширувањето на вториот број, добиваме 2×3×3 .
  • 3 Ги множиме преостанатите прости множители по вкрстувањето и го добиваме најголемиот заеднички делител на броевите: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 Забележете дека не е важно од првиот или вториот број да ги прецртаме факторите, резултатот ќе биде ист:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
    • 324 , 111 и 432

    Ајде да ги разложиме броевите на прости множители:

    324 = 2×2×3×3×3×3

    111 = 3×37

    432 = 2×2×2×2×3×3×3

    Бришење од првиот број, чии фактори не се во вториот и третиот број, добиваме:

    2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

    Како резултат на GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

    Наоѓање на GCD со Евклидовиот алгоритам

    Вториот начин да се најде најголемиот заеднички делител користејќи Евклидовиот алгоритам. Евклидовиот алгоритам е најефикасен начин за наоѓање GCD, користејќи го треба постојано да го наоѓате остатокот од поделбата на броевите и да аплицирате рекурентна формула.

    Рекурентна формулаза GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), каде што mod b е остатокот од делењето a со b.

    Евклидовиот алгоритам
    Пример Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 7920 и 594

    Ајде да најдеме GCD( 7920 , 594 ) користејќи го Евклидовиот алгоритам, ќе го пресметаме остатокот од поделбата со помош на калкулатор.

  • GCD( 7920 , 594 )
  • GCD( 594 , 7920 мод 594 ) = gcd ( 594 , 198 )
  • GCD( 198 , 594 мод 198 ) = gcd ( 198 , 0 )
  • GCD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 мод 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 мод 198 = 594 - 3 × 198 = 0

      • Како резултат на тоа, добиваме GCD( 7920 , 594 ) = 198

      Најмалку заеднички множител

      За да најдете заеднички именител при собирање и одземање дропки со различни именители, треба да знаете и да можете да пресметате најмал заеднички множител(НОК).

      Повеќекратно од бројот „а“ е број кој сам по себе е делив со бројот „а“ без остаток.

      Броеви што се множители на 8 (односно, овие броеви ќе се поделат со 8 без остаток): тоа се броевите 16, 24, 32 ...

      Множества од 9: 18, 27, 36, 45…

      Има бесконечно многу множители на даден број a, за разлика од делителите на истиот број. Делители - конечен број.

      Заеднички множител на два природни броја е број кој е рамномерно делив со двата од овие броеви..

      Најмалку заеднички множител(LCM) од два или повеќе природни броеви е најмалиот природен број кој сам по себе е делив со секој од овие броеви.

      Како да се најде НОК

      LCM може да се најде и напише на два начина.

      Првиот начин да се најде LCM

      Овој метод обично се користи за мал број.

    1. Ги запишуваме множителите за секој од броевите во линија додека не се појави множител кој е ист за двата броја.
    2. Повеќекратно од бројот „а“ се означува со голема буква „К“.

    Пример. Најдете LCM 6 и 8.

    Вториот начин да се најде LCM

    Овој метод е погоден за користење за да се најде LCM за три или повеќе броеви.

    Бројот на идентични фактори во проширувањата на броевите може да биде различен.

  • Во проширувањето на помалиот број (помали броеви), подвлечете ги факторите што не беа вклучени во проширувањето на поголемиот број (во нашиот пример, тој е 2) и додадете ги овие фактори на проширувањето на поголемиот број.
    LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
  • Запишете ја добиената работа како одговор.
    Одговор: LCM (24, 60) = 120

    • Можете исто така да го формализирате наоѓањето на најмалиот заеднички множител (LCM) на следниов начин. Ајде да го најдеме LCM (12, 16, 24) .

    24 = 2 2 2 3

    Како што можете да видите од проширувањето на броевите, сите фактори од 12 се вклучени во проширувањето на 24 (најголемиот од броевите), така што додаваме само еден 2 од проширувањето на бројот 16 на LCM.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    Одговор: LCM (12, 16, 24) = 48

    Посебни случаи на пронаоѓање НОК

  • Ако еден од броевите е рамномерно делив со другите, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е еднаков на овој број.

    • На пример, LCM(60, 15) = 60
    Бидејќи сопростите броеви немаат заеднички прости делители, нивниот најмал заеднички множител е еднаков на производот на овие броеви.

    На нашата страница, можете исто така да користите специјален калкулатор за да го пронајдете најреткото повеќекратно онлајн за да ги проверите вашите пресметки.

    Ако природен број е делив само со 1 и со самиот себе, тогаш тој се нарекува прост.

    Секој природен број е секогаш делив со 1 и со самиот себе.

    Бројот 2 е најмалиот прост број. Ова е единствениот парен прост број, останатите прости броеви се непарни.

    Има многу прости броеви, а првиот меѓу нив е бројот 2. Сепак, нема последен прост број. Во делот „За проучување“, можете да преземете табела со прости броеви до 997.

    Но, многу природни броеви се рамномерно деливи со други природни броеви.

    • бројот 12 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12;
    • 36 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12, со 18, со 36.

      • Броевите со кои бројот е рамномерно делив (за 12 тоа се 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се нарекуваат делители на бројот.

      Делител на природен број a е таков природен број што го дели дадениот број „а“ без остаток.

      Природен број кој има повеќе од два фактора се нарекува композитен број.

      Забележете дека броевите 12 и 36 имаат заеднички делители. Тоа се броеви: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Најголем делител на овие броеви е 12.

      Заеднички делител на два дадени броја „а“ и „б“ е бројот со кој двата дадени броја „а“ и „б“ се делат без остаток.

      Најголем заеднички делител(GCD) од два дадени броја „а“ и „б“ е најголемиот број со кој двата броја „а“ и „б“ се деливи без остаток.

      Накратко, најголемиот заеднички делител на броевите „а“ и „б“ е напишан на следниов начин:

      Пример: gcd (12; 36) = 12 .

      Делителите на броевите во записот за решение се означуваат со голема буква „Д“.

      Броевите 7 и 9 имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Таквите броеви се нарекуваат копрости броеви.

      Копрости броевисе природни броеви кои имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Нивниот GCD е 1.

      Како да се најде најголемиот заеднички делител

      За да го пронајдете gcd на два или повеќе природни броеви, ви треба:

    • разложува делители на броеви на прости множители;

      • Пресметките се практично напишани со помош на вертикална лента. Лево од линијата, прво запишете ја дивидендата, десно - делителот. Понатаму во левата колона ги запишуваме вредностите на приватно.

      Ајде да објасниме веднаш со пример. Да ги размножиме броевите 28 и 64 во прости множители.

      Подвлечете ги истите прости множители и кај двата броја.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    Го наоѓаме производот на идентични прости множители и го запишуваме одговорот;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    Одговор: GCD (28; 64) = 4

    Можете да ја организирате локацијата на GCD на два начина: во колона (како што беше направено погоре) или „во линија“.

    Првиот начин да се напише GCD

    Најдете GCD 48 и 36.

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    Вториот начин да се напише GCD

    Сега да го напишеме решението за пребарување на GCD во линија. Најдете GCD 10 и 15.

    На нашата информативна страница, исто така можете да го најдете најголемиот заеднички делител на интернет користејќи ја помошната програма за да ги проверите вашите пресметки.

    Наоѓање на најмал заеднички множител, методи, примери за наоѓање на LCM.

    Материјалот презентиран подолу е логично продолжение на теоријата од написот под насловот LCM - Најмалку заедничко повеќекратно, дефиниција, примери, однос помеѓу LCM и GCD. Тука ќе зборуваме за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM), а особено внимание посветува на решавање на примери. Прво да покажеме како LCM на два броја се пресметува во однос на GCD на овие броеви. Следно, размислете за наоѓање на најмалиот заеднички множител со факторинг на броеви во прости множители. После тоа, ќе се фокусираме на наоѓање на LCM на три или повеќе броеви, а исто така ќе обрнеме внимание на пресметката на LCM на негативни броеви.

    Навигација на страница.

    Пресметка на најмалиот заеднички множител (LCM) преку gcd

    Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечката врска помеѓу LCM и GCD ви овозможува да го пресметате најмалиот заеднички множител од два позитивни цели броеви преку познатиот најголем заеднички делител. Соодветната формула ја има формата LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Размислете за примери за наоѓање на LCM според горната формула.

    Најдете го најмалиот заеднички множител на двата броја 126 и 70 .

    Во овој пример a=126 , b=70 . Да ја искористиме врската на LCM со GCD, која се изразува со формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 и 126, по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви според напишаната формула.

    Најдете gcd(126, 70) користејќи го Евклидовиот алгоритам: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , па оттука gcd(126, 70)=14 .

    Сега го наоѓаме бараниот најмал заеднички множител: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

    Што е LCM(68, 34)?

    Бидејќи 68 е рамномерно делив со 34, тогаш gcd(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

    Забележете дека претходниот пример одговара на следново правило за наоѓање на LCM за позитивни цели броеви a и b: ако бројот a е делив со b , тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е a .

    Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости фактори

    Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако направиме производ од сите прости множители на овие броеви, по што од овој производ ги исклучиме сите заеднички прости множители кои се присутни во проширувањата на овие броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител од овие броеви.

    Најавеното правило за наоѓање на LCM произлегува од еднаквоста LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Навистина, производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите a и b. За возврат, gcd(a, b) е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите a и b (што е опишано во делот за наоѓање на gcd користејќи разложување на броевите на прости множители ).

    Да земеме пример. Да знаеме дека 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Состави го производот на сите множители на овие проширувања: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега ги исклучуваме од овој производ сите фактори кои се присутни и во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројот 210 (таквите фактори се 3 и 5), тогаш производот ќе ја добие формата 2 3 5 5 7 . Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител на 75 и 210 , односно LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

    По множење на броевите 441 и 700 во прости множители, пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.

    Ајде да ги разложиме броевите 441 и 700 на прости множители:

    Добиваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

    Сега да направиме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие броеви: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - ова е бројот 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Значи LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

    LCM(441, 700)= 44 100 .

    Правилото за наоѓање на LCM со користење на разложување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако ги додадеме факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот b на факторите од проширувањето на бројот a, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите a и b.

    На пример, да ги земеме сите исти броеви 75 и 210, нивните проширувања во прости множители се како што следува: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . На факторите 3, 5 и 5 од проширувањето на бројот 75, ги додаваме факторите што недостасуваат 2 и 7 од проширувањето на бројот 210, го добиваме производот 2 3 5 5 7 , чија вредност е LCM(75 , 210).

    Најдете го најмалиот заеднички множител од 84 и 648.

    Прво го добиваме разложувањето на броевите 84 и 648 на прости множители. Тие изгледаат како 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . На множителите 2, 2, 3 и 7 од разложувањето на бројот 84 ги додаваме факторите што недостасуваат 2, 3, 3 и 3 од разложувањето на бројот 648, го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7. што е еднакво на 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на броевите 84 и 648 е 4.536.

    Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви

    Најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви може да се најде со последователно наоѓање на LCM на два броја. Потсетете се на соодветната теорема, која дава начин да се најде LCM на три или повеќе броеви.

    Нека се дадени позитивни цели броеви a 1 , a 2 , …, a k, најмалиот заеднички повеќекратен m k од овие броеви се наоѓа во секвенцијалната пресметка m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

    Размислете за примената на оваа теорема на примерот за наоѓање на најмал заеднички множител од четири броеви.

    Најдете го LCM на четирите броеви 140, 9, 54 и 250.

    Прво наоѓаме m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . За да го направите ова, користејќи го Евклидов алгоритам, одредуваме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , затоа, gcd( 140, 9)=1, од каде LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоа е, m 2 = 1 260 .

    Сега наоѓаме m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Да го пресметаме преку gcd(1 260, 54) , кој исто така е одреден со Евклидовиот алгоритам: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Потоа gcd(1 260, 54)=18, од каде LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоа е, m 3 \u003d 3 780.

    Останува да се најде m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . За да го направите ова, наоѓаме GCD(3 780, 250) користејќи го Евклидовиот алгоритам: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Затоа, gcd(3 780, 250)=10, па оттука LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоа е, m 4 \u003d 94 500.

    Така, најмалиот заеднички множител на оригиналните четири броеви е 94.500.

    LCM(140, 9, 54, 250)=94500.

    Во многу случаи, најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви е погодно да се најде со користење на прости факторизации на дадени броеви. Во овој случај, треба да се следи следново правило. Најмалиот заеднички множител на неколку броеви е еднаков на производот, кој е составен на следниов начин: факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број се додаваат на сите фактори од проширувањето на првиот број, факторите што недостасуваат од проширувањето на третиот број се додаваат на добиените фактори итн.

    Размислете за пример за наоѓање на најмалиот заеднички множител користејќи разложување на броеви на прости множители.

    Најдете го најмалиот заеднички множител од петте броеви 84, 6, 48, 7, 143.

    Прво, добиваме разложување на овие броеви на прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 е прост број, се совпаѓа со неговото разложување на прости множители) и 143=11 13 .

    За да го пронајдете LCM на овие броеви, на факторите од првиот број 84 (тие се 2, 2, 3 и 7) треба да ги додадете факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број 6. Проширувањето на бројот 6 не содржи фактори што недостасуваат, бидејќи и 2 и 3 се веќе присутни во проширувањето на првиот број 84. Понатаму на факторите 2 , 2 , 3 и 7 ги додаваме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на третиот број 48 , добиваме збир на фактори 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . Нема потреба да се додаваат фактори на ова множество во следниот чекор, бидејќи 7 е веќе содржан во него. Конечно, на факторите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 ги додаваме факторите што недостасуваат 11 и 13 од проширувањето на бројот 143 . Го добиваме производот 2 2 2 2 3 7 11 13, што е еднакво на 48 048.

    Затоа, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.

    Наоѓање на најмалиот заеднички множител на негативни броеви

    Понекогаш има задачи во кои треба да го пронајдете најмалиот заеднички множител на броеви, меѓу кои еден, неколку или сите броеви се негативни. Во овие случаи, сите негативни броеви мора да се заменат со нивните спротивни броеви, по што треба да се најде LCM на позитивни броеви. Ова е начин да се најде LCM на негативни броеви. На пример, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

    Можеме да го направиме тоа затоа што множеството множители на a е исто со множеството множители на -a (a и −a се спротивни броеви). Навистина, нека b е некој множител на a , тогаш b е делив со a , а концептот на деливост го потврдува постоењето на таков цел број q што b=a q . Но, ќе биде вистинита и еднаквоста b=(−a)·(−q), што, врз основа на истиот концепт на деливост, значи дека b е делив со −a, односно b е множител на −a. Спротивното тврдење е исто така точно: ако b е множител на −a, тогаш b е исто така множител на a.

    Најдете го најмалиот заеднички множител на негативните броеви −145 и −45.

    Да ги замениме негативните броеви −145 и −45 со нивните спротивни броеви 145 и 45 . Имаме LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Откако го утврдивме gcd(145, 45)=5 (на пример, користејќи го Евклидовиот алгоритам), пресметуваме LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Така, најмалиот заеднички множител на негативните цели броеви −145 и −45 е 1.305.

    www.cleverstudents.ru

    Продолжуваме да ја проучуваме поделбата. Во оваа лекција, ќе ги разгледаме концептите како што се GCDи НОК.

    GCDе најголемиот заеднички делител.

    НОКе најмал заеднички множител.

    Темата е прилично досадна, но неопходно е да се разбере. Без разбирање на оваа тема, нема да можете ефективно да работите со дропки, кои се вистинска пречка во математиката.

    Најголем заеднички делител

    Дефиниција. Најголем заеднички делител на броеви аи б аи бподелени без остаток.

    За добро да ја разбереме оваа дефиниција, наместо променливи заменуваме аи бкои било два броја, на пример, наместо променлива азаменете го бројот 12 и наместо променливата бброј 9. Сега да се обидеме да ја прочитаме оваа дефиниција:

    Најголем заеднички делител на броеви 12 и 9 е најголемиот број по кој 12 и 9 поделени без остаток.

    Од дефиницијата е јасно дека станува збор за заеднички делител на броевите 12 и 9, а овој делител е најголем од сите постоечки делители. Мора да се најде овој најголем заеднички делител (gcd).

    За да се најде најголемиот заеднички делител на два броја, се користат три методи. Првиот метод одзема многу време, но ви овозможува добро да ја разберете суштината на темата и да го почувствувате целото нејзино значење.

    Вториот и третиот метод се прилично едноставни и овозможуваат брзо наоѓање на GCD. Ќе ги разгледаме сите три методи. И што да се примени во пракса - вие избирате.

    Првиот начин е да се најдат сите можни делители на два броја и да се избере најголемиот од нив. Да го разгледаме овој метод во следниот пример: Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 12 и 9.

    Прво, ги наоѓаме сите можни делители на бројот 12. За да го направите ова, делиме 12 на сите делители во опсег од 1 до 12. Ако делителот ни дозволува да поделиме 12 без остаток, тогаш ќе го истакнеме со сино и направи соодветно објаснување во заграда.

    12: 1 = 12
    (12 поделено со 1 без остаток, така што 1 е делител на 12)

    12: 2 = 6
    (12 поделено со 2 без остаток, така што 2 е делител на 12)

    12: 3 = 4
    (12 поделено со 3 без остаток, така што 3 е делител на 12)

    12: 4 = 3
    (12 поделено со 4 без остаток, така што 4 е делител на 12)

    12:5 = 2 (преостанати 2)
    (12 не се дели со 5 без остаток, така што 5 не е делител на 12)

    12: 6 = 2
    (12 поделено со 6 без остаток, така што 6 е делител на 12)

    12: 7 = 1 (остануваат 5)
    (12 не се дели со 7 без остаток, така што 7 не е делител на 12)

    12: 8 = 1 (остануваат 4)
    (12 не се дели со 8 без остаток, така што 8 не е делител на 12)

    12:9 = 1 (остануваат 3)
    (12 не се дели со 9 без остаток, така што 9 не е делител на 12)

    12: 10 = 1 (преостанати 2)
    (12 не се дели со 10 без остаток, така што 10 не е делител на 12)

    12:11 = 1 (1 преостанат)
    (12 не се дели со 11 без остаток, така што 11 не е делител на 12)

    12: 12 = 1
    (12 поделено со 12 без остаток, така што 12 е делител на 12)

    Сега да ги најдеме делителите на бројот 9. За да го направите ова, проверете ги сите делители од 1 до 9

    9: 1 = 9
    (9 поделено со 1 без остаток, така што 1 е делител на 9)

    9: 2 = 4 (1 остана)
    (9 не се дели со 2 без остаток, така што 2 не е делител на 9)

    9: 3 = 3
    (9 поделено со 3 без остаток, така што 3 е делител на 9)

    9: 4 = 2 (1 остана)
    (9 не се дели со 4 без остаток, така што 4 не е делител на 9)

    9:5 = 1 (остануваат 4)
    (9 не се дели со 5 без остаток, така што 5 не е делител на 9)

    9: 6 = 1 (остануваат 3)
    (9 не се дели со 6 без остаток, така што 6 не е делител на 9)

    9:7 = 1 (преостанати 2)
    (9 не се дели со 7 без остаток, така што 7 не е делител на 9)

    9:8 = 1 (1 преостана)
    (9 не се дели со 8 без остаток, така што 8 не е делител на 9)

    9: 9 = 1
    (9 поделено со 9 без остаток, така што 9 е делител на 9)

    Сега запишете ги делителите на двата броја. Броевите означени со сино се делители. Ајде да ги напишеме:

    Откако ќе ги напишете делителите, можете веднаш да одредите кој од нив е најголем и најчест.

    По дефиниција, најголемиот заеднички делител на 12 и 9 е бројот со кој 12 и 9 се рамномерно деливи. Најголем и заеднички делител на броевите 12 и 9 е бројот 3

    И бројот 12 и бројот 9 се делат со 3 без остаток:

    Значи gcd (12 и 9) = 3

    Вториот начин да се најде GCD

    Сега разгледајте го вториот начин да го пронајдете најголемиот заеднички делител. Суштината на овој метод е да се разложат двата броја на прости множители и да се множат заедничките.

    Пример 1. Најдете GCD од броевите 24 и 18

    Прво, да ги факторизираме двата броја во прости множители:

    Сега ги множиме нивните заеднички фактори. За да не се мешаме, може да се подвлечат заедничките фактори.

    Го гледаме разложувањето на бројот 24. Неговиот прв фактор е 2. Го бараме истиот фактор во разградувањето на бројот 18 и гледаме дека и тој е таму. Ги подвлекуваме двете две:

    Повторно го гледаме разложувањето на бројот 24. Неговиот втор фактор е исто така 2. Го бараме истиот фактор во распаѓањето на бројот 18 и гледаме дека го нема по втор пат. Тогаш ништо не истакнуваме.

    Следните две во проширувањето на бројот 24 недостасуваат и во проширувањето на бројот 18.

    Поминуваме до последниот фактор во разложувањето на бројот 24. Ова е факторот 3. Го бараме истиот фактор во разградувањето на бројот 18 и гледаме дека и тој е таму. Ги нагласуваме двете тројки:

    Значи, заедничките фактори на броевите 24 и 18 се факторите 2 и 3. За да се добие GCD, овие фактори мора да се помножат:

    Значи gcd (24 и 18) = 6

    Третиот начин да се најде GCD

    Сега разгледајте го третиот начин да го пронајдете најголемиот заеднички делител. Суштината на овој метод лежи во фактот што броевите што треба да се бараат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители. Потоа од разложувањето на првиот број се бришат фактори кои не се вклучени во разградувањето на вториот број. Останатите броеви во првото проширување се множат и добиваат GCD.

    На пример, да го најдеме GCD за броевите 28 и 16 на овој начин. Пред сè, ги разложуваме овие броеви на прости фактори:

    Добивме две проширувања: и

    Сега, од проширувањето на првиот број, ги бришеме факторите што не се вклучени во проширувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува седум. Ќе го избришеме од првото проширување:

    Сега ги множиме преостанатите фактори и го добиваме GCD:

    Бројот 4 е најголемиот заеднички делител на броевите 28 и 16. И двата броја се деливи со 4 без остаток:

    Пример 2Најдете GCD од броевите 100 и 40

    Факторирање на бројот 100

    Факторирање на бројот 40

    Добивме две проширувања:

    Сега, од проширувањето на првиот број, ги бришеме факторите што не се вклучени во проширувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува една петка (има само една петка). Го бришеме од првото распаѓање

    Помножете ги преостанатите броеви:

    Го добивме одговорот 20. Значи, бројот 20 е најголемиот заеднички делител на броевите 100 и 40. Овие два броја се деливи со 20 без остаток:

    GCD (100 и 40) = 20.

    Пример 3Најдете го gcd од броевите 72 и 128

    Факторирање на бројот 72

    Факторирајќи го бројот 128

    2×2×2×2×2×2×2

    Сега, од проширувањето на првиот број, ги бришеме факторите што не се вклучени во проширувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува две тројки (воопшто нема). Ги бришеме од првото проширување:

    Го добивме одговорот 8. Значи, бројот 8 е најголемиот заеднички делител на броевите 72 и 128. Овие два броја се деливи со 8 без остаток:

    GCD (72 и 128) = 8

    Наоѓање GCD за повеќе броеви

    Најголемиот заеднички делител може да се најде за неколку броеви, а не само за два. За ова, броевите што треба да се бараат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители, потоа се наоѓа производот на заедничките прости множители на овие броеви.

    На пример, да го најдеме GCD за броевите 18, 24 и 36

    Факторирање на бројот 18

    Факторирање на бројот 24

    Факторирање на бројот 36

    Добивме три проширувања:

    Сега ги избираме и подвлекуваме заедничките фактори во овие бројки. Заедничките фактори мора да бидат вклучени во сите три бројки:

    Гледаме дека заедничките фактори за броевите 18, 24 и 36 се факторите 2 и 3. Со множење на овие фактори, го добиваме GCD што го бараме:

    Го добивме одговорот 6. Значи, бројот 6 е ​​најголемиот заеднички делител на броевите 18, 24 и 36. Овие три броја се деливи со 6 без остаток:

    GCD (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2Најдете gcd за броевите 12, 24, 36 и 42

    Ајде да го факторизираме секој број. Потоа го наоѓаме производот на заедничките фактори на овие броеви.

    Факторирање на бројот 12

    Факторирање на бројот 42

    Добивме четири проширувања:

    Сега ги избираме и подвлекуваме заедничките фактори во овие бројки. Заедничките фактори мора да бидат вклучени во сите четири бројки:

    Гледаме дека заедничките фактори за броевите 12, 24, 36 и 42 се факторите 2 и 3. Со множење на овие фактори, го добиваме GCD што го бараме:

    Го добивме одговорот 6. Значи, бројот 6 е ​​најголемиот заеднички делител на броевите 12, 24, 36 и 42. Овие броеви се деливи со 6 без остаток:

    gcd(12, 24, 36 и 42) = 6

    Од претходната лекција, знаеме дека ако некој број се подели со друг без остаток, тој се нарекува множител на овој број.

    Излегува дека множителот може да биде заеднички за неколку броеви. И сега ќе нè интересира множител од два броја, додека тој треба да биде што е можно помал.

    Дефиниција. Најмал заеднички множител (LCM) на броеви аи б- аи б аи број б.

    Дефиницијата содржи две променливи аи б. Ајде да ги замениме кои било два броја за овие променливи. На пример, наместо променлива азаменете го бројот 9 и наместо променливата бајде да го замениме бројот 12. Сега да се обидеме да ја прочитаме дефиницијата:

    Најмал заеднички множител (LCM) на броеви 9 и 12 - е најмалиот број кој е повеќекратен од 9 и 12 . Со други зборови, тоа е толку мал број што е делив без остаток со бројот 9 и на бројот 12 .

    Од дефиницијата е јасно дека LCM е најмалиот број што е делив без остаток со 9 и 12. Овој LCM е потребно да се најде.

    Постојат два начини да се најде најмалиот заеднички множител (LCM). Првиот начин е да можете да ги запишете првите множители на два броја, а потоа меѓу овие множители да изберете таков број што ќе биде заеднички за двата броја и мал. Ајде да го примениме овој метод.

    Најпрво, да ги најдеме првите множители за бројот 9. За да најдете множители за 9, треба да ја помножите оваа девет со броевите од 1 до 9 за возврат. Одговорите што ќе ги добиете ќе бидат множители на бројот 9. Значи, да почнеме. Повеќекратните ќе бидат означени со црвено:

    Сега наоѓаме множители за бројот 12. За да го направите ова, множиме 12 со сите броеви од 1 до 12 за возврат.

    Да ја продолжиме дискусијата за најмалиот заеднички множител што го започнавме во делот LCM - Најмалку заедничко множество, Дефиниција, Примери. Во оваа тема, ќе разгледаме начини како да го пронајдеме LCM за три или повеќе броеви, ќе го анализираме прашањето како да се најде LCM на негативен број.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Пресметка на најмалиот заеднички множител (LCM) преку gcd

    Веќе ја утврдивме врската помеѓу најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител. Сега ајде да научиме како да го дефинираме LCM преку GCD. Прво, ајде да дознаеме како да го направиме тоа за позитивни бројки.

    Дефиниција 1

    Можете да го најдете најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител користејќи ја формулата LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

    Пример 1

    Неопходно е да се најде LCM на броевите 126 и 70.

    Решение

    Да земеме a = 126 , b = 70 . Заменете ги вредностите во формулата за пресметување на најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

    Го наоѓа GCD на броевите 70 и 126. За ова ни треба Евклидовиот алгоритам: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , па оттука и gcd (126 , 70) = 14 .

    Ајде да го пресметаме LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

    Одговор: LCM (126, 70) = 630.

    Пример 2

    Најдете го нокот на броевите 68 и 34.

    Решение

    GCD во овој случај е лесно да се најде, бидејќи 68 е делив со 34. Пресметајте го најмалиот заеднички множител користејќи ја формулата: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

    Одговор: LCM(68, 34) = 68.

    Во овој пример, го користевме правилото за наоѓање на најмал заеднички множител на позитивните цели броеви a и b: ако првиот број е делив со вториот, тогаш LCM на овие броеви ќе биде еднаков на првиот број.

    Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости фактори

    Сега да погледнеме начин да се најде LCM, кој се заснова на распаѓање на броевите на прости множители.

    Дефиниција 2

    За да го најдеме најмалиот заеднички множител, треба да извршиме неколку едноставни чекори:

    • го сочинуваме производот од сите прости множители на броеви за кои треба да го најдеме LCM;
    • ги исклучуваме сите основни фактори од нивните добиени производи;
    • производот добиен по елиминирање на заедничките прости множители ќе биде еднаков на LCM на дадените броеви.

    Овој начин на наоѓање на најмал заеднички множител се заснова на еднаквоста LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ако ја погледнете формулата, станува јасно: производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори кои се вклучени во проширувањето на овие два броја. Во овој случај, GCD на два броја е еднаква на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во факторизациите на овие два броја.

    Пример 3

    Имаме два броја 75 и 210. Можеме да ги земеме предвид вака: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Ако го направите производот од сите множители на двата оригинални броеви, ќе добиете: 2 3 3 5 5 5 7.

    Ако ги исклучиме факторите заеднички за двата броја 3 и 5, добиваме производ од следнава форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Овој производ ќе биде нашиот LCM за броевите 75 и 210.

    Пример 4

    Најдете го LCM на броеви 441 и 700 , разложувајќи ги двата броја на прости множители.

    Решение

    Да ги најдеме сите прости множители на броевите дадени во условот:

    441 147 49 7 1 3 3 7 7

    700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

    Добиваме два синџири на броеви: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .

    Производот на сите фактори кои учествувале во проширувањето на овие бројки ќе изгледа вака: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ајде да ги најдеме заедничките фактори. Овој број е 7. Ние го исклучуваме од општиот производ: 2 2 3 3 5 5 7 7. Излегува дека НОК (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

    Одговор: LCM (441 , 700) = 44 100 .

    Дозволете ни да дадеме уште една формулација на методот за пронаоѓање на LCM со разложување на броеви во прости множители.

    Дефиниција 3

    Претходно, ние исклучивме од вкупниот број на фактори заеднички за двата броја. Сега ќе го направиме поинаку:

    • Ајде да ги разложиме двата броја на прости множители:
    • на производот на простите множители на првиот број додадете ги множителите што недостасуваат од вториот број;
    • го добиваме производот, кој ќе биде посакуваниот LCM од два броја.

    Пример 5

    Да се ​​вратиме на броевите 75 и 210, за кои веќе го баравме LCM во еден од претходните примери. Ајде да ги поделиме на едноставни фактори: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. На производот од факторите 3, 5 и 5 број 75 додадете ги факторите што недостасуваат 2 и 7 броеви 210 . Добиваме: 2 3 5 5 7 .Ова е LCM на броевите 75 и 210.

    Пример 6

    Неопходно е да се пресмета LCM на броевите 84 и 648.

    Решение

    Ајде да ги разложиме броевите од условот на прости множители: 84 = 2 2 3 7и 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Додај во производот на множителите 2 , 2 , 3 и 7 броеви 84 недостасуваат фактори 2 , 3 , 3 и
    3 броеви 648 . Го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Ова е најмалиот заеднички множител од 84 и 648.

    Одговор: LCM (84, 648) = 4536.

    Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви

    Без оглед на тоа со колку броеви се занимаваме, алгоритмот на нашите дејства секогаш ќе биде ист: последователно ќе го најдеме LCM на два броја. Постои теорема за овој случај.

    Теорема 1

    Да претпоставиме дека имаме цели броеви a 1 , a 2 , ... , a k. НОК m kод овие броеви се наоѓа во секвенцијална пресметка m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

    Сега да погледнеме како теоремата може да се примени на конкретни проблеми.

    Пример 7

    Треба да го пресметате најмалиот заеднички множител од четирите броеви 140 , 9 , 54 и 250 .

    Решение

    Ајде да ја воведеме ознаката: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

    Да почнеме со пресметување m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Да го користиме Евклидов алгоритам за да го пресметаме GCD на броевите 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Добиваме: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Затоа, m 2 = 1 260 .

    Сега да пресметаме според истиот алгоритам m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Во текот на пресметките, добиваме m 3 = 3 780.

    Останува да пресметаме m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ние дејствуваме според истиот алгоритам. Добиваме m 4 \u003d 94 500.

    LCM на четирите броеви од условот на примерот е 94500.

    Одговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

    Како што можете да видите, пресметките се едноставни, но доста макотрпни. За да заштедите време, можете да одите на друг начин.

    Дефиниција 4

    Ви го нудиме следниов алгоритам на дејства:

    • ги разложува сите броеви на прости множители;
    • на производот од множителите од првиот број, додадете ги множителите што недостасуваат од производот од вториот број;
    • додадете ги факторите што недостасуваат од третиот број на производот добиен во претходната фаза итн.;
    • добиениот производ ќе биде најмалиот заеднички множител од сите броеви од условот.

    Пример 8

    Неопходно е да се најде LCM на пет броеви 84, 6, 48, 7, 143.

    Решение

    Да ги разложиме сите пет броеви на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Простите броеви, што е бројот 7, не можат да се вклучат во прости множители. Таквите броеви се совпаѓаат со нивното распаѓање на прости множители.

    Сега да го земеме производот на простите множители 2, 2, 3 и 7 од бројот 84 и да ги додадеме множителите што недостасуваат од вториот број. Бројот 6 го разложивме на 2 и 3. Овие фактори се веќе во производот од првиот број. Затоа, ги испуштаме.

    Продолжуваме да ги собираме множителите што недостасуваат. Се свртуваме кон бројот 48, од производот на прости множители од кои земаме 2 и 2. Потоа додаваме едноставен фактор 7 од четвртиот број и множители 11 и 13 од петтиот. Добиваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ова е најмалиот заеднички множител од петте оригинални броеви.

    Одговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

    Наоѓање на најмалиот заеднички множител на негативни броеви

    За да се најде најмалиот заеднички множител на негативните броеви, овие броеви мора прво да се заменат со броеви со спротивен знак, а потоа да се извршат пресметките според горенаведените алгоритми.

    Пример 9

    LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888).

    Ваквите дејствија се дозволени поради тоа што доколку се прифати дека аи − а- спротивни броеви
    потоа множеството множители асе совпаѓа со множеството множители на некој број − а.

    Пример 10

    Неопходно е да се пресмета LCM на негативни броеви − 145 и − 45 .

    Решение

    Ајде да ги смениме бројките − 145 и − 45 на нивните спротивни броеви 145 и 45 . Сега, според алгоритмот, го пресметуваме LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, откако претходно го одредивме GCD користејќи го Евклидовиот алгоритам.

    Добиваме дека LCM на броевите − 145 и − 45 еднакви 1 305 .

    Одговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

    Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter